P11 TPG

Denanda Aufadlan & Annisa Permata

2025-04-19

Analisis Biplot

Pendahuluan

Analisis Biplot (biplot analysis) adalah salah satu metode eksplorasi dan reduksi berupa penggambaran/pemetaan antara objek dan peubah berdimensi tinggi ke dalam suatu grafik berdimensi rendah (dua atau tiga sekkaligus). Penggunaan ruang berdimensi rendah dikarenakan kemudahan dalam interpretasi secara grafis. Analisis biplot cocok jika peubah yang dianalisis berskala kuantitatif dan amatannya tidak terlalu banyak. Keakuratan analisis biplot tergantung pada berapa % keragaman total yang dapat diterangkan ke dalam biplot (umumnya minimal 70%).

Beberapa informasi yang dapat disajikan oleh biplot antara lain:

Keragama suatu peubah, di mana semakin panjang vektor/panah, maka semakin besar keragaman peubah tersebut.
Keeratan hubungan antara dua peubah dan arah hubungannya, di mana:
- Jika sudut panah dua peubah < 90 derajat, maka korelasi bernilai positif (semakin kecil sudut mendekati 0 derajat, semakin erat hubungannya secara positif)
- Jika sudut panah dua peubah > 90 derajat, maka korelasi negatif (semakin besar sudut mendekati 90 derajat, semakin erat hubungannya seacara negatif)
- Jika sudut dua peubah = 90 derajat atau semakin dekat 90 derajat, maka korelasinya semakin mendekati nol (tidak ada korelasi)
Kemiripan relatif antar objek amatan, di mana dua objek yang posisinya berdekatan mengartikan bahwa karakteristik keduanya yang mirip.
Posisi relatif antar objek amatan dengan peubah, menandakan bahwa objek-objek dicirikan oleh peubah tertentu karena posisinya berdekatan dengan peubah tersebut.

Penguraian matriks X dari dimensi tinggi menjadi dimensi dua berupa biplot, dilakukan dengan menggunakan teknik penguraian nilai singular (Singular Value Decomposition / SVD) yang memanfaatkan akar ciri dan vektor ciri matriks X’X atau XX’. Keragaman yang dijelaskan oleh biplot diperoleh sebesar:

\[\rho_2 = \frac{\lambda_1+\lambda_2}{\sum{\lambda_k}}\]

Di mana:

\(\lambda_1\) : Akar ciri terbesar pertama
\(\lambda_2\) : Akar ciri terbesar kedua
\(\lambda_i\) : Akar ciri terbesar ke-i dari X’X, i = 1, 2, …, k

Langkah-Langkah

Langkah-langkah melakukan analisis biplot secara manual adalah sebagai berikut:

Siapkan data dalam bentuk matriks X, di mana matriks X adalah matriks data yang telah dikoreksi terhadap rata-ratanya
Hitung X’X kemudian cari akar cirinya, \(\lambda_i\), dan vektor ciri yang bersesuaian
Hitung matriks U, L, dan A
Cari nilai G dan H
Tentukan G* (kolom ke-1 dan ke-2 dari matriks G) sebagai koordinat objek dan H* (kolom ke-1 dan ke-2 matriks H) sebagai koordinat peubah
Gambar biplot dengan koordinat G* dan H*
Hitung ukuran kebaikan biplot (besar keragaman yang dapat dijelaskan oleh biplot yang terbentuk)

Studi Kasus 1

Tabel berikut memberikan data beberapa universitas dengan beberapa peubah yang digunakan untuk perbandingan/perangkingan universitas, di mana terdiri dari:

SAT : rata-rata nilai SAT mahasiswa baru
Top10 : persentase mahasiswa baru yang merupakan 10% teratas di SMA asal
Accept : persentase pelamar yang diterima
SFRatio : rasio fakultas dan mahasiswa
Expenses : biaya pendidikan tahunan (estimasi), dan
Grad : rasio kelulusan (%)

Menyiapkan data

univs <- read.table(header = T, text = 
"
University;SAT;Top10;Accept;SFRatio;Expenses;Grad
Harvard;14;91;14;11;39.525;97
Princeton;13.75;91;14;8;30.22;95
Yale;13.75;95;19;11;43.514;96
Stanford;13.6;90;20;12;36.45;93
MIT;13.8;94;30;10;34.87;91
Duke;13.15;90;30;12;31.585;95
Dartmouth;13.4;89;23;10;32.162;95
", sep=";")
head(univs)

