Conocer la relación entre las potencias y logaritmos.
Sean \(a, b \in \mathbb{R}^+\) y \(b \ne 1\). Se denomina logaritmo en base \(b\) de \(a\) al número real \(x\), tal que:
\[\log_b\left(a\right) = x \Leftrightarrow b^x = a\]
donde:
\(b\) es la base del logaritmo.
\(a\) es el argumento.
\(x\) es el resultado del logaritmo.
Observación: si no se indica la base del logaritmo, se sobreentiende que es 10.
E1. Expresar \(2^u = 8\) a logaritmo.
\(\Rightarrow\) \(2^u = 8\)
\(\Rightarrow\) \(u = \log_2\left(8\right)\)E2. Expresar \(5^v = 125\) a logaritmo.
\(\Rightarrow\) \(5^v = 125\)
\(\Rightarrow\) \(v = \log_5\left(125\right)\)E3. Expresar \(5^w = \dfrac{1}{3^{-4}}\) a logaritmo.
\(\Rightarrow\) \(5^w = \dfrac{1}{3^{-4}}\)
\(\Rightarrow\) \(5^w = 3^4\)
\(\Rightarrow\) \(5^w = 81\)
\(\Rightarrow\) \(w = \log_5\left(81\right)\)E4. Expresar \(t = \log_5\left(64\right)\) a potencia.
\(\Rightarrow\) \(x=\log_5\left(64\right)\)
\(\Rightarrow\) \(5^x = 64\)E5. Expresar \(h = \log_{11}\left(13\right)\) a potencia.
\(\Rightarrow\) \(y=\log_{11}\left(13\right)\)
\(\Rightarrow\) \(11^y = 13\)E6. Expresar \(z = \log\left(7\right)\) a potencia.
\(\Rightarrow\) \(z=\log\left(7\right)\)
\(\Rightarrow\) \(10^z = 7\)E7. Expresar \(x = \log\left(21\right)\) a potencia.
\(\Rightarrow\) \(x=\log\left(21\right)\)
\(\Rightarrow\) \(10^x = 21\)I. Expresar cada ecuación exponencial a la forma \(x = \log_b(a)\).
| 1. \(5^u = 13\) |
| 2. \(12^v = \dfrac{1}{7^{-5}}\) |
| 3. \(10^w = 45\) |
| 4. \(11^y = \left(1/r\right)^{-9}\) |
| 5. \(10^z = 12\) |
II. Expresar cada logaritmo a la forma \(b^x=a\).
| 1. \(u=\log_2(3)\) |
| 2. \(v=\log_5(18)\) |
| 3. \(w=\log(7)\) |
| 4. \(x=log_b\left(\dfrac{1}{25}\right)\) |
| 5. \(y=\log_m(r)\) |
P1. ¿Qué expresión es equivalente a \(2^x = 6\)?
P2. ¿Qué expresión es equivalente a \(10^u = 2\)?
P3. ¿Qué expresión es equivalente a \(7^m = \dfrac{1}{2^{-3}}\)?
P4. ¿Qué expresión es equivalente a \(x = \log_4(12)\)?
P5. ¿Qué expresión es equivalente a \(y = \log_3(1/9)\)?
P6. ¿Qué expresión es equivalente a \(z = \log_9\left(\dfrac{1}{\sqrt{3^{-1}}}\right)\)?
1. El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener un número dado?
2. La expresión \(y = \log_b(x)\) equivale a la ecuación exponencial \(b^y = x\).
3. Para que el logaritmo esté bien definido, deben cumplirse las condiciones: \(b > 0\), \(b \ne 1\) y \(x > 0\).
Calcular el valor de un logaritmo en la medida que su base y argumento se expresen como potencias de igual base.
Si la base \(b\) y el argumento \(a\) de un logaritmo pueden expresarse como potencias de una misma base \(m\), con \(m > 0\) y \(m \ne 1\), entonces se cumple la siguiente igualdad:
\[\log_b(a)=\log_{m^y}\left(m^x\right) = \dfrac{x}{y}\]
Si en un logaritmo el argumento y la base son iguales, entonces su valor es \(1\). Es decir, se cumple que:
\[\log_b(b) = 1\]
donde \(b > 0\) y \(b \neq 1\).
El logaritmo de \(1\) en cualquier base positiva distinta de \(1\) es igual a \(0\). Es decir, se cumple que:
\[\log_b(1) = 0\]
donde \(b > 0\) y \(b \neq 1\).
E1. Simplificar \(\log_{r^3}\left(r^6\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{r^3}\left(r^6\right) = \dfrac{6}{3}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{r^3}\left(r^6\right)} = 2\)
E2. Simplificar \(\log_{9}\left(3\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{9}\left(3\right) = \log_{3^2}\left(3^1\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{9}\left(3\right)} = \dfrac{1}{2}\)
E3. Simplificar \(\log_{16}\left(32\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{16}\left(32\right) = \log_{2^4}\left(2^5\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{16}\left(32\right)} = \dfrac{5}{4}\)
E4. Simplificar \(\log_{\sqrt{5}}\left(25\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{\sqrt{5}}\left(25\right) = 2\div \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{\sqrt{5}}\left(25\right)} =\dfrac{2}{1}\div \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{\sqrt{5}}\left(25\right)} =\dfrac{4}{1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{\sqrt{5}}\left(25\right)} =4\)
E5. Simplificar \(\log_{\sqrt[3]{2^5}}\left(\sqrt[4]{2^7}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{\sqrt[3]{2^5}}\left(\sqrt[4]{2^7}\right) = \dfrac{7}{4}\div \dfrac{5}{3}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{\sqrt[3]{2^5}}\left(\sqrt[4]{2^7}\right)} = \dfrac{21}{20}\)
E6. Simplificar \(\log_{1000}\left(100000\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{1000}\left(100000\right) = \log_{10^3}\left(10^5\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{1000}\left(100000\right)} = \dfrac{5}{3}\)
E7. Simplificar \(\log_{0{,}0001}\left(0{,}01\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{0{,}0001}\left(0{,}01\right) = \log_{10^{-4}}\left(10^{-2}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{0{,}0001}\left(0{,}01\right)} = \dfrac{-2}{-4}\bigg|_2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{0{,}0001}\left(0{,}01\right)} = \dfrac{1}{2}\)
E8. Simplificar \(\log_3(3)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_3(3)=1\)
E9. Simplificar \(\log(10)\)
\(\Rightarrow\) \(\log(10)=\log_{10}(10)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log(10)}=1\)I. Determinar el valor de cada uno de los siguientes logaritmos.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1. ¿Cuál es el valor de \(\log_{5^3}\left(5^8\right)\)?
P2. ¿Cuál es el valor de \(\log_{8}\left(16\right)\)?
P3. ¿Cuál es el valor de \(\log_{a^5}\left(\dfrac{1}{a^{-2}}\right)\)?
P4. ¿Cuál es el valor de \(\log_{10000}\left(100\right)\)?
P5. ¿Cuál es el valor de \(\log_{10^{-3}}\left(0{,}00001\right)\)?
P6. ¿Cuál es el valor de \(\log_2(8) + \log_3\left(81\right)\)?
P7. ¿Cuál es el valor de \(\log_4(4) + \log_7(7) + \log_{121}(121)\)?
1. Un logaritmo puede simplificarse si tanto la base como el argumento pueden escribirse como potencias de una misma base.
1. Adicionar logaritmos con la misma base.
2. Descomponer el logaritmo de un producto.
Sean \(x, y \in \mathbb{R}^+\) y \(b \in \mathbb{R}^+\) con \(b \ne 1\). La suma de logaritmos con igual base se puede expresar como el logaritmo del producto de los argumentos:
\[\log_b\left(x\right) + \log_b\left(y\right) = \log_b\left(x \cdot y\right)\]
E1. Reducir \(\log_5\left(2\right) + \log_5\left(4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_5\left(2\right) + \log_5\left(4\right) = \log_5\left(2 \cdot 4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_5\left(2\right) + \log_5\left(4\right)} = \log_5\left(8\right)\)
E2. Reducir \(\log_7\left(2\right) + \log_7\left(3\right) + \log_7\left(4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_7\left(2\right) + \log_7\left(3\right) + \log_7\left(4\right) = \log_7\left(2 \cdot 3 \cdot 4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_7\left(2\right) + \log_7\left(3\right) + \log_7\left(4\right)} = \log_7\left(24\right)\)
E3. Reducir \(\log_2\left(a\right) + \log_2\left(3a^5\right) + \log_2\left(a^{-3}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_2\left(a\right) + \log_2\left(3a^5\right) + \log_2\left(a^{-3}\right) = \log_2\left(a \cdot 3a^5 \cdot a^{-3}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(a\right) + \log_2\left(3a^5\right) + \log_2\left(a^{-3}\right)} = \log_2\left(3a^{1+5+(-3)}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(a\right) + \log_2\left(3a^5\right) + \log_2\left(a^{-3}\right)} = \log_2\left(3a^3\right)\)
