Estimasi Interval

Estimasi dalam statistika adalah proses untuk menentukan rentang nilai yang mungkin dari parameter populasi berdasarkan data sampel. Estimasi ini memberikan informasi tentang tingkat kepercayaan terhadap parameter tersebut. Selang kepercayaan (confidence interval) adalah rentang nilai yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi dengan tingkat kepercayaan tertentu. Selang ini memberikan informasi mengenai seberapa percaya diri kita bahwa parameter populasi berada dalam rentang yang telah ditentukan.

Komponen Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan dibentuk oleh tiga komponen utama: 1. Nilai Estimasi (Point Estimate): Ini adalah nilai tengah dari sampel yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi. Contoh umum adalah rata-rata sampel. 2. Tingkat Kepercayaan (Confidence Level): Tingkat kepercayaan adalah probabilitas bahwa selang kepercayaan yang dihitung mencakup parameter populasi yang sebenarnya. Tingkat kepercayaan yang umum digunakan adalah 90%, 95%, dan 99%. 3. Margin of Error: Margin of error adalah nilai yang ditambahkan dan dikurangi dari nilai estimasi untuk membentuk selang kepercayaan. Besarnya margin of error bergantung pada variabilitas data dan ukuran sampel.

Proses Perhitungan Selang Kepercayaan

Proses untuk menghitung selang kepercayaan adalah sebagai berikut: 1. Tentukan Nilai Estimasi: Tentukan nilai estimasi dari sampel, misalnya rata-rata sampel. 2. Pilih Tingkat Kepercayaan: Pilih tingkat kepercayaan yang sesuai, misalnya 95%. 3. Hitung Margin of Error: Margin of error dihitung dengan menggunakan distribusi z (jika standar deviasi populasi diketahui) atau distribusi t (jika standar deviasi populasi tidak diketahui). 4. Tentukan Selang Kepercayaan: Selang kepercayaan diperoleh dengan menambahkan dan mengurangi margin of error dari nilai estimasi.

Rumus Estimasi Interval

Untuk menghitung estimasi interval dari rata-rata populasi (\(\mu\)) berdasarkan sampel, digunakan rumus berikut:
- Ketika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) diketahui:
\[ \bar{X} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
- Ketika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) tidak diketahui:
\[ \bar{X} \pm t_{\frac{\alpha}{2}, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Rumus Margin of Error

Jika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) diketahui, rumus margin of error (\(E\)) adalah:
\[ E = Z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Jika standar deviasi populasi tidak diketahui dan kita menggunakan standar deviasi sampel (\(s\)), rumus margin of error adalah:
\[ E = t_{\frac{\alpha}{2}, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Di mana:
- \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) adalah nilai z dari distribusi normal standar untuk tingkat kepercayaan tertentu.
- \(t_{\frac{\alpha}{2}, df}\) adalah nilai t dari distribusi t-Student untuk tingkat kepercayaan tertentu dan derajat kebebasan (\(df\)).
- \(\sigma\) adalah standar deviasi populasi.
- \(s\) adalah standar deviasi sampel.
- \(n\) adalah ukuran sampel.

Interpretasi Selang Kepercayaan

Selang kepercayaan memberikan informasi tentang rentang di mana kita memperkirakan parameter populasi berada. Misalnya, selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi berarti kita 95% yakin bahwa rata-rata populasi berada dalam rentang tersebut. Perlu dicatat bahwa ini bukan berarti ada 95% kemungkinan bahwa rata-rata populasi ada dalam selang tertentu dari satu sampel melainkan bahwa jika kita mengambil banyak sampel, 95% dari selang kepercayaan yang dihitung dari sampel-sampel tersebut akan mencakup rata-rata populasi yang sebenarnya. Ini berarti bahwa dalam jangka panjang, jika kita mengulang pengambilan sampel dan menghitung selang kepercayaan untuk masing-masing sampel tersebut, sekitar 95% dari selang-selang kepercayaan tersebut akan berisi nilai rata-rata populasi yang sebenarnya. Namun, ini juga berarti bahwa 5% dari selang kepercayaan yang dihitung mungkin tidak akan mencakup nilai rata-rata populasi yang sebenarnya

Interpretasi Margin of Error

Margin of error adalah jarak dari nilai estimasi (misalnya, rata-rata sampel) ke batas atas atau batas bawah dari selang kepercayaan. Margin of error mencerminkan tingkat ketidakpastian yang kita miliki dalam estimasi. Semakin besar margin of error, semakin luas rentang estimasi kita, yang menunjukkan bahwa kita kurang yakin tentang perkiraan nilai rata-rata populasi. Sebaliknya, margin of error yang lebih kecil menunjukkan estimasi yang lebih presisi dan keyakinan yang lebih tinggi terhadap estimasi tersebut. Margin of error yang kecil biasanya dihasilkan dari ukuran sampel yang lebih besar atau dari data yang memiliki variabilitas rendah. Dengan margin of error yang kecil, selang kepercayaan menjadi lebih sempit, yang berarti estimasi rata-rata populasi lebih dekat dengan nilai sebenarnya. Oleh karena itu, memahami margin of error membantu dalam menilai keandalan dan akurasi hasil dari analisis statistik, serta dalam mengambil keputusan berdasarkan estimasi tersebut.

Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan

Situasi:

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang dihabiskan oleh pelanggan di situs web mereka. Mereka melakukan dua survei dengan ukuran sampel yang berbeda.

Data

Survei 1: 30 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit. Survei 2: 100 pelanggan, rata-rata waktu = 5 menit, standar deviasi = 2 menit

Tugas

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
  2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua survei.
  3. Jelaskan bagaimana ukuran sampel mempengaruhi selang kepercayaan.
# Survei 1
 n1 <- 30
 mean1 <- 5
 sd1 <- 2
 alpha <- 0.05
 t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
 error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
 interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
 interval1
## [1] 4.253188 5.746812
# Survei 2
 n2 <- 100
 mean2 <- 5
 sd2 <- 2
 t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
 error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
 interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
 interval2
## [1] 4.603157 5.396843

Interpretasi:

Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.252, 5.748) menit. Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.602, 5.398) menit. Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit, menunjukkan estimasi yang lebih presisi.

Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Sebuah sekolah ingin mengestimasi rata-rata nilai ujian matematika siswa. Mereka memiliki dua kelas dengan variabilitas nilai yang berbeda.

Data

Kelas A: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 10 Kelas B: 40 siswa, rata-rata nilai = 75, standar deviasi = 20

Tugas

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
  2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua kelas.
  3. Jelaskan bagaimana variabilitas data mempengaruhi selang kepercayaan.
 # Kelas A
 nA <- 40
 meanA <- 75
 sdA <- 10
 alpha <- 0.05
 t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
 error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
 intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
 intervalA
## [1] 71.80184 78.19816
# Kelas B
 nB <- 40
 meanB <- 75
 sdB <- 20
 t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
 error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
 intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
 intervalB
## [1] 68.60369 81.39631

Interpretasi

Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.784, 78.216). Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.568, 81.432). Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.

Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan

Situasi

Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata jumlah produk yang terjual per hari. Mereka menggunakan dua tingkat kepercayaan yang berbeda.

Data

Sampel: 50 hari, rata-rata penjualan = 100 produk, standar deviasi = 15 produk Tingkat kepercayaan: 90% dan 99%

Tugas

  1. Hitung interval kepercayaan untuk kedua tingkat kepercayaan.
  2. Bandingkan lebar interval kepercayaan dari kedua tingkat kepercayaan.
  3. Jelaskan bagaimana tingkat kepercayaan mempengaruhi selang kepercayaan.
 # Tingkat Kepercayaan 90%
 alpha90 <- 0.10
 t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
 error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
 interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
 interval90
## [1]  96.4435 103.5565
 # Tingkat Kepercayaan 99%
 alpha99 <- 0.01
 t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
 error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
 interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
 interval99
## [1]  94.31496 105.68504

Interpretasi

Interval kepercayaan 90% adalah (96.464, 103.536). Interval kepercayaan 99% adalah (94.394, 105.606). Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinan yang lebih tinggi.

Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui)

Situasi

Sebuah universitas ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas teknik. Berdasarkan data historis, standar deviasi tinggi badan populasi mahasiswa teknik adalah 5 cm. Sebuah sampel acak dari 36 mahasiswa diambil, dan rata-rata tinggi badan sampel adalah 170 cm.

Tugas

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
  2. Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian

Karena standar deviasi populasi diketahui, kita menggunakan distribusi z.

 mean_tinggi <- 170 # dalam cm
 sd_tinggi <- 5
 # dalam cm (diketahui)
 n <- 36
 alpha <- 0.05
 # Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
 z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
 # Menghitung margin of error
 error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
 # Menghitung interval kepercayaan
 ## [1] 168.3667 171.6333
 interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
 interval
## [1] 168.3667 171.6333

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi

Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)

Situasi

Universitas yang sama ingin mengestimasi rata-rata tinggi badan mahasiswa di fakultas seni. Namun, standar deviasi populasi tidak diketahui. Sebuah sampel acak dari 25 mahasiswa diambil, dan hasilnya adalah sebagai berikut (dalam cm):

tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)

Tugas

  1. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa.
  2. Interpretasikan hasilnya.

Penyelesaian

Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t.

 mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
 sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
 n <- length(tinggi_badan)
 alpha <- 0.05
 # Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
 t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
 # Menghitung margin of error
 error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
 # Menghitung interval kepercayaan
 ## [1] 168.6802 170.5998
 interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
 interval
## [1] 168.6802 170.5998

Interpretasi

Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.67 cm, 170.73 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.

