Ecuación de la recta

1. Rectas en el plano cartesiano.

1.1. Objetivo(s).

🎯 Comprender el concepto de recta en el plano cartesiano y su representación mediante una ecuación lineal.

1.2. Definición.

📘 Una recta es una línea infinita que se extiende en ambas direcciones a partir de un punto de referencia, la cual es continua y sin curvaturas.

1.3. Definición.

📘 En el plano cartesiano, se denomina recta al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una relación lineal de la forma:

\[y = mx + b\]

donde:

• \(m \in \mathbb{R}\) representa la pendiente de la recta, la cual determina su inclinación respecto del eje horizontal.

• \(b \in \mathbb{R}\) es el coeficiente de posición sobre el eje \(y\), correspondiente al valor de \(y\) cuando \(x = 0\).

1.3.1. Ejemplo(s).

🔍 E1. Rectas con pendientes que varián desde \(-5\) a \(5\).

🔍 E2. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(y=3x-9\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(y=3x-9\)

(2) La pendiente es \(m=3\) y el coeficiente de posición es \(b=-9\).

🔍 E3. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(y=-\dfrac{x}{2}+4\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(y=-\dfrac{x}{2}+4\)

(2) La pendiente es \(m=-\dfrac{1}{2}\) y el coeficiente de posición es \(b=4\).

🔍 E4. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(4y=5x-1\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(4y=5x-1\)

\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}\)

(2) La pendiente es \(m=\dfrac{5}{4}\) y el coeficiente de posición es \(b=-\dfrac{1}{4}\).

🔍 E5. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(2(y+3)=5(x-4)\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(2(y+3)=5(x-4)\)

\(\Rightarrow\) \(2y+6 = 5x - 20\)

\(\Rightarrow\) \(2y = 5x - 20 - 6\)

\(\Rightarrow\) \(2y = 5x - 26\)

\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{5}{2}x - \dfrac{26}{2}\)

\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{5}{2}x - 13\)

(2) La pendiente es \(m=\dfrac{5}{2}\) y el coeficiente de posición es \(b=-13\).

🔍 E6. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(\dfrac{2y - 1}{3} = x + 4\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2y - 1}{3} = x + 4\)

\(\Rightarrow\) \(2y - 1 = 3(x + 4)\)

\(\Rightarrow\) \(2y - 1 = 3x + 12\)

\(\Rightarrow\) \(2y = 3x + 12 + 1\)

\(\Rightarrow\) \(2y = 3x + 13\)

\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{13}{2}\)

(2) La pendiente es \(m=\dfrac{3}{2}\) y el coeficiente de posición es \(b=\dfrac{13}{2}\).

🔍 E7. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(\dfrac{2y - 3}{5} = \dfrac{3x + 1}{2}\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2y - 3}{5} = \dfrac{3x + 1}{2}\)

\(\Rightarrow\) \(2(2y - 3) = 5(3x + 1)\)

\(\Rightarrow\) \(4y - 6 = 15x + 5\)

\(\Rightarrow\) \(4y = 15x + 5 + 6\)

\(\Rightarrow\) \(4y = 15x + 11\)

\(\Rightarrow\) \(y = \dfrac{15}{4}x + \dfrac{11}{4}\)

(2) La pendiente es \(m=\dfrac{15}{4}\) y el coeficiente de posición es \(b=\dfrac{11}{4}\).

🔍 E8. Determinar el punto de intersección de la recta \(y = 5x - 8\) con el eje \(y\).

Respuesta

(1) Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(y = 5x-8\)

(2) Luego, el coeficiente de posición es \(b=-8\).

(3) Por tanto, el punto de intersección con el eje \(y\) es \((0,\ -8)\).

1.3.2. Práctica.

✏️ I. Determinar la pendiente y el coeficiente de posición en cada caso.

Ver ejercicios.

1. \(y = 2x - 5\)

2. \(y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{7}{2}\)

3. \(3y = 6x\)

4. \(-\dfrac{1}{2}y + x = 4\)

5. \(5x - 2y = 8\)

6. \(\dfrac{1}{3}y + 2 = x\)

7. \(3(y - 4) = 5(x - 3)\)

8. \(2(y + 1) = -4(x - 2)\)

9. \(\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y - 6}{2}\)

10. \(\dfrac{y + 2}{5} = \dfrac{x - 1}{4}\)

1.3.3. Evaluación.

❓ P1. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(y = -3x + 5\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(5\)
B) \(-3\)
C) \(3\)
D) \(-5\)

Revisar

❓ P2. ¿Cuál es el coeficiente de posición de la recta \(4y = 18x - 4\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(-4\)
B) \(-1/4\)
C) \(-1\)
D) \(4\)

Revisar

❓ P3. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(3(y - 2) = 5(x - 6)\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(3/5\)
B) \(5/3\)
C) \(5\)
D) \(-2\)

Revisar

❓ P4. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{y - 3}{x + 4}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(3/2\)
B) \(-3/2\)
C) \(2/3\)
D) \(-2/3\)

Revisar

❓ P5. ¿Cuál es el coeficiente de posición de la recta \(\dfrac{x + 4}{6} = \dfrac{y - 7}{2}\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(-7\)
B) \(3\)
C) \(-1/3\)
D) \(25/3\)

Revisar

❓ P6. ¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = 2x - 3\) con el eje \(y\)?

Seleccionar respuesta.

A) \((0,\ 3)\)
B) \((0,\ -3)\)
C) \((3,\ 0)\)
D) \((-3,\ 0)\)

Revisar

❓ P7. ¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(3(y - 3) = 2(x - 1)\) con el eje \(y\)?