E4. Reducir \(\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right) = \log_2\left(\dfrac{2}{3} \cdot 24\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right)} = \log_2\left(\dfrac{48}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right)} = \log_2\left(16\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right)} = \log_{2^1}\left(2^4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right)} = \dfrac{4}{1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{2}{3}\right) + \log_2\left(24\right)} = 4\)
E5. Expandir y simplificar \(\log_3\left(12\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_3\left(12\right) = \log_3\left(3 \cdot 4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_3\left(12\right)} = \log_3\left(3\right) + \log_3\left(4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_3\left(12\right)} = 1 + \log_3\left(4\right)\)
E6. Expandir y simplificar \(\log_{25}\left(100\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{25}\left(100\right) = \log_{25}\left(25 \cdot 4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{25}\left(100\right)} = \log_{25}\left(25\right) + \log_{25}\left(4\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{25}\left(100\right)} = 1 + \log_{25}\left(4\right)\)
E7. Expandir y simplificar \(\log_{10}\left(0{,}0000005\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_{10}\left(0{,}0000005\right) = \log_{10}\left(5 \cdot 10^{-7}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{10}\left(0{,}0000005\right)} = \log_{10}\left(5\right) + \log_{10^1}\left(10^{-7}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{10}\left(0{,}0000005\right)} = \log_{10}\left(5\right) + \dfrac{-7}{1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_{10}\left(0{,}0000005\right)} = \log_{10}\left(5\right) - 7\)
E8. Determinar el valor aproximado de \(\log(12)\), sabiendo que \(\log(3) \approx 0{,}477\) y \(\log(4) \approx 0{,}602\).
\(\Rightarrow\ \log(12) = \log(3 \cdot 4)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(12)} = \log(3) + \log(4)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(12)} = 0{,}477 + 0{,}602\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(12)} = 1{,}079\)
E9. Determinar el valor aproximado de \(\log(15)\), sabiendo que \(\log(3) \approx 0{,}477\) y \(\log(5) \approx 0{,}699\).
\(\Rightarrow\ \log(15) = \log(3 \cdot 5)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(15)} = \log(3) + \log(5)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(15)} = 0{,}477 + 0{,}699\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(15)} = 1{,}176\)
I. Reducir las siguientes adiciones de logaritmos.
| 1. \(\log_3(5)+\log_3(12)\) |
| 2. \(\log_7(2)+\log_7(4)+\log_7(5)\) |
| 3. \(\log(500)+ \log \left(\dfrac{1}{5}\right)\) |
| 4. \(\log_{10}\left(\dfrac{2}{3}\right)+\log(30.000)+\log\left(\dfrac{1}{2}\right)\) |
| 5. \(\log_m(0{,}01)+\log_m(12)+\log_2(5)+\log_2(7)\) |
II. Expandir los siguientes logaritmos y simplificar si es posible.
| 1. \(\log_3(18)\) |
| 2. \(\log_5(5.000)\) |
| 3. \(\log_r(13r^3)\) |
| 4. \(\log(0{,}0008)\) |
| 5. \(\log(7.000)\) |
| 6. Determinar el valor aproximado de \(\log(20)\), sabiendo que \(\log(4) \approx 0{,}602\) y \(\log(5) \approx 0{,}699\). |
| 7. Determinar el valor aproximado de \(\log(18)\), sabiendo que \(\log(2) \approx 0{,}301\) y \(\log(9) \approx 0{,}954\). |
| 8. Determinar el valor aproximado de \(\log(35)\), sabiendo que \(\log(5) \approx 0{,}699\) y \(\log(7) \approx 0{,}845\). |
| 9. Determinar el valor aproximado de \(\log(21)\), sabiendo que \(\log(3) \approx 0{,}477\) y \(\log(7) \approx 0{,}845\). |
| 10. Determinar el valor aproximado de \(\log(45)\), sabiendo que \(\log(5) \approx 0{,}699\) y \(\log(9) \approx 0{,}954\). |
P1. Reducir \(\log_3(4) + \log_3(7)\)
P2. Reducir \(\log_m(p^5) + \log_m(3p^2) + \log_m(2p^{-5})\)
P3. Expandir y simplificar \(\log_{10}(0{,}004)\)
P4. Expandir y simplificar \(\log_a(a^3 b^5)\)
P5. Determinar el valor aproximado de \(\log(14)\), sabiendo que \(\log(2) \approx 0{,}301\) y \(\log(7) \approx 0{,}845\).
P6. Determinar el valor aproximado de \(\log(28)\), sabiendo que \(\log(4) \approx 0{,}602\) y \(\log(7) \approx 0{,}845\).
