Primera parte

Para resolver el primer punto, necesitamos construir un portafolio óptimo basado en la teoría de media-varianza. Esto implica calcular los rendimientos esperados, la matriz de covarianza y las ponderaciones óptimas para las tres acciones seleccionadas. Usaremos datos históricos desde el 01/06/2022 para calcular estos valores.

Una vez obtenidos los datos históricos, calculamos los rendimientos diarios logarítmicos para cada acción.

El rendimiento esperado de cada acción será la media de los rendimientos diarios. La matriz de covarianza se calculará a partir de los rendimientos diarios.

Una vez encontradas las ponderaciones óptimas que minimicen la varianza del portafolio, sujeto a la restricción de que la suma de las ponderaciones sea igual a 1, podemos proceder a construir el árbol binomial para la cobertura del portafolio.

Una de las acciones que se escogió fue NIKE, se evidencia que es una acción con tendencia a la baja:

La segunda acción es NEE(NextEra Energy), que también muestra una tendencia a la baja:

La tercera acción es MSFT(Microsoft), que muestra una tendencia a a mantenerse estable en los útimos seis meses, aunque con una ligera tendencia a la baja y una fuerte caída en el mes de abril de 2025.

Simulación de precios futuros con MGB

Para simular los precios futuros de las acciones hasta la fecha máxima de inversión (dos años en el futuro, con pagos trimestrales), utilizaremos un Movimiento Geométrico Browniano (MGB). Este modelo requiere los siguientes parámetros:

  • Precio inicial (último precio disponible de cada acción).
  • Rendimiento esperado (calculado previamente).
  • Volatilidad (desviación estándar de los rendimientos diarios).
  • Tasa libre de riesgo (basada en los bonos del Tesoro a tres meses).
  • Horizonte temporal (dos años, con pasos trimestrales).
## [1] "MSFT" "NKE"  "NEE"

## [1] "Los pesos óptimos del portafolio son:"
##      MSFT       NKE       NEE 
## 0.4682610 0.1157526 0.4159864
## [1] "La asignación de capital es:"
##     MSFT      NKE      NEE 
## 468261.0 115752.6 415986.4
## [1] "Los precios simulados para cada acción son (las cinco primeras filas):"
## 
## Simulaciones para MSFT :
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]     [,8]
## [1,] 366.0730 365.3906 370.2558 370.5044 370.9371 376.3722 377.8675 373.8845
## [2,] 365.6828 364.3383 368.1486 369.2961 370.5752 370.9497 369.2424 374.8799
## [3,] 369.3562 363.3062 365.4902 364.0630 360.8254 360.1900 357.1128 354.9506
## [4,] 365.8736 360.7315 363.3180 363.8163 360.3670 364.2271 365.5679 364.6868
## [5,] 370.5963 373.3807 376.0065 378.2263 380.0270 379.8576 378.9073 377.7218
## [6,] 365.6586 365.0456 361.1967 367.8953 371.6922 368.2150 366.9935 365.5794
## 
## Simulaciones para NKE :
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]     [,8]
## [1,] 56.07041 57.22798 56.10319 56.27097 56.07994 55.81880 55.35849 55.21843
## [2,] 56.34511 55.79864 55.58298 55.83481 56.10806 57.22725 57.01273 56.87958
## [3,] 54.61427 55.42543 55.87475 56.49700 55.83526 56.80238 56.33452 57.30013
## [4,] 55.71759 56.07080 56.14852 55.59095 55.47113 55.11767 54.45879 54.35316
## [5,] 55.17797 55.14884 55.24798 55.68745 55.12970 55.54044 55.52606 55.27978
## [6,] 56.46223 56.60495 56.07753 55.25029 55.44982 54.95242 56.08696 56.42106
## 
## Simulaciones para NEE :
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]     [,8]
## [1,] 65.66286 64.87983 65.52111 65.99271 65.47484 65.59188 65.41476 65.89328
## [2,] 65.93374 65.32165 66.28547 66.53891 66.61442 67.53151 67.25824 67.65480
## [3,] 65.82077 65.54282 66.36862 65.89145 66.22560 65.66756 66.23398 66.54907
## [4,] 65.28031 64.32662 64.76988 64.21254 64.76535 63.53038 64.99864 64.89637
## [5,] 66.73884 66.04987 66.88981 67.19138 66.93686 65.09203 64.64677 64.49423
## [6,] 65.75726 66.02970 64.64347 64.71661 64.27810 64.27269 63.81097 63.98158

Segunda parte

Este análisis incluye los siguientes puntos: 1. Índice Sharpe. 2. Volatilidad del portafolio. 3. Precios esperados al cierre de cada trimestre. 4. Comportamiento del mercado. 5. Estructura de ganancias esperadas y pérdidas (VaR al 1% y 5%).

Cálculo del Índice Sharpe

El índice Sharpe mide el rendimiento ajustado al riesgo del portafolio. Se calcula como:

\[ Sharpe = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} \]

Donde: - \(R_p\): Rendimiento esperado del portafolio. - \(R_f\): Tasa libre de riesgo. - \(\sigma_p\): Volatilidad del portafolio.

