Una proposición es una expresión o enunciado que puede ser calificado, de manera objetiva y sin ambigüedades, como verdadero o falso, pero no ambas a la vez.
E.1. Determinar si la siguiente expresión es una proposición:
“La capital de Francia es París.”
Es una proposición, ya que se puede afirmar que es verdadera.
E.2. Determinar si la expresión “¿Tienes hambre?” es una proposición.
No es una proposición, ya que es una pregunta y no puede ser calificada como verdadera o falsa.
E.3. Clasificar la expresión “\(5 + 2 = 10\)” como proposición o no.
Es una proposición falsa, ya que su valor de verdad está definido.
E.4. Analizar si la expresión “Si llueve, entonces la calle se moja” es una proposición.
Sí, es una proposición compuesta del tipo condicional. Tiene valor de verdad y puede ser evaluada como verdadera o falsa dependiendo de la relación entre sus componentes.
E.5. Determinar si la siguiente expresión es una proposición:
“Los números primos son infinitos.”
Sí, es una proposición. Aunque requiere conocimientos matemáticos avanzados para verificar su veracidad, sigue siendo un enunciado con valor de verdad (en este caso, verdadero).
La conjunción es un operador lógico que une dos proposiciones mediante la palabra “y”. La proposición resultante es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas al mismo tiempo.
El operador conjunción se representa con el símbolo \(\wedge\).
Si \(p\) y \(q\) son proposiciones, entonces su conjunción se denota como:
\[ p \wedge q \]
y su valor de verdad se obtiene según la siguiente tabla:
| \(p\) | \(q\) | \(p \wedge q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
E.1. Sean las proposiciones:
\(p\): “El número 8 es par”
\(q\): “El número 5 es impar”
Escribir la proposición compuesta \(p \wedge q\) en lenguaje natural e indicar su valor de verdad.
La conjunción \(p \wedge q\) se expresa como: “El número 8 es par y el número 5 es impar”.
Ambas proposiciones son verdaderas, por lo tanto, la conjunción también es verdadera.
E.2. Sean las proposiciones:
\(p\): “La capital de Francia es París”
\(q\): “La capital de Alemania es Florida”
Escribir la proposición compuesta \(p \wedge q\) en lenguaje natural e indicar su valor de verdad.
La conjunción \(p \wedge q\) se expresa como: “La capital de Francia es París y la capital de Alemania es Florida”.
La proposición \(p\) es verdadera, pero \(q\) es falsa. Por lo tanto, la conjunción es falsa.
La disyunción es un operador lógico que une dos proposiciones mediante la palabra “o”. La proposición resultante es verdadera si al menos una de las proposiciones es verdadera.
El operador disyunción se representa con el símbolo \(\vee\).
Si \(p\) y \(q\) son proposiciones, entonces su disyunción se denota como:
\[ p \vee q \]
y su valor de verdad se obtiene según la siguiente tabla:
| \(p\) | \(q\) | \(p \vee q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
E.1. Sean las proposiciones:
\(p\): “El número 10 es mayor que 5”
\(q\): “El número 3 es par”
Escribir la proposición compuesta \(p \vee q\) en lenguaje natural e indicar su valor de verdad.
La disyunción \(p \vee q\) se expresa como: “El número 10 es mayor que 5 o el número 3 es par”.
La proposición \(p\) es verdadera y \(q\) es falsa, por lo tanto, la disyunción es verdadera.
E.2. Sean las proposiciones:
\(p\): “5 es mayor que 10”
\(q\): “2 es un número impar”
Escribir la proposición compuesta \(p \vee q\) en lenguaje natural e indicar su valor de verdad.
La disyunción \(p \vee q\) se expresa como: “5 es mayor que 10 o 2 es un número impar”.
Ambas proposiciones son falsas, por lo tanto, la disyunción es falsa.
El condicional es un operador lógico que establece una relación de implicación entre dos proposiciones, utilizando la expresión “si… entonces…”.
