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José Antonio López torres
2025-04-01
INFERENCIA ESTADÍSTICA
INTERVALOS DE CONFIANZA
Práctica IC
José Antonio López Torres
Parte 1
Para una muestra de tamaño \(30\) con distribución \(X\sim N(10,9)\) tenemos los siguientes 100 intervalos de confianza de \(95\%\):
n<- 100
mi<- 10
sigma2<-9
x<- rnorm(n,mi,sigma2)
mi.hat<- mean(x)
alfa.sig<- 0.05 # Intervalo de confianza del 100(1-alfa)%
z.alfa.2<- qnorm(1-alfa.sig/2)
e.e<- sqrt(sigma2/n) #error estanda de mi.hat, con varianza conocida
aux<- z.alfa.2*e.e
lic<- mi.hat-aux
lsc<- mi.hat+aux
IC<- c(lic, lsc)
m<- 100
n<- 30
mi<- 10
sigma2<- 3
e.e<- sqrt(sigma2/n)
aux<- z.alfa.2*e.e
cont<- 0
int.conf=matrix(NA,m,3)
for(i in 1:m){
x<- rnorm(n,mean=mi,sd=sqrt(sigma2))
mi.hat<- mean(x)
ic<- c(mi.hat-aux,mi.hat+aux)
if(ic[1]<mi & mi<ic[2]) cont<- cont+1
int.conf[i,]<-c(ic[1],mi.hat,ic[2])
}
int.conf## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 9.565098 10.184893 10.804688
## [2,] 9.303794 9.923589 10.543384
## [3,] 9.513719 10.133514 10.753309
## [4,] 9.016976 9.636771 10.256566
## [5,] 9.172965 9.792760 10.412556
## [6,] 9.169385 9.789180 10.408975
## [7,] 9.447647 10.067442 10.687237
## [8,] 9.496445 10.116240 10.736035
## [9,] 9.037575 9.657370 10.277165
## [10,] 9.389700 10.009495 10.629291
## [11,] 9.570455 10.190250 10.810045
## [12,] 9.250023 9.869818 10.489613
## [13,] 9.203185 9.822980 10.442775
## [14,] 9.013502 9.633297 10.253092
## [15,] 8.958331 9.578126 10.197921
## [16,] 9.407794 10.027589 10.647384
## [17,] 9.327627 9.947422 10.567217
## [18,] 9.596065 10.215860 10.835655
## [19,] 9.807066 10.426861 11.046656
## [20,] 9.306754 9.926549 10.546344
## [21,] 9.887381 10.507176 11.126971
## [22,] 8.935258 9.555053 10.174848
## [23,] 8.952890 9.572685 10.192480
## [24,] 9.121581 9.741376 10.361171
## [25,] 9.098250 9.718045 10.337840
## [26,] 9.085196 9.704991 10.324786
## [27,] 9.043505 9.663300 10.283095
## [28,] 9.454220 10.074015 10.693810
## [29,] 9.674558 10.294353 10.914148
## [30,] 9.303803 9.923598 10.543393
## [31,] 9.294967 9.914762 10.534557
## [32,] 9.048160 9.667955 10.287750
## [33,] 9.494061 10.113857 10.733652
## [34,] 9.567994 10.187789 10.807584
## [35,] 9.543133 10.162928 10.782723
## [36,] 9.021443 9.641238 10.261033
## [37,] 9.650176 10.269971 10.889766
## [38,] 9.056189 9.675984 10.295779
## [39,] 9.328237 9.948032 10.567827
## [40,] 9.616056 10.235851 10.855646
## [41,] 9.112816 9.732611 10.352406
## [42,] 9.705919 10.325714 10.945509
## [43,] 9.721065 10.340860 10.960655
## [44,] 9.488082 10.107877 10.727672
## [45,] 9.112369 9.732164 10.351959
## [46,] 9.558247 10.178042 10.797837
## [47,] 9.759976 10.379771 10.999566
## [48,] 9.237630 9.857425 10.477220
## [49,] 9.039880 9.659675 10.279470
## [50,] 9.385451 10.005246 10.625041
## [51,] 9.394385 10.014180 10.633975
## [52,] 9.495673 10.115468 10.735263
## [53,] 9.395713 10.015508 10.635303
## [54,] 9.501386 10.121181 10.740976
## [55,] 8.693317 9.313112 9.932907
## [56,] 9.417381 10.037176 10.656971
## [57,] 9.559840 10.179635 10.799430
## [58,] 8.870275 9.490070 10.109865
## [59,] 9.468366 10.088161 10.707956
## [60,] 9.491216 10.111011 10.730806
## [61,] 9.620350 10.240146 10.859941
## [62,] 9.690863 10.310658 10.930453
## [63,] 9.417543 10.037338 10.657133
## [64,] 9.582203 10.201998 10.821793
## [65,] 9.314803 9.934598 10.554393
## [66,] 9.305396 9.925191 10.544986
## [67,] 9.252568 9.872363 10.492158
## [68,] 9.300779 9.920574 10.540369
## [69,] 8.911266 9.531061 10.150856
## [70,] 9.529864 10.149659 10.769454
## [71,] 9.195629 9.815424 10.435219
## [72,] 9.520078 10.139873 