Modelando la epidemia COVID

Este problema tiene como objetivo guiarte en el desarrollo y análisis de un modelo dinámico empleando el lenguaje de programación R. El objetivo es que te familiarices con las herramientas de análisis en R y que inicies el desarrollo de tus propios modelos dinámicos. Para este efecto tomaremos como referencia el caso de la epidemia COVID-19, basándonos en el modelo básico SI, descrito por Sterman (2013) en el apartado 9.2.1.

Descripción del caso:

Para iniciar tomaremos como referencia el diagrama “stock-flow” de Sterman (2013) mostrado en la siguiente figura.

Como primer paso haremos un listado del tipo de variables en el modelo:

Variables de Estado (Stock variables)

Variables de flujo (flow variables)

Variables auxiliares endógenas (endogenous auxiliary variables)

Parámetros de simulación (variables en la frontera del sistema o exogenous auxiliary variables)

Esta clasificación es útil para organizar el espacio de trabajo en Rstudio.

Tutorial de modelado del caso en R:

Iniciaremos por definir este modelo dinámico como una función definida por el usuario siguiendo los siguientes pasos.

#Carga la librería deSolve empleando la función library() 
library("deSolve")

Declara el espacio de trabajo como una función definida por el usuario. En este caso sólo tienes que cambiar el nombre de la función, manteniendo el template que hemos usado en otros modelos

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
      
    list(c())
  })
}

Ahora agregaremos las variables de estado y los flujos asociadas a ellas. Iniciaremos con la variable de estado “Population Susceptible to COVID” como se muestra en el chunk siguiente.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-
      
    list(c())
  })
}

Nota que en R las variables no pueden ser nombradas con espacios. De manera que esta variable de estado es nombrada como: “population.susceptible.to.COVID” nota también que las variables de estado son precedidas por el símbolo diferencial “d” para indicar que esta es una variable de estado, la sintaxis completa es: “dpopulation.susceptible.to.COVID”. Después de este paso habrás creado exitosamente la primera variable de estado del modelo.

Una práctica muy recomendable es documentar tus modelos. En R puedes hacer esto empleando el símbolo “#” y escribiendo delante de éste una breve descripción de la variable que estas representando. Además de describir la variable que estas creando es muy recomendable escribir también las unidades de medición de tu variable. El siguiente chunk muestra un ejemplo:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    #The population susceptible to COVID is equal to the 
    #population susceptible prior to the onset of the disease
    #less all of those that have contracted it
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    #Esta linea indica que variables se imprimen como 
    #resultado de la integración del modelo, todas las
    #variables de estado deben estar listadas
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, la variable “Infection.Rate” está conectada a la variable de estado como un flujo de salida (i.e. outflow variable), esta estructura se modela como se muestra en el chunk anterior. Nota que esta variable de flujo afecta con signo negativo a la variable de estado. Este signo negativo específica a esta variable de flujo como un flujo de salida.

Podemos seguir un proceso similar para modelar y documentar la segunda variable de estado “population.infected.with.COVID” como se muestra en la siguiente figura. Nota que en este caso la variable de flujo “Infection.Rate” es modelada como un flujo de entrada (i.e. inflow variable) y por esta razón no se incluye un signo negativo y nota también que la variable de estado “population.infected.with.COVID” es especificada precedida del signo diferencial “d”.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, en este modelo solo existe una sola variable de flujo que está conectada a las variables de estado. Esta variable de flujo es determinada por dos variables auxiliares: “Contacts between Infected and Uninfected People” e “Infectivity”. Para este caso especificamos la variable de flujo “Infection.Rate” como la multiplicación simple de estas dos variables auxiliares tal como se muestra en la siguiente figura. Nota que al agregar esta nueva variable también hemos incluido la documentación que describe esta variable y sus unidades de medición.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir la variable de flujo “Infection.Rate” hemos agregado dos nuevas variables que debemos especificar. La variable “Contacts between Infected and Uninfected People” es una variable auxiliar endógena que es determinada por la variable “Susceptible Contacts” y la variable “Probability of Contact with Infected Person” esta interacción es especificada de la siguiente manera:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir esta nueva variable hemos agregado dos nuevas variables auxiliares endógenas que debemos definir. La primera variable “Susceptible Contacts” es determinada por la variable de estado “Population Susceptible to COVID” y por la variable “Contact Frequency” y es especificada como se muestra en la figura siguiente. Nota que en esta ocasión al emplear la variable de estado para definir otra variable endógena auxiliar no es necesario usar el símbolo diferencial antes de la variable de estado.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

