Week 5 - Ketidakpastian Estimasi

Estimasi Interval

Estimasi dalam statistika adalah proses untuk menentukan rentang nilai yang mungkin dari parameter populasiberdasarkan data sampel. Estimasi ini memberikan informasi tentang tingkat kepercayaan terhadap parametertersebut.

Selang kepercayaan (confidence interval) adalah rentang nilai yang digunakan untuk mengestimasi parameterpopulasi dengan tingkat kepercayaan tertentu. Selang ini memberikan informasi mengenai seberapa percayadiri kita bahwa parameter populasi berada dalam rentang yang telah ditentukan.

Komponen Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan dibentuk oleh tiga komponen utama: 1. Nilai Estimasi (Point Estimate): Ini adalah nilai tengah dari sampel yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi. Contoh umum adalah rata-rata sampel. 2. Tingkat Kepercayaan (Confidence Level): Tingkat kepercayaan adalah probabilitas bahwa selangkepercayaan yang dihitung mencakup parameter populasi yang sebenarnya. Tingkat kepercayaan yang umumdigunakan adalah 90%, 95%, dan 99%. 3. Margin of Error: Margin of error adalah nilai yang ditambahkan dan dikurangi dari nilai estimasi untukmembentuk selang kepercayaan. Besarnya margin of error bergantung pada variabilitas data dan ukuransampel.

Proses Perhitungan Selang Kepercayaan

Proses untuk menghitung selang kepercayaan adalah sebagai berikut: 1. Tentukan Nilai Estimasi: Tentukan nilai estimasi dari sampel, misalnya rata-rata sampel. 2. Pilih Tingkat Kepercayaan: Pilih tingkat kepercayaan yang sesuai, misalnya 95%. 3. Hitung Margin of Error: Margin of error dihitung dengan menggunakan distribusi z (jika standar deviasi populasi diketahui) atau distribusi t (jika standar deviasi populasi tidak diketahui). 4. Tentukan Selang Kepercayaan: Selang kepercayaan diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi margin of error dari nilai estimasi.

Rumus Estimasi Interval

Untuk menghitung estimasi interval dari rata-rata populasi (\(\mu\)) berdasarkan sampel, digunakan rumus berikut: - Ketika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) diketahui: \[\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] - Ketika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) tidak diketahui: \[ \bar{X} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Rumus Margin of Error

Jika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) diketahui, rumus margin of error (\(E\)) adalah: \[ E = Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Jika standar deviasi populasi tidak diketahui dan kita menggunakan standar deviasi sampel (\(\s\)), rumus margin of error adalah: \[ E = t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Di mana: - \(Z_{\alpha/2}\) adalah nilai z dari distribusi normal standar untuk tingkat kepercayaan tertentu. - \(t_{\alpha/2, df}\) adalah nilai t dari distribusi t-Student untuk tingkat kepercayaan tertentu dan derajat kebebasan (\(df\)). - (\(\sigma\)) adalah standar deviasi populasi. - (\(s\)) adalah standar deviasi sampel. - (\(n\)) adalah ukuran sampel.

Interpretasi Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan memberikan informasi tentang rentang di mana kita memperkirakan parameter populasiberada. Misalnya, selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi berarti kita 95% yakin bahwa rata-ratapopulasi berada dalam rentang tersebut. Perlu dicatat bahwa ini bukan berarti ada 95% kemungkinan bahwarata-rata populasi ada dalam selang tertentu dari satu sampel melainkan bahwa jika kita mengambil banyaksampel, 95% dari selang kepercayaan yang dihitung dari sampel-sampel tersebut akan mencakup rata-ratapopulasi yang sebenarnya. Ini berarti bahwa dalam jangka panjang, jika kita mengulang pengambilan sampeldan menghitung selang kepercayaan untuk masing-masing sampel tersebut, sekitar 95% dari selang-selangkepercayaan tersebut akan berisi nilai rata-rata populasi yang sebenarnya. Namun, ini juga berarti bahwa 5%dari selang kepercayaan yang dihitung mungkin tidak akan mencakup nilai rata-rata populasi yang sebenarnya.

Interpretasi Margin of Error

Margin of error adalah jarak dari nilai estimasi (misalnya, rata-rata sampel) ke batas atas atau batas bawahdari selang kepercayaan. Margin of error mencerminkan tingkat ketidakpastian yang kita miliki dalam estimasi.Semakin besar margin of error, semakin luas rentang estimasi kita, yang menunjukkan bahwa kita kurang yakintentang perkiraan nilai rata-rata populasi. Sebaliknya, margin of error yang lebih kecil menunjukkan estimasiyang lebih presisi dan keyakinan yang lebih tinggi terhadap estimasi tersebut. Margin of error yang kecil biasanya dihasilkan dari ukuran sampel yang lebih besar atau dari data yang memiliki variabilitas rendah.Dengan margin of error yang kecil, selang kepercayaan menjadi lebih sempit, yang berarti estimasi rata-ratapopulasi lebih dekat dengan nilai sebenarnya. Oleh karena itu, memahami margin of error membantu dalammenilai keandalan dan akurasi hasil dari analisis statistik, serta dalam mengambil keputusan berdasarkanestimasi tersebut

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan

situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka.Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.

