Estadística de OpenIntro Cuarta Edición

David Diez Científico de Datos OpenIntro

Mine Çetinkaya-Rundel Profesora Asociada de la Práctica, Universidad de Duke Educadora Profesional, RStudio

Christopher D Barr Analista de Inversiones Varadero Capital

2019. Cuarta Edición. Actualizado: 30 de diciembre de 2024.

Versión traducida automatizadamente mediante el uso de un “Large Language Model” en marzo de 2025. Algunas palabras y términos pueden no ser los más apropiados dentro del contexto estadístico. Prontamente se realizará una revisión preliminar junto a las correcciones

Este libro se puede descargar como un PDF gratuito en openintro.org/book/os. Este libro de texto también está disponible bajo una licencia Creative Commons, con los archivos fuente alojados en Github.

Tabla de Contenidos

1	Introducción a los datos	7
	1.1 Estudio de caso: uso de stents para prevenir accidentes cerebrovasculares .	9
	1.2 Conceptos básicos de datos .	12
	1.3 Principios y estrategias de muestreo .	22
	1.4 Experimentos	32
2	Resumiendo datos	39
	2.1 Examinando datos numéricos	41
	2.2 Considerando datos categóricos	61
	2.3 Estudio de caso: vacuna contra la malaria	71
3	Probabilidad	79
	3.1 Definiendo probabilidad .	81
	3.2 Probabilidad condicional .	95
	3.3 Muestreo de una población pequeña .	112
	3.4 Variables aleatorias	115
	3.5 Distribuciones continuas	125
4	Distribuciones de variables aleatorias	131
	4.1 Distribución normal .	133
	4.2 Distribución geométrica	144
	4.3 Distribución binomial	149
	4.4 Distribución binomial negativa .	158
	4.5 Distribución de Poisson .	163
5	Fundamentos para la inferencia	168
	5.1 Estimaciones puntuales y variabilidad del muestreo	170
	5.2 Intervalos de confianza para una proporción	181
	5.3 Prueba de hipótesis para una proporción	189
6	Inferencia para datos categóricos	206
	6.1 Inferencia para una sola proporción	208
	6.2 Diferencia de dos proporciones .	217
	6.3 Prueba de bondad de ajuste usando chi-cuadrado	229
	6.4 Prueba de independencia en tablas de doble entrada .	240
7	Inferencia para datos numéricos 249
	7.1 Medias de una muestra con la distribución t .	251
	7.2 Datos pareados .	262
	7.3 Diferencia de dos medias .	267
	7.4 Cálculos de potencia para una diferencia de medias .	278
	7.5 Comparando muchas medias con ANOVA	285

8	Introducción a la regresión lineal	303
	8.1 Ajuste de una línea, residuos y correlación .	305
	8.2 Regresión de mínimos cuadrados .	317
	8.3 Tipos de valores atípicos en la regresión lineal .	328
	8.4 Inferencia para la regresión lineal .	331
9	Regresión múltiple y logística
	9.1 Introducción a la regresión múltiple .	343
	9.2 Selección de modelo	353
	9.3 Verificación de las condiciones del modelo usando gráficos .	358
	9.4 Estudio de caso de regresión múltiple: Mario Kart .	365
	9.5 Introducción a la regresión logística	371
A	Soluciones a los ejercicios 384
B	Conjuntos de datos dentro del texto
C	Tablas de distribución 408

Prefacio

OpenIntro Statistics cubre un primer curso de estadística, proporcionando una introducción rigurosa a la estadística aplicada que es clara, concisa y accesible. Este libro fue escrito teniendo en mente el nivel de pregrado, pero también es popular en escuelas secundarias y cursos de posgrado.

Esperamos que los lectores se lleven tres ideas de este libro, además de formar una base de pensamiento y métodos estadísticos.

• La estadística es un campo aplicado con una amplia gama de aplicaciones prácticas.
• No tienes que ser un gurú de las matemáticas para aprender de datos reales e interesantes.
• Los datos son desordenados y las herramientas estadísticas son imperfectas. Pero, cuando comprendes las fortalezas y debilidades de estas herramientas, puedes usarlas para aprender sobre el mundo.

Resumen del libro de texto

Los capítulos de este libro son los siguientes:

• 1. Introducción a los datos. Estructuras de datos, variables y técnicas básicas de recopilación de datos.
• 2. Resumen de datos. Resúmenes de datos, gráficos y un anticipo de la inferencia mediante la aleatorización.
• 3. Probabilidad. Principios básicos de probabilidad.
• 4. Distribuciones de variables aleatorias. El modelo normal y otras distribuciones clave.
• 5. Fundamentos para la inferencia. Ideas generales para la inferencia estadística en el contexto de la estimación de la proporción poblacional.
• 6. Inferencia para datos categóricos. Inferencia para proporciones y tablas utilizando las distribuciones normal y chi-cuadrado.
• 7. Inferencia para datos numéricos. Inferencia para una o dos medias muestrales utilizando la distribución t, potencia estadística para comparar dos grupos y también comparaciones de muchas medias utilizando ANOVA.
• 8. Introducción a la regresión lineal. Regresión para un resultado numérico con una variable predictora. La mayor parte de este capítulo podría cubrirse después del Capítulo 1.
• 9. Regresión múltiple y logística. Regresión para datos numéricos y categóricos utilizando muchos predictores.

OpenIntro Statistics admite flexibilidad en la elección y el orden de los temas. Si el objetivo principal es llegar a la regresión múltiple (Capítulo 9) lo más rápido posible, entonces los siguientes son los requisitos previos ideales:

• Capítulo 1, Secciones 2.1, y Sección 2.2 para una sólida introducción a las estructuras de datos y resúmenes estadísticos que se utilizan en todo el libro.
• Sección 4.1 para una sólida comprensión de la distribución normal.
• Capítulo 5 para establecer el conjunto básico de herramientas de inferencia.
• Sección 7.1 para proporcionar una base para la distribución t
• Capítulo 8 para establecer ideas y principios para la regresión de un solo predictor.

Ejemplos y ejercicios

Se proporcionan ejemplos para establecer una comprensión de cómo aplicar los métodos

EJEMPLO 0.1

Esto es un ejemplo. Cuando se hace una pregunta aquí, ¿dónde se puede encontrar la respuesta?

¡La respuesta se puede encontrar aquí, en la sección de solución del ejemplo!

Cuando creemos que el lector debería estar listo para intentar determinar la solución a un ejemplo, lo enmarcamos como Práctica Guiada.

PRÁCTICA GUIADA 0.2

El lector puede verificar o aprender la respuesta a cualquier problema de Práctica Guiada revisando la solución completa en una nota al pie.1

También se proporcionan ejercicios al final de cada sección, así como ejercicios de repaso al final de cada capítulo. Las soluciones se dan para los ejercicios impares en el Apéndice A.

Recursos adicionales

Videos explicativos, diapositivas, laboratorios de software estadístico, conjuntos de datos utilizados en el libro de texto y mucho más están disponibles en

openintro.org/os

También hemos mejorado la capacidad de acceder a los datos de este libro mediante la adición del Apéndice B, que proporciona información adicional para cada uno de los conjuntos de datos utilizados en el texto principal y es nuevo en la Cuarta Edición. También se proporcionan guías en línea para cada uno de estos conjuntos de datos en openintro.org/data y a través de un paquete complementario de R.

Agradecemos todos los comentarios, así como los informes de cualquier errata a través del sitio web. Un enlace corto para informar de una nueva errata o revisar las erratas conocidas es openintro.org/os/typos.

Para aquellos que se centran en la estadística a nivel de escuela secundaria, consideren Estadística Avanzada para la Escuela Secundaria, que es una versión de OpenIntro Statistics que ha sido ampliamente personalizada por Leah Dorazio para cursos de escuela secundaria y AP® Statistics.

Agradecimientos

Este proyecto no sería posible sin la pasión y dedicación de muchas más personas además de las que figuran en la lista de autores. Los autores desean agradecer al Personal de OpenIntro por su participación y contribuciones continuas. También estamos muy agradecidos a los cientos de estudiantes e instructores que nos han proporcionado valiosos comentarios desde que comenzamos a publicar contenido del libro en 2009.

También queremos agradecer a los muchos profesores que ayudaron a revisar esta edición, incluyendo a Laura Acion, Matthew E. Aiello-Lammens, Jonathan Akin, Stacey C. Behrensmeyer, Juan Gomez, Jo Hardin, Nicholas Horton, Danish Khan, Peter H.M. Klaren, Jesse Mostipak, Jon C. New, Mario Orsi, Steve Phelps, y David Rockoff. Agradecemos todos sus comentarios, que nos ayudaron a ajustar el texto de manera significativa y mejoraron enormemente este libro.

¹Los problemas de Práctica Guiada están destinados a expandir tu pensamiento, y puedes verificar tu respuesta revisando la solución de la nota al pie para cualquier Práctica Guiada.

Capítulo 1

7

Introducción a los datos

• 1.1 Estudio de caso: uso de stents para prevenir accidentes cerebrovasculares
• 1.2 Conceptos básicos de datos
• 1.3 Principios y estrategias de muestreo
• 1.4 Experimentos

Los científicos buscan responder preguntas utilizando métodos rigurosos y observaciones cuidadosas. Estas observaciones, recopiladas de notas de campo, encuestas y experimentos, forman la columna vertebral de una investigación estadística y se denominan datos. La estadística es el estudio de la mejor manera de recopilar, analizar y sacar conclusiones a partir de datos, y en este primer capítulo, nos centraremos tanto en las propiedades de los datos como en la recopilación de datos.

Para videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

1.1 Estudio de caso: uso de stents para prevenir accidentes cerebrovasculares

La sección 1.1 presenta un desafío clásico en estadística: evaluar la eficacia de un tratamiento médico. Los términos de esta sección, y de hecho de gran parte de este capítulo, se revisarán más adelante en el texto. El plan por ahora es simplemente tener una idea del papel que la estadística puede desempeñar en la práctica.

En esta sección consideraremos un experimento que estudia la eficacia de los stents en el tratamiento de pacientes con riesgo de accidente cerebrovascular. Los stents son dispositivos que se colocan dentro de los vasos sanguíneos que ayudan en la recuperación del paciente después de eventos cardíacos y reducen el riesgo de un ataque cardíaco o muerte adicional. Muchos médicos esperaban que hubiera beneficios similares para los pacientes con riesgo de accidente cerebrovascular. Comenzamos escribiendo la pregunta principal que los investigadores esperan responder:

¿El uso de stents reduce el riesgo de accidente cerebrovascular?

Los investigadores que hicieron esta pregunta realizaron un experimento con 451 pacientes en riesgo. Cada paciente voluntario fue asignado aleatoriamente a uno de dos grupos:

Grupo de tratamiento. Los pacientes en el grupo de tratamiento recibieron un stent y manejo médico. El manejo médico incluyó medicamentos, manejo de factores de riesgo y ayuda en la modificación del estilo de vida.

Grupo de control. Los pacientes en el grupo de control recibieron el mismo manejo médico que el grupo de tratamiento, pero no recibieron stents.

Los investigadores asignaron aleatoriamente a 224 pacientes al grupo de tratamiento y a 227 al grupo de control. En este estudio, el grupo de control proporciona un punto de referencia contra el cual podemos medir el impacto médico de los stents en el grupo de tratamiento.

Los investigadores estudiaron el efecto de los stents en dos momentos: 30 días después de la inscripción y 365 días después de la inscripción. Los resultados de 5 pacientes se resumen en la Figura 1.1. Los resultados de los pacientes se registran como “accidente cerebrovascular” o “sin evento”, lo que representa si el paciente tuvo o no un accidente cerebrovascular al final de un período de tiempo.

Paciente	grupo	0-30 días	0-365 días
1	tratamiento	sin evento	sin evento
2	tratamiento	accidente cerebrovascular	accidente cerebrovascular
3	tratamiento	sin evento	sin evento
450	control	sin evento	sin evento
451	control	sin evento	sin evento

Figura 1.1: Resultados de cinco pacientes del estudio de stents.

Considerar los datos de cada paciente individualmente sería un camino largo y engorroso para responder la pregunta de investigación original. En cambio, realizar un análisis de datos estadístico nos permite considerar todos los datos a la vez. La Figura 1.2 resume los datos brutos de una manera más útil. En esta tabla, podemos ver rápidamente lo que sucedió durante todo el estudio. Por ejemplo, para identificar el número de pacientes en el grupo de tratamiento que sufrieron un accidente cerebrovascular en un plazo de 30 días, miramos en el lado izquierdo de la tabla en la intersección del tratamiento y el accidente cerebrovascular: 33.

	0-30 días		0-365 días
	accidente cerebrovascular	sin evento		accidente cerebrovascular	sin evento
tratamiento	33	191		45	179
control	13	214		28	199
Total	46	405		73	378

Figura 1.2: Estadísticas descriptivas para el estudio de stents.

De los 224 pacientes en el grupo de tratamiento, 45 sufrieron un accidente cerebrovascular al final del primer año. Usando estos dos números, calcule la proporción de pacientes en el grupo de tratamiento que sufrieron un accidente cerebrovascular al final de su primer año. (Tenga en cuenta: las respuestas a todos los ejercicios de práctica guiada se proporcionan mediante notas al pie.)1

Podemos calcular estadísticas resumidas de la tabla. Una estadística resumida es un solo número que resume una gran cantidad de datos. Por ejemplo, los resultados principales del estudio después de 1 año podrían describirse mediante dos estadísticas resumidas: la proporción de personas que tuvieron un accidente cerebrovascular en los grupos de tratamiento y control.

Proporción de personas que tuvieron un accidente cerebrovascular en el grupo de tratamiento (stent): 45/224 = 0.20 = 20%.

Proporción de personas que tuvieron un accidente cerebrovascular en el grupo de control: 28/227 = 0.12 = 12%.

Estas dos estadísticas resumidas son útiles para buscar diferencias en los grupos, y nos espera una sorpresa: ¡un 8% adicional de pacientes en el grupo de tratamiento tuvo un accidente cerebrovascular! Esto es importante por dos razones. Primero, es contrario a lo que esperaban los médicos, que era que los stents reducirían la tasa de accidentes cerebrovasculares. En segundo lugar, conduce a una pregunta estadística: ¿muestran los datos una diferencia “real” entre los grupos?

Esta segunda pregunta es sutil. Suponga que lanza una moneda 100 veces. Si bien la probabilidad de que una moneda caiga en cara en cualquier lanzamiento de moneda dado es del 50%, probablemente no observemos exactamente 50 caras. Este tipo de fluctuación es parte de casi cualquier tipo de proceso de generación de datos. Es posible que la diferencia del 8% en el estudio de stents se deba a esta variación natural. Sin embargo, cuanto mayor sea la diferencia que observemos (para un tamaño de muestra particular), menos creíble es que la diferencia se deba al azar. Entonces, lo que realmente estamos preguntando es lo siguiente: ¿es la diferencia tan grande que deberíamos rechazar la noción de que se debió al azar?

Si bien aún no tenemos nuestras herramientas estadísticas para abordar completamente esta pregunta por nuestra cuenta, podemos comprender las conclusiones del análisis publicado: hubo evidencia convincente de daño por stents en este estudio de pacientes con accidente cerebrovascular.

Tenga cuidado: no generalice los resultados de este estudio a todos los pacientes y a todos los stents. Este estudio observó a pacientes con características muy específicas que se ofrecieron como voluntarios para ser parte de este estudio y que pueden no ser representativos de todos los pacientes con accidente cerebrovascular. Además, existen muchos tipos de stents y este estudio solo consideró el stent Wingspan autoexpandible (Boston Scientific). Sin embargo, este estudio nos deja con una lección importante: debemos mantener los ojos abiertos a las sorpresas.

¹La proporción de los 224 pacientes que sufrieron un accidente cerebrovascular en un plazo de 365 días: 45/224 = 0.20.

Fig. 1 El área apropiada

Ejercicios

del oído (que representa el nervio ciático) que es probablemente

consentimiento informado para la participación en el estudio.

antes de aplicar NCT (T0).

123

La intensidad de la migraña se midió por medio de un VAS.

En el grupo A, se eligió un algómetro específico que ejercía una presión máxima de 250 g (SEDATELEC, Francia) para identificar los puntos sensibles con la prueba de dolor-presión (PPT). Cada punto sensible ubicado dentro del área identificada por el estudio piloto (Fig. 1, área M) se probó con NCT durante 10 s comenzando desde el pabellón auricular, que era ipsilateral, hasta el lado de

con dolor de cabeza.

1.1 Migraña y acupuntura, Parte I. Una migraña es un tipo de dolor de cabeza particularmente doloroso, que los pacientes a veces desean tratar con acupuntura. Para determinar si la acupuntura alivia el dolor de la migraña, los investigadores realizaron un estudio controlado aleatorizado donde 89 mujeres diagnosticadas con migrañas fueron asignadas aleatoriamente a uno de dos grupos: tratamiento o control. 43 pacientes en el grupo de tratamiento recibieron acupuntura que está específicamente diseñada para tratar las migrañas. 46 pacientes en el grupo de control recibieron acupuntura placebo (inserción de agujas en ubicaciones que no son puntos de acupuntura). 24 horas después de que los pacientes recibieron acupuntura, se les preguntó si estaban libres de dolor. Los resultados se resumen en la tabla de contingencia a continuación.2 S174 Neurol Sci (2011) 32 (Supl 1):S173–S175

• inapropiado en términos de dar un efecto terapéutico sobre los ataques de migraña, ya que no tiene correlación somatotópica En el grupo B, la rama inferior del antélix fue (a) ¿Qué porcentaje de pacientes en el grupo de tratamiento estaban libres de dolor 24 horas después de recibir acupuntura?
  • probado repetidamente con el algómetro durante unos 30 s para (b) ¿Qué porcentaje estaban libres de dolor en el grupo de control?
  • asegurarse de que no fuera sensible. En los mapas auriculares francés y chino, esta área corresponde a la representación (c) ¿En qué grupo un mayor porcentaje de pacientes se liberó del dolor 24 horas después de recibir acupuntura?
• Materiales y métodos El estudio inscribió a 94 mujeres, diagnosticadas como migraña sin aura según la Clasificación Internacional de Trastornos de Cefalea [5], que posteriormente fueron examinadas en el Centro de Cefaleas de Mujeres, Departamento de Ginecología. del nervio ciático (Fig. 1, área S) y se utiliza específicamente para tratar el dolor ciático. Se insertaron cuatro agujas en esta área, dos para cada oído. En todos los pacientes, la acupuntura auricular siempre fue realizada por un acupunturista experimentado. El análisis de los diarios que recopilaban datos de VAS fue realizado por un (d) Sus hallazgos hasta ahora podrían sugerir que la acupuntura es un tratamiento eficaz para las migrañas para todas las personas que sufren de migrañas. Sin embargo, esta no es la única conclusión posible que se puede extraer en función de sus hallazgos hasta ahora. ¿Cuál es otra posible explicación para la diferencia observada entre los porcentajes de pacientes que están libres de dolor 24 horas después de recibir acupuntura en los dos grupos?

ología y Obstetricia de la Universidad de Turín. Todas fueron incluidas en el estudio durante un ataque de migraña siempre que hubiera comenzado no más de 4 h antes. De acuerdo con una lista de aleatorización hecha por computadora predeterminada, las pacientes elegibles fueron asignadas aleatoria y ciegamente a los dos grupos siguientes: grupo A (n = 46) (edad promedio 35,93 años, rango 15–60), grupo B (n = 48) (edad promedio 33,2 años, rango 16–58). Antes de la inscripción, a cada paciente se le pidió que diera un operador imparcial que no conocía el grupo en el que estaba cada paciente. Los valores promedio de VAS en los grupos A y B se calcularon en los diferentes momentos del estudio, y se realizó una evaluación estadística de las diferencias entre los valores obtenidos en T0, T1, T2, T3 y T4 en los dos grupos estudiados utilizando un análisis de varianza (ANOVA) para medidas repetidas seguido de la prueba t múltiple de Bonferroni para identificar la fuente de varianza. 1.2 Sinusitis y antibióticos, Parte I. Los investigadores que estudiaron el efecto del tratamiento antibiótico para la sinusitis aguda en comparación con los tratamientos sintomáticos asignaron aleatoriamente a 166 adultos diagnosticados con sinusitis aguda a uno de dos grupos: tratamiento o control. Los participantes del estudio recibieron un curso de 10 días de amoxicilina (un antibiótico) o un placebo similar en apariencia y sabor. El placebo consistió en tratamientos sintomáticos como acetaminofeno, descongestionantes nasales, etc. Al final del período de 10 días, se preguntó a los pacientes si experimentaban una mejora en los síntomas. La distribución de las respuestas se resume a continuación.3

	Además, para evaluar la diferencia entre el grupo B y el grupo A, siempre se realizó una prueba t para datos no pareados	Mejora autoinformada
	se realizó para cada nivel de la variable ‘’tiempo’’. En el caso de
		Sí	proporciones, se aplicó una prueba de Chi cuadrado. Todos los análisis No se realizaron utilizando el Paquete Estadístico para lo Social	Total
	Tratamiento	66	19 Software Sciences (SPSS). Todos los valores dados en el	85
Grupo	Control El siguiente texto se informa como media aritmética (±SEM).	65	16	81
	Total	131	35	166

• dolor cefálico prevalente. Si la prueba fue positiva y la reducción fue de al menos el 25% con respecto a la base, una semi-Resultados (a) ¿Qué porcentaje de pacientes en el grupo de tratamiento experimentó una mejora en los síntomas?
• aguja permanente (ASP SEDATELEC, Francia) se insertó después de 1 min. Por el contrario, si el dolor no disminuía Sólo 89 pacientes de todo el grupo de 94 (43 en el grupo A, 46 en el grupo B) completaron el experimento. Cuatro pacientes (b) ¿Qué porcentaje experimentó una mejora en los síntomas en el grupo de control?
• después de 1 min, se desafió un punto sensible adicional en el se retiraron del estudio, porque experimentaron una (c) ¿En qué grupo un mayor porcentaje de pacientes experimentó una mejora en los síntomas?
• misma área y así sucesivamente. Cuando los pacientes se dieron cuenta de una disminución inicial del dolor en todas las zonas de la cabeza afectadas, fueron invitados a usar una tarjeta de diario específica para calificar la intensidad del dolor con un VAS en los siguientes intervalos: después de 10 min (T1), después de 30 min (T2), después de 60 min (T3), después de 120 min (T4) y después de 24 h (T5). exacerbación insoportable del dolor en el período anterior al último control a las 24 h (dos del grupo A y dos del grupo B) y fueron excluidos del análisis estadístico ya que solicitaron la extracción de las agujas. Una paciente del grupo A no dio su consentimiento para el implante de las agujas semipermanentes. En el grupo A, el número medio de (d) Sus hallazgos hasta ahora podrían sugerir una diferencia real en la eficacia de los tratamientos antibióticos y placebo para mejorar los síntomas de la sinusitis. Sin embargo, esta no es la única conclusión posible que se puede extraer en función de sus hallazgos hasta ahora. ¿Cuál es otra posible explicación para la diferencia observada entre los porcentajes de pacientes en los grupos de tratamiento con antibióticos y placebo que experimentan una mejora en los síntomas de la sinusitis?

²G. Allais et al. “Acupuntura auricular en el tratamiento de los ataques de migraña: un ensayo aleatorizado sobre la eficacia de puntos de acupuntura apropiados versus inapropiados”. En: Neurological Sci. 32.1 (2011), pp. 173–175.

³J.M. Garbutt et al. “Amoxicilina para la rinosinusitis aguda: un ensayo controlado aleatorizado”. En: JAMA: The Journal of the American Medical Association 307.7 (2012), pp. 685–692.

1.2 Conceptos básicos de datos

La organización y descripción eficaz de los datos es un primer paso en la mayoría de los análisis. Esta sección presenta la matriz de datos para organizar los datos, así como cierta terminología sobre las diferentes formas de datos que se utilizarán a lo largo de este libro.

1.2.1 Observaciones, variables y matrices de datos

La Figura 1.3 muestra las filas 1, 2, 3 y 50 de un conjunto de datos de 50 préstamos seleccionados aleatoriamente ofrecidos a través de Lending Club, que es una empresa de préstamos entre pares. Estas observaciones se denominarán el conjunto de datos loan50.

Cada fila de la tabla representa un único préstamo. El nombre formal para una fila es caso o unidad observacional. Las columnas representan características, llamadas variables, para cada uno de los préstamos. Por ejemplo, la primera fila representa un préstamo de $22,000 con una tasa de interés del 10.90%, donde el prestatario tiene su sede en Nueva Jersey (NJ) y tiene un ingreso de $59,000.

PRÁCTICA GUIADA 1.2

¿Cuál es la calificación del primer préstamo en la Figura 1.3? ¿Y cuál es el estado de propiedad de la vivienda del prestatario para ese primer préstamo? Para estas preguntas de Práctica Guiada, puedes verificar tu respuesta en la nota al pie.4

En la práctica, es especialmente importante hacer preguntas aclaratorias para asegurar que se comprendan aspectos importantes de los datos. Por ejemplo, siempre es importante asegurarse de que sabemos lo que significa cada variable y las unidades de medida. Las descripciones de las variables loan50 se dan en la Figura 1.4.

	monto del préstamo	tasa de interés	plazo	calificación	estado	ingreso total	propiedad de vivienda
1	22000	10.90	60.00	B	NJ	59000.00	alquiler
2	6000	9.92	36.00	B	CA	60000.00	alquiler
3	25000	26.30	36.00	E	SC	75000.00	hipoteca
50	15000	6.08	36.00	A	TX	77500.00	hipoteca

Figura 1.3: Cuatro filas de la matriz de datos loan50.

variable	descripción
monto del préstamo	Monto del préstamo recibido, en dólares estadounidenses.
tasa de interés	Tasa de interés del préstamo, en un porcentaje anual.
plazo	La duración del préstamo, que siempre se establece como un número entero de meses.
calificación	Calificación del préstamo, que toma valores de A a G y representa la calidad del
	préstamo y su probabilidad de ser pagado.
estado	Estado de EE. UU. donde reside el prestatario.
ingreso total	Ingreso total del prestatario, incluyendo cualquier segundo ingreso, en dólares estadounidenses.
propiedad de vivienda	Indica si la persona posee, posee pero tiene una hipoteca o alquila.

