# Verificar, instalar y activar el paquete "tidyverse"
if (!require(tidyverse)) {
install.packages("tidyverse")
}
library(tidyverse)
# Verificar, instalar y activar el paquete "kableExtra"
if (!require(kableExtra)) {
install.packages("kableExtra")
}
library(kableExtra)Para el desarrollo de técnicas de inferencia estadística, es conveniente relacionar directamente los resultados de un experimento aleatorio con números reales, ya que con tal asociación el análisis de las características de interés es más productivo.
Dependiendo de si la variable resultante es discreta (solo pueden adoptar un número finito o una infinidad enumerable de valores) o continua (los valores están asociados con una escala continua de medición), es posible describir su comportamiento probabilístico a partir de la función de probabilidad o de la función de densidad, respectivamente.
Además, por medio de estas funciones es posible calcular todo tipo de medidas (e.g., tendencia central) a nivel “poblacional”. En este contexo, tales medidas se denominan parámetros.
1 Apropiarse del concepto de variable aleatoria.
2 Conocer, entender y usar apropiadamente los conceptos de función de probabilidad o función de distribución, según sea el caso.
3 Apropiarse de los conceptos de valor esperado y varianza poblacional.
Una v.a. \chi es una función cuyo dominio es \Omega y recorrido \mathbb{R}, que asigna un único número real a cada resultado del espacio muestral \Omega de un experimento aleatorio. De tal forma que la inversa de \chi calculada en un subconjunto de los reales, siempre pertenece a A \chi :\Omega \to \mathbb{R}:\omega \mapsto \chi \left ( \omega \right )
Las v.a.s pueden ser de dos tipos dependiendo su recorrido:
Discretas: Cuando su recorrido es numerable. Un buen ejemplo de variables discretas son los conteos, como el número de casos incidentes de SarsCov2 en un mes determinado.
Continuas: Cuando su recorrido es no numerable, es decir cuando entre dos valores de la variable hay infinitos posibles valores de ésta, como por ejemplo la longitud(m) y la temperatura (°C).
Nota: Las v.a. se simbolizan, generalmente, con letras mayúsculas \chi ,Y,Z. Se utiliza su correspondiente letra minúscula (en este caso x,y,z para designar sus posibles valores. Por ejemplo, si $$ representa la v.a. “número de caras obtenido” que pueden resultar al lanzar una moneda tres veces consecutivas, entonces, sus valores son x= 0,1,2,3.
Sea \chi una v.a.d. que toma los valores x_{1},x_{2},\cdots (finitos o infinitos enumerables). Una función f_{x}: \mathbb{R}\to \begin{bmatrix} 0,1\end{bmatrix} es una función de masa de probabilidad (f.m.p.) de \chi si y solo si:
f_{X}\left ( x \right )= \left\{\begin{matrix} P\left ( X=x \right ), si x =x_{1},x_{2},\cdots \\0, en otro caso \end{matrix}\right.
donde:
\left ( X=x \right )=\left\{ \omega \in \Omega :X\left ( \omega \right )\right\},de tal forma que si x no es uno de los valores que toma la v.a. $$, entonces F_{X}\left ( x \right )=0$
Sea F_{X} una f.m.p. de una v.a.d. \chi que asume los valores x1,x2,\cdots definida sobre un espacio muestral $$ no vacio. Entonces se satisface que:
f\left ( x_{k} \right )\geq 0 para todo x_{k} de \chi
\sum _{k}f\left ( x_{k} \right )=1
Sea \chi una v.a.d. que sume los valores x1,x2,\cdots (finitos o infinitos enumerables). La función de distribución es aquella que calcula la probabilidad acumulada hasta un punto x es decir, es la función f_{x}:\mathbb{R}\to\begin{bmatrix} 0,1\end{bmatrix}, definida por:
f_{X}\left (x \right )=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}f_{X}\left ( t \right ) para cualquier número real x, cuando X tiene f.m.p. f_{X}.
Sea F_X una f.d.a. de una v.a.d. X definida sobre un espacio muestral \Omega no vacío. Entonces se satisface que:
Si x es un número real, entonces:
0 \leq F_X(x) \leq 1
Si x es un número real, entonces:
P(X > x) = 1 - F_X(x) \quad \text{y} \quad P(X \geq x) = 1 - F_X(x^-)
donde: x^- representa el máximo valor que puede asumir X estrictamente menor que x.
