Asesoría para matemáticas 1, Parcial 2

1. Función Lineal

Enunciado:
Calcular el dominio de \(f(x) = 4x - 7\).

Dominio: ℝ (Recta continua en todo x)

• La recta existe para todo \(x \in \mathbb{R}\).

2. Función Radical

Enunciado:
Calcular el dominio de \(f(x) = \sqrt{3x - 6}\).

Dominio: x ≥ 2 (Gráfico comienza en x=2)

• El radicando debe ser \(\geq 0\).

3. Función con Cociente

Enunciado:
Calcular el dominio de \(f(x) = \frac{5}{x - 3}\).

Dominio: ℝ - {3} (Asíntota en x=3)

4. Función con Cociente y Raíz

Calcular el dominio de \(f(x) = \frac{2x + 1}{\sqrt{x - 4}}\).

Gráfica

1. Raíz cuadrada exige \(x - 4 > 0\) → \(x > 4\).
   
2. Denominador nunca es cero en este intervalo.

5.Gráfica y Dominio de una Función Lineal

\(f(x) = -3x + 4\), determinar su dominio y rango, y graficar

Calcular dos puntos:
- Punto 1: Cuando \(x = 0\):
\[ f(0) = -3(0) + 4 = 4 \quad \Rightarrow \quad (0, 4) \]
- Punto 2: Cuando \(x = 2\):
\[ f(2) = -3(2) + 4 -6 + 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad (2, -2) \]

Dominio y Rango:
- Dominio (\(D_f\)): Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)).
- Rango (\(R_f\)): Todos los números reales (\(\mathbb{R}\)).

Gráfica:

6. Recta Perpendicular

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto \((-1, 4)\) y es perpendicular a la recta \(y = \frac{3}{5}x - 2\).

La recta \(y = \frac{3}{5}x - 2\) tiene pendiente \(m_1 = \frac{3}{5}\).

La pendiente de una recta perpendicular (\(m_2\)) es el negativo del recíproco de \(m_1\):
\[ m_2 = -\frac{1}{m_1} -\frac{5}{3}. \]

Con el punto \((-1, 4)\) y \(m_2 = -\frac{5}{3}\), aplicamos:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 4 -\frac{5}{3}(x - (-1)). \]
Simplificando:
\[ y - 4 = -\frac{5}{3}(x + 1). \]

Convertir a la forma pendiente-intercepto (\(y = mx + b\)):
\[ y = -\frac{5}{3}x - \frac{5}{3} + 4 \implies y = -\frac{5}{3}x + \frac{7}{3}. \]

7. Conversión de Forma General a Ordinaria de una Parábola

Dada la ecuación general de la parábola:
\[ 2x^2 - 12x - 4y + 16 = 0 \]

Encontrar:
1. La ecuación en forma ordinaria.
2. Los valores de \(h\), \(k\) y \(a\).
3. Las coordenadas del vértice.
4. Dominio y rango.
5. Gráfica correspondiente.

Paso 1: Identificar coeficientes
Comparando con la forma general \(Ax^2 + Bx + Cy + D = 0\):
- \(A = 2\)
- \(B = -12\)
- \(C = -4\)
- \(D = 16\)

Paso 2: Calcular \(h\)
Fórmula del libro:
\[ h = -\frac{B}{2A} = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3 \]

Paso 3: Calcular \(k\)
Fórmula del libro:
\[ k = \frac{B^2}{4AC} - \frac{D}{C} = \frac{(-12)^2}{4 \times 2 \times (-4)} - \frac{16}{-4} \]
\[ \frac{144}{-32} + 4 -4.5 + 4 = -0.5 \]

Paso 4: Calcular \(a\)
Fórmula del libro:
\[ a = -\frac{A}{C} -\frac{2}{-4} = 0.5 \]

Paso 5: Escribir la forma ordinaria
\[ y - k = a(x - h)^2 \]
\[ y - (-0.5) = 0.5(x - 3)^2 \]
\[ y + 0.5 = 0.5(x - 3)^2 \]

Paso 6: Identificar vértice
\[ \text{Vértice} = (h, k) = (3, -0.5) \]

Dominio: \(\mathbb{R}\) (siempre para parábolas verticales)
Rango: Como \(a > 0\), abre hacia arriba → \([-0.5, \infty)\)

Paso 8: Gráfica

8. Ejercicio: Ecuación General de la Recta a partir de Dos Puntos

Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos \(A = (2, -1)\) y \(B = (5, 3)\). Graficar la recta e indicar su pendiente.

