La polémica de la CUP del año 2015

Enunciado :

Tras las elecciones autonómicas catalanas del 27 de septiembre de 2015, ganadas por la candidatura Junts pel Sí (JxSí) por mayoría simple, la candidatura vencedora propuso a Artur Mas como presidente de la Generalitat de Cataluña. Para que dicha propuesta tuviese éxito, era fundamental el apoyo de la Candidatura d’Unitat Popular (CUP).

Los miembros de la CUP realizaron una asamblea para decidir si finalmente respaldaban la investidura de Artur Mas. Tras varias votaciones previas, en la última y definitiva votación, cada miembro debía votar “sí” o “no” a la propuesta de investidura presentada por Junts pel Sí.

El resultado de la votación fue un empate a 1.515 votos, lo que generó una gran polémica en la prensa. Diversos análisis matemáticos concluyeron que un resultado tan exacto era altamente improbable, lo que llevó a algunos a sospechar que la votación podría haber estado “consensuada”.

Dado que la votación tuvo lugar el 27 de diciembre de 2015, puedes consultar los periódicos del día siguiente para encontrar las primeras impresiones sobre el empate, así como análisis posteriores que ofrecieron interpretaciones más detalladas sobre lo ocurrido.

a)

Una de las soluciones aportadas para realizar el cálculo de la probabilidad de empate era la siguiente: Se asumía que, de los 3.030 participantes en la votación, cada persona decidía de modo independiente del resto y que la probabilidad individual de apoyar el sí era de 0.5. Es decir, estaban utilizando el modelo binomial. Calcula la probabilidad de empatar bajo dicha suposición

Tenemos 3030 participantes (\(n = 3030\)) y la probabilidad de empatar es de 0.5, es decir un 50% (\(p = 0.5\)).

\(X \sim Binomial(n,p) \equiv X \sim Binomial(3030,0.5)\)

Queremos, \(P(X=1515)\)

n = 3030
p=0.5
dbinom(1515,n,p)
## [1] 0.01449382

Vemos pues que la probabilidad de que esto suceda es de \(\approx\) 0,0145. Es decir, 1,45% de probabilidades que hayan llegado a un empate. Una probabilidad muy baja.

b)

Algunos medios de comunicación dieron otro resultado alternativo. Argumentaban que hab´ıa 3.031 resultados posibles, todos ellos equiprobables (es decir, asum´ıan que (k síes, 3.030-k noes) son sucesos equiprobables, con k = 0, 1, . . . , 3030), y que por tanto, la probabilidad de empate era de 1/3031. Si consideramos el modelo binomial v´alido ¿es cierta dicha suposici´on de equiprobabilidad? Compara, por ejemplo, la probabilidad de empatar con la de obtener 0 s´ıes

Vamos a comparar la probabilidad de obtener 0 síes, la probabilidad de empate con esta suposición de equiprobabilidad y la probabilidad que calculamos en a)

Queremos comparar, \(P(X=0)\) y \(P(X=1515)\)

\(P(X=1515)= \frac{1}{3031}, X \sim\) ley de equiprobabilidad.

\(P(X=0)= \frac{1}{3031}, X \sim\) ley de equiprobabilidad.

Ley de probabilidad general de la variable que se usa. Es decir, la asignación de probabilidades para todos los casos:

\(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}\)

n = 3030
p=0.5

#Probabilidad calculada en a)
dbinom(1515,n,p)
## [1] 0.01449382
#Probabilidad de obtener 0 síes
dbinom(0,n,p)
## [1] 0
#Probabilidad de empate con equiprobabilidad
round(1/3031,6)
## [1] 0.00033
#Probabilidad de obtener 0 síes con equiprobabilidad
round(1/3031,6)
## [1] 0.00033

Vemos pues que la probabilidad de obtener 0 síes y un empate con equiprobabilidad son iguales ya que equiprobabilidad = probabilidades iguales entre los sucesos con \(k=(0,1,2,...,3030)\):

Entonces la ley de equiprobabilidad no sigue el modelo binomial, ya que no tenemos las mismas probabilidades ni en empates ni en 0 síes.

c)

x <- 1424:1606
barplot(dbinom(x, size=3030, prob=0.5), names.arg = x,  xlab="Number of Successes", ylab="Probability Mass", 
main="Binomial Distribution:  Binomial trials=3030, Probability of success=0.5")

Gráfico generado por R Commander:

local({ + .x <- 1424:1606 + plotDistr(.x, dbinom(.x, size=3030, prob=0.5), xlab=“Number of Successes”, ylab=“Probability Mass”, + main=“Binomial Distribution: Binomial trials=3030, Probability of success=0.5”, discrete=TRUE) + })

d)

Verificamos el resultado obtenido:

x= 0:3030
which.max(dbinom(x, size=3030, prob=0.5))
## [1] 1516