1 . Beneficios no intencionados de la planificación familiar
A continuación, se presentará la resolución y el analisis del problema de beneficios no intencionados de la planificación familiar. Antes de abordarlo, es necesario considerar lo siguiente:
Levitt y Dubner (2006, capítulo 4) argumentan en Freakonomics que la disminución en las tasas de criminalidad (por ejemplo, en Nueva York) es, de hecho, un «beneficio no intencionado» de la legalización del aborto. En este ejercicio construiremos un modelo de simulación simple y puramente hipotético para explorar los efectos inmediatos sobre las estadísticas criminales tras una reducción repentina en la tasa de natalidad en las familias con múltiples problemas¹, ya sea debido al aborto voluntario o a medidas efectivas de planificación familiar.
¹ Familias con múltiples problemas se refiere a familias en situaciones socioeconómicas
complicadas o adversas.
Teniendo lo anterior como contexto, se plantea el siguiente problema :
Centrémonos únicamente en familias con múltiples problemas, y asumamos que los individuos nacidos en familias con múltiples problemas están efectivamente atrapados, pero que no necesariamente recurren al crimen. Modelemos una cadena de envejecimiento de niños, jóvenes, adultos y jubilados. Inicialmente, hay 1 millón de niños, 1 millón de jóvenes, 3 millones de adultos y 750,000 jubilados dentro de estas familias con múltiples problemas. Supongamos, por simplicidad, que solo los jubilados mueren, en promedio después de un tiempo promedio como jubilado de 15 años, es decir, las muertes igualan a los jubilados divididos entre el tiempo promedio como jubilado. De manera similar, los adultos fluyen, después de un tiempo promedio como adulto de 40 años, de adultos a jubilados; los jóvenes, después de un tiempo promedio como joven de 12 años, de jóvenes a adultos; y los niños, después de un tiempo promedio como niño de 12 años, de niños a jóvenes.
Tanto adultos como jóvenes dan a luz: la entrada de nacimientos es entonces la suma de los adultos multiplicados por la tasa de fertilidad anual de adultos de 3 por ciento por adulto por año y los jóvenes multiplicados por la tasa de fertilidad anual de jóvenes de 0.3% por joven por año.
Supongamos que se cometen 6 millones de crímenes anualmente por otros, es decir, por criminales que no forman parte de familias con múltiples problemas. Aparte de estos crímenes cometidos por otros, se cometen crímenes por niños criminales a una tasa de 2 actos criminales por niño criminal por año, por jóvenes criminales a una tasa de 4 actos criminales por joven criminal por año, por adultos criminales a una tasa de 12 actos criminales por adulto criminal por año, y por jubilados criminales a una tasa de 4 actos criminales por jubilado criminal por año.
Supongamos que, en estas familias con múltiples problemas, el porcentaje de niños con comportamiento criminal asciende a 5%, el porcentaje de jóvenes con comportamiento criminal asciende a 50%, el porcentaje de adultos con comportamiento criminal asciende a 60%, y el porcentaje de jubilados con comportamiento criminal asciende a 10%.
Toma en cuenta que entonces una de las variables de estado serán la población de las edades (niños, jovenes adultos y jubilados) y su relación con los crimenes cometidos ya que el objetivo de este problema es mostrar las estadisticas criminales de diferentes grupos .
2 . Modelación de sistemas
Oserva que la clasificacion de variable, se encuentra de la siguiente manera:
Variables de Estado (Stocks) Son las acumulaciones que evolucionan en el tiempo. En este caso, tenemos:
Niños: Número de niños en familias con múltiples problemas (inicialmente 1 millón).
Jóvenes: Número de jóvenes en familias con múltiples problemas (inicialmente 1 millón).
Adultos: Número de adultos en familias con múltiples problemas (inicialmente 3 millones).
Retirados: Número de retirados en familias con múltiples problemas (inicialmente 750,000).
Variables de Flujo (Flows) Son los cambios (entradas o salidas) que afectan a los stocks. En donde se incluyen:
Transiciones entre etapas (aging flows):
Niños → Jóvenes: Flujo de niños que pasan a ser jóvenes, calculado como el stock de niños dividido por el tiempo promedio como niño (12 años).
Jóvenes → Adultos: Flujo de jóvenes que pasan a ser adultos, calculado como el stock de jóvenes dividido por el tiempo promedio como joven (12 años).
Adultos → Retirados: Flujo de adultos que pasan a ser retirados, calculado como el stock de adultos dividido por el tiempo promedio como adulto (40 años).
Salida por muerte de retirados:
Muertes (Retirados): Flujo de salida del stock de retirados, calculado como el stock de retirados dividido por el tiempo promedio como retirado (15 años).
Nacimiento (inflow de niños): Suma de los Nacimientos provenientes de adultos: stock de adultos × tasa de fertilidad anual de adultos (3%). y Nacimientos provenientes de jóvenes: stock de jóvenes × tasa de fertilidad anual de jóvenes (0.3%).
