your text here > Dimecres 26 de març

Introducció: Problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall és un trencaclosques de probabilitat basat en el programa de televisió americà Let’s Make a Deal. El nom ve del presentador del programa, Monty Hall. El problema també s’anomena la paradoxa de Monty Hall:

“Suposa que ara estàs a un programa, i et deixen triar tres portes: Darrere una, hi ha un cotxe; darrere de les altres, cabres. Tries una porta, per exemple, la número 1, i el presentador, que sap què hi ha darrere les portes, obre una altra porta, per exemple, la 3, que té una cabra. Després et diu:”Vols canviar a la 2?” Hi surts guanyant canviant el que havies triat?“


El següent recurs online, https://montyhall.io/, es pot simular l’execució del problema de Monty Hall. Decideix quina estrategia vols seguir, quedar-te amb la porta o canviar-la, i juga-hi unes quantes vegades. Compara els resultats amb la resta de la classe.

És millor quedar-se amb la porta triada o canviar?

Experiments aleatoris

Un experiment aleatori és aquell del qual no se’n pot predir el resultat, és a dir, que depèn de la sort o l’atzar.

L’espai mostral d’un experiment aleatori està format per tots els possibles resultats qu es poden produir en fer-lo i es denota per \(E\).

Exemple

Decideix si aquests experiments són aleatoris. En cas afirmatiu, descriu l’espai mostral.

  1. Determinar el punt d’ebullició de l’aigua.
  2. Llançar un dau a l’aire i anotar-ne el resultat.

Mètodes de comptatge. Diagrama d’arbre

Els mètodes de comptatge son estratègies que es poden utilitzar per determinar l’espai mostral d’un experiment aleatori.

El diagrama d’arbre és un mètode gràfic de comptatge que consisteix a amarcar, com si fossin branques d’un arbre, els possibles resultats d’un experiment aleatori. L’espai mostral s’obté a les branques finals.

Exemple

Triant a l’atzar una samarreta (vermella o blava) i uns pantalons (texans, de lli o xandall) del l’armari, quins son els possibles conjunts?


Activitats

  1. Un codi consta d’una lletra vocal i un nombre de l’1 al 3, inclosos. Quants codis diferents es poden compondre? Escriul-los.

  2. Per sortir a córrer, en Víctor tria a l’atzar entre les esportives taronga o blaves i els mitjons de ratlles, blancs o negres. Descriu l’espai mostral.

Deures

  1. Digues si els experiments són aleatoris o deterministes.
  1. Tirar un dau i anotar la puntuació de la cara oculta.
  2. Seleccionar a l’atzar una carta de la baralla i anotar-la.
  3. Mesurar amb un regle i anotar la longitud d’un objecte.
  4. Comptar i anotar el nombre de paraules d’un text.
  5. Triar un bolígraf de l’estoig a l’atzar i anotar el color amb el qual escriu.
  6. Dividir dos nombres coneguts i anotar el resultat.
  1. Descriu l’espai mostral per als experiments aleatoris de l’activitat anterior.


Variacions, permutacionns i combinacions

  • Les variacions de \(n\) elements agafats de \(m\) en \(m\), \(V_{n,m}\), s’utilitzen per comptar els diferents grups de \(m\) elements (\(m<n\)). Els elements no es poden repetir i influeix l’ordre en què es col·loquen. \[V_{n, m} = \frac{n!}{(n-m)!}\]
  • Les variacions amb repetició de \(n\) elements agafats de \(m\) en \(m\), \(VR_{n, m}\), son variacions en les quals els elements es poden repetir. \[VR_{n, m} = n^m\]
  • Les permutacions de \(n\) elements, \(P_n\), son variacions en les quals es prenen tots els elements, \(m = n\). \[P_n = V_{n, n} = n!\]
  • Les combinacions de \(n\) elements agafats de \(m\) en \(m\), \(C_{n, m}\), s’utilitzen per comptar el nombre de grups diferents que es poden formar amb \(m\) elements diferents, triats d’un conjunt de \(n\) elemnts. No hi influeix l’ordre i no es pot repetri cap element. \[C_{n, m} = \frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}\]

Exemples

  • Quants nombres diferents de dues xifres es poden formar amb les xifres 1, 2 i 3?
    S’han de calcular les variacions amb repetició de 3 elements agafats de 2 en 2: \[VR_{3,2} = 3^2 = 9\]
  • En una classe de 22 estudiants es triarà delegat, subdelegat i encarregat de material. Si la mateixa persona no pot tenir més d’un càrrec, quants resultats es poden obtenir?
    S’han de calcular les variacions de 22 elements agafats de 3 en 3: \[V_{22, 3} = \frac{22!}{(22-3)!} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19!}{19!} = 9240\] De quantes formes diferetns es poden asseure 5 persones en un banc?
    Cal formar grups de 5 persones amb 5 persones: \[P_5 = 5! = 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\] I si al banc només hi caben 4 persones i no ens importar l’ordre, de quantes formes diferents es poden asseure?
    En aquest cas són combinacions de 4 persones, agafades de 3 en 3: \[C_{5, 4} = \frac{5!}{4!\cdot (4-3)!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1!} = 5\]
Quantes combinacions de 4 lletres es poden fer amb les lletres DELIT?
Les combinacions possibles de 5 lletres, agafades de 4 en 4: \[C_{5, 3} = \frac{5!}{3!\cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = 10\]

Activitats

  1. De quantes maneres possibles es poden asseure 5 persones en un cotxe de 5 places? I si són 4 persones?

  2. Una recta passa per dos punts. Quantes rectes hi pot haver si es tenen 3 punts no alineats? I si es tenen 25 punts no alineats?.

Deures

  1. Indica quantes possibilitats hi ha:
  1. Si s’escriuen nombres de 6 xifres amb dígits parells.
  2. En escriure paraules, amb sentit o sense, de 5 lletres diferents amb les lletres de la paraula RECTA.
  3. En escriure paraules, amb senitt o sense, de 4 lletres diferents amb les lletres de la paraula RECTA.
  4. En formar nombres de 3 xifres amb els dígits del número 1234.
  5. En triar 5 jugadors de bàsquet d’un equip de 10.


Esdeveniments. Operacions amb esdeveniments

  • Un esdeveniment elemental és cadascun dels possibles resultats simples de l’espai mostral, no conté cap altre esdeveniment.
  • Un esdeveniment compost està format per dos esdeveniments elementals o més.
  • Un esdeveniment és segur quan sempre té lloc, i un esdeveniment és impossible quan no té lloc.

Exemple

  • Es considera l’experiment aleatori que consisteix a llançar tres monedes iguals i anotar el nombre de cares i creus que surten.
  1. Descriu l’espai mostral i defineix els seus esdeveniments elementals.
  2. Escriu dos esdeveniments compostos.
  3. Escriu un esdeveniment segur i un esdeveniment impossible

your text here > Divendres 28 de març

Operacions amb successos

  • La unió de dos esdeveniments, \(A\) i \(B\), és un altre esdeveniment format pels esdeveniments elementals que hi ah en \(A\) o en \(B\), i s’escriu \(A \cup B\).

  • La intersecció de dos esdeveniments, \(A\) i \(B\), és un altre esdeveniment format pels esdeveniments elementals comuns de \(A\) i de \(B\), i s’escriu \(A \cap B\).

Diagrames de Venn de la intersecció i la unió dels esdeveniments A i B
Diagrames de Venn de la intersecció i la unió dels esdeveniments \(A\) i \(B\)


Exemple

Es considera l’experiment aleatori que consisteix a lllançar un dau i anotar el resultat obtingut. Escriu en forma d’unions i interseccións els esdeveniments compostos següents:

  1. \(A =\) “sortir nombre més petit que 5 i sortir nombre parell”
  2. \(B =\) “sortir nombre més petit que 5 o sortir nombre parell”

Activitats

  1. En una urna hi ha 3 boles blanques, numerades de l’1 al 3, i 2 boles negres amb els números 4 i 5. Si es treu una bola de l’urna i se n’observa el color i el nombre, calcula l’espai mostral.

  2. En treure una carata d’una baralla espanyola, es consideren els edeveniments: \(A =\) “Treure una figura” i \(B =\) “Treure copes”. Troba’n els esdeveniments:

  1. \(A \cup B\)
  2. \(A \cap B\)


Si la intersecció de dos esdeveniments és l’esdeveniment impossible, és a dir, \(A \cap B = \emptyset\), es diu que són esdeveniments incompatibles. En cas contrari, es diu que són compatibles.

L’esdeveniment contrari o complementari d’un esdeveniment \(A\) és un esdeveniment, denotat per \(\overline{A}\), format per tots els esdeveniments elementals de l’espai mostral que no pertanyen a \(A\).

La diferència de dos esdeveniments, \(A - B\), és la intersecció del primer esdeveniment amb el contrari del segon: \(A-B = A \cap \overline{B}\).

Quines operacions entre A i B corresponen a les àrees indicades en color en els diagrames anteriors?
Quines operacions entre \(A\) i \(B\) corresponen a les àrees indicades en color en els diagrames anteriors?


your text here > Dimecres 2 d’abril

Propietats de les operacions amb esdeveniments

  • El contrari de la unió és lla intersecció dels contraris: \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
  • El contrari de la intersecció és la unió dels contaris: \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
  • El contari de l’esdevenimetn contari coincideix amb l’esdeveniment inicial: \(\overline{\overline{A}} = A\)

Exemples

Si es llança un dau i s’anota la puntuació obtinguda, decideix si aquests esdeveniments són compatibles o incompatibles:

  • \(A\) = “Obtenir un nombre senar”
  • \(B\) = “Obtenir un nombre parell”
  • \(C\) = “Obtenir un múltiple de 3”

En una urna hi ha 8 boles numerades de l’1 al 8. S’extreu una bola a l’atzar i es consideren els esdeveniments \(A=\) “Sortir nombre més gran que 3” i \(B =\) “Sortir nombre parell”. Comprova si es compleix el següent:

  1. \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
  2. \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
  3. \(\overline{\overline{A}} = A\)

Activitats

  1. S’extreu una carta de la baralla espanyola. Raona si els esdeveniments \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) son compatibles o incompatibles.
  • \(A\) = “Treure una espasa”
  • \(B\) = “Treure una sota”
  • \(C\) = “Treure una copa”
  • \(D\) = “Treure un cinc”
  1. En l’extracció d’una bola d’ua bossa que conté 10 boles numerades de l’1 al 10, es consideren els esdeveniments \(A =\) “nombre parell” i \(B =\) “múltiple de 3”. Calcula:
  1. \(A \cup B\)
  2. \(A \cap B\)
  3. \(\overline{A \cup B}\)
  4. \(\overline{A \cap B}\)

Deures

  1. Un malabarista treballa amb 6 pilotes numerades de l’1 al 6. Si li’n cau una, es consideren els esdeveniments següents:
    \(A =\) “Cau la pilota amb ell número 5”
    \(B =\) “Cau la pilota amb un nombre múltiple de 3”
    \(C =\) “Cau la pilota amb un nombre parell”
    \(D =\) “Cau la pilota amb un nombre més gran que 3”
  1. Descriu els esdeveniments indicant els esdeveniments elementals que els componen.
  2. Quins són els esdeveniments compatibles dos a dos?
  3. Podries trobar tres esdeveniments compatibles alhora?
  4. Troba \(\overline{A}\), \(\overline{B}\), \(\overline{D}-\overline{B}\) i \(\overline{D}\cap \overline{C}\).


Propietats de la probabilitat

La probabilitat compleix les propietats següents:

  • La probabilitat de qualsevol esdeveniment és sempre més gran o igual que zero i més petita o igual que 1: \[0 \leq P(A) \leq 1\]
  • La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1 i la probabilitat de l’esdeveniment impossible és 0: \[P(E) = 1, \quad P(\varnothing) = 0\]
  • La probabilitat de qualsevol esdeveniment és igual a 1 menys la probabilitat del seu contari: \[P(A) = 1 - P(\overline{A})\]
  • Quan dos esdeveniments són incompatibles, la probabilitat de la seva unió és la suma de les seves probabilitats: \[P(A\cup B) = P(A) + P(B)\]
  • Per a dos esdeveniments qualsevol, \(A\) i \(B\), la probabilitat de la seva unió és igual a la suma de les probabilitats dels esdeveniments menys la probabilitat de la seva intersecció: \[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

    Exemple

    La probabilitat de que una persona sigui bruna és 0’7; la probabilitat de que tingui els ulls clars és 0’4 i la probabilitat que sigui bruna i tingui els ulls clars és 0’28. Calcula la probabilitat que, triada una persona a l’atzar:

    1. No sigui bruna.
    2. Sigui bruna o tingui els ulls clars.
    3. No sigui bruna o no tingui els ulls clars.

Activitats

  1. Dels esdeveniments \(A\) i \(B\) d’un experiment aleatori es sap que \(P(A) = \frac{1}{3}\), \(P(B) = \frac{1}{5}\) I \(P(\overline{A}\cup \overline{B}) = \frac{13}{15}\). Calcula:
  1. \(P(A \cap B)\)
  2. \(P(A \cup B)\)
  3. \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\)
  1. Dels esdeveniments \(A\) i \(B\) d’un experiment aleatori es sap que \(P(A) = 0'4\), \(P(B) = 0'5\) I \(P(A \cap B) = 0'2\). Calcula:
  1. \(P(A \cup B)\)
  2. \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\)
  3. \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\)