# Rendimiento esperado del portafolio
expected_return <- sum(weights * mean_returns)

# Tasa libre de riesgo (supongamos 3% anual, ajustado trimestralmente)
risk_free_rate <- 0.03 / 4

# Volatilidad del portafolio
portfolio_volatility <- sqrt(t(weights) %*% cov_matrix %*% weights)

# Índice Sharpe
sharpe_ratio <- (expected_return - risk_free_rate) / portfolio_volatility
sharpe_ratio
##            [,1]
## [1,] -0.5623626

El factor de Sharpe negativo es malo y esto significa que las ganancias fueron inferiores a la tasa de interés libre de riesgo. En tu caso, el portafolio no ganó lo suficiente para el riesgo que asumió porque el factor de Sharpe negativo indica una relación desfavorable entre el riesgo y la recompensa.

## [1] "Nombres en cov_matrix:"
## [1] "MSFT" "NKE"  "NEE"
## [1] "Símbolos en el portafolio:"
## [1] "MSFT" "NKE"  "NEE"
## Warning: El símbolo MSFT no se encuentra en los datos de precios o en la matriz
## de covarianza.
## Warning: El símbolo NKE no se encuentra en los datos de precios o en la matriz
## de covarianza.
## Warning: El símbolo NEE no se encuentra en los datos de precios o en la matriz
## de covarianza.
## list()

MSFT comienza en 382,1757 y termina en 382,4258, lo que significa que el precio de MSFT aumentará ligeramente durante la simulación. NKE comienza en 64,94345 y termina en 64,82769, lo que significa que el precio de NKE disminuirá ligeramente durante la simulación, ya que la diferencia es muy pequeña. NEE comienza en 70,47723 y termina en 70,45783, por lo que esto significa que el precio de NEE también disminuirá ligeramente durante la simulación. MSFT aumentará ligeramente, NKE disminuirá ligeramente y NEE disminuirá ligeramente; por lo tanto, los cambios son muy pequeños, por lo que los precios no se mueven mucho durante la simulación.

## $VaR_1
##       1% 
## 2847.361 
## 
## $VaR_5
##       5% 
## 2872.204

Estos son los valores de VaR al 1% y al 5%. El VaR es una medida de riesgo y representa la pérdida máxima esperada para una inversión en un período determinado con un nivel de confianza determinado.

VaR 1(1%)=2961.376 significa que la pérdida máxima para la inversión será como máximo $2961.376 con un 99% de probabilidad en ese período, es decir, hay un 1% de probabilidad de que la pérdida sea mayor.

VaR5(5%)=2986,524 significa que la pérdida máxima de la inversión será de $2986,524 como máximo, con una probabilidad del 95% en ese período; en otras palabras, existe una probabilidad del 5% de que la pérdida sea mayor. El VaR al 5% es ligeramente mayor que el VaR al 1% porque el menor nivel de confianza (95% en lugar del 99%) nos permite aceptar una mayor probabilidad de pérdida.

El análisis del portafolio muestra que, a pesar de la diversificación entre MSFT, NKE y NEE, el índice de Sharpe es negativo (-0.56), lo que indica que el rendimiento ajustado al riesgo del portafolio es inferior a la tasa libre de riesgo. Esto significa que, por cada unidad de riesgo asumida, el portafolio no está generando suficiente retorno, lo cual es una señal de alerta para cualquier inversionista. Además, la volatilidad del portafolio, calculada a partir de la matriz de covarianza, refleja que el riesgo asumido no se compensa con los rendimientos obtenidos en el periodo analizado.

En cuanto a la evolución de los precios, las simulaciones muestran que MSFT experimenta un leve aumento, mientras que NKE y NEE presentan ligeras caídas, lo que sugiere un comportamiento estable pero sin grandes oportunidades de ganancia en el corto plazo. El análisis de riesgo, a través del VaR al 1% y 5%, indica que la pérdida máxima esperada para el portafolio en un periodo determinado es de aproximadamente $2,847 y $2,872 respectivamente, con altos niveles de confianza. Esto nos ayuda a dimensionar el riesgo extremo que podríamos enfrentar, aunque los valores son relativamente bajos en comparación con la inversión total, lo que sugiere una exposición controlada.

Complementando este análisis, el árbol binomial de ocho nodos visualiza la evolución potencial del precio de un activo bajo diferentes escenarios de mercado. Observamos cómo, partiendo de un precio inicial de 100, los precios pueden evolucionar hasta valores tan altos como 214.36 o tan bajos como 43.05, dependiendo de la secuencia de movimientos alcistas o bajistas. Esta herramienta es fundamental para valorar opciones, ya que nos permite calcular los valores de las opciones europeas y americanas (call y put) para cada acción, como se muestra en la tabla. Por ejemplo, la opción call europea de MSFT tiene un valor de 34.07, mientras que la americana es de 33.99, reflejando la flexibilidad adicional de las opciones americanas. En conjunto, estos resultados nos permiten entender tanto el comportamiento esperado del portafolio como los riesgos y oportunidades asociados a la cobertura con derivados.

