Pendahuluan

Variabel Random adalah variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil dari suatu percobaan acak. Variabel random dapat dibagi menjadi dua jenis: - Variabel Random Diskrit: Variabel yang hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu (biasanya bilangan bulat). Contoh: jumlah pelanggan yang datang ke restoran dalam sehari. - Variabel Random Kontinu: Variabel yang dapat mengambil nilai apa pun dalam suatu interval. Contoh: tinggi badan seseorang, pendapatan bulanan. Dalam pemodelan statistika dan simulasi, variabel random digunakan untuk memodelkan fenomena acak. Simulasi variabel random membantu kita memahami distribusi data, menghitung probabilitas, dan membuat prediksi berdasarkan model yang telah dibuat.

Simulasi Sederhana: Variabel Random Uniform

Distribusi uniform adalah distribusi di mana semua nilai dalam interval tertentu memiliki probabilitas yang sama.

# Simulasi 1000 variabel random dari distribusi uniform
set.seed(123)  # Set seed untuk reproducibility
n <- 1000
uniform_data <- runif(n, min = 0, max = 1)

# Plot histogram
hist(uniform_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Uniform", xlab = "Nilai", col = "lightblue")

runif(n, min, max) digunakan untuk menghasilkan n variabel random dari distribusi uniform dengan rentang min hingga max.

Histogram menunjukkan bahwa nilai-nilai tersebar merata antara 0 dan 1, sesuai dengan sifat distribusi uniform.

Simulasi Distribusi Diskrit: Distribusi Binomial

Distribusi binomial menggambarkan jumlah sukses dalam n percobaan independen dengan probabilitas sukses p.

# Simulasi 1000 variabel random dari distribusi binomial
n_trials <- 10  # Jumlah percobaan
p_success <- 0.5  # Probabilitas sukses
binomial_data <- rbinom(n, size = n_trials, prob = p_success)

# Plot histogram
hist(binomial_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Binomial", xlab = "Jumlah Sukses", col = "pink")

rbinom(n, size, prob) digunakan untuk menghasilkan n variabel random dari distribusi binomial dengan size percobaan dan probabilitas sukses prob.

Histogram menunjukkan distribusi jumlah sukses, yang berbentuk simetris karena p = 0.5.

Simulasi Distribusi Kontinu: Distribusi Normal

Distribusi normal adalah distribusi kontinu yang berbentuk lonceng, dengan mean mu dan standar deviasi sigma.

# Simulasi 1000 variabel random dari distribusi normal
mu <- 0  # Mean
sigma <- 1  # Standar deviasi
normal_data <- rnorm(n, mean = mu, sd = sigma)

# Plot histogram
hist(normal_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Normal", xlab = "Nilai", col = "lightgreen")

rnorm(n, mean, sd) digunakan untuk menghasilkan n variabel random dari distribusi normal dengan mean mu dan standar deviasi sigma.

Histogram menunjukkan distribusi berbentuk lonceng, yang khas untuk distribusi normal. ## Distribusi Poisson (Diskrit)

lambda <- 3  # Parameter lambda
poisson_data <- rpois(n, lambda)
hist(poisson_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Poisson", xlab = "Jumlah Kejadian", col = "lightyellow")

Distribusi Poisson digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian langka dalam interval waktu atau ruang.

Histogram menunjukkan distribusi yang miring ke kanan, yang khas untuk distribusi Poisson dengan lambda kecil.

Distribusi Eksponensial (Kontinu)

rate <- 1  # Parameter rate
exp_data <- rexp(n, rate)
hist(exp_data, breaks = 30, main = "Histogram Distribusi Eksponensial", xlab = "Nilai", col = "lightcoral")

Distribusi eksponensial digunakan untuk memodelkan waktu antara kejadian dalam proses Poisson.

Histogram menunjukkan distribusi yang miring ke kanan, dengan nilai-nilai yang semakin kecil semakin sering muncul.

Latihan Studi Kasus

Studi Kasus 1: Simulasi Pendapatan Bulanan

# Simulasi pendapatan bulanan
set.seed(123)
n_employees <- 500
mean_income <- 10000000
sd_income <- 2000000
income_data <- rnorm(n_employees, mean = mean_income, sd = sd_income)

# 1. Rata-rata pendapatan simulasi
mean_simulated <- mean(income_data)
cat("Rata-rata pendapatan simulasi:", mean_simulated, "\n")

## Rata-rata pendapatan simulasi: 10069181

# 2. Probabilitas pendapatan di atas Rp 12.000.000
prob_above_12m <- sum(income_data > 12000000) / n_employees
cat("Probabilitas pendapatan di atas Rp 12.000.000:", prob_above_12m, "\n")

## Probabilitas pendapatan di atas Rp 12.000.000: 0.164

Simulasi ini memodelkan pendapatan bulanan karyawan dengan distribusi normal.
Rata-rata pendapatan simulasi mendekati mean yang diberikan (Rp 10.000.000).
Probabilitas pendapatan di atas Rp 12.000.000 dihitung dengan menghitung proporsi data yang melebihi nilai tersebut.

