Ejercicio 1: Proceso de Poisson

Un sistema de producción tiene fallas según un proceso de Poisson con una tasa de 3 fallas por día. Simulamos el número de fallas en 150 días y calculamos la media y la desviación estándar.

set.seed(123)
fallas <- rpois(150, lambda = 3)
media_fallas <- mean(fallas)
desv_fallas <- sd(fallas)

Resultados: - Media de fallas por día: 3, lo que indica que en promedio ocurren esta cantidad de fallas diarias.

Ejercicio 2: Distribución Exponencial

La vida útil de un componente sigue una distribución exponencial con una media de 500 horas. Simulamos 1000 componentes y estimamos la probabilidad de que uno dure más de 700 horas.

set.seed(123)
vida_util <- rexp(1000, rate = 1/500)
prob_mas_700 <- mean(vida_util > 700)

Resultados: - Probabilidad de que un componente dure más de 700 horas: 0.255, lo que indica que esta proporción de los componentes superará este tiempo de vida útil.

Ejercicio 3: Distribución Binomial

Simulamos 100 lotes de 50 productos, donde la probabilidad de que un producto sea defectuoso es del 5%. Calculamos el número promedio de productos defectuosos por lote.

set.seed(123)
defectuosos <- rbinom(100, size = 50, prob = 0.05)
media_defectuosos <- mean(defectuosos)

Resultados: - Número promedio de productos defectuosos por lote: 2.48, lo que representa la cantidad esperada de defectos en un lote de 50 productos.

Ejercicio 4: Distribución Normal

La demanda diaria de energía sigue una distribución normal con media de 100 MW y desviación estándar de 15 MW. Simulamos la demanda por 365 días y estimamos la probabilidad de que supere los 130 MW, además de generar un histograma.

set.seed(123)
demanda <- rnorm(365, mean = 100, sd = 15)
prob_mas_130 <- mean(demanda > 130)

Resultados: - Probabilidad de que la demanda supere los 130 MW: 0.030137, lo que indica la fracción de días en los que se espera que la demanda supere este umbral.

Ejercicio 5: Método de la Transformada Inversa

Simulamos el tiempo de vida de 1000 capacitores con una distribución exponencial de media 1000 horas.

set.seed(123)
u <- runif(1000)
tiempos_vida <- -1000 * log(1 - u)
media_tiempos <- mean(tiempos_vida)
varianza_tiempos <- var(tiempos_vida)
prob_menos_940 <- mean(tiempos_vida < 940)

Resultados: - Media de tiempo de vida de los capacitores: 986.1543575, lo que representa el tiempo promedio antes de que fallen. - Varianza del tiempo de vida: 9.5496623^{5}, indicando la dispersión en los tiempos de vida. - Probabilidad de que un capacitor dure menos de 940 horas: 0.611, lo que muestra la fracción de capacitores que fallan antes de este tiempo.

El histograma muestra la distribución simulada de los tiempos de vida y la curva roja representa la densidad teórica esperada.