PSS 5 Ketidakpastian Estimasi

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka. Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.

Data:

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 meni

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan

 # Survei 1
 n1 <- 30
 mean1 <- 5
 sd1 <- 2
 alpha <- 0.05
 t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
 error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
 interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
 interval1

## [1] 4.253188 5.746812

# Survei 2
 n2 <- 100
 mean2 <- 5
 sd2 <- 2
 t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
 error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
 interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
 interval2

## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi:

Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit.
Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit.
Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit, menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas dengan variabilitas nilai yang berbeda.

Data:

Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10

Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.
Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.

# Kelas A
 nA <- 40
 meanA <- 75
 sdA <- 10
 alpha <- 0.05
 t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
 error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
 intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
 intervalA

## [1] 71.80184 78.19816

# Kelas B
 nB <- 40
 meanB <- 75
 sdB <- 20
 t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
 error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
 intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
 intervalB

## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi:

Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216).
Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432).
Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan.

Data:

Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk

Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%

Tugas:

Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan

# Tingkat Kepercayaan 90%
 alpha90 <- 0.10
 t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
 error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
 interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
 interval90

## [1]  96.4435 103.5565

# Tingkat Kepercayaan 99%
 alpha99 <- 0.01
 t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
 error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
 interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
 interval99

## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi

Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536).
Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606).
Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinan yang lebih tinggi

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi:

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan data historis, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36 mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.

Interpretasikan hasilnya.

Penyeselaian

Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.

mean_tinggi <- 170 # dalam cm
 sd_tinggi <- 5
 # dalam cm (diketahui)
 n <- 36
 alpha <- 0.05
 # Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
 z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
 # Menghitung margin of error
 error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
 # Menghitung interval kepercayaan
 interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
 interval

## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi:

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standar deviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 
171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)

Tugas:

Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.

Interpretasikan hasilnya

Penyelesaian:

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
 sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
 n <- length(tinggi_badan)
 alpha <- 0.05
 # Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
 t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
 # Menghitung margin of error
 error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
 # Menghitung interval kepercayaan
 interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
 interval

## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

Presisi Estimasi: Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm, 171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi.

Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebar (168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambah ketidakpastian.

Distribusi yang Digunakan: Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal).

Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t).

Ukuran Sampel: Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebih sempit.

Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.

Tugas (Mandiri)

Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100
Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90
Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s)

set.seed(123)

# Faktor 1: Ukuran Sampel (n)
n_values <- c(5, 30, 100)

# Faktor 2: Variabilitas Data (σ atau s)
sd_values <- c(10, 50, 90)

# Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi (σ diketahui atau tidak diketahui)
known_sd <- c(TRUE, FALSE)

# Fungsi untuk menghitung lebar interval kepercayaan 95%
calculate_ci_width <- function(n, sd, known) {
  alpha <- 0.05
  if (known) {
    error <- qnorm(1 - alpha/2) * (sd / sqrt(n))
  } else {
    error <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1) * (sd / sqrt(n))
  }
  return(2 * error) # Lebar interval kepercayaan = 2 * margin of error
}

# Simulasi
results <- expand.grid(n = n_values, sd = sd_values, known = known_sd)
results$ci_width <- mapply(calculate_ci_width, results$n, results$sd, results$known)
# Menampilkan hasil
print(results)

##      n sd known   ci_width
## 1    5 10  TRUE  17.530451
## 2   30 10  TRUE   7.156777
## 3  100 10  TRUE   3.919928
## 4    5 50  TRUE  87.652254
## 5   30 50  TRUE  35.783883
## 6  100 50  TRUE  19.599640
## 7    5 90  TRUE 157.774057
## 8   30 90  TRUE  64.410989
## 9  100 90  TRUE  35.279352
## 10   5 10 FALSE  24.833280
## 11  30 10 FALSE   7.468123
## 12 100 10 FALSE   3.968434
## 13   5 50 FALSE 124.166400
## 14  30 50 FALSE  37.340614
## 15 100 50 FALSE  19.842170
## 16   5 90 FALSE 223.499520
## 17  30 90 FALSE  67.213105
## 18 100 90 FALSE  35.715905

# Plot hasil
library(ggplot2)
ggplot(results, aes(x = factor(n), y = ci_width, fill = factor(known))) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ sd, scales = "free_y") +
  labs(title = "Pengaruh Ukuran Sampel, Variabilitas, dan Pengetahuan SD terhadap Lebar CI",
       x = "Ukuran Sampel (n)",
       y = "Lebar Interval Kepercayaan",
       fill = "SD Populasi Diketahui") +
  theme_minimal()

### Interpretasi Hasil:

Pengaruh Ukuran Sampel (n): Semakin besar jumlah sampel yang digunakan, interval kepercayaan cenderung semakin sempit. Hal ini terjadi karena bertambahnya data membuat estimasi terhadap parameter populasi menjadi lebih pasti.
Pengaruh Variabilitas Data (σ atau s): Jika data memiliki tingkat variasi yang tinggi, maka interval kepercayaan akan semakin lebar. Semakin besar penyebaran data, semakin tinggi pula ketidakpastian dalam estimasi yang dihasilkan.
Pengaruh Pengetahuan Standar Deviasi Populasi:

Jika standar deviasi populasi diketahui, maka interval kepercayaan menjadi lebih sempit karena tingkat ketidakpastian lebih rendah.

Namun jika standar deviasi tidak diketahui dan harus diestimasi dari sampel, interval kepercayaannya menjadi lebih lebar akibat tambahan ketidakpastian dari proses estimasi tersebut.

PSS 5 Ketidakpastian Estimasi

Gifari Ziglar Al Bara

2025-04-14

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas:

Interpretasi:

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas:

Interpretasi:

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Data:

Tugas:

Interpretasi

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi:

Tugas:

Penyeselaian

Interpretasi:

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Tugas:

Penyelesaian:

Interpretasi

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

Tugas (Mandiri)