En el gráfico del árbol binomial con ocho nodos, representamos la evolución del precio de un activo a lo largo de varios pasos. Usamos un modelo binomial para calcular los posibles precios futuros del activo, considerando movimientos hacia arriba y hacia abajo en cada paso. El precio inicial es 100, y a medida que avanzamos en los pasos, los precios se ajustan según los factores de subida y bajada definidos. Cada nodo muestra un precio posible, y las flechas indican las transiciones entre los precios en los diferentes pasos.

Este modelo nos permite visualizar cómo podría evolucionar el precio del activo bajo diferentes escenarios. Observamos que los precios más altos se encuentran en los nodos superiores, mientras que los precios más bajos están en los nodos inferiores. Esto refleja la naturaleza probabilística del modelo, donde los precios pueden aumentar o disminuir en cada paso. Este enfoque es útil para valorar opciones y analizar la dinámica de precios en el tiempo.

Tercera parte

Para resolver el problema de la valuación de opciones europeas y americanas para cada activo y la cobertura de la inversión, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Valuación de Opciones: Utilizaremos modelos de valoración de opciones como el modelo de Black-Scholes para opciones europeas y el modelo de árboles binomiales para opciones americanas. Calcularemos los precios de las opciones call y put para cada acción (MSFT, NKE, NEE).
  2. Cobertura de la Inversión: Cubriremos el 85% de la inversión utilizando un apalancamiento con la tasa del bono del tesoro. Dado que el pago es trimestral, ajustaremos la cobertura para reflejar este calendario de pagos.
  3. División del Dinero para la Cobertura: Dividiremos el dinero de la cobertura de manera equitativa entre las tres acciones, considerando el apalancamiento y los pagos trimestrales.

Valuación de opciones

##   Accion European_Call European_Put American_Call American_Put
## 1   MSFT     34.074928    26.507342     33.998714    33.998714
## 2    NKE      8.326777     7.040811     10.363686    10.363686
## 3    NEE      7.661269     6.265726      8.603356     8.603356

En la tabla de valuación de opciones, observamos los precios de las opciones europeas y americanas (call y put) para las acciones MSFT, NKE y NEE. Por ejemplo, la opción europea call para MSFT tiene un valor de 34.07, mientras que la opción americana call tiene un valor ligeramente menor de 33.99. Esto refleja las diferencias en las características de las opciones europeas y americanas, ya que las americanas permiten el ejercicio anticipado. Estos resultados, junto con el árbol binomial, nos ayudan a comprender mejor el comportamiento de los precios y las opciones en diferentes escenarios de mercado.

Cobertura de la inversión

Para cubrir el 85% de la inversión, utilizaremos un apalancamiento con la tasa del bono del tesoro. Dado que el pago es trimestral, ajustaremos la cobertura para reflejar este calendario de pagos.

##   Inversion_Total Cobertura Pago_Trimestral Cobertura_Trimestral
## 1           1e+06    850000            4250               212500

División del dinero para la cobertura

Dividiremos el dinero de la cobertura de manera equitativa entre las tres acciones, considerando el apalancamiento y los pagos trimestrales.

##   Accion Cobertura_Trimestral
## 1   MSFT             70833.33
## 2    NKE             70833.33
## 3    NEE             70833.33

La división equitativa del dinero para la cobertura de las opciones se justifica por las siguientes razones:

  • Equidad: Al dividir la cobertura de manera equitativa entre las tres acciones, aseguramos que cada acción tenga la misma protección contra pérdidas potenciales.
  • Simplicidad: Este enfoque simplifica la gestión de la cobertura y facilita el seguimiento de los pagos trimestrales.
  • Flexibilidad: Si una acción muestra un rendimiento significativamente diferente, podemos ajustar la cobertura en el futuro para reflejar estos cambios. Este enfoque apalancado con la tasa del bono del tesoro permite cubrir el 85% de la inversión de manera eficiente, considerando los pagos trimestrales hasta el vencimiento del negocio del subyacente y del derivado.

Después de calcular los precios de las opciones europeas y americanas para MSFT, NKE y NEE, observamos que los valores de las opciones call y put varían según el tipo de opción y el activo. Por ejemplo, la opción europea call de MSFT tiene un valor de 34.07, mientras que la americana call es de 33.99. Para NKE y NEE, los precios de las opciones son menores, lo que refleja la menor volatilidad y precio base de estos activos. Esta información es fundamental para decidir cómo estructurar la cobertura del portafolio, ya que nos permite comparar el costo y la flexibilidad de cada instrumento derivado.

En cuanto a la cobertura, decidimos proteger el 85% de la inversión total ($1,000,000), utilizando apalancamiento a la tasa del bono del tesoro y ajustando los pagos de cobertura de forma trimestral. Así, cada acción recibe una cobertura trimestral de $70,833.33, lo que garantiza una protección equitativa y facilita la gestión de los pagos periódicos. Esta estrategia nos permite responder de manera eficiente a los movimientos del mercado y ajustar la cobertura si alguna acción muestra un comportamiento diferente al esperado.