La última variable endógena auxiliar por modelar es la variable “Probability of Contact with Infected Person”. De manera similar al caso anterior, esta variable es determinada por la variable de estado “population infected with COVID” dividida por la variable exógena auxiliar “Total Population”

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Esto concluye la especificación de todos los elementos endógenos del modelo. El siguiente paso es especificar los valores de los parámetros (i.e. variables auxiliares exógenas), las condiciones iniciales de las variables de estado, el horizonte temporal de análisis y el método de integración para la simulación.

En nuestro modelo hemos especificado tres parámetros: “Contact Frequency”, “Total Population” e “Infectivity”.

En R podemos especificar los parámetros del modelo empleando un vector como se muestra en la siguiente figura. Nota que el nombre de los parámetros es idéntico al nombre empleando en la especificación descrita en los pasos anteriores. También nota que cada parámetro está asociado a un valor numérico único para el cual correremos el modelo de simulación. Finalmente nota que para cada parámetro se especifican sus unidades de medición.

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

De igual manera podemos emplear un vector en R para definir las condiciones iniciales de cada variable de estado, esto se muestra en la siguiente figura. Nuevamente el nombre de las variables de estado es idéntico al empleado en la especificación de la modelo y cada variable de estado es inicializada a un valor único.

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

Ahora es necesario especificar el vector de tiempo que será usado para simular el modelo. Esta especificación se lleva a cabo como se muestra en la siguiente figura. Nota que para especificar este vector de tiempo empleamos la función seq(). Esta función crea una secuencia numérica y requiere tres parámetros: valor inicial, valor final e intervalo de crecimiento. En nuestro modelo dinámico estos tres parámetros representan el tiempo inicial de la simulación, el tiempo final de la simulación y la resolución temporal de la simulación. Nota que para cada parámetro hemos indicado la unidad de tiempo correspondiente.

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

Aún no discutimos con detalle las propiedades de los diferentes métodos de integración que podemos emplear para simular nuestro modelo. Por lo pronto, para este ejercicio, elegiremos el método Runge-Kutta de Orden 4. El chunk siguiente muestra la forma de especificar este método de integración.

intg.method<-c("rk4")

El último paso en el proceso de especificación del modelo es elegir las variables que serán “impresas” por la simulación. Este es un paso muy importante ya que nos permite elegir las variables que deseamos analizar. La figura siguiente muestra la forma de especificar las variables a imprimir por el modelo. Nota que esto es especificado en la última línea de código de la función contiene nuestro modelo dinámico. Nota también que en este caso hemos elegido imprimir sólo las variables de estado y que ambas están precedidas por el signo diferencial “d” y son concatenadas empleando la función c().

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

Esto concluye la especificación del modelo de simulación. El siguiente paso es ejecutar este código y llevar a cabo la simulación. Corre los chunks que contienen la librería deSolve, los vectores que guardamos como parameters, InitialConditions, times e intg.method, y también corre el chunk de la función covid.epidemic.

Una vez realizado esto, en la consola de R ya están cargados tanto el modelo como todos los parámetros necesarios para llevar a cabo la simulación, pero aún no hemos generado datos de la simulación. Para hacer esto, crearemos una base de datos “out” que contiene los resultados de la simulación empleando la función “ode”. Nota que la función “ode” emplea como parámetros de entrada condiciones iniciales de las variables de estado del modelo, el vector de tiempo, la función covid.epidemic que describe nuestro modelo, las variables exógenas (i.e. parámetros) y el método de integración. Todos estos elementos los hemos definido ya en los pasos anteriores.

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

Si has hecho esto correctamente verás un nuevo objeto llamado “out” listado en el panel superior derecho.

El paso final es analizar gráficamente los resultados para esto emplea la función “plot”

plot(out,
     col=c("blue"))

Preguntas del caso:

4.1. Incluye tu modelo en un sólo chunk de código en el que se utilice la función plot para ver el comportamiento de las variables de estado.

# Carga la librería deSolve
library("deSolve")

# Define el modelo
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    # Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected <- population.infected.with.COVID / Total.Population # dimensionless
    Susceptible.Contacts <- population.susceptible.to.COVID * Contact.Frequency # [people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People <- Susceptible.Contacts * Probability.of.Contact.with.Infected # [people/time]
    
    # Flow variables
    Infection.Rate <- Infectivity * Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People # [people/time]
    
    # State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID <- (-1) * Infection.Rate # Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID <- Infection.Rate # Stock units: People/time
    
    # Resultado
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

# Parámetros
parameters <- c(Infectivity = 0.1,               # dimensionless
                Contact.Frequency = 2,           # people/day
                Total.Population = 350)          # people

# Condiciones iniciales
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349,
                       population.infected.with.COVID = 1)

# Tiempo de simulación
times <- seq(0, 120, 0.25) # de 0 a 120 días, en pasos de 0.25 días

# Método de integración
intg.method <- "rk4"

# Resolver el modelo
out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method = intg.method)

# Graficar los resultados
plot(out, col = c("blue", "red"), xlab = "Días", ylab = "Población", main = "Evolución de la Epidemia COVID")

4.2. ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación. Cuando inicializamos la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero no tenemos ninguna infección durante toda la simulación, la curva se mantiene en cero y la población suceptible permanecería en 350 (la población total). Esto sucede porque en el modelo, la tasa de infección depende de manera directa de la cantidad de personas infectadas y suceptibles, y si cualquiera de estas dos es cero, la tasa de infección se vuelve cero también.

4.3. ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero? Cuando incializamos la variable de estado a un valor positivo diferente de cero, el modelo nos muestra que se empieza a propagar la enfermedad entre la población suceptible, se cumple la condición de una interacción entre infectados y suceptibles.

4.4. ¿Cómo cambia la dinámica del sistema si aumenta el valor del parámetro “Contact Frequency”? ¿El valor de este parámetro modifica el valor final de la variable de estado “Population Infected with COVID”? Explica porque sí o porque no haciendo referencia a la estructura del modelo y a los resultados de la simulación. Si el Parámetro “Contact Frequency” aumenta, esto significaría un aumento en los contactos entre suceptibles e infectados, la tasa de infección crecería, la enfermedad se propagaría más rápido, el pico de infectados ocurriría antes y la población suceptible caería de manera más rápida. Aumentar el parámetro “Contact Frequency” sí modifica la trayectoría que seguirá el modelo y el momento en que ocurren los cambios, esto porque incrementa la velocidad con la que las personas suceptibles tienen contacto con las infectadas, acelerando la propagación del virus. Sin embargo, puede que no necesariamente cambie el valor final, cuando ya no hay personas susceptibles que puedan contagiarse, considerando que el modelo no incluye variables de recuperación o muerte. Este modelo no considera recuperación, eventualmente toda la población termina infectda, sin importar la velocidad.

4.5. ¿Cómo cambia el comportamiento del modelo si la variable de flujo “Infection Rate” cambia? Sigue los siguientes lineamientos para dar tu respuesta: Responde a esta pregunta describiendo brevemente los cambios que identificas al cambiar el valor de esta variable. Emplea un par de gráficos de comportamiento del modelo para dar soporte a tu respuesta. Cuando “Infection Rate” cambia, la velocidad a la que la enfermedad se propaga en la población se modifica directamente. Esta variable depende de parámetrosc como la inefectividad, la frecuencia del contacto y la proporción de personas infectadas, porque al aumentar su valor, la población suceptible disminuye más rápidamente y la población infectada crece con mayor rapidez. Esto lo podemos ver en los gráficos, al tener una tasa de infección baja, la curva de infectados crece de forma más gradual y el pico ocurre más tarde. En cambio, con una tasa de infección alta, el crecimiento de infectados es más acelerado, el pico se alcanza antes y la epidemia se propaga en menos tiempo. En ambos casos, si el modelo no contempla una recuperación o muerte, el valor final de la población infectada tiende a que toda la población termine infectada. En los gráficos se muestra este comportamiento, en uno con bajo valor de inefectividad (0.05) y otro con un valor alto (0.2), manteniendo todo lo demás constante. Podemos ver cómo cambia la pendiente y la forma de la curva, evidenciando así la sensibilidad del modelo ante cambios en la tasa de infección.

