Primera parte

Para resolver el primer punto, necesitamos construir un portafolio óptimo basado en la teoría de media-varianza. Esto implica calcular los rendimientos esperados, la matriz de covarianza y las ponderaciones óptimas para las tres acciones seleccionadas. Usaremos datos históricos desde el 01/06/2022 para calcular estos valores.

Una vez obtenidos los datos históricos, calculamos los rendimientos diarios logarítmicos para cada acción.

El rendimiento esperado de cada acción será la media de los rendimientos diarios. La matriz de covarianza se calculará a partir de los rendimientos diarios.

Una vez encontradas las ponderaciones óptimas que minimicen la varianza del portafolio, sujeto a la restricción de que la suma de las ponderaciones sea igual a 1, podemos proceder a construir el árbol binomial para la cobertura del portafolio.

Simulación de precios futuros con MGB

Para simular los precios futuros de las acciones hasta la fecha máxima de inversión (dos años en el futuro, con pagos trimestrales), utilizaremos un Movimiento Geométrico Browniano (MGB). Este modelo requiere los siguientes parámetros:

  • Precio inicial (último precio disponible de cada acción).
  • Rendimiento esperado (calculado previamente).
  • Volatilidad (desviación estándar de los rendimientos diarios).
  • Tasa libre de riesgo (basada en los bonos del Tesoro a tres meses).
  • Horizonte temporal (dos años, con pasos trimestrales).
## [1] "MSFT" "NKE"  "NEE"
## [1] "Los pesos óptimos del portafolio son:"
##      MSFT       NKE       NEE 
## 0.4687132 0.1310223 0.4002644
## [1] "La asignación de capital es:"
##     MSFT      NKE      NEE 
## 468713.2 131022.3 400264.4
## [1] "Los precios simulados para cada acción son (las cinco primeras filas):"
## 
## Simulaciones para MSFT :
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]     [,8]
## [1,] 358.2074 357.5542 362.2029 362.4395 362.8519 368.0435 369.4707 365.6649
## [2,] 357.8345 356.5482 360.1892 361.2848 362.5061 362.8629 361.2304 366.6158
## [3,] 361.3454 355.5615 357.6483 356.2831 353.1867 352.5781 349.6345 347.5655
## [4,] 358.0168 353.0999 355.5719 356.0472 352.7484 356.4379 357.7185 356.8753
## [5,] 362.5304 365.1898 367.6972 369.8165 371.5353 371.3724 370.4637 369.3304
## [6,] 357.8113 357.2244 353.5438 359.9461 363.5734 360.2496 359.0812 357.7285
## 
## Simulaciones para NKE :
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]     [,8]
## [1,] 57.56030 58.71689 57.59321 57.76095 57.57013 57.30921 56.84917 56.70922
## [2,] 57.83481 57.28877 57.07328 57.32507 57.59823 58.71646 58.50225 58.36932
## [3,] 56.10461 56.91572 57.36492 57.98680 57.32560 58.29205 57.82468 58.78940
## [4,] 57.20768 57.56077 57.63852 57.08132 56.96163 56.60834 55.94955 55.84398
## [5,] 56.66826 56.63921 56.73840 57.17778 56.62029 57.03099 57.01669 56.77056
## [6,] 57.95183 58.09450 57.56757 56.74078 56.94032 56.44311 57.57729 57.91123
## 
## Simulaciones para NEE :
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]     [,6]     [,7]     [,8]
## [1,] 66.26163 65.47702 66.11997 66.59282 66.07399 66.19149 66.01417 66.49397
## [2,] 66.53312 65.91986 66.88603 67.14022 67.21609 68.13531 67.86168 68.25927
## [3,] 66.41990 66.14153 66.96936 66.49133 66.82642 66.26734 66.83523 67.15120
## [4,] 65.87823 64.92251 65.36701 64.80855 65.36286 64.12511 65.59709 65.49478
## [5,] 67.33997 66.64971 67.49166 67.79407 67.53922 65.69050 65.24440 65.09169
## [6,] 66.35625 66.62949 65.24031 65.31381 64.87445 64.86923 64.40658 64.57780
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3

Segunda parte

Este análisis incluye los siguientes puntos: 1. Índice Sharpe. 2. Volatilidad del portafolio. 3. Precios esperados al cierre de cada trimestre. 4. Comportamiento del mercado. 5. Estructura de ganancias esperadas y pérdidas (VaR al 1% y 5%).

Cálculo del Índice Sharpe

El índice Sharpe mide el rendimiento ajustado al riesgo del portafolio. Se calcula como:

\[ Sharpe = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} \]

Donde: - \(R_p\): Rendimiento esperado del portafolio. - \(R_f\): Tasa libre de riesgo. - \(\sigma_p\): Volatilidad del portafolio.

