Introducción

El modelo Normal para variables continuas \(y_i \in \mathbb{R}\), con \(i = 1, \dots, n\), se define como:

\[ \begin{aligned} y_i \mid \theta, \sigma^2 &\overset{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta, \sigma^2) \\ (\theta, \sigma^2) &\sim p(\theta, \sigma^2) \end{aligned} \] donde \(\boldsymbol{\theta} = (\theta, \sigma^2) \in \Theta = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+\).

Estadístico suficiente

(Ejercicio.) Si \(y_i\mid\theta,\sigma^2\stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta,\sigma^2)\), para \(i=1,\ldots,n\), entonces la distribución muestral conjunta de las observaciones es: \[ p\left(\boldsymbol{y} \mid \theta, \sigma^{2}\right) = \left(2 \pi \sigma^{2}\right)^{-n / 2} \exp { \left\{-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{y_{i}-\theta}{\sigma}\right)^{2}\right\} }\,, \] donde \(\boldsymbol{y}=(y_1,\ldots,y_n)\).

(Ejercicio.) El núcleo de esta distribución se puede escribir como: \[ \sum_{i=1}^n\left(\frac{y_{i}-\theta}{\sigma}\right)^{2}=\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-2 \frac{\theta}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n} y_{i}+n \frac{\theta^{2}}{\sigma^{2}}\,, \] lo cual sugiere que \[ \left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}, \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right) \] es un estadístico suficiente para \((\theta,\sigma^2)\).

(Ejercicio.) La media muestral y la varianza muestral \((\bar{y},s^2)\), \[ \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i\qquad\text{y}\qquad s^2 =\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\bar{y}^2\right)\,, \] también constituye un estadístico suficiente para \((\theta,\sigma^2)\), dado que \[ \sum_{i=1}^n(y_i - \theta)^2 = (n-1)s^2 + n(\bar{y} - \theta)^2\,. \]

Modelo Normal-Gamma Inversa-Normal

El modelo Normal-Gamma Inversa-Normal es \[ \begin{align*} y_i\mid\theta,\sigma^2 &\stackrel{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta,\sigma^2) \\ \theta \mid \sigma^{2} & \sim \textsf{N}\left(\mu_{0}, \tfrac{\sigma^{2}}{\kappa_{0}}\right) \\ \sigma^{2} & \sim \textsf{GI}\left(\tfrac{\nu_{0}}{2}, \tfrac{\nu_{0}\,\sigma_{0}^{2}}{2}\right) \end{align*} \] donde \(\mu_0\), \(\kappa_0\), \(\nu_0\) y \(\sigma^2_0\) son los hiperparámetros del modelo. Esta parametrización es conveniente para establecer una interpretación práctica de los hiperparámetros.

Dstribución Gamma Inversa

La variable aleatoria \(X\) tiene distribución Gamma Inversa con parámetros \(\alpha,\beta > 0\), i.e., \(X\mid\alpha,\beta\sim\textsf{GI}(\alpha,\beta)\), si su función de densidad de probabilidad es \[ p(x\mid\alpha,\beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\,x^{-(\alpha+1)}\,e^{-\beta/x}\,,\quad x>0\,. \]

(Ejercicio.) Si \(X\sim\textsf{Gamma}(\alpha,\beta)\), entonces \(\tfrac{1}{X}\sim\textsf{GI}(\alpha,\beta)\).

dinvgamma0 <- function(x, alpha, beta, log = FALSE) {
  # Cálculo de la densidad en escala logarítmica
  log_density <- alpha * log(beta) - lgamma(alpha) - (alpha + 1) * log(x) - beta / x
  
  # Retornar en escala logarítmica o exponencial
  if (log) return(log_density)
  
  return(exp(log_density))
}

Distribución posterior

Bajo el modelo Normal-Gamma Inversa-Normal se tiene que la distribución posterior de \(\boldsymbol{\theta}\) es \[ p(\theta,\sigma^2\mid \boldsymbol{y}) = p(\theta\mid \sigma^2, \boldsymbol{y})\,p(\sigma^2\mid \boldsymbol{y}) \] donde:

  • (Ejercicio.) \(\theta\mid \sigma^2, \boldsymbol{y} \sim \textsf{N}\left(\theta\mid\mu_{n}, \frac{\sigma^{2}}{\kappa_{n}}\right)\), donde \[ \mu_n = \frac{\kappa_0}{\kappa_n}\mu_0 + \frac{n}{\kappa_n}\bar{y} \qquad\text{con}\qquad \kappa_n = \kappa_0+n\,, \] dado que \[ p(\theta\mid\sigma^2,\boldsymbol{y})\propto p(\boldsymbol{y}\mid\theta,\sigma^2)\,p(\theta\mid\sigma^2)\,. \]
  • (Ejercicio.) \(\sigma^2\mid \boldsymbol{y} \sim \textsf{GI}\left(\sigma^2\mid\frac{\nu_n}{2},\frac{\nu_n\,\sigma^2_n}{2}\right)\), donde \[ \nu_n = \nu_0+n\qquad\text{y}\qquad \nu_{n}\sigma_{n}^{2} = \nu_{0} \sigma_{0}^{2}+(n-1) s^{2}+n \frac{\kappa_{0}}{\kappa_{n}}\left(\bar{y}-\mu_{0}\right)^2\,, \] dado que \[ p(\sigma^2\mid\boldsymbol{y}) \propto p(\sigma^2)\,p(\boldsymbol{y}\mid \sigma^2) = p(\sigma^2)\int_{-\infty}^\infty p(\boldsymbol{y}\mid\theta,\sigma^2)\,p(\theta\mid\sigma^2)\,\text{d}\theta\,. \]

Bajo esta parametrización de la distribución previa, se puede interpretar que:

  • \(\mu_0\) corresponde a la media previa de \(\kappa_0\) observaciones previas.
  • \(\sigma^2_0\) corresponde a la varianza previa de \(\nu_0\) observaciones previas.
  • \((n-1) s^{2}\), \(\nu_{0} \sigma_{0}^{2}\) y \(\nu_{n} \sigma_{n}^{2}\) son las sumas de cuadrados muestral, previa, y posterior, respectivamente.
  • ¿Qué ocurre si \(\kappa_0\rightarrow 0\) y \(\nu_0\rightarrow 0\)?

Distribuciones marginales

(Ejercicio.) Las distribuciones marginales posteriores de \(\theta\) y \(\sigma^2\) son respectivamente: \[ \theta\mid \boldsymbol{y} \sim \textsf{t}_{\nu_n}\left( \mu_n,\tfrac{\sigma^2_n}{\kappa_n} \right) \qquad\text{y}\qquad \sigma^2\mid \boldsymbol{y} \sim \textsf{GI}\left(\tfrac{\nu_n}{2},\tfrac{\nu_n\,\sigma^2_n}{2}\right)\,, \] donde \(\textsf{t}_\nu(\mu,\sigma^2)\) es la distribución \(\textsf{t}\) con \(\nu\) grados de libertad, media \(\mu\), y varianza \(\tfrac{\nu}{\nu-2}\,\sigma^2\).

Distribución t

La variable aleatoria \(X\) tiene distribución t con \(\nu\in\mathbb{N}_0\) (grados de libertad), \(\mu\in\mathbb{R}\) (localización), y \(\sigma\in\mathbb{R}^+\) (escala), i.e., \(X\mid\nu,\mu,\sigma^2\sim\textsf{t}_\nu(\mu,\sigma^2)\), si su función de densidad de probabilidad es \[ p(x\mid\nu,\mu,\sigma^2) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\Gamma(\nu/2)\sqrt{\nu\pi\sigma^2}}\,\left( 1 + \tfrac{1}{\nu\sigma^2}\,( x-\mu )^2 \right)^{-(\nu + 1 )/2} \,,\quad x>0\,. \]

(Ejercicio.) Si \(X\sim\textsf{t}_\nu(\mu,\sigma^2)\), entonces \(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\sim\textsf{t}_\nu\).

dt0 <- function(x, nu, mu, sigma2, log = FALSE) {
  # Constante de normalización
  log_const <- lgamma((nu + 1) / 2) - lgamma(nu / 2) - 0.5 * log(nu * pi * sigma2)
  
  # Término dependiente de x
  log_kernel <- -((nu + 1) / 2) * log(1 + (1 / (nu * sigma2)) * (x - mu)^2)
  
  # Evaluación de la densidad en escala logarítmica
  log_density <- log_const + log_kernel
  
  # Retornar en escala logarítmica o exponencial
  if (log) return(log_density)
  
  return(exp(log_density))
}

Predicción

(Ejercicio.) La distribución predictiva posterior de una observación futura \(y^*\in\mathbb{R}\) es \[ y^*\mid\boldsymbol{y} \sim \textsf{t}_{\nu_n}\left( \mu_n,\tfrac{\kappa_n+1}{\kappa_n}\,\sigma^2_n \right) \]

Previa impropia

La función \(p(\theta,\log\sigma^2)\propto 1\) se denomina distribución previa impropia.

Esta “distribución” es equivalente a \(p(\theta,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2\) y se llama impropia porque no corresponde a una función de densidad de probabilidad.

Lo esencial es que la distribución posterior obtenida al utilizar una distribución previa impropia sí sea una distribución de probabilidad propia.

Una previa impropia permite realizar análisis sin imponer una información previa específica, lo que refleja una postura máxima incertidumbre (estado de información neutral que minimiza la subjetividad).

(Ejercicio.) La distribución posterior satisface que \[ \theta\mid\sigma^2,\boldsymbol{y} \sim\textsf{N}\left(\bar{y},\tfrac{\sigma^2}{n}\right) \qquad\text{y}\qquad \sigma^2\mid\boldsymbol{y} \sim \textsf{GI}\left(\tfrac{n-1}{2},\tfrac{n-1}{2}s^2\right)\,. \]

(Ejercicio.) La distribución marginal posterior de \(\theta\) es \(\theta\mid\boldsymbol{y}\sim\textsf{t}_{n-1}\left(\bar{y},\tfrac{s^2}{n}\right)\), de donde \[ \frac{\theta-\bar{y}}{s/\sqrt{n}}\,\Big|\,\boldsymbol{y} \sim\textsf{t}_{n-1}\,. \]

Error cuadrático medio

Un estimador puntual \(\hat{\theta}\) de un parámetro desconocido \(\theta\) es una función que aplica \(y_1,\ldots,y_n\) a un único elemento del espacio de parámetros \(\Theta\).

Las propiedades muestrales de \(\hat{\theta}\) se refiere al comportamiento de \(\hat{\theta}\) bajo una sucesión infinita de procesos de observación hipotéticos.

Para el modelo Normal, sea \(\hat{\theta}_{\text{u}} = \bar{y}\) el estimador de máxima verosimilitud de \(\theta\), y sea \(\hat{\theta}_{\text{b}} = (1-\omega)\mu_0 + \omega \bar{y}\) el estimador Bayesiano de \(\theta\) basado en la media posterior bajo la previa Normal-Gamma Inversa.

Si el valor verdadero de \(\theta\) es \(\theta_0\), entonces \[ \textsf{E}(\hat{\theta}_{\text{u}}) = \theta_0 \qquad\text{y}\qquad \textsf{E}(\hat{\theta}_{\text{b}}) = (1-\omega)\mu_0 + \omega \theta_0\,. \] Por lo tanto, \(\hat{\theta}_{\text{u}}\) es un estimador insesgado de \(\theta\), y \(\hat{\theta}_{\text{b}}\) es un estimador sesgado de \(\theta\) a menos que \(\mu_0 = \theta_0\).

Para evaluar qué tan “cercano” se encuentra \(\hat{\theta}\) de \(\theta_0\), se acostumbra usar el error cuadrático medio (MSE; mean square error) de \(\hat{\theta}\), dado por \[ \textsf{MSE}(\hat{\theta}) = \textsf{E}((\hat{\theta} -\theta)^2) = \textsf{Var}(\hat{\theta}) + \textsf{Bias}^2(\hat{\theta})\,, \] donde \(\textsf{Bias}(\hat{\theta}) = \textsf{E}(\hat{\theta}) - \theta_0\) es el sesgo (bias) de \(\hat{\theta}\).

Ejercicio. En este caso, se tiene que \[ \textsf{MSE}(\hat{\theta}_{\text{u}}) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad\text{y}\qquad \textsf{MSE}(\hat{\theta}_{\text{b}}) = \omega^2\,\frac{\sigma^2}{n} + (1-\omega)^2(\mu_0-\theta_0)^2\,, \] y además, \(\textsf{MSE}(\hat{\theta}_{\text{b}}) < \textsf{MSE}(\hat{\theta}_{\text{u}})\) siempre que \[ (\mu_0-\theta_0)^2 < \left(\tfrac{1}{n} + \tfrac{2}{\kappa_0}\right)\sigma^2\,. \] Si se sabe un poco sobre la población, se pueden encontrar valores de \(\mu_0\) y \(\theta_0\) tales que se cumpla esta desigualdad, en cuyo caso es posible construir un estimador Bayesiano con menor distancia cuadrática promedio a la media de la población en comparación con la media muestral.