Se representa con el símbolo \(\rightarrow\).
Si \(p\) y \(q\) son proposiciones, entonces su condicional se denota como:
\[ p \rightarrow q \]
y su valor de verdad se interpreta como: “si \(p\) es verdadera, entonces \(q\) también debe serlo para que toda la proposición sea verdadera”. El condicional solo es falso cuando \(p\) es verdadera y \(q\) es falsa.
| \(p\) | \(q\) | \(p \rightarrow q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
El bicondicional es un operador lógico que se utiliza para establecer una relación de equivalencia lógica entre dos proposiciones. Se interpreta como “\(p\) si y solo si \(q\)”.
Se representa con el símbolo \(\leftrightarrow\).
Si \(p\) y \(q\) son proposiciones, entonces su
bicondicional se denota como:
\[ p \leftrightarrow q \]
y su valor de verdad es verdadero cuando \(p\) y \(q\) tienen el mismo valor de verdad (ambas verdaderas o ambas falsas).
| \(p\) | \(q\) | \(p \leftrightarrow q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
La negación es un operador lógico que transforma el valor de verdad de una proposición. Si una proposición es verdadera, su negación será falsa; y si es falsa, su negación será verdadera.
Se representa mediante el símbolo ¬ o mediante la palabra “no”.
La negación cumple ciertas propiedades lógicas que permiten transformar y simplificar proposiciones. A continuación se presentan las más importantes:
E.1. Analizar la tabla de verdad de la proposición compuesta: \((p \vee q) \wedge p\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \vee q\) | \((p \vee q) \wedge p\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | V | F |
| F | F | F | F |
E.2. Analizar la tabla de verdad de la proposición compuesta: \(\neg(p \rightarrow q)\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \rightarrow q\) | \(\neg(p \rightarrow q)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | F |
| V | F | F | V |
| F | V | V | F |
| F | F | V | F |
La proposición \(\neg(p \rightarrow
q)\) es verdadera únicamente cuando \(p\) es verdadera y \(q\) es falsa.
E.3. Analizar la tabla de verdad de la proposición compuesta: \(\neg(p \wedge q) \rightarrow q\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \wedge q\) | \(\neg(p \wedge q)\) | \(\neg(p \wedge q) \rightarrow q\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | F | V | V |
| F | F | F | V | F |
La proposición \(\neg(p \wedge q)
\rightarrow q\) solo es falsa cuando \(\neg(p \wedge q)\) es verdadera y \(q\) es falsa.
E.4. Analizar la tabla de verdad de la proposición compuesta: \((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow p\)
| \(p\) | \(q\) | \(\neg q\) | \(p \leftrightarrow \neg q\) | \((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow p\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V |
| V | F | V | V | V |
| F | V | F | V | F |
| F | F | V | F | V |
E.5. Analizar la tabla de verdad de la proposición compuesta: \((p \wedge q) \rightarrow \neg r\)
| \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(p \wedge q\) | \(\neg r\) | \((p \wedge q) \rightarrow \neg r\) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F | F |
| V | V | F | V | V | V |
| V | F | V | F | F | V |
| V | F | F | F | V | V |
| F | V | V | F | F | V |
| F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | F | F | V |
| F | F | F | F | V | V |
Un conjunto es una colección bien definida de elementos u objetos, los cuales pueden distinguirse con claridad y pertenecer o no al conjunto. Cada uno de estos objetos se denomina elemento del conjunto.
E.1. Determinar si los números \(4\) y \(5\) pertenecen al conjunto \(A\), definido como \(A = \left\{2, 4, 6, 8\right\}\).
El número \(4\) pertenece al conjunto \(A\), es decir, \(4 \in A\).
El número \(5\) no pertenece al conjunto \(A\), es decir, \(5 \notin A\).
E.2. Determinar si los números \(3\) y \(6\) pertenecen al conjunto \(B\), definido como \(B = \left\{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\right\}\).
El número \(3\) pertenece al conjunto \(B\), es decir, \(3 \in B\).
