Poster 331

Distribución de Rayleigh
Omar Francisco Morales Franky
Pontificia Universidad Javeriana

Formato: A1 (59.4 cm x 84.1 cm) # Curso

Curso de Estadística • Marzo 2025

introduction

La distribución de Rayleigh describe la magnitud de un vector bidimensional cuyos componentes son normales independientes con media cero y varianza común. Es especialmente útil cuando se desconoce la dirección de un fenómeno, pero se conoce su magnitud. Esta distribución surge frecuentemente en estudios de acústica, ingeniería, procesamiento de señales y física estadística.

Características principales

• Función de densidad:
  \[ f(x) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2 / (2\sigma^2)}, \quad x \geq 0 \]

• Función de distribución acumulada:
  \[ F(x) = 1 - e^{-x^2 / (2\sigma^2)} \]

• Valor esperado:
  \[ E[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

• Varianza:
  \[ V[X] = \left(2 - \frac{\pi}{2}\right)\sigma^2 \]

Ejemplo en R

Enunciado:
Sea \(X \sim \text{Rayleigh}(2)\). Calcular la probabilidad de que \(X < 3\).

Solución paso a paso:
\[ P(X < 3) = F(3) = 1 - e^{-3^2 / (2 \cdot 2^2)} = 1 - e^{-1.125} \approx 0.6753 \]

Código en R con resultado:

sigma <- 2
x <- 3
p <- 1 - exp(-x^2 / (2 * sigma^2))
p  # Resultado: ~0.6753

## [1] 0.6753475

Aplicaciones

• Ingeniería:
  Modelado del desvanecimiento de señales en canales inalámbricos (fading), donde las señales se superponen aleatoriamente.

• Física:
  Distribución de velocidades moleculares (modelo de Maxwell-Boltzmann).

• Medicina:
  Modelado del ruido en imágenes médicas (ecografía, resonancia magnética).

• Economía y confiabilidad:
  Tiempo hasta fallos cuando solo se observa la magnitud del evento aleatorio.

Relaciones entre distribuciones

Según Leemis & McQueston (2008):

• Es un caso particular de la distribución Weibull con parámetro de forma \(k = 2\).

• Se relaciona con la distribución chi (\(\chi\)) con 2 grados de libertad.

• Si \(X, Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\), entonces:

\[ Z = \sqrt{X^2 + Y^2} \sim \text{Rayleigh}(\sigma) \]

Estas relaciones muestran cómo la distribución de Rayleigh es una transformación de la distribución normal bivariada, representando la magnitud de un vector aleatorio en el plano.

Conclusión

La distribución de Rayleigh es útil en contextos donde se mide únicamente la magnitud de una variable aleatoria con múltiples componentes. Su uso es común en ingeniería, física y salud. Al derivarse de componentes normales, conecta naturalmente con otras distribuciones como la Weibull y la chi.

Su simplicidad, aplicabilidad y conexiones con la estadística teórica la convierten en una herramienta esencial para modelar fenómenos continuos y estocásticos.

Referencias

• Leemis, L. M., & McQueston, J. T. (2008). Univariate distribution relationships. The American Statistician, 62(1), 45–53.
  
• Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables and Stochastic Processes.
  
• Wikipedia contributors. Rayleigh distribution. Wikipedia, The Free Encyclopedia.
  
• R Documentation: