Problema 1

a. ¿Cuáles son las distribuciones de las variables \(X\) y \(Y\)?

  • \(X\): número de unidades defectuosas del fabricante 1.
  • \(Y\): número de unidades defectuosas del fabricante 2.

Como cada unidad tiene la misma probabilidad de estar defectuosa y los eventos son independientes, estas variables siguen una distribución binomial:

  • \(X \sim \text{Binomial}(n = 100, p = 0.03)\)
  • \(Y \sim \text{Binomial}(n = 100, p = 0.05)\)

b. Generación de muestras simuladas (usando la distribución binomial)

Para analizar el comportamiento probabilístico de las variables, se generan 1000 observaciones simuladas a partir de sus respectivas distribuciones binomiales.

En este caso:

  • \(X \sim \text{Binomial}(n = 100, p = 0.03)\)
  • \(Y \sim \text{Binomial}(n = 100, p = 0.05)\)

c. Estimar \(P(X + Y < 10)\)

La estimación se obtiene contando las simulaciones en las que \(X + Y < 10\) y dividiendo entre el total de simulaciones:

## [1] 0.75

d. Estimar \(P(X > Y)\)

Se cuenta cuántas veces \(X > Y\), es decir, cuando el primer fabricante presenta más defectos que el segundo:

## [1] 0.186

e. Gráfica de probabilidad normal del total de defectuosos

La siguiente gráfica permite evaluar si la variable \(X + Y\) se aproxima a una distribución normal:

  • Si los puntos caen cerca de la línea, se puede suponer normalidad.
  • Si se alejan significativamente, la distribución no es normal.

Problema 3

a. Simulación de los tiempos de vida de los sistemas

Se generan 1000 simulaciones para cada componente. Los tiempos de vida de los sistemas se calculan según su configuración:

b. Estimar la media del tiempo de vida

## [1] 2.333685
## [1] 2.557509
## [1] 2.569798

c. Estimar la probabilidad de falla antes de 2 meses

## [1] 0.175
## [1] 0.085
## [1] 0.098

d. Estimar el percentil 20 de los tiempos de vida del sistema 1

##      20% 
## 2.140262

e. Gráfica de probabilidad normal

Si los puntos siguen una línea recta, los datos pueden aproximarse a una distribución normal. Curvas o desviaciones fuertes indican no normalidad.

f. Histograma de los tiempos de vida

En este caso, la distribución lognormal genera un sesgo a la derecha.

Problema 5

a. Generar una muestra simulada de 5000 pistones

b. Estimar la proporción de pistones rechazados

Se considera rechazado si el diámetro está fuera del rango [9.97, 10.03] cm.

## [1] 0.131

c. Estimar el costo promedio de reprocesamiento

Cada pistón defectuoso cuesta $15 USD en reprocesamiento. Se estima el costo total en base a la proporción de rechazos:

## [1] 9825

d. Histograma del diámetro de los pistones

Dado que la variable simulada sigue una distribución normal por construcción, el histograma debe mostrar una forma simétrica tipo campana (curva normal).

e. Estrategias para reducir pistones rechazados

  • Implementar control estadístico de calidad para detectar variaciones a tiempo.
  • Reducir la variabilidad (disminuir la desviación estándar del proceso).
  • Capacitar al personal en mantenimiento preventivo y monitoreo de calidad.
  • Automatización y sensores de alta precisión para controlar el diámetro en tiempo real.

Problema 7

a. Generar una muestra simulada de 10000 cilindros

b. Estimar el porcentaje de cilindros que cumplen con la resistencia mínima de 25 MPa

## [1] 0.8388

c. Estimar el percentil 10 (P10) de la resistencia a la compresión

##      10% 
## 23.60281

d. Estimar el costo promedio asociado a rechazos

Cada cilindro que no cumple cuesta $50 USD en reprocesamiento. Se estima el costo total con base en la proporción de fallas:

## [1] 80600

e. Medidas de control de calidad sugeridas

  • Monitorear el proceso de curado para asegurar las condiciones ideales de humedad y temperatura.
  • Realizar ensayos periódicos de resistencia en laboratorio.
  • Capacitación constante del personal técnico involucrado en la preparación y manejo de mezclas.