Optimización Dinámica

Ejercicio 1

\[ \text{opt} [Jx(t)]= \int_0^\pi \left( \dot{x}^2 - 2x^2 + 2xy - \dot{y}^2 \right) \, dt \tag{1}\]

si:

\[ x(0)=0 \qquad ; \qquad x(\pi) = 1 \]

\[ y(0)=0 \qquad ; \qquad y(\pi)=1 \]

1. Condición de euler

\[ F=\dot{x}^2 - 2x^2 + 2xy - \dot{y}^2 \]

\[ F_{x} - \frac{d}{dt} F_{\dot{x}}=0 \]

Para x:

\[ F_x= -4x+2y \]

\[ F_{\dot{x}} = 2\dot{x} \]

\[ \frac{d}{dt}F_{\dot{x}}=2\ddot{x} \]

\[ -4x+2y=2\ddot{x} \]

\[ 2\ddot{x}+4x=2y \]

dividiendo entre 2

\[ \ddot{x}+2x-y=0 \tag{2}\]

para y:

\[ F_{y} - \frac{d}{dt} F_{\dot{y}}=0 \]

\[ F_y= 2x \]

\[ F_{\dot{y}}= -2\dot{y} \]

\[ \frac{d}{dt} F_{\dot{y}}= -2\ddot{y} \]

\[ 2x+2\ddot{y}=0 \]

\[ x+\ddot{y}=0 \tag{3}\]

\[ \begin{cases}\ddot{x} + 2x - y = 0 \\\ddot{y} + x = 0\end{cases} \tag{4}\]

Metodo 1 Mediante Mapple

with(VariationalCalculus):

# Definimos el funcional
L := diff(x(t), t)^2 - 2*x(t)^2 + 2*x(t)*y(t) - diff(y(t), t)^2:

# Calculamos la ecuación de Euler-Lagrange para x(t)
EulerLagrange(L, t, x(t));
# Calculamos para y(t)
EulerLagrange(L, t, y(t));

restart:

# Definimos el sistema como conjunto
sys := {
    diff(x(t), t$2) + 2*x(t) - y(t) = 0,
    diff(y(t), t$2) + x(t) = 0
}:

# Resolvemos simbólicamente sin condiciones de contorno
sol := dsolve(sys, {x(t), y(t)});

Método de eliminación

1. Sistema original: \[\begin{cases} \ddot{x}(t) + 2x(t) - y(t) = 0 \\\\ \dot{y}(t) + x(t) = 0 \end{cases}\]

2. Despejar \(x(t)\) de la segunda ecuación: \(x(t) = -\dot{y}(t)\)

3. Sustituir \(x(t)\) en la primera ecuación: Simplificando:

4. Resolver la ecuación característica: \(r^4 + 2r^2 + 1 = 0 \to (r^2 + 1)^2 = 0 \to r = \pm i\)

Solución general para \(y(t)\):

\(y(t) = (C_1 + C_2t)\cos t + (C_3 + C_4t)\sin t\)

5. Calcular \(x(t) = -\dot{y}(t)\):
   • Primera derivada de \(y(t)\): \(\dot{y} = (C_2 \cos t - (C_1 + C_2t) \sin t) + (C_4 \sin t + (C_3 + C_4t) \cos t)\)
   • Segunda derivada de \(y(t)\): \(\ddot{y} = (-C_1 - C_2t + 2C_4) \cos t - (2C_2 + C_3 + C_4t) \sin t\)
   • Por tanto: \(x(t) = (C_1 + C_2t - 2C_4) \cos t + (2C_2 + C_3 + C_4t) \sin t\)
6. Verificación de las soluciones:
   • Se comprueba que \(x(t)\) y \(y(t)\) satisfacen ambas ecuaciones originales.

Solución final:

\(x(t) = (C_1 + C_2t - 2C_4)\cos t + (2C_2 + C_3 + C_4t)\sin t,\)

\(y(t) = (C_1 + C_2t)\cos t + (C_3 + C_4t)\sin t\)

donde \(C_1, C_2, C_3, C_4\) son constantes determinadas por las condiciones iniciales.

Resultado de maple

Nota que comparando los resultados solo cambian las constantes ya que son arbitrarias.

2. Condiciones iniciales y finales

\[ x(0)=0 \qquad ; \qquad x(\pi) = 1 \]

\[ y(0)=0 \qquad ; \qquad y(\pi)=1 \]

Nos dan las funciones:

\[ x(t) = (C_1 + C_2 t - 2C_4)\cos t + (2C_2 + C_3 + C_4 t)\sin t \] \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)\cos t + (C_3 + C_4 t)\sin t \]

Y las condiciones iniciales y finales:

\[ x(0) = 0, \quad x(\pi) = 1 \] \[ y(0) = 0, \quad y(\pi) = 1 \]

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Paso 1: Evaluamos en \(t = 0\)

Para \(x(0)\):

\[ x(0) = (C_1 - 2C_4)\cdot 1 + (2C_2 + C_3)\cdot 0 = C_1 - 2C_4 = 0 \Rightarrow \boxed{C_1 = 2C_4} \]

Para \(y(0)\):

\[ y(0) = C_1 \cdot 1 + C_3 \cdot 0 = C_1 = 0 \Rightarrow \boxed{C_1 = 0} \]

Pero de antes teníamos \(( C_1 = 2C_4 )\), entonces:

\[ \boxed{C_1 = 0 \quad \text{y por tanto} \quad C_4 = 0} \]

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Paso 2: Evaluamos en

Sabemos ahora que $ C_1 = 0 $, $ C_4 = 0 $

Para \(x(\pi)\) :

\[ x(\pi) = (C_2 \pi)\cos \pi + (2C_2 + C_3)\sin \pi = C_2 \pi (-1) + 0 = -C_2 \pi = 1 \Rightarrow \boxed{C_2 = -\frac{1}{\pi}} \]

Para \(y(\pi)\) :

\[ y(\pi) = (C_2 \pi)\cos \pi + C_3 \sin \pi = -C_2 \pi + 0 = 1 \Rightarrow \boxed{C_2 = -\frac{1}{\pi}} \quad \text{(coherente)} \]

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Resultado final:

\[ \boxed{ C_1 = 0, \quad C_2 = -\frac{1}{\pi}, \quad C_3 = \text{libre}, \quad C_4 = 0 } \]

El sistema está determinado si se impone un valor para $C_3$, pero con las condiciones dadas no se fija, así que queda como parámetro libre.

Mediante Maple

# Sistema de ecuaciones diferenciales
sys := {diff(y(t), t $ 2) + x(t) = 0, 
         diff(x(t), t $ 2) + 2*x(t) - y(t) = 0};

# Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
sol := dsolve(sys, {x(t), y(t)});

# Condiciones de contorno
bc1 := x(0) = 0;
bc2 := x(Pi) = 1;
bc3 := y(0) = 0;
bc4 := y(Pi) = 1;

# Aplicar las condiciones de contorno
sol_with_bc := dsolve(sys union {bc1, bc2, bc3, bc4}, {x(t), y(t)});

el resultado muestra con \(C_1\) pero de forma manual nos salio \(C_3\) esto es porque las constantes son arbitrarias

Como \(C_1\) o \(C_3\) son libres hay una familia infinita de soluciones por lo tanto el problema no tiene solución eso aun hay que revisarlo.