Apartado 1

#Datos
sens.E <- 0.99
esp.E <- 0.995
sens.W <- 0.99
esp.W <- 0.999
pI<-prev.V <- 0.45


Pos_ambas_I<-sens.E*sens.W
cat("La probabilidad de obtener  un positivo en la población drogadicta infectada es", Pos_ambas_I)

## La probabilidad de obtener  un positivo en la población drogadicta infectada es 0.9801

Apartado 2

#En infectados

  #P(pE/I ∩ nW/I)=
 I_pos_E<-sens.E*(1-sens.W)
cat("Probabilidad de positivo en E y negativo en WB en infectados", I_pos_E)  

## Probabilidad de positivo en E y negativo en WB en infectados 0.0099

  #P(pW/I ∩ nE/I)=
 I_pos_W<-sens.W*(1-sens.E)
cat("Probabilidad de positivo en WB y negativo en W en infectados", I_pos_W)

## Probabilidad de positivo en WB y negativo en W en infectados 0.0099

#En no infectados, sabiendo que pNI=1-pI
  pNI<-1-pI
  
  #P(pE/NI ∩ nW/NI); siendo pE/NI un falso positivo por E, y siendo este el suceso contrario a un verdadero negativo, cuya probabilidad es la ESPECIFICIDAD
 NI_pos_E <-(1-esp.E)*esp.W
 cat("Probabilidad de positivo en E y negativo en WB en NO infectados", NI_pos_E)

## Probabilidad de positivo en E y negativo en WB en NO infectados 0.004995

  #P(pW/NI ∩ nE/NI); siguiendo mismo razonamiento
 NI_pos_w <-(1-esp.W)*esp.E
  cat("Probabilidad de positivo en E y negativo en WB en NO infectados", NI_pos_w)

## Probabilidad de positivo en E y negativo en WB en NO infectados 0.000995

#Aplico el teorema de la probabilidad total para calcular la probabilidad total
  
  Pp=I_pos_E*pI+I_pos_W*pI+NI_pos_E*pNI+NI_pos_w*pNI
  
  cat("Probabilidad de un resultado positivo en la población", Pp)

## Probabilidad de un resultado positivo en la población 0.0122045

Apartado 3

PpW/pE=P(pE∩pW/pE) -> Calculamos primero P(pE∩pW) aplicando el teorema de probabilidad total y considerando escenario de I/NI. Es el mismo procedimiento y razonamiento del apartado anterior, pero las opciones posibles esta vez son: ++ en infectados y ++ en no infectados.

#Teorema probabilidad total: P(pE∩pW) = P(pE/I ∩ pW/I)*pI + P(pE/NI ∩ pW/NI)*pNI =

I_pos_pos<-sens.E*sens.W*pI 
 cat("Probabilidad de dos resultados positivos en infectados", I_pos_pos)

## Probabilidad de dos resultados positivos en infectados 0.441045

NI_pos_pos<-(1-sens.E)*(1-sens.W)*pNI
 cat("Probabilidad de dos resultados positivos en no infectados", NI_pos_pos)

## Probabilidad de dos resultados positivos en no infectados 5.5e-05

Total_pos_pos<- NI_pos_pos+I_pos_pos 
 cat("Probabilidad de dos resultados positivos en la población", Total_pos_pos)

## Probabilidad de dos resultados positivos en la población 0.4411

Volviendo a la expresión inicial PpW/pE=P(pE∩pW/pE); calculamos ahora P(pE) = (PpE/pI)* pI + (PpE/pNI)*pNI:

Total_pE<-sens.E*pI+(1-esp.E)*pNI

Total_pos_pos/Total_pE

## [1] 0.9840491

 cat("La probabilidad de obtener un resultado positivo de WB habiendo obtenido un ELISA positivo es", Total_pos_pos)

## La probabilidad de obtener un resultado positivo de WB habiendo obtenido un ELISA positivo es 0.4411

Apartado 4

Aplicando nuevamente Bayes: P(I/(pE∩pW)= P(pE ∩ pW ∩ I / pE ∩ pW ); calculo de nuevo numerador y denominador por separado:

Primero: P(pE ∩ pW ∩ I) ; aquí debemos tener en cuenta que sí hay dependencia entre estar infectado y el resultado de la prueba, por tanto: = pI* pE/pI* pW/pI, que corresponde a:

numerador<-pI*sens.E*sens.W

Segundo: P(pE ∩ pW) -> probabilidad total (I y NI) de obtener dos resultados positivos; ya calculada del apartado anterior. Resolvemos, pues, la expresión inicial: P(I/(pE∩pW)=

I_pos_pos<-numerador/Total_pos_pos
 cat("La probabilidad de estar infectado si obtienes dos resultados positivos es", I_pos_pos)

## La probabilidad de estar infectado si obtienes dos resultados positivos es 0.9998753

Apartado 5

P(I/((pE ∩ nW)∪(pW ∩ nE)))

Volvemos a aplicar Bayes. Esta vez, nos queda:

P(I/Total_pos_neg) = P(I ∩ [(pE ∩ nW)∪(pW ∩ nE)])/P[(pE ∩ nW)∪(pW ∩ nE)]

Numerador: probabilidad de, estando infectado, sólo una prueba de positiva. Tendríamos dos posibles escenarios: +- y -+

P(I ∩ [(pE ∩ nW)∪(pW ∩ nE)] = PI*[P(pE/I ∩ nW/I) + P(pW/I ∩ nE/I)] ; Resolvemos aplicando cada concepto:

numerador<-pI*(sens.E*(1-sens.W) + sens.W*(1-sens.E))

Denominador-> P[(pE ∩ nW)∪(pW ∩ nE)]

Aplicando probabilidad total (considerando población total) tenemos:

(pE ∩ nW) -> (pE/I* nW/I)* I + (pE/NI* nW/NI)*NI

(pW ∩ nE) -> (pW/I* nE/I)* I + (pW/NI* nE/NI)* NI

Resolvemos aplicando los conceptos correspondientes anteriormente razonados:

Total_posE_negW<- (sens.E*(1-sens.W))*pI + (1-esp.E)*esp.W*pNI

Total_posW_newE<- (sens.W*(1-sens.E))*pI + (1-esp.W)*esp.E*pNI

Denominador <- Total_posE_negW + Total_posW_newE

Resolviendo numerador/ denominador:

I_Pos_Neg<- numerador/ Denominador
cat("La probabilidad de estar infectado habiendo dado positivo en una única prueba es", I_Pos_Neg)

## La probabilidad de estar infectado habiendo dado positivo en una única prueba es 0.7300586