Si x es un valor que puede asumir X, entonces:
f_X(x) = F_X(x) - F_X(x^-)
Si a y b son números reales tales que a \leq b entonces F_X(a) \leq F_X(b) es decir, F_X es una función creciente; y además se tiene que:
P(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a^-) \quad \text{y} \quad P(a < X < b) = F_X(b^-) - F_X(a) # . Variables Aleatorias Continuas
Cuando la variable objeto de estudio es continua, no tiene sentido hacer una suma de las probabilidades de cada uno de los valores de la variable como con las variables discretas, ya que el conjunto de valores que toma una variable continua es no numerable. En este caso, se generalizan de modo natural los conceptos, empleando la integral \int en lugar de la suma \sum.
Una función f_X : \mathbb{R} \longrightarrow [0, \infty) se dice que es una función de densidad de probabilidad (f.d.p.) de una v.a.c. X si satisface las siguientes condiciones:
1f_X(x) \geq 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}
2Para cualquier par de números reales a y b tales que a \leq b, se tiene que: P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) dx 3El área bajo toda la gráfica de f_X es 1, esto es: \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \, dx = 1 ## . Funcion de distribucion
La función de distribución de una v.a.c. X con función de densidad f_X, es la función:
F_X : \mathbb{R} \longrightarrow [0, 1] definida por:
F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt
para todo número real x.
Si F_X es una función de distribución de una v.a.c. X, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:
1Si x es un número real, entonces 0 \leq F_X(x) \leq 1, y además: \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1
2Si x es un número real, entonces: P(X = x) = 0 \quad \text{y} \quad P(X \geq x) = P(X > x) = 1 - F_X(x)
3Si a y b son dos números reales tales que a \leq b, entonces F_X(a) \leq F_X(b), es decir F_X es creciente; y además se tiene que: P(a \leq X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b) = P(a < X < b) = F_X(b) - F_X(a)
4Si f_X es la f.d.p. de X, entonces: f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) = F'_X(x) donde F'_X(x) es la derivada de F_X(x) respecto a x.
Sea X una v.a.c. con f.d.a. F_X y p un número real tal que 0 \leq p \leq 100. El percentil p de la distribución de X, denotado con \pi_p, es un valor de X tal que:
\frac{p}{100} = F_X(\pi_p)
El percentil p de una variable continua X con 0 \leq p \leq 100, corresponde al valor del eje de medición de X tal que el p\% del área bajo la gráfica de la f.d.p. de X está a la izquierda de \pi_p y el (100 - p)\% está a la derecha
Como antes, el percentil 50 se denomina mediana y se simboliza con \tilde{\mu}_X.
Sobre la distribución de una v.a. se acostumbra registrar algunas características de interés, denominadas parámetros, como la localización y la dispersión.
Sea X una v.a. con (f.m.p.) f_X para el caso discreto o con (f.d.p.) f_X para el caso continuo. El valor esperado de X se define como:
\mathbb{E}[X] = \mu_X = \begin{cases} \sum_k x_k f_X(x_k), & \text{si } X \text{ es una v.a.d.} \\ \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx, & \text{si } X \text{ es una v.a.c.} \end{cases}
En general, si g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} es una función, entonces se tiene el valor esperado de g(X) se define como:
\mathbb{E}[g(X)] = \begin{cases} \sum_k g(x_k) f_X(x_k), & \text{si } X \text{ es una v.a.d.} \\ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) dx, & \text{si } X \text{ es una v.a.c.} \end{cases}
Sea X una variable aleatoria y a, b números reales. Entonces se tiene que:
1\mathbb{E}[a] = a
2\mathbb{E}[aX + b] = a\mathbb{E}[X] + b
3Si a_1, a_2, \ldots, a_n son n números reales y X_1, X_2, \ldots, X_n son n v.a.’s con esperanza finita, entonces:
\mathbb{E} \left[ \sum_{i=1}^n a_i X_i \right] = \sum_{i=1}^n a_i \mathbb{E}[X_i]
Sea X una v.a. con (f.m.p.) f_X para el caso discreto o con (f.d.p.) f_X para el caso continuo. Se define la varianza de X como el segundo momento centrado alrededor de la media de X esto es:
V[X] = \sigma_X^2 = \begin{cases} \sum_{k}(x_k - \mu_X)^2 f_X(x_k), & \text{si } X \text{ es una v.a.d.} \\ \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu_X)^2 f_X(x)dx, & \text{si } X \text{ es una v.a.c.} \end{cases}
donde \mu_X = \mathbb{E}[X] es el valor esperado de X.
