Una razón geométrica consiste en la comparación multiplicativa de dos o más cantidades respecto a un valor fijo.
Luego, sean \(x_1,x_2,..,x_n\) cantidades para la cuales existen las cantidades \(r_i\) con \(i=\overline{1,n}\) y una constante \(k\), tal que:
\[ \begin{aligned} x_1 &= r_1 \cdot k \\ x_2 &= r_2 \cdot k \\ &\ \vdots \\ x_n &= r_n \cdot k \end{aligned} \]
Los valores \(r_1,r_2,..,r_n\) se denominan razón geométrica de las cantidades \(x_1,x_2,..,x_n\), y se representa como:
\[r_1:r_2:...:r_n\]
Determinar la razón geométrica entre \(36\) y \(60\).
Paso 1: Simplificamos las cantidades dadas.
| 36 | 60 | Divisores |
|---|---|---|
| 18 | 30 | 2 |
| 9 | 15 | 2 |
| 3 | 5 | 3 |
Respuesta final:
La razón entre las cantidades dadas es \(3:5\).
Determinar la razón geométrica entre \(16\), \(20\) y \(28\).
Paso 1: Simplificamos las cantidades dadas.
| 16 | 20 | 28 | Divisores |
|---|---|---|---|
| 8 | 10 | 14 | 2 |
| 4 | 5 | 7 | 2 |
Respuesta final:
La razón entre las cantidades dadas es \(4:5:7\).
Determinar la razón geométrica entre \(9\), \(12\), \(18\) y \(30\).
Paso 1: Simplificamos las cantidades dadas.
| 9 | 12 | 18 | 30 | Divisores |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 6 | 10 | 3 |
Respuesta final:
La razón entre las cantidades dadas es \(3:4:6:10\).
Tres cantidades suman \(50\) y están en la razón \(2:3:5\). ¿Cuál es el valor de cada una de ellas?
Paso 1: Definimos cada cantidad del problema en función de su correspondiente término de razón.
\(\Rightarrow\) \(x_1=2k\), \(x_2=3k\) y \(x_3=5k\)
Paso 2: Determinamos el valor de \(k\) según la condición existente entre las cantidades.
\(\Rightarrow\) \(x_1+x_2+x_3=50\)
\(\Rightarrow\) \(2k+3k+5k=50\)
\(\Rightarrow\) \(10k=50\)
\(\Rightarrow\) \(k=5\)
Paso 3: Reemplazamos \(k\) en cada cantidad para conocer su valor.
\(\Rightarrow\) \(x_1=2k=2\cdot 5 = 10\)
\(\Rightarrow\) \(x_2=3k=3\cdot 5 = 15\)
\(\Rightarrow\) \(x_3=5k=5\cdot 5 = 25\)
Respuesta final:
Las cantidades son \(10\), \(15\) y \(25\)Las cantidades de estaño (\(e\)), cobre (\(c\)) y hierro (\(h\)) en una aleación están en la razón \(3:5:7\). La diferencia entre la cantidad de hierro y la de estaño es de \(24\) kg. ¿Cuántos kilogramos hay de cada metal?
Paso 1: Definimos cada cantidad del problema en función de su correspondiente término de razón.
\(\Rightarrow\) \(e = 3k\), \(c = 5k\), \(h = 7k\)
Paso 2: Determinamos el valor de \(k\) según la condición existente entre las cantidades.
\(\Rightarrow\) \(h - e = 24\)
\(\Rightarrow\) \(7k - 3k = 24\)
\(\Rightarrow\) \(4k = 24\)
\(\Rightarrow\) \(k = 6\)
Paso 3: Reemplazamos \(k\) en cada cantidad para conocer su valor.
\(\Rightarrow\) \(e = 3k = 3 \cdot 6 = 18\) kg
\(\Rightarrow\) \(c = 5k = 5 \cdot 6 = 30\) kg
\(\Rightarrow\) \(h = 7k = 7 \cdot 6 = 42\) kg
Respuesta final:
La aleación contiene \(18\) kg de estaño, \(30\) kg de cobre y \(42\) kg de hierro.Tres socios invierten en un negocio en la razón \(2:3:5\). Si el producto de la inversión del primero por la del segundo es igual a \(216\) millones de pesos, ¿cuánto invirtió cada uno?
Paso 1: Definimos cada cantidad del problema en función de su correspondiente término de razón.
\(\Rightarrow\) \(x_1 = 2k\), \(x_2 = 3k\), \(x_3 = 5k\)
Paso 2: Usamos la condición dada para hallar el valor de \(k\).