Tugas Individu

Lakukan simulasi untuk mempelajari pengaruh ukuran sampel, variabilitas data (standar deviasi), dan pengetahuan tentang standar deviasi populasi (diketahui/tidak diketahui) terhadap lebar interval kepercayaan 95%, dengan informasi setiap faktor dan level sebagai berikut: Faktor 1: Ukuran sampel ( n ) dengan level yaitu, 5,30, dan 100 Faktor 2: Variabilitas Data (Standar Deviasi σ atau s) dengan level yaitu, 10, 50, dan 90 Faktor 3: Pengetahuan Standar Deviasi Populasi, dengan level yaitu, diketahui dan tidak diketahu. Interpretasikan hasilnya

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.3.3
set.seed(777)
# Parameter Simulasi
n_values <- c(5, 30, 100)        # Ukuran sampel
sd_values <- c(10, 50, 90)       # Standar deviasi
alpha <- 0.05                    # Tingkat signifikansi 5%
mu <- 50                         # Rata-rata populasi
k <- 1000                        # Jumlah simulasi

# Menyimpan hasil simulasi
results <- data.frame()

for (n in n_values) {
  for (sd in sd_values) {
    for (pop_sd_known in c(TRUE, FALSE)) {
      
      width_ci <- numeric(k)  # Menyimpan lebar interval kepercayaan
      
      for (i in 1:k) {
        sample_data <- rnorm(n, mean = mu, sd = sd)  # Ambil sampel dari distribusi normal
        
        sample_mean <- mean(sample_data)  # Rata-rata sampel
        sample_sd <- sd(sample_data)  # Standar deviasi sampel
        
        if (pop_sd_known) {
          # Jika standar deviasi populasi diketahui, gunakan Z-score
          z_critical <- qnorm(1 - alpha / 2)
          margin_error <- z_critical * (sd / sqrt(n))
        } else {
          # Jika standar deviasi populasi tidak diketahui, gunakan t-score
          t_critical <- qt(1 - alpha / 2, df = n - 1)
          margin_error <- t_critical * (sample_sd / sqrt(n))
        }
        
        width_ci[i] <- 2 * margin_error  # Lebar interval kepercayaan
      }
      
      # Simpan hasil rata-rata lebar interval kepercayaan
      results <- rbind(results, data.frame(
        n = n,
        sd = sd,
        pop_sd_known = ifelse(pop_sd_known, "Diketahui", "Tidak Diketahui"),
        mean_width = mean(width_ci)
      ))
    }
  }
}

# Menampilkan hasil dalam tabel
knitr::kable(results, caption = "Lebar Interval Kepercayaan 95% untuk Berbagai Kondisi")
Lebar Interval Kepercayaan 95% untuk Berbagai Kondisi
n sd pop_sd_known mean_width
5 10 Diketahui 17.530451
5 10 Tidak Diketahui 23.427016
5 50 Diketahui 87.652254
5 50 Tidak Diketahui 115.790327
5 90 Diketahui 157.774057
5 90 Tidak Diketahui 207.083758
30 10 Diketahui 7.156777
30 10 Tidak Diketahui 7.421059
30 50 Diketahui 35.783883
30 50 Tidak Diketahui 37.053154
30 90 Diketahui 64.410989
30 90 Tidak Diketahui 67.432420
100 10 Diketahui 3.919928
100 10 Tidak Diketahui 3.962793
100 50 Diketahui 19.599640
100 50 Tidak Diketahui 19.839520
100 90 Diketahui 35.279352
100 90 Tidak Diketahui 35.717363 
ggplot(results, aes(x = factor(n), y = mean_width, fill = pop_sd_known)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
  facet_wrap(~ sd, labeller = label_bquote(sigma == .(sd))) +
  labs(
    title = "Pengaruh Ukuran Sampel, Variabilitas, dan Pengetahuan Standar Deviasi terhadap Lebar Interval Kepercayaan",
    x = "Ukuran Sampel (n)",
    y = "Rata-rata Lebar Interval Kepercayaan",
    fill = "Standar Deviasi Populasi"
  ) +
  theme_minimal()

## Interpretasi ### Pengaruh Ukuran Sampel (\(n\))
- Semakin besar ukuran sampel, semakin kecil lebar interval kepercayaan.
- Sampel yang lebih besar mengurangi ketidakpastian estimasi, sehingga estimasi lebih presisi.

Pengaruh Variabilitas Data (\(\sigma\))

  • Semakin besar standar deviasi, semakin lebar interval kepercayaan.
  • Variabilitas yang tinggi membuat data lebih tersebar, sehingga estimasi rata-rata menjadi lebih tidak pasti.

Pengaruh Pengetahuan Standar Deviasi Populasi

  • Jika standar deviasi populasi diketahui, interval kepercayaan lebih sempit.
  • Jika standar deviasi populasi tidak diketahui, interval lebih lebar karena menggunakan distribusi t-Student, terutama untuk sampel kecil.

Kesimpulan

Berdasarkan hasil simulasi, dapat disimpulkan bahwa:
1. Ukuran sampel yang lebih besar dan variabilitas data yang lebih rendah akan menghasilkan interval kepercayaan yang lebih sempit, sehingga estimasi lebih presisi.
2. Mengetahui standar deviasi populasi membantu mempersempit interval kepercayaan karena penggunaan Z-score lebih stabil dibandingkan dengan t-Student, terutama pada ukuran sampel kecil.