Origen

La distribución de Weibull fue introducida por el ingeniero y matemático sueco Waloddi Weibull en 1951. Inicialmente, la propuso como un modelo de distribución de datos en el contexto de la resistencia de materiales, pero con el tiempo, se ha extendido a diversas disciplinas, como la meteorología, y más comúnmente, el estudio del tiempo de falla de objetos.

Caracteristicas principales

Esta función opera con datos continuos Función de densidad de probabilidad de Weibull La función de Weibull está dada por,

\[ f(x, \alpha, \beta) = \begin{cases} \displaystyle \left( \frac{\alpha}{\beta} \right) \left( \frac{x}{\beta} \right)^{\alpha-1} \exp \left( - \left( \frac{x}{\beta} \right)^{\alpha} \right), & \text{para } x > 0; \\ 0,& \text{de otra manera}. \end{cases} \] Donde:
- \(\alpha\) (parámetro de forma): Controla la forma de la distribución.
- Si \(\alpha < 1\), la distribución es decreciente.
- Si \(\alpha = 1\), se reduce a una distribución exponencial.
- Si \(\alpha > 1\), tiene una forma de campana.

• \(\beta\) (parámetro de escala): Ajusta la escala de la distribución.
  • Valores más grandes de \(\beta\) estiran la distribución.
    
  • Valores más pequeños la hacen más estrecha.

Esperanza y Varianza

Los valores de la esperanza \(E(X)\) y varianza \(Var(X)\), se determinan mediante:

\[ E[X] = \beta \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \]

\[ V[X] = \beta^2 \left( \Gamma \left( 1 + \frac{2}{\alpha} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \right)^2 \right) \] Donde - (Gamma)\(\alpha\): es la función de distribución Gamma: \[ \Gamma(n) = \int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt, \quad \text{para } n > 0 \]

Para valores enteros, se cumple que:

\[ \Gamma(n) = (n-1)!, \quad \text{para } n \in \mathbb{N} \] En el contexto de Weibull, n representa el tamaño de la muestra en inferencia estadística, o un valor discreto en la aproximación de integrales en modelos de confiabilidad.

Función de distribución acumulada (FDA):

De una variable aleatoria \(X\) que sigue una distribución Weibull puede obtenerse su distribución acumulada por:

\[ F(x) = 1 - \exp \left( - \left( \frac{x}{\beta} \right)^{\alpha} \right) \]

Para \(x > 0\), \(\alpha > 0\), \(\beta > 0\).

Representacion grafica

Ejemplo de aplicación en Análisis de Fallas

Un fabricante de componentes mecánicos analiza el tiempo hasta la falla de un lote de piezas. Se ha determinado que la vida útil \(X\) (en horas) de estos componentes sigue una distribución Weibull con parámetros \(\alpha = 2\) y \(\beta = 1000\).

Aplicaciones

La distribución Weibull es ampliamente utilizada en ingeniería y probabilidad y estadística debido a su flexibilidad para modelar diferentes comportamientos de fallas y tiempos de vida de sistemas. En Ingeniería: Análisis de confiabilidad y vida útil: Se emplea en estudios de durabilidad de materiales, vida útil de componentes electrónicos y mecánicos.

Mantenimiento preventivo: Permite predecir fallas en maquinaria y optimizar planes de mantenimiento.

Aeroespacial y automotriz: Modela el desgaste de piezas y sistemas críticos, como turbinas y frenos.

Energía eólica: Evalúa la distribución de velocidades del viento para diseñar turbinas más eficientes.

Aplicaciones en Estadística y Probabilidad Modelado de tiempos de espera: En colas y tiempos de servicio en telecomunicaciones y redes.

Procesos de supervivencia: En medicina para predecir la duración de tratamientos o la esperanza de vida de pacientes.

Evaluación de riesgos: En seguros y finanzas para modelar eventos extremos y tiempos hasta la ocurrencia de siniestros.

Bondades de la Distribución Weibull ✅ Flexibilidad: Dependiendo de sus parámetros, puede representar distribuciones exponenciales, normales y de Rayleigh. ✅ Ajuste a datos empíricos: Se adapta bien a datos de fallas y tiempos de vida. ✅ Interpretación intuitiva: Sus parámetros permiten identificar la tendencia de fallas y la variabilidad en los datos.

Gracias a estas propiedades, la distribución Weibull es una herramienta esencial en la toma de decisiones en diversas disciplinas.

Relaciones entre distribuciones univariadas

1. Distribución Exponencial Es un caso particular de la Distribución Weibull cuando el parámetro de forma es \(\alpha = 1\).

2. Distribución Rayleigh: El parámetro de forma es \(\alpha = 2\) Esta distribución se usa en interpretación de señales, dispersión del viento y modelos de ruido.

3. Distribución Valor Extremo Tipo III: Es una Distribución que modela mínimos en lugar de máximos También es útil para hallar la vida útil máxima, pero relacionando un conjunto de varios componentes. En metereología se utiliza para hallar valores mínimos de temperaturas o precipitación extrema

4. Gummbel: cuando el parametro de forma es muy grande, el comportamiento se asemeja a una distribución de Gummbel, sin embargo, en la función de Gummbel se quieren extremos máximos en vez de mínimos.

Referencias

1. Castillo, E. (1988). Extreme value theory in engineering. Academic Press.

2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1995). Continuous univariate distributions, volume 1. Wiley.

3. Leemis, L. M., & McQueston, J. T. (2008). Univariate distribution relationships. The American Statistician, 62(1), 45-53. https://doi.org/10.1198/000313008X270448

4. Murthy, D. N. P., Xie, M., & Jiang, R. (2004). Weibull models. John Wiley & Sons.

5. Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, random variables, and stochastic processes (4th ed.). McGraw-Hill.