Seleccionar respuesta.

A) \((0,\ 7)\)
B) \((0,\ 5)\)
C) \((7/3,\ 0)\)
D) \((0,\ 7/3)\)

Revisar

1.4. Propiedad.

📐 Según el valor de la pendiente, una recta puede adoptar una orientación particular en el plano cartesiano. Existen dos casos especiales:

• Pendiente cero: si \(m = 0\), la recta es horizontal y su ecuación es de la forma \(y = b\). La variable \(y\) permanece constante para cualquier valor de \(x\).
• Pendiente infinita: si la recta es vertical, no se puede expresar con una ecuación de la forma \(y = mx + b\). Su ecuación es de la forma \(x = a\) y se considera que su pendiente es indefinida o infinita.

1.4.1. Ejemplo(s)

🔍 E1. Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(y = 5\).

Respuesta

(1) Identificar la forma de la ecuación.

\(\Rightarrow\) \(y = 5\) representa a una recta horizontal.

(2) La pendiente es \(m=0\) (recta horizontal) y el coeficiente de posición es \(b=5\).

🔍 E2. Determinar la pendiente de la recta \(x = -2\).

Respuesta

(1) Identificar la forma de la ecuación.

\(\Rightarrow\) \(x = -2\)

(2) La pendiente es infinita, ya que representa una recta vertical que no se puede expresar como \(y = mx + b\).

🔍 E3. Un avión vuela a una altitud constante de \(7.000\) metros durante un tramo de su viaje. Determinar la pendiente y el coeficiente de posición de la recta que representa esta situación.

Respuesta

(1) Representar la situación con una ecuación.

\(\Rightarrow\) \(y = 7000\)

(2) La pendiente es \(m = 0\) (recta horizontal), y el coeficiente de posición es \(b = 7000\).

1.4.2. Práctica.

✏️ I. Determinar si la pendiente es cero o infinita en cada caso.

Ver ejercicios.

1. \(y = 4\)

2. \(x = -2\)

3. \(y = -7\)

4. \(x = 0\)

5. \(y = \dfrac{5}{3}\)

6. \(x = 3\)

7. \(y = -1\)

8. \(x = 10\)

1.4.3. Evaluación.

❓ P1. Un gráfico muestra la ecuación \(x = -3\). ¿Qué tipo de pendiente representa esta recta?

Seleccionar respuesta.

A) Pendiente nula
B) Pendiente infinita
C) Pendiente igual a \(-3\)
D) No tiene pendiente

Revisar

❓ P2. La recta está dada por la ecuación \(3(y - 4) = 0\). ¿Cuál es su pendiente?

Seleccionar respuesta.

A) \(0\)
B) \(3\)
C) Infinita
D) No se puede determinar

Revisar

❓ P3. ¿Qué pendiente tiene la recta definida por \(\dfrac{y - 2}{4} = 0\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(4\)
B) Infinita
C) \(0\)
D) \(2\)

Revisar

❓ P4. ¿Qué tipo de recta representa la ecuación \(5(x - 1) = 0\)?

Seleccionar respuesta.

A) Recta horizontal con \(m = 0\)
B) Recta vertical con pendiente infinita
C) Recta diagonal con \(m = 5\)
D) Recta vertical con pendiente \(5\)

Revisar

❓ P5. ¿Cuál es la pendiente de la recta \(y = 0\)?

Seleccionar respuesta.

A) \(1\)
B) \(0\)
C) Infinita
D) No se puede determinar

Revisar

1.5. Síntesis.

🧠 S1. La ecuación de la recta permite representar todas las rectas del plano cartesiano mediante la expresión \(y = mx + b\), donde:

• La pendiente \(m\) indica la inclinación de la recta; si es positiva, la recta sube, y si es negativa, baja.
• El coeficiente de posición \(b\) indica el punto donde la recta corta al eje \(y\).

🧠 S2. Existen dos casos especiales según el valor de la pendiente:

• Pendiente cero: si \(m = 0\), la recta es horizontal, y su ecuación es de la forma \(y = b\).
• Pendiente infinita: si la recta es vertical, su ecuación es de la forma \(x = a\), y su pendiente es indefinida.

2. Gráfica de rectas.

2.1. Objetivo(s).

🎯 Representar gráficamente rectas en el plano cartesiano a partir de sus ecuaciones lineales y reconocer sus características a partir de la pendiente y el coeficiente de posición.

2.2. Definición.

📘 La gráfica de una recta en el plano cartesiano es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal. En términos de conjunto, se puede expresar como:

\[ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = mx + b\right\} \]

donde \(m\) representa la pendiente de la recta y \(b\) el coeficiente de posición sobre el eje \(y\).

2.3. Propiedad.

📐 Para graficar una recta de la forma \(y = mx + b\) en el plano cartesiano, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Ubicar el punto de inicio: identifica el valor del coeficiente de posición \(b\) y grafícalo como el punto \((0, b)\) sobre el eje \(y\).

2. Aplicar la pendiente: desde ese punto, avanza una unidad a la derecha y luego sube o baja según indique el valor de la pendiente \(m\).

3. Determinar un segundo punto: marca la posición resultante del paso anterior. Ese será el segundo punto de la recta.

4. Trazar la recta: une los dos puntos con una línea recta extendida en ambas direcciones. Esa es la gráfica buscada.

2.3.1. Ejemplo(s).

🔍 E1. Gráfica de la recta \(y=3x-2\)

🔍 E2. Gráfica de la recta \(y=-6x+4\)