1. Introducción

En el ámbito de la salud pública, es fundamental evaluar si los parámetros metabólicos de una población específica difieren de los valores de referencia establecidos. Este informe presenta un análisis estadístico multivariado sobre tres variables clínicas clave en una muestra de 130 pacientes, comparándolas con estándares poblacionales.

2. Contexto Clínico-Epidemiológico

Variables de Estudio

  • Glucosa en ayunas (mg/dL)
    • Normal: <100 mg/dL
    • Prediabetes: 100–125 mg/dL
    • Diabetes: ≥126 mg/dL
  • Presión arterial sistólica (mmHg)
    • Normal: <120 mmHg
    • Elevada: 120–129 mmHg
    • Hipertensión: ≥130 mmHg
  • Índice de Masa Corporal (kg/m²)
    • Normal: 18.5–24.9
    • Sobrepeso: 25–29.9
    • Obesidad: ≥30

Importancia Clínica: La combinación de estas variables permite identificar riesgos de síndrome metabólico, probabilidad de desarrollar diabetes tipo 2 y asociación con enfermedades cardiovasculares.

3. Conjuto de datos

Se muestra 10 primeras observaciones.

Glucosa_mg_dL Presion_Arterial_mmHg IMC_kg_m2
112 120 24
104 121 24
92 105 24
97 121 29
86 126 32
98 100 30
89 121 24
111 130 20
115 120 25
93 129 25
Media Muestral por Variable
Media_Muestral
Glucosa_mg_dL 99.8308
Presion_Arterial_mmHg 119.9769
IMC_kg_m2 25.3308
Matriz de Covarianzas Poblacional conocida (σ₀)
Glucosa Presion IMC
Glucosa 64.0 28.0 4.20
Presion 28.0 100.0 3.50
IMC 4.2 3.5 12.25

4. Resultados

4.1 Analisis Exploratorios

#> Descriptive Statistics  
#> datos  
#> N: 130  
#> 
#>                     Glucosa_mg_dL   IMC_kg_m2   Presion_Arterial_mmHg
#> ----------------- --------------- ----------- -----------------------
#>              Mean           99.83       25.33                  119.98
#>           Std.Dev            7.80        3.46                    8.88
#>               Min           82.00       17.00                   92.00
#>                Q1           94.00       23.00                  114.00
#>            Median           99.50       25.00                  121.00
#>                Q3          104.00       28.00                  126.00
#>               Max          120.00       34.00                  137.00
#>               MAD            8.15        2.97                    9.64
#>               IQR           10.00        5.00                   12.00
#>                CV            0.08        0.14                    0.07
#>          Skewness            0.24       -0.15                   -0.42
#>       SE.Skewness            0.21        0.21                    0.21
#>          Kurtosis           -0.37       -0.22                   -0.07
#>           N.Valid          130.00      130.00                  130.00
#>                 N          130.00      130.00                  130.00
#>         Pct.Valid          100.00      100.00                  100.00

4.2 Normalidad Multivariada

Supuesto: H0: La muestra proviene de una distribucion normal multivariada

normalidad <- mshapiro.test(t(datos))
print(normalidad)
#> 
#>  Shapiro-Wilk normality test
#> 
#> data:  Z
#> W = 0.9826, p-value = 0.09469

Interpretación: W = 0.9826, p‑valor = 0.0947. La muestra proviene de una distribucion normal trivariada.

mvn_result <- mvn(data = datos, mvnTest = "mardia", multivariatePlot = "qq")

4.3 Prueba \(Z^2\) para Vector de Medias con \(\Sigma\) Conocida

Hipótesis \[ H_0: \boldsymbol{\mu} =[100,120,25] \quad \text{vs} \quad H_1: \boldsymbol{\mu} \neq [100,120,25] \]

Estadístico \(Z^2\) (Generalización Multivariada de la Z) \[ Z^2 = n (\overline{\mathbf{X}} - \boldsymbol{\mu}_0)^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\overline{\mathbf{X}} - \boldsymbol{\mu}_0) \]

  • \(\overline{\mathbf{X}}\): Vector de medias muestral.
  • \(\boldsymbol{\mu}_0\): Vector hipotético bajo \(H_0\).
  • \(\boldsymbol{\Sigma}\): Matriz de varianza-covarianza conocida.

Distribución Bajo \(H_0\) \[ Z^2 \sim \chi^2_p \quad \text{(Chi-cuadrado con \( p \) grados de libertad)} \]

Regla de Decisión Rechazar \(H_0\) si: \[ Z^2 > \chi^2_{p, \alpha} \]

#> Estadístico Z²: 1.327085
#> Valor crítico (χ²): 7.814728
#> p-valor: 0.7227118
#> No se puede rechazar H0: no hay suficiente evidencia para decir que el vector de medias es diferente del vector de medias hipotético.
Resultados de la prueba Z²
Estadística p.valor
1.327085 0.7227118

Interpretación: Z² = 1.3271, p‑valor = 0.7227. No se rechaza H₀ (p > 0.05).

4.4 Prueba de Bartlett para matriz de covarianza

Hipótesis

  • H₀: La matriz de covarianza poblacional es igual a una matriz teórica específica, es decir, \(\Sigma = \Sigma_0\).
  • H₁: La matriz de covarianza poblacional difiere de la matriz teórica, es decir, \(\Sigma \ne \Sigma_0\).

¿Por qué aplicar esta prueba si \(\Sigma\) es conocido?

Aunque \(\Sigma\) representa una estructura teórica asumida, en la práctica rara vez se conoce con certeza. Esta prueba permite verificar si la matriz de covarianza muestral concuerda.

Resultado e interpretación

# Cálculo de la prueba de Bartlett
test_bcov <- Bcov(datos, Sigma = sigma0)
summary(test_bcov)
#>        Bartlett's Test for One Sample Covariance Matrix 
#> 
#> Chi-Squared Value = 6.39577 , df = 6  and p-value: 0.38
  • p = 0.38 > 0.05 → no rechazar H0.
  • Conclusión: Los datos son compatibles con Σ; no hay evidencia de diferencia en la covarianza.

Interpretación: χ² = 6.3958, gl = 6, p‑valor = 0.3803. No se rechaza igualdad de covarianzas.

4.5 Correlación

Correlación de Pearson
Correlación
0.2782

Interpretación: r = 0.2782. Correlación positiva moderada. El coeficiente de correlación de Pearson obtenido es r = 0.2782, lo cual indica una correlación positiva moderada entre los niveles de glucosa y la presión sistólica.

Esto implica que, en general, a medida que aumentan los niveles de glucosa en sangre, también tiende a aumentar la presión sistólica, aunque la relación no es fuerte. La dispersión de los puntos en el gráfico sugiere que existen otros factores que influyen en la presión, por lo que la glucosa no es el único determinante.

7. Conclusiones

  1. No se rechaza H₀: medias muestrales iguales a [100, 120, 25].

  2. La matriz de covarianza muestral es equivalente a la asumida.

  3. Existe una correlación positiva moderada entre los niveles de glucosa y la presión sistólica.