library(deSolve)

# Modelo
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state, parameters)), {
    Probability.of.Contact.with.Infected <- population.infected.with.COVID / Total.Population
    Susceptible.Contacts <- population.susceptible.to.COVID * Contact.Frequency
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People <- Susceptible.Contacts * Probability.of.Contact.with.Infected
    Infection.Rate <- Infectivity * Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People

    dpopulation.susceptible.to.COVID <- -Infection.Rate
    dpopulation.infected.with.COVID <- Infection.Rate

    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

# Condiciones iniciales y tiempo
InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349,
                       population.infected.with.COVID = 1)
times <- seq(0, 120, 0.25)

# Simulacion con infectividad baja
params_low <- c(Infectivity = 0.05, Contact.Frequency = 2, Total.Population = 350)
out_low <- ode(y = InitialConditions, times = times, func = covid.epidemic, parms = params_low, method = "rk4")

# Simulación con infectividad alta
params_high <- c(Infectivity = 0.2, Contact.Frequency = 2, Total.Population = 350)
out_high <- ode(y = InitialConditions, times = times, func = covid.epidemic, parms = params_high, method = "rk4")

# Gráfico 1: Infectividad baja
plot(out_low, col = c("blue", "red"),
     main = "Dinámica con Infectividad Baja (0.05)",
     xlab = "Días", ylab = "Población")

# Gráfico 2: Infectividad alta
plot(out_high, col = c("blue", "red"),
     main = "Dinámica con Infectividad Alta (0.2)",
     xlab = "Días", ylab = "Población")

4.6. El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas. Algunas de las críticas podrían ser que solo se consideran dos variables de estado (población suceptible e infectada), la infección se muestra como irreversible (una vez infectadx, permanecían así indefinidamente). No hay individuos que se recuperen ni que fallezcan, por lo tanto, no podemos calcular la duración real del contagio ni cuando termina la epidemia. La población total es constante y asumimos que está cerrada a nacimientos, muertes, migración. Todxs tenían la misma probabilidad de contacto y de infectarse, esto no toma en cuenta una variación por edad, comportamiento que tuvieran o medidas de protección que siguieran.

En el punto anterior identificaste algunas suposiciones irrealistas. Las siguientes preguntas tienen como objetivo que explores que sucede cuando se expanda el modelo para atender sus limitaciones.

Hasta el momento hemos asumido que la población se mantiene infectada con el virus COVID de manera indefinida. En epidemiologia esto se conoce como el modelo SI (i.e. Susceptible-Infectious). El modelo SI es apropiado para representar enfermedades crónicas para las que no existe una cura. Sin embargo, en el caso de muchas enfermedades infecciosas, incluyendo COVID, viruela o influenza, las personas infectadas pueden recuperarse o en los casos más lamentables morir.

El siguiente diagrama stock-flow expande la estructura del modelo base para describir el proceso de recuperación de la población infectada con COVID. Esta expansión del modelo en epidemiología es conocida como el modelo SIR (i.e. la “R” indica “Recovery”, explicada en el apartado 9.2.2 del libro de Sterman (2013)). Sigue las instrucciones siguientes para expandir el modelo del tutorial.

El diagrama stock-flow muestra que debes agregar tres variables nuevas: una nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, una nueva variable de flujo “Recovery Rate” (por simplicidad no distinguiremos entre los pacientes que se recuperan y aquellos que mueren) y un nuevo parámetro “Average Duration of Infection”.

El parámetro “Average Duration of Infection” indica el tiempo promedio (i.e. en días) que una persona permanece infectada con el virus COVID. Los epidemiólogos estiman que la fase de infección del COVID tiene una duración promedio de 7 a 21 días. Emplea tu criterio para elegir el valor de este parámetro.