Figura 1.4: Variables y sus descripciones para el conjunto de datos loan50.

Los datos en la Figura 1.3 representan una matriz de datos, que es una forma conveniente y común de organizar los datos, especialmente si se recopilan datos en una hoja de cálculo. Cada fila de una matriz de datos corresponde a un caso único (unidad de observación), y cada columna corresponde a una variable.

⁴La calificación del préstamo es B, y el prestatario alquila su residencia.

1.2. FUNDAMENTOS DE LOS DATOS 13

Al registrar datos, usa una matriz de datos a menos que tengas una muy buena razón para usar una estructura diferente. Esta estructura permite que se agreguen nuevos casos como filas o nuevas variables como nuevas columnas.

PRÁCTICA GUIADA 1.3

Las calificaciones de tareas, cuestionarios y exámenes en un curso a menudo se registran en un libro de calificaciones que toma la forma de una matriz de datos. ¿Cómo podría organizar los datos de las calificaciones utilizando una matriz de datos?5

PRÁCTICA GUIADA 1.4

Consideramos datos de 3142 condados en los Estados Unidos, que incluyen el nombre de cada condado, el estado donde reside, su población en 2017, cómo cambió su población de 2010 a 2017, la tasa de pobreza y seis características adicionales. ¿Cómo se podrían organizar estos datos en una matriz de datos?6

Los datos descritos en la Práctica Guiada 1.4 representan el conjunto de datos del condado, que se muestra como una matriz de datos en la Figura 1.5. Las variables se resumen en la Figura 1.6.

⁵Hay varias estrategias que se pueden seguir. Una estrategia común es que cada estudiante esté representado por una fila y luego agregar una columna para cada tarea, cuestionario o examen. Bajo esta configuración, es fácil revisar una sola línea para comprender el historial de calificaciones de un estudiante. También debe haber columnas para incluir información del estudiante, como una columna para enumerar los nombres de los estudiantes.

⁶Cada condado puede verse como un caso, y hay once datos registrados para cada caso. Una tabla con 3142 filas y 11 columnas podría contener estos datos, donde cada fila representa un condado y cada columna representa una pieza de información particular.

	nombre	estado	pob	cambio pob	pobreza	propiedad de vivienda	unidad múltiple	tasa desempleo	metro	edu mediana	ingreso hogar mediana
1	Autauga	Alabama	55504	1.48	13.7	77.5	7.2	3.86	sí	universidad algunos	55317
2	Baldwin	Alabama	212628	9.19	11.8	76.7	22.6	3.99	sí	universidad algunos	52562
3	Barbour	Alabama	25270	-6.22	27.2	68.0	11.1	5.90	no	diploma hs	33368
4	Bibb	Alabama	22668	0.73	15.2	82.9	6.6	4.39	sí	diploma hs	43404
5	Blount	Alabama	58013	0.68	15.6	82.0	3.7	4.02	sí	diploma hs	47412
6	Bullock	Alabama	10309	-2.28	28.5	76.9	9.9	4.93	no	diploma hs	29655
7	Butler	Alabama	19825	-2.69	24.4	69.0	13.7	5.49	no	diploma hs	36326
8	Calhoun	Alabama	114728	-1.51	18.6	70.7	14.3	4.93	sí	universidad algunos	43686
9	Chambers	Alabama	33713	-1.20	18.8	71.4	8.7	4.08	no	diploma hs	37342
10	Cherokee	Alabama	25857	-0.60	16.1	77.5	4.3	4.05	no	diploma hs	40041
3142	Weston	Wyoming	6927	-2.93	14.4	77.9	6.5	3.98	no	universidad algunos	59605

Figura 1.5: Once filas del conjunto de datos del condado.

variable	descripción
nombre	nombre. Condado
estado	Columbia. de Distrito el o reside, condado el donde Estado
pob	2017. en Población
cambio pob	valor el ejemplo, Por 2017. a 2010 de población la en cambio Porcentaje
	1.48% por incrementado condado este para población la significa fila primera la en 1.48
	2017. a 2010 de
pobreza	pobreza. en población la de Porcentaje
propiedad de vivienda	propietario, el con vive o casa propia su en vive que población la de Porcentaje
	casa. la propia quien padres con viviendo niños p.ej.
unidad múltiple	mentos. aparte p.ej. estructuras, multi-unidad en son que unidades viviendo de Porcentaje
tasa desempleo	porciento. a como tasa Desempleo
metro	área. metropolitana a contiene condado el Si
edu mediana	diploma, hs hs, debajo entre valor a tomar puede que nivel, educación Mediana
	licenciaturas. y universidad, algunos
ingreso hogar mediana	equivale ingreso hogar mayor. a donde 15 condado, quien los ocupantes para ingreso su de hogar ingreso total Mediana el

Figura 1.6: Variables y sus descripciones para el conjunto de datos del condado.

1.2.2 Tipos de variables

Examine las variables tasa de desempleo, población, estado y educación mediana en el conjunto de datos del condado. Cada una de estas variables es inherentemente diferente de las otras tres, pero algunas comparten ciertas características.

Primero considere la tasa de desempleo, que se dice que es una variable numérica ya que puede tomar una amplia gama de valores numéricos, y es sensato sumar, restar o tomar promedios con esos valores. Por otro lado, no clasificaríamos una variable que informa los códigos de área telefónica como numérica, ya que el promedio, la suma y la diferencia de los códigos de área no tienen un significado claro.

La variable de población también es numérica, aunque parece ser un poco diferente de la tasa de desempleo. Esta variable del conteo de la población solo puede tomar números enteros no negativos (0, 1, 2, …). Por esta razón, se dice que la variable de población es discreta, ya que solo puede tomar valores numéricos con saltos. Por otro lado, se dice que la variable de la tasa de desempleo es continua.

La variable estado puede tomar hasta 51 valores después de contabilizar Washington, DC: AL, AK, …, y WY. Debido a que las respuestas en sí mismas son categorías, estado se denomina variable categórica y los valores posibles se denominan niveles de la variable.

Finalmente, considere la variable educación mediana, que describe el nivel de educación mediano de los residentes del condado y toma los valores por debajo de hs, diploma de hs, algo de universidad o licenciatura en cada condado. Esta variable parece ser un híbrido: es una variable categórica, pero los niveles tienen un ordenamiento natural. Una variable con estas propiedades se denomina variable ordinal, mientras que una variable categórica regular sin este tipo de ordenamiento especial se denomina variable nominal. Para simplificar los análisis, cualquier variable ordinal en este libro se tratará como una variable categórica nominal (no ordenada).

Figura 1.7: Desglose de las variables en sus respectivos tipos.

EJEMPLO 1.5

Se recolectaron datos sobre estudiantes en un curso de estadística. Se registraron tres variables para cada estudiante: número de hermanos, altura del estudiante y si el estudiante había tomado previamente un curso de estadística. Clasifique cada una de las variables como numérica continua, numérica discreta o categórica.

El número de hermanos y la altura del estudiante representan variables numéricas. Debido a que el número de hermanos es un conteo, es discreto. La altura varía continuamente, por lo que es una variable numérica continua. La última variable clasifica a los estudiantes en dos categorías: aquellos que han tomado y aquellos que no han tomado un curso de estadística, lo que convierte a esta variable en categórica.

PRÁCTICA GUIADA 1.6

Un experimento está evaluando la efectividad de un nuevo fármaco en el tratamiento de las migrañas. Se utiliza una variable de grupo para indicar el grupo experimental para cada paciente: tratamiento o control. La variable num_migrañas representa el número de migrañas que el paciente experimentó durante un período de 3 meses. Clasifique cada variable como numérica o categórica.7

⁷La variable de grupo solo puede tomar uno de dos nombres de grupo, lo que la convierte en categórica. La variable num_migrañas describe un recuento del número de migrañas, que es un resultado donde la aritmética básica es sensata, lo que significa que este es un resultado numérico; más específicamente, dado que representa un recuento, num_migrañas es una variable numérica discreta.

1.2.3 Relaciones entre variables

Muchos análisis están motivados por un investigador que busca una relación entre dos o más variables. A un científico social le gustaría responder algunas de las siguientes preguntas:

• 1. Si la propiedad de vivienda es inferior al promedio nacional en un condado, ¿el porcentaje de estructuras de unidades múltiples en ese condado tenderá a estar por encima o por debajo del promedio nacional?
• 2. ¿Un aumento superior al promedio en la población del condado tiende a corresponder a condados con ingresos medios del hogar más altos o más bajos?
• 3. ¿Qué tan útil es el nivel de educación medio como predictor del ingreso medio del hogar para los condados de EE. UU.?

Para responder a estas preguntas, se deben recopilar datos, como el conjunto de datos del condado que se muestra en la Figura 1.5. El examen de las estadísticas resumidas podría proporcionar información sobre cada una de las tres preguntas sobre los condados. Además, se pueden utilizar gráficos para explorar visualmente los datos.

Los diagramas de dispersión son un tipo de gráfico que se utiliza para estudiar la relación entre dos variables numéricas. La Figura 1.8 compara las variables propiedad de vivienda y multi_unidad, que es el porcentaje de unidades en estructuras de unidades múltiples (por ejemplo, apartamentos, condominios). Cada punto en el gráfico representa un solo condado. Por ejemplo, el punto resaltado corresponde al condado 413 en el conjunto de datos del condado: el condado de Chattahoochee, Georgia, que tiene el 39,4% de las unidades en estructuras de unidades múltiples y una tasa de propiedad de vivienda del 31,3%. El diagrama de dispersión sugiere una relación entre las dos variables: los condados con una tasa más alta de unidades múltiples tienden a tener tasas de propiedad de vivienda más bajas. Podríamos hacer una lluvia de ideas sobre por qué existe esta relación e investigar cada idea para determinar cuáles son las explicaciones más razonables.

Figura 1.8: Un diagrama de dispersión de la propiedad de vivienda frente al porcentaje de unidades que se encuentran en estructuras de unidades múltiples para los condados de EE. UU. El punto resaltado representa el condado de Chattahoochee, Georgia, que tiene una tasa de unidades múltiples del 39,4% y una tasa de propiedad de vivienda del 31,3%.

Se dice que las tasas de multi_unidad y propiedad de vivienda están asociadas porque el gráfico muestra un patrón discernible. Cuando dos variables muestran alguna conexión entre sí, se denominan variables asociadas. Las variables asociadas también pueden denominarse variables dependientes y viceversa.

Figura 1.9: Un diagrama de dispersión que muestra el cambio de población frente al ingreso medio del hogar. Se destaca el condado de Owsley de Kentucky, que perdió el 3,63% de su población entre 2010 y 2017 y tenía un ingreso medio del hogar de $22,736.

Examine las variables en el conjunto de datos loan50, que se describen en la Figura 1.4 en la página 12. Cree dos preguntas sobre posibles relaciones entre variables en loan50 que sean de su interés.8

EJEMPLO 1.8

Este ejemplo examina la relación entre el cambio de población de un condado desde 2010 a 2017 y el ingreso medio por hogar, que se visualiza como un diagrama de dispersión en la Figura 1.9. ¿Están asociadas estas variables?

Cuanto mayor es el ingreso medio por hogar para un condado, mayor es el crecimiento de la población observado para el condado. Si bien esta tendencia no es cierta para todos los condados, la tendencia en el gráfico es evidente. Dado que existe alguna relación entre las variables, están asociadas.

Debido a que hay una tendencia a la baja en la Figura 1.8 – los condados con más unidades en estructuras de unidades múltiples están asociados con una menor propiedad de vivienda – se dice que estas variables están negativamente asociadas. Se muestra una asociación positiva en la relación entre el ingreso medio por hogar y el cambio de población en la Figura 1.9, donde los condados con un ingreso medio por hogar más alto tienden a tener tasas más altas de crecimiento de la población.

Si dos variables no están asociadas, entonces se dice que son independientes. Es decir, dos variables son independientes si no hay una relación evidente entre las dos.

ASOCIADAS O INDEPENDIENTES, NO AMBAS

Un par de variables están relacionadas de alguna manera (asociadas) o no (independientes). Ningún par de variables es a la vez asociado e independiente.

⁸Dos preguntas de ejemplo: (1) ¿Cuál es la relación entre el monto del préstamo y el ingreso total? (2) Si el ingreso de alguien está por encima del promedio, ¿su tasa de interés tenderá a estar por encima o por debajo del promedio?

1.2.4 Variables explicativas y de respuesta

Cuando hacemos preguntas sobre la relación entre dos variables, a veces también queremos determinar si el cambio en una variable causa un cambio en la otra. Considere la siguiente reformulación de una pregunta anterior sobre el conjunto de datos del condado:

Si hay un aumento en el ingreso medio por hogar en un condado, ¿esto impulsa un aumento en su población?

En esta pregunta, estamos preguntando si una variable afecta a otra. Si esta es nuestra creencia subyacente, entonces el ingreso medio por hogar es la variable explicativa y el cambio de población es la variable de respuesta en la relación hipotética.9

VARIABLES EXPLICATIVAS Y DE RESPUESTA

Cuando sospechamos que una variable podría afectar causalmente a otra, etiquetamos la primera variable como la variable explicativa y la segunda variable como la variable de respuesta.

la variable explicativa podría afectar a la variable de respuesta

Para muchos pares de variables, no existe una relación hipotética, y estas etiquetas no se aplicarían a ninguna de las variables en tales casos.

Tenga en cuenta que el acto de etiquetar las variables de esta manera no garantiza que exista una relación causal. Una evaluación formal para verificar si una variable causa un cambio en otra requiere un experimento.

1.2.5 Introducción a los estudios observacionales y experimentos

Existen dos tipos principales de recolección de datos: estudios observacionales y experimentos.

Los investigadores realizan un estudio observacional cuando recolectan datos de una manera que no interfiere directamente con la forma en que surgen los datos. Por ejemplo, los investigadores pueden recolectar información a través de encuestas, revisar registros médicos o de empresas, o seguir a una cohorte de muchos individuos similares para formular hipótesis sobre por qué podrían desarrollarse ciertas enfermedades. En cada una de estas situaciones, los investigadores simplemente observan los datos que surgen. En general, los estudios observacionales pueden proporcionar evidencia de una asociación natural entre variables, pero no pueden por sí solos mostrar una conexión causal.

Cuando los investigadores quieren investigar la posibilidad de una conexión causal, realizan un experimento. Por lo general, habrá una variable explicativa y una variable de respuesta. Por ejemplo, podemos sospechar que la administración de un fármaco reducirá la mortalidad en pacientes con ataque cardíaco durante el año siguiente. Para verificar si realmente existe una conexión causal entre la variable explicativa y la respuesta, los investigadores recolectarán una muestra de individuos y los dividirán en grupos. A los individuos de cada grupo se les asigna un tratamiento. Cuando los individuos son asignados aleatoriamente a un grupo, el experimento se denomina experimento aleatorizado. Por ejemplo, cada paciente con ataque cardíaco en el ensayo del fármaco podría asignarse aleatoriamente, tal vez lanzando una moneda al aire, en uno de dos grupos: el primer grupo recibe un placebo (tratamiento falso) y el segundo grupo recibe el fármaco. Consulte el estudio de caso en la Sección 1.1 para ver otro ejemplo de un experimento, aunque ese estudio no empleó un placebo.

ASOCIACIÓN ̸= CAUSACIÓN

En general, la asociación no implica causalidad, y la causalidad solo puede inferirse de un experimento aleatorizado.

⁹A veces, la variable explicativa se denomina variable independiente y la variable de respuesta se denomina variable dependiente. Sin embargo, esto se vuelve confuso ya que un par de variables podrían ser independientes o dependientes, por lo que evitamos este lenguaje.

Ejercicios 1.3 Contaminación del aire y resultados del parto, componentes del estudio. Los investigadores recopilaron datos para examinar la relación entre los contaminantes del aire y los partos prematuros en el sur de California. Durante el estudio, los niveles de contaminación del aire se midieron mediante estaciones de monitoreo de la calidad del aire. Específicamente, se registraron los niveles de monóxido de carbono en partes por millón, dióxido de nitrógeno y ozono en partes por cada cien millones, y materia particulada gruesa (PM10) en µg/m³. Los datos de la duración de la gestación se recopilaron en 143.196 partos entre los años 1989 y 1993, y la exposición a la contaminación del aire durante la gestación se calculó para cada parto. El análisis sugirió que el aumento de PM¹⁰ y, en menor medida, las concentraciones de CO pueden estar asociados con la aparición de partos prematuros.10 - (a) Identifique la pregunta de investigación principal del estudio. - (b) ¿Quiénes son los sujetos en este estudio, y cuántos están incluidos? - (c) ¿Cuáles son las variables en el estudio? Identifique cada variable como numérica o categórica. Si numérica, indique si la variable es discreta o continua. Si categórica, indique si la variable es ordinal. 1.4 Método Buteyko, componentes del estudio. El método Buteyko es una técnica de respiración superficial desarrollada por Konstantin Buteyko, un médico ruso, en 1952. La evidencia anecdótica sugiere que el método Buteyko puede reducir los síntomas del asma y mejorar la calidad de vida. En un estudio científico para determinar la efectividad de este método, los investigadores reclutaron a 600 pacientes con asma de entre 18 y 69 años que dependían de la medicación para el tratamiento del asma. Estos pacientes fueron divididos aleatoriamente en dos grupos de investigación: uno practicó el método Buteyko y el otro no. Los pacientes fueron evaluados en calidad de vida, actividad, síntomas de asma y reducción de medicación en una escala del 0 al 10. En promedio, los participantes del grupo Buteyko experimentaron una reducción significativa en los síntomas del asma y una mejora en la calidad de vida.11 - (a) Identifique la pregunta de investigación principal del estudio. - (b) ¿Quiénes son los sujetos en este estudio, y cuántos están incluidos? - (c) ¿Cuáles son las variables en el estudio? Identifique cada variable como numérica o categórica. Si numérica, indique si la variable es discreta o continua. Si categórica, indique si la variable es ordinal. 1.5 Tramposos, componentes del estudio. Los investigadores que estudiaban la relación entre la honestidad, la edad y el autocontrol llevaron a cabo un experimento con 160 niños de entre 5 y 15 años. Los participantes informaron su edad, sexo y si eran hijo único o no. Los investigadores le pidieron a cada niño que lanzara una moneda justa en privado y que registrara el resultado (blanco o negro) en una hoja de papel, y dijeron que solo recompensarían a los niños que informaran blanco. Los hallazgos del estudio se pueden resumir de la siguiente manera: “La mitad de los estudiantes recibieron explícitamente la instrucción de no hacer trampa y los demás no recibieron ninguna instrucción explícita. En el grupo sin instrucciones, la probabilidad de hacer trampa fue uniforme en los grupos según las características del niño. En el grupo que recibió explícitamente la instrucción de no hacer trampa, las niñas fueron menos propensas a hacer trampa, y mientras que la tasa de hacer trampa no varió según la edad para los niños, disminuyó con la edad para las niñas.”12 - (a) Identifique la pregunta de investigación principal del estudio. - (b) ¿Quiénes son los sujetos en este estudio, y cuántos están incluidos? - (c) ¿Cuántas variables se registraron para cada sujeto en el estudio para llegar a estas conclusiones? Indique las variables y sus tipos. 1.6 Ladrones, componentes del estudio. En un estudio sobre la relación entre la clase socioeconómica y el comportamiento poco ético, 129 estudiantes universitarios de la Universidad de California en Berkeley fueron invitados a identificarse como de clase social baja o alta al compararse con otros con el dinero más (menos), la educación más (menos), y los trabajos más (menos) respetados. También se les presentó un frasco de caramelos envueltos individualmente e informaron que los caramelos eran para niños en un laboratorio cercano, pero que podían tomar algunos si querían. Después de completar algunas tareas sin relación, los participantes informaron la cantidad de caramelos que habían tomado.13 - (a) Identifique la pregunta de investigación principal del estudio. - (b) ¿Quiénes son los sujetos en este estudio, y cuántos están incluidos? - (c) El estudio encontró que los estudiantes que se identificaron como de clase alta tomaron más caramelos que otros. ¿Cuántas variables se registraron para cada sujeto en el estudio para llegar a estas conclusiones? Indique las variables y sus tipos. 1.7 Migraña y acupuntura, Parte II. El ejercicio 1.1 introdujo un estudio que exploraba si la acupuntura tenía algún efecto en las migrañas. Los investigadores llevaron a cabo un estudio controlado aleatorio en el que los pacientes fueron asignados aleatoriamente a uno de dos grupos: tratamiento o control. Los pacientes del grupo de tratamiento recibieron acupuntura diseñada específicamente para tratar las migrañas. Los pacientes del grupo de control recibieron acupuntura placebo (inserción de agujas en lugares no acupunturales). 24 horas después de que los pacientes recibieron acupuntura, se les preguntó si estaban libres de dolor. ¿Cuáles son las variables explicativas y de respuesta en este estudio? 1.8 Sinusitis y antibióticos, Parte II. El ejercicio [1.2](#page-10-2] introdujo un estudio que exploraba si los antibióticos tenían algún efecto en la sinusitis. Los investigadores reclutaron a pacientes con sinusitis y los asignaron aleatoriamente a un grupo que recibió antibióticos y a un grupo que recibió un placebo. Después de una semana, los investigadores evaluaron a los pacientes para ver si sus síntomas habían mejorado. ¿Cuáles son las variables explicativas y de respuesta en este estudio? 1.9 El efecto del ejercicio en el estado de ánimo, componentes del estudio. Un investigador está interesado en determinar si el ejercicio afecta el estado de ánimo. El investigador recluta a 30 voluntarios y les pide que informen su estado de ánimo en una escala del 0 al 10, donde 0 es el estado de ánimo más bajo y 10 es el estado de ánimo más alto. Luego, el investigador pide a los participantes que hagan ejercicio durante 30 minutos y luego informa su estado de ánimo nuevamente. ¿Cuál es la variable dependiente en este estudio? 1.10 El efecto de la música en el rendimiento académico, componentes del estudio. Un profesor está interesado en determinar si la música afecta el rendimiento académico. El profesor recluta a 50 estudiantes y les pide que tomen un examen. Luego, el profesor pide a los estudiantes que escuchen música durante 30 minutos y luego les pide que tomen otro examen. ¿Cuál es la variable independiente en este estudio? ¹⁵Centro Nacional de STEM, Grandes conjuntos de datos de stats4schools.

1.2. BASES DE DATOS 21

1.11 Aeropuertos de EE.UU. La visualización a continuación muestra la distribución geográfica de los aeropuertos en los Estados Unidos contiguos y Washington, DC. Esta visualización se construyó a partir de un conjunto de datos donde cada observación es un aeropuerto.16

• 1. Enumere las variables utilizadas para crear esta visualización.
• 2. Indique si cada variable en el estudio es numérica o categórica. Si es numérica, identifique si es continua o discreta. Si es categórica, indique si la variable es ordinal.

1.12 Votos de la ONU. La visualización a continuación muestra los patrones de votación en los Estados Unidos, Canadá y México en la Asamblea General de las Naciones Unidas sobre una variedad de temas. Específicamente, para un año dado entre 1946 y 2015, muestra el porcentaje de votaciones nominales en las que el país votó sí para cada tema. Esta visualización se construyó a partir de un conjunto de datos donde cada observación es un par país/año.17

• 1. Enumere las variables utilizadas para crear esta visualización.
• 2. Indique si cada variable en el estudio es numérica o categórica. Si es numérica, identifique si es continua o discreta. Si es categórica, indique si la variable es ordinal.

¹⁶Administración Federal de Aviación, www.faa.gov/airports/airport safety/airportdata 5010.

¹⁷David Robinson. unvotes: Datos de votación de la Asamblea General de las Naciones Unidas. Paquete R versión 0.2.0. 2017. url: https://CRAN.R-project.org/package=unvotes.

1.3 Principios y estrategias de muestreo

El primer paso para llevar a cabo una investigación es identificar los temas o preguntas que se investigarán. Una pregunta de investigación claramente definida es útil para identificar qué sujetos o casos deben estudiarse y qué variables son importantes. También es importante considerar cómo se recopilan los datos para que sean confiables y ayuden a lograr los objetivos de la investigación.

1.3.1 Poblaciones y muestras

Considera las siguientes tres preguntas de investigación:

• 1. ¿Cuál es el contenido promedio de mercurio en el pez espada en el Océano Atlántico?
• 2. Durante los últimos 5 años, ¿cuál es el tiempo promedio para completar una licenciatura para los estudiantes de Duke?
• 3. ¿Un nuevo fármaco reduce el número de muertes en pacientes con enfermedad cardíaca grave?

Cada pregunta de investigación se refiere a una población objetivo. En la primera pregunta, la población objetivo son todos los peces espada en el Océano Atlántico, y cada pez representa un caso. A menudo, es demasiado costoso recopilar datos para cada caso en una población. En cambio, se toma una muestra. Una muestra representa un subconjunto de los casos y a menudo es una pequeña fracción de la población. Por ejemplo, se podrían seleccionar 60 peces espada (o algún otro número) de la población, y estos datos de muestra podrían usarse para proporcionar una estimación del promedio de la población y responder a la pregunta de investigación.