Studi Kasus 2: Simulasi Jumlah Pelanggan

# Simulasi jumlah pelanggan
set.seed(123)
n_days <- 30
lambda_customers <- 50
customers_data <- rpois(n_days, lambda_customers)

# 1. Rata-rata jumlah pelanggan simulasi
mean_customers <- mean(customers_data)
cat("Rata-rata jumlah pelanggan simulasi:", mean_customers, "\n")

## Rata-rata jumlah pelanggan simulasi: 48.96667

# 2. Probabilitas jumlah pelanggan lebih dari 60
prob_above_60 <- sum(customers_data > 60) / n_days
cat("Probabilitas jumlah pelanggan lebih dari 60:", prob_above_60, "\n")

## Probabilitas jumlah pelanggan lebih dari 60: 0.03333333

Simulasi ini memodelkan jumlah pelanggan yang datang ke restoran setiap hari dengan distribusi Poisson.

Rata-rata jumlah pelanggan simulasi mendekati lambda (50).

Probabilitas jumlah pelanggan lebih dari 60 dihitung dengan menghitung proporsi data yang melebihi nilai tersebut

Tugas Tambahan

Buat simulasi untuk distribusi diskrit dan distribusi kontinu. # Jawab # Study Kasus Distribusi Diskrit – Distribusi Poisson : Seorang operator call center ingin mengetahui berapa banyak panggilan masuk yang terjadi per jam. Dari data historis, rata-rata ada 5 panggilan per jam. Simulasikan 1000 jam aktivitas untuk melihat distribusi jumlah panggilan.

set.seed(2025)

poisson_data <- rpois(n = 1000, lambda = 5)

hist(poisson_data,
     main = "Distribusi Poisson: Jumlah Panggilan Masuk per Jam",
     xlab = "Jumlah Panggilan",
     col = "orange",
     border = "white")

# Study kasus Distribusi Diskrit - Binomial: Peluang menang dalam 10 kali lempar koin adil.

set.seed(100)
binom_data <- rbinom(n = 1000, size = 10, prob = 0.5)
hist(binom_data,
     main = "Distribusi Binomial (n=10, p=0.5)",
     xlab = "Jumlah Sukses",
     col = "lightblue", border = "white")

# Study kasus Distribusi Kontinu - Normal: Tinggi badan siswa dengan rata-rata 165 cm dan standar deviasi 6 cm.

set.seed(100)
normal_data <- rnorm(n = 1000, mean = 165, sd = 6)
hist(normal_data,
     main = "Distribusi Normal (Mean=165, SD=6)",
     xlab = "Tinggi Badan (cm)",
     col = "lightgreen", border = "white")

Study kasus Distribusi Kontinu – Distribusi Eksponensial:

Seorang teknisi jaringan ingin mengetahui waktu antara dua kerusakan perangkat. Diketahui bahwa rata-rata kerusakan terjadi setiap 4 jam. Simulasikan waktu antar kerusakan sebanyak 500 kali.

set.seed(2025)

exponential_data <- rexp(n = 500, rate = 1/4)

hist(exponential_data,
     main = "Distribusi Eksponensial: Waktu Antar Kerusakan",
     xlab = "Jam",
     col = "lightcoral",
     border = "white")

# 2. Buat studi kasus sendiri yang melibatkan simulasi variabel random dari distribusi yang telah dipelajari.

Jawab

Studi Kasus: Antrian di Klinik # Latar Belakang: Sebuah klinik menerima pasien setiap pagi. Berdasarkan data historis:

Rata-rata waktu antar kedatangan pasien adalah 10 menit (eksponensial).
Probabilitas seorang pasien datang tepat waktu adalah 0.8 (binomial untuk 1 pasien).

Yang akan di lakukan:

Mensimulasikan waktu antar kedatangan 100 pasien menggunakan distribusi eksponensial.
Mensimulasikan apakah pasien datang tepat waktu dari 100 pasien menggunakan distribusi binomial.

set.seed(150)

# Simulasi waktu antar kedatangan (kontinu - eksponensial)
arrival_times <- rexp(n = 100, rate = 1/10)  # rata-rata 10 menit

# Simulasi apakah pasien datang tepat waktu (diskrit - binomial)
on_time <- rbinom(n = 100, size = 1, prob = 0.8)

# Plot
par(mfrow = c(1, 2))  # tampilkan 2 grafik berdampingan

hist(arrival_times,
     main = "Distribusi Eksponensial: Waktu Antar Pasien",
     xlab = "Menit", col = "lightcoral", border = "white")

barplot(table(on_time),
        names.arg = c("Terlambat", "Tepat Waktu"),
        main = "Distribusi Binomial: Ketepatan Waktu",
        col = "skyblue")

week 3 - Simulasi Variabel Random

Annisa Maisaroh

2025-04-13