Funciones cuadráticas:

Se conoce como función cuadrática a un polinomio el cual es de segundo grado, Las ecuaciones cuadráticas son una herramienta matemática fundamental que permite modelar y resolver problemas en diversas áreas de la ciencia, la ingeniería y la vida cotidiana. Estas ecuaciones, representadas por la forma general \(ax^2+bx+c=0\), destacan por sus propiedades únicas y su capacidad para describir fenómenos que involucran relaciones cuadráticas.

la funcionfunción cuadrática representa formalmente como:

\[ F(x)=ax^2+bx+c \]

El significado de cada elemento es:

Graficamente:

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, cuya orientación depende del signo del coeficiente a:

Propiedades Principales

El vértice de la parábola corresponde al punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo de su orientación. Las coordenadas del vértice se calculan mediante las siguientes fórmulas:

\[ h=-\frac{b}{2a} \]

\[ k=f(h) \]

Esto se puede obtener completando el trinomio cuadrado perfecto o aplicando las fórmulas directamente.

Las raíces son los valores de \(x\) donde \(f(x)=0\). Se calculan mediante la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \]

Eje \(y:\) El punto de corte con el eje \((0,c).\) Eje \(x:\) Los puntos de corte con el eje \(x\) son las raíces mencionadas anteriormente.

Aplicaciones

Las funciones cuadráticas tienen múltiples aplicaciones en áreas como:

Física: Modelar trayectorias parabólicas (por ejemplo, movimiento de proyectiles).

Economía: Optimizar costos, ganancias y ventas.

Ingeniería: Diseño estructural y análisis matemático

Ecuaciones cuadraticas

Una ecuación cuadrática es una igualdad algebraica que involucra un polinomio de segundo grado y tiene la forma general:

\[ ax^2+bx+c=0 \] Ejercicios practicos

ahora para poner en practica todo lo aprendendido se hara una serie de ejercicios con distinta dificultad para que se entendia mejor la resolucion de los problemas

Ejercicio de Función Cuadrática Sea la función cuadrática:

\[ f(x) = x^2 - 4x + 3 \]

  1. Encuentra las raíces de la ecuación \(f(x) = 0\).
  2. Escribe la forma factorizada de la función.
  3. Grafica la función en el intervalo \([-2, 6]\).

1. Resolución de la ecuación cuadrática

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Aplicamos la fórmula general:

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \]

Entonces:

\[ x = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = 3,\quad x_2 = 1 \]

2. Forma factorizada

La forma factorizada es:

\[ f(x) = (x - 3)(x - 1) \]

3. Gráfica de la función

Ecuación a resolver:

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

1. Solución por Factorización

Buscamos dos números que: - Multiplicados den 6 (término independiente) - Sumados den -5 (coeficiente lineal)

Encontramos:

\(-2\) y \(-3\) porque: \[(-2) \times (-3) = 6\] \[(-2) + (-3) = -5\]

Factorización:

\[(x - 2)(x - 3) = 0\]

Soluciones:

\[x_1 = 2 \quad \text{y} \quad x_2 = 3\]

2. Solución por Fórmula Cuadrática

Fórmula general:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Para nuestra ecuación (\(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\)):

\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}\] \[x = \frac{5 \pm 1}{2}\]

Resultados:

\[x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

3. Gráfica

Interpretación gráfica: - La parábola abre hacia arriba porque \(a > 0\) - Corta el eje \(x\) en \(x=2\) y \(x=3\) (raíces encontradas) - El vértice está en \(x = \frac{-b}{2a} = 2.5\)

Verificación:

Sustituyendo las soluciones en la ecuación original: - Para \(x=2\): \((2)^2 -5(2) +6 = 4 -10 +6 = 0\) - Para \(x=3\): \((3)^2 -5(3) +6 = 9 -15 +6 = 0\)

Resolver la ecuación cuadrática

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:

\[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \]

1. Identificar los coeficientes

\[ a = 2, \quad b = -7, \quad c = 3 \]

2. Aplicar la fórmula general

La fórmula es:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Sustituimos los valores:

\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \]

\[ x_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2} \]

3. Soluciones

Las soluciones reales son:

\[ x_1 = 3, \quad x_2 = \frac{1}{2} \]

Gráfica de la función cuadrática

A continuación se muestra la gráfica de la función \(f(x) = 2x^2 - 7x + 3\):

Conclusión

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales distintas, y su gráfica corta el eje x en \(x = 0.5\) y \(x = 3\).

y en genral Las ecuaciones cuadráticas son una parte esencial de las matemáticas y aparecen con frecuencia en diversos contextos, como en problemas de física, finanzas, ingeniería y en situaciones cotidianas que requieren modelar trayectorias, áreas o decisiones económicas.