PRÁCTICA GUIADA 1.9

Para la segunda y tercera pregunta anteriores, identifica la población objetivo y qué representa un caso individual.18

1.3.2 Evidencia anecdótica

Considera las siguientes posibles respuestas a las tres preguntas de investigación:

• 1. Un hombre en las noticias se intoxicó con mercurio por comer pez espada, por lo que la concentración promedio de mercurio en el pez espada debe ser peligrosamente alta.
• 2. Conocí a dos estudiantes que tardaron más de 7 años en graduarse de Duke, por lo que debe tomar más tiempo graduarse en Duke que en muchas otras universidades.
• 3. El papá de mi amigo tuvo un ataque al corazón y murió después de que le dieron un nuevo medicamento para la enfermedad cardíaca, por lo que el medicamento no debe funcionar.

Cada conclusión se basa en datos. Sin embargo, hay dos problemas. Primero, los datos solo representan uno o dos casos. Segundo, y más importante, no está claro si estos casos son realmente representativos de la población. Los datos recopilados de esta manera descuidada se denominan evidencia anecdótica.

EVIDENCIA ANECDÓTICA

Ten cuidado con los datos recopilados de forma descuidada. Tal evidencia puede ser verdadera y verificable, pero solo puede representar casos extraordinarios.

¹⁸(2) La primera pregunta solo es relevante para los estudiantes que completan su título; el promedio no se puede calcular utilizando a un estudiante que nunca terminó su título. Por lo tanto, solo los estudiantes de pregrado de Duke que se graduaron en los últimos cinco años representan casos en la población en consideración. Cada uno de estos estudiantes es un caso individual. (3) Una persona con una enfermedad cardíaca grave representa un caso. La población incluye a todas las personas con una enfermedad cardíaca grave.

Figura 1.10: En febrero de 2010, algunos expertos de los medios citaron una gran tormenta de nieve como evidencia válida contra el calentamiento global. Como señaló el comediante Jon Stewart, “Es una tormenta, en una región, de un país”.

La evidencia anecdótica típicamente se compone de casos inusuales que recordamos en función de sus características sorprendentes. Por ejemplo, es más probable que recordemos a las dos personas que conocimos que tardaron 7 años en graduarse que a las otras seis que se graduaron en cuatro años. En lugar de observar los casos más inusuales, deberíamos examinar una muestra de muchos casos que representen a la población.

1.3.3 Muestreo de una población

Podríamos intentar estimar el tiempo hasta la graduación de los estudiantes de pregrado de Duke en los últimos 5 años recolectando una muestra de estudiantes. Todos los graduados en los últimos 5 años representan la población, y los graduados que son seleccionados para su revisión se denominan colectivamente la muestra. En general, siempre buscamos seleccionar aleatoriamente una muestra de una población. El tipo más básico de selección aleatoria es equivalente a cómo se realizan las rifas. Por ejemplo, al seleccionar graduados, podríamos escribir el nombre de cada graduado en un boleto de rifa y sacar 100 boletos. Los nombres seleccionados representarían una muestra aleatoria de 100 graduados. Elegimos muestras aleatoriamente para reducir la posibilidad de introducir sesgos.

Figura 1.11: En este gráfico, cinco graduados son seleccionados aleatoriamente de la población para ser incluidos en la muestra.

EJEMPLO 1.10

Supongamos que le pedimos a un estudiante que se especializa en nutrición que seleccione a varios graduados para el estudio. ¿Qué tipo de estudiantes crees que podría reunir? ¿Crees que su muestra sería representativa de todos los graduados?

Tal vez elegiría un número desproporcionado de graduados de campos relacionados con la salud. O tal vez su selección sería una buena representación de la población. Al seleccionar muestras a mano, corremos el riesgo de elegir una muestra sesgada, incluso si su sesgo no es intencionado.

Figura 1.12: Si se le pide que elija una muestra de graduados, un estudiante de nutrición podría elegir inadvertidamente un número desproporcionado de graduados de carreras relacionadas con la salud.

Si a alguien se le permitiera elegir exactamente qué graduados se incluyen en la muestra, es muy posible que la muestra se inclinara hacia los intereses de esa persona, lo que puede ser completamente involuntario. Esto introduce sesgo en una muestra. El muestreo aleatorio ayuda a resolver este problema. La muestra aleatoria más básica se llama muestra aleatoria simple, que es equivalente a usar una rifa para seleccionar casos. Esto significa que cada caso en la población tiene la misma probabilidad de ser incluido y no hay una conexión implícita entre los casos en la muestra.

El acto de tomar una muestra aleatoria simple ayuda a minimizar el sesgo. Sin embargo, el sesgo puede surgir de otras maneras. Incluso cuando las personas son elegidas al azar, por ejemplo, para encuestas, se debe tener precaución si la tasa de no respuesta es alta. Por ejemplo, si solo el 30% de las personas seleccionadas al azar para una encuesta responden, entonces no está claro si los resultados son representativos de toda la población. Este sesgo de no respuesta puede sesgar los resultados.

Figura 1.13: Debido a la posibilidad de no respuesta, los estudios de encuestas pueden llegar solo a un cierto grupo dentro de la población. Es difícil, y muchas veces imposible, solucionar por completo este problema.

Otro error común es una muestra de conveniencia, donde los individuos que son fácilmente accesibles tienen más probabilidades de ser incluidos en la muestra. Por ejemplo, si una encuesta política se realiza deteniendo a personas que caminan en el Bronx, esto no representará a toda la ciudad de Nueva York. A menudo es difícil discernir qué subpoblación representa una muestra de conveniencia.

PRÁCTICA GUIADA 1.11

Podemos acceder fácilmente a las calificaciones de productos, vendedores y empresas a través de sitios web. Estas calificaciones se basan únicamente en aquellas personas que se esfuerzan por proporcionar una calificación. Si el 50% de las reseñas en línea de un producto son negativas, ¿cree que esto significa que el 50% de los compradores están insatisfechos con el producto?19

¹⁹Las respuestas variarán. A partir de nuestras propias experiencias anecdóticas, creemos que las personas tienden a despotricar más sobre los productos que no cumplieron con las expectativas que a entusiasmarse con aquellos que funcionan como se esperaba. Por esta razón, sospechamos que existe un sesgo negativo en las calificaciones de productos en sitios como Amazon. Sin embargo, dado que nuestras experiencias pueden no ser representativas, también mantenemos una mente abierta.

1.3.4 Estudios observacionales

Los datos donde no se ha aplicado explícitamente ningún tratamiento (o se ha retenido explícitamente) se denominan datos observacionales. Por ejemplo, los datos de préstamos y los datos del condado descritos en la Sección 1.2 son ejemplos de datos observacionales. Hacer conclusiones causales basadas en experimentos suele ser razonable. Sin embargo, hacer las mismas conclusiones causales basadas en datos observacionales puede ser traicionero y no se recomienda. Por lo tanto, los estudios observacionales generalmente solo son suficientes para mostrar asociaciones o formar hipótesis que luego verificamos utilizando experimentos.

PRÁCTICA GUIADA 1.12

Supongamos que un estudio observacional rastreó el uso de protector solar y el cáncer de piel, y se descubrió que cuanto más protector solar usaba alguien, más probable era que la persona tuviera cáncer de piel. ¿Significa esto que el protector solar causa cáncer de piel?20

Algunas investigaciones previas nos dicen que usar protector solar en realidad reduce el riesgo de cáncer de piel, por lo que tal vez haya otra variable que pueda explicar esta hipotética asociación entre el uso de protector solar y el cáncer de piel. Una pieza importante de información que está ausente es la exposición al sol. Si alguien está expuesto al sol todo el día, es más probable que use protector solar y que le dé cáncer de piel. La exposición al sol no se tiene en cuenta en la simple investigación.

La exposición al sol es lo que se llama una variable de confusión,21 que es una variable que está correlacionada tanto con las variables explicativas como con las variables de respuesta. Si bien un método para justificar la elaboración de conclusiones causales a partir de estudios observacionales es agotar la búsqueda de variables de confusión, no hay garantía de que todas las variables de confusión puedan examinarse o medirse.

PRÁCTICA GUIADA 1.13

La Figura 1.8 muestra una asociación negativa entre la tasa de propiedad de vivienda y el porcentaje de estructuras de unidades múltiples en un condado. Sin embargo, no es razonable concluir que existe una relación causal entre las dos variables. Sugiera una variable que pueda explicar la relación negativa.22

Los estudios observacionales se presentan en dos formas: estudios prospectivos y retrospectivos. Un estudio prospectivo identifica a los individuos y recopila información a medida que se desarrollan los eventos. Por ejemplo, los investigadores médicos pueden identificar y seguir a un grupo de pacientes durante muchos años para evaluar las posibles influencias del comportamiento en el riesgo de cáncer. Un ejemplo de tal estudio es el Estudio de Salud de las Enfermeras, que comenzó en 1976 y se amplió en 1989. Este estudio prospectivo recluta enfermeras registradas y luego recopila datos de ellas mediante cuestionarios. Los estudios retrospectivos recopilan datos después de que los eventos han tenido lugar, por ejemplo, los investigadores pueden revisar eventos pasados ​​en registros médicos. Algunos conjuntos de datos pueden contener variables recopiladas tanto prospectiva como retrospectivamente.

1.3.5 Cuatro métodos de muestreo

Casi todos los métodos estadísticos se basan en la noción de aleatoriedad implícita. Si los datos observacionales no se recopilan de un marco aleatorio de una población, estos métodos estadísticos – las estimaciones y los errores asociados con las estimaciones – no son confiables. Aquí consideramos cuatro técnicas de muestreo aleatorio: muestreo simple, estratificado, por conglomerados y multietápico. Las figuras 1.14 y 1.15 proporcionan representaciones gráficas de estas técnicas.

²⁰No. Consulte el párrafo posterior al ejercicio para obtener una explicación.

²¹También llamada variable latente, factor de confusión o confusor.

²²Las respuestas variarán. La densidad de población puede ser importante. Si un condado es muy denso, esto puede requerir que una mayor fracción de residentes viva en estructuras de varias unidades. Además, la alta densidad puede contribuir al aumento del valor de las propiedades, lo que hace que la propiedad de la vivienda sea inviable para muchos residentes.

Figura 1.14: Ejemplos de muestreo aleatorio simple y estratificado. En el panel superior, se utilizó el muestreo aleatorio simple para seleccionar aleatoriamente los 18 casos. En el panel inferior, se utilizó el muestreo estratificado: los casos se agruparon en estratos, luego se empleó el muestreo aleatorio simple dentro de cada estrato.

1.3. PRINCIPIOS Y ESTRATEGIAS DE MUESTREO 27

El muestreo aleatorio simple es probablemente la forma más intuitiva de muestreo aleatorio. Considere los salarios de los jugadores de las Grandes Ligas de Béisbol (MLB), donde cada jugador es miembro de uno de los 30 equipos de la liga. Para tomar una muestra aleatoria simple de 120 jugadores de béisbol y sus salarios, podríamos escribir los nombres de los varios cientos de jugadores de esa temporada en trozos de papel, dejar caer los trozos en un balde, agitar el balde hasta que estemos seguros de que los nombres están mezclados, luego sacar los trozos hasta que tengamos la muestra de 120 jugadores. En general, una muestra se conoce como “aleatoria simple” si cada caso en la población tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra final y saber que un caso está incluido en una muestra no proporciona información útil sobre qué otros casos están incluidos.

El muestreo estratificado es una estrategia de muestreo de divide y vencerás. La población se divide en grupos llamados estratos. Los estratos se eligen de modo que los casos similares se agrupen, luego se emplea un segundo método de muestreo, generalmente el muestreo aleatorio simple, dentro de cada estrato. En el ejemplo del salario del béisbol, los equipos podrían representar los estratos, ya que algunos equipos tienen mucho más dinero (¡hasta 4 veces más!). Entonces podríamos muestrear aleatoriamente a 4 jugadores de cada equipo para un total de 120 jugadores.

El muestreo estratificado es especialmente útil cuando los casos en cada estrato son muy similares con respecto al resultado de interés. La desventaja es que analizar datos de una muestra estratificada es una tarea más compleja que analizar datos de una muestra aleatoria simple. Los métodos de análisis introducidos en este libro deberían ampliarse para analizar los datos recopilados mediante el muestreo estratificado.

EJEMPLO 1.14

¿Por qué sería bueno que los casos dentro de cada estrato fueran muy similares?

Podríamos obtener una estimación más estable para la subpoblación en un estrato si los casos son muy similares, lo que conduciría a estimaciones más precisas dentro de cada grupo. Cuando combinamos estas estimaciones en una sola estimación para la población completa, esa estimación de la población tenderá a ser más precisa, ya que cada estimación de grupo individual es en sí misma más precisa.

En un muestreo por conglomerados, dividimos la población en muchos grupos, llamados conglomerados. Luego muestreamos un número fijo de conglomerados e incluimos todas las observaciones de cada uno de esos conglomerados en la muestra. Un muestreo multietápico es como un muestreo por conglomerados, pero en lugar de mantener todas las observaciones en cada conglomerado, recopilamos una muestra aleatoria dentro de cada conglomerado seleccionado.

A veces, el muestreo por conglomerados o multietápico puede ser más económico que las técnicas de muestreo alternativas. Además, a diferencia del muestreo estratificado, estos enfoques son más útiles cuando hay mucha variabilidad de caso a caso dentro de un conglomerado, pero los conglomerados en sí mismos no se ven muy diferentes entre sí. Por ejemplo, si los vecindarios representaran conglomerados, entonces el muestreo por conglomerados o multietápico funciona mejor cuando los vecindarios son muy diversos. Una desventaja de estos métodos es que normalmente se requieren técnicas más avanzadas para analizar los datos, aunque los métodos de este libro se pueden ampliar para manejar tales datos.

EJEMPLO 1.15

Supongamos que estamos interesados en estimar la tasa de malaria en una porción densamente tropical de la Indonesia rural. Nos enteramos de que hay 30 aldeas en esa parte de la jungla indonesia, cada una más o menos similar a la siguiente. Nuestro objetivo es examinar a 150 personas para detectar malaria. ¿Qué método de muestreo se debe emplear?

Un muestreo aleatorio simple probablemente extraerá individuos de las 30 aldeas, lo que podría hacer que la recopilación de datos sea extremadamente costosa. El muestreo estratificado sería un desafío ya que no está claro cómo construiríamos estratos de individuos similares. Sin embargo, el muestreo por conglomerados o el muestreo multietápico parecen ser muy buenas ideas. Si decidiéramos utilizar el muestreo multietápico, podríamos seleccionar aleatoriamente la mitad de las aldeas y luego seleccionar aleatoriamente a 10 personas de cada una. Esto probablemente reduciría sustancialmente nuestros costos de recopilación de datos en comparación con un muestreo aleatorio simple, y el muestreo por conglomerados aún nos brindaría información confiable, incluso si tuviéramos que analizar los datos con métodos un poco más avanzados de los que discutimos en este libro.

Figura 1.15: Ejemplos de muestreo por conglomerados y multietápico. En el panel superior, se utilizó el muestreo por conglomerados: los datos se agruparon en nueve conglomerados, se muestrearon tres de estos conglomerados y se incluyeron todas las observaciones dentro de estos tres conglomerados en la muestra. En el panel inferior, se utilizó el muestreo multietápico, que difiere del muestreo por conglomerados solo en que seleccionamos aleatoriamente un subconjunto de cada conglomerado para incluirlo en la muestra en lugar de medir cada caso en cada conglomerado muestreado.

1.4.1 Principios del diseño experimental

Los experimentos aleatorizados generalmente se basan en cuatro principios.

• Control. Los investigadores asignan tratamientos a los casos y hacen todo lo posible para controlar cualquier otra diferencia en los grupos.27 Por ejemplo, cuando los pacientes toman un medicamento en forma de píldora, algunos pacientes toman la píldora con solo un sorbo de agua, mientras que otros pueden tomarla con un vaso entero de agua. Para controlar el efecto del consumo de agua, un médico puede pedir a todos los pacientes que beban un vaso de 12 onzas de agua con la píldora.
• Aleatorización. Los investigadores aleatorizan a los pacientes en grupos de tratamiento para tener en cuenta las variables que no se pueden controlar. Por ejemplo, algunos pacientes pueden ser más susceptibles a una enfermedad que otros debido a sus hábitos alimenticios. La aleatorización de los pacientes en el grupo de tratamiento o control ayuda a igualar tales diferencias y también evita que sesgos accidentales entren en el estudio.
• Réplica. Cuantos más casos observen los investigadores, con mayor precisión podrán estimar el efecto de la variable explicativa sobre la respuesta. En un solo estudio, replicamos recogiendo una muestra suficientemente grande. Además, un grupo de científicos puede replicar un estudio completo para verificar un hallazgo anterior.
• Bloqueo. Los investigadores a veces saben o sospechan que variables, además del tratamiento, influyen en la respuesta. En estas circunstancias, primero pueden agrupar a los individuos en función de esta variable en bloques y luego aleatorizar los casos dentro de cada bloque a los grupos de tratamiento. Esta estrategia se conoce a menudo como bloqueo. Por ejemplo, si estamos observando el efecto de un fármaco en los ataques cardíacos, podríamos primero dividir a los pacientes en el estudio en bloques de bajo riesgo y alto riesgo, luego asignar aleatoriamente la mitad de los pacientes de cada bloque al grupo de control y la otra mitad al grupo de tratamiento, como se muestra en la Figura 1.16. Esta estrategia asegura que cada grupo de tratamiento tenga un número igual de pacientes de bajo riesgo y alto riesgo.

Es importante incorporar los tres primeros principios del diseño experimental en cualquier estudio, y este libro describe los métodos aplicables para analizar los datos de tales experimentos. El bloqueo es una técnica un poco más avanzada, y los métodos estadísticos de este libro pueden extenderse para analizar los datos recogidos mediante el bloqueo.

1.4.2 Reducción del sesgo en experimentos con humanos

Los experimentos aleatorizados son el estándar de oro para la recogida de datos, pero no garantizan una perspectiva imparcial sobre la relación causa y efecto en todos los casos. Los estudios en humanos son ejemplos perfectos donde el sesgo puede surgir sin querer. Aquí reconsideramos un estudio donde se utilizó un nuevo fármaco para tratar a pacientes con ataques cardíacos. En particular, los investigadores querían saber si el fármaco reducía las muertes en los pacientes.

Estos investigadores diseñaron un experimento aleatorizado porque querían sacar conclusiones causales sobre el efecto del fármaco. Los voluntarios del estudio28 fueron colocados aleatoriamente en dos grupos de estudio. Un grupo, el grupo de tratamiento, recibió el fármaco. El otro grupo, llamado grupo de control, no recibió ningún tratamiento farmacológico.

²⁷Este es un concepto diferente al de un grupo de control, que discutimos en el segundo principio y en la Sección 1.4.2. ²⁸Los sujetos humanos a menudo se llaman pacientes, voluntarios o participantes del estudio.

Figura 1.16: Bloqueo usando una variable que representa el riesgo del paciente. Los pacientes se dividen primero en bloques de bajo riesgo y alto riesgo, luego cada bloque se separa uniformemente en los grupos de tratamiento utilizando la aleatorización. Esta estrategia asegura una representación igual de pacientes en cada grupo de tratamiento tanto de las categorías de bajo riesgo como de alto riesgo.

Ponte en el lugar de una persona en el estudio. Si estás en el grupo de tratamiento, te dan un nuevo fármaco elegante que esperas que te ayude. Por otro lado, una persona en el otro grupo no recibe el fármaco y se sienta ociosamente, esperando que su participación no aumente su riesgo de muerte. Estas perspectivas sugieren que en realidad hay dos efectos: el de interés es la efectividad del fármaco, y el segundo es un efecto emocional que es difícil de cuantificar.

Los investigadores no suelen estar interesados en el efecto emocional, que podría sesgar el estudio. Para evitar este problema, los investigadores no quieren que los pacientes sepan en qué grupo están. Cuando los investigadores mantienen a los pacientes desinformados sobre su tratamiento, se dice que el estudio es ciego. Pero hay un problema: si un paciente no recibe un tratamiento, sabrá que está en el grupo de control. La solución a este problema es dar tratamientos falsos a los pacientes en el grupo de control. Un tratamiento falso se llama placebo, y un placebo efectivo es la clave para hacer un estudio verdaderamente ciego. Un ejemplo clásico de un placebo es una píldora de azúcar que está hecha para parecerse a la píldora de tratamiento real. A menudo, un placebo resulta en una mejora leve pero real en los pacientes. Este efecto se ha denominado el efecto placebo.

Los pacientes no son los únicos que deben estar cegados: los médicos e investigadores pueden sesgar accidentalmente un estudio. Cuando un médico sabe que a un paciente se le ha dado el tratamiento real, podría inadvertidamente darle a ese paciente más atención o cuidado que a un paciente que sabe que está tomando el placebo. Para protegerse contra este sesgo, que de nuevo se ha encontrado que tiene un efecto medible en algunos casos, la mayoría de los estudios modernos emplean una configuración doble ciego donde los médicos o investigadores que interactúan con los pacientes son, al igual que los pacientes, desconocedores de quién está o no recibiendo el tratamiento.29

PRÁCTICA GUIADA 1.16

Vuelve al estudio de la Sección 1.1 donde los investigadores estaban probando si los stents eran eficaces para reducir los accidentes cerebrovasculares en pacientes de riesgo. ¿Es esto un experimento? ¿Estaba cegado el estudio? ¿Fue doble ciego?30

PRÁCTICA GUIADA 1.17

Para el estudio de la Sección 1.1, ¿podrían los investigadores haber empleado un placebo? Si es así, ¿cómo habría sido ese placebo?31

Es posible que tengas muchas preguntas sobre la ética de las cirugías simuladas para crear un placebo después de leer la Práctica Guiada 1.17. Estas preguntas pueden incluso haber surgido en tu mente cuando en el contexto general del experimento, donde un tratamiento posiblemente útil fue retenido de los individuos en el grupo de control; la principal diferencia es que una cirugía simulada tiende a crear un riesgo adicional, mientras que la retención de un tratamiento sólo mantiene el riesgo de una persona.

Siempre hay múltiples puntos de vista de los experimentos y placebos, y rara vez es obvio cuál es éticamente “correcto”. Por ejemplo, ¿es ético usar una cirugía simulada cuando crea un riesgo para el paciente? Sin embargo, si no usamos cirugías simuladas, podemos promover el uso de un tratamiento costoso que no tiene ningún efecto real; si esto sucede, el dinero y otros recursos se desviarán de otros tratamientos que se sabe que son útiles. En última instancia, esta es una situación difícil donde no podemos proteger perfectamente tanto a los pacientes que se han ofrecido voluntariamente para el estudio como a los pacientes que pueden beneficiarse (o no) del tratamiento en el futuro.

²⁹Siempre hay algunos investigadores involucrados en el estudio que sí saben qué pacientes están recibiendo qué tratamiento. Sin embargo, no interactúan con los pacientes del estudio y no les dicen a los profesionales de la salud cegados quién está recibiendo qué tratamiento.

³⁰Los investigadores asignaron a los pacientes a sus grupos de tratamiento, por lo que este estudio fue un experimento. Sin embargo, los pacientes podían distinguir qué tratamiento recibieron, por lo que este estudio no fue ciego. El estudio no pudo ser doble ciego ya que no fue ciego.

³¹En última instancia, ¿podemos hacer que los pacientes piensen que fueron tratados por una cirugía? De hecho, podemos, y algunos experimentos utilizan lo que se llama una cirugía simulada. En una cirugía simulada, el paciente sí se somete a una cirugía, pero el paciente no recibe el tratamiento completo, aunque todavía obtendrá un efecto placebo.

Ejercicios

1.29 Luz y rendimiento en exámenes. Se diseña un estudio para probar el efecto del nivel de luz en el rendimiento en exámenes de los estudiantes. El investigador cree que los niveles de luz podrían tener diferentes efectos en hombres y mujeres, por lo que quiere asegurarse de que ambos estén representados por igual en cada tratamiento. Los tratamientos son iluminación fluorescente cenital, iluminación amarilla cenital y sin iluminación cenital (solo lámparas de escritorio).

• 1. ¿Cuál es la variable de respuesta?
• 2. ¿Cuál es la variable explicativa? ¿Cuáles son sus niveles?
• 3. ¿Cuál es la variable de bloqueo? ¿Cuáles son sus niveles?

1.30 Suplementos vitamínicos. Para evaluar la eficacia de tomar grandes dosis de vitamina C para reducir la duración del resfriado común, los investigadores reclutaron a 400 voluntarios sanos entre el personal y los estudiantes de una universidad. A una cuarta parte de los pacientes se les asignó un placebo, y el resto se dividió equitativamente entre 1 g de vitamina C, 3 g de vitamina C o 3 g de vitamina C más aditivos para tomar al inicio de un resfriado durante los dos días siguientes. Todas las pastillas tenían una apariencia y un embalaje idénticos. Las enfermeras que entregaron las píldoras recetadas a los pacientes sabían qué paciente recibió qué tratamiento, pero los investigadores que evaluaron a los pacientes cuando estaban enfermos no lo sabían. No se observaron diferencias significativas en ninguna medida de la duración o gravedad del resfriado entre los cuatro grupos, y el grupo placebo tuvo la duración más corta de los síntomas.32

• 1. ¿Fue esto un experimento o un estudio observacional? ¿Por qué?
• 2. ¿Cuáles son las variables explicativas y de respuesta en este estudio?
• 3. ¿Se cegó a los pacientes a su tratamiento?
• 4. ¿Fue este estudio doble ciego?
• 5. En última instancia, los participantes pueden elegir si usar o no las píldoras que se les recetaron. Podríamos esperar que no todos se adhieran y tomen sus píldoras. ¿Introduce esto una variable de confusión en el estudio? Explica tu razonamiento.

1.31 Luz, ruido y rendimiento en exámenes. Se diseña un estudio para probar el efecto del nivel de luz y el nivel de ruido en el rendimiento en exámenes de los estudiantes. El investigador cree que los niveles de luz y ruido podrían tener diferentes efectos en hombres y mujeres, por lo que quiere asegurarse de que ambos estén representados por igual en cada tratamiento. Los tratamientos de luz considerados son iluminación fluorescente cenital, iluminación amarilla cenital y sin iluminación cenital (solo lámparas de escritorio). Los tratamientos de ruido considerados son sin ruido, ruido de construcción y ruido de conversación humana.

