Tugas Week 5 (Tugas Individu)

Melakukan simulasi dan mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi terhadap lebar interval kepercayaan 95%. Kode ini akan:

1. Menghasilkan data acak dengan rata-rata 0 dan standar deviasi yang bervariasi (10, 50, 90).
2. Menghitung interval kepercayaan 95% dengan dua pendekatan:

• Jika standar deviasi populasi diketahui → menggunakan distribusi normal (z-distribution).
• Jika standar deviasi populasi tidak diketahui → menggunakan distribusi t (t-distribution).

3. Menganalisis hasilnya untuk melihat bagaimana ukuran sampel dan variabilitas memengaruhi lebar interval kepercayaan.

set.seed(123) 

# Faktor dan level
sample_sizes <- c(5, 30, 100) # Ukuran sampel
std_devs <- c(10, 50, 90) # Standar deviasi
pop_known <- c(TRUE, FALSE) # Pengetahuan σ (TRUE = diketahui, FALSE = tidak diketahui)

# Data frame untuk menyimpan hasil
results <- data.frame(Sample_Size=integer(), 
                      Std_Dev=numeric(), 
                      Pop_Known=logical(), 
                      CI_Width=numeric())

# Simulasi
for (n in sample_sizes) {
  for (sd in std_devs) {
    for (known in pop_known) {
      
      # Menghasilkan sampel acak
      data_sample <- rnorm(n, mean=0, sd=sd)
      
      # Menghitung mean sampel
      sample_mean <- mean(data_sample)
      
      # Jika standar deviasi populasi diketahui → gunakan distribusi normal (z)
      if (known) {
        error_margin <- qnorm(0.975) * (sd / sqrt(n))
      } else {
        # Jika tidak diketahui → gunakan distribusi t
        sample_sd <- sd(data_sample) # Estimasi dari sampel
        error_margin <- qt(0.975, df=n-1) * (sample_sd / sqrt(n))
      }
      
      # Lebar interval kepercayaan
      ci_width <- 2 * error_margin
      
      # Simpan hasil
      results <- rbind(results, data.frame(Sample_Size=n, Std_Dev=sd, Pop_Known=known, CI_Width=ci_width))
    }
  }
}

# Menampilkan hasil
print(results)

##    Sample_Size Std_Dev Pop_Known   CI_Width
## 1            5      10      TRUE  17.530451
## 2            5      10     FALSE  28.893263
## 3            5      50      TRUE  87.652254
## 4            5      50     FALSE 175.203915
## 5            5      90      TRUE 157.774057
## 6            5      90     FALSE 282.054842
## 7           30      10      TRUE   7.156777
## 8           30      10     FALSE   6.495727
## 9           30      50      TRUE  35.783883
## 10          30      50     FALSE  42.884906
## 11          30      90      TRUE  64.410989
## 12          30      90     FALSE  65.024702
## 13         100      10      TRUE   3.919928
## 14         100      10     FALSE   3.980583
## 15         100      50      TRUE  19.599640
## 16         100      50     FALSE  18.310974
## 17         100      90      TRUE  35.279352
## 18         100      90     FALSE  35.749291

# Visualisasi hasil
library(ggplot2)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3

ggplot(results, aes(x=factor(Sample_Size), y=CI_Width, fill=factor(Pop_Known))) +
  geom_bar(stat="identity", position="dodge") +
  facet_wrap(~Std_Dev) +
  labs(title="Pengaruh Ukuran Sampel dan Variabilitas terhadap Lebar Interval Kepercayaan",
       x="Ukuran Sampel", y="Lebar Interval Kepercayaan",
       fill="Standar Deviasi Populasi Diketahui") +
  theme_minimal()

Berdasarkan hasil simulasi dan visualisasi berikut adalah interpretasinya :

1. Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Lebar Interval Kepercayaan

• Semakin besar ukuran sampel (Sample_Size), semakin kecil lebar interval kepercayaan (CI_Width).
• Hal ini sesuai dengan teori statistik, di mana semakin banyak data yang dikumpulkan, semakin kecil ketidakpastian dalam estimasi rata-rata populasi.
• Contoh dalam hasil:
  • Untuk Sample Size = 5, lebar interval kepercayaan lebih besar.
  • Untuk Sample Size = 100, lebar interval kepercayaan jauh lebih kecil.

2. Pengaruh Variabilitas Data (Standar Deviasi) terhadap Lebar Interval Kepercayaan

• Semakin besar standar deviasi (Std_Dev), semakin lebar interval kepercayaan.
• Ketika data memiliki lebih banyak variasi (misalnya dengan standar deviasi 90), estimasi rata-rata menjadi lebih tidak pasti, sehingga interval kepercayaan menjadi lebih lebar.
• Contoh dalam hasil:
  • Std_Dev = 10 → Interval kepercayaan lebih sempit.
  • Std_Dev = 90 → Interval kepercayaan jauh lebih lebar.

3. Pengaruh Pengetahuan tentang Standar Deviasi Populasi

• Jika standar deviasi populasi diketahui (Pop_Known = TRUE), maka interval kepercayaan lebih kecil dibandingkan jika tidak diketahui (Pop_Known = FALSE).
• Jika standar deviasi populasi tidak diketahui, maka digunakan standar deviasi sampel yang menyebabkan interval kepercayaan lebih besar karena adanya ketidakpastian tambahan.
• Contoh dalam hasil:
  • Dengan Pop_Known = TRUE, interval kepercayaan lebih sempit.
  • Dengan Pop_Known = FALSE, interval kepercayaan lebih lebar.

Kesimpulan

1. Ukuran sampel lebih besar → Lebar interval kepercayaan lebih kecil (estimasi lebih akurat).
   
2. Standar deviasi lebih besar → Lebar interval kepercayaan lebih besar (data lebih bervariasi, estimasi kurang pasti).
   
3. Mengetahui standar deviasi populasi → Lebar interval kepercayaan lebih kecil (estimasi lebih pasti).