Problema 1

Alejandra es la persona encargada de las compras para un gran laboratorio de investigaciones biológicas. Uno de los principales insumos utilizados en el laboratorio son reactivos especializados, los cuales se compran a dos fabricantes internacionales de gran renombre. Debido a problemas logísticos durante el transporte, se estima que cada unidad de reactivo tiene una probabilidad de 0.03 de estar contaminada o defectuosa en el caso del primer fabricante, y una probabilidad de 0.05 para el segundo fabricante. Usted recibe un envío de 100 reactivos.

  1. Sea \(X\) el número de unidades defectuosas en el envío del fabricante 1 y \(Y\) del número de unidades defectuosas provenientes del fabricante 2. ¿Cuáles son las distribuciones de las variables \(X\) y \(Y\)?

Las variables \(X\) y \(Y\) siguen un proceso de Bernoulli y por ende la cantidad total de defectuosos en un lote sigue una distribucion binomial.

  1. Genere muestras simuladas de tamaño 1000 a partir de las distribuciones de \(X\) y \(Y\).
set.seed(123) 

n <- 100
tamaño_muestra <- 1000

X_simulada <- rbinom(tamaño_muestra, n, 0.03)  # Fabricante 1
Y_simulada <- rbinom(tamaño_muestra, n, 0.05)  # Fabricante 2
  1. Utilice las muestras para estimar la probabilidad de que el número total de unidades defectuosas sea menor a diez.
La probabilidad es de  0.75
  1. Utilice las muestras para estimar la probabilidad de que el envío del primer fabricante se presentaran más unidades defectuosas que el envío realizado por el segundo fabricante.
La probabilidad es de  0.186
  1. Construya una gráfica de probabilidad normal para el número total de unidades defectuosas. ¿Sigue una distribución normal?

En la grafica, el histograma sigue la distribucion del total de unidades defectuosas y la linea roja una distribucion normal. Con base en la grafica, los datos no siguen una distribucion exactamente normal. Aunque la curva normal se asemeja en algunos puntos, el histograma muestra un poco de asimetria a la derecha.

Problema 2

La edad de una antigua pieza de materia orgánica se puede estimar a partir de la tasa a la que emite partículas beta como resultado del decaimiento del carbono-14. Por ejemplo , si X es el número de partículas emitidas durante diez minutos por un fragmento óseo con 10000 años de antigüedad que contiene 1 g de carbono, entonces X tiene una distribución de Poisson con media \(λ=45.62\) . Un arqueólogo descubrió un pequeño fragmento óseo que contiene 1 g de carbono. Si t es la edad desconocida del hueso, en años, el arqueólogo contara el número X de partículas emitidas en diez minutos y calculará una edad estimada \(\hat{t}\) con la fórmula:

\[ \hat{t} = \frac{\ln 15.3 - \ln(X/10)}{0.0001210} \] El arqueólogo no lo sabe, pero el hueso tiene exactamente 10000 años de antigüedad, por lo que X tiene una distribución de Poisson con \(λ=45.62\).

  1. Genere una muestra simulada de 10000 valores de X y sus correspondientes valores de \(\hat{t}\).
set.seed(123)

n <- 10000

# Generación de muestras simuladas y calculo de t prima
simulacion = rpois(n,45.62)
t_prima = (log(15.3) - log(simulacion / 10)) / 0.0001210
  1. Estime la media de \(\hat{t}\).
La media es  10114.79
  1. Estime la desviación estándar de \(\hat{t}\).
La desviación estandar es  1237.73
  1. Estime la probabilidad de que \(\hat{t}\) esté a 1000 años con una edad real de 10000 años.
La probabilidad es de  0.5886

Problema 3

Tres sistemas están compuestos por los componentes R1,R2, R3 y R4 conectados, como lo muestra las siguientes figuras. El tiempo de vida en meses de los componentes R1 y R3 sigue una distribución lognormal con \(μ=2\) y \(σ=1\) y la distribución en meses de los componentes R2 y R4 una distribución lognormal con \(μ=1\) y σ=0.1. El sistema solo funciona si A y B lo hacen.

  1. Genere por simulación un gran número (al menos 1000) de los tiempos de vida de los sistemas.
# Parámetros en la escala original
mu1 <- 2
sigma1 <- 1

mu2 <- 1
sigma2 <- 0.1

# Conversión a escala logarítmica
meanlog1 <- log(mu1^2 / sqrt(sigma1^2 + mu1^2))
sdlog1 <- sqrt(log(1 + (sigma1^2 / mu1^2)))

meanlog2 <- log(mu2^2 / sqrt(sigma2^2 + mu2^2))
sdlog2 <- sqrt(log(1 + (sigma2^2 / mu2^2)))

n = 1000
r1 = rlnorm(n, meanlog1, sdlog1)
r2 = rlnorm(n, meanlog2, sdlog2)
r3 = rlnorm(n, meanlog1, sdlog1)
r4 = rlnorm(n, meanlog2, sdlog2)

#max paralelo y min serie
#Sistema 1
R12 = data.frame(r1,r2)
V12 = apply(R12, 1, max)

R34 = data.frame(r3,r4)
V34 = apply(R34, 1, max)

S1 = data.frame(V12, V34)
V1 = apply(S1, 1, min)

#Sistema 2
R13 = data.frame(r1,r3)
V13 = apply(R13,1, min)

R24 = data.frame(r2,r4)
V24 = apply(R24,1, min)

S2=data.frame(V13,V24)
V2= apply(S2, 1, max)

#Sistema 3
#R12 = data.frame(r1,r2)
V12.1 = apply(R12,1, min)

R123 = data.frame(V12.1,r3)
V123 = apply(R123,1, max)

S3 = data.frame(V123,r4)
V3 = apply(S3,1, max)
  1. Estime la media del tiempo de vida para cada sistema.
La media del sistema uno es  1.520945 
La media del sistema dos es  1.508485 
La media del sistema tres es  2.047581
  1. Estime la probabilidad de que los sistemas fallen en un tiempo inferior a dos meses.
La probabilidad de que el sistema 1 falle en menos de dos meses es  0.831 
La probabilidad de que el sistema 2 falle en menos de dos meses es  0.831 
La probabilidad de que el sistema 3 falle en menos de dos meses es  0.579
  1. Estime el \(20°\) percentil \((P_{20})\) de los tiempos de vida del primer sistema.
El 20º percentil del tiempo de vida del  sistema 1 es 1.062313 meses
  1. Construya una gráfica de probabilidad normal de los tiempos de vida para cada sistema. ¿Los tiempos de vida de los sistemas tienen una distribución aproximadamente normal?

En la grafica, la linea roja representa un distribucion aproximadamente normal y el histogram representa la distribucion lognormal sistema 1. Como se puede observar las distribuciones son similares ya que ambas son asimetricas a la derecha, pero son diferentes ya que una hace referencia una distribucion lognormal y la otra a una normal.

  1. Construya un histograma de los tiempos de vida de los sistemas. ¿Están sesgados a la izquierda, sesgados a la derecha, o son aproximadamente simétricos?

Como se puede apreciar en los tres graficos los histogramas de los tres sistemas estan sesgados a la derecha.

Problema 8

Una turbina de gas tiene cuatro componentes críticos que fallan de manera independiente. Los tiempos de vida (en horas) de cada componente siguen distribuciones exponenciales: Componente 1: \(λ=1/5000\) Componente 2: \(λ=1/4000\) Componente 3: \(λ=1/6000\) Componente 4: \(λ=1/5500\) La turbina deja de funcionar cuando el primer componente falla.

  1. Genere 5000 simulaciones del tiempo de vida de la turbina.
n= 5000
C1= rexp(n, rate = 1/5000)
C2= rexp(n, rate = 1/4000)
C3= rexp(n, rate = 1/6000)
C4= rexp(n, rate = 1/5500)

v_tur = pmin(C1, C2, C3, C4)
  1. Estime la vida media de la turbina.
La vida media de la turbina es de  1254.698  horas.
  1. Estime la probabilidad de que la turbina falle antes de 4000 horas.
La probabilidad es de  0.959
  1. Construya el histograma del tiempo de vida de la turbina y comente sobre su forma.

En general, el histograma muestra que la turbina tiene mas probabilidad de fallar en tiempos mas cortos y en muy pocos casos en mas de 4000 horas. Con respecto a la forma del grafico se puede appreciar que presenta una tendencia exponencial en sus datos y presenta tambien una asimetria a la derecha.

  1. ¿Qué estrategias de mantenimiento preventivo se pueden considerar?

Teniendo en cuenta estas simulaciones se puede tomar un dato representativo de la muestra, como la vida media en este caso, y realizar revisiones y mantenimiento antes de que se cumplan dichas horas.