# Rendimiento esperado del portafolio
expected_return <- sum(weights * mean_returns)

# Tasa libre de riesgo (supongamos 3% anual, ajustado trimestralmente)
risk_free_rate <- 0.03 / 4

# Volatilidad del portafolio
portfolio_volatility <- sqrt(t(weights) %*% cov_matrix %*% weights)

# Índice Sharpe
sharpe_ratio <- (expected_return - risk_free_rate) / portfolio_volatility
sharpe_ratio
##            [,1]
## [1,] -0.5811728

El factor de Sharpe negativo es malo y esto significa que las ganancias fueron inferiores a la tasa de interés libre de riesgo. En tu caso, el portafolio no ganó lo suficiente para el riesgo que asumió porque el factor de Sharpe negativo indica una relación desfavorable entre el riesgo y la recompensa.

## [1] "Nombres en cov_matrix:"
## [1] "MSFT" "NKE"  "NEE"
## [1] "Símbolos en el portafolio:"
## [1] "MSFT" "NKE"  "NEE"
## Warning: El símbolo MSFT no se encuentra en los datos de precios o en la matriz
## de covarianza.
## Warning: El símbolo NKE no se encuentra en los datos de precios o en la matriz
## de covarianza.
## Warning: El símbolo NEE no se encuentra en los datos de precios o en la matriz
## de covarianza.
## list()

MSFT comienza en 382,1757 y termina en 382,4258, lo que significa que el precio de MSFT aumentará ligeramente durante la simulación. NKE comienza en 64,94345 y termina en 64,82769, lo que significa que el precio de NKE disminuirá ligeramente durante la simulación, ya que la diferencia es muy pequeña. NEE comienza en 70,47723 y termina en 70,45783, por lo que esto significa que el precio de NEE también disminuirá ligeramente durante la simulación. MSFT aumentará ligeramente, NKE disminuirá ligeramente y NEE disminuirá ligeramente; por lo tanto, los cambios son muy pequeños, por lo que los precios no se mueven mucho durante la simulación.

## $VaR_1
##       1% 
## 2787.966 
## 
## $VaR_5
##       5% 
## 2811.727

Estos son los valores de VaR al 1% y al 5%. El VaR es una medida de riesgo y representa la pérdida máxima esperada para una inversión en un período determinado con un nivel de confianza determinado.

VaR 1(1%)=2961.376 significa que la pérdida máxima para la inversión será como máximo $2961.376 con un 99% de probabilidad en ese período, es decir, hay un 1% de probabilidad de que la pérdida sea mayor.

VaR5(5%)=2986,524 significa que la pérdida máxima de la inversión será de $2986,524 como máximo, con una probabilidad del 95% en ese período; en otras palabras, existe una probabilidad del 5% de que la pérdida sea mayor. El VaR al 5% es ligeramente mayor que el VaR al 1% porque el menor nivel de confianza (95% en lugar del 99%) nos permite aceptar una mayor probabilidad de pérdida.

Tercera parte

Para resolver el problema de la valuación de opciones europeas y americanas para cada activo y la cobertura de la inversión, seguiremos los siguientes pasos:

  1. Valuación de Opciones: Utilizaremos modelos de valoración de opciones como el modelo de Black-Scholes para opciones europeas y el modelo de árboles binomiales para opciones americanas. Calcularemos los precios de las opciones call y put para cada acción (MSFT, NKE, NEE).
  2. Cobertura de la Inversión: Cubriremos el 85% de la inversión utilizando un apalancamiento con la tasa del bono del tesoro. Dado que el pago es trimestral, ajustaremos la cobertura para reflejar este calendario de pagos.
  3. División del Dinero para la Cobertura: Dividiremos el dinero de la cobertura de manera equitativa entre las tres acciones, considerando el apalancamiento y los pagos trimestrales.

Valuación de opciones

##   Accion European_Call European_Put American_Call American_Put
## 1   MSFT     34.074928    26.507342     33.998714    33.998714
## 2    NKE      8.326777     7.040811     10.363686    10.363686
## 3    NEE      7.661269     6.265726      8.603356     8.603356

Cobertura de la inversión

Para cubrir el 85% de la inversión, utilizaremos un apalancamiento con la tasa del bono del tesoro. Dado que el pago es trimestral, ajustaremos la cobertura para reflejar este calendario de pagos.

##   Inversion_Total Cobertura Pago_Trimestral Cobertura_Trimestral
## 1           1e+06    850000            4250               212500

División del dinero para la cobertura

Dividiremos el dinero de la cobertura de manera equitativa entre las tres acciones, considerando el apalancamiento y los pagos trimestrales.

##   Accion Cobertura_Trimestral
## 1   MSFT             70833.33
## 2    NKE             70833.33
## 3    NEE             70833.33

La división equitativa del dinero para la cobertura de las opciones se justifica por las siguientes razones:

  • Equidad: Al dividir la cobertura de manera equitativa entre las tres acciones, aseguramos que cada acción tenga la misma protección contra pérdidas potenciales.
  • Simplicidad: Este enfoque simplifica la gestión de la cobertura y facilita el seguimiento de los pagos trimestrales.
  • Flexibilidad: Si una acción muestra un rendimiento significativamente diferente, podemos ajustar la cobertura en el futuro para reflejar estos cambios. Este enfoque apalancado con la tasa del bono del tesoro permite cubrir el 85% de la inversión de manera eficiente, considerando los pagos trimestrales hasta el vencimiento del negocio del subyacente y del derivado.