• 1. ¿Qué tipo de estudio es este?
• 2. ¿Cuántos factores se consideran en este estudio? Identifíquelos y describa sus niveles.
• 3. ¿Cuál es el papel de la variable sexo en este estudio?

1.32 Música y aprendizaje. Le gustaría realizar un experimento en clase para ver si los estudiantes aprenden mejor si estudian sin música, con música sin letra (instrumental) o con música con letra. Describa brevemente un diseño para este estudio.

1.33 Preferencia por los refrescos. Le gustaría realizar un experimento en clase para ver si sus compañeros de clase prefieren el sabor de la Coca-Cola normal o la Coca-Cola Light. Describa brevemente un diseño para este estudio.

1.34 Ejercicio y salud mental. Un investigador está interesado en los efectos del ejercicio en la salud mental y propone el siguiente estudio: Utilizar un muestreo aleatorio estratificado para asegurar proporciones representativas de personas de 18-30, 31-40 y 41-55 años de la población. A continuación, asignar aleatoriamente a la mitad de los sujetos de cada grupo de edad a hacer ejercicio dos veces por semana, e instruir al resto para que no hagan ejercicio. Realizar un examen de salud mental al principio y al final del estudio, y comparar los resultados.

• 1. ¿Qué tipo de estudio es este?
• 2. ¿Cuáles son los grupos de tratamiento y control en este estudio?
• 3. ¿Este estudio utiliza el bloqueo? Si es así, ¿cuál es la variable de bloqueo?
• 4. ¿Este estudio utiliza el cegamiento?
• 5. Comente si los resultados del estudio pueden utilizarse para establecer una relación causal entre el ejercicio y la salud mental, e indique si las conclusiones pueden generalizarse a la población en general.
• 6. Supongamos que se le encarga la tarea de determinar si este estudio propuesto debe recibir financiación. ¿Tendría alguna reserva sobre la propuesta de estudio?

³²C. Audera et al. “Mega-dose vitamin C in treatment of the common cold: a randomised controlled trial”. En: Medical Journal of Australia 175.7 (2001), pp. 359–362.

Ejercicios del Capítulo

1.35 Nombres de mascotas. La ciudad de Seattle, WA tiene un portal de datos abiertos que incluye mascotas registradas en la ciudad. Para cada mascota registrada, tenemos información sobre el nombre y la especie de la mascota. La siguiente visualización grafica la proporción de perros con un nombre dado versus la proporción de gatos con el mismo nombre. Se muestran los 20 nombres de gatos y perros más comunes. La línea diagonal en el gráfico es la línea x = y; si un nombre apareciera en esta línea, la popularidad del nombre sería exactamente la misma para perros y gatos.

• 1. ¿Estos datos se recopilaron como parte de un experimento o de un estudio observacional?
• 2. ¿Cuál es el nombre de perro más común? ¿Cuál es el nombre de gato más común?
• 3. ¿Qué nombres son más comunes para gatos que para perros?
• 4. ¿La relación entre las dos variables es positiva o negativa? ¿Qué significa esto en el contexto de los datos?

1.36 Estresado, Parte II. En un estudio que evalúa la relación entre el estrés y los calambres musculares, la mitad de los sujetos son asignados aleatoriamente a ser expuestos a un aumento del estrés al ser colocados en un ascensor que cae rápidamente y se detiene abruptamente y la otra mitad se deja sin estrés o con estrés basal.

• 1. ¿Qué tipo de estudio es este?
• 2. ¿Se puede utilizar este estudio para concluir una relación causal entre el aumento del estrés y los calambres musculares?

1.37 Semillas de chía y pérdida de peso. Chia Pets – esas figuritas de terracota a las que les brota un cabello verde y difuso – hicieron de la planta de chía un nombre familiar. Pero la chía ha ganado una reputación completamente nueva como suplemento dietético. En un estudio de 2009, un equipo de investigadores reclutó a 38 hombres y los dividió aleatoriamente en dos grupos: tratamiento o control. También reclutaron a 38 mujeres y asignaron aleatoriamente a la mitad de estas participantes al grupo de tratamiento y a la otra mitad al grupo de control. Un grupo recibió 25 gramos de semillas de chía dos veces al día y el otro recibió un placebo. Los sujetos se ofrecieron voluntariamente a participar en el estudio. Después de 12 semanas, los científicos no encontraron diferencias significativas entre los grupos en el apetito o la pérdida de peso.33

• 1. ¿Qué tipo de estudio es este?
• 2. ¿Cuáles son los tratamientos experimentales y de control en este estudio?
• 3. ¿Se ha utilizado el bloqueo en este estudio? Si es así, ¿cuál es la variable de bloqueo?
• 4. ¿Se ha utilizado el cegamiento en este estudio?
• 5. Comente si podemos o no hacer una declaración causal e indique si podemos o no generalizar la conclusión a la población en general.

1.38 Encuesta del consejo municipal. Un consejo municipal ha solicitado que se realice una encuesta de hogares en una zona suburbana de su ciudad. La zona se divide en muchos barrios distintos y únicos, algunos con casas grandes, otros solo con apartamentos y otros con una mezcla diversa de estructuras de vivienda. Para cada parte a continuación, identifique los métodos de muestreo descritos y describa los pros y los contras estadísticos del método en el contexto de la ciudad.

• 1. Muestrear aleatoriamente 200 hogares de la ciudad.
• 2. Dividir la ciudad en 20 barrios y muestrear 10 hogares de cada barrio.
• 3. Dividir la ciudad en 20 barrios, muestrear aleatoriamente 3 barrios y luego muestrear todos los hogares de esos 3 barrios.
• 4. Dividir la ciudad en 20 barrios, muestrear aleatoriamente 8 barrios y luego muestrear aleatoriamente 50 hogares de esos barrios.
• 5. Muestrear los 200 hogares más cercanos a las oficinas del consejo municipal.

³³D.C. Nieman et al. “La semilla de chía no promueve la pérdida de peso ni altera los factores de riesgo de enfermedad en adultos con sobrepeso”. En: Nutrition Research 29.6 (2009), pp. 414–418.

1.4. EXPERIMENTOS 37

1.39 Razonamiento defectuoso. Identifique la(s) falla(s) en el razonamiento en los siguientes escenarios. Explique qué deberían haber hecho de manera diferente los individuos en el estudio si querían sacar conclusiones tan fuertes.

• 1. A los estudiantes de una escuela primaria se les entrega un cuestionario que se les pide que devuelvan después de que sus padres lo hayan completado. Una de las preguntas formuladas es: “¿Considera que su horario de trabajo le dificulta pasar tiempo con sus hijos después de la escuela?” De los padres que respondieron, el 85% dijo “no”. Con base en estos resultados, los funcionarios de la escuela concluyen que una gran mayoría de los padres no tienen dificultad para pasar tiempo con sus hijos después de la escuela.
• 2. Se realiza una encuesta en una muestra aleatoria simple de 1,000 mujeres que recientemente dieron a luz, preguntándoles si fumaron o no durante el embarazo. Una encuesta de seguimiento que pregunta si los niños tienen problemas respiratorios se lleva a cabo 3 años después. Sin embargo, solo se localiza a 567 de estas mujeres en la misma dirección. El investigador informa que estas 567 mujeres son representativas de todas las madres.
• 3. Un ortopedista administra un cuestionario a 30 de sus pacientes que no tienen ningún problema articular y encuentra que 20 de ellos corren con regularidad. Concluye que correr disminuye el riesgo de problemas articulares.

1.40 Ingresos y educación en los condados de EE. UU. El diagrama de dispersión a continuación muestra la relación entre el ingreso per cápita (en miles de dólares) y el porcentaje de población con una licenciatura en 3,143 condados en los EE. UU. en 2010.

• 1. ¿Cuáles son las variables explicativa y de respuesta?
• 2. Describe la relación entre las dos variables. Asegúrese de discutir las observaciones inusuales, si las hay.
• 3. ¿Podemos concluir que tener una licenciatura aumenta los ingresos de uno?

1.41 ¿Comer mejor, sentirse mejor? En un estudio de salud pública sobre los efectos del consumo de frutas y verduras en el bienestar psicológico en adultos jóvenes, los participantes fueron asignados aleatoriamente a tres grupos: (1) dietas habituales, (2) una intervención ecológica momentánea que involucraba recordatorios por mensaje de texto para aumentar su consumo de frutas y verduras más un vale para comprarlas, o (3) una intervención de frutas y verduras en la que se les daba a los participantes dos porciones diarias adicionales de frutas y verduras frescas para consumir además de su dieta normal. Se les pidió a los participantes que realizaran una encuesta nocturna en sus teléfonos inteligentes. Los participantes fueron estudiantes voluntarios de la Universidad de Otago, Nueva Zelanda. Al final del estudio de 14 días, solo los participantes en el tercer grupo mostraron mejoras en su bienestar psicológico durante los 14 días en relación con los otros grupos.34

• 1. ¿Qué tipo de estudio es este?
• 2. Identifique las variables explicativas y de respuesta.
• 3. Comente si los resultados del estudio se pueden generalizar a la población.
• 4. Comente si los resultados del estudio se pueden utilizar para establecer relaciones causales.
• (e) Un artículo periodístico que informa sobre el estudio afirma: “Los resultados de este estudio demuestran que dar a los adultos jóvenes frutas y verduras frescas para comer puede tener beneficios psicológicos, incluso durante un breve período de tiempo”. ¿Cómo sugeriría revisar esta declaración para que pueda ser respaldada por el estudio?

1.42 Pantallas, adolescentes y bienestar psicológico. En un estudio de tres grandes conjuntos de datos representativos a nivel nacional de Irlanda, Estados Unidos y el Reino Unido (n = 17,247), se les pidió a los adolescentes entre las edades de 12 a 15 años que llevaran un diario de su tiempo frente a la pantalla y respondieran preguntas sobre cómo se sentían o actuaban. Las respuestas a estas preguntas se utilizaron luego para calcular una puntuación de bienestar psicológico. Se recopilaron datos adicionales y se incluyeron en el análisis, como el sexo y la edad de cada niño, y la educación, el origen étnico, la angustia psicológica y el empleo de la madre. El estudio concluyó que hay poca evidencia clara de que el tiempo frente a la pantalla disminuya el bienestar de los adolescentes.35

• 1. ¿Qué tipo de estudio es este?
• 2. Identifique las variables explicativas.
• 3. Identifique la variable de respuesta.
• 4. Comente si los resultados del estudio se pueden generalizar a la población y por qué.
• 5. Comente si los resultados del estudio se pueden utilizar para establecer relaciones causales.

1.43 Stanford Open Policing. El proyecto Stanford Open Policing recopila, analiza y publica registros de paradas de tráfico por parte de las agencias de aplicación de la ley en los Estados Unidos. Su objetivo es ayudar a los investigadores, periodistas y formuladores de políticas a investigar y mejorar las interacciones entre la policía y el público.36 El siguiente es un extracto de una tabla resumen creada a partir de los datos recopilados como parte de este proyecto.

		Raza del	No. de paradas		% de conductores
Condado	Estado	conductor	por año	coches registrados	arrestados
Apaice County	Arizona	Negra	266	0.08	0.02
Apaice County	Arizona	Hispana	1008	0.05	0.02
Apaice County	Arizona	Blanca	6322	0.02	0.01
Cochise County	Arizona	Negra	1169	0.05	0.01
Cochise County	Arizona	Hispana	9453	0.04	0.01
Cochise County	Arizona	Blanca	10826	0.02	0.01
· · ·	· · ·	· · ·	· · ·	· · ·	· · ·
Wood County	Wisconsin	Negra	16	0.24	0.10
Wood County	Wisconsin	Hispana	27	0.04	0.03
Wood County	Wisconsin	Blanca	1157	0.03	0.03

• 1. ¿Qué variables se recopilaron en cada parada de tráfico individual para crear la tabla resumen anterior?
• 2. Indique si cada variable es numérica o categórica. Si es numérica, indique si es continua o discreta. Si es categórica, indique si es ordinal o no.
• 3. Supongamos que queremos evaluar si las tasas de registro de vehículos son diferentes para los conductores de diferentes razas. En este análisis, ¿qué variable sería la variable de respuesta y qué variable sería la variable explicativa?

1.44 Lanzamientos espaciales. La siguiente tabla resumen muestra el número de lanzamientos espaciales en los EE. UU. por el tipo de agencia de lanzamiento y el resultado del lanzamiento (éxito o fracaso).37

		1957 - 1999		2000 - 2018
	Fracaso	Éxito	Fracaso	Éxito
Privada	13	295	10	562
Estatal	281	3751	33	711
Startup	-	-	5	65

• 1. ¿Qué variables se recopilaron en cada lanzamiento para crear la tabla resumen anterior?
• 2. Indique si cada variable es numérica o categórica. Si es numérica, indique si es continua o discreta. Si es categórica, indique si es ordinal o no.
• 3. Supongamos que queremos estudiar cómo varía la tasa de éxito de los lanzamientos entre las agencias de lanzamiento y con el tiempo. En este análisis, ¿qué variable sería la variable de respuesta y qué variable sería la variable explicativa?

³⁷Base de datos de vehículos de lanzamiento JSR, Una lista completa de lanzamientos espaciales suborbitales, edición del 10 de febrero de 2019.

³⁵Amy Orben y AK Baukney-Przybylski. “Pantallas, adolescentes y bienestar psicológico: evidencia de tres estudios de diario de uso del tiempo”. En: Psychological Science (2018).

³⁶Emma Pierson et al. “Un análisis a gran escala de las disparidades raciales en las paradas policiales en los Estados Unidos”. En: arXiv preprint arXiv:1706.05678 (2017).

Capítulo 2

39

Resumiendo datos

• 2.1 Examinando datos numéricos
• 2.2 Considerando datos categóricos
• 2.3 Estudio de caso: vacuna contra la malaria

Este capítulo se centra en la mecánica y la construcción de estadísticas resumidas y gráficos. Utilizamos software estadístico para generar los resúmenes y gráficos presentados en este capítulo y libro. Sin embargo, dado que esta podría ser su primera exposición a estos conceptos, nos tomamos nuestro tiempo en este capítulo para detallar cómo crearlos. El dominio del contenido presentado en este capítulo será crucial para comprender los métodos y técnicas introducidos en el resto del libro.

Para videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

2.1 Examinando datos numéricos

En esta sección exploraremos técnicas para resumir variables numéricas. Por ejemplo, considere la variable de monto del préstamo del conjunto de datos loan50, que representa el tamaño del préstamo para los 50 préstamos en el conjunto de datos. Esta variable es numérica ya que podemos discutir sensatamente la diferencia numérica del tamaño de dos préstamos. Por otro lado, los códigos de área y los códigos postales no son numéricos, sino que son variables categóricas.

A lo largo de esta sección y la siguiente, aplicaremos estos métodos utilizando los conjuntos de datos loan50 y county, que se presentaron en la Sección 1.2. Si desea revisar las variables de cualquiera de los conjuntos de datos, consulte las Figuras 1.3 y 1.5.

2.1.1 Diagramas de Dispersión para Datos Pareados

Un diagrama de dispersión proporciona una vista caso por caso de los datos para dos variables numéricas. En la Figura 1.8 en la página 16, se utilizó un diagrama de dispersión para examinar la tasa de propiedad de vivienda en contra de la fracción de unidades de vivienda que formaban parte de propiedades de unidades múltiples (por ejemplo, apartamentos) en el conjunto de datos del condado. Otro diagrama de dispersión se muestra en la Figura 2.1, comparando el ingreso total de un prestatario (ingreso total) y la cantidad que pidió prestada (monto del préstamo) para el conjunto de datos loan50. En cualquier diagrama de dispersión, cada punto representa un solo caso. Dado que hay 50 casos en loan50, hay 50 puntos en la Figura 2.1.

Figura 2.1: Un diagrama de dispersión del ingreso total versus el monto del préstamo para el conjunto de datos loan50.

Mirando la Figura 2.1, vemos que hay muchos prestatarios con un ingreso por debajo de $100,000 en el lado izquierdo del gráfico, mientras que hay un puñado de prestatarios con ingresos superiores a $250,000.

EJEMPLO 2.1

La Figura 2.2 muestra un gráfico del ingreso familiar mediano contra la tasa de pobreza para 3,142 condados. ¿Qué se puede decir sobre la relación entre estas variables?

La relación es evidentemente no lineal, como se destaca con la línea discontinua. Esto es diferente de los diagramas de dispersión anteriores que hemos visto, que muestran relaciones que no muestran mucha, si es que alguna, curvatura en la tendencia.

Figura 2.2: Un diagrama de dispersión del ingreso familiar mediano contra la tasa de pobreza para el conjunto de datos del condado. También se ha ajustado un modelo estadístico a los datos y se muestra como una línea discontinua.

¿Qué revelan los diagramas de dispersión sobre los datos y cómo son útiles?1

PRÁCTICA GUIADA 2.3

Describe dos variables que tendrían una asociación en forma de herradura en un diagrama de dispersión (∩ o ⌢).2

2.1.2 Diagramas de puntos y la media

A veces, dos variables son demasiadas: solo una variable puede ser de interés. En estos casos, un diagrama de puntos proporciona la visualización más básica. Un diagrama de puntos es un diagrama de dispersión de una variable; un ejemplo que utiliza la tasa de interés de 50 préstamos se muestra en la Figura 2.3. Una versión apilada de este diagrama de puntos se muestra en la Figura 2.4.

Figura 2.3: Un diagrama de puntos de la tasa de interés para el conjunto de datos loan50. La media de la distribución se muestra como un triángulo rojo.

¹Las respuestas pueden variar. Los diagramas de dispersión son útiles para detectar rápidamente asociaciones que relacionan variables, ya sea que esas asociaciones vengan en forma de tendencias simples o que esas relaciones sean más complejas.

²Considere el caso en el que su eje vertical representa algo “bueno” y su eje horizontal representa algo que solo es bueno con moderación. La salud y el consumo de agua se ajustan a esta descripción: necesitamos algo de agua para sobrevivir, pero consumimos demasiado y se vuelve tóxico y puede matar a una persona.

Tasa de Interés, Redondeada al Porcentaje Más Cercano

Figura 2.4: Un diagrama de puntos apilado de la tasa de interés para el conjunto de datos loan50. Las tasas se han redondeado al porcentaje más cercano en este diagrama, y la media de la distribución se muestra como un triángulo rojo.

La media, a menudo llamada el promedio, es una forma común de medir el centro de una distribución de datos. Para calcular la tasa de interés media, sumamos todas las tasas de interés y dividimos por el número de observaciones:

\[\bar{x} = \frac{10.90\% + 9.92\% + 26.30\% + \dots + 6.08\%}{50} = 11.57\%\]

La media muestral a menudo se etiqueta como ¯x. La letra x se usa como un marcador de posición genérico para la variable de interés, la tasa de interés, y la barra sobre la x comunica que estamos viendo la tasa de interés promedio, que para estos 50 préstamos fue del 11.57%. Es útil pensar en la media como el punto de equilibrio de la distribución, y se muestra como un triángulo en las Figuras 2.3 y 2.4.

MEDIA

La media muestral puede calcularse como la suma de los valores observados dividida entre el número de observaciones:

\[ \bar{x} = \frac{x\_1 + x\_2 + \dots + x\_n}{n} \]

donde x1, x2, . . . , xⁿ representan los n valores observados.

PRÁCTICA GUIADA 2.4

Examina la ecuación para la media. ¿A qué corresponde x¹? ¿Y x²? ¿Puedes inferir un significado general a lo que xⁱ podría representar?3

PRÁCTICA GUIADA 2.5

¿Cuál era n en esta muestra de préstamos?4

El conjunto de datos loan50 representa una muestra de una población más grande de préstamos realizados a través de Lending Club. Podríamos calcular una media para esta población de la misma manera que la media muestral. Sin embargo, la media poblacional tiene una etiqueta especial: µ. El símbolo µ es la letra griega mu y representa el promedio de todas las observaciones en la población. A veces se usa un subíndice, como ^x, para representar a qué variable se refiere la media poblacional, p. ej. µx. A menudo, es demasiado costoso medir la media poblacional con precisión, por lo que a menudo estimamos µ usando la media muestral, ¯x.

³x¹ corresponde a la tasa de interés para el primer préstamo en la muestra (10.90%), x² a la tasa de interés del segundo préstamo (9.92%) y xⁱ corresponde a la tasa de interés para el i-ésimo préstamo en el conjunto de datos. Por ejemplo, si i = 4, entonces estamos examinando x⁴, que se refiere a la cuarta observación en el conjunto de datos.

⁴El tamaño de la muestra fue n = 50.

EJEMPLO 2.6

La tasa de interés promedio en todos los préstamos en la población se puede estimar utilizando los datos de la muestra. Según la muestra de 50 préstamos, ¿cuál sería una estimación razonable de µx, la tasa de interés media para todos los préstamos en el conjunto de datos completo?

La media muestral, 11.57%, proporciona una estimación aproximada de µx. Si bien no es perfecto, esta es nuestra mejor conjetura de la tasa de interés promedio de todos los préstamos en la población bajo estudio.

En el Capítulo 5 y más adelante, desarrollaremos herramientas para caracterizar la precisión de las estimaciones puntuales como la media muestral. Como habrás adivinado, las estimaciones puntuales basadas en muestras más grandes tienden a ser más precisas que las basadas en muestras más pequeñas.

EJEMPLO 2.7

La media es útil porque nos permite reescalar o estandarizar una métrica en algo más fácil de interpretar y comparar. Proporciona 2 ejemplos donde la media es útil para hacer comparaciones.

1. Nos gustaría entender si un nuevo fármaco es más eficaz para tratar los ataques de asma que el fármaco estándar. Se establece un ensayo con 1500 adultos, donde 500 reciben el nuevo fármaco y 1000 reciben un fármaco estándar en el grupo de control:

	Nuevo fármaco	Fármaco estándar
Número de pacientes	500	1000
Ataques totales de asma	200	300

Comparar los recuentos brutos de 200 a 300 ataques de asma haría parecer que el nuevo fármaco es mejor, pero esto es un artefacto del tamaño desigual de los grupos. En cambio, deberíamos observar el número medio de ataques de asma por paciente en cada grupo:

Nuevo fármaco: 200/500 = 0.4 Fármaco estándar: 300/1000 = 0.3

El fármaco estándar tiene un número medio de ataques de asma por paciente menor que la media del grupo de tratamiento.

2. Emilio abrió un camión de comida el año pasado donde vende burritos, y su negocio se ha estabilizado en los últimos 3 meses. Durante ese período de 3 meses, ha ganado $11,000 mientras trabajaba 625 horas. Las ganancias medias por hora de Emilio proporcionan una estadística útil para evaluar si su empresa, al menos desde una perspectiva financiera, merece la pena:

$11000 625 horas = $17.60 por hora

Al conocer su salario medio por hora, Emilio ha convertido sus ganancias en una unidad estándar que es más fácil de comparar con muchos otros trabajos que podría considerar.

EJEMPLO 2.8

Supongamos que queremos calcular el ingreso medio por persona en los EE. UU. Para ello, podríamos pensar en calcular la media de los ingresos per cápita en los 3142 condados del conjunto de datos del condado. ¿Cuál sería un mejor enfoque?

El conjunto de datos del condado es especial en el sentido de que cada condado representa en realidad a muchas personas individuales. Si simplemente promediáramos la variable de ingresos, estaríamos tratando a los condados con 5000 y 5,000,000 de residentes por igual en los cálculos. En cambio, deberíamos calcular el ingreso total para cada condado, sumar los totales de todos los condados y luego dividir por el número de personas en todos los condados. Si completáramos estos pasos con los datos del condado, encontraríamos que el ingreso per cápita para los EE. UU. es de $30,861. Si hubiéramos calculado la media simple del ingreso per cápita entre los condados, ¡el resultado habría sido de solo $26,093!

Este ejemplo utilizó lo que se llama una media ponderada. Para obtener más información sobre este tema, consulta el siguiente suplemento en línea sobre medias ponderadas openintro.org/d?file=stat wtd mean.

2.1.3 Histogramas y forma

Los diagramas de puntos muestran el valor exacto para cada observación. Esto es útil para conjuntos de datos pequeños, pero pueden volverse difíciles de leer con muestras más grandes. En lugar de mostrar el valor de cada observación, preferimos pensar en el valor como perteneciente a un intervalo. Por ejemplo, en el conjunto de datos loan50, creamos una tabla de recuentos para el número de préstamos con tasas de interés entre 5.0% y 7.5%, luego el número de préstamos con tasas entre 7.5% y 10.0%, y así sucesivamente. Las observaciones que caen en el límite de un intervalo (por ejemplo, 10.00%) se asignan al intervalo inferior. Esta tabulación se muestra en la Figura 2.5. Estos recuentos agrupados se representan como barras en la Figura 2.6 en lo que se llama un histograma, que se asemeja a una versión más agrupada del diagrama de puntos apilados que se muestra en la Figura 2.4.

Tasa de interés	5.0% - 7.5%	7.5% - 10.0%	10.0% - 12.5%	12.5% - 15.0%	· · ·	25.0% - 27.5%
Recuento	11	15	8	4	· · ·	1

Figura 2.5: Recuentos para los datos de la tasa de interés agrupados.

Figura 2.6: Un histograma de la tasa de interés. Esta distribución está fuertemente sesgada hacia la derecha.

Los histogramas proporcionan una vista de la densidad de los datos. Las barras más altas representan dónde los datos son relativamente más comunes. Por ejemplo, hay muchos más préstamos con tasas entre el 5% y el 10% que préstamos con tasas entre el 20% y el 25% en el conjunto de datos. Las barras facilitan ver cómo cambia la densidad de los datos en relación con la tasa de interés.

Los histogramas son especialmente convenientes para comprender la forma de la distribución de los datos. La Figura 2.6 sugiere que la mayoría de los préstamos tienen tasas por debajo del 15%, mientras que solo un puñado de préstamos tienen tasas por encima del 20%. Cuando los datos se extienden hacia la derecha de esta manera y tienen una cola derecha más larga, se dice que la forma está sesgada a la derecha. 5

Los conjuntos de datos con la característica inversa, una cola larga y delgada a la izquierda, se dice que están sesgados a la izquierda. También decimos que tal distribución tiene una cola larga a la izquierda. Los conjuntos de datos que muestran una atenuación aproximadamente igual en ambas direcciones se llaman simétricos.

COLAS LARGAS PARA IDENTIFICAR EL SESGO

Cuando los datos se extienden en una dirección, la distribución tiene una cola larga. Si una distribución tiene una cola larga a la izquierda, está sesgada a la izquierda. Si una distribución tiene una cola larga a la derecha, está sesgada a la derecha.

⁵Otras formas de describir los datos que están sesgados a la derecha: sesgados hacia la derecha, sesgados hacia el extremo superior o sesgados hacia el extremo positivo.

Echa un vistazo a los diagramas de puntos en las Figuras 2.3 y 2.4. ¿Puedes ver el sesgo en los datos? ¿Es más fácil ver el sesgo en este histograma o en los diagramas de puntos?6

PRÁCTICA GUIADA 2.10

Además de la media (ya que fue etiquetada), ¿qué puedes ver en los diagramas de puntos que no puedes ver en el histograma?7

Además de observar si una distribución está sesgada o es simétrica, los histogramas se pueden utilizar para identificar modos. Un modo está representado por un pico prominente en la distribución. Solo hay un pico prominente en el histograma del monto del préstamo.

Una definición de modo que a veces se enseña en las clases de matemáticas es el valor con más ocurrencias en el conjunto de datos. Sin embargo, para muchos conjuntos de datos del mundo real, es común no tener observaciones con el mismo valor en un conjunto de datos, lo que hace que esta definición no sea práctica en el análisis de datos.

La Figura 2.7 muestra histogramas que tienen uno, dos o tres picos prominentes. Tales distribuciones se llaman unimodales, bimodales y multimodales, respectivamente. Cualquier distribución con más de 2 picos prominentes se llama multimodal. Observa que había un pico prominente en la distribución unimodal con un segundo pico menos prominente que no se contó ya que solo difiere de sus intervalos vecinos en unas pocas observaciones.

Figura 2.7: Contando solo los picos prominentes, las distribuciones son (de izquierda a derecha) unimodal, bimodal y multimodal. Ten en cuenta que hemos dicho que la gráfica de la izquierda es unimodal intencionalmente. Esto se debe a que estamos contando picos prominentes, no solo cualquier pico.

EJEMPLO 2.11

La Figura 2.6 revela solo un modo prominente en la tasa de interés. ¿Es la distribución unimodal, bimodal o multimodal?

Unimodal. Recuerda que uni significa 1 (piensa en monociclos). De manera similar, bi significa 2 (piensa en bicicletas). Esperamos que se invente un multiciclo para completar esta analogía.

PRÁCTICA GUIADA 2.12

Se tomaron medidas de altura de estudiantes jóvenes y profesores adultos en una escuela primaria K-3. ¿Cuántos modos esperaría encontrar en este conjunto de datos de altura?8

La búsqueda de modos no se trata de encontrar una respuesta clara y correcta sobre el número de modos en una distribución, razón por la cual “prominente” no está rigurosamente definido en este libro. La parte más importante de este examen es comprender mejor sus datos.

⁶La asimetría es visible en los tres gráficos, aunque el diagrama de puntos plano es el menos útil. El diagrama de puntos apilados y el histograma son visualizaciones útiles para identificar la asimetría.

⁷Las tasas de interés de los préstamos individuales.

⁸Podrían haber dos grupos de altura visibles en el conjunto de datos: uno de los estudiantes y otro de los adultos. Es decir, los datos son probablemente bimodales.

2.1.4 Varianza y desviación estándar

La media se introdujo como un método para describir el centro de un conjunto de datos, y la variabilidad en los datos también es importante. Aquí, presentamos dos medidas de variabilidad: la varianza y la desviación estándar. Ambas son muy útiles en el análisis de datos, aunque sus fórmulas son un poco tediosas de calcular a mano. La desviación estándar es la más fácil de comprender de las dos, y describe aproximadamente qué tan lejos está la observación típica de la media.

Llamamos a la distancia de una observación desde su media su desviación. A continuación, se muestran las desviaciones para las observaciones 1ª, 2ª, 3ª y 50ª en la variable de tasa de interés:

\[\begin{aligned} x\_1 - \bar{x} &= 10.90 - 11.57 = -0.67\\ x\_2 - \bar{x} &= 9.92 - 11.57 = -1.65\\ x\_3 - \bar{x} &= 26.30 - 11.57 = 14.73\\ &\vdots\\ x\_{50} - \bar{x} &= 6.08 - 11.57 = -5.49 \end{aligned}\]

Si elevamos al cuadrado estas desviaciones y luego sacamos un promedio, el resultado es igual a la varianza de la muestra, denotada por s 2 :

\[\begin{split} s^2 &= \frac{(-0.67)^2 + (-1.65)^2 + (14.73)^2 + \dots + (-5.49)^2}{50 - 1} \\ &= \frac{0.45 + 2.72 + 216.97 + \dots + 30.14}{49} \\ &= 25.52 \end{split}\]

Dividimos por n − 1, en lugar de dividir por n, al calcular la varianza de una muestra; hay algunos matices matemáticos aquí, pero el resultado final es que hacer esto hace que esta estadística sea un poco más confiable y útil.

Observe que elevar al cuadrado las desviaciones hace dos cosas. Primero, hace que los valores grandes sean relativamente mucho más grandes, como se ve al comparar (−0.67)² , (−1.65)² , (14.73)² y (−5.49)² . En segundo lugar, elimina cualquier signo negativo.

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza:

\[s = \sqrt{25.52} = 5.05\]

Si bien a menudo se omite, se puede agregar un subíndice de ^x a la varianza y la desviación estándar, es decir, s 2 ^x y s^x , si es útil como recordatorio de que estas son la varianza y la desviación estándar de las observaciones representadas por x¹ , x² , …, xⁿ .

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La varianza es la distancia promedio al cuadrado desde la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar es útil cuando se considera qué tan lejos están distribuidos los datos de la media.

La desviación estándar representa la desviación típica de las observaciones con respecto a la media. Generalmente, alrededor del 70% de los datos estarán dentro de una desviación estándar de la media y alrededor del 95% estarán dentro de dos desviaciones estándar. Sin embargo, como se ve en las Figuras 2.8 y 2.9, estos porcentajes no son reglas estrictas.

Al igual que la media, los valores de la población para la varianza y la desviación estándar tienen símbolos especiales: σ 2 para la varianza y σ para la desviación estándar. El símbolo σ es la letra griega sigma.

Figura 2.8: Para la variable de tasa de interés, 34 de los 50 préstamos (68%) tenían tasas de interés dentro de 1 desviación estándar de la media, y 48 de los 50 préstamos (96%) tenían tasas dentro de 2 desviaciones estándar. Generalmente, alrededor del 70% de los datos están dentro de 1 desviación estándar de la media y el 95% dentro de 2 desviaciones estándar, aunque esto está lejos de ser una regla estricta.

Figura 2.9: Tres distribuciones de población muy diferentes con la misma media µ = 0 y desviación estándar σ = 1.

PRÁCTICA GUIADA 2.13

En la página 45, se introdujo el concepto de forma de una distribución. Una buena descripción de la forma de una distribución debería incluir la modalidad e indicar si la distribución es simétrica o sesgada hacia un lado. Usando la Figura 2.9 como ejemplo, explica por qué tal descripción es importante.9

EJEMPLO 2.14

Describe la distribución de la variable de tasa de interés utilizando el histograma en la Figura 2.6. La descripción debe incorporar el centro, la variabilidad y la forma de la distribución, y también debe ubicarse en contexto. También observa cualquier caso especialmente inusual.

La distribución de las tasas de interés es unimodal y está sesgada hacia el extremo superior. Muchas de las tasas se encuentran cerca de la media en 11.57%, y la mayoría se encuentra dentro de una desviación estándar (5.05%) de la media. Hay algunas tasas de interés excepcionalmente grandes en la muestra que están por encima del 20%.

En la práctica, la varianza y la desviación estándar a veces se utilizan como un medio para un fin, donde el “fin” es poder estimar con precisión la incertidumbre asociada con un estadístico de muestra. Por ejemplo, en el Capítulo 5 la desviación estándar se utiliza en cálculos que nos ayudan a comprender cuánto varía la media de una muestra de una muestra a otra.

⁹La Figura 2.9 muestra tres distribuciones que se ven bastante diferentes, pero todas tienen la misma media, varianza y desviación estándar. Usando la modalidad, podemos distinguir entre el primer gráfico (bimodal) y los dos últimos (unimodal). Usando la asimetría, podemos distinguir entre el último gráfico (sesgado a la derecha) y los dos primeros. Si bien una imagen, como un histograma, cuenta una historia más completa, podemos usar la modalidad y la forma (simetría/sesgo) para caracterizar información básica sobre una distribución.

2.1.5 Diagramas de caja, cuartiles y la mediana

Un diagrama de caja resume un conjunto de datos utilizando cinco estadísticas mientras que también grafica observaciones inusuales. La Figura 2.10 proporciona un diagrama de puntos vertical junto con un diagrama de caja de la variable de tasa de interés del conjunto de datos loan50.

El primer paso para construir un diagrama de caja es dibujar una línea oscura que denote la mediana, que divide los datos por la mitad. La Figura 2.10 muestra que el 50% de los datos cae por debajo de la mediana y el otro 50% cae por encima de la mediana. Hay 50 préstamos en el conjunto de datos (un número par), por lo que los datos se dividen perfectamente en dos grupos de 25. Tomamos la mediana en este caso como el promedio de las dos observaciones más cercanas al percentil 50, que resultan ser el mismo valor en este conjunto de datos: (9.93% + 9.93%)/2 = 9.93%. Cuando hay un número impar de observaciones, habrá exactamente una observación que divida los datos en dos mitades, y en tal caso esa observación es la mediana (no se necesita promedio).

MEDIANA: EL NÚMERO DE EN MEDIO

Si los datos están ordenados de menor a mayor, la mediana es la observación justo en el medio. Si hay un número par de observaciones, habrá dos valores en el medio, y la mediana se toma como su promedio.

El segundo paso en la construcción de un diagrama de caja es dibujar un rectángulo para representar el 50% central de los datos. La longitud total de la caja, que se muestra verticalmente en la Figura 2.10, se llama rango intercuartílico (IQR, para abreviar). Éste, al igual que la desviación estándar, es una medida de la variabilidad de los datos. Cuanto más variables sean los datos, mayor tenderá a ser la desviación estándar y el IQR. Los dos límites de la caja se llaman primer cuartil (el percentil 25, es decir, el 25% de los datos cae por debajo de este valor) y el tercer cuartil (el percentil 75), y estos a menudo se etiquetan como Q¹ y Q3, respectivamente.

RANGO INTERCUARTÍLICO (IQR)

El IQR es la longitud de la caja en un diagrama de caja. Se calcula como

IQR = Q³ − Q¹

donde Q¹ y Q³ son los percentiles 25 y 75.

PRÁCTICA GUIADA 2.15

¿Qué porcentaje de los datos cae entre Q¹ y la mediana? ¿Qué porcentaje está entre la mediana y Q3? 10

Extendiéndose desde la caja, los bigotes intentan capturar los datos fuera de la caja. Sin embargo, nunca se permite que su alcance sea superior a 1,5 × IQR. Capturan todo dentro de este alcance. En la Figura 2.10, el bigote superior no se extiende hasta los dos últimos puntos, que están más allá de Q³ + 1,5 × IQR, por lo que se extiende solo hasta el último punto por debajo de este límite. El bigote inferior se detiene en el valor más bajo, 5,31%, ya que no hay datos adicionales para alcanzar; el límite del bigote inferior no se muestra en la figura porque el gráfico no se extiende hasta Q¹ −1,5×IQR. En cierto sentido, la caja es como el cuerpo del diagrama de caja y los bigotes son como sus brazos que intentan alcanzar el resto de los datos.

Cualquier observación que se encuentre más allá de los bigotes se etiqueta con un punto. El propósito de etiquetar estos puntos, en lugar de extender los bigotes a los valores mínimo y máximo observados, es ayudar a identificar cualquier observación que parezca inusualmente distante del resto de los datos. Las observaciones inusualmente distantes se denominan valores atípicos. En este caso, sería razonable clasificar las tasas de interés de 24,85% y 26,30% como valores atípicos, ya que están numéricamente distantes de la mayoría de los datos.

LOS VALORES ATÍPICOS SON EXTREMOS

Un valor atípico es una observación que parece extrema en relación con el resto de los datos.

El examen de los datos en busca de valores atípicos tiene muchos propósitos útiles, que incluyen

• 1. Identificar una fuerte asimetría en la distribución.
• 2. Identificar posibles errores en la recopilación o entrada de datos.
• 3. Proporcionar información sobre propiedades interesantes de los datos.

PRÁCTICA GUIADA 2.16

Usando la Figura 2.10, estime los siguientes valores para la tasa de interés en el conjunto de datos loan50: (a) Q1, (b) Q3 y (c) IQR.11

¹⁰Dado que Q¹ y Q³ capturan el 50% central de los datos y la mediana divide los datos por la mitad, el 25% de los datos cae entre Q¹ y la mediana, y otro 25% cae entre la mediana y Q3.

¹¹Estas estimaciones visuales variarán un poco de una persona a otra: Q¹ = 8%, Q³ = 14%, IQR = Q³ −Q¹ = 6%. (Los valores verdaderos: Q¹ = 7,96%, Q³ = 13,72%, IQR = 5,76%.)

2.1.6 Estadísticas robustas

¿Cómo se ven afectadas las estadísticas de muestra del conjunto de datos de la tasa de interés por la observación, 26,3%? ¿Qué habría pasado si este préstamo hubiera sido solo del 15%? ¿Qué pasaría con estas estadísticas resumidas si la observación del 26,3% hubiera sido aún mayor, digamos, del 35%? Estos escenarios se representan junto con los datos originales en la Figura 2.11, y las estadísticas de muestra se calculan en cada escenario en la Figura 2.12.

Figura 2.11: Gráficos de puntos de los datos originales de la tasa de interés y dos conjuntos de datos modificados.

	robusto		no robusto
escenario	mediana	IQR	¯x	s
datos originales de la tasa de interés	9.93%	5.76%	11.57%	5.05%
mover 26.3% → 15%	9.93%	5.76%	11.34%	4.61%
mover 26.3% → 35%	9.93%	5.76%	11.74%	5.68%

Figura 2.12: Una comparación de cómo la mediana, el IQR, la media (¯x) y la desviación estándar (s) cambian si una observación extrema de la variable de la tasa de interés hubiera sido diferente.

PRÁCTICA GUIADA 2.17

1. ¿Qué se ve más afectado por las observaciones extremas, la media o la mediana? La Figura 2.12 puede ser útil. (b) ¿La desviación estándar o el IQR se ven más afectados por las observaciones extremas?12

La mediana y el IQR se denominan estadísticas robustas porque las observaciones extremas tienen poco efecto sobre sus valores: mover el valor más extremo generalmente tiene poca influencia en estas estadísticas. Por otro lado, la media y la desviación estándar están más influenciadas por los cambios en las observaciones extremas, lo que puede ser importante en algunas situaciones.

EJEMPLO 2.18

La mediana y el IQR no cambiaron en los tres escenarios en la Figura 2.12. ¿Por qué podría ser este el caso?

La mediana y el IQR solo son sensibles a los números cercanos a Q1, la mediana y Q3. Dado que los valores en estas regiones son estables en los tres conjuntos de datos, las estimaciones de la mediana y el IQR también son estables.

PRÁCTICA GUIADA 2.19

La distribución de los montos de los préstamos en el conjunto de datos loan50 está sesgada a la derecha, con algunos préstamos grandes que permanecen en la cola derecha. Si quisiera comprender el tamaño típico del préstamo, ¿debería estar más interesado en la media o la mediana?13

¹²(a) La media se ve más afectada. (b) La desviación estándar se ve más afectada. Se proporcionan explicaciones completas en el material que sigue a la Práctica Guiada 2.17.

¹³¡Las respuestas variarán! Si simplemente buscamos comprender cómo es un préstamo individual típico, la mediana es probablemente más útil. Sin embargo, si el objetivo es comprender algo que se escala bien, como la cantidad total de dinero que podríamos necesitar tener a mano si ofreciéramos 1000 préstamos, entonces la media sería más útil.

2.1.7 Transformación de datos (tema especial)

Cuando los datos están muy fuertemente sesgados, a veces los transformamos para que sean más fáciles de modelar.

Figura 2.13: (a) Un histograma de las poblaciones de todos los condados de EE. UU. (b) Un histograma de las poblaciones de los condados transformadas con log10. Para este gráfico, el valor x corresponde a la potencia de 10, p. ej., “4” en el eje x corresponde a 10⁴ = 10.000.

EJEMPLO 2.20

Considere el histograma de las poblaciones de los condados que se muestra en la Figura 2.13(a), que muestra una asimetría extrema. ¿Qué no es útil de este gráfico?

Casi todos los datos caen en el bin más a la izquierda, y la asimetría extrema oscurece muchos de los detalles potencialmente interesantes de los datos.

Existen algunas transformaciones estándar que pueden ser útiles para datos fuertemente sesgados a la derecha donde gran parte de los datos son positivos pero están agrupados cerca de cero. Una transformación es un reescalado de los datos utilizando una función. Por ejemplo, un gráfico del logaritmo (base 10) de las poblaciones de los condados da como resultado el nuevo histograma en la Figura 2.13(b). Estos datos son simétricos y cualquier valor atípico potencial parece mucho menos extremo que en el conjunto de datos original. Al controlar los valores atípicos y la asimetría extrema, las transformaciones como esta a menudo facilitan la construcción de modelos estadísticos contra los datos.

Las transformaciones también se pueden aplicar a una o ambas variables en un diagrama de dispersión. Un diagrama de dispersión del cambio de población de 2010 a 2017 frente a la población en 2010 se muestra en la Figura 2.14(a). En este primer diagrama de dispersión, es difícil descifrar patrones interesantes porque la variable de población está muy sesgada. Sin embargo, si aplicamos una transformación log¹⁰ a la variable de población, como se muestra en la Figura 2.14(b), se revela una asociación positiva entre las variables. De hecho, es posible que estemos interesados ​​en ajustar una línea de tendencia a los datos cuando exploremos métodos para ajustar líneas de regresión en el Capítulo 8.

Otras transformaciones además del logaritmo también pueden ser útiles. Por ejemplo, la raíz cuadrada ( √ observación original) y la inversa ( ¹ observación original) son comúnmente utilizadas por los científicos de datos. Los objetivos comunes al transformar datos son ver la estructura de los datos de manera diferente, reducir la asimetría, ayudar en el modelado o enderezar una relación no lineal en un diagrama de dispersión.

Figura 2.14: (a) Diagrama de dispersión del cambio de población frente a la población antes del cambio. (b) Un diagrama de dispersión de los mismos datos, pero donde el tamaño de la población se ha transformado logarítmicamente.

2.1.8 Mapeo de datos (tema especial)

El conjunto de datos del condado ofrece muchas variables numéricas que podríamos graficar usando diagramas de puntos, diagramas de dispersión o diagramas de caja, pero estos no capturan la verdadera naturaleza de los datos. Más bien, cuando encontramos datos geográficos, debemos crear un mapa de intensidad, donde los colores se utilizan para mostrar valores más altos y más bajos de una variable. Las figuras 2.15 y 2.16 muestran mapas de intensidad para la tasa de pobreza en porcentaje (pobreza), la tasa de desempleo (tasa de desempleo), la tasa de propiedad de vivienda en porcentaje (propiedad de vivienda) y el ingreso medio por hogar (ingreso medio por hogar). La clave de color indica qué colores corresponden a qué valores. Los mapas de intensidad generalmente no son muy útiles para obtener valores precisos en un condado determinado, pero son muy útiles para ver tendencias geográficas y generar preguntas o hipótesis de investigación interesantes.

EJEMPLO 2.21

¿Qué características interesantes son evidentes en los mapas de intensidad de la pobreza y la tasa de desempleo?

Las tasas de pobreza son evidentemente más altas en algunos lugares. En particular, el sur profundo muestra tasas de pobreza más altas, al igual que gran parte de Arizona y Nuevo México. Las altas tasas de pobreza son evidentes en las llanuras aluviales de Mississippi, un poco al norte de Nueva Orleans, y también en una gran sección de Kentucky.

La tasa de desempleo sigue tendencias similares, y podemos ver correspondencia entre las dos variables. De hecho, tiene sentido que las tasas más altas de desempleo estén estrechamente relacionadas con las tasas de pobreza. Una observación que destaca al comparar los dos mapas: la tasa de pobreza es mucho más alta que la tasa de desempleo, lo que significa que, aunque muchas personas pueden estar trabajando, no están ganando lo suficiente para salir de la pobreza.

PRÁCTICA GUIADA 2.22

¿Qué características interesantes son evidentes en el mapa de intensidad del ingreso medio por hogar en la Figura 2.16(b)? 14

¹⁴Nota: las respuestas variarán. Existe cierta correspondencia entre las zonas de altos ingresos y las zonas metropolitanas, donde podemos ver puntos más oscuros (mayor ingreso medio por hogar), aunque hay varias excepciones. Puede buscar grandes ciudades con las que esté familiarizado e intentar localizarlas en el mapa como puntos oscuros.

Figura 2.15: (a) Mapa de intensidad de la tasa de pobreza (porcentaje). (b) Mapa de la tasa de desempleo (porcentaje).

Figura 2.16: (a) Mapa de intensidad de la tasa de propiedad de vivienda (porcentaje). (b) Mapa de intensidad del ingreso medio por hogar ($1000s).

Ejercicios

2.1 Esperanza de vida de mamíferos. Se recolectaron datos sobre la esperanza de vida (en años) y la duración de la gestación (en días) de 62 mamíferos. A continuación, se muestra un diagrama de dispersión de la esperanza de vida frente a la duración de la gestación.15

• 1. ¿Qué tipo de asociación es evidente entre la esperanza de vida y la duración de la gestación?
• 2. ¿Qué tipo de asociación esperaría ver si se invirtieran los ejes del gráfico, es decir, si graficáramos la duración de la gestación frente a la esperanza de vida?
• 3. ¿Son independientes la esperanza de vida y la duración de la gestación? Explique su razonamiento.

2.2 Asociaciones. Indique cuáles de los gráficos muestran (a) una asociación positiva, (b) una asociación negativa o (c) ninguna asociación. Determine también si las asociaciones positivas y negativas son lineales o no lineales. Cada parte puede referirse a más de un gráfico.

2.3 Reproducción de bacterias. Suponga que solo hay suficiente espacio y nutrientes para mantener un millón de células bacterianas en una placa de Petri. Coloca algunas células bacterianas en esta placa de Petri, permite que se reproduzcan libremente y registra el número de células bacterianas en la placa a lo largo del tiempo. Dibuje un gráfico que represente la relación entre el número de células bacterianas y el tiempo.

2.4 Productividad de la oficina. La productividad de la oficina es relativamente baja cuando los empleados no sienten estrés por su trabajo o seguridad laboral. Sin embargo, los altos niveles de estrés también pueden conducir a una reducción de la productividad de los empleados. Dibuje un gráfico para representar la relación entre el estrés y la productividad.

2.5 Parámetros y estadísticas. Identifique qué valor representa la media muestral y qué valor representa la media poblacional reclamada.

• 1. Los hogares estadounidenses gastaron un promedio de aproximadamente $52 en 2007 en productos de Halloween, como disfraces, adornos y dulces. Para ver si este número había cambiado, los investigadores realizaron una nueva encuesta en 2008 antes de que se informaran los números de la industria. La encuesta incluyó a 1,500 hogares y encontró que el gasto promedio en Halloween fue de $58 por hogar.
• 2. El GPA promedio de los estudiantes en 2001 en una universidad privada fue de 3.37. Una encuesta en una muestra de 203 estudiantes de esta universidad arrojó un GPA promedio de 3.59 una década después.

2.6 Dormir en la universidad. Un artículo reciente en un periódico universitario decía que los estudiantes universitarios duermen un promedio de 5.5 horas cada noche. Un estudiante que se mostraba escéptico sobre este valor decidió realizar una encuesta muestreando aleatoriamente a 25 estudiantes. En promedio, los estudiantes muestreados durmieron 6.25 horas por noche. Identifique qué valor representa la media muestral y qué valor representa la media poblacional reclamada.

¹⁵T. Allison y D.V. Cicchetti. “Sleep in mammals: ecological and constitutional correlates”. In: Arch. Hydrobiol 75 (1975), p. 442.

2.1. EXAMINANDO DATOS NUMÉRICOS 57

2.7 Días libres en una planta minera. Los trabajadores de un sitio minero en particular reciben un promedio de 35 días de vacaciones pagadas, lo cual es inferior al promedio nacional. El gerente de esta planta está bajo presión de un sindicato local para aumentar la cantidad de tiempo libre pagado. Sin embargo, no quiere dar más días libres a los trabajadores porque eso sería costoso. En cambio, decide que debería despedir a 10 empleados de tal manera que aumente el número promedio de días libres que informan sus empleados. Para lograr este objetivo, ¿debería despedir a los empleados que tienen la mayor cantidad de días libres, la menor cantidad de días libres o aquellos que tienen aproximadamente el número promedio de días libres?