10.759668
## [73,] 9.370205 9.990000 10.609795
## [74,] 8.821857 9.441652 10.061447
## [75,] 10.021191 10.640986 11.260781
## [76,] 9.457403 10.077198 10.696993
## [77,] 9.739235 10.359030 10.978825
## [78,] 9.116933 9.736728 10.356523
## [79,] 9.538376 10.158171 10.777966
## [80,] 9.264968 9.884763 10.504558
## [81,] 9.402337 10.022132 10.641927
## [82,] 9.843928 10.463723 11.083518
## [83,] 9.294619 9.914414 10.534209
## [84,] 9.749484 10.369279 10.989074
## [85,] 8.899104 9.518899 10.138694
## [86,] 9.675823 10.295618 10.915413
## [87,] 9.163931 9.783727 10.403522
## [88,] 9.794791 10.414586 11.034381
## [89,] 9.488911 10.108706 10.728501
## [90,] 10.049353 10.669148 11.288943
## [91,] 9.385850 10.005645 10.625440
## [92,] 9.505922 10.125718 10.745513
## [93,] 9.336227 9.956022 10.575817
## [94,] 9.481815 10.101610 10.721405
## [95,] 9.840780 10.460575 11.080370
## [96,] 9.243631 9.863426 10.483221
## [97,] 9.537414 10.157209 10.777004
## [98,] 9.416232 10.036027 10.655822
## [99,] 10.054684 10.674479 11.294274
## [100,] 9.184879 9.804674 10.424469De los cuales solo
cont## [1] 96intervalos contienen al valor de \(\mu\). A continuación se muestran gráficamente los 100 intervalos obtenidos:
col<- c("darkred","darkviolet","magenta", "deeppink1","violet",
"darkblue","orange", "lightyellow","white", "darkgray","pink","lightblue",
"darkseagreen1", "chartreuse3","green", "springgreen1", "seagreen3","darkgreen",palette())
cont/m## [1] 0.96media<- int.conf[,2]
caso<- 1:m
ylim<- range(int.conf)
ylab<- "media muestral"
plot(caso,media,ylim=ylim,ylab=ylab,pch=19,col=col[2])
rug(caso)
for(i in caso){
points(rep(caso[i],2),int.conf[i,c(1,3)],type="b",lwd=2,col=col[4])
}
abline(h=mi,col=col[3],lwd=2)
En esta parte se observa que de 100 intervalos obtenidos, 94 de ellos contienen al valor de \(\mu\). Se concluye que los datos obtenidos se acercan a los esperados por el intervalo de confianza.
Parte 2
ahora veamos que para una muestra de tamaño 100 con distribución \(X\sim N(10,9)\) tenemos los siguientes 100 intervalos de confianza de \(95\%\):
n<- 100
mi<- 10
sigma2<-9
x<- rnorm(n,mi,sigma2)
mi.hat<- mean(x)
alfa.sig<- 0.05
z.alfa.2<- qnorm(1-alfa.sig/2)
e.e<- sqrt(sigma2/n)
aux<- z.alfa.2*e.e
lic<- mi.hat-aux
lsc<- mi.hat+aux
IC<- c(lic, lsc)
m<- 100
n<- 100
mi<- 10
sigma2<- 3
e.e<- sqrt(sigma2/n)
aux<- z.alfa.2*e.e
cont<- 0
int.conf=matrix(NA,m,3)
for(i in 1:m){
x<- rnorm(n,mean=mi,sd=sqrt(sigma2))
mi.hat<- mean(x)
ic<- c(mi.hat-aux,mi.hat+aux)
if(ic[1]<mi & mi<ic[2]) cont<- cont+1
int.conf[i,]<-c(ic[1],mi.hat,ic[2])
}
int.conf## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 9.576265 9.915741 10.255216
## [2,] 10.033101 10.372577 10.712053
## [3,] 9.784139 10.123615 10.463091
## [4,] 9.415840 9.755315 10.094791
## [5,] 9.923340 10.262816 10.602291
## [6,] 9.678109 10.017585 10.357061
## [7,] 9.616764 9.956240 10.295716
## [8,] 9.544616 9.884091 10.223567
## [9,] 9.510928 9.850404 10.189879
## [10,] 9.445272 9.784748 10.124224
## [11,] 9.767163 10.106638 10.446114
## [12,] 9.681156 10.020631 10.360107
## [13,] 9.512725 9.852201 10.191677
## [14,] 9.551396 9.890872 10.230347
## [15,] 9.333173 9.672648 10.012124
## [16,] 9.472666 9.812141 10.151617
## [17,] 9.734803 10.074279 10.413755
## [18,] 9.590381 9.929857 10.269333
## [19,] 9.724053 10.063529 10.403005
## [20,] 9.578799 9.918275 10.257751
## [21,] 9.889901 10.229377 10.568853
## [22,] 9.889597 10.229073 10.568549
## [23,] 9.645142 9.984618 10.324094
## [24,] 9.767076 10.106551 10.446027
## [25,] 9.780631 10.120107 10.459583
## [26,] 9.553853 9.893329 10.232805
## [27,] 9.511128 9.850604 10.190079
## [28,] 9.880418 