P7. Determinar el valor aproximado de \(\log(10,5)\), sabiendo que \(\log(2) \approx 0{,}301\) y \(\log(5) \approx 0{,}699\).
1. Cuando se suman logaritmos con la misma base, se puede aplicar la propiedad: \(\log_b(x) + \log_b(y) = \log_b(x \cdot y)\).
2. Esta propiedad permite transformar una suma de logaritmos en un solo logaritmo con el producto de sus argumentos.
3. También puede aplicarse de forma inversa, descomponiendo un logaritmo de un producto en una suma de logaritmos.
1. Restar logaritmos con la misma base aplicando propiedades.
Sean \(x, y \in \mathbb{R}^+\) y \(b \in \mathbb{R}^+\) con \(b \ne 1\). La resta de logaritmos con igual base se puede expresar como el logaritmo del cociente de los argumentos:
\[\log_b(x) - \log_b(y) = \log_b\left(\dfrac{x}{y}\right)\]
E1. Reducir \(\log_5\left(10\right) - \log_5(2)\)
\(\Rightarrow\ \log_5\left(10\right) - \log_5\left(2\right) = \log_5\left(\dfrac{10}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_5(10) - \log_5(2)} = \log_5(5)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_5(10) - \log_5(2)} = 1\)E2. Reducir \(\log_3\left(81\right) - \log_3\left(9\right)\)
\(\Rightarrow\ \log_3\left(81\right) - \log_3\left(9\right) = \log_3\left(\dfrac{81}{9}\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_3\left(81\right) - \log_3(9)} = \log_3(9)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_3\left(81\right) - \log_3(9)} = \log_{3^1}(3^2)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_3\left(81\right) - \log_3\left(9\right)} = \dfrac{2}{1}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_3\left(81\right) - \log_3\left(9\right)} = 2\)E3. Expandir y simplificar \(\log_2\left(\dfrac{32}{5}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_2\left(\dfrac{32}{5}\right) = \log_2\left(32\right) - \log_2\left(5\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{32}{5}\right)} = \log_{2^1}\left(2^5\right) - \log_2\left(5\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{32}{5}\right)} = \dfrac{5}{1} - \log_2\left(5\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_2\left(\dfrac{32}{5}\right)} = 5-\log_2\left(5\right)\)
E4. Expandir y simplificar \(\log_3\left(\dfrac{81}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\log_3\left(\dfrac{81}{2}\right) = \log_3\left(81\right) - \log_3\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_3\left(\dfrac{81}{2}\right)} = \log_{3^1}\left(3^4\right) - \log_3\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_3\left(\dfrac{81}{2}\right)} = \dfrac{4}{1} - \log_3\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\log_3\left(\dfrac{81}{2}\right)} = 4-\log_3\left(2\right)\)
E5. Determinar el valor aproximado de \(\log(5)\), sabiendo que \(\log(15) \approx 1{,}176\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\).
\(\Rightarrow\ \log(5) = \log\left(\dfrac{15}{3}\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(5)} = \log(15) - \log(3)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(5)} = 1{,}176 - 0{,}477\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(5)} = 0{,}699\)
I. Reducir las siguientes sustracciones de logaritmos.
| 1. \(\log_5(20) - \log_5(4)\) |
| 2. \(\log_2(12) - \log_2(3)\) |
| 3. \(\log(6.000) - \log(20)-\log(3)\) |
| 4. \(\log_{6}\left(72\right) - \log_{6}\left(2\right)\) |
| 5. \(\log_m(120) - \log_m(15)\) |
II. Expandir los siguientes logaritmos y simplificar si es posible.
| 1. \(\log_3\left(\dfrac{27}{2}\right)\) |
| 2. \(\log_5\left(\dfrac{2}{5}\right)\) |
| 3. \(\log_r\left(\dfrac{13r^3}{r^5}\right)\) |
| 4. \(\log\left(\dfrac{0{,}0001}{3}\right)\) |
| 5. \(\log\left(\dfrac{7}{1.000.000}\right)\) |
| 6. Determinar el valor aproximado de \(\log(2)\), sabiendo que \(\log(30) \approx 1{,}477\) y \(\log(15) \approx 1{,}176\). |
| 7. Determinar el valor aproximado de \(\log(4)\), sabiendo que \(\log(12) \approx 1{,}079\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\). |
| 8. Determinar el valor aproximado de \(\log(2)\), sabiendo que \(\log(6) \approx 0{,}778\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\). |
| 9. Determinar el valor aproximado de \(\log(7)\), sabiendo que \(\log(21) \approx 1{,}322\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\). |
| 10. Determinar el valor aproximado de \(\log(9)\), sabiendo que \(\log(27) \approx 1{,}431\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\). |
P1. Reducir \(\log_5(50) - \log_5(2)\)
P2. Reducir \(\log(2.000) - \log(2)\)
P3. Reducir \(\log_8(120) - \log_8(5) - \log_8(3)\)
P4. Expandir y simplificar \(\log_3\left(\dfrac{81}{2}\right)\)
P5. Expandir y simplificar \(\log\left(\dfrac{2}{0{,}0001}\right)\)
P6. Determinar el valor aproximado de \(\log(6)\), sabiendo que \(\log(18) \approx 1{,}255\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\).
