Introducción

La distribución normal es una de las más utilizadas en estadística y probabilidad. Se emplea en múltiples disciplinas como la ingeniería, economía y salud.

Origen de la Distribución Normal

La distribución normal surge del Teorema del Límite Central, que establece que la suma de muchas variables aleatorias independientes tiende a ser normal.

Características Principales

Función de Densidad: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Esperanza y Varianza: \[ E[X] = \mu, \quad V[X] = \sigma^2 \]

Gráfica de la Distribución Normal en R:

x <- seq(-4, 4, length=100)
y <- dnorm(x, mean=0, sd=1)
plot(x, y, type="l", col="blue", lwd=2, main="Distribución Normal Estándar")

Ejemplo en R

Enunciado: Supongamos que la altura de los estudiantes sigue una distribución normal con media 170 cm y desviación estándar de 10 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante mida menos de 160 cm?

Solución en R:

pnorm(160, mean=170, sd=10)

## [1] 0.1586553

Aplicaciones

• Ingeniería: Control de calidad en procesos de manufactura.
• Ciencias: Modelado de fenómenos naturales.
• Economía: Análisis de precios de activos financieros.
• Salud: Evaluación de variables biomédicas como presión arterial.

Relaciones con otras distribuciones

La distribución normal está relacionada con: - La distribución t de Student, usada en muestras pequeñas. - La distribución chi-cuadrado, aplicada en pruebas de bondad de ajuste. - La distribución normal estándar, que es un caso especial con \(\mu = 0\) y \(\sigma = 1\).

Referencias

• Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2010). Applied Statistics and Probability for Engineers.
• Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists.