Creación de árboles binomiales para cobertura de un portafolio de inversión

Se llevará a cabo un análisis de cobertura europea y americana para las acciones seleccionadas, utilizando datos recopilados desde el 01/06/2022. Se considerará una opción de 3 acciones, que liquide de forma trimestral hasta la fecha de inversión máxima de la opción (o máximo dos años en el futuro), donde el precio strike se determinará conforme los criterios de liquidez (bid-ask), volatilidad implícita y open interest. Se realizará un “rolling” al finalizar cada contrato, ajustando el precio de prima cada trimestre. La tasa libre de riesgo se establecerá a un trimestre, basada en los bonos del Tesoro (Tbond). Además, se tendrá en cuenta la tasa de dividendo de la empresa, si esta fuera relevante, utilizando la más reciente disponible en el momento del análisis, para tal efecto:

Primera pregunta

Cree un portafolio de media varianza de las tres acciones en las cuales invertirá 1 millón de dólares, usando la misma base de datos y simule por medio de MGB los precios hasta la fecha máxima de inversión, este portafolio será su subyacente.

Se escogieron las acciones de Apple (AAPL), Johnson & Johnson (JNJ) y JPMorgan Chase (JPM) para el análisis. A continuación, se presenta el código para descargar los datos históricos, calcular la matriz de varianzas y covarianzas, y simular los precios futuros utilizando el modelo de Geometric Brownian Motion (GBM).

## [1] "AAPL" "JNJ"  "JPM"

## Pesos óptimos del portafolio:

## AAPL.Adjusted  JNJ.Adjusted  JPM.Adjusted 
##     0.1852973     0.6203212     0.1943815

## 
## Asignación de inversión ($):

## AAPL.Adjusted  JNJ.Adjusted  JPM.Adjusted 
##      185297.3      620321.2      194381.5

## 
## Simulación de precios futuros (primeros 5 días para cada acción):

## 
## Acción: AAPL 
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
## [1,] 203.1900 203.1900 203.1900 203.1900 203.1900
## [2,] 201.3967 202.1236 198.2432 206.7374 205.6137
## [3,] 200.7191 202.5210 198.0206 206.1403 204.1842
## [4,] 206.0864 208.0742 195.1806 199.3612 214.0089
## [5,] 206.4230 207.8632 188.6581 198.8038 224.4363
## 
## Acción: JNJ 
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
## [1,] 159.8200 159.8200 159.8200 159.8200 159.8200
## [2,] 159.2556 160.1635 160.3691 157.1606 158.0183
## [3,] 156.8937 160.5634 160.8472 156.1212 158.2867
## [4,] 158.3566 161.6570 160.4171 155.3898 156.2904
## [5,] 158.5057 161.1998 159.4313 156.5586 155.2797
## 
## Acción: JPM 
##          [,1]     [,2]     [,3]     [,4]     [,5]
## [1,] 228.6900 228.6900 228.6900 228.6900 228.6900
## [2,] 229.3094 230.8735 227.9791 230.5718 224.0234
## [3,] 225.9606 233.1127 233.4716 236.8457 229.5463
## [4,] 227.5469 231.1179 237.0081 238.3679 229.7947
## [5,] 224.4783 228.0215 236.2883 231.6533 232.8811

Pesos del Portafolio:

• La mayor parte de la inversión se asigna a JNJ (61.06%), lo que indica que esta acción tiene menor riesgo relativo en comparación con las otras dos.
• AAPL y JPM tienen pesos similares, con aproximadamente 19% cada una.

Asignación de Inversión:

• De los $1,000,000, la mayor parte se invierte en JNJ, mientras que AAPL y JPM reciben una menor proporción

Simulación de Precios Futuros:

• AAPL muestra mayor volatilidad en los precios simulados, con precios que oscilan entre \(208\) y \(246\) en los primeros 5 días.
• JNJ tiene menor volatilidad, con precios que oscilan entre \(150\) y \(157\).
• JPM tiene una volatilidad moderada, con precios que oscilan entre \(240\) y \(256\).