SiX es una v.a entonces se satisface que:
V[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2
Sea X una v.a. y a, b números reales. Entonces se tiene que:
V[X] \geq 0
V[a] = 0
V[X + a] = V[X]
V[bX] = b^2V[X], con b constante
Si X_1, X_2, \ldots, X_m son variables aleatorias independientes,
V\left[\sum_{i=1}^m X_j\right] = \sum_{i=1}^m V[X_j]
Si X es una v.a. con media \mu_X y varianza \sigma_X^2, entonces la desviación estándar o desviación típica de X, denotada con \sigma_X se define como:
\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}.
El coeficiente de variación de Pearson, denotado con CV_X, está dado por:
CV_X = \left| \frac{\sigma_X}{\mu_X} \right|.
La mediana \text{Me} de una variable aleatoria X se define como el valor que cumple:
P(X \leq \text{Me}) = 0.5
Para una muestra ordenada (x_1, x_2, \dots, x_n), la mediana se calcula como: \text{Me} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & \text{si } n \text{ es impar}, \\ \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} & \text{si } n \text{ es par}. \end{cases}
Los cuartiles (Q1, Q2, Q3) de una variable aleatoria X con CDF F(x) se definen como:
F(Q_p) = p \quad \text{para} \quad p = 0.25, 0.5, 0.75.
Para una muestra ordenada (x_1, x_2, \dots, x_n), el cálculo sigue:
Q1 = x_{\lceil 0.25n \rceil}, \quad Q2 = \text{Mediana}, \quad Q3 = x_{\lceil 0.75n \rceil}.
El Rango Intercuartílico (IQR) es:
IQR = Q3 - Q1 ## . Propiedades E(x)
Se desea conocer el número de automóviles que se deben poner a la venta durante un periodo determinado para que se satisfaga una demanda media de 300 unidades con una desviación típica de 100 unidades, con una probabilidad no inferior al 75%
Solución
Variable aleatoria
Sea X la variable aleatoria que representa el número de asistentes al cine, donde:
Ley de probabilidad
Aplicamos la desigualdad de Chebyshev para acotar la probabilidad:
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} Función de distribución
Como no conocemos la distribución exacta, usamos aproximación normal:
X \approx N(\mu, \sigma^2) F_X(x) = P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)
Variable aleatoria continua
Aproximamos X como continua para el cálculo.
Medidas de localización
Media: \mu = 600
Mediana: \approx 600 (simétrica)
Moda: \approx 600 (simétrica)
Valor esperado
E[X] = \mu = 600
Varianza
\text{Var}(X) = \sigma^2 = 100^2 = 10,000 Desviación estándar
\sigma = 100 Coeficiente de variación
CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100 = \frac{100}{600} \times 100 \approx 16.67\% Probabilidad solicitada
Queremos P(X > 800):
P(X \> 800) = 1 - P(X \leq 800) = 1 - \Phi\left(\frac{800-600}{100}\right) \$ \$ = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228
Gráfica en R
curve(dnorm(x, 600, 100), 300, 900, main = "Distribución de asistentes",
xlab = "Número de personas", ylab = "Densidad")
abline(v = 800, col = "violet", lty = 2)
text(850, 0.002, "Umbral: 800", col = "violet")
La demanda diaria de un determinado artículo es una variable aleatoria con función de densidad:
f(x) = \begin{cases} \frac{1}{8} & 0 < x \leq 4 \\ \frac{12 - x}{64} & 4 < x \leq 12 \\ 0 & \text{otro caso} \end{cases}
Los beneficios diarios dependen de la demanda según la siguiente función:
B = \begin{cases} -5 & \text{si} \quad x < 2 \\ 5 & \text{si} \quad 2 < x \leq 4 \\ 10 & \text{si} \quad 4 < x \leq 8 \\ 15 & \text{si} \quad 8 < x \leq 12 \end{cases}
Solución:
Variable aleatoria discreta B
La variable aleatoria discreta es el beneficio diario B, que toma valores -5, 5, 10 y 15 dependiendo del rango de la demanda x.
