Estimasi Interval

Estimasi dalam statistika adalah proses untuk menentukan rentang nilai yang mungkin dari parameter populasi berdasarkan data sampel. Estimasi ini memberikan informasi tentang tingkat kepercayaan terhadap parameter tersebut. Selang kepercayaan (confidence interval) adalah rentang nilai yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi dengan tingkat kepercayaan tertentu. Selang ini memberikan informasi mengenai seberapa percaya diri kita bahwa parameter populasi berada dalam rentang yang telah ditentukan.

Komponen Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan dibentuk oleh tiga komponen utama: 1. Nilai Estimasi (Point Estimate): Ini adalah nilai tengah dari sampel yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi. Contoh umum adalah rata-rata sampel. 2. Tingkat Kepercayaan (Confidence Level): Tingkat kepercayaan adalah probabilitas bahwa selang kepercayaan yang dihitung mencakup parameter populasi yang sebenarnya. Tingkat kepercayaan yang umum digunakan adalah 90%, 95%, dan 99%. 3. Margin of Error: Margin of error adalah nilai yang ditambahkan dan dikurangi dari nilai estimasi untuk membentuk selang kepercayaan. Besarnya margin of error bergantung pada variabilitas data dan ukuran sampel.

Proses Perhitungan Selang Kepercayaan

Proses untuk menghitung selang kepercayaan adalah sebagai berikut: 1. Tentukan Nilai Estimasi: Tentukan nilai estimasi dari sampel, misalnya rata-rata sampel. 2. Pilih Tingkat Kepercayaan: Pilih tingkat kepercayaan yang sesuai, misalnya 95%. 3. Hitung Margin of Error: Margin of error dihitung dengan menggunakan distribusi z (jika standar deviasi populasi diketahui) atau distribusi t (jika standar deviasi populasi tidak diketahui). 4. Tentukan Selang Kepercayaan: Selang kepercayaan diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi margin of error dari nilai estimasi.

Rumus Estimasi Interval

Untuk menghitung estimasi interval dari rata-rata populasi berdasarkan sampel, digunakan rumus berikut: - Ketika standar deviasi populasi (σ) diketahui: \[\bar{X}\pm Z_{\frac{\alpha}{2}}\times\frac{\sigma^2}{\sqrt{n}}\] - Ketika standar deviasi populasi (σ) tidak diketahui: \[\bar{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}, df} \times \frac{s^2}{\sqrt{n}}\]

Rumus Margin of Error

Jika standar deviasi (σ) populasi diketahui, rumus margin of error (E) adalah: \[E = Z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Jika standar deviasi populasi tidak diketahui dan kita menggunakan standar deviasi sampel (s), rumus margin of error adalah: \[E = t_{\frac{\alpha}{2}, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\]

Di mana: - \[Z_{\frac{\alpha}{2}}\] adalah nilai z dari distribusi normal standar untuk tingkat kepercayaan tertentu.

Interpretasi Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan memberikan informasi tentang rentang di mana kita memperkirakan parameter populasi berada. Misalnya, selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi berarti kita 95% yakin bahwa rata-rata populasi berada dalam rentang tersebut. Perlu dicatat bahwa ini bukan berarti ada 95% kemungkinan bahwa rata-rata populasi ada dalam selang tertentu dari satu sampel melainkan bahwa jika kita mengambil banyak sampel, 95% dari selang kepercayaan yang dihitung dari sampel-sampel tersebut akan mencakup rata-rata populasi yang sebenarnya.Ini berarti bahwa dalam jangka panjang, jika kita mengulang pengambilan sampel dan menghitung selang kepercayaan untuk masing-masing sampel tersebut, sekitar 95% dari selang-selang kepercayaan tersebut akan berisi nilai rata-rata populasi yang sebenarnya. Namun, ini juga berarti bahwa 5% dari selang kepercayaan yang dihitung mungkin tidak akan mencakup nilai rata-rata populasi yang sebenarnya.

