1 Nomor 1

If (if q then not p) then (not q and p) else not ((p or s) if and only if (if r then q))

Logikanya :

\[ \text{if } (q \rightarrow \neg p) \text{ then } (\neg q \land p) \text{ else } \neg((p \lor s) \leftrightarrow (r \rightarrow q)) \]

a) Semua benar: \(p = q = r = s = \text{True}\)

  • \(q \rightarrow \neg p = \text{True} \rightarrow \text{False} = \text{False}\)

  • \(\neg q \land p = \text{False} \land \text{True} = \text{False}\)

  • \(\text{False} \rightarrow \text{False} = \text{True}\)

  • \(r \rightarrow q = \text{True} \rightarrow \text{True} = \text{True}\)

  • \(p \lor s = \text{True} \lor \text{True} = \text{True}\)

  • \((p \lor s) \leftrightarrow (r \rightarrow q) = \text{True} \leftrightarrow \text{True} = \text{True}\)

  • \(\neg(\text{True}) = \text{False}\)

ambil bagian then → hasil akhir: False

✅ Jawaban a = False

b) Semua salah: \(p = q = r = s = \text{False}\)

  • \(q \rightarrow \neg p = \text{False} \rightarrow \text{True} = \text{True}\)

  • \(\neg q \land p = \text{True} \land \text{False} = \text{False}\)

  • \(\text{True} \rightarrow \text{False} = \text{False}\)

  • \(r \rightarrow q = \text{False} \rightarrow \text{False} = \text{True}\)

  • \(p \lor s = \text{False} \lor \text{False} = \text{False}\)

  • \((p \lor s) \leftrightarrow (r \rightarrow q) = \text{False} \leftrightarrow \text{True} = \text{False}\)

  • \(\neg(\text{False}) = \text{True}\)

Karena kondisi awal False, ambil bagian else → hasil akhir: True

✅ Jawaban b = True

c) \(p = q = \text{True}\), \(r = s = \text{False}\)

  • \(q \rightarrow \neg p = \text{True} \rightarrow \text{False} = \text{False}\)

  • \(\neg q \land p = \text{False} \land \text{True} = \text{False}\)

  • \(\text{False} \rightarrow \text{False} = \text{True}\)

  • \(r \rightarrow q = \text{False} \rightarrow \text{True} = \text{True}\)

  • \(p \lor s = \text{True} \lor \text{False} = \text{True}\)

  • \((p \lor s) \leftrightarrow (r \rightarrow q) = \text{True} \leftrightarrow \text{True} = \text{True}\)

  • \(\neg(\text{True}) = \text{False}\)

Karena kondisi awal terpenuhi, ambil bagian then → hasil akhir: False

✅ Jawaban c = False

d) \(p = q = \text{False}\), \(r = s = \text{True}\)

  • \(q \rightarrow \neg p = \text{False} \rightarrow \text{True} = \text{True}\)

  • \(\neg q \land p = \text{True} \land \text{False} = \text{False}\)

  • \(\text{True} \rightarrow \text{False} = \text{False}\)

  • \(r \rightarrow q = \text{True} \rightarrow \text{False} = \text{False}\)

  • \(p \lor s = \text{False} \lor \text{True} = \text{True}\)

  • \((p \lor s) \leftrightarrow (r \rightarrow q) = \text{True} \leftrightarrow \text{False} = \text{False}\)

  • \(\neg(\text{False}) = \text{True}\)

Karena kondisi awal False, ambil bagian else → hasil akhir: True

✅ Jawaban d = True

Kasus Hasil
a ❌ Salah (False)
b ✅ Benar (True)
c ❌ Salah (False)
d ✅ Benar (True)

2 Nomor 2

2.1 nomor 2a

(p and (if r then s)) if and only if ((if r then s) and p)

Ditulis dengan simbol logika:

\[ (p \land (r \rightarrow s)) \leftrightarrow ((r \rightarrow s) \land p) \]

Karena bentuk kiri dan kanan identik (hanya urutannya dibalik), maka ekspresi ini selalu bernilai True.

Tabel Kebenaran:

\(p\) \(r\) \(s\) \(r \rightarrow s\) \(p \land (r \rightarrow s)\) \((r \rightarrow s) \land p\) Hasil (\(\leftrightarrow\))
T T T T T T T
T T F F F F T
T F T T T T T
T F F T T T T
F T T T F F T
F T F F F F T
F F T T F F T
F F F T F F T

Hasilnya selalu True (T) karena kedua sisi logika bernilai sama di semua kemungkinan.

2.2 nomor 2b

kalimat logika:

(if not p then not s) or ((if q then s) and p)

logika:

\[ (\neg p \rightarrow \neg s) \lor ((q \rightarrow s) \land p) \]

Tabel Kebenaran

\(p\) \(q\) \(s\) \(\neg p\) \(\neg s\) \(\neg p \rightarrow \neg s\) \(q \rightarrow s\) \((q \rightarrow s) \land p\) Hasil (\(\lor\))
T T T F F T T T T
T T F F T T F F T
T F T F F T T T T
T F F F T T T T T
F T T T F F T F F
F T F T T T F F T
F F T T F F T F F
F F F T T T T F T

Ada yang menghasilkan True dan ada juga yang False. Artinya, nilai akhir dari pernyataan ini tergantung kombinasi nilai p,

3 Nomor 3

Asumsi nilai:

  • \(p = \text{true}\)
  • \(q = \text{false}\)
  • \(r = \text{true}\)
  • \(s = \text{false}\)

3.1 a. \((p \land (r \rightarrow s)) \leftrightarrow ((r \rightarrow s) \land p)\)

Langkah:

  • \(r \rightarrow s = \text{true} \rightarrow \text{false} = \text{false}\)
  • Kiri: \(p \land \text{false} = \text{true} \land \text{false} = \text{false}\)
  • Kanan: \(\text{false} \land p = \text{false} \land \text{true} = \text{false}\)
  • Hasil: \(\text{false} \leftrightarrow \text{false} = \text{true}\)

✅ Jawaban: true

3.2 b. \((\neg p \rightarrow \neg s) \lor ((q \rightarrow s) \land p)\)

Langkah:

  • \(\neg p = \text{false}\), \(\neg s = \text{true}\) → \(\text{false} \rightarrow \text{true} = \text{true}\)
  • \(q \rightarrow s = \text{false} \rightarrow \text{false} = \text{true}\), \(p = \text{true}\)
  • \((\text{true}) \land (\text{true}) = \text{true}\)
  • Hasil akhir: \(\text{true} \lor \text{true} = \text{true}\)

✅ Jawaban: true

3.3 c. \(((p \lor q) \land \neg r) \leftrightarrow ((p \rightarrow r) \land (q \rightarrow r))\)

Langkah:

  • \(p \lor q = \text{true} \lor \text{false} = \text{true}\)
  • \(\neg r = \text{false}\)
  • Kiri: \(\text{true} \land \text{false} = \text{false}\)
  • \(p \rightarrow r = \text{true} \rightarrow \text{true} = \text{true}\)
  • \(q \rightarrow r = \text{false} \rightarrow \text{true} = \text{true}\)
  • Kanan: \(\text{true} \land \text{true} = \text{true}\)
  • Hasil: \(\text{false} \leftrightarrow \text{true} = \text{false}\)

❌ Jawaban: false

3.4 d. if \(((\neg q \rightarrow p) \lor \neg q)\) then \((p \leftrightarrow q)\) else \(\neg(r \land q)\)

Langkah:

  • \(\neg q = \text{true}\), \(p = \text{true}\) → \(\neg q \rightarrow p = \text{true} \rightarrow \text{true} = \text{true}\)
  • \((\neg q \rightarrow p) \lor \neg q = \text{true} \lor \text{true} = \text{true}\)
  • Bagian then: \(p \leftrightarrow q = \text{true} \leftrightarrow \text{false} = \text{false}\)

Karena kondisi if = true, maka kita ambil bagian then, yaitu false.