Simulación de muestras de la distribución posterior

Para \(b=1,\ldots,B\):

  • Simular \((\sigma^2)^{(b)}\sim \textsf{GI}\left(\frac{\nu_n}{2},\frac{\nu_n\,\sigma^2_n}{2}\right)\).
  • Simular \(\theta^{(b)} \sim \textsf{N} \left(\mu_{n}, \frac{(\sigma^{2})^{(b)}}{\kappa_{n}}\right)\).

Este procedimiento genera un conjunto de muestras independientes de la distribución posterior de la forma \[ (\theta^{(1)},(\sigma^2)^{(1)}),\ldots,(\theta^{(B)},(\sigma^2)^{(B)})\,, \] que se pueden utilizar para caracterizar cualquier aspecto de \(p(\theta,\sigma^2\mid \boldsymbol{y})\), \(p(\theta\mid \boldsymbol{y})\), y \(p(\sigma^2\mid \boldsymbol{y})\).

Ejemplo: Puntajes de Matemáticas

La base de datos contiene la información de una muestra aleatoria simple de los estudiantes que presentaron la Prueba Saber 11 en 2023-2.

La prueba de matemáticas está diseñada con una escala de 0 a 100 (sin decimales), un puntaje promedio de 50 y una desviación estándar de 10 puntos.

¿Existe suficiente evidencia para concluir que el puntaje promedio de Matemáticas de Bogotá es significativamente superior al puntaje promedio preestablecido por la prueba?

Los datos son públicos y están disponibles en este enlace.

Tratamiento de datos

# Cargar datos
dat <- read.csv("SB11_20232_muestra.txt", sep = ";", stringsAsFactors = FALSE)

# Dimensiones
dim(dat)
## [1] 5511   83
# Distribución de frecuencias de la variable ESTU_DEPTO_RESIDE
table(dat$ESTU_DEPTO_RESIDE)
## 
##        AMAZONAS       ANTIOQUIA          ARAUCA       ATLANTICO          BOGOTÁ 
##               8             758              34             342             776 
##         BOLIVAR          BOYACA          CALDAS         CAQUETA        CASANARE 
##             275             173              78              42              53 
##           CAUCA           CESAR           CHOCO         CORDOBA    CUNDINAMARCA 
##             126             149              55             218             389 
##         GUAINIA        GUAVIARE           HUILA      LA GUAJIRA       MAGDALENA 
##               4              15             126             100             200 
##            META          NARIÑO NORTE SANTANDER        PUTUMAYO         QUINDIO 
##             122             145             147              38              45 
##       RISARALDA      SAN ANDRES       SANTANDER           SUCRE          TOLIMA 
##             125               9             274             107             170 
##           VALLE          VAUPES         VICHADA 
##             401               3               4
# Datos de Bogotá
y <- dat[dat$ESTU_COD_RESIDE_DEPTO == 11, "PUNT_MATEMATICAS"]

# Tamaño de muestra
(n <- length(y))
## [1] 776
# Estadísticos suficientes
(yb <- mean(y))
## [1] 55.08247
(s2 <- var(y))
## [1] 143.8487

Distribución posterior

# hiperparámetros
mu0 <- 50  
k0  <- 1
s20 <- 10^2 
nu0 <- 1
# distribución posterior
(kn  <- k0 + n)
## [1] 777
(nun <- nu0 + n)
## [1] 777
(mun <- (k0/kn)*mu0 + (n/kn)*yb)
## [1] 55.07593
(s2n <- (nu0*s20 +(n-1)*s2 + k0*n*(yb-mu0)^2/kn)/nun)
## [1] 143.6403

# Número de simulaciones
B <- 10000

# Muestras de la distribución posterior
set.seed(1234)
sigma2 <- 1 / rgamma(B, shape = nun / 2, rate = nun * s2n / 2)
theta  <- rnorm(B, mean = mun, sd = sqrt(sigma2 / kn))

Inferencia sobre la media y la desviación estándar.
Estimación CV L. Inf. 95% L. Sup. 95%
Media 55.073 0.008 54.249 55.922
DE 11.994 0.025 11.418 12.597

Distribución predictiva

# Distribución predictiva posterior
set.seed(1234)
y_new <- rnorm(n = B, mean = theta, sd = sqrt(sigma2))

Inferencia sobre una predicción.
Estimación CV L. Inf. 95% L. Sup. 95%
y pred 55.145 0.215 32.122 78.352

Chequeo del modelo

# Estadísticos observados
t_obs <- c(mean(y), sd(y))

# Inicializar matriz para almacenar estadísticas de prueba
t_mc <- matrix(NA, nrow = B, ncol = 2)

# Distribución predictiva posterior
set.seed(1234)
for (i in 1:B) {
  # Datos simulados
  y_rep <- rnorm(n = n, mean = theta[i], sd = sqrt(sigma2[i]))

  # Estadísticos de prueba
  t_mc[i, ] <- c(mean(y_rep), sd(y_rep))
}

# ppp
ppp_media <- round(mean(t_mc[ , 1] < t_obs[1]), 3)
ppp_sd    <- round(mean(t_mc[ , 2] < t_obs[2]), 3)

Inferencia: Bogotá

Inferencia sobre el puntaje promedio de Matemáticas en Bogotá.
Estimación CV L. Inf. 95% L. Sup. 95%
Bayesiana 55.073 0.008 54.249 55.922
Frec. Asintótica 55.082 0.008 54.239 55.926
Frec. Bootstrap Par. 55.079 0.008 54.232 55.922
Frec. Bootstrap No Par. 55.080 0.008 54.227 55.934

Inferencia: Vichada

Inferencia sobre el puntaje promedio de Matemáticas de Vichada.
Estimación CV L. Inf. 95% L. Sup. 95%
Bayesiana 37.916 0.162 25.757 49.948
Frec. Asintótico 35.000 0.138 25.566 44.434
Frec. Bootstrap Par. 34.943 0.137 25.602 44.239
Frec. Bootstrap No Par. 34.966 0.120 27.250 42.500

Ejercicios conceptuales

  • Considere el modelo Normal \(x_i\mid\theta,\sigma^2 \overset{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta,\sigma^2)\), para \(i=1,\dots,n\), donde \(\theta\) es desconocido y \(\sigma^2\) es conocido. Además, suponga que la distribución previa de \(\theta\) está definida como una mezcla finita de distribuciones normales conjugadas de la forma
    \[ p(\theta) = \sum_{\ell=1}^K \omega_\ell\,\phi(\theta\mid\mu_\ell,\tau^2), \]
    donde \(K\) es un entero positivo fijo con \(K \geq 1\), y los coeficientes \(\omega_1,\dots,\omega_K\) forman un sistema de pesos que satisface \(\sum_{\ell=1}^K \omega_\ell = 1\) y \(0\leq w_\ell\leq 1\), para \(\ell=1,\dots,K\). Aquí, \(\phi(\theta\mid\mu,\tau^2)\) representa la densidad de una distribución Normal con media \(\mu\) y varianza \(\tau^2\). Este tipo de distribución previa permite representar estados de información previos multimodales sobre \(\theta\).

    1. Determine la distribución posterior de \(\theta\).
    2. Determine la media posterior de \(\theta\).
    3. Determine la distribución predictiva previa \(p(y)\).
    4. Determine la distribución predictiva posterior \(p(y \mid \boldsymbol{y})\).

  • Considere el modelo Normal Truncado \(x_i\mid\theta,\sigma^2 \overset{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}_{(0,\infty)}(\theta,\sigma^2)\), para \(i=1,\dots,n\), donde \(\sigma^2=1\). Además, suponga que la distribución previa de \(\theta\) está dada por \(\theta\sim\textsf{N}(\mu,\tau^2)\).