Interpretasi Margin of Error

Margin of error adalah jarak dari nilai estimasi (misalnya, rata-rata sampel) ke batas atas atau batas bawah dari selang kepercayaan. Margin of error mencerminkan tingkat ketidakpastian yang kita miliki dalam estimasi. Semakin besar margin of error, semakin luas rentang estimasi kita, yang menunjukkan bahwa kita kurang yakin tentang perkiraan nilai rata-rata populasi. Sebaliknya, margin of error yang lebih kecil menunjukkan estimasi yang lebih presisi dan keyakinan yang lebih tinggi terhadap estimasi tersebut. Margin of error yang kecil biasanya dihasilkan dari ukuran sampel yang lebih besar atau dari data yang memiliki variabilitas rendah. Dengan margin of error yang kecil, selang kepercayaan menjadi lebih sempit, yang berarti estimasi rata-rata populasi lebih dekat dengan nilai sebenarnya. Oleh karena itu, memahami margin of error membantu dalam menilai keandalan dan akurasi hasil dari analisis statistik, serta dalam mengambil keputusan berdasarkan estimasi tersebut.

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka. Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.

Data:

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Tugas:

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
  2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
  3. Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.
# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1
## [1] 4.253188 5.746812
# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2
## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas dengan variabilitas nilai yang berbeda. # Data: - Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10 - Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20 # Tugas: 1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas. 2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas. 3. Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.

# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA
## [1] 71.80184 78.19816
# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB
## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi:

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakan dua tingkat kepercayaan yang berbeda.

Data:

Tugas:

  1. Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
  2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
  3. Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.
# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90
## [1]  96.4435 103.5565
# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99
## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi:

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan data historis, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36 mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm. # Tugas: 1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa. 2. Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian

Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.

mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval
## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi:

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi:

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standar deviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172,
171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)

Tugas:

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
  2. Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian:

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval
## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi:

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Perbandingan Kasus 4 dan 5: Standar Deviasi Diketahui vs Tidak Diketahui

  1. Presisi Estimasi: Ketika standar deviasi populasi diketahui (Kasus 4), interval kepercayaan lebih sempit (168.37 cm, 171.63 cm) karena kita memiliki informasi tambahan tentang variabilitas populasi. Ketika standar deviasi populasi tidak diketahui (Kasus 5), interval kepercayaan sedikit lebih lebar (168.67 cm, 170.73 cm) karena kita harus mengestimasi variabilitas dari sampel, yang menambah ketidakpastian.
  2. Distribusi yang Digunakan: Standar deviasi diketahui: Distribusi z (normal). Standar deviasi tidak diketahui: Distribusi t (Student’s t).
  3. Ukuran Sampel: Pada Kasus 4, ukuran sampel lebih besar (36 vs 25), yang juga berkontribusi pada interval yang lebih sempit. Pada Kasus 5, ukuran sampel lebih kecil, sehingga interval kepercayaan lebih lebar.

Faktor yang Mempengaruhi Selang Kepercayaan

Beberapa faktor yang dapat mempengaruhi lebar selang kepercayaan antara lain: 1. Ukuran Sampel: Semakin besar ukuran sampel, semakin sempit selang kepercayaan, karena semakin banyak informasi yang tersedia untuk mengestimasi parameter populasi. 2. Variabilitas Data: Semakin besar variabilitas data (standar deviasi), semakin lebar selang kepercayaan. Hal ini karena data yang lebih variabel memerlukan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi. 3. Tingkat Kepercayaan: Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, karena kita memerlukan rentang yang lebih luas untuk meningkatkan keyakinan bahwa parameter populasi tercakup.

Kesimpulan

Estimasi dalam dan selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kita untuk membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami dan menghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untuk pengambilan keputusan.

Tugas

Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan 95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut: - Faktor 1: Ukuran Sampel (n), Level: 5, 30, 100 - Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi, σ atau s), Level: 10, 50, 90 - Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, Level: Diketahui (σ), Tidak Diketahui (s) Interpretasikan hasilnya..

Simulasi Pengaruh Ukuran Sampel, Variabilitas Data, dan Pengetahuan Standar Deviasi Populasi terhadap Lebar Interval Kepercayaan 95%

