Actividad 4. Tutorial COVID

Modelando la epidemia COVID

Este problema tiene como objetivo guiarte en el desarrollo y análisis de un modelo dinámico empleando el lenguaje de programación R. El objetivo es que te familiarices con las herramientas de análisis en R y que inicies el desarrollo de tus propios modelos dinámicos. Para este efecto tomaremos como referencia el caso de la epidemia COVID-19, basándonos en el modelo básico SI, descrito por Sterman (2013) en el apartado 9.2.1.

Descripción del caso:

Para iniciar tomaremos como referencia el diagrama “stock-flow” de Sterman (2013) mostrado en la siguiente figura.

Como primer paso haremos un listado del tipo de variables en el modelo:

Variables de Estado (Stock variables)

Population Susceptible to COVID
Population Infected with COVID

Variables de flujo (flow variables)

Infection Rate

Variables auxiliares endógenas (endogenous auxiliary variables)

Susceptible Contatcs
Probability of Contact with Infected Person
Contacts Between Infected and Uninfected People

Parámetros de simulación (variables en la frontera del sistema o exogenous auxiliary variables)

Contact Frequency
Total Population
Infectivity

Esta clasificación es útil para organizar el espacio de trabajo en Rstudio.

Tutorial de modelado del caso en R:

Iniciaremos por definir este modelo dinámico como una función definida por el usuario siguiendo los siguientes pasos.

#Carga la librería deSolve empleando la función library() 
library("deSolve")

En el siguiente chunk de código se declara el espacio de trabajo como una función definida por el usuario.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
      
    list(c())
  })
}

### Esta función es una función específica que se debe de hacer para cada uno de los modelos. La función se tiene que llamar como el problema que estamos trabajando.

## La función va a depender de tres cosas: t (tiempo), state(variables de estado, y parameters (variables exógenas). Todo aquí lo juntamos para que sea un paquete de funciones grandes.

Ahora agregaremos las variables de estado y los flujos asociadas a ellas. Iniciaremos con la variable de estado “Population Susceptible to COVID” como se muestra en el chunk siguiente.

### Esta función se llena de abajo hacia arriba, primero las variables de estado, luego las variables de flujo y por último las variables endógenas.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables: Variables endógenas
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-
      
    list(c())
  })
}

Nota que en R las variables no pueden ser nombradas con espacios. De manera que esta variable de estado es nombrada como: “population.susceptible.to.COVID” nota también que las variables de estado son precedidas por el símbolo diferencial “d” para indicar que esta es una variable de estado, la sintaxis completa es: “dpopulation.susceptible.to.COVID”. Después de este paso habrás creado exitosamente la primera variable de estado del modelo.

Una práctica muy recomendable es documentar tus modelos. En R puedes hacer esto empleando el símbolo “#” y escribiendo delante de éste una breve descripción de la variable que estas representando. Además de describir la variable que estas creando es muy recomendable escribir también las unidades de medición de tu variable. El siguiente chunk muestra un ejemplo:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    #The population susceptible to COVID is equal to the 
    #population susceptible prior to the onset of the disease
    #less all of those that have contracted it
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    #Esta linea indica que variables se imprimen como 
    #resultado de la integración del modelo, todas las
    #variables de estado deben estar listadas
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, la variable “Infection.Rate” está conectada a la variable de estado como un flujo de salida (i.e. outflow variable), esta estructura se modela como se muestra en el chunk anterior. Nota que esta variable de flujo afecta con signo negativo a la variable de estado. Este signo negativo específica a esta variable de flujo como un flujo de salida.

Podemos seguir un proceso similar para modelar y documentar la segunda variable de estado “population.infected.with.COVID” como se muestra en la siguiente figura. Nota que en este caso la variable de flujo “Infection.Rate” es modelada como un flujo de entrada (i.e. inflow variable) y por esta razón no se incluye un signo negativo y nota también que la variable de estado “population.infected.with.COVID” es especificada precedida del signo diferencial “d”.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, en este modelo solo existe una sola variable de flujo que está conectada a las variables de estado. Esta variable de flujo es determinada por dos variables auxiliares: “Contacts between Infected and Uninfected People” e “Infectivity”. Para este caso especificamos la variable de flujo “Infection.Rate” como la multiplicación simple de estas dos variables auxiliares tal como se muestra en la siguiente figura. Nota que al agregar esta nueva variable también hemos incluido la documentación que describe esta variable y sus unidades de medición.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir la variable de flujo “Infection.Rate” hemos agregado dos nuevas variables que debemos especificar. La variable “Contacts between Infected and Uninfected People” es una variable auxiliar endógena que es determinada por la variable “Susceptible Contacts” y la variable “Probability of Contact with Infected Person” esta interacción es especificada de la siguiente manera:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir esta nueva variable hemos agregado dos nuevas variables auxiliares endógenas que debemos definir. La primera variable “Susceptible Contacts” es determinada por la variable de estado “Population Susceptible to COVID” y por la variable “Contact Frequency” y es especificada como se muestra en la figura siguiente. Nota que en esta ocasión al emplear la variable de estado para definir otra variable endógena auxiliar no es necesario usar el símbolo diferencial antes de la variable de estado.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

