Unidad 3: Teoría de la correlación

1 📚 Introducción

Esta unidad introduce los conceptos fundamentales de correlación y regresión como herramientas estadísticas para analizar la relación entre dos variables cuantitativas.

Se estudia cómo identificar y medir la fuerza y dirección de una relación lineal mediante el coeficiente de correlación de Pearson, así como cómo modelar dicha relación a través de una recta de regresión lineal.

También se abordan las medidas de ajuste del modelo, como el coeficiente de determinación, y se analizan los supuestos del modelo.

2 🎯 Objetivos

Interpretar y calcular el coeficiente de correlación lineal.
Ajustar un modelo de regresión lineal simple.
Verificar los supuestos del modelo.
Evaluar la calidad del ajuste del modelo.

3 📊 Generación de datos y modelo lineal

Código

set.seed(123)

x <- rnorm(100, mean = 50, sd = 10)
error <- rnorm(100, mean = 0, sd = 5)
y <- 3 + 0.7 * x + error

datos <- data.frame(x, y)

modelo <- lm(y ~ x, data = datos)
summary(modelo)


Call:
lm(formula = y ~ x, data = datos)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-9.5367 -3.4175 -0.4375  2.9032 16.4520 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3.79778    2.76324   1.374    0.172    
x            0.67376    0.05344  12.608   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.854 on 98 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6186,    Adjusted R-squared:  0.6147 
F-statistic:   159 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretación: El modelo ajustado es $\overline{y}=\beta_0 + \beta_1 x$, donde los coeficientes indican la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión. El summary(modelo) nos brinda estos valores, junto con el valor $R^2$, los errores estándar y los valores p asociados.

4 📈 Visualización de la regresión

Código

library(ggplot2)

ggplot(datos, aes(x = x, y = y)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "darkred", se = FALSE) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "Recta de regresion",
       x = "Variable X",
       y = "Variable Y")

Interpretación: El gráfico muestra una nube de puntos y la recta de regresión ajustada. Visualmente podemos evaluar si existe una tendencia lineal clara, y si hay valores atípicos o dispersión irregular de los puntos.

5 ✅ Verificación de supuestos

5.1 1. Linealidad y homocedasticidad

Interpretación: Este gráfico de residuos frente a los valores ajustados nos permite verificar la linealidad (patrón en forma de nube) y la homocedasticidad (la varianza de los residuos debe ser constante a lo largo de los valores ajustados).

5.2 2. Normalidad de los residuos


    Shapiro-Wilk normality test

data:  residuals(modelo)
W = 0.9748, p-value = 0.05204

Interpretación:

El gráfico QQ-plot nos muestra si los residuos siguen una distribución normal. Si los puntos se alinean con la recta, se cumple el supuesto.
El test de Shapiro-Wilk evalúa estadísticamente la normalidad. Un valor $p > 0.05$ indica que no se rechaza la hipótesis de normalidad.

5.3 3. Independencia de los errores

 lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
   1      -0.1257677      2.233153   0.264
 Alternative hypothesis: rho != 0

Interpretación: El test de Durbin-Watson evalúa la autocorrelación de los residuos. Un valor cercano a 2 indica independencia. Valores cercanos a 0 o 4 indican autocorrelación positiva o negativa, respectivamente.

6 📐 Fórmulas

Coeficiente de correlación lineal de Pearson:

\[ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} \]

Recta de regresión lineal:

\[ \hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x \]

Coeficiente de determinación:

\[ R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SST} \]

7 🧪 Supuestos del Modelo de Regresión Lineal

Linealidad: la relación entre ( $x$ ) y ( $y$ ) es lineal.
Independencia de los errores.
Homocedasticidad: varianza constante de los errores.
Normalidad de los errores.
No multicolinealidad (en caso de regresión múltiple).

8 📝 Conclusión

El análisis de regresión lineal permite modelar y predecir una variable dependiente a partir de una independiente, siempre que se cumplan ciertos supuestos estadísticos. Es fundamental validar estos supuestos para obtener resultados confiables y útiles para la toma de decisiones.