P7. Determinar el valor aproximado de \(\log(2)\), sabiendo que \(\log(8) \approx 0{,903}\) y \(\log(4) \approx 0{,602}\).
1. Cuando se restan logaritmos con la misma base, se puede aplicar la propiedad: \(\log_b(x) - \log_b(y) = \log_b\left(\dfrac{x}{y}\right)\)
2. Esta propiedad permite transformar una resta de logaritmos en un solo logaritmo del cociente de sus argumentos.
3. También puede aplicarse de forma inversa, descomponiendo el logaritmo de un cociente en una resta de logaritmos.
1. Aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia para simplificar expresiones logarítmicas.
2. Transformar potencias dentro de un logaritmo en un producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
Sean \(x \in \mathbb{R}^+\), \(n \in \mathbb{R}\) y \(b \in \mathbb{R}^+\) con \(b \ne 1\). El logaritmo de una potencia con base positiva se puede expresar como el producto del exponente por el logaritmo de la base:
\[\log_b\left(x^n\right) = n \cdot \log_b(x)\]
E1. Reducir \(\log_2\left(3^8\right)\)
\(\Rightarrow\ \log_2\left(3^8\right) = 8 \cdot \log_2(3)\)
E2. Reducir \(\log_3\left(m^{12}\right)\)
\(\Rightarrow\ \log_3\left(m^{12}\right) = 12 \cdot \log_3(m)\)
E3. Reducir \(5 \cdot \log_3(2) + 6 \cdot \log_3(2)\)
\(\Rightarrow\ 5 \cdot \log_3(2) + 6 \cdot \log_3(2) =log_3\left(2^5\right)+\log_3\left(2^6\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{5 \cdot \log_3(2) + 6 \cdot \log_3(2)} = log_3\left(2^5\cdot 2^6\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{5 \cdot \log_3(2) + 6 \cdot \log_3(2)} = log_3\left(2^{11}\right)\)
E4. Reducir \(4 \cdot \log_2(3) - 2 \cdot \log_2(3)\)
\(\Rightarrow\ 4 \cdot \log_2(3) - 2 \cdot \log_2(3) = \log_2\left(3^4\right) - \log_2\left(3^2\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{4 \cdot \log_2(3) - 2 \cdot \log_2(3)} = \log_2\left(\dfrac{3^4}{3^2}\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{4 \cdot \log_2(3) - 2 \cdot \log_2(3)} = \log_2\left(3^{2}\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{4 \cdot \log_2(3) - 2 \cdot \log_2(3)} = 2 \cdot \log_2(3)\)
E5. Si \(\log(5) = a\), ¿cuál es el valor de \(\log(5^3)\)?
\(\Rightarrow\ \log(5^3) = 3\cdot\log(5)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(5^3)} = 3\cdot a\)
E6. Si \(\log(7) \approx 0{,}845\), determinar el valor de \(\log(7^2)\).
\(\Rightarrow\ \log(7^2) = 2\cdot\log(7)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(7^2)} = 2\cdot 0{,}845\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(7^2)} = 1{,}690\)
E7. Si \(\log(12) \approx 1{,}079\), determinar el valor de \(\log(12^{10})\).
\(\Rightarrow\ \log(12^{10}) = 10\cdot\log(12)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(12^{10})} = 10\cdot 1{,}079\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log(12^{10})} = 10{,}79\)