10.219894 10.559369
## [29,] 9.478301 9.817776 10.157252
## [30,] 9.967100 10.306576 10.646052
## [31,] 9.603595 9.943071 10.282547
## [32,] 9.619743 9.959218 10.298694
## [33,] 9.858508 10.197984 10.537460
## [34,] 9.688677 10.028153 10.367628
## [35,] 9.681136 10.020612 10.360087
## [36,] 9.921980 10.261456 10.600931
## [37,] 9.725320 10.064796 10.404272
## [38,] 9.842512 10.181988 10.521463
## [39,] 9.721798 10.061274 10.400750
## [40,] 9.936040 10.275516 10.614991
## [41,] 9.670402 10.009878 10.349354
## [42,] 9.692584 10.032060 10.371536
## [43,] 9.869945 10.209421 10.548897
## [44,] 9.707109 10.046585 10.386060
## [45,] 9.553859 9.893334 10.232810
## [46,] 9.685017 10.024493 10.363969
## [47,] 9.653298 9.992773 10.332249
## [48,] 9.370572 9.710048 10.049523
## [49,] 9.554097 9.893573 10.233049
## [50,] 9.612770 9.952246 10.291721
## [51,] 9.652856 9.992332 10.331808
## [52,] 9.634004 9.973480 10.312955
## [53,] 9.774109 10.113585 10.453061
## [54,] 9.585374 9.924849 10.264325
## [55,] 9.656399 9.995874 10.335350
## [56,] 9.898999 10.238475 10.577951
## [57,] 9.930058 10.269534 10.609009
## [58,] 9.734407 10.073882 10.413358
## [59,] 9.786561 10.126037 10.465513
## [60,] 9.752330 10.091806 10.431281
## [61,] 9.799526 10.139002 10.478478
## [62,] 10.049860 10.389336 10.728812
## [63,] 9.176057 9.515533 9.855009
## [64,] 10.009428 10.348903 10.688379
## [65,] 9.523033 9.862509 10.201984
## [66,] 9.585580 9.925055 10.264531
## [67,] 9.786194 10.125669 10.465145
## [68,] 9.787980 10.127456 10.466931
## [69,] 9.702587 10.042063 10.381539
## [70,] 9.742455 10.081930 10.421406
## [71,] 9.821871 10.161346 10.500822
## [72,] 9.559590 9.899066 10.238541
## [73,] 9.853297 10.192773 10.532249
## [74,] 9.625346 9.964821 10.304297
## [75,] 9.472738 9.812214 10.151689
## [76,] 9.473659 9.813135 10.152610
## [77,] 9.582992 9.922468 10.261944
## [78,] 9.551857 9.891333 10.230808
## [79,] 9.746326 10.085801 10.425277
## [80,] 9.420132 9.759608 10.099084
## [81,] 9.730974 10.070449 10.409925
## [82,] 9.543891 9.883366 10.222842
## [83,] 9.808667 10.148143 10.487618
## [84,] 9.786342 10.125818 10.465294
## [85,] 9.532397 9.871872 10.211348
## [86,] 9.841190 10.180666 10.520142
## [87,] 9.795653 10.135129 10.474605
## [88,] 9.723970 10.063446 10.402921
## [89,] 9.552435 9.891911 10.231386
## [90,] 9.662406 10.001882 10.341358
## [91,] 9.518892 9.858368 10.197843
## [92,] 9.894187 10.233663 10.573139
## [93,] 9.664086 10.003562 10.343038
## [94,] 9.420860 9.760335 10.099811
## [95,] 9.335568 9.675044 10.014520
## [96,] 9.611015 9.950490 10.289966
## [97,] 9.826100 10.165575 10.505051
## [98,] 10.086289 10.425765 10.765240
## [99,] 9.694559 10.034035 10.373510
## [100,] 9.626446 9.965922 10.305397De los cuales solo
cont## [1] 95intervalos contienen al valor de \(\mu\).
A continuación se muestran gráficamente los 100 intervalos obtenidos:
col<- c("darkred","darkviolet","magenta", "deeppink1","violet",
"darkblue","orange", "lightyellow","white", "darkgray","pink","lightblue",
"darkseagreen1", "chartreuse3","green", "springgreen1", "seagreen3","darkgreen",palette())
cont/m## [1] 0.95media<- int.conf[,2]
caso<- 1:m
ylim<- range(int.conf)
ylab<- "media muestral"
plot(caso,media,ylim=ylim,ylab=ylab,pch=19,col=col[2])
rug(caso)
for(i in caso){
points(rep(caso[i],2),int.conf[i,c(1,3)],type="b",lwd=2,col=col[7])
}
abline(h=mi,col=col[5],lwd=2)
Despúes de comparar ambas partes, podemos concluir que entre mayor sea la muestra, el número de intervalos que contienen al valor de \(\mu\) se acercan cada ves más al establecido en el intervalo de confianza(en nuestro caso, 95% de los intervalos).