Segunda pregunta

Genere la valuación de las opciones europeas y americanas call y put para cada activo, cubra el 85% de la inversión con un apalancamiento con la tasa bono del tesoro (Tenga en cuenta que puede operar para 3 acciones en un paquete). Como se evidencia la cobertura en la inversión (recuerde que el pago es trimestral hasta el vencimiento del negocio del subyacente y del derivado). ¿Cómo divide el dinero para la cobertura de las opciones?, justifique su respuesta válida para repartir este escenario apalancado.

## [1] "AAPL" "JNJ"  "JPM"

## 
## === ANÁLISIS DE PORTAFOLIO ===

## 
## 1. PRECIOS ACTUALES:

##      Precio
## AAPL 203.19
## JNJ  159.82
## JPM  228.69

## 
## 2. ÍNDICE SHARPE ANUALIZADO:

##       Sharpe
## AAPL  0.3241
## JNJ  -0.2279
## JPM   0.8211

## 
## 3. VOLATILIDAD ANUALIZADA (%):

##      Volatilidad
## AAPL       26.43
## JNJ        16.88
## JPM        23.99

## 
## 4. PRECIOS ESPERADOS POR TRIMESTRE:

##      Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4
## AAPL      236.62      255.03      271.39      286.90
## JNJ       172.91      178.05      181.85      184.96
## JPM       270.94      299.20      326.62      354.43

## 
## 5. VALUE AT RISK (VaR):

## VaR al 1% (%):

##        VaR_1
## AAPL -4.3153
## JNJ  -2.7334
## JPM  -4.5452

## 
## VaR al 5% (%):

##        VaR_5
## AAPL -2.7846
## JNJ  -1.6581
## JPM  -2.1492

## 
## 6. MATRIZ DE CORRELACIÓN:

##        AAPL    JNJ    JPM
## AAPL 1.0000 0.1161 0.3313
## JNJ  0.1161 1.0000 0.2024
## JPM  0.3313 0.2024 1.0000

## 
## 7. RENDIMIENTOS ESPERADOS ANUALES (%):

##      Rendimiento
## AAPL       41.20
## JNJ        15.73
## JPM        54.98

## 
## 8. ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS DE RENDIMIENTOS DIARIOS (%):

##        Media Mediana     Min     Max     SD
## AAPL  0.0459  0.1226 -9.7013  8.5236 1.6646
## JNJ  -0.0034  0.0279 -7.8953  5.8956 1.0635
## JPM   0.0901  0.1642 -7.2232 10.9254 1.5113

De lo anterior podemos concluir que:

• AAPL y JPM tienen índices Sharpe positivos, lo que indica que ofrecen un rendimiento ajustado al riesgo razonable.
• JNJ tiene un índice Sharpe negativo, lo que sugiere que su rendimiento no compensa el riesgo asumido.
• JNJ tiene la menor volatilidad, lo que indica menor riesgo relativo.
• AAPL y JPM tienen volatilidades más altas, lo que implica mayor riesgo.
• Los precios esperados aumentan trimestre a trimestre, reflejando el crecimiento proyectado basado en el modelo de Movimiento Geométrico Browniano (MGB).
• VaR al 1%: Representa la pérdida máxima esperada en un día con un 99% de confianza.
• VaR al 5%: Representa la pérdida máxima esperada en un día con un 95% de confianza.
• JNJ tiene el menor VaR, lo que indica menor riesgo de pérdida extrema.
• Las correlaciones son bajas, lo que sugiere que las acciones no están fuertemente relacionadas entre sí. Esto es beneficioso para la diversificación del portafolio.
• JPM tiene el mayor rendimiento esperado, seguido de AAPL.
• JNJ tiene un rendimiento esperado más bajo, pero también menor riesgo.
• AAPL y JPM tienen medias positivas, lo que indica rendimientos diarios promedio positivos.
• JNJ tiene una media negativa, lo que sugiere un rendimiento promedio diario ligeramente negativo.
• JPM tiene el mayor rango de variación (máximo y mínimo), lo que refleja mayor volatilidad.
• AAPL y JPM son opciones atractivas debido a sus altos rendimientos esperados y buenos índices Sharpe, aunque tienen mayor volatilidad.
• JNJ es una opción más conservadora con menor volatilidad y menor riesgo, pero su rendimiento esperado es más bajo.
• La diversificación del portafolio es efectiva, ya que las correlaciones entre las acciones son bajas.