Ley de probabilidad de B
Calculamos las probabilidades para cada valor de B:
P(B = -5) = P(X < 2) = \int_0^2 \frac{1}{8}\, dx = \frac{2}{8} = 0.25
P(B = 5) = P(2 < X \leq 4) = \int_2^4 \frac{1}{8}\, dx = \frac{2}{8} = 0.25
P(B = 10) = P(4 < X \leq 8) = \int_4^8 \frac{12 - x}{64}\, dx = \left. \frac{12x - \frac{x^2}{2}}{64} \right|_4^8 = \frac{64}{64} = 1
P(B = 15) = P(8 < X \leq 12) = \int_8^{12} \frac{12 - x}{64}\, dx = \left. \frac{12x - \frac{x^2}{2}}{64} \right|_8^{12} = \frac{72 - 80}{64} = 0.125
Ley de probabilidad
P(B = b) = \begin{cases} 0.25 & \text{si } b = -5 \\ 0.25 & \text{si } b = 5 \\ 0.50 & \text{si } b = 10 \\ 0.125 & \text{si } b = 15 \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{cases}
Función de distribución de B
F_B(b) = P(B \leq b) = \begin{cases} 0 & b < -5 \\ 0.25 & -5 \leq b < 5 \\ 0.5 & 5 \leq b < 10 \\ 1 & b \geq 15 \\ \end{cases}
Variable aleatoria continua (X)
La demanda diaria X es una variable aleatoria continua con función de densidad dada.
Medidas de localización
Media: E[X] =5
Mediana:6 Moda: 4
Valor esperado de B
E[B] = 6.875
Varianza de B
\text{Var}(B) = 33.984375
Desviación estándar de B
\sigma_B \approx 5.8296
Coeficiente de variación de B
\text{CV}_B \approx 84.79\%
Mediana de B
10
Cuartiles de localización de B
Primer cuartil: Q_1: -5
Segundo cuartil/Mediana Q_2: 10
Tercer cuartil Q_3: 10
Grafica en R
# Instalar ggplot2 si no lo tienes (solo necesario una vez)
# install.packages("ggplot2")
# Cargar la librería ggplot2
library(ggplot2)
# Definir los rangos de x
x <- seq(0, 12, length.out = 1000)
# Definir la función de densidad f(x)
f_x <- ifelse(x > 0 & x <= 4, 1/8,
ifelse(x > 4 & x <= 12, (12 - x)/64,
0))
# Crear un data frame para la función de densidad
df_densidad <- data.frame(x = x, f_x = f_x)
# Graficar la función de densidad
ggplot(df_densidad, aes(x = x, y = f_x)) +
geom_line(color = "blue", size = 1) +
geom_area(fill = "blue", alpha = 0.2) +
labs(title = "Función de densidad de la demanda diaria",
x = "Demanda (x)",
y = "Densidad f(x)") +
theme_minimal() +
scale_x_continuous(breaks = seq(0, 12, by = 2)) +
ylim(0, max(f_x) * 1.1)
En un cine de verano hay instaladas 800 sillas, sabiendo que el número de asistentes es una variable aleatoria de media 600 y desviación típica 100. ¿Qué probabilidad existe de que el número de personas que vaya al cine un día cualquiera sea superior al número de sillas instaladas?
Variable aleatoria
Sea X la variable aleatoria que representa el número de asistentes al cine, donde:
X \sim Distribución desconocida \mu = 600 (media) \sigma = 100 (desviación típica) Capacidad máxima: 800 sillas
Ley de probabilidad
Aplicamos aproximación normal por el Teorema Central del Límite:
$ X N(, ^2)$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
Función de distribución
Usamos la distribución normal estándar:
F_X(x) = P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)
Variable aleatoria continua
Aproximamos X como continua para los cálculos.
Medidas de localización
Media: \mu = 600 Mediana: \approx 600 (distribución simétrica) Moda: \approx 600 (distribución simétrica)
Valor esperado
E[X] = \mu = 600
Varianza
\text{Var}(X) = \sigma^2 = 100^2 = 10,000
Desviación estándar
\sigma = 100
Coeficiente de variación
CV = \left(\frac{\sigma}{\mu}\right) \times 100 = \left(\frac{100}{600}\right) \times 100 \approx 16.67\%
Probabilidad solicitada
Calculamos P(X > 800):
P(X > 800) = 1 - P(X \leq 800) = 1 - \Phi\left(\frac{800-600}{100}\right) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228 Resultado: Existe un 2.28\% de probabilidad de que la asistencia supere las 800 sillas.
Gráfica en R
curve(dnorm(x, mean=600, sd=100), from=300, to=900,
main="Distribución de asistentes",
xlab="Número de personas", ylab="Densidad")
abline(v=800, col="red", lty=2)
text(810, 0.002, "Umbral: 800", col="red")