--- title: "Unidad 3: Teoría de la correlación" subtitle: "Clase 5" date: "2025-04-09" date-format: long description: Esta unidad introduce los conceptos fundamentales de correlación y regresión como herramientas estadísticas para analizar la relación entre dos variables cuantitativas. Se estudia cómo identificar y medir la fuerza y dirección de una relación lineal mediante el coeficiente de correlación, así como cómo modelar dicha relación a través de una recta de regresión. author: name: Blás Antonio Benítez Cristaldo affiliation: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables, UPE affiliation-url: https://upe.edu.py/ title-block-banner: "#2471A3" format: html: theme: journal toc: true number-sections: true code-fold: true code-tools: true warning: false link-external-newwindow: true lang: es editor: visual --- ## 📚 Introducción Esta unidad introduce los conceptos fundamentales de **correlación** y **regresión** como herramientas estadísticas para analizar la relación entre dos variables cuantitativas. Se estudia cómo identificar y medir la fuerza y dirección de una relación lineal mediante el **coeficiente de correlación de Pearson**, así como cómo modelar dicha relación a través de una **recta de regresión lineal**. También se abordan las medidas de ajuste del modelo, como el **coeficiente de determinación**, y se analizan los **supuestos del modelo**. ------------------------------------------------------------------------ ## 🎯 Objetivos - Interpretar y calcular el coeficiente de correlación lineal. - Ajustar un modelo de regresión lineal simple. - Verificar los supuestos del modelo. - Evaluar la calidad del ajuste del modelo. ------------------------------------------------------------------------ ## 📊 Generación de datos y modelo lineal ```{r} set.seed(123) x <- rnorm(100, mean = 50, sd = 10) error <- rnorm(100, mean = 0, sd = 5) y <- 3 + 0.7 * x + error datos <- data.frame(x, y) modelo <- lm(y ~ x, data = datos) summary(modelo) ``` **Interpretación**: El modelo ajustado es $\overline{y}=\beta_0 + \beta_1 x$, donde los coeficientes indican la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión. El `summary(modelo)` nos brinda estos valores, junto con el valor $R^2$, los errores estándar y los valores p asociados. ------------------------------------------------------------------------ ## 📈 Visualización de la regresión ```{r, message=FALSE, warning=FALSE} library(ggplot2) ggplot(datos, aes(x = x, y = y)) + geom_point(color = "steelblue") + geom_smooth(method = "lm", color = "darkred", se = FALSE) + theme_minimal() + labs(title = "Recta de regresion", x = "Variable X", y = "Variable Y") ``` **Interpretación**: El gráfico muestra una nube de puntos y la recta de regresión ajustada. Visualmente podemos evaluar si existe una tendencia lineal clara, y si hay valores atípicos o dispersión irregular de los puntos. ------------------------------------------------------------------------ ## ✅ Verificación de supuestos ### 1. Linealidad y homocedasticidad ```{r, echo=FALSE, message=FALSE} library(ggfortify) autoplot(modelo, which = 1) ``` **Interpretación**: Este gráfico de residuos frente a los valores ajustados nos permite verificar la **linealidad** (patrón en forma de nube) y la **homocedasticidad** (la varianza de los residuos debe ser constante a lo largo de los valores ajustados). ------------------------------------------------------------------------ ### 2. Normalidad de los residuos ```{r, echo=FALSE, message=FALSE} autoplot(modelo, which = 2) shapiro.test(residuals(modelo)) ``` **Interpretación**: - El gráfico QQ-plot nos muestra si los residuos siguen una distribución normal. Si los puntos se alinean con la recta, se cumple el supuesto. - El test de Shapiro-Wilk evalúa estadísticamente la normalidad. Un valor $p > 0.05$ indica que no se rechaza la hipótesis de normalidad. ------------------------------------------------------------------------ ### 3. Independencia de los errores ```{r, echo=FALSE, message=FALSE} library(car) durbinWatsonTest(modelo) ``` **Interpretación**: El test de Durbin-Watson evalúa la autocorrelación de los residuos. Un valor cercano a 2 indica independencia. Valores cercanos a 0 o 4 indican autocorrelación positiva o negativa, respectivamente. ------------------------------------------------------------------------ ## 📐 Fórmulas **Coeficiente de correlación lineal de Pearson**: $$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} $$ **Recta de regresión lineal**: $$ \hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x $$ **Coeficiente de determinación**: $$ R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SST} $$ ------------------------------------------------------------------------ ## 🧪 Supuestos del Modelo de Regresión Lineal - **Linealidad**: la relación entre ( $x$ ) y ( $y$ ) es lineal. - **Independencia** de los errores. - **Homocedasticidad**: varianza constante de los errores. - **Normalidad** de los errores. - **No multicolinealidad** (en caso de regresión múltiple). ------------------------------------------------------------------------ ## 📝 Conclusión El análisis de regresión lineal permite modelar y predecir una variable dependiente a partir de una independiente, siempre que se cumplan ciertos supuestos estadísticos. Es fundamental validar estos supuestos para obtener resultados confiables y útiles para la toma de decisiones.