Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadapSelang Kepercayaan
Situasi: Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka. Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda
Data: - Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standardeviasi = 2 menit - Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit
Tugas 1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei. 2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei. 3.Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.
# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1## [1] 4.253188 5.746812# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2## [1] 4.603157 5.396843Interpretasi : - Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit. - Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit. - Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit,menunjukkan estimasi yang lebih presisi.
Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadapSelang Kepercayaan
Situasi: Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas denganvariabilitas nilai yang berbeda.
Data: - Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10 - Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20
Tugas 1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas. 2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas. 3. Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.
# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA## [1] 71.80184 78.19816# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB## [1] 68.60369 81.39631Interpretasi: - Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216). - Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432). - Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yanglebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.
Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaanterhadap Selang Kepercayaan
Situasi: Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakandua tingkat kepercayaan yang berbeda.
Data: - Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk - Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%
Tugas: 1. Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan. 2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan. 3. Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.
# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90## [1] 96.4435 103.5565# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99## [1] 94.31496 105.68504Interpretasi: - Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536). - Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606). - Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinanyang lebih tinggi.
Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)
Situasi Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan datahistoris, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.
Tugas: 1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa. 2. Interpretasikan hasilnya.
Penyelesaian Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.
mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval## [1] 168.3667 171.6333Interpretasi Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.
Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi BadanMahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)
Situasi: Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standardeviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai.
berikut (dalam cm):
tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)
tinggi_badan## [1] 165 168 170 172 169 167 171 166 173 174 170 168 169 167 172 171 170 169 168
## [20] 173 172 170 169 167 171Tugas: 1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa. 2. Interpretasikan hasilnya.
Penyelesaian: Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.
mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval## [1] 168.6802 170.5998Interpretasi Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm).Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebutberada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yangmenghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.
Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vsTidak Diketahui 1. Presisi Estimasi: - Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm,171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi. - Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebarWeek 5 - Ketidakpastian Estimasi(168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambahketidakpastian. 2. Distribusi yang Digunakan: - Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal). - Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t). 2. Ukuran Sampel: - Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebihsempit. - Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.
Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan Beberapa faktor yang dapat mempengaruhi lebar selang kepercayaan antara lain: 1. Ukuran Sampel: Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit selang kepercayaan, karena semakinbanyak informasi yang tersedia untuk mengestimasi parameter populasi. 2. Variabilitas Data: Semakin besar variabilitas data (standar deviasi), semakin lebar selang kepercayaan. Halini karena data yang lebih variabel memerlukan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi.3. Tingkat Kepercayaan: Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang kepercayaan yang lebihlebar, karena kita memerlukan rentang yang lebih luas untuk meningkatkan keyakinan bahwa parameterpopulasi tercakup.
Kesimpulan Estimasi dalam dan selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kitauntuk membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami danmenghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untukpengambilan keputusan.
Tugas Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), danpengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut:
# Konversi kode ke dalam R
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(ggplot2)
# Parameter simulasi
sample_sizes <- c(5, 30, 100)
std_devs <- c(10, 50, 90)
population_known <- c(TRUE, FALSE)
confidence_level <- 0.95
# Fungsi untuk menghitung lebar interval kepercayaan
confidence_interval_width <- function(n, sigma, known) {
alpha <- 1 - confidence_level
if (known) {
z <- qnorm(1 - alpha/2) # Gunakan distribusi normal jika sigma diketahui
margin_of_error <- z * (sigma / sqrt(n))
} else {
t <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1) # Gunakan distribusi t jika sigma tidak diketahui
margin_of_error <- t * (sigma / sqrt(n))
}
return(2 * margin_of_error) # Lebar interval kepercayaan
}
# Simulasi
results <- expand.grid(Sample_Size = sample_sizes,
Standard_Deviation = std_devs,
Population_SD_Known = population_known) %>%
rowwise() %>%
mutate(Confidence_Interval_Width = confidence_interval_width(Sample_Size, Standard_Deviation, Population_SD_Known)) %>%
ungroup()
# Tampilkan hasil
tibble::as_tibble(results)## # A tibble: 18 × 4
## Sample_Size Standard_Deviation Population_SD_Known Confidence_Interval_Width
## <dbl> <dbl> <lgl> <dbl>
## 1 5 10 TRUE 17.5
## 2 30 10 TRUE 7.16
## 3 100 10 TRUE 3.92
## 4 5 50 TRUE 87.7
## 5 30 50 TRUE 35.8
## 6 100 50 TRUE 19.6
## 7 5 90 TRUE 158.
## 8 30 90 TRUE 64.4
## 9 100 90 TRUE 35.3
## 10 5 10 FALSE 24.8
## 11 30 10 FALSE 7.47
## 12 100 10 FALSE 3.97
## 13 5 50 FALSE 124.
## 14 30 50 FALSE 37.3
## 15 100 50 FALSE 19.8
## 16 5 90 FALSE 223.
## 17 30 90 FALSE 67.2
## 18 100 90 FALSE 35.7#interpretasi hasil 1. Ukuran Sampel (n) -Semakin besar ukuran sampel, semakin kecil lebar interval kepercayaan. -Contoh: Jika𝑛= 5, interval kepercayaan akan lebih lebar dibandingkan dengan𝑛= 30 atau𝑛=100. -Hal ini terjadi karena semakin banyak data yang tersedia, semakin tinggi presisi estimasi rata-rata populasi.
2.Variabilitas Data (Standar Deviasi σ atau s) -Semakin besar standar deviasi, semakin besar lebar interval kepercayaan. -Contoh: Jika𝜎= 10, interval lebih sempit dibandingkan dengan𝜎= 90. -Hal ini karena data yang lebih bervariasi (lebih tersebar) menyebabkan ketidakpastian lebih besar dalam estimasi rata-rata populasi.
3.Pengetahuan Standar Deviasi Populasi (Diketahui/Tidak Diketahui) -Jika standar deviasi populasi diketahui, interval kepercayaan lebih sempit karena menggunakan distribusi normal. -Jika standar deviasi populasi tidak diketahui, interval lebih lebar karena menggunakan distribusi t-Student, yang mempertimbangkan ketidakpastian tambahan dari estimasi standar deviasi sampel.
#Kesimpulan: Sampel besar + variabilitas rendah + standar deviasi diketahui → Interval kepercayaan lebih sempit (estimasi lebih akurat). Sampel kecil + variabilitas tinggi + standar deviasi tidak diketahui → Interval kepercayaan lebih lebar (estimasi lebih tidak pasti).