1. Calcular la pendiente (\(m\))
Fórmula:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Sustituyendo los puntos \(A = (2, -1)\) y \(B = (5, 3)\):
\[ m = \frac{3 - (-1)}{5 - 2} \frac{4}{3} \]

2. Usar la forma punto-pendiente
Ecuación:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
Con el punto \(A = (2, -1)\):
\[ y - (-1) = \frac{4}{3}(x - 2) \\ y + 1 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \]

3. Convertir a la forma general (\(Ax + By + C = 0\))
Multiplicar toda la ecuación por 3 para eliminar fracciones:
\[ 3(y + 1) = 4x - 8 \\ 3y + 3 = 4x - 8 \]
Ordenar términos:
\[ 4x - 3y - 11 = 0 \]
- Despejar \(y\):
\[ -3y = -4x + 11 \\ y = \frac{4}{3}x - \frac{11}{3} \]
Pendiente \(m = \frac{4}{3}\), corte en \(y = -\frac{11}{3}\).

4. Gráfica

9. Ejercicio: Composición de Funciones Lineales y Cuadráticas

Enunciado:
Dadas las funciones:
\[ f(x) = 3x - 2 \quad \text{y} \quad g(x) = x^2 + 4 \]
Calcular:
1. \((g \circ f)(x)\)
2. \((f \circ g)(x)\)
3. Dominio y rango de cada composición.

1. Composición \(g \circ f\) (g de f(x))
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x - 2) \]
Sustituimos \(f(x)\) en \(g\):
\[ g(3x - 2) = (3x - 2)^2 + 4 = 9x^2 - 12x + 4 + 4 = 9x^2 - 12x + 8 \]

Dominio y Rango:
Dominio de \(f\): \(\mathbb{R}\).
Salida de \(f\): \(\mathbb{R}\) (entrada válida para \(g\)).
Dominio de \(g \circ f\): \(\mathbb{R}\).
Rango de \(g \circ f\): Como es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en \(x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\):
\[ (g \circ f)\left(\frac{2}{3}\right) = 9\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 12\left(\frac{2}{3}\right) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4 \]
Rango: \([4, +\infty)\).

2. Composición \(f \circ g\) (f de g(x))
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 4) \]
Sustituimos \(g(x)\) en \(f\):
\[ f(x^2 + 4) = 3(x^2 + 4) - 2 = 3x^2 + 12 - 2 = 3x^2 + 10 \]

• Dominio de \(g\): \(\mathbb{R}\).
  
• Salida de \(g\): \([4, +\infty)\) (siempre \(\geq 4\)).
  
• Dominio de \(f \circ g\): \(\mathbb{R}\).
  
• Rango de \(f \circ g\): Como \(x^2 \geq 0\), \(3x^2 + 10 \geq 10\).
  Rango: \([10, +\infty)\).

10. Ejercicio: Función Valor Absoluto (función seccionada)

Enunciado:
Graficar la función valor absoluto \(f(x) = -2|x + 1| + 3\), determinar su dominio, rango, vértice y transformarla en una función seccionada.

11. Ejercicio: Inversa de una Función Lineal

Encontrar la función inversa de \(f(x) = \frac{5x - 2}{3}\). Indicar dominio y rango tanto de \(f\) como de \(f^{-1}\).

1. Paso 1: Partir de la función original
   \[ y = \frac{5x - 2}{3} \]

2. Paso 2: Despejar \(x\) en términos de \(y\)
   \[ \begin{align*} 3y &= 5x - 2 \quad \text{(Multiplicar ambos lados por 3)} \\ 5x &= 3y + 2 \quad \text{(Sumar 2 a ambos lados)} \\ x &= \frac{3y + 2}{5} \quad \text{(Dividir entre 5)} \end{align*} \]

3. Paso 3: Intercambiar \(x\) e \(y\) para obtener \(f^{-1}(x)\)
   \[ f^{-1}(x) = \frac{3x + 2}{5} \]

4. Paso 4: Determinar dominio y rango

   • Para \(f(x)\):
     • Dominio (\(D_f\)): Todos los reales (\(\mathbb{R}\)).
       
     • Rango (\(R_f\)): Todos los reales (\(\mathbb{R}\)).
       
   • Para \(f^{-1}(x)\):
     • Dominio (\(D_{f^{-1}}\)): \(\mathbb{R}\) (igual que \(R_f\)).
       
     • Rango (\(R_{f^{-1}}\)): \(\mathbb{R}\) (igual que \(D_f\)).