2.8 Medianas y RICs. Para cada parte, compare las distribuciones (1) y (2) según sus medianas y RICs. No es necesario que calcule estas estadísticas; simplemente indique cómo se comparan las medianas y los RICs. Asegúrese de explicar su razonamiento.

(a) (1) 3, 5, 6, 7, 9		(c) (1) 1, 2, 3, 4, 5
	(2) 3, 5, 6, 7, 20	(2) 6, 7, 8, 9, 10
(b) (1) 3, 5, 6, 7, 9		(d) (1) 0, 10, 50, 60, 100
	(2) 3, 5, 7, 8, 9	(2) 0, 100, 500, 600, 1000

2.9 Medias y DEs. Para cada parte, compare las distribuciones (1) y (2) según sus medias y desviaciones estándar. No es necesario que calcule estas estadísticas; simplemente indique cómo se comparan las medias y las desviaciones estándar. Asegúrese de explicar su razonamiento. Sugerencia: Puede ser útil dibujar diagramas de puntos de las distribuciones.

(a) (1) 3, 5, 5, 5, 8, 11, 11, 11, 13 (2) 3, 5, 5, 5, 8, 11, 11, 11, 20	(c) (1) 0, 2, 4, 6, 8, 10 (2) 20, 22, 24, 26, 28, 30
(b) (1) -20, 0, 0, 0, 15, 25, 30, 30 (2) -40, 0, 0, 0, 15, 25, 30, 30	(d) (1) 100, 200, 300, 400, 500 (2) 0, 50, 300, 550, 600

2.10 Mezclar y combinar. Describe la distribución en los histogramas a continuación y haz coincidir con los diagramas de caja.

2.11 Calidad del aire. La calidad del aire diaria se mide mediante el índice de calidad del aire (ICA) informado por la Agencia de Protección Ambiental. Este índice informa el nivel de contaminación y qué efectos asociados en la salud podrían ser una preocupación. El índice se calcula para cinco contaminantes principales del aire regulados por la Ley de Aire Limpio y toma valores de 0 a 300, donde un valor más alto indica una menor calidad del aire. El ICA se informó para una muestra de 91 días en 2011 en Durham, NC.16

• 1. Estima el valor mediano del ICA de esta muestra.
• 2. ¿Esperaría que el valor medio del ICA de esta muestra sea mayor o menor que la mediana? Explica tu razonamiento.
• 3. Estima Q1, Q3 e IQR para la distribución.
• 4. ¿Alguno de los días de esta muestra se consideraría que tiene un ICA inusualmente bajo o alto? Explica tu razonamiento.

2.12 Mediana vs. media. Estima la mediana para las 400 observaciones que se muestran en el histograma y ten en cuenta si esperas que la media sea mayor o menor que la mediana.

2.13 Histogramas vs. diagramas de caja. Compare los dos diagramas a continuación. ¿Qué características de la distribución son evidentes en el histograma y no en el diagrama de caja? ¿Qué características son evidentes en el diagrama de caja pero no en el histograma?

2.14 Amigos de Facebook. Los datos de Facebook indican que el 50% de los usuarios de Facebook tienen 100 o más amigos, y que el número promedio de amigos de los usuarios es de 190. ¿Qué sugieren estos hallazgos sobre la forma de la distribución del número de amigos de los usuarios de Facebook?17

2.15 Distribuciones y estadísticas apropiadas, Parte I. Para cada uno de los siguientes, indica si esperas que la distribución sea simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda. Especifica también si la media o la mediana representarían mejor una observación típica en los datos, y si la variabilidad de las observaciones estaría mejor representada usando la desviación estándar o el IQR. Explica tu razonamiento.

• 1. Número de mascotas por hogar.
• 2. Distancia al trabajo, es decir, número de millas entre el trabajo y el hogar.
• 3. Alturas de hombres adultos.

¹⁶Agencia de Protección Ambiental de EE. UU., AirData, 2011.

¹⁷Lars Backstrom. “Anatomía de Facebook”. En: Notas del equipo de datos de Facebook (2011).

2.16 Distribuciones y estadísticas apropiadas, Parte II. Para cada uno de los siguientes, indica si esperas que la distribución sea simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda. Especifica también si la media o la mediana representarían mejor una observación típica en los datos, y si la variabilidad de las observaciones estaría mejor representada usando la desviación estándar o el IQR. Explica tu razonamiento.

• 1. Precios de la vivienda en un país donde el 25% de las casas cuestan menos de $350,000, el 50% de las casas cuestan menos de $450,000, el 75% de las casas cuestan menos de $1,000,000 y hay un número significativo de casas que cuestan más de $6,000,000.
• 2. Precios de la vivienda en un país donde el 25% de las casas cuestan menos de $300,000, el 50% de las casas cuestan menos de $600,000, el 75% de las casas cuestan menos de $900,000 y muy pocas casas cuestan más de $1,200,000.
• 3. Número de bebidas alcohólicas consumidas por estudiantes universitarios en una semana determinada. Suponga que la mayoría de estos estudiantes no beben porque son menores de 21 años, y solo unos pocos beben en exceso.
• 4. Salarios anuales de los empleados de una empresa Fortune 500 donde solo unos pocos ejecutivos de alto nivel ganan salarios mucho más altos que todos los demás empleados.

2.17 Ingresos en la cafetería. El primer histograma a continuación muestra la distribución de los ingresos anuales de 40 clientes en una cafetería universitaria. Suponga que dos nuevas personas entran en la cafetería: una que gana $225,000 y la otra $250,000. El segundo histograma muestra la nueva distribución de ingresos. También se proporcionan estadísticas resumidas.

⁽a) ¿La media o la mediana representarían mejor lo que podríamos considerar un ingreso típico para los 42 clientes de esta cafetería? ¿Qué dice esto sobre la robustez de las dos medidas?

2. ¿La desviación estándar o el IQR representarían mejor la cantidad de variabilidad en los ingresos de los 42 clientes de esta cafetería? ¿Qué dice esto sobre la robustez de las dos medidas?

2.18 Rango medio. El rango medio de una distribución se define como el promedio del máximo y el mínimo de esa distribución. ¿Es esta estadística robusta a los valores atípicos y al sesgo extremo? Explica tu razonamiento.

2.19 Tiempos de viaje. El censo de EE. UU. recopila datos sobre el tiempo que tardan los estadounidenses en viajar al trabajo, entre muchas otras variables. El histograma a continuación muestra la distribución de los tiempos promedio de viaje en 3,142 condados de EE. UU. en 2010. También se muestra a continuación un mapa de intensidad espacial de los mismos datos.

• 1. Describe la distribución numérica y comenta si una transformación logarítmica podría ser aconsejable para estos datos.
• 2. Describe la distribución espacial de los tiempos de viaje utilizando el mapa anterior.

2.20 Población hispana. El censo de EE. UU. recopila datos sobre la raza y el origen étnico de los estadounidenses, entre muchas otras variables. El histograma a continuación muestra la distribución del porcentaje de la población que es hispana en 3,142 condados de los EE. UU. en 2010. También se muestra un histograma de los logaritmos de estos valores.

• 1. Describe la distribución numérica y comenta por qué podríamos querer usar valores transformados logarítmicamente al analizar o modelar estos datos.
• 2. ¿Qué características de la distribución de la población hispana en los condados de EE. UU. son evidentes en el mapa pero no en el histograma? ¿Qué características son evidentes en el histograma pero no en el mapa?
• 3. ¿Es una visualización más apropiada o útil que la otra? Explica tu razonamiento.

2.2 Considerando datos categóricos

En esta sección, presentaremos tablas y otras herramientas básicas para datos categóricos que se utilizan en todo este libro. El conjunto de datos loan50 representa una muestra de un conjunto de datos de préstamos más grande llamado loans. Este conjunto de datos más grande contiene información sobre 10,000 préstamos realizados a través de Lending Club. Examinaremos la relación entre la propiedad de la vivienda, que para los datos de los préstamos puede tomar un valor de alquiler, hipoteca (posee pero tiene una hipoteca) o propia, y el tipo de aplicación, que indica si la solicitud de préstamo se realizó con un socio o si era una solicitud individual.

2.2.1 Tablas de contingencia y diagramas de barras

La Figura 2.17 resume dos variables: tipo de solicitud y tenencia de vivienda. Una tabla que resume datos para dos variables categóricas de esta manera se llama tabla de contingencia. Cada valor en la tabla representa el número de veces que ocurrió una combinación particular de resultados de variables. Por ejemplo, el valor 3496 corresponde al número de préstamos en el conjunto de datos donde el prestatario alquila su vivienda y el tipo de solicitud fue individual. También se incluyen los totales de filas y columnas. Los totales de filas proporcionan los conteos totales en cada fila (p. ej., 3496 + 3839 + 1170 = 8505), y los totales de columnas son los conteos totales en cada columna. También podemos crear una tabla que muestre solo los porcentajes o proporciones generales para cada combinación de categorías, o podemos crear una tabla para una sola variable, como la que se muestra en la Figura 2.18 para la variable de tenencia de vivienda.

		Tenencia de Vivienda
		alquiler	hipoteca	propia	Total
	individual	3496	3839	1170	8505
Tipo Sol.	conjunta	362	950	183	1495
	Total	3858	4789	1353	10000

Tenencia de Vivienda	Conteo
alquiler	3858
hipoteca	4789
propia	1353
Total	10000

Figura 2.17: Una tabla de contingencia para el tipo de solicitud y la tenencia de vivienda.

Figura 2.18: Una tabla que resume las frecuencias de cada valor para la variable de tenencia de vivienda.

Un diagrama de barras es una forma común de mostrar una sola variable categórica. El panel izquierdo de la Figura 2.19 muestra un diagrama de barras para la variable de tenencia de vivienda. En el panel derecho, los conteos se convierten en proporciones, mostrando la proporción de observaciones que se encuentran en cada nivel (p. ej., 3858/10000 = 0.3858 para alquiler).

Figura 2.19: Dos diagramas de barras de número. El panel izquierdo muestra los conteos y el panel derecho muestra las proporciones en cada grupo.

2.2.2 Proporciones de fila y columna

A veces es útil comprender la descomposición fraccionaria de una variable en otra, y podemos modificar nuestra tabla de contingencia para proporcionar tal vista. La Figura 2.20 muestra las proporciones de fila para la Figura 2.17, que se calculan como los recuentos divididos por sus totales de fila. El valor 3496 en la intersección de individual y alquiler se reemplaza por 3496/8505 = 0.411, es decir, 3496 dividido por su total de fila, 8505. Entonces, ¿qué representa 0.411? Corresponde a la proporción de solicitantes individuales que alquilan.

	alquiler	hipoteca	propio	Total
individual	0.411	0.451	0.138	1.000
conjunta	0.242	0.635	0.122	1.000
Total	0.386	0.479	0.135	1.000

Figura 2.20: Una tabla de contingencia con proporciones de fila para las variables de tipo de solicitud y propiedad de la vivienda. El total de la fila está desviado en 0.001 para la fila conjunta debido a un error de redondeo.

Una tabla de contingencia de las proporciones de columna se calcula de manera similar, donde cada proporción de columna se calcula como el recuento dividido por el total de columna correspondiente. La Figura 2.21 muestra tal tabla, y aquí el valor 0.906 indica que el 90.6% de los inquilinos solicitaron el préstamo de forma individual. Esta tasa es más alta en comparación con los préstamos de personas con hipotecas (80.2%) o que son dueños de su casa (86.5%). Debido a que estas tasas varían entre los tres niveles de propiedad de la vivienda (alquiler, hipoteca, propio), esto proporciona evidencia de que las variables de tipo de solicitud y propiedad de la vivienda están asociadas.

	alquiler	hipoteca	propio	Total
individual	0.906	0.802	0.865	0.851
conjunta	0.094	0.198	0.135	0.150
Total	1.000	1.000	1.000	1.000

Figura 2.21: Una tabla de contingencia con proporciones de columna para las variables de tipo de solicitud y propiedad de la vivienda. El total de la última columna está desviado en 0.001 debido a un error de redondeo.

También podríamos haber verificado una asociación entre el tipo de solicitud y la propiedad de la vivienda en la Figura 2.20 utilizando las proporciones de fila. Al comparar estas proporciones de fila, miraríamos hacia abajo en las columnas para ver si la fracción de préstamos donde el prestatario alquila, tiene una hipoteca o es propietario variaba entre los tipos de solicitud individual y conjunta.

2.2. CONSIDERANDO DATOS CATEGÓRICOS 63

PRÁCTICA GUIADA 2.23

• 1. ¿Qué representa 0.451 en la Figura 2.20?
• 2. ¿Qué representa 0.802 en la Figura 2.21? 18

PRÁCTICA GUIADA 2.24

• 1. ¿Qué representa 0.122 en la intersección de “conjunto” y “propio” en la Figura 2.20?
• 2. ¿Qué representa 0.135 en la Figura 2.21? 19

EJEMPLO 2.25

Los científicos de datos utilizan la estadística para filtrar el spam de los mensajes de correo electrónico entrantes. Al observar características específicas de un correo electrónico, un científico de datos puede clasificar algunos correos electrónicos como spam o no spam con alta precisión. Una de estas características es si el correo electrónico no contiene números, números pequeños o números grandes. Otra característica es el formato del correo electrónico, que indica si un correo electrónico tiene o no contenido HTML, como texto en negrita. Nos centraremos en el formato del correo electrónico y el estado de spam utilizando el conjunto de datos de correo electrónico, y estas variables se resumen en una tabla de contingencia en la Figura 2.22. ¿Qué sería más útil para alguien que espera clasificar el correo electrónico como spam o correo electrónico normal para esta tabla: proporciones de fila o de columna?

Un científico de datos estaría interesado en cómo cambia la proporción de spam dentro de cada formato de correo electrónico. Esto corresponde a las proporciones de columna: la proporción de spam en los correos electrónicos de texto sin formato y la proporción de spam en los correos electrónicos HTML.

Si generamos las proporciones de columna, podemos ver que una mayor fracción de correos electrónicos de texto sin formato son spam (209/1195 = 17.5%) en comparación con los correos electrónicos HTML (158/2726 = 5.8%). Esta información por sí sola es insuficiente para clasificar un correo electrónico como spam o no spam, ya que más del 80% de los correos electrónicos de texto sin formato no son spam. Sin embargo, cuando combinamos cuidadosamente esta información con muchas otras características, tenemos una posibilidad razonable de poder clasificar algunos correos electrónicos como spam o no spam con confianza.

	texto	HTML	Total
spam	209	158	367
no spam	986	2568	3554
Total	1195	2726	3921

Figura 2.22: Una tabla de contingencia para spam y formato.

El ejemplo 2.25 señala que las proporciones de fila y columna no son equivalentes. Antes de decidirse por una forma para una tabla, es importante considerar cada una para asegurarse de que se construya la tabla más útil. Sin embargo, a veces simplemente no está claro cuál, si alguna, es más útil.

EJEMPLO 2.26

Vuelva a mirar las Tablas 2.20 y 2.21. ¿Hay algún escenario obvio donde uno podría ser más útil que el otro?

¡Ninguno que pensáramos que fuera obvio! Lo que es distinto sobre el tipo de aplicación y la propiedad de la vivienda en comparación con el ejemplo del correo electrónico es que estas dos variables no tienen una clara relación de variable explicativa-respuesta que podríamos hipotetizar (vea la Sección 1.2.4 para estos términos). Por lo general, es más útil “condicionar” la variable explicativa. Por ejemplo, en el ejemplo del correo electrónico, el formato del correo electrónico se veía como una posible variable explicativa de si el mensaje era spam, por lo que nos resultaría más interesante calcular las frecuencias relativas (proporciones) para cada formato de correo electrónico.

¹⁸(a) 0.451 representa la proporción de solicitantes individuales que tienen una hipoteca. (b) 0.802 representa la fracción de solicitantes con hipotecas que solicitaron como individuos.

¹⁹(a) 0.122 representa la fracción de prestatarios conjuntos que son dueños de su casa. (b) 0.135 representa los prestatarios propietarios de viviendas que solicitaron conjuntamente el préstamo.

2.2.3 Uso de un diagrama de barras con dos variables

Las tablas de contingencia que utilizan proporciones de fila o columna son especialmente útiles para examinar cómo se relacionan dos variables categóricas. Los diagramas de barras apiladas proporcionan una forma de visualizar la información en estas tablas.

Un diagrama de barras apiladas es una visualización gráfica de la información de la tabla de contingencia. Por ejemplo, un diagrama de barras apiladas que representa la Figura 2.21 se muestra en la Figura 2.23(a), donde primero hemos creado un diagrama de barras utilizando la variable de propiedad de la vivienda y luego hemos dividido cada grupo por los niveles de tipo de aplicación.

Una visualización relacionada con el diagrama de barras apiladas es el diagrama de barras lado a lado, donde se muestra un ejemplo en la Figura 2.23(b).

Para el último tipo de diagrama de barras que presentamos, las proporciones de columna para la tabla de contingencia de tipo de aplicación y propiedad de vivienda se han traducido en un diagrama de barras apiladas estandarizado en la Figura 2.23(c). Este tipo de visualización es útil para comprender la fracción de solicitudes de préstamos individuales o conjuntas para prestatarios en cada nivel de propiedad de vivienda. Además, dado que las proporciones de conjunto e individual varían entre los grupos, podemos concluir que las dos variables están asociadas.

Figura 2.23: (a) Diagrama de barras apiladas para la propiedad de la vivienda, donde los conteos se han desglosado aún más por tipo de aplicación. (b) Diagrama de barras lado a lado para la propiedad de la vivienda y el tipo de aplicación. (c) Versión estandarizada del diagrama de barras apiladas.

2.2. CONSIDERANDO DATOS CATEGÓRICOS 65

EJEMPLO 2.27

Examine los tres gráficos de barras en la Figura 2.23. ¿Cuándo es más útil el gráfico de barras apiladas, lado a lado o apiladas estandarizadas?

El gráfico de barras apiladas es más útil cuando es razonable asignar una variable como variable explicativa y la otra variable como respuesta, ya que estamos agrupando efectivamente por una variable primero y luego dividiéndola por las otras.

Los gráficos de barras lado a lado son más agnósticos en su visualización sobre qué variable, si la hay, representa la variable explicativa y cuál la variable de respuesta. También es fácil discernir el número de casos en las seis combinaciones de grupos diferentes. Sin embargo, una desventaja es que tiende a requerir más espacio horizontal; la estrechez de la Figura 2.23(b) hace que el gráfico se sienta un poco apretado. Además, cuando dos grupos son de tamaños muy diferentes, como vemos en el grupo propio en relación con cualquiera de los otros dos grupos, es difícil discernir si existe una asociación entre las variables.

El gráfico de barras apiladas estandarizadas es útil si la variable primaria en el gráfico de barras apiladas está relativamente desequilibrada, por ejemplo, la categoría propia tiene solo un tercio de las observaciones en la categoría de hipoteca, lo que hace que el gráfico de barras apiladas simple sea menos útil para verificar una asociación. La principal desventaja de la versión estandarizada es que perdemos todo sentido de cuántos casos representa cada una de las barras.

2.2.4 Gráficos de Mosaico

Un gráfico de mosaico es una técnica de visualización adecuada para tablas de contingencia que se asemeja a un gráfico de barras apiladas estandarizado con el beneficio de que también vemos los tamaños de grupo relativos de la variable primaria.

Para comenzar a crear nuestro primer gráfico de mosaico, dividiremos un cuadrado en columnas para cada categoría de la variable de propiedad de la vivienda, con el resultado que se muestra en la Figura 2.24(a). Cada columna representa un nivel de propiedad de la vivienda, y los anchos de las columnas corresponden a la proporción de préstamos en cada una de esas categorías. Por ejemplo, hay menos préstamos donde el prestatario es propietario que donde el prestatario tiene una hipoteca. En general, los gráficos de mosaico utilizan áreas de caja para representar el número de casos en cada categoría.

Figura 2.24: (a) El gráfico de mosaico de una variable para la propiedad de la vivienda. (b) Gráfico de mosaico de dos variables para la propiedad de la vivienda y el tipo de solicitud.

Para crear un gráfico de mosaico completo, el gráfico de mosaico de una sola variable se divide aún más en piezas en la Figura 2.24(b) utilizando la variable de tipo de solicitud. Cada columna se divide proporcionalmente al número de préstamos de prestatarios individuales y conjuntos. Por ejemplo, la segunda columna representa los préstamos en los que el prestatario tiene una hipoteca, y se dividió en préstamos individuales (superior) y préstamos conjuntos (inferior). Como otro ejemplo, el segmento inferior de la tercera columna representa los préstamos en los que el prestatario es dueño de su casa y solicitó conjuntamente, mientras que el segmento superior de esta columna representa a los prestatarios que son propietarios de viviendas y presentaron la solicitud individualmente. Podemos volver a utilizar este gráfico para ver que las variables de propiedad de la vivienda y tipo de solicitud están asociadas, ya que algunas columnas se dividen en diferentes

ubicaciones verticales que otras, que era la misma técnica utilizada para comprobar una asociación en el gráfico de barras apiladas estandarizado.

En la Figura 2.24, elegimos primero dividir por el estado de propietario de la vivienda del prestatario. Sin embargo, podríamos haber dividido primero por el tipo de solicitud, como en la Figura 2.25. Al igual que con los gráficos de barras, es común utilizar la variable explicativa para representar la primera división en un gráfico de mosaico, y luego que la respuesta divida cada nivel de la variable explicativa, si estas etiquetas son razonables para adjuntar a las variables en consideración.

Figura 2.25: Gráfico de mosaico donde los préstamos se agrupan por la variable de propiedad de la vivienda después de haber sido divididos en los tipos de solicitud individual y conjunta.

2.2.5 El único gráfico circular que verás en este libro

Se muestra un gráfico circular en la Figura 2.26 junto con un diagrama de barras que representa la misma información. Los gráficos circulares pueden ser útiles para proporcionar una visión general de alto nivel que muestre cómo se desglosa un conjunto de casos. Sin embargo, también es difícil descifrar los detalles en un gráfico circular. Por ejemplo, se tarda un par de segundos más en reconocer que hay más préstamos donde el prestatario tiene una hipoteca que alquiler al mirar el gráfico circular, mientras que este detalle es muy obvio en el diagrama de barras. Si bien los gráficos circulares pueden ser útiles, preferimos los diagramas de barras por su facilidad para comparar grupos.

Figura 2.26: Un gráfico circular y un diagrama de barras de la propiedad de la vivienda.

2.2.6 Comparación de datos numéricos entre grupos

Algunas de las investigaciones más interesantes se pueden considerar examinando los datos numéricos entre grupos. Los métodos requeridos aquí no son realmente nuevos: todo lo que se requiere es hacer un gráfico numérico para cada grupo en el mismo gráfico. Aquí se introducen dos métodos convenientes: diagramas de caja lado a lado e histogramas huecos.

Volveremos a ver el conjunto de datos del condado y compararemos el ingreso familiar medio para los condados que ganaron población de 2010 a 2017 frente a los condados que no tuvieron ganancias. Si bien nos gustaría hacer una conexión causal aquí, recuerde que estos son datos de observación y, por lo tanto, tal interpretación sería, en el mejor de los casos, a medias.

Hubo 1,454 condados donde la población aumentó de 2010 a 2017, y hubo 1,672 condados sin ganancia (todos menos uno fueron una pérdida). Una muestra aleatoria de 100 condados del primer grupo y 50 del segundo grupo se muestra en la Figura 2.27 para dar una mejor idea de algunos de los datos brutos de ingresos medios.

Ganancia de población					Sin ganancia de población
38.2	43.6	42.2	61.5	51.1	45.7	48.3	60.3	50.7
44.6	51.8	40.7	48.1	56.4	41.9	39.3	40.4	40.3
40.6	63.3	52.1	60.3	49.8	51.7	57	47.2	45.9
51.1	34.1	45.5	52.8	49.1	51	42.3	41.5	46.1
80.8	46.3	82.2	43.6	39.7	49.4	44.9	51.7	46.4
75.2	40.6	46.3	62.4	44.1	51.3	29.1	51.8	50.5
51.9	34.7	54	42.9	52.2	45.1	27	30.9	34.9
61	51.4	56.5	62	46	46.4	40.7	51.8	61.1
53.8	57.6	69.2	48.4	40.5	48.6	43.4	34.7	45.7
53.1	54.6	55	46.4	39.9	56.7	33.1	21	37
63	49.1	57.2	44.1	50	38.9	52	31.9	45.7
46.6	46.5	38.9	50.9	56	34.6	56.3	38.7	45.7
74.2	63	49.6	53.7	77.5	60	56.2	43	21.7
63.2	47.6	55.9	39.1	57.8	42.6	44.5	34.5	48.9
50.4	49	45.6	39	38.8	37.1	50.9	42.1	43.2
57.2	44.7	71.7	35.3	100.2		35.4	41.3	33.6
42.6	55.5	38.6	52.7	63		43.4	56.5

Ingreso medio para 150 condados, en $1000

Figura 2.27: En esta tabla, se muestra el ingreso familiar medio (en $1000) de una muestra aleatoria de 100 condados que tuvieron ganancias de población a la izquierda. Los ingresos medios de una muestra aleatoria de 50 condados que no tuvieron ganancias de población se muestran a la derecha.

Figura 2.28: Diagrama de caja lado a lado (panel izquierdo) e histogramas huecos (panel derecho) para el ingreso familiar medio, donde los condados se dividen por si hubo una ganancia de población o si no hubo ganancia.

El diagrama de caja lado a lado es una herramienta tradicional para comparar entre grupos. Se muestra un ejemplo en el panel izquierdo de la Figura 2.28, donde hay dos diagramas de caja, uno para cada grupo, colocados en una ventana de trazado y dibujados en la misma escala.

Otro método de trazado útil utiliza histogramas huecos para comparar datos numéricos entre grupos. Estos son solo los contornos de los histogramas de cada grupo colocados en el mismo gráfico, como se muestra en el panel derecho de la Figura 2.28.