##   University   SAT Top10 Accept SFRatio Expenses Grad
## 1    Harvard 14.00    91     14      11   39.525   97
## 2  Princeton 13.75    91     14       8   30.220   95
## 3       Yale 13.75    95     19      11   43.514   96
## 4   Stanford 13.60    90     20      12   36.450   93
## 5        MIT 13.80    94     30      10   34.870   91
## 6       Duke 13.15    90     30      12   31.585   95

Agar nama-nama objek (universitas) menjadi nama bagi masing-masing baris, maka dilakukan sesuai kode berikut:

rownames(univs) <- univs$University
univs_new <- univs[,-1] #hapus kolom nama universitas
head(univs_new)

##             SAT Top10 Accept SFRatio Expenses Grad
## Harvard   14.00    91     14      11   39.525   97
## Princeton 13.75    91     14       8   30.220   95
## Yale      13.75    95     19      11   43.514   96
## Stanford  13.60    90     20      12   36.450   93
## MIT       13.80    94     30      10   34.870   91
## Duke      13.15    90     30      12   31.585   95

Melakukan eksplorasi data

Diperoleh ringkasan/deskripsi data sebagai berikut.

summary(univs_new)

##       SAT            Top10           Accept         SFRatio     
##  Min.   :13.15   Min.   :89.00   Min.   :14.00   Min.   : 8.00  
##  1st Qu.:13.50   1st Qu.:90.00   1st Qu.:16.50   1st Qu.:10.00  
##  Median :13.75   Median :91.00   Median :20.00   Median :11.00  
##  Mean   :13.64   Mean   :91.43   Mean   :21.43   Mean   :10.57  
##  3rd Qu.:13.78   3rd Qu.:92.50   3rd Qu.:26.50   3rd Qu.:11.50  
##  Max.   :14.00   Max.   :95.00   Max.   :30.00   Max.   :12.00  
##     Expenses          Grad      
##  Min.   :30.22   Min.   :91.00  
##  1st Qu.:31.87   1st Qu.:94.00  
##  Median :34.87   Median :95.00  
##  Mean   :35.48   Mean   :94.57  
##  3rd Qu.:37.99   3rd Qu.:95.50  
##  Max.   :43.51   Max.   :97.00

Dari hasil di atas, diperoleh statistik 5 serangkai dari masing-masing peubah yang menjelaskan universitas.

Kemudian dilakukan visualisasi data menggunakan boxplot sebagai berikut:

boxplot(univs_new)

Boxplot digunakan untuk memeriksa keberadaan pencilan dalam suatu peubah. Terlihat dari plot di atas, bahwa peubah Grad memiliki pencilan bawah. Sedangkan 5 peubah lainnya tidak memiliki pencilan. Selanjutnya, dilakukan eksplorasi mengenai korelasi antar peubah dengan fungsi corrplot().

library(corrplot)

## Warning: package 'corrplot' was built under R version 4.3.3

## corrplot 0.95 loaded

corrplot(cor(univs_new), method = "number", is.cor = T, type = "lower", diag=F)

Diperoleh bahwa peubah Top10 berkorelasi secara positif dengan SAT dan Expenses Sementara itu, peubah Top10 berkorelasi negatif dengan peubah Accept dan SFRatio. Artinya, semakin besar proporsi mahasiswa yang merupakan 10% teratas di sekolah untuk masuk ke universitas tersebut, semakin kecil presentase penerimaannya dan semakin besar presentase kelulusan dan biaya pendidikannya. Dan sebagainya.

Analisis biplot

Analisis ini menggunakan beberapa package antara lain:

FactoMineR untuk membentuk fungsi komponen utama
factoextra untuk membentuk grafik biplot

# install.packages("FactoMineR")
# install.packages("factoextra")

library(FactoMineR)

## Warning: package 'FactoMineR' was built under R version 4.3.3

library(factoextra)

## Warning: package 'factoextra' was built under R version 4.3.3

## Loading required package: ggplot2

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3

## Welcome! Want to learn more? See two factoextra-related books at https://goo.gl/ve3WBa

Penskalaan/pengoreksian data

Sebelum melakukan analisis biplot, dilakukan pengoreksian data (matriks X) terhadap rataannya menggunakan fungsi scale().

df = scale(univs_new,scale = FALSE)
head(df)

##                   SAT      Top10    Accept    SFRatio   Expenses       Grad
## Harvard    0.36428571 -0.4285714 -7.428571  0.4285714  4.0498571  2.4285714
## Princeton  0.11428571 -0.4285714 -7.428571 -2.5714286 -5.2551429  0.4285714
## Yale       0.11428571  3.5714286 -2.428571  0.4285714  8.0388571  1.4285714
## Stanford  -0.03571429 -1.4285714 -1.428571  1.4285714  0.9748571 -1.5714286
## MIT        0.16428571  2.5714286  8.571429 -0.5714286 -0.6051429 -3.5714286
## Duke      -0.48571429 -1.4285714  8.571429  1.4285714 -3.8901429  0.4285714

Pembentukan fungsi komponen utama dan grafik biplot

Pembentukan fungsi komponen utama dilakukan dengan menggunakan fungsi PCA()

df_pca = PCA(df, graph = F,scale.unit = F)

Kemudian dilakukan pembentukan grafik biplot dengan fungsi fviz_pca_biplot() yang membutuhkan argumen berupa fungsi komponen utama yang telah dibentuk.

fviz_pca_biplot(df_pca,repel = T) + theme_classic()

Dari grafik di atas, diperoleh informasi sebagai berikut:

Keragaman peubah
- Peubah Expenses dan Accept memiliki keragaman yang lebih besar dibandingkan peubah lainnya.
- Peubah SAT memiliki keragaman terkecil.
Keeratan hubungan antar peubah
- Peubah Grad, SAT dan Expenses memiliki korelasi yang positif terlihat dari sudut yang terbentuk membentuk sudut < 90 derajat.
- Peubah Top10 dan SFRatio serta SFRatio dan Accept juga memiliki korelasi yang positif terlihat sudutnya < 90 derajat.
- Korelasi negatif dimiliki oleh hubungan peubah Top10 dan Grad serta Top10, dan Accept.
Kemiripan antar objek dan Posisi relatif objek dengan peubah penciri
- MIT dan Duke digambarkan dalam posisi yang berdekatan, artinya keduanya memiliki karakteristik yang mirip.
- Yale dicirikan dengan peubah Expenses yang bernilai cukup tinggi.
- Princeton memiliki SFRatio di bawah rata-rata.

Silahkan lanjutkan dengan interpetasi yang lain.

Selanjutnya untuk mengevaluasi kebaikan dari biplot yang terbentuk, dilakukan dengan melihat persentase kumulatif keragaman yang diperoleh dari dua nilai eigen teratas (karena biplot yang terbentuk dua dimensi).

Kebaikan biplot dilihat berdasarkan cumulative.variance.percent dari nilai eigen kedua. (Informasi keragaman yang mampu dijelaskan oleh biplot adalah sebesar 92.28%. Artinya biplot mampu memberikan informasi dari 6 peubah untuk menilai posisi relatif 7 Universitas)

eigen_values <- get_eigenvalue(df_pca)
eigen_values

##        eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 42.67114186      63.63352772                    63.63353
## Dim.2 19.20763975      28.64347715                    92.27700
## Dim.3  3.53817575       5.27632012                    97.55332
## Dim.4  1.45402436       2.16832022                    99.72165
## Dim.5  0.17303034       0.25803225                    99.97968
## Dim.6  0.01362782       0.02032254                   100.00000

Selain itu, dapat melihat presentase keragaman biplot dengan grafik plot scree dengan menggunakan fviz_eig() berikut.

fviz_eig(df_pca, addlabels = T) + theme_classic()

Studi Kasus 2

Pertengahan tahun 2003 yang lalu Bank ”BR” melakukan evaluasi terhadap keuntungan yang mereka peroleh. Sebagai bank pemerintah dengan aset yang cukup besar, BR tidak memiliki keuntungan yang cukup tinggi dan bahkan cenderung mengalami penurunan keuntungan akibat menurunnya kuantitas dan kualitas nasabahnya. Managemen BR merekomendasikan pelaksanaan riset pasar terhadap persepsi masyarakat terhadap performa BR dan perbandinganya dengan performa bank-bank nasional lainnya. Dengan mengetahui posisi bank berdasarkan persepsi masyarakat ini, diharapkan dapat ditempuh langkah-langkah yang lebih baik.