\(\Rightarrow\) \(x_1 \cdot x_2 = 216\)
\(\Rightarrow\) \(2k \cdot 3k=216\)
\(\Rightarrow\) \(6k^2=216\)
\(\Rightarrow\) \(k^2=36\)
\(\Rightarrow\) \(k = \sqrt{36}\)
\(\Rightarrow\) \(k= 6\)
Paso 3: Reemplazamos \(k\) para conocer la inversión de cada socio.
\(\Rightarrow\) \(x_1 = 2k = 2 \cdot 6 = 12\) millones de pesos
\(\Rightarrow\) \(x_2 = 3k = 3 \cdot 6 = 18\) millones de pesos
\(\Rightarrow\) \(x_3 = 5k = 5 \cdot 6 = 30\) millones de pesos
Respuesta final:
Los tres socios invirtieron \(12\), \(18\) y \(30\) millones de pesos, respectivamente.¿Cuál es la razón entre \(12\) y \(18\)?
En un establo se preparan raciones de alimento para vacas, cerdos y ovejas en la razón \(2:3:5\). Si el producto de los kilogramos destinados a vacas y a cerdos es de \(216\) kilogramos cuadrados, ¿cuál es la cantidad total de alimento distribuido?
Una proporción directa se establece cuando el cociente entre los valores correspondientes de dos conjuntos de razones permanece constante. En este tipo de relación, al aumentar una razón de un conjunto, la correspondiente del otro conjunto también aumenta en la misma proporción, de manera que su cociente se mantiene constante.
Dadas las razones \(r_1 : r_2 : \dots : r_n\) y \(r'_1 : r'_2 : \dots : r'_n\), se dice que están en proporción directa si:
\[ \frac{r_1}{r'_1} = \frac{r_2}{r'_2} = \cdots = \frac{r_n}{r'_n} = k \]
donde \(k\) es una constante positiva que representa el cociente invariable de cada par correspondiente.
Verificar si las razones \(6:9:12\) y \(2:3:4\) están en proporción directa.
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) Primera razón: \(6:9:12\)
\(\Rightarrow\) Segunda razón: \(2:3:4\)
Paso 2: Verificamos si el cociente entre los términos correspondientes se mantiene constante.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{6}{2} = 3\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{9}{3} = 3\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{12}{4} = 3\)
Paso 3: Conclusión.
Como el cociente entre los términos correspondientes es constante, se cumple que:
\[ \dfrac{r_1}{r'_1} = \dfrac{r_2}{r'_2} = \cdots = \dfrac{r_n}{r'_n} = k \]
donde \(k = 3\) es una constante positiva que representa la razón invariable entre los pares correspondientes.
Por lo tanto, las razones \(6:9:12\) y \(2:3:4\) están en proporción directa.
Dos triángulos son semejantes. En el primero, los lados miden \(6\) cm, \(8\) cm y \(10\) cm. En el segundo, el lado correspondiente al mayor mide \(15\) cm. ¿Cuánto miden los otros dos lados del segundo triángulo?
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) \(6:8:10\) para los lados del primer triángulo.
\(\Rightarrow\) \(x_1:x_2:15\) para los lados correspondientes del segundo triángulo.
Paso 2: Determinamos la relación entre las razones.
\(\Rightarrow\) Como los triángulos son semejantes, existe proporcionalidad directa entre sus lados correspondientes.
\(\Rightarrow\) \(6:8:10 = x_1:x_2:15\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{6}{x_1} = \dfrac{8}{x_2} = \dfrac{10}{15} = k\)
Paso 3: Calculamos la constante de proporcionalidad.
\(\Rightarrow\) \(k = \dfrac{10}{15} \bigg|_5\)
\(\Rightarrow\) \(k = \dfrac{2}{3}\)
Paso 4: Calculamos el valor de los lados desconocidos.
\(\Rightarrow\) \(x_1 = \dfrac{6}{k} = \dfrac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9\)
\(\Rightarrow\) \(x_2 = \dfrac{8}{k} = \dfrac{8}{\frac{2}{3}} = 8 \cdot \dfrac{3}{2} = 12\)
Respuesta final:
Los lados del segundo triángulo miden \(9\) cm y \(12\) cm.Las razones \(6:9:12\) y \(2:3:4\) están en proporción directa. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que relaciona sus términos correspondientes?
Dos poleas solidarias giran juntas en un mismo eje, de modo que sus radios están en proporción directa con su velocidad lineal en el borde. Si la polea A tiene un radio de \(4\) cm y gira a \(120\) rpm (revoluciones por minuto), ¿cuál será la velocidad de giro de la polea B, cuyo radio es de \(6\) cm?
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) \(4:6\) para los radios de las poleas
\(\Rightarrow\) \(120:v\) para las velocidades de giro
Paso 2: Determinamos la relación entre las razones.
\(\Rightarrow\) Si las poleas giran solidarias (mismo eje), su número de revoluciones es directamente proporcional al radio.
