Pregunta 1

Defina los siguientes conceptos y proporcione las fórmulas para calcularlos:

Permutación:

Una permutación es un arreglo ordenado de elementos de un conjunto.

En este caso, el orden sí importa.

Fórmula: \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

Ejemplo: ¿Cuántas formas distintas hay de ordenar 3 personas entre 5?

Combinación:

Una combinación es una selección de elementos sin importar el orden.

Es decir, \((A, B, C)\) y \((C, B, A)\) se consideran iguales.

Fórmula: \(C(n, r) = \frac{n!} {r! (n - r)!}\)

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 personas se pueden formar a partir de 5?

Permutación circular:

Una permutación circular es una disposición de elementos en un círculo, donde el orden importa pero no la posición inicial (las rotaciones son equivalentes).

Fórmula: \(P_c(n) = (n - 1)!\)

Ejemplo: ¿Cuántas formas distintas hay de sentar a 6 personas en una mesa redonda?

Permutación con repetición:

En este caso, los elementos pueden repetirse.

Se utiliza cuando algunos elementos son indistinguibles o pueden repetirse múltiples veces.

Fórmula general (cuando se repiten elementos idénticos): \(P = \frac{n!}{k1!k2! ... kn!}\)
En el caso general con r posiciones y n opciones (con repetición): \(P =n^r\)

Pregunta 2

Investigue en la ayuda de R acerca de las funciones combinations y permutations del paquete gtools, y de las funciones permn y combn del paquete combinat. Con ayuda de dichas funciones, calcule:

a. La cantidad de permutaciones posibles con \(𝑛 = 9\) y \(𝑟 = 4\) sin repetición.

# cargar funciones para todos los problemas de la pregunta 2

library(gtools) 

library(combinat) 
## 
## Adjuntando el paquete: 'combinat'
## The following object is masked from 'package:utils':
## 
##     combn
# solucion a usando funcion permutations 

perm_sin_rep <- permutations(n = 9, r = 4, v = 1:9,repeats.allowed = FALSE) 

cat("permutaciones sin repeticion:", nrow(perm_sin_rep))
## permutaciones sin repeticion: 3024

b. La cantidad de permutaciones posibles con \(n = 9\) y \(𝑟 = 4\) con repetición.

# Solucion

perm_con_rep <- permutations(n = 9, r = 4, v = 1:9, repeats.allowed =TRUE)

cat("Permutaciones con repeticion:", nrow(perm_con_rep))
## Permutaciones con repeticion: 6561

c. Las combinaciones de largo cuatro con las letras \(𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖\) y \(𝑗\) sin repetición.

# Solucion

# se crea el vector con las letras

letras <- c("f", "g", "h", "i", "j") 

# se utiliza la funcion combinations sin repeticion 

combs_gtools <- combinations(n = length(letras), r = 4, v = letras, repeats.allowed = FALSE)

cat("Combinaciones sin repetición:\n") 
## Combinaciones sin repetición:
print(combs_gtools)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "f"  "g"  "h"  "i" 
## [2,] "f"  "g"  "h"  "j" 
## [3,] "f"  "g"  "i"  "j" 
## [4,] "f"  "h"  "i"  "j" 
## [5,] "g"  "h"  "i"  "j"

d. La cantidad de permutaciones circulares posibles con \(𝑛 = 6\).

# solucion

# se crea el vector
{vec <- 1:6}

# se elimina el primer elemento 

perms_restantes <- permn(vec[-1])

circ_perms <- lapply(perms_restantes, function(p) c(1, p))

cat("Permutaciones circulares con 6 elementos:", length(circ_perms))
## Permutaciones circulares con 6 elementos: 120

Pregunta 3

Probabilidades con múltiples eventos

a. Probabilidad total de que una orden sea olvidada

p_ana <- 0.20
p_pedro <- 0.50
p_carlos <- 0.20
p_diana <- 0.10

p_olvida_ana <- 1/15
p_olvida_pedro <- 1/8
p_olvida_carlos <- 1/12
p_olvida_diana <- 2/7

# Se aplica la fórmula de probabilidad total
p_olvido_total <- (p_ana * p_olvida_ana) +
                  (p_pedro * p_olvida_pedro) +
                  (p_carlos * p_olvida_carlos) +
                  (p_diana * p_olvida_diana)

print(paste("Probabilidad total de olvidar una orden:", round(p_olvido_total, 4)))
## [1] "Probabilidad total de olvidar una orden: 0.1211"

b. Probabilidad de que el cliente haya sido atendido por Carlos

print(paste("Probabilidad de que haya sido atendido por Carlos:",p_carlos))
## [1] "Probabilidad de que haya sido atendido por Carlos: 0.2"

c. Probabilidad de que el cliente haya sido atendido por Ana o Diana

p_ana_diana <- p_ana + p_diana

print(paste("Probabilidad de que haya sido atendido por Ana o Diana:", p_ana_diana))
## [1] "Probabilidad de que haya sido atendido por Ana o Diana: 0.3"

d. Probabilidad de que haya sido atendido por alguno de los garzones (debe ser 1)

p_total <- p_ana + p_pedro + p_carlos + p_diana

print(paste("Probabilidad total de atención:", p_total))
## [1] "Probabilidad total de atención: 1"

Pregunta 4

De un grupo de 35 personas, se quiere conocer la opinión de 4 personas (elegidas al azar) sobre la legalización de la marihuana. Si se sabe que 18 personas están a favor y 17 en contra, ¿cuál es la probabilidad de que la 4 personas seleccionadas estén en contra?

# Datos del problema:

total_personas <- 35

personas_contra <- 17 

personas_favor <- 18
seleccionados <- 4

# Cálculo combinatorio:

# Número de formas de elegir 4 personas en contra:

combinaciones_contra <- choose(personas_contra, seleccionados)

# Número total de formas de elegir 4 personas del grupo total:

combinaciones_totales <- choose(total_personas, seleccionados)

# Probabilidad de que las 4 personas estén en contra:

probabilidad_contra <- combinaciones_contra / combinaciones_totales

# Mostrar resultado:

print(paste("La probabilidad de que las 4 personas estén en contra es:", round(probabilidad_contra, 5)))
## [1] "La probabilidad de que las 4 personas estén en contra es: 0.04545"