# Parameter
n_values <- c(5, 30, 100)
sd_values <- c(10, 50, 90)
alpha <- 0.05
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)  # Z-score untuk CI 95%
# Fungsi untuk menghitung CI
calculate_ci <- function(n, sd, known_sigma) {
  sample_mean <- 100  # Misalnya mean populasi
  if (known_sigma) {
    error_margin <- z_value * (sd / sqrt(n))
  } else {
    t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)
    error_margin <- t_value * (sd / sqrt(n))
  }
  ci_width <- 2 * error_margin
  return(ci_width)
}
# Simulasi untuk semua kombinasi
results <- expand.grid(n = n_values, sd = sd_values, known_sigma = c(TRUE, FALSE))
results$CI_Width <- mapply(calculate_ci, results$n, results$sd, results$known_sigma)
# Menampilkan hasil
print(results)
##      n sd known_sigma   CI_Width
## 1    5 10        TRUE  17.530451
## 2   30 10        TRUE   7.156777
## 3  100 10        TRUE   3.919928
## 4    5 50        TRUE  87.652254
## 5   30 50        TRUE  35.783883
## 6  100 50        TRUE  19.599640
## 7    5 90        TRUE 157.774057
## 8   30 90        TRUE  64.410989
## 9  100 90        TRUE  35.279352
## 10   5 10       FALSE  24.833280
## 11  30 10       FALSE   7.468123
## 12 100 10       FALSE   3.968434
## 13   5 50       FALSE 124.166400
## 14  30 50       FALSE  37.340614
## 15 100 50       FALSE  19.842170
## 16   5 90       FALSE 223.499520
## 17  30 90       FALSE  67.213105
## 18 100 90       FALSE  35.715905
# Visualisasi hasil
library(ggplot2)

ggplot(results, aes(x = factor(n), y = CI_Width, fill = factor(known_sigma))) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ sd, scales = "free") +
  labs(title = "Lebar Interval Kepercayaan 95%",
       x = "Ukuran Sampel (n)",
       y = "Lebar CI",
       fill = "Standar Deviasi Populasi Diketahui") +
  theme_minimal()

Interpretasi:

Berdasarkan hasil simulasi dan visualisasi dalam gambar, berikut adalah interpretasinya: 1. Pengaruh Ukuran Sampel (n) • Semakin besar ukuran sampel (nn), semakin kecil lebar interval kepercayaan (CI). • Hal ini terlihat pada semua tingkat variabilitas data (σ), di mana lebar CI berkurang secara signifikan dari n=5n = 5 ke n=100n = 100. • Contoh: Untuk σ=50= 50, lebar CI dengan n=5n = 5 adalah sekitar 87.65, sedangkan dengan n=100n = 100 menjadi hanya sekitar 19.6. 2. Pengaruh Variabilitas Data (Standar Deviasi σ atau s) • Semakin besar standar deviasi, semakin besar pula lebar CI. • Ini terlihat dari perbandingan antara CI pada σ=10= 10, σ=50= 50, dan σ=90= 90. • Contoh: Pada n=30n = 30, lebar CI meningkat dari sekitar 7.16 (σ=10= 10) menjadi 37.34 (σ=50= 50) dan bahkan mencapai 223.49 (σ=90= 90). 3. Pengaruh Pengetahuan tentang Standar Deviasi Populasi • Jika standar deviasi populasi diketahui, lebar CI lebih kecil dibandingkan ketika tidak diketahui. • Saat standar deviasi populasi tidak diketahui, distribusi t-Student digunakan, yang menghasilkan interval lebih lebar terutama untuk ukuran sampel kecil. • Contoh: Pada n=5,σ=50n = 5, = 50, lebar CI meningkat dari 87.65 (σ diketahui) menjadi 124.16 (σ tidak diketahui). 4. Visualisasi Data • Grafik menunjukkan bahwa warna biru (standar deviasi populasi diketahui) memiliki lebar CI lebih kecil dibandingkan dengan warna merah (standar deviasi populasi tidak diketahui). • Perbedaan lebar CI sangat mencolok pada ukuran sampel kecil (n=5n = 5), tetapi semakin mengecil seiring bertambahnya ukuran sampel.

Kesimpulan:

• Ukuran sampel besar menghasilkan interval kepercayaan yang lebih sempit, sehingga semakin banyak data yang dikumpulkan, estimasi rata-rata semakin akurat. • Variabilitas data yang tinggi menyebabkan interval yang lebih lebar, sehingga populasi dengan variasi tinggi membutuhkan sampel lebih besar untuk mendapatkan estimasi yang lebih presisi. • Mengetahui standar deviasi populasi membantu memperkecil interval kepercayaan, terutama untuk ukuran sampel kecil. • Untuk pengambilan keputusan berdasarkan estimasi rata-rata, penting untuk mempertimbangkan faktor-faktor ini agar interpretasi data lebih tepat.