❌ Jawaban: false

Ringkasan Jawaban:

    1. ✅ true
    1. ✅ true
    1. ❌ false
    1. ❌ false

4 Nomor 4

4.1 a. \(((\neg p \lor q) \land (p \lor \neg r) \land (p \lor \neg q))\) dibandingkan dengan \(\neg(p \lor r)\)

Sisi kanan:

  • \(\neg(p \lor r) = \neg p \land \neg r\)

Sisi kiri:

  • \((\neg p \lor q)\) akan bernilai true kalau \(p\) salah atau \(q\) benar
  • \((p \lor \neg r)\) true kalau \(p\) benar atau \(r\) salah
  • \((p \lor \neg q)\) true kalau \(p\) benar atau \(q\) salah

➡️ Nggak ada jaminan bahwa ketiganya selalu sama dengan \(\neg p \land \neg r\).
Contohnya, kalau \(p = \text{false}\) dan \(r = \text{false}\), maka sisi kanan bernilai true,
tapi sisi kiri belum tentu ikut true, tergantung nilai \(q\).

❌ Kesimpulan: Tidak ekuivalen

4.2 b. \((r \lor p) \land ((\neg r \lor (\neg r \lor (p \land q))) \land (r \lor q))\) dibandingkan dengan \(p \land q\)

Analisis:

  • Sisi kiri banyak mengandung “OR”, yang artinya lebih longgar.
    Misalnya, \((r \lor p)\) bisa langsung true asal salah satunya true.
  • Bagian dalam juga bisa true meskipun \(p\) dan \(q\) tidak dua-duanya true.
  • Sedangkan \(p \land q\) hanya bisa true kalau dua-duanya benar.

➡️ Jadi, sisi kiri tidak cukup ketat untuk menyamai sisi kanan.

❌ Kesimpulan: Tidak ekuivalen

4.3 c. \((p \lor q) \land (\neg p \land (\neg p \land q))\) dibandingkan dengan \(\neg p \land q\)

Sederhanakan sisi kiri:

  • \((\neg p \land \neg p \land q) = \neg p \land q\)
  • Jadi: \((p \lor q) \land (\neg p \land q)\)

Distribusikan:

  • Tetap menghasilkan \(\neg p \land q\), karena:
    • Kalau \(p = \text{false}\) dan \(q = \text{true}\) → dua-duanya true
    • Kalau kombinasi lain, dua sisi juga tetap sama hasilnya

✅ Kesimpulan: Ekuivalen

✍Ringkasan Jawaban:

    1. ❌ Tidak ekuivalen
    1. ❌ Tidak ekuivalen
    1. ✅ Ekuivalen

5 Nomor 5

5.1 ✦ Simbolisasi Pernyataan

  • K = Kacamata ada di meja dapur
  • R = Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu
  • D = Aku membaca buku pemrograman di dapur
  • T = Aku meletakkan kacamata di meja tamu
  • S = Aku meletakkan kacamata di samping ranjang
  • M = Aku membaca majalah di ranjang
  • L = Aku melihat kacamata saat ambil makanan kecil
  • ¬L = Aku tidak melihat kacamata saat ambil makanan kecil

5.2 ✦ Diterjemahkan ke logika proposisional

  1. Jika kacamata ada di meja dapur, maka aku melihatnya saat ambil makanan kecil
      \(K \rightarrow L\)

  2. Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu atau di dapur
      \(R \lor D\)

  3. Jika aku membaca buku pemrograman di ruang tamu, maka aku meletakkan kacamata di meja tamu
      \(R \rightarrow T\)

  4. Aku tidak melihat kacamata saat ambil makanan kecil
      \(\neg L\)

  5. Jika aku membaca majalah di ranjang, maka aku meletakkan kacamata di samping ranjang
      \(M \rightarrow S\)

  6. Jika aku membaca buku di dapur, maka kacamata ada di meja dapur
      \(D \rightarrow K\)

5.3 ✦ Langkah Deduksi

5.3.1 Dari (1) dan (4):

  • \(K \rightarrow L\)
  • \(\neg L\)
    → Modus Tollens: \(K \rightarrow L\), \(\neg L\)
     ⇒ \(\neg K\)
    ➡️ Kacamata TIDAK ada di meja dapur

5.3.2 Dari (6): \(D \rightarrow K\)

Tapi kita sudah tahu: \(\neg K\)
→ Modus Tollens lagi: \(D \rightarrow K\), \(\neg K\)
 ⇒ \(\neg D\)
➡️ Aku TIDAK membaca buku