Ejemplo prueba H

• Conducimos una encuesta donde el candidato republicano obtiene una preferencia de 0.532 (53.2%)

• ¿Qué tan confiados podemos estar de qué va ganar la elección? -¿Qué tan confiados podemos estar que gane más del 50% de los votos?

Ejemplo prueba H

• Tenemos evidencia que el candidato republicano es más popular
• Pero queremos saber qué tan buena es la evidencia

Ejemplo prueba H

• La no relación en este caso es la hipótesis nula
• En pruebas de hipótesis asumimos \(H_0\) como verdadera
  • Los candidatos son igualmente populares 0.50

Ejemplo prueba H

• Con un valor verdadero de 0.50 y mil entrevistados el error estándar es de 1.6

• Nuestro estimador de 0.532 está a dos errores estándar por encima de \(H_0\)

• El Teorema de Límite Central nos dice que 95% de las estimaciones se encuentran a aproximadamente 2 se de la media

Ejemplo prueba H

• Si \(H_0\) fuese cierta entonces la probabilidad de obtener una resultados tan bueno como 0.53 es de 2.5%

Comparación de dos grupos

Campaña educativa

Objetivo: Evaluar si una campaña aumentó el registro de niñas en secundaria.

Hipótesis nula: \(H_0: \hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0\)

Paso 1: Proporción combinada

\[ \hat{p} = \frac{\hat{p_1} + \hat{p_2}}{n_1 + n_2} = \frac{68 + 50}{200} = 0.59 \]

Paso 2: Error estándar

\[ se = \sqrt{ \hat{p}(1 - \hat{p}) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right) } = \\ \sqrt{0.59 \cdot 0.41 \cdot 0.02} = \sqrt{0.004838} \approx 0.0695 \]

Paso 3: Estadístico Z

\[ Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - H_0}{SE} = \frac{0.18}{0.0695} \approx 2.59 \]

Solución en R

prop.test(x = c(68, 50), n = c(100, 100), correct = FALSE)

# Grupo tratamiento= 68
# Grupo control= 50
# Observaciones G1=100
# Observaciones G2=100

    2-sample test for equality of proportions without continuity correction

data:  c(68, 50) out of c(100, 100)
X-squared = 6.697, df = 1, p-value = 0.009658
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 0.04597515 0.31402485
sample estimates:
prop 1 prop 2 
  0.68   0.50 

Conclusión

• \(Z = 2.59 > 1.96\) (umbral para \(\alpha = 0.05\))
• Rechazamos (H_0): hay evidencia de que la campaña aumentó el registro de niñas.

¿Funcionan las becas? 🎓

Datos del estudio

Hipótesis

• \(H_0: \mu_1 = \mu_2\)
• \(H_1: \mu_1 \ne \mu_2\)

Asumimos que las varianzas son iguales.

Paso 1: Error estándar

\[ se = \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } = \sqrt{ \frac{0.9^2}{25} + \frac{1.0^2}{25} } = \\ \sqrt{ \frac{0.81 + 1.00}{25} } = \sqrt{0.0724} \approx 0.269 \]

Paso 2: Estadístico t

\(t = \frac{8.2 - 7.6}{0.269} = \frac{0.6}{0.269} \approx 2.23\)

Paso 3: Grados de libertad

\(df = n_1 + n_2 - 2 = 25 + 25 - 2 = 48\)

Con \(t = 2.23\) y \(df = 48\), consultamos una tabla \(t\) (o software).

¿Es significativa la diferencia?

Con \(t = 2.23\), \(df = 48\), y nivel de significancia \(\alpha = 0.05\):

• Valor crítico \(t \approx 2.01\)
• Como \(t = 2.23 > 2.01\), rechazamos \(H_0\)

✅ Conclusión:

Hay evidencia de que el programa de becas mejora el promedio académico.