Data:

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit
Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.

# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1

## [1] 4.253188 5.746812

# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2

## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi

Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit. Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit. Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit,menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas denganvariabilitas nilai yang berbeda.

Data:

Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10
Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.
Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.

# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA

## [1] 71.80184 78.19816

# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB

## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi:

Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216).
Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432).
Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yanglebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaanterhadap Selang Kepercayaan

Situasi :

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakandua tingkat kepercayaan yang berbeda.

Data:

Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk
Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%

Tugas:

Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.

# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90

## [1]  96.4435 103.5565

# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99

## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi:

Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536).
Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606).
Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinanyang lebih tinggi

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi:

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan datahistoris, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian:

Karena standar deviasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.

mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval

## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi:

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standardeviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagaiWeek 5 - Ketidakpastian Estimasi berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian :

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

 mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
 sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
 n <- length(tinggi_badan)
 alpha <- 0.05
 # Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
 t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
 # Menghitung margin of error
 error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
 # Menghitung interval kepercayaan
 interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
 interval

## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

Presisi Estimasi: Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm, 171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi.

Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebar (168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambah ketidakpastian.

Distribusi yang Digunakan: Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal).

Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t).

Ukuran Sampel: Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebih sempit.

Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.

Tugas (Mandiri)

-Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100

-Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90

-Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s)

set.seed(123)

# Faktor 1: Ukuran Sampel (n)
n_values <- c(5, 30, 100)

# Faktor 2: Variabilitas Data (σ atau s)
sd_values <- c(10, 50, 90)

# Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi (σ diketahui atau tidak diketahui)
known_sd <- c(TRUE, FALSE)

# Fungsi untuk menghitung lebar interval kepercayaan 95%
calculate_ci_width <- function(n, sd, known) {
  alpha <- 0.05
  if (known) {
    error <- qnorm(1 - alpha/2) * (sd / sqrt(n))
  } else {
    error <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1) * (sd / sqrt(n))
  }
  return(2 * error) # Lebar interval kepercayaan = 2 * margin of error
}

# Simulasi
results <- expand.grid(n = n_values, sd = sd_values, known = known_sd)
results$ci_width <- mapply(calculate_ci_width, results$n, results$sd, results$known)

# Menampilkan hasil
print(results)

##      n sd known   ci_width
## 1    5 10  TRUE  17.530451
## 2   30 10  TRUE   7.156777
## 3  100 10  TRUE   3.919928
## 4    5 50  TRUE  87.652254
## 5   30 50  TRUE  35.783883
## 6  100 50  TRUE  19.599640
## 7    5 90  TRUE 157.774057
## 8   30 90  TRUE  64.410989
## 9  100 90  TRUE  35.279352
## 10   5 10 FALSE  24.833280
## 11  30 10 FALSE   7.468123
## 12 100 10 FALSE   3.968434
## 13   5 50 FALSE 124.166400
## 14  30 50 FALSE  37.340614
## 15 100 50 FALSE  19.842170
## 16   5 90 FALSE 223.499520
## 17  30 90 FALSE  67.213105
## 18 100 90 FALSE  35.715905

# Plot hasil
library(ggplot2)
ggplot(results, aes(x = factor(n), y = ci_width, fill = factor(known))) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ sd, scales = "free_y") +
  labs(title = "Pengaruh Ukuran Sampel, Variabilitas, dan Pengetahuan SD terhadap Lebar CI",
       x = "Ukuran Sampel (n)",
       y = "Lebar Interval Kepercayaan",
       fill = "SD Populasi Diketahui") +
  theme_minimal()

Interpretasi Hasil:

Pengaruh Ukuran Sampel (n):

Semakin besar ukuran sampel, lebar interval kepercayaan semakin kecil → karena ketidakpastian berkurang seiring dengan bertambahnya data. Pengaruh Variabilitas Data (σ atau s):

Semakin besar variabilitas data, lebar interval kepercayaan semakin besar → karena ketidakpastian meningkat dengan meningkatnya variasi data. Pengaruh Pengetahuan Standar Deviasi Populasi:

Jika standar deviasi diketahui → interval kepercayaan lebih sempit karena ketidakpastian lebih rendah.

Jika standar deviasi tidak diketahui → interval kepercayaan lebih lebar karena adanya ketidakpastian tambahan dari estimasi standar deviasi sampel.

Week 5 - Ketidakpastian Estimasi

2025-03-14

Estimasi Interval

Komponen Selang Kepercayaan

Proses Perhitungan Selang Kepercayaan

Rumus Estimasi Interval

Rumus Margin of Error

Interpretasi Selang Kepercayaan

Interpretasi Margin of Error

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan

situasi:

Data:

Tugas:

Interpretasi

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas:

Interpretasi:

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaanterhadap Selang Kepercayaan

Situasi :

Data:

Tugas:

Interpretasi:

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi:

Tugas:

Penyelesaian:

Interpretasi:

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Tugas:

Penyelesaian :

Interpretasi

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

Tugas (Mandiri)

Interpretasi Hasil: