Distribución Gamma
Origen
La función Gamma fue introducida por Leonhard Euler en 1729 como una extensión del concepto de factorial a los números reales y complejos. Surgió al resolver un problema de interpolación de los factoriales, buscando una fórmula que pudiera aplicarse a valores no enteros.Más adelante, esta función se utilizó en probabilidad y estadística para definir la distribución Gamma, la cual modela el tiempo que tarda en suceder un número determinado de eventos aleatorios. Fue desarrollada para describir fenómenos aleatorios relacionados con tiempos de espera y procesos estocásticos.
Caracteristicas principales
Función gamma La función gamma \(\Gamma(\alpha)\) se define,
Sea \(\Gamma : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\), donde
\[
\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} \, dx, \quad \text{para } \alpha > 0
\] Cuando \(\alpha = n\), donde \(n\) es un entero positivo,
\[ \Gamma(n) = (n - 1)! \] Función de densidad Ahora, la funcion de densidad de una distribucion Gamma se define como,
\[ \small f(x, \alpha, \beta) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\beta^{\alpha} \, \Gamma(\alpha)} \, x^{\alpha - 1} e^{-x / \beta}, & \text{para } x > 0; \ \alpha, \beta > 0; \\ 0, & \text{de otra manera}. \end{cases} \]
Donde \(x\) es el tiempo total transcurrido hasta que ocurren \(\alpha\) eventos, \(\alpha\) es el número de eventos que se esperan antes de detenerse o medir el tiempo total, \(\beta\) es el tiempo promedio entre eventos.
Esperanza y Varianza Los valores de la esperanza \(E(X)\) y varianza \(Var(X)\), se determinan mediante:
\[ E(X) = \alpha \beta \] \[ Var(X) = \alpha \beta^2 \]
Función de distribución acumulada (FDA):
Una variable aleatoria \(X\) que sigue una distribución gamma tiene como función de distribución acumulada:
\[ F(x; \alpha, \beta) = \int_{0}^{x} \dfrac{1}{\beta^{\alpha} \Gamma(\alpha)} t^{\alpha - 1} e^{-t / \beta} dt \]
Para \(x > 0\), \(\alpha > 0\), \(\beta > 0\).
Representacion grafica
Ejemplo
En cierta ciudad, el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria que sigue una Distribución Gamma, con los siguientes parámetros:
- \(\alpha = 3\) (parámetro de forma)
- \(\beta = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0.5} = 2\) (parámetro de escala)
La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora.
Preguntas
¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimiento sea:
- Insuficiente en un día cualquiera? \[ P(X > 10) = 1 - P(X \le 10) \]
Reemplazando los valores dados en la función de densidad Gamma:
\[ P(X > 10) = 1 - \dfrac{1}{\Gamma(3)} \int_{0}^{10} \dfrac{1}{2^{3}} x^{3 - 1} e^{-x/2} dx \]
\[ P(X > 10) = 1 - \dfrac{1}{2} \int_{0}^{10} \dfrac{1}{8} x^{2} e^{-x/2} dx \]
\[ P(X > 10) \approx 0.124652 \]
- Se consuman entre 3 y 8 millones de KW/hora?
\[ P(3 < X < 8) = P(X < 8) - P(X \le 3) \]
\[ P(3 < X < 8) = \dfrac{1}{\Gamma(3)} \int_{3}^{8} \dfrac{1}{2^{3}} x^{3 - 1} e^{-x/2} dx \]
\[ P(3 < X < 8) = \dfrac{1}{2} \int_{3}^{8} \dfrac{1}{8} x^{2} e^{-x/2} dx \]
\[ P(3 < X < 8) \approx 0.571 \]
- Encuentre \(E(X)\) y \(V(X)\)
Para la distribución Gamma, sabemos que:
\[ E(X) = \alpha \cdot \beta \hspace{1cm} E(X) = 3 \cdot 2 = 6 \]
\[ V(X) = \alpha \cdot \beta^2 \hspace{1cm} V(X) = 3 \cdot 2^2 = 12 \]
Aplicaciones
La Distribución Gamma es muy útil porque se adapta a diferentes situaciones gracias a sus parámetros de forma y escala. Se usa mucho en áreas como la ingeniería, finanzas, biología y seguros.
En ingeniería, es común para calcular el tiempo hasta que un sistema o máquina falla, por ejemplo, el tiempo que dura un rodamiento antes de dañarse. También se usa para analizar la carga que soportan las estructuras y, en telecomunicaciones, para estudiar la intensidad de las señales y las interferencias.
En finanzas y economía, se aplica en modelos de colas, para calcular los tiempos de espera y para gestionar eventos importantes en seguros. En biología y medicina, sirve para modelar cosas como el crecimiento de células o el avance de una enfermedad.
La Distribución Gamma es muy práctica porque permite estudiar y predecir cuánto tiempo puede tardar en pasar algo cuando influyen varios factores.
Relaciones entre distribuciones univariadas
La Distribución Gamma está estrechamente relacionada con varias distribuciones univariadas. Según el documento de Leemis y McQueston (2008), estas relaciones se detallan de la siguiente manera:
Distribución Exponencial Es un caso particular de la Distribución Gamma cuando el parámetro de forma es \(\alpha = 1\).
Distribución Chi-cuadrado Es un caso especial de la Distribución Gamma donde el parámetro de forma es \(\alpha = \dfrac{k}{2}\) y el parámetro de escala es \(\beta = 2\), donde \(k\) es el número de grados de libertad.
Distribución Erlang Es una Distribución Gamma cuyo parámetro de forma \(\alpha\) es un número entero positivo.
Distribución Inversa Gamma Si una variable aleatoria sigue una Distribución Gamma, entonces su inversa puede seguir una Distribución Inversa Gamma, bajo ciertas parametrizaciones.
Distribución Beta Puede derivarse a partir de la Distribución Gamma. Si \(X\) e \(Y\) son variables independientes que siguen una Distribución Gamma con el mismo parámetro de escala \(\beta\), entonces \(\frac{X}{X + Y}\) sigue una Distribución Beta.
Referencias
StudySmarter. (s.f.). Distribución Gamma. Recuperado el 23 de marzo de 2025, de https://www.studysmarter.es/resumenes/ingenieria /matematicas-de-la-ingenieria/distribucion-gamma/
Slideshare. (2012). Ejercicios resueltos. Recuperado de https://es.slideshare.net/slideshow/ejercicios-resueltos-12074920/12074920
Merino Cabrera, F. J. (2016). Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas (Trabajo de Fin de Grado). Universidad de La Laguna.
Leemis, L. M., & McQueston, J. T. (2008). Univariate distribution relationships. The American Statistician, 62(1), 45-53. https://doi.org/10.1198/000313008X270448
López-Herrera, F. (2014). Distribuciones Poisson y Gamma: Una Discreta y Continua Relación. Prospectiva, 12(1), 187-195. https://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1692 -82612014000100012