    1. Determine la distribución posterior de \(\theta\).
    2. ¿Se puede considerar este modelo como un modelo conjugado?

  • Considere el modelo Normal dado por \(y_i\mid\theta,\sigma^2 \overset{\text{iid}}{\sim} \textsf{N}(\theta,\sigma^2)\), con la distribución previa:
    \[ \theta \sim \textsf{N}(\mu_0, \tau^2_0), \qquad \sigma^2 \sim \textsf{GI}\left(\frac{\nu_0}{2},\frac{\nu_0\sigma^2_0}{2}\right), \]
    donde \(\mu_0\), \(\tau^2_0\), \(\nu_0\) y \(\sigma^2_0\) son los hiperparámetros del modelo. Demuestre que:

    1. La media marginal de \(y_i\) es
      \[ \textsf{E}(y_i) = \mu_0. \]
    2. La varianza marginal de \(y_i\) es
      \[ \textsf{Var}(y_i) = \tau_0^2 + \frac{\nu_0 \sigma_0^2}{\nu_0 - 2}, \quad \text{para } \nu_0 > 2. \]

Ejercicios prácticos

  • Los archivos school1.dat, school2.dat y school3.dat contienen datos sobre el tiempo que los estudiantes de tres colegios dedicaron a estudiar o hacer tareas durante un período de exámenes.

    1. Explore los datos mediante análisis gráfico y numérico.

    2. Analice los datos de cada colegio por separado utilizando un modelo Normal con una distribución previa conjugada, donde los hiperparámetros son \(\mu_0 = 5\), \(\sigma_0^2 = 4\), \(\kappa_0 = 1\), y \(\nu_0 = 2\). Calcule lo siguiente:

      • Medias posteriores e intervalos de credibilidad al 95% para la media \(\theta\), la desviación estándar \(\sigma\) y el coeficiente de variación \(\eta = \frac{\sigma}{\mu}\) en cada colegio.
      • La probabilidad posterior de que \(\theta_i < \theta_j < \theta_k\) para las seis permutaciones \(\{i, j, k\}\) de \(\{1, 2, 3\}\), donde \(\theta_i\) representa la media del colegio \(i\).
      • La probabilidad posterior de que \(\tilde{y}_i < \tilde{y}_j < \tilde{y}_k\) para las seis permutaciones \(\{i, j, k\}\) de \(\{1, 2, 3\}\), donde \(\tilde{y}_i\) es una muestra de la distribución predictiva posterior del colegio \(i\).
      • La probabilidad posterior de que \(\theta_1\) sea mayor que \(\theta_2\) y \(\theta_3\), y la probabilidad posterior de que \(\tilde{y}_1\) sea mayor que \(\tilde{y}_2\) y \(\tilde{y}_3\).

    3. Grafique la distribución posterior conjunta de \((\theta, \sigma^2)\) para cada colegio.

    4. Evalúe la bondad de ajuste del modelo en cada colegio utilizando como estadísticos de prueba la media y la desviación estándar.

  • En un estudio realizado por W. L. Grogan y W. W. Wirth (1981), se identificaron en las selvas de Brasil dos nuevas variedades de mosquitos picadores (midges). Una de ellas, denominada mosquito Apf, es portadora de una enfermedad que puede causar inflamación cerebral y discapacidades permanentes, aunque rara vez es letal. En contraste, la otra variedad, denominada mosquito Af, es inofensiva y actúa como un valioso polinizador. Para diferenciar ambas especies, los investigadores tomaron diversas mediciones taxonómicas de los mosquitos capturados.

    Según los datos reportados en el estudio, se dispone de información sobre la longitud del ala (en milímetros) de \(n=9\) individuos de la especie Af. Se desea realizar inferencia sobre la media poblacional \(\theta\), considerando que estudios previos sugieren que la longitud promedio de las alas en especies similares es cercana a 1.9 mm, con una desviación estándar de 0.1 mm. Dado que las longitudes son estrictamente positivas, se asume \(\theta > 0\). Los datos observados son: \(1.64, 1.70, 1.72, 1.74, 1.82, 1.82, 1.82, 1.90, 2.08\). Realice inferencia sobre la media \(\theta\), la desviación estándar \(\sigma\) y el coeficiente de variación \(\eta = \sigma/\theta\) utilizando los siguientes modelos:

    1. Modelo Normal con distribución previa conjugado.
    2. Modelo Normal con distribución previa impropia.
    3. Modelo Normal frecuentista.
    4. Bootstrap paramétrico.
    5. Bootstrap no paramétrico.
    6. Compare los resultados obtenidos bajo cada enfoque.

Referencias

Hoff, P. D. (2009). A First Course in Bayesian Statistical Methods. Springer New York.

Gelman, A., Carlin, J. B., Stern, H. S., Dunson, D. B., Vehtari, A., & Rubin, D. B. (2013). Bayesian Data Analysis (3rd ed.). Chapman & Hall/CRC.