Riset dilakukan dalam bentuk survei untuk mengumpulkan data persepsi masyarakat terhadap beberapa bank nasional. Survei tersebut melibatkan 2300 responden yang tersebar di 8 kota (Jakarta, Surabaya, Medan, Makasar, Balikpapan, Denpasar, Solo, dan Palembang). Setiap responden diminta untuk memberikan skor terhadap atribut/karakteristik berikut:

Kualitas petugas bank dalam memberikan layanan
Kualitas produk yang ditawarkan oleh bank
Kualitas fasilitas kantor cabang
Kualitas dan kuantitas fasilitas ATM
Kualitas hadiah yang ditawarkan oleh bank
Keamanan bertransaksi
Kemudahan mencapai lokasi pelayanan bank

Penilaian dilakukan menggunakan skala 1, 2, …, 10. Nilai yang semakin besar menunjukkan kecenderungan yang positif terhadap atribut yang ditanyakan.

Menyiapkan data

bank <- read.table(header = T, text = 
"
layanan;produk;cabang;ATM;hadiah;aman;lokasi
4.31;3.89;5.67;5.89;5.12;7.11;4.12
7.64;7.4;8.58;8.15;6.74;8.23;6.77
8.94;7.12;8.61;6.89;7.45;8.35;7.89
7.21;4.2;6.39;3.58;4.23;6.87;4.34
5.74;6.34;8.22;6.31;7.05;7.65;6.89
4.03;3.55;4.26;4.09;6.9;6.8;3.44
6.96;3.11;4.09;3.23;3.21;6.12;2.86
4.99;5;6.31;6.17;5.89;7.62;5.36
",
sep = ";")
rownames(bank) <- c("BR", "BC", "BMD", "NI", "BN", "BDN", "BMG", "BPM")
bank

##     layanan produk cabang  ATM hadiah aman lokasi
## BR     4.31   3.89   5.67 5.89   5.12 7.11   4.12
## BC     7.64   7.40   8.58 8.15   6.74 8.23   6.77
## BMD    8.94   7.12   8.61 6.89   7.45 8.35   7.89
## NI     7.21   4.20   6.39 3.58   4.23 6.87   4.34
## BN     5.74   6.34   8.22 6.31   7.05 7.65   6.89
## BDN    4.03   3.55   4.26 4.09   6.90 6.80   3.44
## BMG    6.96   3.11   4.09 3.23   3.21 6.12   2.86
## BPM    4.99   5.00   6.31 6.17   5.89 7.62   5.36

Analisis biplot

bank2 = scale(bank,scale = FALSE)
bank_pca = PCA(bank2, graph = F, scale.unit=F)
fviz_pca_biplot(bank_pca,repel = T) + theme_classic()

Dari grafik di atas, diperoleh bahwa peubah layanan memiliki keragaman terbesar dan peubah aman memiliki keragaman terkecil.
Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua peubah maka semakin positif tinggi korelasinya, seperti: cabang, produk dan lokasi; memiliki korelasi positif yang cukup tinggi.
Sedangkan jika sudutnya tumpul (berlawanan arah) maka korelasinya negatif, seperti: hadiah dan layanan.
Semakin dekat letak objek dengan arah yang ditunjuk oleh suatu peubah maka semakin tinggi nilai peubah tersebut untuk objek itu. Sedangkan jika arahnya berlawanan, maka nilainya rendah.
BC dan BMD merupakan bank yang memiliki tingkat layanan, cabang, produk, dan lokasi yang tinggi.
BN memiliki tingkat keamanan, ATM, dan hadiah yang tinggi.
Semakin dekat letak dua buah objek maka sifat yang ditunjukkan oleh nilai-nilai peubahnya semakin mirip.
BC dan BMD memiliki indikator yang hampir mirip.
BMG dan NI juga membentuk kelompok sendiri.
BDN dan BR juga membentuk kelompok sendiri berdasarkan kemiripan sifat peubah.

(Interpretasi lain dapat ditambahkan sendiri)

Kemudian dilakukan evaluasi hasil biplot yang terbentuk sebagai berikut:

eigen_values2 <- get_eigenvalue(bank_pca)
eigen_values2

##         eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 12.396059243      77.40058498                    77.40058
## Dim.2  2.589099919      16.16625448                    93.56684
## Dim.3  0.631795008       3.94490719                    97.51175
## Dim.4  0.298870837       1.86613965                    99.37789
## Dim.5  0.062252748       0.38870410                    99.76659
## Dim.6  0.027808207       0.17363353                    99.94022
## Dim.7  0.009573412       0.05977607                   100.00000

fviz_eig(bank_pca, addlabels = T) + theme_classic()

Informasi keragaman yang mampu dijelaskan oleh biplot adalah sebesar 93.57%. Artinya biplot mampu memberikan informasi dari 7 peubah untuk menilai posisi relatif 8 bank berdasarkan kualitasnya.