Resolver en R

set.seed(123)

grupo_beca <- rnorm(25, mean = 8.2, sd = 0.9)
grupo_sinbeca <- rnorm(25, mean = 7.6, sd = 1.0)

t.test(grupo_beca, grupo_sinbeca, var.equal = TRUE)

    Two Sample t-test

data:  grupo_beca and grupo_sinbeca
t = 1.8668, df = 48, p-value = 0.06805
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.03605174  0.97178240
sample estimates:
mean of x mean of y 
 8.170003  7.702137 

Ajuste de Welch

Fórmulas del test de Welch

1. Estadístico t

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

2. Grados de libertad (Welch)

\[ df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2} {\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}} \]

• ❗ Este valor no suele ser entero, y se usa con la distribución t para encontrar el valor crítico o el p-valor.

Ejemplo

• Se comparan promedios de calificaciones entre:

• Estudiantes con tutoría: \(\bar{X}_1 = 8.4\), \(s_1 = 0.6\), \(n_1 = 20\)

• Estudiantes sin tutoría: \(\bar{X}_2 = 7.5\), \(s_2 = 1.2\), \(n_2 = 15\)

• ¿La diferencia es estadísticamente significativa?

Paso 1: Cálculo de t

\[ se = \sqrt{\frac{0.6^2}{20} + \frac{1.2^2}{15}} =\\ \sqrt{\frac{0.36}{20} + \frac{1.44}{15}} = \sqrt{0.018 + 0.096} =\\ \sqrt{0.114} \approx 0.337 \]

\[ t = \frac{8.4 - 7.5}{0.337} \approx \frac{0.9}{0.337} \approx 2.67 \]

Paso 2: Grados de libertad (Welch)

\[ df = \frac{(0.018 + 0.096)^2}{\frac{0.018^2}{19} + \frac{0.096^2}{14}} = \frac{0.114^2}{\frac{0.000324}{19} + \frac{0.009216}{14}} \approx\\ \frac{0.013}{0.000017 + 0.000658} \approx \frac{0.013}{0.000675} \]

\[ df \approx 19.26 \]

• ✅ Usamos este valor con la distribución t para buscar el p-valor o comparar con el valor crítico.

¿Por qué usar Welch?

• Es más precisa cuando las varianzas son diferentes

• No requiere asumir homogeneidad de varianzas

• Ajusta los grados de libertad (pueden ser decimales)

• 📌 En software como R, t.test(..., var.equal = FALSE) realiza esta prueba por defecto

✅ Recomendado siempre que: - Las varianzas son distintas - Los tamaños de muestra son muy desiguales

Ejemplo de análisis

• Queremos saber si el género (X) está relacionado con el voto (Y) en las elecciones de EE.UU.
  
• En una muestra sabemos que:
  • 45% votó por McCain
    
  • 55% votó por Obama

Suposición sin asociación

• Si el voto se distribuyera de la misma forma entre hombres y mujeres, observaríamos la misma proporción de votos en ambos grupos
  
• Es decir, tanto hombres como mujeres deberían tener un 45%-55% en sus votos

Nuestra muestra

• Número de personas en cada grupo:
  • Hombres: 1,379
    
  • Mujeres: 1,810

¿Qué esperaríamos?

Prueba Chi Cuadrada (χ²)

Asumiendo un voto igual

Distribución esperada del voto

Distribución hombres y mujeres

Frecuencias esperadas

Frecuencias observadas

Observado vs Esperado

Prueba de Chi Cuadrada

Sustituyendo

Cálculo de grados de libertad en una prueba \(\chi^2\)

• Necesitamos calcular los grados de libertad

\[ gl = (filas - 1) \times (columnas - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1\]

Interpretación del valor de \(\chi^2\)

Interpretación del valor de \(\chi^2\)

• Como 19.7 > 10.8, la relación es altamente significativa

Prueba Exacta de Fisher

Prueba Exacta de Fisher

¿Cuándo se usa la prueba de Fisher?

• ✅ Cuando tienes una tabla 2x2
  
• ✅ Cuando las frecuencias esperadas son menores a 5
  ✅ Cuando la muestra es pequeña (ej. n < 30)
  ❌ Cuando la prueba chi-cuadrado no es confiable

Ejemplo típico

Evaluar si una campaña de información afecta si las personas votan o no.

Ejemplo

• Queremos saber si la campaña está asociada con un mayor nivel de participación electoral.