I. Reducir las siguientes expresiones aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia.
| 1. \(\log_2\left(5^4\right)\) |
| 2. \(\log_7\left(x^{10}\right)\) |
| 3. \(\log_3\left(\dfrac{a^6}{b^2}\right)\) |
| 4. \(3 \cdot \log_4(2) + 2 \cdot \log_4(2)\) |
| 5. \(5 \cdot \log_m(3) - 2 \cdot \log_m(3)\) |
| 6. \(\log_5\left(2^7\right)\) |
| 7. \(\log\left(\dfrac{9^5}{3^2}\right)\) |
| 8. \(4 \cdot \log_6(7) - 2 \cdot \log_6(7)\) |
| 9. \(\log_p\left(y^8\right)\) |
| 10. \(\log\left(\dfrac{5^6}{2^3}\right)\) |
| 11. Si \(\log(5) \approx 0{,}699\), determinar el valor de \(\log(5^3)\). |
| 12. Si \(\log(8) \approx 0{,}903\), determinar el valor de \(\log(8^2)\). |
| 13. Si \(\log(11) \approx 1{,}041\), determinar el valor de \(\log(11^4)\). |
| 14. Si \(\log(0{,}2) \approx -0{,}699\), determinar el valor de \(\log(0{,}2^5)\). |
| 15. Si \(\log(0{,}2) \approx 0{,}301\), determinar el valor de \(\log(64)\). |
P1. Reducir \(\log_2\left(8^3\right)\)
P2. Reducir \(\log_3\left(x^{12}\right)\)
P3. Reducir \(3\cdot\log_2(5) + 2\cdot\log_2(5)\)
P4. Reducir \(5\cdot\log_4(2) - 3\cdot\log_4(2)\)
P5. Reducir \(6\cdot\log_3(7) + 2\cdot\log_3(7)\)
P6. Si \(\log(0{,}3) \approx -0{,}523\), ¿cuál es el valor aproximado de \(\log(0{,}3^4)\)?
P7. Si \(\log(12) \approx 1{,}079\), ¿cuál es el valor aproximado de \(\log(12^3)\)?
1. Cuando el argumento de un logaritmo está elevado a una potencia, se puede aplicar la propiedad: \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)-
2. Esta propiedad permite transformar un logaritmo de una potencia en el producto del exponente por el logaritmo de la base.
3. También puede aplicarse de forma inversa, escribiendo un producto de un número por un logaritmo como el logaritmo de una potencia.
1. Aplicar la fórmula del cambio de base para expresar logaritmos en términos de logaritmos de otra base.
2. Simplificar logaritmos utilizando bases convenientes como 10 o \(e\).
Sean \(a, b \in \mathbb{R}^+\) y \(c \in \mathbb{R}^+\) con \(a, b, c \ne 1\). La fórmula de cambio de base establece que:
\[\log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)}\]
E1. Expresar \(\log_2(7)\) en función de logaritmos base \(10\).
\(\Rightarrow\ \log_2(7) = \dfrac{\log(7)}{\log(2)}\)
E2. Expresar \(\log_5(12)\) en función de logaritmos base \(10\).
\(\Rightarrow\ \log_5(12) = \dfrac{\log(12)}{\log(5)}\)
E3. Expresar \(\log_8(3)\) en función de logaritmos base \(2\).
\(\Rightarrow\ \log_8(3) = \dfrac{\log_2(3)}{\log_2(8)}\)
E4. Si \(\log(5) \approx 0{,}699\) y \(\log(7) \approx 0{,}845\), calcular el valor aproximado de \(\log_7(5)\).
\(\Rightarrow\ \log_7(5) = \dfrac{\log(5)}{\log(7)}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_7(5)} \approx \dfrac{0{,}699}{0{,}845}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_7(5)} \approx 0{,}827\)
E5. Si \(\log(2) \approx 0{,}301\) y \(\log(5) \approx 0{,}699\), calcular el valor aproximado de \(\log_5(2)\).
\(\Rightarrow\ \log_5(2) = \dfrac{\log(2)}{\log(5)}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_5(2)} \approx \dfrac{0{,}301}{0{,}699}\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\log_5(2)} \approx 0{,}431\)
I. Aplicar la fórmula de cambio de base para expresar o calcular los siguientes logaritmos.
| 1. Expresar \(\log_3(5)\) en función de logaritmos base \(10\). |
| 2. Expresar \(\log_6(11)\) en función de logaritmos base \(10\). |
| 3. Expresar \(\log_2(9)\) en función de logaritmos base \(10\). |
| 4. Expresar \(\log_4(7)\) en función de logaritmos base \(2\). |
| 5. Expresar \(\log_5(3)\) en función de logaritmos naturales. |
| 6. Si \(\log(5) \approx 0{,}699\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\), calcular \(\log_3(5)\). |
| 7. Si \(\log(2) \approx 0{,}301\) y \(\log(7) \approx 0{,}845\), calcular \(\log_7(2)\). |
| 8. Si \(\log(12) \approx 1{,}079\) y \(\log(5) \approx 0{,}699\), calcular \(\log_5(12)\). |
| 9. Si \(\log(4) \approx 0{,}602\) y \(\log(8) \approx 0{,}903\), calcular \(\log_4(8)\). |
| 10. Si \(\log(0{,}2) \approx -0{,}699\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\), calcular \(\log_3(0{,}2)\). |
P1. Expresar \(\log_3(7)\) en función de logaritmos base \(10\).