\(\Rightarrow\) \(4 : 6 = 120 : v\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{120}{v}\)
\(\Rightarrow\) \(v = \dfrac{120 \cdot 6}{4} = 180\)
Respuesta final:
La polea B gira a una velocidad de \(180\) rpm.En un plano, los lados de un triángulo miden \(3\) cm, \(4\) cm y \(5\) cm. Si el lado mayor mide \(25\) m en la realidad, ¿cuál es la longitud del lado que mide \(4\) cm en el plano?
Una receta para \(4\) personas requiere \(300\) gramos de arroz. Si se desea preparar la misma receta para \(10\) personas, manteniendo la proporción, ¿cuántos gramos de arroz se necesitan?
Un ciclista recorre \(18\) km en \(45\) minutos. Si mantiene la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en \(1\) hora?
Una computadora descarga un archivo de \(300\) MB en \(5\) minutos. ¿Cuánto tardará en descargar un archivo de \(540\) MB si la velocidad de descarga se mantiene constante?
Una proporción inversa se establece cuando el producto de los valores correspondientes de dos conjuntos de razones permanece constante. En este tipo de relación, al aumentar una razón de un conjunto, la correspondiente del otro conjunto disminuye en la misma proporción, de manera que su producto se mantiene constante.
Dadas las razones \(r_1 : r_2 : \dots : r_n\) y \(r'_1 : r'_2 : \dots : r'_n\), se dice que están en proporción inversa si:
\[ r_1 \cdot r'_1 = r_2 \cdot r'_2 = \cdots = r_n \cdot r'_n = k \]
donde \(k\) es una constante positiva que representa el producto invariable de cada par correspondiente.
Verificar si las razones \(6:9:12\) y \(12:8:6\) están en proporción inversa.
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) Primera razón: \(6:9:12\)
\(\Rightarrow\) Segunda razón: \(12:8:6\)
Paso 2: Verificamos si el producto de cada par correspondiente se mantiene constante.
\(\Rightarrow\) \(6 \cdot 12 = 72\)
\(\Rightarrow\) \(9 \cdot 8 = 72\)
\(\Rightarrow\) \(12 \cdot 6 = 72\)
Paso 3: Conclusión.
Como el producto de los términos correspondientes es el mismo, se cumple que:
\[ 6 \cdot 12 = 9 \cdot 8 = 12 \cdot 6 = 72 \]
Por lo tanto, las razones \(6:9:12\) y \(12:8:6\) están en proporción inversa.
Una máquina tarda \(12\) horas en fabricar cierta cantidad de piezas. ¿Cuántas horas demorarán \(3\) máquinas, trabajando al mismo ritmo, en completar la misma producción?
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) \(1:3\) para el número de máquinas.
\(\Rightarrow\) \(12:t\) para el tiempo en horas.
Paso 2: Determinamos la relación entre las razones.
\(\Rightarrow\) Mientras más máquinas existan, menor es el tiempo necesario para realizar la misma producción, por lo tanto, se asume que la relación entre las razones es inversamente proporcional.
\(\Rightarrow\) \(1 \cdot 12 = 3 \cdot t = k\)
Paso 3: Calculamos la constante de proporcionalidad.
\(\Rightarrow\) \(k = 1 \cdot 12 = 12\)
Paso 4: Calculamos el valor de la incógnita.
\(\Rightarrow\) \(3 \cdot t = k\)
\(\Rightarrow\) \(3 \cdot t = 12\)
\(\Rightarrow\) \(t = \dfrac{12}{3} = 4\)
Respuesta final:
\(3\) máquinas tardan \(4\) horas en realizar la misma producción.
Tres trabajadores realizan una misma tarea en diferentes tiempos. En el primer grupo, dos trabajadores tardan \(2\) y \(5\) horas respectivamente, y se desconoce el tiempo del segundo (\(x\)). En el segundo grupo, los trabajadores correspondientes tardan \(y\), \(4\) y \(6\) horas respectivamente. Si los tiempos están en proporción inversa, ¿cuánto valen \(x\) e \(y\)?
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) \(2:x:5\) para los tiempos del primer grupo de trabajadores
\(\Rightarrow\) \(y:4:6\) para los tiempos del segundo grupo
Paso 2: Determinamos la relación entre las razones.
\(\Rightarrow\) Como se trata de la misma tarea, y se desea que los productos correspondientes sean constantes, se asume que la relación entre las razones es inversamente proporcional.
\(\Rightarrow\) \(2 \cdot y = x \cdot 4 = 5 \cdot 6 = k\)
Paso 3: Calculamos la constante de proporcionalidad.
\(\Rightarrow\) \(k = 5 \cdot 6 = 30\)
Paso 4: Calculamos los valores desconocidos.
\(\Rightarrow\) \(2 \cdot y = k \Rightarrow 2 \cdot y = 30 \Rightarrow y = \dfrac{30}{2} = 15\)
\(\Rightarrow\) \(4 \cdot x = k \Rightarrow 4 \cdot x = 30 \Rightarrow x = \dfrac{30}{4} = 7,5\)
Respuesta final:
Para que las razones estén en proporción inversa, debe cumplirse que \(x = 7,5\) horas e \(y = 15\) horas.
¿Cuál de los siguientes pares de razones está en proporción inversa?
Un grupo de \(4\) obreros tarda \(15\) días en construir un muro. ¿Cuántos días necesitarán \(10\) obreros, trabajando al mismo ritmo, para construir el mismo muro?
Un grifo tarda \(10\) minutos en llenar un estanque. ¿Cuánto tardarán \(5\) grifos iguales, funcionando al mismo tiempo y ritmo, en llenar el mismo estanque?
Un alumno tarda \(18\) minutos en resolver una serie de ejercicios. ¿Cuánto tardarán \(6\) alumnos resolviendo al mismo ritmo si trabajan en equipo y dividen el trabajo equitativamente?
Un corredor tarda \(30\) minutos en completar un circuito. Si se organiza una posta con \(5\) corredores que corren la misma distancia entre todos, ¿cuánto tardarán en total si mantienen el mismo ritmo?
Seis obreros realizan una obra en \(10\) días, trabajando \(8\) horas por día. ¿Cuántos días necesitarán \(4\) obreros, trabajando \(5\) horas por día, para completar la misma obra?
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) \(6:4\) para la cantidad de obreros.
\(\Rightarrow\) \(8:5\) para la cantidad de horas diarias.
\(\Rightarrow\) \(10:t\) para el tiempo en días
Paso 2: Determinamos la relación entre las razones.
\(\Rightarrow\) A mayor cantidad de obreros, menor número de horas (inversamente proporcional)
\(\Rightarrow\) A mayor cantidad de horas trabajadas al día, menor tiempo en días (inversamente proporcional)
\(\Rightarrow\) \(6 \cdot 8 \cdot 10 = 4 \cdot 5 \cdot t\)
Paso 3: Calculamos el valor de la incógnita.
\(\Rightarrow\) \(20 \cdot t = 480\)
\(\Rightarrow\) \(t = \dfrac{480}{20}\)
\(\Rightarrow\) \(t = 24\)
Respuesta final:
\(4\) obreros, trabajando \(5\) horas al día, necesitarán \(24\) días para completar la obra.
Para pintar una pared, se sabe que a mayor cantidad de pintores, menos tiempo se necesita (proporción inversa), y que si se aumenta el tamaño de la pared, se requiere más tiempo (proporción directa). Si \(4\) pintores demoran \(12\) horas en pintar una pared de \(60\) m², ¿cuántas horas demorarán \(6\) pintores en pintar una pared de \(90\) m²?
Paso 1: Identificamos las razones.
\(\Rightarrow\) \(4:6\) para la cantidad de pintores.
\(\Rightarrow\) \(60:90\) para el tamaño de la pared.
\(\Rightarrow\) \(12:t\) para el tiempo en horas.
Paso 2: Determinamos la relación entre las razones.
\(\Rightarrow\) A mayor cantidad de pintores, menor tiempo (inversamente proporcional).
\(\Rightarrow\) A mayor superficie a pintar, mayor tiempo (proporcionalidad directa).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{4 \cdot 12}{60} = \dfrac{6t}{90}\)
Paso 3: Calculamos el valor de la incógnita.
\(\Rightarrow\) \(4 \cdot 12 \cdot 90 = 6\cdot 60 \cdot t\)
\(\Rightarrow\) \(360t=4{.}320\)
\(\Rightarrow\) \(t = 12\)
Respuesta final:
Los \(6\) pintores, trabajando en una pared de \(90\) m², tardarán \(12\).
Cinco impresoras tardan \(8\) horas en imprimir \(6.000\) hojas. ¿Cuánto tiempo necesitarán \(10\) impresoras para imprimir \(9.000\) hojas, si todas trabajan al mismo ritmo?
Cuatro estudiantes copian un texto de \(120\) páginas en \(6\) días. ¿Cuántos días necesitarán \(6\) estudiantes para copiar un texto de \(180\) páginas si trabajan al mismo ritmo?
Tres repartidores entregan \(360\) paquetes en \(6\) horas. ¿Cuánto tiempo necesitarán \(8\) repartidores para entregar \(480\) paquetes, si trabajan al mismo ritmo?
Un horno puede cocinar \(40\) galletas en \(20\) minutos. ¿Cuánto tiempo necesitarán dos hornos, funcionando al mismo ritmo, para cocinar \(120\) galletas?