Variables auxiliares de comportamiento criminal
niños criminales
jóvenes criminales
Adultos criminales
Jubilados criminales
2.1 . Diagrama Causal
Observa que hay algunas variables exógenas como el tiempo promedio de cada stock que tiene un efecto negativo. Por ejemplo en el caso de el tiempo promedio como jubilado actúa como un divisor en el cálculo de la tasa de muertes. Es decir, para un número fijo de retirados, si cada uno permanece en la etapa de retiro por más tiempo, en promedio se producirán menos muertes por unidad de tiempo. De manera similar para el tiempo promedio de niños, jóvenes y adultos
Otra variable que puede resultar complicada es la tasa de fertilidad anual (tanto para adultos como para jóvenes), esto es porque no afecta directamente al stock de adultos o jóvenes, sino que se utiliza para calcular el flujo de nacimientos. En otras palabras, la tasa de fertilidad actúa como un multiplicador que, junto con el stock de adultos o jóvenes, determina cuántos nacimientos se generan en un año.
Asímismo, los porcentajes son parámetros fijos (convertidores) y se usan para determinar la parte de cada stock que se comporta de manera criminal. La relación es positiva: a mayor stock, mayor número de individuos criminales, manteniendo constante el porcentaje.
2.2 . Diagrama de Flujo
3 . Código de modelación
En el siguiente problema, se pretende hacer una modelación a 50 años
## Warning: package 'deSolve' was built under R version 4.4.3# Condiciones iniciales
CondicionesIniciales <- c(
ninos = 1e6,
jovenes = 1e6,
adultos = 3e6,
retirados = 750000
)
# Vector de tiempo (años)
tiempos <- seq(0, 50, 1)
modelo.delitos <- function(t, estado, parametros) {
with(as.list(c(estado, parametros)), {
# Variables auxiliares endógenas:
# Tasas de transición (por año)
tasa.ninos.a.jovenes <- 1 / tiempo.como.nino # los niños pasan a jóvenes después de 12 años
tasa.jovenes.a.adultos <- 1 / tiempo.como.joven # los jóvenes pasan a adultos después de 12 años
tasa.adultos.a.retirados <- 1 / tiempo.como.adulto # los adultos pasan a retirados después de 40 años
tasa.muerte.retirados <- 1 / tiempo.como.retirado # los retirados mueren después de 15 años
# Nacimientos: provienen de adultos y jóvenes
nacimientos <- adultos * fertilidad.adulto + jovenes * fertilidad.joven
# Variables de flujo:
# Transiciones entre etapas
flujo.ninos.a.jovenes <- ninos * tasa.ninos.a.jovenes
flujo.jovenes.a.adultos <- jovenes * tasa.jovenes.a.adultos
flujo.adultos.a.retirados <- adultos * tasa.adultos.a.retirados
muertes.retirados <- retirados * tasa.muerte.retirados
# Variables auxiliares de comportamiento criminal:
ninos.criminales <- ninos * porc.criminal.ninos
jovenes.criminales <- jovenes * porc.criminal.jovenes
adultos.criminales <- adultos * porc.criminal.adultos
retirados.criminales <- retirados * porc.criminal.retirados
# Delitos (flujos de actos criminales por grupo)
delitos.ninos <- ninos.criminales * tasa.delitos.nino
delitos.jovenes <- jovenes.criminales * tasa.delitos.joven
delitos.adultos <- adultos.criminales * tasa.delitos.adulto
delitos.retirados <- retirados.criminales * tasa.delitos.retirado
# Gran variable: total de delitos
delitos <- delitos.ninos + delitos.jovenes + delitos.adultos + delitos.retirados + delitos.otros
# Ecuaciones diferenciales para los stocks:
dninos <- nacimientos - flujo.ninos.a.jovenes
djovenes <- flujo.ninos.a.jovenes - flujo.jovenes.a.adultos
dadultos <- flujo.jovenes.a.adultos - flujo.adultos.a.retirados
dretirados <- flujo.adultos.a.retirados - muertes.retirados
# Se retornan las derivadas y algunas salidas auxiliares
list(c(dninos, djovenes, dadultos, dretirados),
nacimientos = nacimientos,
muertes.retirados = muertes.retirados,
delitos = delitos)
})
}
# Definición de parámetros
parametros <- c(
# Tiempo en cada etapa (años)
tiempo.como.nino = 12,
tiempo.como.joven = 12,
tiempo.como.adulto = 40,
tiempo.como.retirado = 15,
# Tasas de fertilidad (por año)
fertilidad.adulto = 0.03,
fertilidad.joven = 0.003,
# Delitos cometidos por otros (exógenos)
delitos.otros = 6e6,
# Tasas de actos criminales (por individuo criminal por año)
tasa.delitos.nino = 2,
tasa.delitos.joven = 4,
tasa.delitos.adulto = 12,
tasa.delitos.retirado = 4,
# Porcentajes de comportamiento criminal (fracción)
porc.criminal.ninos = 0.05,
porc.criminal.jovenes = 0.50,
porc.criminal.adultos = 0.60,
porc.criminal.retirados= 0.10
)
# Método de integración (Runge-Kutta de 4to orden)
metodo.integracion <- "rk4"
# Ejecutar la simulación con el solver ode
salida <- ode(y = CondicionesIniciales,
times = tiempos,
func = modelo.delitos,
parms = parametros,
method = metodo.integracion)
# Graficar los resultados
plot(salida, col = c("blue"), lwd = 2,
xlab = "Tiempo (años)")