### En la función nadamás se definen variables endógenas, de flujo y de estado.

La última variable endógena auxiliar por modelar es la variable “Probability of Contact with Infected Person”. De manera similar al caso anterior, esta variable es determinada por la variable de estado “population infected with COVID” dividida por la variable exógena auxiliar “Total Population”

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Esto concluye la especificación de todos los elementos endógenos del modelo. El siguiente paso es especificar los valores de los parámetros (i.e. variables auxiliares exógenas), las condiciones iniciales de las variables de estado, el horizonte temporal de análisis y el método de integración para la simulación.

En nuestro modelo hemos especificado tres parámetros: “Contact Frequency”, “Total Population” e “Infectivity”.

En R podemos especificar los parámetros del modelo empleando un vector como se muestra en la siguiente figura. Nota que el nombre de los parámetros es idéntico al nombre empleando en la especificación descrita en los pasos anteriores. También nota que cada parámetro está asociado a un valor numérico único para el cual correremos el modelo de simulación. Finalmente nota que para cada parámetro se especifican sus unidades de medición.

### Variables exógenas
parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless: Porcentaje
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

De igual manera podemos emplear un vector en R para definir las condiciones iniciales de cada variable de estado, esto se muestra en la siguiente figura. Nuevamente el nombre de las variables de estado es idéntico al empleado en la especificación de la modelo y cada variable de estado es inicializada a un valor único.

### Variables de estado sin la d.
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

Ahora es necesario especificar el vector de tiempo que será usado para simular el modelo. Esta especificación se lleva a cabo como se muestra en la siguiente figura. Nota que para especificar este vector de tiempo empleamos la función seq(). Esta función crea una secuencia numérica y requiere tres parámetros: valor inicial, valor final e intervalo de crecimiento. En nuestro modelo dinámico estos tres parámetros representan el tiempo inicial de la simulación, el tiempo final de la simulación y la resolución temporal de la simulación. Nota que para cada parámetro hemos indicado la unidad de tiempo correspondiente.

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days # Porcentaje de la unidad total

# OJO. Es importante reconocer en que valores están nuestros datos.

Aún no discutimos con detalle las propiedades de los diferentes métodos de integración que podemos emplear para simular nuestro modelo. Por lo pronto, para este ejercicio, elegiremos el método Runge-Kutta de Orden 4. El chunk siguiente muestra la forma de especificar este método de integración.

intg.method<-c("rk4")

El último paso en el proceso de especificación del modelo es elegir las variables que serán “impresas” por la simulación. Este es un paso muy importante ya que nos permite elegir las variables que deseamos analizar. La figura siguiente muestra la forma de especificar las variables a imprimir por el modelo. Nota que esto es especificado en la última línea de código de la función contiene nuestro modelo dinámico. Nota también que en este caso hemos elegido imprimir sólo las variables de estado y que ambas están precedidas por el signo diferencial “d” y son concatenadas empleando la función c().

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # Se imprimen dos variables de estado
           dpopulation.infected.with.COVID)) # Se imprimen dos variables de estado
  })
}

### El mimo orden que tengas en las variables de estado es el mismo orden en el que deben aparecer las condiciones iniciales.

Esto concluye la especificación del modelo de simulación. El siguiente paso es ejecutar este código y llevar a cabo la simulación. Corre los chunks que contienen la librería deSolve, los vectores que guardamos como parameters, InitialConditions, times e intg.method, y también corre el chunk de la función covid.epidemic.

Una vez realizado esto, en la consola de R ya están cargados tanto el modelo como todos los parámetros necesarios para llevar a cabo la simulación, pero aún no hemos generado datos de la simulación. Para hacer esto, crearemos una base de datos “out” que contiene los resultados de la simulación empleando la función “ode”. Nota que la función “ode” emplea como parámetros de entrada condiciones iniciales de las variables de estado del modelo, el vector de tiempo, la función covid.epidemic que describe nuestro modelo, las variables exógenas (i.e. parámetros) y el método de integración. Todos estos elementos los hemos definido ya en los pasos anteriores.

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # Función
           parms = parameters,
           method =intg.method )

### Out: Cambie de variables de estado a lo largo del tiempo

Si has hecho esto correctamente verás un nuevo objeto llamado “out” listado en el panel superior derecho.