PRÁCTICA GUIADA 2.28

Utilice los gráficos de la Figura 2.28 para comparar los ingresos de los condados entre los dos grupos. ¿Qué nota sobre el centro aproximado de cada grupo? ¿Qué nota sobre la variabilidad entre grupos? ¿Es la forma relativamente consistente entre los grupos? ¿Cuántos modos prominentes hay para cada grupo?20

PRÁCTICA GUIADA 2.29

¿Qué componentes de cada gráfico en la Figura 2.28 le resultan más útiles?21

²⁰Las respuestas pueden variar un poco. Los condados con ganancias de población tienden a tener ingresos más altos (mediana de alrededor de $45,000) en comparación con los condados sin ganancias (mediana de alrededor de $40,000). La variabilidad también es ligeramente mayor para el grupo de ganancia de población. Esto es evidente en el IQR, que es aproximadamente un 50% mayor en el grupo de ganancia. Ambas distribuciones muestran una ligera a moderada asimetría hacia la derecha y son unimodales. Los diagramas de caja indican que hay muchas observaciones muy por encima de la mediana en cada grupo, aunque deberíamos anticipar que muchas observaciones caerán más allá de los bigotes al examinar cualquier conjunto de datos que contenga más de un par de cientos de puntos de datos.

²¹Las respuestas variarán. Los diagramas de caja lado a lado son especialmente útiles para comparar centros y extensiones, mientras que los histogramas huecos son más útiles para ver la forma de la distribución, la asimetría y las posibles anomalías.

Ejercicios

2.21 Uso de antibióticos en niños. El gráfico de barras y el gráfico circular a continuación muestran la distribución de las afecciones médicas preexistentes de los niños involucrados en un estudio sobre la duración óptima del uso de antibióticos en el tratamiento de la traqueítis, que es una infección del tracto respiratorio superior.

• 1. ¿Qué características son evidentes en el gráfico de barras pero no en el gráfico circular?
• 2. ¿Qué características son evidentes en el gráfico circular pero no en el gráfico de barras?
• 3. ¿Qué gráfico preferiría utilizar para mostrar estos datos categóricos?

2.22 Opiniones sobre la inmigración. Se preguntó a 910 votantes registrados seleccionados al azar de Tampa, FL, si pensaban que los trabajadores que habían ingresado ilegalmente a los EE. UU. deberían (i) poder conservar sus trabajos y solicitar la ciudadanía estadounidense, (ii) poder conservar sus trabajos como trabajadores huéspedes temporales pero no poder solicitar la ciudadanía estadounidense, o (iii) perder sus trabajos y tener que salir del país. Los resultados de la encuesta por ideología política se muestran a continuación.22

		Ideología política
		Conservador	Moderado	Liberal	Total
Respuesta	(i) Solicitar la ciudadanía	57	120	101	278
	(ii) Trabajador huésped	121	113	28	262
	(iii) Salir del país	179	126	45	350
	(iv) No estoy seguro	15	4	1	20
	Total	372	363	175	910

• 1. ¿Qué porcentaje de estos votantes de Tampa, FL, se identifican como conservadores?
• 2. ¿Qué porcentaje de estos votantes de Tampa, FL, está a favor de la opción de ciudadanía?
• 3. ¿Qué porcentaje de estos votantes de Tampa, FL, se identifican como conservadores y están a favor de la opción de ciudadanía?
• 4. ¿Qué porcentaje de estos votantes de Tampa, FL, que se identifican como conservadores también están a favor de la opción de ciudadanía? ¿Qué porcentaje de moderados comparte esta opinión? ¿Qué porcentaje de liberales comparte esta opinión?
• 5. ¿Parecen ser independientes la ideología política y las opiniones sobre la inmigración? Explique su razonamiento.

²²SurveyUSA, Encuesta de noticias #18927, datos recopilados del 27 al 29 de enero de 2012.

2.23 Opiniones sobre la Ley DREAM. Se preguntó a una muestra aleatoria de votantes registrados de Tampa, FL, si apoyaban la Ley DREAM, una ley propuesta que proporcionaría un camino hacia la ciudadanía para las personas llevadas ilegalmente a los EE. UU. cuando eran niños. La encuesta también recopiló información sobre la ideología política de los encuestados. Según el diagrama de mosaico que se muestra a continuación, ¿parecen ser independientes las opiniones sobre la Ley DREAM y la ideología política? Explique su razonamiento.23

2.24 Aumento de impuestos. Se preguntó a una muestra aleatoria de votantes registrados a nivel nacional si pensaban que era mejor aumentar los impuestos a los ricos o aumentar los impuestos a los pobres. La encuesta también recopiló información sobre la afiliación al partido político de los encuestados. Según el diagrama de mosaico que se muestra a continuación, ¿parecen ser independientes las opiniones sobre el aumento de impuestos y la afiliación política? Explique su razonamiento.24

²³SurveyUSA, Encuesta de noticias #18927, datos recopilados del 27 al 29 de enero de 2012.

²⁴Public Policy Polling, Estadounidenses sobre títulos universitarios, literatura clásica, las estaciones y más, datos recopilados del 20 al 22 de febrero de 2015.

2.3 Estudio de caso: vacuna contra la malaria

EJEMPLO 2.30

Supongamos que su profesor divide a los estudiantes de la clase en dos grupos: los estudiantes de la izquierda y los estudiantes de la derecha. Si ˆp^L y ˆp^R representan la proporción de estudiantes que poseen un producto Apple a la izquierda y a la derecha, respectivamente, ¿le sorprendería que ˆp^L no fuera exactamente igual a ˆp^R ?

Si bien las proporciones probablemente serían cercanas entre sí, sería inusual que fueran exactamente iguales. Probablemente observaríamos una pequeña diferencia debido al azar.

PRÁCTICA GUIADA 2.31

Si no creemos que el lado de la sala en el que se sienta una persona en clase esté relacionado con si la persona posee o no un producto Apple, ¿qué suposición estamos haciendo sobre la relación entre estas dos variables?25

2.3.1 Variabilidad dentro de los datos

Consideramos un estudio sobre una nueva vacuna contra la malaria llamada PfSPZ. En este estudio, pacientes voluntarios fueron aleatorizados en uno de dos grupos experimentales: 14 pacientes recibieron una vacuna experimental y 6 pacientes recibieron una vacuna placebo. Diecinueve semanas después, los 20 pacientes fueron expuestos a una cepa de parásito de la malaria sensible a los fármacos; la motivación de usar una cepa de parásito sensible a los fármacos aquí es por consideraciones éticas, lo que permite que cualquier infección sea tratada eficazmente. Los resultados se resumen en la Figura 2.29, donde 9 de los 14 pacientes tratados permanecieron libres de signos de infección, mientras que los 6 pacientes del grupo de control mostraron algunos signos de infección basales.

		resultado
	infección no infección
tratamiento	vacuna	5	9	14
	placebo	6	0	6
	Total	11	9	20

Figura 2.29: Resultados resumidos para el experimento de la vacuna contra la malaria.

PRÁCTICA GUIADA 2.32

¿Es este un estudio observacional o un experimento? ¿Qué implicaciones tiene el tipo de estudio sobre lo que se puede inferir de los resultados?26

En este estudio, una proporción menor de pacientes que recibieron la vacuna mostraron signos de infección (35.7% versus 100%). Sin embargo, la muestra es muy pequeña y no está claro si la diferencia proporciona evidencia convincente de que la vacuna es eficaz.

²⁵Estaríamos asumiendo que estas dos variables son independientes.

²⁶El estudio es un experimento, ya que los pacientes fueron asignados aleatoriamente a un grupo experimental. Dado que este es un experimento, los resultados se pueden utilizar para evaluar una relación causal entre la vacuna contra la malaria y si los pacientes mostraron signos de infección.

EJEMPLO 2.33

A veces se solicita a los científicos de datos que evalúen la solidez de la evidencia. Al observar las tasas de infección de los pacientes en los dos grupos en este estudio, ¿qué se nos viene a la mente mientras intentamos determinar si los datos muestran evidencia convincente de una diferencia real?

Las tasas de infección observadas (35.7% para el grupo de tratamiento versus 100% para el grupo de control) sugieren que la vacuna puede ser eficaz. Sin embargo, no podemos estar seguros de si la diferencia observada representa la eficacia de la vacuna o si se debe simplemente al azar. Generalmente, hay un poco de fluctuación en los datos de la muestra, y no esperaríamos que las proporciones de la muestra sean exactamente iguales, incluso si la verdad fuera que las tasas de infección fueran independientes de la vacunación. Además, con muestras tan pequeñas, ¡quizás es común observar diferencias tan grandes cuando dividimos aleatoriamente un grupo debido solo al azar!

El ejemplo 2.33 es un recordatorio de que los resultados observados en la muestra de datos pueden no reflejar perfectamente las verdaderas relaciones entre las variables, ya que hay ruido aleatorio. Si bien la diferencia observada en las tasas de infección es grande, el tamaño de la muestra para el estudio es pequeño, lo que hace que no esté claro si esta diferencia observada representa la eficacia de la vacuna o si se debe simplemente al azar. Etiquetamos estas dos afirmaciones contrapuestas, H⁰ y HA, que se pronuncian como “H-cero” y “H-A”:

• H0: Modelo de independencia. Las variables tratamiento y resultado son independientes. No tienen relación, y la diferencia observada entre la proporción de pacientes que desarrollaron una infección en los dos grupos, 64.3%, se debió al azar.
• HA: Modelo alternativo. Las variables no son independientes. La diferencia en las tasas de infección del 64.3% no se debió al azar, y la vacuna afectó la tasa de infección.

¿Qué significaría si el modelo de independencia, que dice que la vacuna no tuvo influencia en la tasa de infección, fuera cierto? Significaría que 11 pacientes iban a desarrollar una infección sin importar en qué grupo fueran aleatorizados, y 9 pacientes no desarrollarían una infección sin importar en qué grupo fueran aleatorizados. Es decir, si la vacuna no afectara la tasa de infección, la diferencia en las tasas de infección se debería solo al azar en cómo se aleatorizaron los pacientes.

Ahora considere el modelo alternativo: las tasas de infección fueron influenciadas por si un paciente recibió la vacuna o no. Si esto fuera cierto, y especialmente si esta influencia fuera sustancial, esperaríamos ver alguna diferencia en las tasas de infección de los pacientes en los grupos.

Elegimos entre estas dos afirmaciones contrapuestas evaluando si los datos están tan en conflicto con H⁰ que el modelo de independencia no puede considerarse razonable. Si este es el caso, y los datos apoyan HA, entonces rechazaremos la noción de independencia y concluiremos que la vacuna fue eficaz.

2.3.2 Simulando el estudio

Vamos a implementar simulaciones, donde fingiremos que sabemos que la vacuna contra la malaria que se está probando no funciona. En última instancia, queremos entender si la gran diferencia que observamos es común en estas simulaciones. Si es común, entonces tal vez la diferencia que observamos se debió puramente al azar. Si es muy poco común, entonces la posibilidad de que la vacuna haya sido útil parece más plausible.

La Figura 2.29 muestra que 11 pacientes desarrollaron infecciones y 9 no. Para nuestra simulación, supondremos que las infecciones fueron independientes de la vacuna y que pudimos retroceder a cuando los investigadores aleatorizaron a los pacientes en el estudio. Si hubiéramos aleatorizado a los pacientes de manera diferente, podríamos obtener un resultado diferente en este mundo hipotético donde la vacuna no influye en la infección. Completemos otra aleatorización usando una simulación.

2.3. CASO DE ESTUDIO: VACUNA CONTRA LA MALARIA 73

En esta simulación, tomamos 20 fichas para representar a los 20 pacientes, donde escribimos “infección” en 11 fichas y “sin infección” en 9 fichas. En este mundo hipotético, creemos que cada paciente que contrajo una infección la iba a contraer independientemente del grupo en el que estuviera, así que veamos qué sucede si asignamos aleatoriamente a los pacientes a los grupos de tratamiento y control nuevamente. Barajamos a fondo las fichas y repartimos 14 en una pila de vacunas y 6 en una pila de placebo. Finalmente, tabulamos los resultados, que se muestran en la Figura 2.30.

		resultado
		infección	no infección	Total
tratamiento	vacuna	7	7	14
(simulado)	placebo	4	2	6
	Total	11	9	20

Figura 2.30: Resultados de la simulación, donde cualquier diferencia en las tasas de infección se debe puramente al azar.

PRÁCTICA GUIADA 2.34

¿Cuál es la diferencia en las tasas de infección entre los dos grupos simulados en la Figura 2.30? ¿Cómo se compara esto con la diferencia observada del 64.3% en los datos reales?27

2.3.3 Comprobación de la independencia

En la Práctica Guiada 2.34, calculamos una posible diferencia bajo el modelo de independencia, que representa una diferencia debida al azar. Si bien en esta primera simulación, repartimos físicamente tarjetas para representar a los pacientes, es más eficiente realizar esta simulación usando una computadora. Al repetir la simulación en una computadora, obtenemos otra diferencia debida al azar:

\[\frac{2}{6} - \frac{9}{14} = -0.310\]

Y otra:

\[\frac{3}{6} - \frac{8}{14} = -0.071\]

Y así sucesivamente hasta que repitamos la simulación suficientes veces para tener una buena idea de lo que representa la distribución de las diferencias debidas únicamente al azar. La Figura 2.31 muestra un gráfico apilado de las diferencias encontradas a partir de 100 simulaciones, donde cada punto representa una diferencia simulada entre las tasas de infección (tasa de control menos tasa de tratamiento).

Observe que la distribución de estas diferencias simuladas está centrada alrededor de 0. Simulamos estas diferencias asumiendo que el modelo de independencia era verdadero, y bajo esta condición, esperamos que la diferencia esté cerca de cero con alguna fluctuación aleatoria, donde cerca es bastante generoso en este caso ya que los tamaños de muestra son tan pequeños en este estudio.

EJEMPLO 2.35

¿Con qué frecuencia observaría una diferencia de al menos 64.3% (0.643) según la Figura 2.31? ¿A menudo, a veces, raramente o nunca?

Parece que una diferencia de al menos 64.3% debida solo al azar ocurriría solo alrededor del 2% de las veces según la Figura 2.31. Una probabilidad tan baja indica un evento raro.

²⁷4/6 − 7/14 = 0.167 o aproximadamente 16.7% a favor de la vacuna. Esta diferencia debida al azar es mucho menor que la diferencia observada en los grupos reales.

Diferencia en las tasas de infección

Figura 2.31: Un diagrama de puntos apilados de las diferencias de 100 simulaciones producidas bajo el modelo de independencia, H0, donde en estas simulaciones las infecciones no se ven afectadas por la vacuna. Dos de las 100 simulaciones tuvieron una diferencia de al menos 64.3%, la diferencia observada en el estudio.

La diferencia del 64.3% como un evento raro sugiere dos posibles interpretaciones de los resultados del estudio:

• H⁰ Modelo de Independencia. La vacuna no tiene ningún efecto sobre la tasa de infección, y simplemente observamos una diferencia que solo ocurriría en una ocasión rara.
• H^A Modelo Alternativo. La vacuna tiene un efecto sobre la tasa de infección, y la diferencia que observamos se debió en realidad a que la vacuna es eficaz para combatir la malaria, lo que explica la gran diferencia de 64.3%.

Basándonos en las simulaciones, tenemos dos opciones. (1) Concluimos que los resultados del estudio no proporcionan evidencia sólida en contra del modelo de independencia. Es decir, no tenemos evidencia suficientemente sólida para concluir que la vacuna tuvo un efecto en este entorno clínico. (2) Concluimos que la evidencia es suficientemente sólida para rechazar H⁰ y afirmar que la vacuna fue útil. Cuando realizamos estudios formales, generalmente rechazamos la noción de que simplemente observamos un evento raro.28 Entonces, en este caso, rechazamos el modelo de independencia en favor del alternativo. Es decir, estamos concluyendo que los datos proporcionan evidencia sólida de que la vacuna proporciona cierta protección contra la malaria en este entorno clínico.

Un campo de la estadística, la inferencia estadística, se basa en evaluar si tales diferencias se deben al azar. En la inferencia estadística, los científicos de datos evalúan qué modelo es más razonable dados los datos. Los errores ocurren, al igual que los eventos raros, y podríamos elegir el modelo equivocado. Si bien no siempre elegimos correctamente, la inferencia estadística nos brinda herramientas para controlar y evaluar con qué frecuencia ocurren estos errores. En el Capítulo 5, damos una introducción formal al problema de la selección de modelos. Pasamos los próximos dos capítulos construyendo una base de probabilidad y teoría necesaria para que esa discusión sea rigurosa.

²⁸Este razonamiento no se extiende generalmente a las observaciones anecdóticas. Cada uno de nosotros observa eventos increíblemente raros todos los días, eventos que no podríamos esperar predecir. Sin embargo, en el entorno no riguroso de la evidencia anecdótica, casi cualquier cosa puede parecer un evento raro, por lo que la idea de buscar eventos raros en las actividades cotidianas es traicionera. Por ejemplo, podríamos mirar la lotería: ¡solo había 1 entre 292 millones de posibilidades de que los números de Powerball para el premio mayor más grande de la historia (13 de enero de 2016) fueran (04, 08, 19, 27, 34) con un Powerball de (10), pero sin embargo esos números salieron! Sin embargo, no importa qué números hubieran salido, habrían tenido las mismas probabilidades increíblemente raras. Es decir, cualquier conjunto de números que podríamos haber observado sería en última instancia increíblemente raro. Este tipo de situación es típico de nuestra vida diaria: cada evento posible en sí mismo parece increíblemente raro, pero si consideramos cada alternativa, esos resultados también son increíblemente raros. Debemos tener cuidado de no malinterpretar tal evidencia anecdótica.

Ejercicios

2.25 Efectos secundarios de Avandia. La rosiglitazona es el ingrediente activo de Avandia, un medicamento controvertido para la diabetes tipo 2, y se ha relacionado con un mayor riesgo de problemas cardiovasculares graves como accidentes cerebrovasculares, insuficiencia cardíaca y muerte. Un tratamiento alternativo común es la pioglitazona, el ingrediente activo de un medicamento para la diabetes llamado Actos. En un estudio observacional retrospectivo a nivel nacional de 227,571 beneficiarios de Medicare de 65 años o más, se descubrió que 2,593 de los 67,593 pacientes que usaban rosiglitazona y 5,386 de los 159,978 que usaban pioglitazona tenían problemas cardiovasculares graves. Estos datos se resumen en la tabla de contingencia a continuación.29

		Problemas cardiovasculares
		Sí	No	Total
Tratamiento	Rosiglitazona	2,593	65,000	67,593
	Pioglitazona	5,386	154,592	159,978
	Total	7,979	219,592	227,571

• 1. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si es falsa, explique por qué. Tenga cuidado: el razonamiento puede ser incorrecto incluso si la conclusión de la afirmación es correcta. En tales casos, la afirmación debe considerarse falsa.
  • 1. Dado que más pacientes con pioglitazona tuvieron problemas cardiovasculares (5,386 frente a 2,593), podemos concluir que la tasa de problemas cardiovasculares para aquellos en un tratamiento con pioglitazona es mayor.
  • 2. Los datos sugieren que los pacientes diabéticos que toman rosiglitazona tienen más probabilidades de tener problemas cardiovasculares, ya que la tasa de incidencia fue (2,593 / 67,593 = 0.038) 3.8% para los pacientes en este tratamiento, mientras que fue solo (5,386 / 159,978 = 0.034) 3.4% para los pacientes con pioglitazona.
  • 3. El hecho de que la tasa de incidencia sea mayor para el grupo de rosiglitazona prueba que la rosiglitazona causa problemas cardiovasculares graves.
  • 4. Según la información proporcionada hasta ahora, no podemos decir si la diferencia entre las tasas de incidencia se debe a una relación entre las dos variables o al azar.
• 2. ¿Qué proporción de todos los pacientes tuvo problemas cardiovasculares?
• 3. Si el tipo de tratamiento y tener problemas cardiovasculares fueran independientes, ¿aproximadamente cuántos pacientes en el grupo de rosiglitazona esperaríamos que hubieran tenido problemas cardiovasculares?
• 4. Podemos investigar la relación entre el resultado y el tratamiento en este estudio utilizando una técnica de aleatorización. Si bien en realidad realizaríamos las simulaciones necesarias para la aleatorización utilizando software estadístico, supongamos que en realidad simulamos utilizando tarjetas de índice. Para simular a partir del modelo de independencia, que establece que los resultados fueron independientes del tratamiento, escribimos si cada paciente tuvo o no un problema cardiovascular en tarjetas, mezclamos todas las tarjetas y luego las repartimos en dos grupos de tamaño 67,593 y 159,978. Repetimos esta simulación 1,000 veces y cada vez registramos el número de personas en el grupo de rosiglitazona que tuvieron problemas cardiovasculares. Utilice el histograma de frecuencia relativa de estos conteos para responder (i)-(iii).
• 1. ¿Cuáles son las afirmaciones que se están probando? ii. En comparación con el número calculado en la parte (c), ¿cuál proporcionaría más apoyo a la hipótesis alternativa, más o menos pacientes con problemas cardiovasculares en el grupo de rosiglitazona?
• 3. ¿Qué sugieren los resultados de la simulación sobre la relación entre tomar rosiglitazona y tener problemas cardiovasculares en pacientes diabéticos?

²⁹D.J. Graham et al. “Risk of acute myocardial infarction, stroke, heart failure, and death in elderly Medicare patients treated with rosiglitazone or pioglitazone”. In: JAMA 304.4 (2010), p. 411. issn: 0098-7484.

2.26 Trasplantes de corazón. El Estudio de Trasplante de Corazón de la Universidad de Stanford se llevó a cabo para determinar si un programa experimental de trasplante de corazón aumentaba la esperanza de vida. Cada paciente que ingresaba al programa era designado candidato oficial para trasplante de corazón, lo que significaba que estaba gravemente enfermo y que lo más probable es que se beneficiara de un corazón nuevo. Algunos pacientes recibieron un trasplante y otros no. La variable trasplante indica en qué grupo estaban los pacientes; los pacientes del grupo de tratamiento recibieron un trasplante y los del grupo de control no. De los 34 pacientes en el grupo de control, 30 murieron. De las 69 personas en el grupo de tratamiento, 45 murieron. Se utilizó otra variable llamada sobrevivió para indicar si el paciente estaba vivo o no al final del estudio.30

• 1. Según el diagrama de mosaico, ¿la supervivencia es independiente de si el paciente recibió o no un trasplante? Explique su razonamiento.
• 2. ¿Qué sugieren los diagramas de caja a continuación sobre la eficacia (efectividad) del tratamiento de trasplante de corazón?
• 3. ¿Qué proporción de pacientes en el grupo de tratamiento y qué proporción de pacientes en el grupo de control murieron?
• 4. Un enfoque para investigar si el tratamiento es efectivo o no es utilizar una técnica de aleatorización.
  • 1. ¿Cuáles son las afirmaciones que se están probando?
  • 2. El párrafo a continuación describe la configuración de dicho enfoque, si tuviéramos que hacerlo sin utilizar software estadístico. Complete los espacios en blanco con un número o frase, lo que sea apropiado.

Escribimos vivo en tarjetas que representan a los pacientes que estaban vivos al final del estudio, y muerto en tarjetas que representan a los pacientes que no lo estaban. Luego, barajamos estas tarjetas y las dividimos en dos grupos: un grupo de tamaño que representa el tratamiento y otro grupo de tamaño que representa el control. Calculamos la diferencia entre la proporción de tarjetas de muertos en los grupos de tratamiento y control (tratamiento - control) y registramos este valor. Repetimos esto 100 veces para construir una distribución centrada en . Por último, calculamos la fracción de simulaciones donde las diferencias simuladas en proporciones son . Si esta fracción es baja, concluimos que es poco probable que hayamos observado tal resultado por casualidad y que la hipótesis nula debe ser rechazada en favor de la alternativa.

3. ¿Qué sugieren los resultados de la simulación que se muestran a continuación sobre la efectividad del programa de trasplante?

³⁰B. Turnbull et al. “Survivorship of Heart Transplant Data”. In: Journal of the American Statistical Association 69 (1974), pp. 74–80.

Ejercicios del Capítulo

2.27 Examen de recuperación. En una clase de 25 estudiantes, 24 de ellos hicieron un examen en clase y 1 estudiante hizo un examen de recuperación al día siguiente. El profesor calificó el primer lote de 24 exámenes y encontró una puntuación media de 74 puntos con una desviación estándar de 8.9 puntos. El estudiante que hizo la recuperación al día siguiente obtuvo 64 puntos en el examen.

• 1. ¿La puntuación del nuevo estudiante aumenta o disminuye la puntuación media?
• 2. ¿Cuál es la nueva media?
• 3. ¿La puntuación del nuevo estudiante aumenta o disminuye la desviación estándar de las puntuaciones?

2.28 Mortalidad infantil. La tasa de mortalidad infantil se define como el número de muertes infantiles por cada 1.000 nacidos vivos. Esta tasa se utiliza a menudo como un indicador del nivel de salud en un país. El histograma de frecuencia relativa que aparece a continuación muestra la distribución de las tasas de mortalidad infantil estimadas para 224 países para los que se disponía de dichos datos en 2014.31

• 1. Estimar Q1, la mediana y Q3 a partir del histograma.
• 2. ¿Esperaría que la media de este conjunto de datos fuera menor o mayor que la mediana? Explique su razonamiento.

2.29 Espectadores de televisión. A los estudiantes de una clase de Estadística AP se les preguntó cuántas horas de televisión ven por semana (incluyendo la transmisión en línea). Esta muestra arrojó una media de 4.71 horas, con una desviación estándar de 4.18 horas. ¿Es simétrica la distribución del número de horas que los estudiantes ven la televisión semanalmente? Si no, ¿qué forma esperaría que tuviera esta distribución? Explique su razonamiento.

