Las series de Fourier es una herramienta matemática utilizada para representar funciones periódicas en sus entradas como una suma infinita de funciones sinusoidales. Una función periódica es una función \(f(x)\) de una variable real \(x\) con un periodo \(T\) . El valor de \(f(x)\) puede ser real o complejo, pero el de \(x\) tiene que pertenecer a los reales.

Dicho sea esto, cualquier función periódica \(f(x)\) con periodo \(T\) puede expresarse como una combinación de senos y cosenos de diferentes frecuencias (o armónicos), lo que se conoce como su serie de Fourier.

\[f(x)= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha_n \sin(\dfrac{2\pi nx}{T})+\beta_n \cos (\dfrac{2\pi nx}{T})) \]

\(a_0\) es el coeficiente de la componente constante, básicamente, mide la parte constante de la función, es decir, su desplazamiento vertical con respecto al eje horizontal.

Se define como: \[a_0=\dfrac{1}{2T}\int_{-L}^{L}f(x)dx\] donde, \(T\) es el periodo de la función \(f(x)\) y la integral calcula el promedio de \(f(x)\) en un ciclo completo.

Ejemplo, supongamos que \(f(x)\) representa una señal eléctrica AC, entonces \(a_0\) representaría el valor de corriente continua DC en el circuito

\(a_n\) y \(b_n\) son los coeficientes de Fourier, que determinan la contribuición de cada frecuencia en la serie.

\[a_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi}{L}xdx\]

\[b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\dfrac{n\pi}{L}xdx\]

Si una función \(f(x)\) en el dominio del tiempo, osea \(f(x)=f(t)\), la expansión mediante series de Fourier nos permite convertir una función cualquiera del dominio tiempo al dominio frecuencia en el cual la función periódica no es representada de acuerdo a la forma en la cual va variando con el tiempo si no de acuerdo a la suma infinita de una frecuencua fundamental y sus frecuencias armónicas (múltiplos enteros de la frecuencia fundamental).

Naturalmente, entre más y más harmónicas vayamos sumando a la frecuencia fundamental, tanto mayor será la aproximación de la onda reconstruída en el dominio tiempo: