Teoría del Portafolio enfoque clásico y robosto
Clase 3: Técnico en Finanzas Cuantitativas
¿Cómo puedo construir mi cartera de inversiones?
Hice esta pregunta a Chat GTP y sus recomendaciones fueron utilizar como mínimo entre 10-12 activos y de manera recomendada entre 15-30 activos, además aclara que al utilizar más de 30 activos, generalmente el beneficio marginal se reduce significativamente, por tanto la elección definitiva dependerá de tu objetivo de inversión, nivel de riesgo, y capacidad de gestión que deseas asumir.
El siguiente gráfico muestra la relación entre el número de acciones en una cartera y su volatilidad y el “punto de inflexión” para cada nivel de correlación. El punto de inflexión es el número de acciones en el que disminuye el beneficio marginal de añadir más acciones a la cartera. En otras palabras, es el punto en el que la volatilidad de la cartera deja de disminuir tan rápido como lo hacía con menos acciones.
El método utilizado para identificar el punto de inflexión es el llamado algoritmo Kneedle, que consiste en una forma sencilla de encontrar el “punto de inflexión” o “codo” en una curva basándose en la distancia perpendicular. El algoritmo funciona trazando una línea entre el primer y el último punto de la curva y luego encontrando el punto más alejado de esa línea. Este punto es el punto de inflexión.
¿Qué activos puedo incluir en mi cartera de inversión?
Esta Tabla Periódica de Clases de Activos propuesta por Asesores Patrimoniales Globales® se entiende mejor como una organización general de instrumentos financieros, ordenados en términos de liquidez relativa y tolerancia al riesgo. En conjunto, la tabla muestra las relaciones generales entre las nueve clases de activos.
La tabla no debe considerarse fija e invariable. En un año determinado, los instrumentos financieros individuales dentro de cada clase de activo pueden fluctuar al alza o a la baja. Las posiciones relativas de los instrumentos dentro de las clases de activos muestran una notable consistencia.
Otro recurso similar es la tabla Periódica de Retornos de Inversión de Callan®, muestra los rendimientos anuales de las principales clases de activos, ordenados de mejor a peor rendimiento para cada año calendario.
Carteras de diversificación ingenua
Una cartera factible es una cartera “existente” descrita por los parámetros de la especificación de la cartera. “Existente” significa que la cartera se especificó por sus parámetros de tal manera que en un gráfico de riesgo versus rendimiento la cartera tiene una solución y es parte del conjunto factible (incluyendo la frontera eficiente y el portafolio de mínima varianza).
La forma genérica de definir una cartera existente es a partir de una cartera ingenua, que es aquella cuyos pesos porcentuales de los activos con iguales en proporción. Para especificar la cartera de pesos iguales para el conjunto de datos LPP20052, primero enumeramos los nombres de los instrumentos que son parte de este conjunto de datos y luego creamos un subconjunto de aquellos que queremos incluir en la cartera.
[1] "SBI" "SPI" "SII" "LMI" "MPI" "ALT" "LPP25" "LPP40" "LPP60"
Title:
MV Feasible Portfolio
Estimator: covEstimator
Solver: solveRquadprog
Optimize: minRisk
Constraints: LongOnly
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667 0.1667
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
-0.0039 0.3526 0.0431 -0.0079 0.3523 0.2638
Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR
0.0431 0.3198 0.7771 0.4472
Description:
Thu Apr 24 18:26:56 2025 by user: Administrator 
Teoría de Portafolio de Markowitz
En esta parte definimos el problema original de optimización de cartera de media-varianza y varios problemas relacionados. El problema de minimizar el riesgo de covarianza para un retorno objetivo dado con restricciones de caja y grupo opcionales es un problema de programación cuadrática con restricciones lineales. Lo llamamos QP1 o cartera de media-varianza de riesgo mínimo. El caso opuesto, fijar el riesgo y maximizar el retorno, tiene una función objetivo lineal con restricciones cuadráticas. Llamamos a este problema de programación QP2 o problema de cartera de media-varianza de retorno máximo.
El problema QP2 es mucho más complejo que QP1. Si tenemos restricciones aún más complejas, es decir, restricciones no lineales, necesitamos una nueva clase de solucionadores, que llamamos NL1, o problema de cartera con restricciones no lineales. Esto nos permite manejar el caso de funciones objetivo lineales y cuadráticas con restricciones no lineales.
En los tres casos hablamos del problema de optimización de cartera de Markowitz, aunque requieren diferentes clases de solucionadores con complejidad creciente.
La imagen anterior muestra la visión de riesgo versus retorno de la cartera de media-varianza, en esta se ilustra la cartera de media-varianza en el espacio (σ(r ), r ). El punto de mínima varianza r* separa la frontera eficiente ∂+d del portafolio de mínima varianza ∂−d .
El portafolio (locus) de este conjunto en el espacio {σ, r } son hipérbolas. El conjunto dentro de la hipérbola es el conjunto factible de carteras de media/desviación estándar y los límites son la frontera eficiente (límite superior) y el portafolio de mínima varianza (límite inferior). Aquí, r* es el retorno de la cartera de mínima varianza.
El punto con el menor riesgo en la frontera eficiente se denomina cartera de mínima varianza global, que representa el punto de riesgo mínimo en la frontera eficiente.
Los perfiles de recompensa/riesgo de diferentes combinaciones de una cartera riesgosa con un activo sin riesgo, con un rendimiento esperado rf, se pueden representar como una línea recta, la llamada línea del mercado de capitales, CML. El punto donde la CML toca la frontera eficiente corresponde a la cartera riesgosa óptima. Matemáticamente, esto se puede expresar como la cartera que maximiza la cantidad entre todos las ponderaciones(W). Esta cantidad es precisamente el ratio de Sharpe introducido por Sharpe (1994).
Carteras de Media-Varianza
Los siguientes ejemplos muestran cómo calcular las propiedades de una cartera de riesgo mínimo de media-varianza. Estas carteras tienen una función objetivo cuadrática definida por la matriz de covarianza de los activos financieros y un objetivo de rentabilidad fijo. Se incluyen carteras factibles, eficientes, de tangencia y de riesgo mínimo global. Consideramos el caso de restricciones lineales, así como restricciones de venta en corto, de caja y de grupo.
Cartera de riesgo mínimo clásica
Una cartera eficiente con el mínimo riesgo es una cartera con el menor riesgo para una rentabilidad objetivo dada. Como primer ejemplo de cartera eficiente, calculamos la cartera eficiente de media-varianza con la misma rentabilidad objetivo que la cartera con ponderaciones iguales, pero con el menor riesgo posible. Dado que la configuración predeterminada de la función portfolioSpec() no define una rentabilidad objetivo, no debemos olvidarnos de añadir explícitamente la rentabilidad objetivo a la especificación de la cartera.
Title:
MV Efficient Portfolio
Estimator: covEstimator
Solver: solveRquadprog
Optimize: minRisk
Constraints: LongOnly
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.0000 0.0086 0.2543 0.3358 0.0000 0.4013
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.0000 0.0184 0.1205 -0.0100 0.0000 0.8711
Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR
0.0431 0.2451 0.5303 0.3412
Description:
Thu Apr 24 18:26:57 2025 by user: Administrator 
Cartera de varianza mínima global clásica
La cartera de mínima varianza global es la cartera eficiente con el menor riesgo posible. El punto de mínima varianza global es, por tanto, el punto que separa la frontera eficiente del portafolio de mínima varianza.
Title:
MV Minimum Variance Portfolio
Estimator: covEstimator
Solver: solveRquadprog
Optimize: minRisk
Constraints: LongOnly
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.3555 0.0000 0.0890 0.4893 0.0026 0.0636
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.3555 0.0000 0.0890 0.4893 0.0026 0.0636
Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR
0.0105 0.0986 0.2020 0.1558
Description:
Thu Apr 24 18:26:57 2025 by user: Administrator 
Cartera de Sharpe robusta
La cartera de tangencia se calcula minimizando el ratio de Sharpe para una tasa libre de riesgo dada. El ratio de Sharpe es la razón entre la rentabilidad objetivo reducida por la tasa libre de riesgo y el riesgo de covarianza. La tasa libre de riesgo predeterminada es cero y puede restablecerse a otro valor modificando las especificaciones de la cartera.
Title:
MV Tangency Portfolio
Estimator: covOGKEstimator
Solver: solveRquadprog
Optimize: minRisk
Constraints: LongOnly
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.0000 0.0425 0.2192 0.4844 0.0000 0.2539
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
0.0000 0.1269 0.1589 0.0356 0.0000 0.6785
Target Returns and Risks:
mean mu Cov Sigma CVaR VaR
0.0333 0.0333 0.1833 0.1693 0.3892 0.2478
Description:
Thu Apr 24 18:26:58 2025 by user: Administrator 
Frontera de cartera de media-varianza robusta
La frontera eficiente junto con el portafolio de mínima varianza forman las líneas de “borde superior” y “borde inferior” del conjunto factible. A la derecha, el conjunto factible está determinado por la envolvente de todas las fronteras de activos por pares. La región fuera del conjunto factible es inalcanzable manteniendo únicamente activos riesgosos. No se pueden construir carteras correspondientes a los puntos de esta región.
Los puntos por debajo de la frontera son subóptimos. Por lo tanto, un inversor racional mantendrá una cartera solo en la frontera. En este caso, mostramos cómo calcular toda la frontera eficiente y el portafolios de mínima varianza de una cartera de media-varianza con restricciones lineales y mostramos qué funciones se pueden utilizar para mostrar los resultados.
El cálculo de la frontera eficiente para la cartera de MV por defecto solo requiere unas cuantas llamadas a funciones. Como primer ejemplo, calculamos la frontera eficiente para los seis activos incluidos en la cartera de referencia de fondos de pensiones de LPP2005. Multiplicamos las series por 100 para convertirlas en rendimientos en porcentajes.
[1] "SBI" "SPI" "SII" "LMI" "MPI" "ALT"
Frontera de cartera solo largo robusta
Las restricciones de solo largo son las restricciones predeterminadas para las carteras de media-varianza. Recuerde que en este caso todos los pesos están acotados entre cero y uno. En el ejemplo anterior, optimizamos la cartera predeterminada.
Ahora queremos explorar con más detalle el conjunto factible de la cartera de media-varianza con restricciones solo largo. Para esto, trazamos la frontera, agregamos carteras generadas aleatoriamente a partir de una simulación de Monte Carlo y agregamos las líneas de frontera de todas las carteras de dos activos.
Frontera ilimitada de la cartera en corto rubusta
Si no se restringen todos los pesos, tenemos el caso de venta en corto ilimitada. Dado que las carteras de venta en corto ilimitadas se pueden resolver analíticamente, podemos reemplazar el solucionador “solveRquadprog” por el solucionador “solveRshort-Exact”.
Title:
MV Portfolio Frontier
Estimator: covOGKEstimator
Solver: solveRshortExact
Optimize: minRisk
Constraints: Short
Portfolio Points: 5 of 5
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
1 0.5398 -0.0394 0.0474 0.4206 0.1062 -0.0746
2 0.1862 0.0317 0.1541 0.5098 -0.0809 0.1990
3 -0.1673 0.1028 0.2607 0.5990 -0.2679 0.4726
4 -0.5208 0.1739 0.3674 0.6883 -0.4550 0.7462
5 -0.8743 0.2450 0.4740 0.7775 -0.6420 1.0198
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
1 0.5396 0.0404 0.0214 0.3669 -0.0321 0.0638
2 0.0907 0.0947 0.1848 0.2910 -0.1905 0.5293
3 -0.0016 0.2404 0.1732 0.0637 -0.4508 0.9751
4 0.0327 0.2765 0.1471 0.0062 -0.5069 1.0444
5 0.0614 0.2876 0.1318 -0.0119 -0.5214 1.0524
Target Returns and Risks:
mean mu Cov Sigma CVaR VaR
1 0.0000 0.0000 0.1122 0.1140 0.2379 0.1897
2 0.0215 0.0215 0.1154 0.1160 0.2207 0.1636
3 0.0429 0.0429 0.1989 0.1927 0.3935 0.2615
4 0.0643 0.0643 0.3021 0.2898 0.6117 0.3822
5 0.0858 0.0858 0.4106 0.3924 0.8388 0.5345
Description:
Thu Apr 24 18:27:00 2025 by user: Administrator 
Frontera de cartera con restricciones de caja clasíca
Una cartera con restricciones de caja es una cartera en la que los pesos están restringidos por límites inferiores y superiores, por ejemplo, queremos invertir al menos el 1% en cada activo y no más del 50%.
Title:
MV Portfolio Frontier
Estimator: covEstimator
Solver: solveRquadprog
Optimize: minRisk
Constraints: minW maxW
Portfolio Points: 5 of 13
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
1 0.4986 0.0100 0.0538 0.4128 0.0148 0.0100
4 0.1114 0.0100 0.1824 0.5000 0.0100 0.1862
7 0.0100 0.0100 0.2540 0.3242 0.0100 0.3919
10 0.0100 0.1081 0.3619 0.0100 0.0100 0.5000
13 0.0100 0.4128 0.0572 0.0100 0.0100 0.5000
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
1 0.5513 0.0042 0.0344 0.4120 -0.0007 -0.0012
4 0.0249 0.0329 0.1882 0.1353 0.0360 0.5828
7 -0.0003 0.0213 0.1191 -0.0104 0.0248 0.8455
10 -0.0005 0.1712 0.1063 -0.0007 0.0168 0.7069
13 -0.0004 0.5228 0.0047 -0.0005 0.0115 0.4619
Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR
1 0.0062 0.1023 0.2141 0.1653
4 0.0245 0.1380 0.2780 0.1928
7 0.0429 0.2469 0.5373 0.3395
10 0.0613 0.3787 0.8674 0.5227
13 0.0796 0.5593 1.3953 0.7938
Description:
Thu Apr 24 18:27:01 2025 by user: Administrator 
Frontera de cartera con restricciones de grupo clásica
Una cartera de 25 activos con restricciones de grupo es una cartera en la que los pesos de los grupos de activos seleccionados están restringidos por límites inferiores y superiores para los pesos totales de los grupos, por ejemplo, queremos invertir al menos el 30% en el grupo de bonos y no más del 50% en los grupos de activos.
Title:
MV Portfolio Frontier
Estimator: covEstimator
Solver: solveRquadprog
Optimize: minRisk
Constraints: minsumW maxsumW
Portfolio Points: 5 of 18
Portfolio Weights:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
1 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.2394 0.0000 0.1097 0.5500 0.0000 0.1009
9 0.0000 0.0006 0.1838 0.5705 0.0000 0.2450
13 0.0000 0.0085 0.2535 0.3386 0.0000 0.3994
18 0.0000 0.0340 0.0142 0.3000 0.0000 0.6518
Covariance Risk Budgets:
SBI SPI SII LMI MPI ALT
1 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
5 0.1869 0.0000 0.1258 0.4757 0.0000 0.2117
9 0.0000 0.0019 0.1532 0.1061 0.0000 0.7388
13 0.0000 0.0183 0.1208 -0.0097 0.0000 0.8707
18 0.0000 0.0491 0.0012 -0.0149 0.0000 0.9645
Target Returns and Risks:
mean Cov CVaR VaR
1 0.0000 0.1261 0.2758 0.2177
5 0.0143 0.1016 0.2002 0.1534
9 0.0286 0.1549 0.3136 0.2170
13 0.0429 0.2439 0.5275 0.3392
18 0.0608 0.3819 0.8948 0.5873
Description:
Thu Apr 24 18:27:01 2025 by user: Administrator 
Backtest del Índice de Rendimiento Suizo (SPI)
Los datos que utilizaremos para este caso son los rendimientos del Índice de Rendimiento Suizo (SPI). Este conjunto de datos, SPISECTOR.RET, abarca nueve sectores: materiales básicos, industria, bienes de consumo, salud, servicios al consumidor, telecomunicaciones, servicios públicos, finanzas y tecnología.
[1] "SBI" "SPI" "SII" "LP25" "LP40" "LP60"
Net Performance % to 2007-05-31:
1 mth 3 mths 6 mths 1 yr 3 yrs 5 yrs 3 yrs p.a. 5 yrs p.a.
Portfolio -0.17 5.64 9.90 13.28 16.33 33.21 5.17 5.90
Benchmark 0.43 3.04 4.82 11.08 17.73 30.02 5.59 5.39
Net Performance % Calendar Year:
2001 2002 2003 2004 2005 2006 YTD Total
Portfolio -0.08 5.89 2.77 4.88 7.74 6.41 6.67 34.28
Benchmark -4.79 -8.78 10.13 5.13 13.56 6.15 3.52 24.93