Prueba de hipótesis

• Consiste en una prueba entre dos hipótesis en competencia
  • Hipótesis nula
  • Hipótesis alternativa
• La hipótesis nula sostiene que no existe un efecto

Ejemplo hipótesis

\(H_0\): Los hombres y mujeres tienen salarios iguales⚖️

\(H_A\): Los hombres tienen salarios superiores a la mujeres 🧔⬆️

• Las hipótesis alternativas pueden ser direccionadas o no direccionadas

• Un estudio quiere saber si hay sesgo en la promoción de trabajadores
  • H1. Se prefieren hombres a mujeres
• Se les entregó a supervisores de banco resúmenes (cvs) idénticos

La base de datos

• El paquete moderndive contiene la información

library(moderndive)

promotions %>%
sample_n(size = 6) %>%
arrange(id)

# A tibble: 6 × 3
     id decision gender
  <int> <fct>    <fct> 
1     6 promoted male  
2     8 promoted male  
3    22 promoted female
4    31 promoted female
5    36 not      male  
6    39 not      female

Visualización de la base

ggplot(promotions, aes(x = gender, fill = decision)) +
geom_bar() +
labs(x = "Género en el currículum")

Comparación entre géneros

promotions %>%
group_by(gender, decision) %>%
tally()

# A tibble: 4 × 3
# Groups:   gender [2]
  gender decision     n
  <fct>  <fct>    <int>
1 male   not          3
2 male   promoted    21
3 female not         10
4 female promoted    14

Variación muestral

• En los datos hay una diferencia de 29% en las promociones

Prueba de hipótesis

• En el ejercicio de promociones lo que nos interesa es la diferencia de proporciones

\[ p_{h}-p_{m}\]

Hipótesis nula

Estimador y distribución nula

• Nuestro estimador es la diferencia observada en los datos

\[ \hat{p}_{h}-\hat{p}_{m}= 0.875-0.583=0.292=29.2%\]

P-value

Nivel de significancia

• Es el umbral establecido para rechazar \(H_{0}\)
  • Generalmente 95%

No rechazar \(H_0\) no implica aceptarla

• No rechazar \(H_0\) no significa que se acepte como verdadera
  • Solo indica que la evidencia disponible no es suficiente para rechazarla con el nivel de significancia establecido.

Errores Tipo I y Tipo II

Comparación de proporciones

• Un método de comparación de grupos es la prueba de significancia

• Partimos de una hipótesis nula donde las proporciones son iguales para los grupos

Paso 1. Proporción agregada

Paso 2: Error estándar

Paso 3: Puntuación Z

• Con la información podemos calcular la puntuación Z

\[ Z= \frac{Estimador- H_0}{se_0}\] \[ Z= \frac{(\hat{p}_1-\hat{p}_2)- 0}{se_0}\]

\[ Z= \frac{(0.35-0.5)- 0}{0.24}=-0.62\]

Tabla Z

Ejemplo 2

• 📺 Un estudio quiere saber si hay relación entre ver televisión y cometer actos violentos
  • El estudio se enfoca en adolescentes
  • Parten de una muestra aleatoria de 707 familias

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Paso 1:Proporción agregada

• En primer lugar calculamos la proporción agregada

\[\hat{p}= \frac{5+154}{88+619}=\frac{159}{707}=0.224\]

Paso 2: Error estándar

• Con la proporción agregada calculamos el error estándar considerando \(H_0\) como verdadera

\[ se=\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p})}(\frac{1}{n_1}} +\frac{1}{n_2}) \]

\[ se=\sqrt{{0.224(1-0.224)}(\frac{1}{88}} + \frac{1}{619})=0.047 \]

Paso 3: Estimar puntuación Z

\[ Z= \frac{(\hat{p}_1-\hat{p}_2)- 0}{se_0}\] \[ Z= \frac{(0.057-0.249)- 0}{0.047}=-4.08\] - Una puntuación de -4.08 es significativa al 99%

Diferencia de medias

• Cuando la respuesta es cuantitativa comparamos sus medias
• Analizamos en qué medida la diferencia entre las medias de la muestra \((\bar{x}_1− \bar{x}_2)\)
• Representan a la diferencia entre las medias de la población \((\bar{\mu}_1− \bar{\mu}_2)\)

Error estándar

• El error estándar de la distribución muestral para diferencia de medias es

\[se(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}\]

• Donde \(s\) es la desviación estándar y \(n\) el número de observaciones

Ejemplo 3

• Tenemos un experimento que quiere ver el efecto de reportar resultados acompañados de un gráfico

• Un grupo de tratamiento lee sobre la efectividad de un medicamento con gráficos

• Un grupo de control lee sobre la efectividad de un medicamento sin gráficos

• Al final hacen una valoración del 1 al 10 sobre la efectividad del medicamento

Ejemplo 3

• La diferencia entre las muestras es \((\bar{x}_1− \bar{x}_2)= (6.83)-(6.13)=0.7\)

Calculando el error estándar

\[se= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}\] \[se= \sqrt{\frac{1.18^2}{30} + \frac{1.43^2}{31}}=0.335\]

T test con dos muestras

• Compara si forman parte de la misma distribución
• Podemos obtener diferentes medias simplemente por muestreo
• Qué tan atípica serían los valores para los grupos si su media fuese la misma

Prueba t

• Para poner a prueba si la diferencia es significativa calculamos puntuaciones \(t\)

\[ t=\frac{(\bar{x}_1− \bar{x}_2)-0}{se}\] - En el ejemplo previo \[\hat{x}_1=6.83\] \[\hat{x}_2=6.13\]

Prueba t

\[ t=\frac{(6.83− 6.13)-0}{0.335}= 2.08\]

• Al revisar la tabla \(t\) vemos que supera el umbral de 95%
• El resultado es significativo

¿Cuándo usamos prueba de diferencia de medias?

• Cuando queremos comparar si dos grupos tienen promedios distintos
• Ejemplos:
  • ¿Tienen las mujeres y los hombres salarios diferentes?
  • ¿Los estudiantes que toman café tienen mejor promedio?
• Las variables deben ser cuantitativas (como salario, altura, ingresos)

Fórmula para diferencia de medias

\[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

• \(\bar{x}_1, \bar{x}_2\): medias muestrales
  
• \(s_1^2, s_2^2\): varianzas
  
• \(n_1, n_2\): tamaños de muestra

Interpretación del resultado

• Se obtiene un valor t y un valor p
• Si el valor p < 0.05, se rechaza \(H_0\)
• Concluimos que las medias son diferentes

Ejemplo Becas

• Queremos saber si los estudiantes que reciben beca tienen un promedio distinto a quienes no la reciben.

Hipótesis:

• \(H_0\): No hay diferencia en los promedios (\(\mu_1 = \mu_2\)))
• \(H_A\): Hay diferencia en los promedios (\(\mu_1 \ne \mu_2\) )

Datos

Tenemos la siguiente información:

• Estudiantes con beca:
  \(n_1 = 30\), \(\bar{x}_1 = 8.4\), \(s_1 = 0.5\)

• Estudiantes sin beca:
  \(n_2 = 30\), \(\bar{x}_2 = 8.0\), \(s_2 = 0.6\)

Paso 1:Error estándar

\[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{se} \]

\[se={\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

\[se={\sqrt{\frac{0.5^2}{30} + \frac{0.6^2}{30}}}=0.142 \]

Paso 2: Cálculo del estadístico t

\[t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{se} \] \[t = \frac{8.4 - 8.0}{0.142}= 2.81 \]}

Paso 3: Grados de libertad

\[df = n_1 + n_2 - 2 = 30 + 30 - 2 = 58 \]

Paso 4: Decisión

• Como \(t_{calculado} = 2.81 > 2.00\), rechazamos la hipótesis nula.

¿Qué es el análisis tabular?

• El análisis tabular nos permite comparar variables categóricas
  
• Este análisis compara lo que esperaríamos sin asociación con lo que presentan los datos
  
• Nos ayuda a evaluar si hay relación entre dos variables

Ejemplo de análisis

• Queremos saber si el género (X) está relacionado con el voto (Y) en las elecciones de EE.UU.
  
• En una muestra sabemos que:
  • 45% votó por McCain
    
  • 55% votó por Obama

Suposición sin asociación

• Si el voto se distribuyera de la misma forma entre hombres y mujeres, observaríamos la misma proporción de votos en ambos grupos
  
• Es decir, tanto hombres como mujeres deberían tener un 45%-55% en sus votos

Nuestra muestra

• Número de personas en cada grupo:
  • Hombres: 1,379
    
  • Mujeres: 1,810

¿Qué esperaríamos?

Prueba Chi Cuadrada (χ²)

• Comparamos los valores esperados con los observados
  
• Nos ayuda a saber si las diferencias entre grupos son estadísticamente significativas
  
• Requiere:
  • Tabla de contingencia
  • Cálculo de frecuencias esperadas
  • Fórmula de Chi cuadrada

Asumiendo un voto igual

Distribución esperada del voto

Distribución hombres y mujeres

Frecuencias esperadas

Frecuencias observadas

Observado vs Esperado

Prueba de Chi Cuadrada

• Para saber si las diferencias son significativas utilizamos una prueba de Chi cuadrada
• La prueba se utiliza para probar la independencia de los grupos

Fórmula de la prueba χ²

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\]

Sustituyendo

• Sustituimos los valores:

\[ \chi^2 = \frac{(682 - 620.55)^2}{620.55} + \frac{(752 - 814.5)^2}{814.5} \\ \quad\;\; + \frac{(697 - 748.55)^2}{748.55} + \frac{(1058 - 995.5)^2}{995.5} \]

• Resultado:

\[ \chi^2 = 19.79 \]

• Ese valor es comparado con un valor crítico de χ²

Cálculo de grados de libertad en una prueba \(\chi^2\)

• Necesitamos calcular los grados de libertad

\[ gl = (filas - 1) \times (columnas - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1\]

Interpretación del valor de \(\chi^2\)

Interpretación del valor de \(\chi^2\)

• Como 19.7 > 10.8, la relación es altamente significativa