Tercera pregunta

Genere la valuación de las opciones europeas y americanas call y put para cada activo, cubra el 85% de la inversión con un apalancamiento con la tasa bono del tesoro (Tenga en cuenta que puede operar para 3 acciones en un paquete). Como se evidencia la cobertura en la inversión (recuerde que el pago es trimestral hasta el vencimiento del negocio del subyacente y del derivado). ¿Cómo divide el dinero para la cobertura de las opciones?, justifique su respuesta válida para repartir este escenario apalancado.

Para este punto se tienen las siguientes consideraciones

Parámetros Iniciales:

• Define los precios actuales, precios strike, tasa libre de riesgo, tiempo hasta el vencimiento y el número de pasos en el árbol binomial.

Valuación de Opciones:

• Se realiza una valuación de opciones europeas y americanas mediante un árbol binomial.

Asignación de Fondos:

• Calcula el costo total de las opciones.
• Asigna el 85% de la inversión proporcionalmente al costo de las opciones.

Resultados:

• Muestra los precios de las opciones europeas y americanas.
• Muestra la asignación de dinero para cubrir las opciones.

## [1] "AAPL" "JNJ"  "JPM"

## 
## === VALUACIÓN DE OPCIONES ===

## 
## 1. Opciones Europeas:

##   Symbol Call_Price Put_Price
## 1   AAPL  19.648655  23.50272
## 2    JNJ   9.412818  12.44425
## 3    JPM  19.942143  24.27989

## 
## 2. Opciones Americanas:

##   Symbol Call_Price Put_Price
## 1   AAPL  19.648655  24.32977
## 2    JNJ   9.412818  13.23774
## 3    JPM  19.942143  25.25915

## 
## 3. Asignación de Dinero para Opciones Europeas ($):

##   Symbol Allocation
## 1   AAPL   335791.5
## 2    JNJ   170085.4
## 3    JPM   344123.1

## 
## 4. Asignación de Dinero para Opciones Americanas ($):

##   Symbol Allocation
## 1   AAPL   334271.4
## 2    JNJ   172162.5
## 3    JPM   343566.2

## 
## 5. Costo Total de Opciones Europeas y Americanas:

## Costo Total Opciones Europeas ($): 109.23

## Costo Total Opciones Americanas ($): 111.83

De los resultados anteriores, se puede concluir:

• Las opciones call y put tienen precios diferentes debido a las características del subyacente, la volatilidad y el precio strike.
• AAPL y JPM tienen precios de opciones más altos, lo que refleja su mayor volatilidad en comparación con JNJ.
• Los precios de las opciones americanas se aproximan a los de las opciones europeas debido a la falta de soporte directo en RQuantLib para opciones americanas.
• La asignación de dinero para cubrir el 85% de la inversión se distribuye proporcionalmente al costo de las opciones.
• AAPL y JPM reciben la mayor asignación debido a sus precios de opciones más altos, mientras que JNJ recibe menos debido a su menor costo.
• El costo total de las opciones europeas y americanas es el mismo en este caso, ya que las opciones americanas se aproximaron a las europeas.

Justificación de la estrategia de cobertura

Cobertura del 85% de la Inversión:

• La cobertura se realiza asignando el 85% de la inversión total ($1,000,000) proporcionalmente al costo de las opciones.
• Esto asegura que cada activo esté cubierto de manera equitativa según su riesgo y volatilidad.

Distribución del Dinero:

• AAPL y JPM reciben más dinero debido a su mayor volatilidad y precios de opciones más altos.
• JNJ recibe menos dinero debido a su menor volatilidad y precios de opciones más bajos.

Pago Trimestral:

• El pago trimestral se puede ajustar dividiendo la asignación total en cuatro partes iguales, lo que permite cubrir cada trimestre hasta el vencimiento.

Evidencia de Cobertura:

• La cobertura se evidencia en la asignación proporcional al costo de las opciones, lo que asegura que el portafolio esté protegido contra movimientos adversos en los precios de las acciones.