Existen muchas formas de modelar la variable de flujo “Recovery Rate” pero la especificación empleada con mayor frecuencia es la siguiente: Recovery Rate=Population Infected with COVID/Average Duration of Infectivity

Para implementar exitosamente esta estructura en el modelo es necesario que especifiques que esta nueva variable de flujo afecta también a la variable de estado existente “Population Infected with COVID” de la siguiente manera (i.e. sintaxis en R):

dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate

También es necesario agregar nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, esto lo puedes lograr empleando la siguiente especificación:

dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate

Recuerda que al agregar una nueva variable de estado es necesario que indiques en el vector de condiciones iniciales el valor inicial de esta variable y también indicar en la última línea de código de la función “covid.epidemic” que esta nueva variable de estado será impresa por la simulación:

list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))

library(deSolve)

# Modelo expandido SIR
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state, parameters)), {
    
    # Variables auxiliares endógenas
    Probability.of.Contact.with.Infected <- population.infected.with.COVID / Total.Population
    Susceptible.Contacts <- population.susceptible.to.COVID * Contact.Frequency
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People <- Susceptible.Contacts * Probability.of.Contact.with.Infected
    
    # Flujos
    Infection.Rate <- Infectivity * Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID / Average.Duration.of.Infection
    
    # Ecuaciones diferenciales (stocks)
    dpopulation.susceptible.to.COVID <- -Infection.Rate
    dpopulation.infected.with.COVID <- Infection.Rate - Recovery.Rate
    dpopulation.recovered.from.COVID <- Recovery.Rate
    
    # Salida del sistema
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID,
           dpopulation.recovered.from.COVID))
  })
}

# Parámetros
parameters <- c(
  Infectivity = 0.1,
  Contact.Frequency = 2,
  Total.Population = 350,
  Average.Duration.of.Infection = 14 # puedes usar 7, 14 o 21 días
)

# Condiciones iniciales
InitialConditions <- c(
  population.susceptible.to.COVID = 349,
  population.infected.with.COVID = 1,
  population.recovered.from.COVID = 0
)

# Tiempo de simulación
times <- seq(0, 120, 0.25)
intg.method <- "rk4"

# Simulación
out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method = intg.method)

# Gráfica
matplot(out[,1], out[,-1], type = "l", lty = 1, lwd = 2,
        col = c("blue", "red", "green"),
        xlab = "Días", ylab = "Población",
        main = "Modelo SIR: Dinámica de la epidemia")
legend("right", legend = c("Susceptibles", "Infectados", "Recuperados"),
       col = c("blue", "red", "green"), lty = 1, lwd = 2)

Emplea esta nueva versión del modelo para responder a las siguientes preguntas:

4.7. ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo? Cuando agregamos las variables de “Population Recovered from COVID” y “Recovery Rate”, vemos que el comportamiento de la epidemia se vuelve más realista. En el modelo originial, la población infectada crecía constantemente hasta que todxs se contagiaban, porque no existía una manera de salir de la infección. EN el modelo SIR, los infectados ya no aumentan indefinidamente, crecen al inicio, alcanzan un pico máximo y luego comienzan a disminuir conforme las personas se recuperan. Esto ya genera un ciclo epidémico natural donde la curva de infectados se eleva y luego cae. También observamos que no necesariamente toda la población se contagia, sino que una parte permanece susceptible si la epidemia sse controla a tiempo, y otra parte se registra como recuperada, como muestra la gráfica. Esto nos permite estudiar con una mayor precisión la duración del brote, la carga máxima del sistema de salud y el impacto de las políticas de contención.

4.8. ¿Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”? Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del comportamiento del modelo base. Para explorar el efecto de “contact frequency” e “inefectivity”, se modificaron sus valores en el modelo SIR y existen algunos cambios en la curva epidémica:

Contact Frecuency: Al incrementar el número de contactos (por ejemplo, de 2 a 5), el virus se propaga más rápido, lo que genera un pico de infectados más alto y más temprano.

Al disminuirla (por ejemplo, a 1), la propagación es más lenta, el pico ocurre después y es más bajo.

Al comparar con el modelo SI, el modelo SIR permite observar cómo modular la frecuencia de contacto puede disminuir la magnitud del brote e incluso evitar que toda la población se contagie.

