Problema 3

Tres sistemas están compuestos por los componentes R1,R2, R3 y R4 conectados, como lo muestra las siguientes figuras. El tiempo de vida en meses de los componentes R1 y R3 sigue una distribución lognormal con μ=2 y σ=1 y la distribución en meses de los componentes R2 y R4 una distribución lognormal con μ=1 y σ=0.1. El sistema solo funciona si A y B lo hacen.

  1. Genere por simulación un gran número (al menos 1000) de los tiempos de vida de los sistemas
# Definir los parámetros
 
mu1 <- 2   # Para R1 y R3
sigma1 <- 1
mu2 <- 1   # Para R2 y R4
sigma2 <- 0.1

#Tamaño de la muestra 
n<-tamaño_muestra <- 1000

# Generar tiempos de vida de los componentes
set.seed(432)  # Para simuluar

R1 <- rlnorm(n, meanlog = mu1, sdlog = sigma1)
R3 <- rlnorm(n, meanlog = mu1, sdlog = sigma1)
R2 <- rlnorm(n, meanlog = mu2, sdlog = sigma2)
R4 <- rlnorm(n, meanlog = mu2, sdlog = sigma2)


# Calcular la vida útil del sistema para cada configuración

#el tiempo de vida es min porque si un componente falla todo el camino deja de funcionar 

circuito1<- pmax(pmin(R1, R2), pmin(R3, R4)) #y se toma el maximo porque los sistemas estan en serie y el sistema funciona si al menos uno de los sistemas funciona 
#---------------------------------------------------------------------------------

  #como la vida util del sistema es el max de sus componentes porque el circuito sirve siempre y cuando la linea de arriba o la de abajo funcione
 circuito2<- pmin(pmax(R1, R3), pmax(R2, R4)) 
 #se toma el minimo ya que el sistema falla si uno de los 2 falla  

 # Debe ser 1000 si todo está bien
#---------------------------------------------------------------------------------
#por estar en serie el timepo de vida es el max de sus componenetes para  R1 y R2 que significa que los 2 funcione 

  #y con R 3 esta funcionando si R3 funciona por lo tanto debe ser max
  
  # ya con R4 al ser en serie funciona con min, porque es el que si o si debe funcionar 
    
circuito3<- pmin(pmax(pmax(R1, R2), R3), R4)

B). Estime la media del tiempo de vida para cada sistema.

## Media del tiempo de vida - Sistema 1: 2.81133
## Media del tiempo de vida - Sistema 2: 2.856025
## Media del tiempo de vida - Sistema 3: 2.725289

C) Estime la probabilidad de falla en un tiempo menor a 2 meses

## Probabilidad de falla antes de 2 meses- Sistema 1: 0.007
## Probabilidad de falla antes de 2 meses- Sistema 2: 0.007
## Probabilidad de falla antes de 2 meses- Sistema 3: 0.001

D)Estime el P(20) percentil (P20) de los tiempos de vida del primer sistema 

## Percentil 20 del tiempo de vida - Sistema 1: 2.611223

E) Construya una gráfica de probabilidad normal de los tiempo de vida para cada sistema. ¿Los tiempos de vida de los sistemas tienen una distribución aproximadamente normal?

Respuesta

Se podria decir que si ya que en su distribucion la mayoria de los puntos estan sobre el eje rojo, lo que significa que tienen una buena distribucion normal, aunque en los circuitos 1 y 2 presentan una decadencia inicial

F) Construya un histograma de los tiempos de vida de los sistemas. ¿Están sesgados a la izquierda, sesgados a la derecha, o son aproximadamente simétricos?

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.326   2.701   2.853   2.856   3.011   3.634

Respuesta

Si los histogramas de tiempo de vida presentan una simetria central en cada uno de los circutios

Problema 6

Un servidor web recibe en promedio 30 solicitudes por minuto. Se ha determinado que el número de solicitudes sigue una distribución de Poisson. Un equipo de desarrolladores desea simular el comportamiento del servidor durante las horas pico.

A). Simule 10000 minutos de solicitudes utilizando la distribución de Poisson con λ=30
set.seed(123)  # Fijamos la semilla para reproducibilidad del segundo problema 

# Número de minutos a simular
l<-minutos <- 10000  

# Tasa de llegadas por minuto (Poisson)
lambda <- 30  

# Simulación de solicitudes por minuto
solicitudes <- rpois(l, lambda)
B). Estime la probabilidad de que en un minuto lleguen más de 40 solicitudes.
## Probabilidad de más de 40 solicitudes en un minuto: 0.0298
C).Si el servidor puede manejar hasta 35 solicitudes por minuto sin colapsar, estime la proporción de minutos en los que se sobrecarga el servidor.
## Proporción de minutos con sobrecarga del servidor: 0.1503
D) ¿Qué mejoras podría implementar el equipo de sistemas para disminuir el riesgo de sobrecarga?

Respuesta:

Para reducir el riesgo de sobrecarga, el equipo de sistemas podria mejorar los servidores o usar varios equipos en lugar de uno solo, distribuir la carga para que ningún servidor se sature, podria reducir el riesgo de sobrecarga, tambien se podria monitorear constantemente el sistema con alertas y pruebas para anticipar problemas. En resumen, se trata de mejorar los recursos, repartir el trabajo, evitar sobrecargas y estar siempre atentos a los posibles fallos.

E)Construya un histograma con la distribución de solicitudes por minuto. ¿Qué tan dispersa es la demanda?