El paso final es analizar gráficamente los resultados para esto emplea la función “plot”

plot(out,
     col=c("darkgreen"))

Preguntas del caso:

Una vez revisado el tutorial, se incluyen preguntas específicas para responder en este caso.

4.1. Incluye tu modelo en un sólo chunk de código en el que se utilice la función plot para ver el comportamiento de las variables de estado.

En el gráfico anterior observamos el comportamiento de nuestras dos variables de estado population.susceptible.to.COVID y population.infected.with.COVID. Notamos que la porblación susceptible a contagiarse de COVID disminuye mientras que la población infectada con COVID aumenta. Lo anterior se debe a que, conforme pasa el tiempo, los parámetros que fectan positivamente a la variable de flujo de salida de population.susceptible.to.COVID Infection Rate aumentan, haciendo que la population.infected.with.COVID. aumente, pues en ese caso es una variable de flujo de entrada.

4.2. ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación.

Se observa que nuestras dos variables de estado population.susceptible.to.COVID y population.infected.with.COVID se mantienen constantes, la primera en 349 y la segunda en 0.

Esto se explica debido a que la variable de estado Population Infected with COVID inicia en 0, lo cual provoca que el cilco de retroalimentación Contagion por el cual se da el contagio de covid 19 sea inefectivo, pues la variable Probability of Contact with Infected Person se queda en 0, dejando en 0 también en el valor de las variables Contacts Between Infected and Uninfected People y Infection Rate. Este mecanismo impacta directamente a la variable de flujo Infection Rate la cual aumenta el número de población contagiada con COVID. Sin embargo, debido a que este valor inicia en 0 el ciclo de retroalimentación Contagion no puede comenzar, dejándolo inactivo, provocando que no exista ningun infectado en el sistema, lo cual a su vez mantiene a toda la población sana

4.3. ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero?.

Estas gráficas muestran el comportamiento de nuestras variables de estado population.susceptible.to.COVID y population.infected.with.COVID cuando el valor de la segunda variable es un número positivo distinto de cero, en este caso, se asumió un valor de 35. Notamos que la primera variable disminuye al mismo ritmo que la segunda aumenta.

Esto se debe a que, contrario a la pregunta anterior, el cilco de retroalimentación Contagion por el cual se da el contagio de covid 19 se activa, haciendo que ahora la variable Probability of Contact with Infected Person, al ser positiva, aumente el valor de la variables variables Contacts Between Infected and Uninfected People y Infection Rate. Este mecanismo impacta directamente a la variable de flujo Infection Rate la cual aumenta el número de población contagiada con COVID, provocando que, al ser una variable de salida para la variable de estado población susceptible a covid, esta disminuya, y al ser una variable de entrada para la población infectada con covid esta aumente.

4.4. ¿Cómo cambia la dinámica del sistema si aumenta el valor del parámetro “Contact Frequency”? ¿El valor de este parámetro modifica el valor final de la variable de estado “Population Infected with COVID”? Explica porque sí o porque no haciendo referencia a la estructura del modelo y a los resultados de la simulación.

La dinámica del sistema cambia, pues al aumentar el valor del parámetro Contact Frequency, la población del sistema se contagia más rápido de COVID.

Lo anterior se debe a que el parámetro Contact Frequency aumenta el valor de la variable Susceptible Contacts, aumentando el valor de la variable Contacts Between Infected and Uninfected People, lo cual tambipen aumenta el valor de la variable de flujo Infection Rate. En última instancia, este aumento en la variable de flujo aumenta el valor final de la variable de estado Population Infected with COVID

En las gráficas de la derecha se nota este efecto, en la primera el valor del parámetro Contact.Frequency es 1, mientras que en la segunda es de 40.

4.5. ¿Cómo cambia el comportamiento del modelo si la variable de flujo “Infection Rate” cambia? Sigue los siguientes lineamientos para dar tu respuesta: Responde a esta pregunta describiendo brevemente los cambios que identificas al cambiar el valor de esta variable. Emplea un par de gráficos de comportamiento del modelo para dar soporte a tu respuesta.

El cambio en esta variable se modeló modificando el parámetro Infectivity, una variable exógena en nuestro sistema que aumenta el valor de nuestra variable de flujo Infection Rate. Si esta variable es menor, el número de personas contagiadas con COVID aumentará, debido a su labor como variable de entrada Population Infected with COVID, y la población susceptible a tener covid dismunuirá debido a su rol como variable de salida en Población Susceptible to COVID.