    Deures

  1. Una enquesta en un centre escolar diu que:
  • El 75% està a favor de de fer tres excursions l’any.
  • El 70% està a favor de fer viatges de final de curs els cursos parells.
  • El 60% està a favor de les dues qüestions anteriors. Triada una persona d’aquesta pooblació a l’atzar, calcula:
  1. La probabilitat que estigui a favor de fer les excursions, però no els viatges.
  2. La probabilitat que estigui a favor dels viatges, però no de les excursions
Exercicis 60 i 61.



your text here > Dijous 3 d’abril

Regla de Laplace

Un experiment és regular quan tots els esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat, és a dir, son esdeveniments equiprobables.

En un experiment aleatori regular, la probabilitat d’un esdevenimnet \(A\) es pot calcular de la següent manera: \[P(A) = \frac{\text{nombre de casos favorables a }A}{\text{nombre de casos possibles} }\]

Els mètodes de comptatge ens ajuden a determinar el nombre de casos possibles i el nombre de casos favorables d’un experiment aleatori.

Exemple

Troba la probabilitat d’encertar els 14 resultats a la travessa de futbol, si els resultats s’apunten aleatòriament.


Activitats

  1. Calcula la probabilitat que en llançar un dau s’obtingui un nombre entre 2 i 5.

  2. Troba la probabilitat d’encertar 5 nombres en el sorteig de la loteria Primitiva


Deures

Exercicis 63, 64 i 65.



Probabilitat condicionada

La probabilitat d’un esdeveniment \(B\), quan se sap que ha tingut lloc un altre esdeveniment \(A\), s’anomena probabilitat condicionada.
S’escriu \(P(B / A)\) i es llegeix probabilitat de \(B\) condicionada a \(A\) i es calcula: \[P(B / A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\]

Quan es calculen probabilitats condicionades amb ajuda de la regla de Laplace, s’ha de tenir en compte que el nou espai mostral, \(E'\), coincideix amb l’esdeveniment A.

Exemple

En una classe de 22 estudiants, 7 estudiants són aficionats al bàsquet, 12 són aficionats al futbol i 6 a tots dos esports. Si es tria un estudiant a l’atzar, calcula la probaiblitat que:

  1. Sigui aficionat al futbol, sabent que també és aficionat al bàsquet.
  2. Sigui aficionat al futbol, sabent que no és aficionat al bàsquet.

Activitats

  1. En un autobús viatgen 32 persones, 18 van a treballar, i d’aquestes, 10 són homes. DE les que no van a treballar, 5 són dones. SI es tria una persona a l’atzar i és home, calcula la probabilitat que vagi a treballar.

  2. En una urna hi ha 2 boles blanques i 2 blaves. Si la primera bola que s’extreu no es torna a introduir a l’urna, troba la probabilitat d’obtenir una bola blava i, després, una bola blanca.

Deures

Exercici 77



Dependència i independència d’esdeveniments

Dos esdeveniments, \(A\) i \(B\), són dependents quan el fet que passi un influeix perquè passi l’altre. Si \(A\) i \(B\) són dependents, es compleix que: \[P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B/A) = P(B) \cdot P(A/B) \] Dos esdeveniments, \(A\) i \(B\), són independents quan el fet que tingui lloc un no influeix perquè tingui lloc l’altre. És a dir, si \(A\) i \(B\) són independents, es compleix que: \[P(B/A) = P(B) \text{ o també } P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Exemple

Si s’extreuen, amb reemplaçament, dues cartes d’una baralla espanyola, calcula la probabilitat que totes dues siguin figures.

En el cas que no hi hagi reemplaçament, calcula la probabilitat anterior.


Activitats

  1. S’extreuen dues boles d’una urna en la qual hi ha 5 boles vermelles, 2 de blaves i 3 de blanques. Troba la probabilitat que la segona bola sigui vermella si la primera ho és i no s’ha retornat a l’urna. Quina seria la probabilitat si es retornés la primera bola abans de treure la segona?

  2. D’una baralla espanyola s’extreuen dues cartes. Calcula la probabilitat que la primera sigui un as i la segona sigui d’ors si:

  1. Es treuen les dues cartes alhora.
  2. Es reemplaça la primera carta abans de treure la segona.