Modelando la epidemia COVID

Este problema tiene como objetivo guiarte en el desarrollo y análisis de un modelo dinámico empleando el lenguaje de programación R. El objetivo es que te familiarices con las herramientas de análisis en R y que inicies el desarrollo de tus propios modelos dinámicos. Para este efecto tomaremos como referencia el caso de la epidemia COVID-19, basándonos en el modelo básico SI, descrito por Sterman (2013) en el apartado 9.2.1.

Descripción del caso:

Para iniciar tomaremos como referencia el diagrama “stock-flow” de Sterman (2013) mostrado en la siguiente figura. ### Diagrama

Como primer paso haremos un listado del tipo de variables en el modelo:

Variables de Estado (Stock variables)

Variables de flujo (flow variables)

Variables auxiliares endógenas (endogenous auxiliary variables)

Parámetros de simulación (variables en la frontera del sistema o exogenous auxiliary variables)

Esta clasificación es útil para organizar el espacio de trabajo en Rstudio.

Tutorial de modelado del caso en R:

Iniciaremos por definir este modelo dinámico como una función definida por el usuario siguiendo los siguientes pasos.

#Carga la librería deSolve empleando la función library() 
library("deSolve")

Declara el espacio de trabajo como una función definida por el usuario.

# especifica para cada modelo
# tiempo, variables de estado, variables exógenas
covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
      
    list(c()) # la resolución del modelo
  })
}

Ahora agregaremos las variables de estado y los flujos asociadas a ellas. Iniciaremos con la variable de estado “Population Susceptible to COVID” como se muestra en el chunk siguiente.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), { #esta función se llena de abajo hacia arriba, primero de estado, luedo de flujo y finalmente las endógenas
    #Endogenous auxiliary variables 
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-
      
    list(c())
  })
}

Nota que en R las variables no pueden ser nombradas con espacios. De manera que esta variable de estado es nombrada como: “population.susceptible.to.COVID” nota también que las variables de estado son precedidas por el símbolo diferencial “d” para indicar que esta es una variable de estado, la sintaxis completa es: “dpopulation.susceptible.to.COVID”. Después de este paso habrás creado exitosamente la primera variable de estado del modelo.

Una práctica muy recomendable es documentar tus modelos. En R puedes hacer esto empleando el símbolo “#” y escribiendo delante de éste una breve descripción de la variable que estas representando. Además de describir la variable que estas creando es muy recomendable escribir también las unidades de medición de tu variable. El siguiente chunk muestra un ejemplo:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    #The population susceptible to COVID is equal to the 
    #population susceptible prior to the onset of the disease
    #less all of those that have contracted it
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    # negativo porque es de salida
    
    #Esta linea indica que variables se imprimen como 
    #resultado de la integración del modelo, todas las
    #variables de estado deben estar listadas
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, la variable “Infection.Rate” está conectada a la variable de estado como un flujo de salida (i.e. outflow variable), esta estructura se modela como se muestra en el chunk anterior. Nota que esta variable de flujo afecta con signo negativo a la variable de estado. Este signo negativo específica a esta variable de flujo como un flujo de salida.

Podemos seguir un proceso similar para modelar y documentar la segunda variable de estado “population.infected.with.COVID” como se muestra en la siguiente figura. Nota que en este caso la variable de flujo “Infection.Rate” es modelada como un flujo de entrada (i.e. inflow variable) y por esta razón no se incluye un signo negativo y nota también que la variable de estado “population.infected.with.COVID” es especificada precedida del signo diferencial “d”.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, en este modelo solo existe una sola variable de flujo que está conectada a las variables de estado. Esta variable de flujo es determinada por dos variables auxiliares: “Contacts between Infected and Uninfected People” e “Infectivity”. Para este caso especificamos la variable de flujo “Infection.Rate” como la multiplicación simple de estas dos variables auxiliares tal como se muestra en la siguiente figura. Nota que al agregar esta nueva variable también hemos incluido la documentación que describe esta variable y sus unidades de medición.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir la variable de flujo “Infection.Rate” hemos agregado dos nuevas variables que debemos especificar. La variable “Contacts between Infected and Uninfected People” es una variable auxiliar endógena que es determinada por la variable “Susceptible Contacts” y la variable “Probability of Contact with Infected Person” esta interacción es especificada de la siguiente manera:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir esta nueva variable hemos agregado dos nuevas variables auxiliares endógenas que debemos definir. La primera variable “Susceptible Contacts” es determinada por la variable de estado “Population Susceptible to COVID” y por la variable “Contact Frequency” y es especificada como se muestra en la figura siguiente. Nota que en esta ocasión al emplear la variable de estado para definir otra variable endógena auxiliar no es necesario usar el símbolo diferencial antes de la variable de estado.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

### En la función nada más se definen variable endógenas, de flujo y de estado.

La última variable endógena auxiliar por modelar es la variable “Probability of Contact with Infected Person”. De manera similar al caso anterior, esta variable es determinada por la variable de estado “population infected with COVID” dividida por la variable exógena auxiliar “Total Population”

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Esto concluye la especificación de todos los elementos endógenos del modelo. El siguiente paso es especificar los valores de los parámetros (i.e. variables auxiliares exógenas), las condiciones iniciales de las variables de estado, el horizonte temporal de análisis y el método de integración para la simulación.

En nuestro modelo hemos especificado tres parámetros: “Contact Frequency”, “Total Population” e “Infectivity”.

En R podemos especificar los parámetros del modelo empleando un vector como se muestra en la siguiente figura. Nota que el nombre de los parámetros es idéntico al nombre empleando en la especificación descrita en los pasos anteriores. También nota que cada parámetro está asociado a un valor numérico único para el cual correremos el modelo de simulación. Finalmente nota que para cada parámetro se especifican sus unidades de medición.

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

De igual manera podemos emplear un vector en R para definir las condiciones iniciales de cada variable de estado, esto se muestra en la siguiente figura. Nuevamente el nombre de las variables de estado es idéntico al empleado en la especificación de la modelo y cada variable de estado es inicializada a un valor único.

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

Ahora es necesario especificar el vector de tiempo que será usado para simular el modelo. Esta especificación se lleva a cabo como se muestra en la siguiente figura. Nota que para especificar este vector de tiempo empleamos la función seq(). Esta función crea una secuencia numérica y requiere tres parámetros: valor inicial, valor final e intervalo de crecimiento. En nuestro modelo dinámico estos tres parámetros representan el tiempo inicial de la simulación, el tiempo final de la simulación y la resolución temporal de la simulación. Nota que para cada parámetro hemos indicado la unidad de tiempo correspondiente.

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

# importante tener las unidades en las que están nuestros datos.

Aún no discutimos con detalle las propiedades de los diferentes métodos de integración que podemos emplear para simular nuestro modelo. Por lo pronto, para este ejercicio, elegiremos el método Runge-Kutta de Orden 4. El chunk siguiente muestra la forma de especificar este método de integración.

intg.method<-c("rk4")
# hay varios métodos, pero no hace gran cambio, nos podemos quedar con este método

El último paso en el proceso de especificación del modelo es elegir las variables que serán “impresas” por la simulación. Este es un paso muy importante ya que nos permite elegir las variables que deseamos analizar. La figura siguiente muestra la forma de especificar las variables a imprimir por el modelo. Nota que esto es especificado en la última línea de código de la función contiene nuestro modelo dinámico. Nota también que en este caso hemos elegido imprimir sólo las variables de estado y que ambas están precedidas por el signo diferencial “d” y son concatenadas empleando la función c().

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # se imprimen dos VE
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

Esto concluye la especificación del modelo de simulación. El siguiente paso es ejecutar este código y llevar a cabo la simulación. Corre los chunks que contienen la librería deSolve, los vectores que guardamos como parameters, InitialConditions, times e intg.method, y también corre el chunk de la función covid.epidemic.

Una vez realizado esto, en la consola de R ya están cargados tanto el modelo como todos los parámetros necesarios para llevar a cabo la simulación, pero aún no hemos generado datos de la simulación. Para hacer esto, crearemos una base de datos “out” que contiene los resultados de la simulación empleando la función “ode”. Nota que la función “ode” emplea como parámetros de entrada condiciones iniciales de las variables de estado del modelo, el vector de tiempo, la función covid.epidemic que describe nuestro modelo, las variables exógenas (i.e. parámetros) y el método de integración. Todos estos elementos los hemos definido ya en los pasos anteriores.

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

Si has hecho esto correctamente verás un nuevo objeto llamado “out” listado en el panel superior derecho.

El paso final es analizar gráficamente los resultados para esto emplea la función “plot”

plot(out,
     col=c("tomato"))

Preguntas del caso:

4.1. Incluye tu modelo en un sólo chunk de código en el que se utilice la función plot para ver el comportamiento de las variables de estado.

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # se imprimen dos VE
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

4.2. ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación. Al no tener personas infectadas la probabilidad de contagio es 0, entonces no hay personas que se puedan infectar

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 350 ,
                       population.infected.with.COVID = 0)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # se imprimen dos VE
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

4.3. ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero?. El modelo inicia desde otro intercepto de y para cada variable, llega antes a su posible máximo porque inicia con más población

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 330 ,
                       population.infected.with.COVID = 20)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # se imprimen dos VE
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

4.4. ¿Cómo cambia la dinámica del sistema si aumenta el valor del parámetro “Contact Frequency”? ¿El valor de este parámetro modifica el valor final de la variable de estado “Population Infected with COVID”? Explica porque sí o porque no haciendo referencia a la estructura del modelo y a los resultados de la simulación.

Si hay más contact frequency aumentan los contactos susceptibles esto impacta más contactos entre infectados y no infectados. Si esto aumenta aumenta la tasa de infección. Ante mayor tasa de infección hay más infectados en menor tiempo. Por la estructura del modelo se demuestra que el parámetro modifica el ritmo de la epidemia, pero no el estado final de la infección.

4.5. ¿Cómo cambia el comportamiento del modelo si la variable de flujo “Infection Rate” cambia? Sigue los siguientes lineamientos para dar tu respuesta: Responde a esta pregunta describiendo brevemente los cambios que identificas al cambiar el valor de esta variable. Emplea un par de gráficos de comportamiento del modelo para dar soporte a tu respuesta.

Para cambiar infection rate tendría que tener un cambio en infectivity y en contactos entre infectados y no infectados. A una mayor tasa de infección implica una propagación más rápida y un pico de infecciones más agudo, si la infectivity es 0.5 para el mes 10 ya todos están infectados, si la infectivity es 0.9 para el 5 ya están todos infectados.

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             60 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # se imprimen dos VE
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.5, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             60 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, # se imprimen dos VE
           dpopulation.infected.with.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.9, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

4.6. El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas.

El modelo es muy simplista al asumir que los infectados permanecen en ese estado indefinidamente. No se están contemplando procesos como la recuperación o la muerte. Se omite la inclusión de una tasa de recuperación, que permitiría que parte de la población recupere la salud. Tampoco se incluye una tasa de mortalidad que refleje la realidad de la enfermedad. Además, no se considera el tiempo durante el cual los individuos permanecen enfermos, lo que limita la precisión del modelo.

En el punto anterior identificaste algunas suposiciones irrealistas. Las siguientes preguntas tienen como objetivo que explores que sucede cuando se expanda el modelo para atender sus limitaciones.

Hasta el momento hemos asumido que la población se mantiene infectada con el virus COVID de manera indefinida. En epidemiologia esto se conoce como el modelo SI (i.e. Susceptible-Infectious). El modelo SI es apropiado para representar enfermedades crónicas para las que no existe una cura. Sin embargo, en el caso de muchas enfermedades infecciosas, incluyendo COVID, viruela o influenza, las personas infectadas pueden recuperarse o en los casos más lamentables morir.

El siguiente diagrama stock-flow expande la estructura del modelo base para describir el proceso de recuperación de la población infectada con COVID. Esta expansión del modelo en epidemiología es conocida como el modelo SIR (i.e. la “R” indica “Recovery”, explicada en el apartado 9.2.2 del libro de Sterman (2013)). Sigue las instrucciones siguientes para expandir el modelo del tutorial.

Diagrama 2

El diagrama stock-flow muestra que debes agregar tres variables nuevas: una nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, una nueva variable de flujo “Recovery Rate” (por simplicidad no distinguiremos entre los pacientes que se recuperan y aquellos que mueren) y un nuevo parámetro “Average Duration of Infection”.

El parámetro “Average Duration of Infection” indica el tiempo promedio (i.e. en días) que una persona permanece infectada con el virus COVID. Los epidemiólogos estiman que la fase de infección del COVID tiene una duración promedio de 7 a 21 días. Emplea tu criterio para elegir el valor de este parámetro.

Existen muchas formas de modelar la variable de flujo “Recovery Rate” pero la especificación empleada con mayor frecuencia es la siguiente: Recovery Rate=Population Infected with COVID/Average Duration of Infectivity

Para implementar exitosamente esta estructura en el modelo es necesario que especifiques que esta nueva variable de flujo afecta también a la variable de estado existente “Population Infected with COVID” de la siguiente manera (i.e. sintaxis en R):

dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate

También es necesario agregar nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, esto lo puedes lograr empleando la siguiente especificación:

dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate

Recuerda que al agregar una nueva variable de estado es necesario que indiques en el vector de condiciones iniciales el valor inicial de esta variable y también indicar en la última línea de código de la función “covid.epidemic” que esta nueva variable de estado será impresa por la simulación:

list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))

Emplea esta nueva versión del modelo para responder a las siguientes preguntas:

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1,
                       population.recovered.from.COVID = 0)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID/average.duration.of.Infectivity
          
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350,
              average.duration.of.Infectivity = 14) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

4.7. ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo?

La población susceptible transita a ser infectada, pero luego a población recuperada, esto reduce el número de infectados activos a lo largo del tiempo. Como resultado, la epidemia presenta un pico en la cantidad de infectados seguido de un descenso conforme aumenta la población recuperada, así no toda la población se infecta.

4.8. ¿Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”? Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del comportamiento del modelo base.

En el modelo original, al no existir recuperación, toda la población terminaba infectada y el número de infectados se mantenía en ese nivel. Al pasar a un modelo SIR: La curva de infectados alcanza un máximo y luego desciende, no toda la población resulta necesariamente infectada, pues el brote puede frenarse conforme crece el grupo de recuperados, que deja de ser susceptible. Los cambios en Contact Frequency e Infectivity afectan la rapidez y la magnitud del brote, pero ahora la epidemia puede remitir con el tiempo en lugar de “saturar” a toda la población. En estas gráficas vemos la comparación entre el aumento de estas variables y su decremento

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1,
                       population.recovered.from.COVID = 0)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID/average.duration.of.Infectivity
          
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.25, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 10, # people/day
              Total.Population = 350,
              average.duration.of.Infectivity = 14) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1,
                       population.recovered.from.COVID = 0)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID/average.duration.of.Infectivity
          
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate #Stock units: People/time
    
    # el mismo orden que tengas en las VE tiene que estar en la lista y en las condiciones iniciales
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.075, # [1] dimensionless # suele ser %
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350,
              average.duration.of.Infectivity = 14) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic, # cargada toda la interacción de las variables
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("salmon"))

En resumen, aumentar Contact Frequency o Infectivity hace que el brote sea más explosivo, con picos más altos de infectados y en menor tiempo, mientras que reducir esos valores aplana y alarga la curva epidémica. Esto contrasta con el modelo base SI, donde la epidemia no encontraba un punto de remisión, sino que seguía propagándose hasta infectar a toda la población.