P2. Expresar \(\log_2(5)\) en función de logaritmos comunes (base \(10\)).
P3. Si \(\log(5) \approx 0{,}699\) y \(\log(3) \approx 0{,}477\), ¿cuál es el valor aproximado de \(\log_3(5)\)?
P4. Si \(\log(2) \approx 0{,}301\) y \(\log(8) \approx 0{,}903\), ¿cuál es el valor aproximado de \(\log_8(2)\)?
1. La fórmula de cambio de base permite expresar un logaritmo en función de logaritmos de otra base.
2. Para cualquier número positivo \(a\) y base \(b\), con \(b \ne 1\), se cumple que: \(\log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)}\), donde \(c\) puede ser cualquier base positiva distinta de \(1\) (por ejemplo, \(10\)).
3. Se usa frecuentemente el cambio de base para calcular logaritmos utilizando una calculadora, trabajando con logaritmos comunes (\(\log\)) de base \(10\).
1. Reconocer el logaritmo natural como el logaritmo en base \(e\).
El logaritmo natural es el logaritmo que tiene como base el número irracional \(e \approx 2{,}71828\).
Se representa por:
\[\ln(x) = \log_e(x)\]
donde \(x > 0\).
Observación: El logaritmo natural es muy utilizado en ciencias naturales, ingeniería y economía, por su estrecha relación con fenómenos de crecimiento y decaimiento exponencial.
E1. Calcular \(\ln(e^5)\)
\(\Rightarrow\ \ln(e^5) = 5 \cdot \ln(e)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\ln(e^5)} = 5 \cdot 1\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\ln(e^5)} = 5\)
E2. Simplificar \(\ln(6) - \ln(2)\)
\(\Rightarrow\ \ln(6) - \ln(2) = \ln\left(\dfrac{6}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\ln(6) - \ln(2)} = \ln(3)\)
E3. Expandir \(\ln(12)\)
\(\Rightarrow\ \ln(12) = \ln(3 \cdot 4)\)
\(\Rightarrow\ \phantom{\ln(12)} = \ln(3) + \ln(4)\)
I. Aplicar las propiedades de los logaritmos naturales para simplificar o calcular las siguientes expresiones.
| 1. \(\ln(3) + \ln(5)\) |
| 2. \(\ln(12) - \ln(4)\) |
| 3. \(2\ln(7)\) |
| 4. \(\ln(3^4)\) |
| 5. \(\ln\left(\dfrac{8}{5}\right)\) |
| 6. \(\ln(2x) - \ln(x)\) |
| 7. \(\ln(e^5)\) |
| 8. \(\ln\left(\dfrac{1}{e^3}\right)\) |
| 9. \(3\ln(a) - \ln(a^2)\) |
| 10. Si \(\ln(2) \approx 0{,}693\), calcular el valor aproximado de \(\ln(32)\) |
P1. ¿Cuál es el valor de \(\ln\left(e^{-2}\right)\)?
P2. ¿Qué propiedad permite simplificar \(2\ln(5)\)?
P3. ¿Cómo se puede simplificar \(\ln(8) - \ln(2)\)?
P4. Si \(\ln(3) \approx 1{,}099\), ¿cuál es el valor aproximado de \(\ln(9)\)?
1. El logaritmo natural \(\ln(x)\) es el logaritmo en base \(e\), donde \(e\) es el número irracional \(e \approx 2{,}71828\).
2. \(\ln(1) = 0\) y \(\ln(e) = 1\).
3. Cumple las mismas propiedades generales que los logaritmos en otras bases: suma, resta y potencias.
Aplicar logaritmos, en particular el logaritmo natural, para interpretar y resolver situaciones de la vida cotidiana relacionadas con fenómenos como terremotos, crecimiento poblacional, interés compuesto, pH y desintegración radiactiva.
E1. Un terremoto registró una magnitud de \(7{,}2\) en la escala de Richter. ¿Cuántas veces mayor fue su amplitud respecto a otro de magnitud \(5{,}2\)?
1) La escala de Richter es logarítmica y compara la amplitud de dos sismos mediante la fórmula:
\[ M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right) \]
donde:
2) Reemplazamos los valores dados: \(M_1 = 7{,}2\), \(M_2 = 5{,}2\)
\(\Rightarrow\ M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)\)
\(\Rightarrow\ 7{,}2 - 5{,}2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)\)
\(\Rightarrow\ 2{,}0 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)\)
3) Pasamos a forma exponencial:
\(\Rightarrow\ \dfrac{A_1}{A_2} = 10^2\)
\(\Rightarrow\ \dfrac{A_1}{A_2} = 100\)
4) Por lo tanto, la amplitud del terremoto de magnitud \(7{,}2\) fue 100 veces mayor que la del terremoto de magnitud \(5{,}2\).