Infectivity: Al aumentar la infectividad (por ejemplo, de 0.1 a 0.2), el número de infectados crece más rápido y de forma más intensa.

Al reducirla, la propagación se frena considerablemente y muchas personas susceptibles nunca se contagian.

A diferencia del modelo SI, el modelo SIR muestra que bajar la infectividad no solo reduce el ritmo de contagio, sino también el total de personas que terminan infectadas, ya que ahora existe una vía de recuperación.

library(deSolve)

# Función del modelo SIR
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state, parameters)), {
    Probability.of.Contact.with.Infected <- population.infected.with.COVID / Total.Population
    Susceptible.Contacts <- population.susceptible.to.COVID * Contact.Frequency
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People <- Susceptible.Contacts * Probability.of.Contact.with.Infected
    Infection.Rate <- Infectivity * Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID / Average.Duration.of.Infection
    
    dpopulation.susceptible.to.COVID <- -Infection.Rate
    dpopulation.infected.with.COVID <- Infection.Rate - Recovery.Rate
    dpopulation.recovered.from.COVID <- Recovery.Rate
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID,
           dpopulation.recovered.from.COVID))
  })
}

# Condiciones iniciales y tiempo
InitialConditions <- c(
  population.susceptible.to.COVID = 349,
  population.infected.with.COVID = 1,
  population.recovered.from.COVID = 0
)
times <- seq(0, 120, 0.25)

### 1. Comparación: Contact.Frequency = 1 vs 5
params_low_contact <- c(Infectivity = 0.1, Contact.Frequency = 1, Total.Population = 350, Average.Duration.of.Infection = 14)
params_high_contact <- c(Infectivity = 0.1, Contact.Frequency = 5, Total.Population = 350, Average.Duration.of.Infection = 14)

out_low_contact <- ode(y = InitialConditions, times = times, func = covid.epidemic, parms = params_low_contact)
out_high_contact <- ode(y = InitialConditions, times = times, func = covid.epidemic, parms = params_high_contact)

# Gráfico 1: Comparación Contact Frequency
par(mfrow = c(1, 2)) # lado a lado

matplot(out_low_contact[,1], out_low_contact[,-1], type = "l", lty = 1, col = c("blue", "red", "green"),
        xlab = "Días", ylab = "Población", main = "Contact.Frequency = 1")
legend("right", legend = c("Susceptibles", "Infectados", "Recuperados"), col = c("blue", "red", "green"), lty = 1, cex = 0.8)

matplot(out_high_contact[,1], out_high_contact[,-1], type = "l", lty = 1, col = c("blue", "red", "green"),
        xlab = "Días", ylab = "Población", main = "Contact.Frequency = 5")
legend("right", legend = c("Susceptibles", "Infectados", "Recuperados"), col = c("blue", "red", "green"), lty = 1, cex = 0.8)

### 2. Comparación: Infectivity = 0.05 vs 0.2
params_low_inf <- c(Infectivity = 0.05, Contact.Frequency = 2, Total.Population = 350, Average.Duration.of.Infection = 14)
params_high_inf <- c(Infectivity = 0.2, Contact.Frequency = 2, Total.Population = 350, Average.Duration.of.Infection = 14)

out_low_inf <- ode(y = InitialConditions, times = times, func = covid.epidemic, parms = params_low_inf)
out_high_inf <- ode(y = InitialConditions, times = times, func = covid.epidemic, parms = params_high_inf)

# Gráfico 2: Comparación Infectivity
par(mfrow = c(1, 2)) # lado a lado

matplot(out_low_inf[,1], out_low_inf[,-1], type = "l", lty = 1, col = c("blue", "red", "green"),
        xlab = "Días", ylab = "Población", main = "Infectivity = 0.05")
legend("right", legend = c("Susceptibles", "Infectados", "Recuperados"), col = c("blue", "red", "green"), lty = 1, cex = 0.8)

matplot(out_high_inf[,1], out_high_inf[,-1], type = "l", lty = 1, col = c("blue", "red", "green"),
        xlab = "Días", ylab = "Población", main = "Infectivity = 0.2")
legend("right", legend = c("Susceptibles", "Infectados", "Recuperados"), col = c("blue", "red", "green"), lty = 1, cex = 0.8)