Objetivo:

El objetivo de este caso es entender la distribución binomial, sus aplicaciones y cómo calcular probabilidades usando R. Se busca estudiar el comportamiento de una variable aleatoria discreta, en la cual se realizan una serie de intentos independientes, cada uno con una probabilidad constante de éxito.

Descripción:

La distribución binomial modela el número de éxitos en una secuencia de intentos independientes, donde cada intento tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso). Esta distribución es fundamental en la estadística, especialmente para estudios de eventos repetitivos, como pruebas de calidad, encuestas y experimentos médicos.

Fundamento Teórico:

La distribución binomial está definida por dos parámetros:

  • n: el número de ensayos.

  • p: la probabilidad de éxito en cada ensayo.

  • La función de masa de probabilidad de la distribución binomial es:

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{(n-k)} \]

donde:

\[ \binom{n}{k} \]

es el coeficiente binomial, que se calcula como

\[ \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!} \]

\[ p^{k} \]

es la probabilidad de tener k éxitos,

\[ (1 - p)^{n-k} \]

es la probabilidad de tener n - k fracasos.

El valor esperado y la varianza de una distribución binomial son:

Valor esperado

\[ (E(X)):n \cdot p \]

Varianza

\[ (Var(X)):n \cdot p \cdot (1 - p) \]

Fórmulas:

Función de masa de probabilidad:

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p) ^{n-k} \]

Valor esperado:

\[ E(X)=n \cdot p \]

Varianza:

\[ Var(X)=n \cdot p \cdot (1 - p) \]

Ejercicio

A continuación, vamos a calcular algunas probabilidades con una distribución binomial utilizando R.

Probabilidad de obtener exactamente 3 éxitos en 10 intentos, con una probabilidad de éxito de 0.5:

dbinom(x = 3, size = 10, prob = 0.5)
## [1] 0.1171875

Probabilidad acumulada de obtener 3 o menos éxitos:

pbinom(q = 3, size = 10, prob = 0.5)
## [1] 0.171875

Probabilidad de obtener 4 o más éxitos (usando el complemento):

pbinom(q = 3, size = 10, prob = 0.5, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.828125

Gráficas en R:

Vamos a graficar la función de masa de probabilidad para visualizar cómo se distribuyen los éxitos.

# Parámetros
n <- 10  # número de intentos
p <- 0.5  # probabilidad de éxito

# Gráfico de la distribución binomial
x <- 0:n
probabilidad <- dbinom(x, size = n, prob = p)

# Graficar
barplot(probabilidad, names.arg = x, col = "skyblue", 
        main = "Distribución Binomial", 
        xlab = "Número de éxitos", ylab = "Probabilidad", 
        border = "blue")

Conclusión:

La distribución binomial es fundamental para modelar experimentos con dos resultados posibles. Usando R, podemos calcular probabilidades específicas y representar visualmente cómo varían las probabilidades con diferentes valores de n y p. Estas herramientas son esenciales para la estadística y las ciencias aplicadas.

Interpretación:

La distribución binomial describe situaciones en las que realizamos una serie de ensayos independientes y idénticos, cada uno con dos resultados posibles: éxito o fracaso. En nuestro caso, la probabilidad de éxito es de ppp y el número total de ensayos es nnn. La distribución nos permite calcular la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en esos nnn intentos.