E2. Una disolución tiene una concentración de iones hidrógeno de \([H^+] = 1 \cdot 10^{-4}\) mol/L. ¿Cuál es su valor de pH? ¿Y cuánto mayor es la acidez respecto a una disolución con pH = \(6\)?
1) La fórmula del pH es:
\[ \text{pH} = -\log [H^+] \]
donde \([H^+]\) es la concentración de iones hidrógeno en mol/L.
2) Reemplazamos:
\(\Rightarrow\ \text{pH} = -\log(1 \cdot 10^{-4})\)
\(\Rightarrow\ \text{pH} = -(\log(1) + \log(10^{-4}))\)
\(\Rightarrow\ \text{pH} = -(0 + (-4)) = 4\)
3) Para comparar con una disolución de pH \(6\), usamos:
\(\text{Diferencia} = pH_2 - pH_1 = 6 - 4 = 2\)
\(\Rightarrow\ \dfrac{[H^+]_1}{[H^+]_2} = 10^2 = 100\)
4) Por lo tanto, la disolución con pH \(4\) es 100 veces más ácida que la de pH \(6\).
E3. La población de una ciudad crece de forma exponencial y se modela con la fórmula:
\[P(t) = P_0 \cdot e^{kt}\]
donde \(P_0 = 80.000\) habitantes al año 2000, y en el año 2020 la población es de \(P(20) = 160.000\). ¿Cuál es la tasa de crecimiento \(k\)?
1) Usamos el modelo:
\(P(t) = P_0 \cdot e^{kt}\)
Reemplazamos con los datos:
\(\Rightarrow\ P(20) = 160.000\), \(P_0 = 80.000\)
\(\Rightarrow\ 160.000 = 80.000 \cdot e^{20k}\)
2) Despejamos \(k\):
\(\Rightarrow\ \dfrac{160.000}{80.000} = e^{20k}\)
\(\Rightarrow\ 2 = e^{20k}\)
\(\Rightarrow\ \ln(2) = 20k\)
\(\Rightarrow\ k = \dfrac{\ln(2)}{20}\)
\(\Rightarrow\ k \approx \dfrac{0{,}693}{20} \approx 0{,}03465\)
3) La tasa de crecimiento poblacional es aproximadamente \(k \approx 0{,}0347\), es decir, 3,47% anual.
I. Resolver las siguientes operaciones combinadas aplicando las propiedades de logaritmos.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A continuación se presenta un listado de potencias habitualmente utilizadas, distribuidas por base:
| Base \(2\) | Base \(3\) | Base \(5\) | Otras bases |
|---|---|---|---|
| \(4 = 2^2\) | \(9 = 3^2\) | \(25 = 5^2\) | \(49 = 7^2\) |
| \(8 = 2^3\) | \(27 = 3^3\) | \(125 = 5^3\) | \(343 = 7^3\) |
| \(16 = 2^4\) | \(81 = 3^4\) | \(625 = 5^4\) | \(121 = 11^2\) |
| \(32 = 2^5\) | \(243 = 3^5\) | \(144 = 12^2\) | |
| \(64 = 2^6\) | \(729 = 3^6\) | \(169 = 13^2\) | |
| \(128 = 2^7\) | \(196 = 14^2\) | ||
| \(256 = 2^8\) | |||
| \(512 = 2^9\) | |||
| \(1.024 = 2^{10}\) |
Transformación de cantidades en potencias de base \(10\)
Las potencias de base \(10\) permiten representar de forma abreviada tanto números grandes como pequeños. A continuación se explican los dos casos más frecuentes:
1. Números grandes como potencias de \(10\)
Cuando un número tiene uno seguido de varios ceros, se puede escribir como una potencia de \(10\), donde el exponente indica la cantidad de ceros.
Por lo tanto, si una cantidad tiene \(n\) ceros a la derecha del 1, se puede escribir como:
\(10^n\)
2. Números decimales como potencias negativas de \(10\)
Cuando un número decimal comienza con \(0,\) seguido de ceros y luego un \(1\), se puede expresar como una potencia negativa de \(10\). El exponente negativo indica la posición del dígito respecto al punto decimal.
En general, si el dígito \(1\) está en la \(n\)-ésima posición después de la coma, se puede escribir como:
\(10^{-n}\)