Fórmula de Fisher

Aplicación paso a paso

Paso 1: Sustituimos en la fórmula

\[ P = \frac{{10 \choose 8} \cdot {10 \choose 4}}{{20 \choose 12}} = \frac{45 \cdot 210}{125970} = \frac{9450}{125970} \approx 0.075 \]

• Nota: Esa es la probabilidad exacta de esta tabla
• Para el p-valor de la prueba, se suman las probabilidades de todas las tablas tan extremas o más extremas que esta bajo \(H_0\)

Resultado en R

tabla <- matrix(c(8, 2, 4, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)
fisher.test(tabla)

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tabla
p-value = 0.1698
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
  0.6026805 79.8309210
sample estimates:
odds ratio 
  5.430473 

Conclusión

✅ Usa la prueba de Fisher cuando: - Tu tabla es 2x2 - Tu muestra es pequeña - No se cumplen los supuestos del chi-cuadrado

📌 Es exacta, conservadora y válida siempre.

Visualización Prueba Fisher

library(ggstatsplot)

# Datos
datos <- data.frame(
  Grupo = c(rep("Campaña", 20), rep("Sin campaña", 20)),
  Voto = c(rep("Votó", 18), rep("No votó", 2),
           rep("Votó", 4), rep("No votó", 16))
)

# Visualización + prueba
ggbarstats(
  data = datos,
  x = Grupo,
  y = Voto,
  results.subtitle = TRUE,
  bf.message = FALSE,
  title = "¿La campaña influye en la participación?",
  subtitle = "Prueba de Chi-cuadrado o exacta de Fisher si es necesario"
)

Visualización Prueba Fisher

Diferencia de proporciones con ggbarstats

library(ggstatsplot)

# Datos simulados: campaña para incentivar el voto
datos_prop <- data.frame(
  Grupo = c(rep("Campaña", 10), rep("Sin campaña", 10)),
  Voto = c(rep("Votó", 8), rep("No votó", 2),
           rep("Votó", 4), rep("No votó", 6))
)

# Visualización con prueba estadística
ggbarstats(
  data = datos_prop,
  x = Grupo,
  y = Voto,
  title = "¿La campaña influyó en el voto?",
  results.subtitle = TRUE
)

Diferencia de proporciones con ggbarstats

Diferencia de medias con ggbetweenstats

# Simular datos: estudiantes con y sin beca
set.seed(123)
datos_medias <- data.frame(
  grupo = rep(c("Con beca", "Sin beca"), each = 25),
  promedio = c(rnorm(25, mean = 8.2, sd = 0.9),
               rnorm(25, mean = 7.6, sd = 1.0))
)


# Visualización con prueba t
ggbetweenstats(
  data = datos_medias,
  x = grupo,
  y = promedio,
  type = "parametric",     # prueba t
  var.equal = TRUE,         # asume varianzas iguales
  title = "¿Las becas mejoran el rendimiento académico?",
  results.subtitle = TRUE
)

Diferencia de medias con ggbetweenstats

¿Qué muestran estas funciones?

• ggbarstats:
  • Relación entre 2 variables categóricas
  • Prueba Chi-cuadrado o Fisher
  • Visualización clara de proporciones
• ggbetweenstats:
  • Comparación de medias entre grupos
  • Prueba t (con o sin varianzas iguales)
  • Visualización con boxplot + puntos

¿Qué es correlación?

• Si ocurre \(X\) y al mismo tiempo \(Y\) decimos que están positivamente correlacioandas
• Si ocurre \(X\) y \(Y\) tiende a no ocurrir están negativamente correlacionadas

¿Para qué sirve la correlación?

• Una forma de explorar una correlación es con un gráfico de dispersión
• Estos gráficos muestran puntos que representan los valores para dos variables
• Su posición es relativa a los valores de \(x\) y \(y\)

¿Para qué sirve la correlación?

• Describir
• Predecir
• Inferencia causal

¿Cómo se interpreta el coeficiente r?

• Va de -1 a 1:
  • r ≈ 1: correlación positiva fuerte
  • r ≈ -1: correlación negativa fuerte
  • r ≈ 0: no hay correlación

Correlación y causalidad

• La correlación no implica causalidad