## Desviación estándar de la demanda: 5.436375

Respuesta:

Del histrograma se puede observar que el numero de solicitudes tiene una frecuencia de 30 solicitudes por minuto, sin embargo la desviacion estandar es de 5.43 indica que el número de solicitudes por minuto suele variar entre 24 y 36 Esto implica que haya una cierta fluctuación en la demanda, pero no es excesiva. Aunque en ciertas ocasiones puede haber más de 40 solicitudes, lo que podría causar una sobrecarga en el servidor.

Problema 8

Una turbina de gas tiene cuatro componentes críticos que fallan de manera independiente. Los tiempos de vida (en horas) de cada componente siguen distribuciones exponenciales:

Componente 1: λ=1/5000

Componente 2: λ=1/4000

Componente 3: λ=1/6000

Componente 4: λ=1/5500

La turbina deja de funcionar cuando el primer componente falla.

#Este problema sigue una distribución exponencial ya que describe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un evento, en este caso, la falla de un componente.

A). Genere 5000 simulaciones del tiempo de vida de la turbina.

# Definir los parámetros de las distribuciones exponenciales que indican las (tasas de falla)
lambda <- c(1/5000, 1/4000, 1/6000, 1/5500)

# Número de simulaciones
n_sim <- 5000  

# Generar tiempos de falla para cada componente
set.seed(231)  # Fijar semilla para reproducibilidad
t1 <- rexp(n_sim, lambda[1])  
t2 <- rexp(n_sim, lambda[2])  
t3 <- rexp(n_sim, lambda[3])  
t4 <- rexp(n_sim, lambda[4])  

# Calcular tiempo de vida de la turbina (mínimo de los tiempos de falla)
tiempo_vida_turbina <- pmin(t1, t2, t3, t4)

B).Estime la vida media de la turbina.

## La vida media estimada de la turbina (simulada) es: 1267.635 horas

C). Estime la probabilidad de que la turbina falle antes de 4000 horas.

## Probabilidad estimada de que la turbina falle antes de 4000 horas: 0.9584

D).Construya el histograma del tiempo de vida de la turbina y comente sobre su forma.

## El histograma muestra una distribución sesgada a la derecha, , 
## lo que indica que la mayoría de las turbinas fallan en tiempos relativamente cortos, pero algunas pueden durar más tiempo.

E).¿Qué estrategias de mantenimiento preventivo se pueden considerar?

Lo que se podria implementar es realizar unMonitoreo continuo del estado de los componentes, haciendo uso de sensores que detecten factores como la temperatura, vibraciones y presión a la y en base a eso Programar mantenimientos cuando se detecten signos de desgaste antes de una falla, esto con el fin de prever fallas que puedan parar a la maquinaria o generar daños catrastrofico

Problema 9

El caudal máximo diario de un río se modela como una distribución Gumbel con parámetros μ=500 m³/s y β=100³/s. Un puente ha sido diseñado para resistir caudales de hasta 750 m³/s. Se desea estimar la probabilidad de que el puente sea superado en los próximos 10 años.

# Instalar y cargar la librería evd si no está instalada
# Instalar y cargar la librería evd si no está instalada
if (!requireNamespace("evd", quietly = TRUE)) {
  install.packages("evd")
}
library(evd)
## Warning: package 'evd' was built under R version 4.4.3
# Definir los parámetros de la distribución Gumbel
mu <- 500   # Parámetro de ubicación
beta <- 100 # Parámetro de escala

# Número de simulaciones (10 años * 365 días)
n_sim <- 3650

# Generar los caudales diarios usando la distribución Gumbel
set.seed(543)  # Fijar semilla para reproducibilidad
caudales <- rgev(n_sim, loc = mu, scale = beta, shape = 0)  # Gumbel se obtiene con shape = 0

# Mostrar las primeras observaciones
head(caudales)
## [1] 592.2382 399.4983 609.6871 693.3203 446.2694 512.7659
# Graficar el histograma para visualizar la distribución simulada
hist(caudales, breaks = 50, col = "blue", main = "Histograma de caudales Gumbel", xlab = "Caudal (m³/s)")

B). Estime la probabilidad de que en al menos un día en los próximos 10 años el caudal supere los

750 m³/s.

## Probabilidad de que al menos un día en 10 años el caudal supere los 750 m³/s: 1
## esto indica que si o si el caudal pasara los 750 m**3/s al menos un dia

C).Si se desea reducir el riesgo de superación al 1%, ¿qué caudal máximo debería resistir el nuevo diseño del puente?

# Definir los parámetros de la distribución Gumbel
mu <- 500   # Parámetro de ubicación
beta <- 100 # Parámetro de escala

# Calcular el caudal correspondiente al percentil 99% usando la fórmula de Gumbel
p <- 0.99
caudal_99 <- mu - beta * log(-log(p))

# Mostrar resultado
cat("El nuevo puente debería resistir un caudal de al menos", round(caudal_99, 2), "m³/s\n")
## El nuevo puente debería resistir un caudal de al menos 960.01 m³/s

D).Construya el histograma de los caudales simulados y analice la distribución.

Analisis de la distribucion:

El histograma muestra que los caudales siguen una distribución asimétrica con cola a la derecha, centrada en 500 m³/s. No obstante los valores mayores a 750 m³/s son poco frecuentes, siguen ocurriendo, esto puedo indicar que puede haber un riesgo para el puente a lo largo de 10 años.

E).¿Qué medidas adicionales de mitigación podría implementar el ingeniero civil a cargo?

El ingeniero podria implementar materiales más resistentes los cuales puedan soportar posibles impactos del agua y escombros arrastrados por el cuadal. Tambien podria Derivar parte del flujo del cuadal de manera no invasiva para asi preveer las de crecidas extremas del rio .