El número \(6\) no pertenece al conjunto \(B\), es decir, \(6 \notin B\).
La unión de dos conjuntos \(A\) y \(B\), denotada por \(A \cup B\), es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto \(A\), al conjunto \(B\) o a ambos.
E.1. Sean los conjuntos \(A = \left\{1, 2, 3\right\}\) y \(B = \left\{3, 4, 5\right\}\). Determinar \(A \cup B\).
La unión de los conjuntos incluye todos los elementos de \(A\) y de \(B\), sin repetir:
\[A \cup B = \left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}\]
E.2. Sean los conjuntos \(C = \left\{a, b, c, f, g\right\}\) y \(D = \left\{c, d, e, f, h\right\}\). Determinar \(C \cup D\).
La unión contiene todos los elementos de ambos conjuntos sin duplicados:
\[C \cup D = \left\{a, b, c, d, e, f, g, h\right\}\]
La intersección de dos conjuntos \(A\) y \(B\), denotada por \(A \cap B\), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la vez al conjunto \(A\) y al conjunto \(B\).
E.1. Sean los conjuntos \(A = \left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}\) y \(B = \left\{3, 4, 5, 6, 7\right\}\). Determinar \(A \cap B\).
La intersección está formada por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos:
\[A \cap B = \left\{3, 4, 5\right\}\]
E.2. Sean los conjuntos \(C = \left\{a, b, c, d, e\right\}\) y \(D = \left\{c, d, f, g\right\}\). Determinar \(C \cap D\).
La intersección contiene los elementos comunes a ambos conjuntos:
\[C \cap D = \left\{c, d\right\}\]
La diferencia de dos conjuntos \(A\) y \(B\), denotada por \(A - B\), es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a \(A\) pero no a \(B\).
E.1. Sean los conjuntos \(A = \left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}\) y \(B = \left\{3, 4, 6\right\}\). Determinar \(A - B\).
La diferencia \(A - B\) contiene los elementos que están en \(A\) pero no en \(B\):
\[A - B = \left\{1, 2, 5\right\}\]
E.2. Sean los conjuntos \(C = \left\{a, b, c, d, f, g, h\right\}\) y \(D = \left\{b, d, e, f, i\right\}\). Determinar \(C - D\).
La diferencia \(C - D\) contiene los elementos que están en \(C\) pero no en \(D\):
\[C - D = \left\{a, c, g, h\right\}\]
El complemento de un conjunto \(A\), denotado por \(A^c\) o \(\overline{A}\), es el conjunto formado por
todos los elementos del universo \(U\) que no pertenecen al
conjunto \(A\).
Es decir:
\[A^c = \left\{x \in U \mid x \notin A\right\}\]
E.1. Sea el universo \(U = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\right\}\) y el conjunto \(A = \left\{2, 4, 6, 8\right\}\). Determinar el complemento de \(A\), es decir, \(A^c\).
El complemento de \(A\) está formado por los elementos de \(U\) que no pertenecen a \(A\):
\[A^c = \left\{1, 3, 5, 7\right\}\]
E.2. Sea el universo \(U = \left\{a, b, c, d, e, f, g\right\}\) y el conjunto \(B = \left\{b, d, f\right\}\). Determinar el complemento de \(B\), es decir, \(B^c\).
El complemento de \(B\) está formado por los elementos de \(U\) que no pertenecen a \(B\):
\[B^c = \left\{a, c, e, g\right\}\]
E.1. Sean los conjuntos \(A = \left\{1, 2, 3\right\}\), \(B = \left\{3, 4, 5\right\}\) y \(C = \left\{2, 3, 5, 6\right\}\).
Determinar \(\left(A \cup B\right) \cap
C\).
Primero, se calcula la unión:
\[A \cup B = \left\{1, 2, 3, 4, 5\right\}\]
Luego, se halla la intersección con \(C\):
\[(A \cup B) \cap C = \left\{2, 3, 5\right\}\]