Introducción

En regresión lineal, uno de los supuestos importantes es que los errores (residuos) deben seguir una distribución normal.

Esto es importante para que:

Los intervalos de confianza sean correctos.
Los tests de hipótesis (como los p-valores) sean válidos.

No afecta mucho a las predicciones si la muestra es grande, pero sí a las inferencias estadísticas.

¿Cómo verificar la normalidad?

Hay varias formas sencillas:

Histograma de los residuos: debería parecer una campana.
Gráfico Q-Q (Quantile-Quantile Plot): los puntos deberían seguir una línea recta.
Test de Shapiro-Wilk: prueba estadística formal.

Ejemplo práctico

Vamos a simular un conjunto de datos sencillo usado durante la clase: horas de sueño y promedio.

## New names:
## • `` -> `...3`
## • `` -> `...4`
## • `` -> `...5`
## • `` -> `...6`
## • `` -> `...7`

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.49931 -0.33520 -0.01725  0.24685  0.91864 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   0.9916     0.2031   4.881 2.30e-05 ***
## x             0.4179     0.0310  13.482 2.01e-15 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4062 on 35 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8385, Adjusted R-squared:  0.8339 
## F-statistic: 181.8 on 1 and 35 DF,  p-value: 2.015e-15

Min -0.49931

1Q -0.33520

Median -0.01725

3Q 0.24685

Max 0.91864

El residuo mediano es casi cero (-0.06144). No hay residuos excesivamente grandes ni desbalanceados (máximo y mínimo parecidos en magnitud).

Verificación gráfica de la normalidad

Histograma de los residuos

# Residuos
residuos <- modelo$residuals
hist(residuos, main = "Histograma de los residuos", xlab = "Residuos", col = "lightblue", breaks = 10)

Gráfico Q-Q

qqnorm(residuos)
qqline(residuos, col = "red")

Interpretación:
- Si los puntos del Q-Q plot caen cerca de la línea roja, los residuos son aproximadamente normales.

Prueba formal de normalidad: Shapiro-Wilk Test

shapiro.test(residuos)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos
## W = 0.92061, p-value = 0.0116

Interpretación del test:

Hipótesis nula (H0): los residuos siguen una distribución normal.
Si el p-valor > 0.05, no rechazamos H0 ⇒ podemos asumir normalidad.
Si el p-valor < 0.05, rechazamos H0 ⇒ los residuos no serían normales.

Conclusión

Si el histograma, el Q-Q plot y el Shapiro-Wilk test muestran normalidad, podemos confiar en los resultados de la regresión.
Si no, y la muestra es pequeña, podríamos necesitar transformar los datos o usar métodos robustos.

Normalidad de los errores en regresión lineal

Explicación sencilla