En resumen, esta variable determina la velocidad de propagación del virus. La representación gráfica se muestra a continuación

4.6. El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas.

El modelo desarrollado hasta el momento es demasiado simple porque asume que las personas infectadas permanecen en ese estado de manera permanente, sin considerar la posibilidad de recuperación. Esta suposición es irrealista, ya que en la mayoría de las enfermedades existe un período de infección seguido de recuperación o inmunidad. Además, el modelo no incorpora tasas de recuperación, lo que limita su capacidad para reflejar con precisión la evolución de la enfermedad en el tiempo. Tampoco se considera la duración de la enfermedad, lo que impide modelar adecuadamente la dinámica de transmisión y recuperación dentro de la población.

En el punto anterior identificaste algunas suposiciones irrealistas. Las siguientes preguntas tienen como objetivo que explores que sucede cuando se expanda el modelo para atender sus limitaciones.

Hasta el momento hemos asumido que la población se mantiene infectada con el virus COVID de manera indefinida. En epidemiologia esto se conoce como el modelo SI (i.e. Susceptible-Infectious). El modelo SI es apropiado para representar enfermedades crónicas para las que no existe una cura. Sin embargo, en el caso de muchas enfermedades infecciosas, incluyendo COVID, viruela o influenza, las personas infectadas pueden recuperarse o en los casos más lamentables morir.

El siguiente diagrama stock-flow expande la estructura del modelo base para describir el proceso de recuperación de la población infectada con COVID. Esta expansión del modelo en epidemiología es conocida como el modelo SIR (i.e. la “R” indica “Recovery”, explicada en el apartado 9.2.2 del libro de Sterman (2013)). Sigue las instrucciones siguientes para expandir el modelo del tutorial.

El diagrama stock-flow muestra que debes agregar tres variables nuevas: una nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, una nueva variable de flujo “Recovery Rate” (por simplicidad no distinguiremos entre los pacientes que se recuperan y aquellos que mueren) y un nuevo parámetro “Average Duration of Infection”.

El parámetro “Average Duration of Infection” indica el tiempo promedio (i.e. en días) que una persona permanece infectada con el virus COVID. Los epidemiólogos estiman que la fase de infección del COVID tiene una duración promedio de 7 a 21 días. Emplea tu criterio para elegir el valor de este parámetro. 15

Existen muchas formas de modelar la variable de flujo “Recovery Rate” pero la especificación empleada con mayor frecuencia es la siguiente: Recovery Rate=Population Infected with COVID/Average Duration of Infectivity

Para implementar exitosamente esta estructura en el modelo es necesario que especifiques que esta nueva variable de flujo afecta también a la variable de estado existente “Population Infected with COVID” de la siguiente manera (i.e. sintaxis en R):

dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate

También es necesario agregar nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, esto lo puedes lograr empleando la siguiente especificación:

dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate

Recuerda que al agregar una nueva variable de estado es necesario que indiques en el vector de condiciones iniciales el valor inicial de esta variable y también indicar en la última línea de código de la función “covid.epidemic” que esta nueva variable de estado será impresa por la simulación:

list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))

Emplea esta nueva versión del modelo para responder a las siguientes preguntas:

4.7. ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo?

El principal cambio que se observa en el modelo es que ahora tenemos un tercer grupo de personas, los recuperados, las cuales son personas que lograron curarse de la enfermedad y ya no pueden contagiarse ni contagiar a otros.

Este grupo le da a la pandemia de nuestro sistema un elemento que faltaba: Su final.

Notamos ahora que la curva de personas infectadas alcanza un máximo, pero disminuye a lo largo del tiempo debido a que la población ahora puede recuperarse de la enfermedad. Esto se representa en el comportamiento de las variables de estado Population.susceptible.to.COVID y Population.recovered.from.COVID.

4.8. ¿Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”? Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del comportamiento del modelo base.

Contact Frequency

Incremento

Decremento

Infectivity

Incremento

Decremento

Respuesta

Un incremento en las variables contact frequency e infectivity aceleran el ciclo de la pandemia con respecto al modelo basehaciendo que el máximo de personas contagiadas llegue en un periodo corto de tiempo. Esto se debe a los ciclos de retroalimentación descritos en las secciones 4.4 y 4.5 que aumentan el número de contagiados.

Por otro lado un decremento en las variables antes mencionadas ralentiza el comportamiento de la epidemia con respecto al modelo base, haciendo que los contagios no alcancen su máximo en el periodo de observación de 120 días.

Actividad 4. Tutorial COVID

Emiliano Montalvo Vásquez

2025-03-24

Modelando la epidemia COVID

Preguntas del caso:

4.1. Incluye tu modelo en un sólo chunk de código en el que se utilice la función plot para ver el comportamiento de las variables de estado.

4.2. ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación.

4.3. ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero?.

4.6. El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas.

4.7. ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo?

4.8. ¿Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”? Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del comportamiento del modelo base.

Contact Frequency

Infectivity

Respuesta