2.30 Una nueva estadística. La estadística ^x¯ mediana puede utilizarse como una medida de asimetría. Supongamos que tenemos una distribución donde todas las observaciones son mayores que 0, xⁱ > 0. ¿Cuál es la forma esperada de la distribución bajo las siguientes condiciones? Explique su razonamiento.

\[\begin{array}{l} \text{(a)} \ \frac{x}{mediana} = 1\\ \text{(b)} \ \frac{x}{mediana} < 1\\ \text{(c)} \ \frac{x}{mediana} > 1 \end{array}\]

2.31 Ganadores del Oscar. Los primeros premios Oscar al mejor actor y a la mejor actriz se entregaron en 1929. Los histogramas siguientes muestran la distribución de edades de todos los ganadores del Oscar al mejor actor y a la mejor actriz desde 1929 hasta 2018. También se proporcionan estadísticas resumidas para estas distribuciones. Compare las distribuciones de edades de los ganadores al mejor actor y a la mejor actriz.32

³¹CIA Factbook, Comparaciones entre países, 2014.

³²Ganadores del Oscar de 1929 a 2012, datos hasta 2009 del archivo de datos del Journal of Statistics Education y datos más actuales de wikipedia.org.

2.32 Puntuaciones de los exámenes. La media en un examen de historia (puntuado sobre 100 puntos) fue de 85, con una desviación estándar de 15. ¿Es simétrica la distribución de las puntuaciones en este examen? Si no, ¿qué forma esperaría que tuviera esta distribución? Explique su razonamiento.

2.33 Puntuaciones de estadística. A continuación, se muestran las puntuaciones del examen final de veinte estudiantes de estadística introductoria.

\[157, 66, 69, 71, 72, 73, 74, 77, 78, 79, 79, 79, 81, 81, 82, 83, 83, 88, 89, 94\]

Crea un diagrama de caja de la distribución de estas puntuaciones. El resumen de cinco números que se proporciona a continuación puede ser útil.

Min	Q1	Q2 (Mediana)	Q3	Max
57	72.5	78.5	82.5	94

2.34 Ganadores de maratones. El histograma y los diagramas de caja que se muestran a continuación muestran la distribución de los tiempos de finalización en horas para los ganadores masculinos y femeninos de la Maratón de Nueva York entre 1970 y 1999.

• 1. ¿Qué características de la distribución son evidentes en el histograma y no en el diagrama de caja? ¿Qué características son evidentes en el diagrama de caja pero no en el histograma?
• 2. ¿Cuál puede ser la razón de la distribución bimodal? Explique.
• 3. Compare la distribución de los tiempos de maratón para hombres y mujeres basándose en el diagrama de caja que se muestra a continuación.

4. El diagrama de series temporales que se muestra a continuación es otra forma de ver estos datos. Describa lo que es visible en este diagrama pero no en los demás.

Capítulo 3

79

Probabilidad

• 3.1 Definiendo probabilidad
• 3.2 Probabilidad condicional
• 3.3 Muestreo de una población pequeña
• 3.4 Variables aleatorias
• 3.5 Distribuciones continuas

La probabilidad forma la base de la estadística, y probablemente ya conozcas muchas de las ideas presentadas en este capítulo. Sin embargo, la formalización de los conceptos de probabilidad es probablemente nueva para la mayoría de los lectores.

Si bien este capítulo proporciona una base teórica para las ideas en capítulos posteriores y proporciona un camino hacia una comprensión más profunda, no se requiere el dominio de los conceptos introducidos en este capítulo para aplicar los métodos introducidos en el resto de este libro.

Para videos, diapositivas y otros recursos, por favor visita www.openintro.org/os

3.1 Definiendo probabilidad

La estadística se basa en la probabilidad, y aunque la probabilidad no es necesaria para las técnicas aplicadas en este libro, puede ayudarte a obtener una comprensión más profunda de los métodos y establecer una mejor base para cursos futuros.

3.1.1 Ejemplos introductorios

Antes de entrar en ideas técnicas, veamos algunos ejemplos básicos que pueden resultar más familiares.

EJEMPLO 3.1

Un “dado” (la forma singular de “dados”) es un cubo con seis caras numeradas 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 al tirar un dado?

Si el dado es justo, entonces la probabilidad de obtener un 1 es tan buena como la probabilidad de cualquier otro número. Dado que hay seis resultados, la probabilidad debe ser 1 entre 6 o, equivalentemente, 1/6.

EJEMPLO 3.2

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 o un 2 en la próxima tirada?

1 y 2 constituyen dos de los seis resultados posibles igualmente probables, por lo que la probabilidad de obtener uno de estos dos resultados debe ser 2/6 = 1/3.

EJEMPLO 3.3

¿Cuál es la probabilidad de obtener 1, 2, 3, 4, 5 o 6 en la próxima tirada?

100%. El resultado debe ser uno de estos números.

EJEMPLO 3.4

¿Cuál es la probabilidad de no sacar un 2?

Dado que la probabilidad de sacar un 2 es 1/6 o 16.¯6%, la probabilidad de no sacar un 2 debe ser 100%−16.¯6% = 83.¯3% o 5/6.

Alternativamente, podríamos haber notado que no sacar un 2 es lo mismo que obtener un 1, 3, 4, 5 o 6, lo que constituye cinco de los seis resultados igualmente probables y tiene una probabilidad de 5/6.

EJEMPLO 3.5

Consideremos el lanzamiento de dos dados. Si 1/6 de las veces el primer dado es un 1 y 1/6 de esas veces el segundo dado es un 1, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos 1s?

Si el 16.¯6% de las veces el primer dado es un 1 y 1/6 de esas veces el segundo dado también es un 1, entonces la probabilidad de que ambos dados sean 1 es (1/6) × (1/6) o 1/36.

3.1.2 Probabilidad

Utilizamos la probabilidad para construir herramientas que describan y comprendan la aleatoriedad aparente. A menudo enmarcamos la probabilidad en términos de un proceso aleatorio que da lugar a un resultado.

\[\begin{array}{rcl} \text{Lanzar un dado} & \rightarrow & \mathbf{1}, \mathbf{2}, \mathbf{3}, \mathbf{4}, \mathbf{5}, \text{ o } \mathbf{6} \\\text{Lanzar una moneda} & \rightarrow & \mathbf{H} \text{ o } \mathbf{T} \end{array}\]

Lanzar un dado o una moneda es un proceso aparentemente aleatorio y cada uno da lugar a un resultado.

PROBABILIDAD

La probabilidad de un resultado es la proporción de veces que ocurriría el resultado si observáramos el proceso aleatorio un número infinito de veces.

La probabilidad se define como una proporción y siempre toma valores entre 0 y 1 (inclusive). También puede mostrarse como un porcentaje entre 0% y 100%.

La probabilidad puede ilustrarse lanzando un dado muchas veces. Sea ˆpⁿ la proporción de resultados que son 1 después de los primeros n lanzamientos. A medida que aumenta el número de lanzamientos, ˆpⁿ convergerá a la probabilidad de lanzar un 1, p = 1/6. La Figura 3.1 muestra esta convergencia para 100,000 lanzamientos de dados. La tendencia de ˆpⁿ a estabilizarse alrededor de p se describe mediante la Ley de los Grandes Números.

Figura 3.1: La fracción de lanzamientos de dados que son 1 en cada etapa de una simulación. La proporción tiende a acercarse a la probabilidad 1/6 ≈ 0.167 a medida que aumenta el número de lanzamientos.

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

A medida que se recopilan más observaciones, la proporción ˆpⁿ de ocurrencias con un resultado particular converge a la probabilidad p de ese resultado.

Ocasionalmente, la proporción se desviará de la probabilidad y parecerá desafiar la Ley de los Grandes Números, como ˆpⁿ lo hace muchas veces en la Figura 3.1. Sin embargo, estas desviaciones se hacen más pequeñas a medida que aumenta el número de lanzamientos.

Arriba escribimos p como la probabilidad de lanzar un 1. También podemos escribir esta probabilidad como

P(lanzar un 1)

A medida que nos sintamos más cómodos con esta notación, la abreviaremos aún más. Por ejemplo, si está claro que el proceso es “lanzar un dado”, podríamos abreviar P(lanzar un 1) como P(1).

3.1. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD 83

PRÁCTICA GUIADA 3.6

Los procesos aleatorios incluyen lanzar un dado y lanzar una moneda. (a) Piensa en otro proceso aleatorio. (b) Describe todos los posibles resultados de ese proceso. Por ejemplo, lanzar un dado es un proceso aleatorio con posibles resultados 1, 2, …, 6. 1

Lo que pensamos como procesos aleatorios no son necesariamente aleatorios, sino que pueden ser simplemente demasiado difíciles de entender con exactitud. El cuarto ejemplo en la solución de la nota al pie de la Práctica Guiada 3.6 sugiere que el comportamiento de un compañero de cuarto es un proceso aleatorio. Sin embargo, incluso si el comportamiento de un compañero de cuarto no es verdaderamente aleatorio, modelar su comportamiento como un proceso aleatorio aún puede ser útil.

3.1.3 Resultados Disjuntos o Mutuamente Excluyentes

Dos resultados se denominan disjuntos o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos. Por ejemplo, si lanzamos un dado, los resultados 1 y 2 son disjuntos ya que no pueden ocurrir ambos. Por otro lado, los resultados 1 y “sacar un número impar” no son disjuntos ya que ambos ocurren si el resultado del lanzamiento es un 1. Los términos disjuntos y mutuamente excluyentes son equivalentes e intercambiables.

Calcular la probabilidad de resultados disjuntos es fácil. Al lanzar un dado, los resultados 1 y 2 son disjuntos, y calculamos la probabilidad de que uno de estos resultados ocurra sumando sus probabilidades separadas:

\[P(\mathbf{1} \text{ o } \mathbf{2}) = P(\mathbf{1}) + P(\mathbf{2}) = 1/6 + 1/6 = 1/3\]

¿Qué pasa con la probabilidad de sacar un 1, 2, 3, 4, 5 o 6? Aquí nuevamente, todos los resultados son disjuntos, por lo que sumamos las probabilidades:

\[\begin{aligned} P(\mathbf{1} \text{ o } \mathbf{2} \text{ o } \mathbf{3} \text{ o } \mathbf{4} \text{ o } \mathbf{5} \text{ o } \mathbf{6}) \\ = P(\mathbf{1}) + P(\mathbf{2}) + P(\mathbf{3}) + P(\mathbf{4}) + P(\mathbf{5}) + P(\mathbf{6}) \\ = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 \end{aligned}\]

La Regla de la Adición garantiza la precisión de este enfoque cuando los resultados son disjuntos.

REGLA DE LA ADICIÓN DE RESULTADOS DISJUNTOS

Si A¹ y A² representan dos resultados disjuntos, entonces la probabilidad de que uno de ellos ocurra está dada por

\[P(A\_1 \text{ o } A\_2) = P(A\_1) + P(A\_2)\]

Si hay muchos resultados disjuntos A1, …, Ak, entonces la probabilidad de que uno de estos resultados ocurra es

\[P(A\_1) + P(A\_2) + \dots + P(A\_k)\]

¹Aquí hay cuatro ejemplos. (i) Si alguien se enferma o no en el próximo mes es un proceso aparentemente aleatorio con los resultados enfermo y no. (ii) Podemos generar un proceso aleatorio seleccionando aleatoriamente a una persona y midiendo la altura de esa persona. El resultado de este proceso será un número positivo. (iii) Si el mercado de valores sube o baja la semana que viene es un proceso aparentemente aleatorio con los posibles resultados de subida, bajada y sin cambios. Alternativamente, podríamos haber utilizado el cambio porcentual en el mercado de valores como un resultado numérico. (iv) Si tu compañero de cuarto lava sus platos esta noche probablemente parece un proceso aleatorio con los posibles resultados de lava los platos y deja los platos.

Estamos interesados en la probabilidad de sacar un 1, 4 o 5. (a) Explica por qué los resultados 1, 4 y 5 son disjuntos. (b) Aplica la Regla de la Adición para resultados disjuntos para determinar P(1 o 4 o 5).2

PRÁCTICA GUIADA 3.8

En el conjunto de datos de préstamos del Capítulo 2, la variable de propiedad de la vivienda describía si el prestatario alquila, tiene una hipoteca o es dueño de su propiedad. De los 10,000 prestatarios, 3858 alquilaron, 4789 tenían una hipoteca y 1353 eran dueños de su casa.3

• 1. ¿Son los resultados alquiler, hipoteca y propiedad disjuntos?
• 2. Determina la proporción de préstamos con valor hipoteca y propiedad por separado.
• 3. Utiliza la Regla de la Adición para resultados disjuntos para calcular la probabilidad de que un préstamo seleccionado aleatoriamente del conjunto de datos sea para alguien que tiene una hipoteca o es dueño de su casa.

Los científicos de datos rara vez trabajan con resultados individuales y en su lugar consideran conjuntos o colecciones de resultados. Sea A el evento donde un lanzamiento de dado resulta en 1 o 2 y B representa el evento de que el lanzamiento de dado sea un 4 o un 6. Escribimos A como el conjunto de resultados {1, 2} y B = {4, 6}. Estos conjuntos se denominan comúnmente eventos. Debido a que A y B no tienen elementos en común, son eventos disjuntos. A y B se representan en la Figura 3.2.

Figura 3.2: Tres eventos, A, B y D, consisten en resultados de lanzar un dado. A y B son disjuntos ya que no tienen ningún resultado en común.

La Regla de la Adición se aplica tanto a resultados disjuntos como a eventos disjuntos. La probabilidad de que uno de los eventos disjuntos A o B ocurra es la suma de las probabilidades separadas:

\[P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/3 = 2/3\]

PRÁCTICA GUIADA 3.9

1. Verifica que la probabilidad del evento A, P(A), es 1/3 utilizando la Regla de la Adición. (b) Haz lo mismo para el evento B. 4

PRÁCTICA GUIADA 3.10

1. Usando la Figura 3.2 como referencia, ¿qué resultados están representados por el evento D? (b) ¿Son los eventos B y D disjuntos? (c) ¿Son los eventos A y D disjuntos?5

PRÁCTICA GUIADA 3.11

En la Práctica Guiada 3.10, confirmaste que B y D de la Figura 3.2 son disjuntos. Calcula la probabilidad de que ocurra el evento B o el evento D.6

⁶Dado que B y D son eventos disjuntos, usa la Regla de la Adición: P(B o D) = P(B) + P(D) = ^{1 3 + 1 3 = 2} 3 .

² (a) El proceso aleatorio es lanzar un dado, y a lo sumo uno de estos resultados puede salir. Esto significa que son resultados disjuntos. (b) P(1 o 4 o 5) = P(1) + P(4) + P(5) = ^{1 6 + 1 6 + 1 6 = 3 6 = 1} 2

³ (a) Sí. Cada préstamo se clasifica en solo un nivel de propiedad de la vivienda. (b) Hipoteca: ^{4789 10000} = 0.479. Propia: 1353 ¹⁰⁰⁰⁰ = 0.135. (c) P(hipoteca o propia) = P(hipoteca) + P(propia) = 0.479 + 0.135 = 0.614.

⁴ (a) P(A) = P(1 o 2) = P(1) + P(2) = ^{1 6 + 1 6 = 2 6 = 1} 3 . (b) De manera similar, P(B) = 1/3.

⁵ (a) Resultados 2 y 3. (b) Sí, los eventos B y D son disjuntos porque no comparten resultados. (c) Los eventos A y D comparten un resultado en común, 2, por lo que no son disjuntos.

3.1.4 Probabilidades cuando los eventos no son disjuntos

Consideremos los cálculos para dos eventos que no son disjuntos en el contexto de una baraja regular de 52 cartas, representada en la Figura 3.3. Si no estás familiarizado con las cartas de una baraja regular, consulta la nota al pie.7

2♣	3♣	4♣	5♣	6♣	7♣	8♣	9♣	10♣	J♣	Q♣	K♣	A♣
2♢	3♢	4♢	5♢	6♢	7♢	8♢	9♢	10♢	J♢	Q♢	K♢	A♢
2♡	3♡	4♡	5♡	6♡	7♡	8♡	9♡	10♡	J♡	Q♡	K♡	A♡
2♠	3♠	4♠	5♠	6♠	7♠	8♠	9♠	10♠	J♠	Q♠	K♠	A♠

Figura 3.3: Representaciones de las 52 cartas únicas en una baraja.

PRÁCTICA GUIADA 3.12

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar sea un diamante? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que una carta seleccionada al azar sea una figura?8

Los diagramas de Venn son útiles cuando los resultados se pueden clasificar como “dentro” o “fuera” para dos o tres variables, atributos o procesos aleatorios. El diagrama de Venn en la Figura 3.4 usa un círculo para representar los diamantes y otro para representar las figuras. Si una carta es tanto un diamante como una figura, cae en la intersección de los círculos. Si es un diamante pero no una figura, estará en parte del círculo izquierdo que no está en el círculo derecho (y así sucesivamente). El número total de cartas que son diamantes viene dado por el número total de cartas en el círculo de diamantes: 10 + 3 = 13. También se muestran las probabilidades (por ejemplo, 10/52 = 0.1923).

Figura 3.4: Un diagrama de Venn para diamantes y figuras.

Sea A el evento de que una carta seleccionada al azar sea un diamante y B el evento de que sea una figura. ¿Cómo calculamos P(A o B)? Los eventos A y B no son disjuntos (las cartas J♢, Q♢ y K♢ entran en ambas categorías), por lo que no podemos usar la Regla de la Adición para eventos disjuntos. En cambio, usamos el diagrama de Venn. Comenzamos sumando las probabilidades de los dos eventos:

\[P(A) + P(B) = P(\diamondsuit) + P(\text{figura}) = 13/52 + 12/52\]

⁷Las 52 cartas se dividen en cuatro palos: ♣ (trébol), ♢ (diamante), ♡ (corazón), ♠ (pica). Cada palo tiene sus 13 cartas etiquetadas: 2, 3, …, 10, J (jota), Q (reina), K (rey) y A (as). Por lo tanto, cada carta es una combinación única de un palo y una etiqueta, por ejemplo, 4♡ y J♣. Las 12 cartas representadas por las jotas, reinas y reyes se llaman figuras. Las cartas que son ♢ o ♡ suelen ser de color rojo, mientras que los otros dos palos suelen ser de color negro.

⁸ (a) Hay 52 cartas y 13 diamantes. Si las cartas están bien barajadas, cada carta tiene la misma probabilidad de ser extraída, por lo que la probabilidad de que una carta seleccionada al azar sea un diamante es P(♢) = ^{13 52} = 0.250. (b) Del mismo modo, hay 12 figuras, por lo que P(figura) = ^{12 52 = 3 13} = 0.231.

Sin embargo, las tres cartas que están en ambos eventos se contaron dos veces, una vez en cada probabilidad. Debemos corregir este conteo doble:

\[\begin{aligned} P(A \text{ o } B) &= P(\diamond \text{ o figura}) \\ &= P(\diamond) + P(\text{figura}) - P(\diamond \text{ y figura}) \\ &= 13/52 + 12/52 - 3/52 \\ &= 22/52 = 11/26 \end{aligned}\]

Esta ecuación es un ejemplo de la Regla General de la Adición.

REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN

Si A y B son dos eventos cualesquiera, disjuntos o no, entonces la probabilidad de que al menos uno de ellos ocurra es

\[P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B)\]

donde P(A y B) es la probabilidad de que ocurran ambos eventos.

CONSEJO: “o” es inclusivo

Cuando escribimos “o” en estadística, nos referimos a “y/o” a menos que explícitamente digamos lo contrario. Por lo tanto, A o B ocurre significa que A, B, o ambos A y B ocurren.

PRÁCTICA GUIADA 3.13

1. Si A y B son disjuntos, describa por qué esto implica que P(A y B) = 0. (b) Usando la parte (a), verifique que la Regla General de la Adición se simplifica a la Regla de Adición más simple para eventos disjuntos si A y B son disjuntos.9

PRÁCTICA GUIADA 3.14

En el conjunto de datos de préstamos que describe 10,000 préstamos, 1495 préstamos fueron de solicitudes conjuntas (por ejemplo, una pareja solicitó junta), 4789 solicitantes tenían una hipoteca y 950 tenían ambas características. Cree un diagrama de Venn para esta configuración.10

PRÁCTICA GUIADA 3.15

1. Utilice su diagrama de Venn de la Práctica Guiada 3.14 para determinar la probabilidad de que un préstamo extraído aleatoriamente del conjunto de datos de préstamos sea de una solicitud conjunta donde la pareja tenía una hipoteca. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el préstamo tenga alguno de estos atributos?11

¹⁰Tanto los conteos como las probabilidades correspondientes (p. ej., 3839/10000 = 0.384) se muestran. Observe que el número de préstamos representados en el círculo izquierdo corresponde a 3839 + 950 = 4789, y el número representado en el círculo derecho es 950 + 545 = 1495.

¹¹(a) La solución está representada por la intersección de los dos círculos: 0.095. (b) Esta es la suma de las tres probabilidades disjuntas que se muestran en los círculos: 0.384 + 0.095 + 0.055 = 0.534 (desviación de 0.001 debido a un error de redondeo).

⁹ (a) Si A y B son disjuntos, A y B nunca pueden ocurrir simultáneamente. (b) Si A y B son disjuntos, entonces el último término P(A y B) en la fórmula de la Regla General de Adición es 0 (ver parte (a)) y nos quedamos con la Regla de Adición para eventos disjuntos.

3.1.5 Distribuciones de probabilidad

Una distribución de probabilidad es una tabla de todos los resultados disjuntos y sus probabilidades asociadas. La Figura 3.5 muestra la distribución de probabilidad para la suma de dos dados.

Suma de los dados	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Probabilidad	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
	36	36	36	36	36	36	36	36	36	36	36

Figura 3.5: Distribución de probabilidad para la suma de dos dados.

REGLAS PARA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidad es una lista de los posibles resultados con las probabilidades correspondientes que satisfacen tres reglas:

• 1. Los resultados enumerados deben ser disjuntos.
• 2. Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1.
• 3. Las probabilidades deben sumar 1.

PRÁCTICA GUIADA 3.16

La Figura 3.6 sugiere tres distribuciones para los ingresos familiares en los Estados Unidos. Sólo una es correcta. ¿Cuál debe ser? ¿Qué tienen de malo las otras dos?12

Rango de ingresos	$0-25k	$25k-50k	$50k-100k	$100k+
(a)	0.18	0.39	0.33	0.16
(b)	0.38	-0.27	0.52	0.37
(c)	0.28	0.27	0.29	0.16

Figura 3.6: Distribuciones propuestas de los ingresos familiares en EE. UU. (Práctica Guiada 3.16).

El Capítulo 1 enfatizó la importancia de graficar los datos para proporcionar resúmenes rápidos. Las distribuciones de probabilidad también se pueden resumir en un diagrama de barras. Por ejemplo, la distribución de los ingresos familiares en EE. UU. se muestra en la Figura 3.7 como un diagrama de barras. La distribución de probabilidad para la suma de dos dados se muestra en la Figura 3.5 y se grafica en la Figura 3.8.

Figura 3.7: La distribución de probabilidad de los ingresos familiares en EE. UU.

¹²Las probabilidades de (a) no suman 1. La segunda probabilidad en (b) es negativa. Esto deja (c), que seguramente satisface los requisitos de una distribución. Se dijo que una de las tres era la distribución real de los ingresos familiares en EE. UU., por lo que debe ser (c).

Figura 3.8: La distribución de probabilidad de la suma de dos dados.

En estos diagramas de barras, las alturas de las barras representan las probabilidades de los resultados. Si los resultados son numéricos y discretos, suele ser (visualmente) conveniente hacer un diagrama de barras que se asemeje a un histograma, como en el caso de la suma de dos dados. Otro ejemplo de trazar las barras en sus respectivas ubicaciones se muestra en la Figura 3.18 en la página 115.

3.1.6 Complemento de un evento

Lanzar un dado produce un valor en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S) para lanzar un dado. A menudo utilizamos el espacio muestral para examinar el escenario donde un evento no ocurre.

Sea D = {2, 3} el evento en que el resultado de lanzar un dado es 2 o 3. Entonces, el complemento de D representa todos los resultados en nuestro espacio muestral que no están en D, lo cual se denota como D^c = {1, 4, 5, 6}. Es decir, D^c es el conjunto de todos los resultados posibles no incluidos ya en D. La Figura 3.9 muestra la relación entre D, D^c y el espacio muestral S.

Figura 3.9: Evento D = {2, 3} y su complemento, D^c = {1, 4, 5, 6}. S representa el espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles.

PRÁCTICA GUIADA 3.17

1. Calcule P(D^c ) = P(sacar un 1, 4, 5 o 6). (b) ¿Cuál es P(D) + P(D^c )?13

PRÁCTICA GUIADA 3.18

Los eventos A = {1, 2} y B = {4, 6} se muestran en la Figura 3.2 en la página 84. (a) Escriba lo que representan A^c y B^c . (b) Calcule P(A^c ) y P(B^c ). (c) Calcule P(A) + P(A^c ) y P(B) + P(B^c ).14

¹³(a) Los resultados son disjuntos y cada uno tiene una probabilidad de 1/6, por lo que la probabilidad total es 4/6 = 2/3. (b) También podemos ver que P(D) = ^{1 6 + 1 6} = 1/3. Dado que ^D y ^Dc son disjuntos, ^P(D) + ^P(D^c ) = 1.

¹⁴Soluciones breves: (a) A^c = {3, 4, 5, 6} y B^c = {1, 2, 3, 5}. (b) Teniendo en cuenta que cada resultado es disjunto, sume las probabilidades de resultados individuales para obtener P(A^c ) = 2/3 y P(B^c ) = 2/3. (c) A y A^c son disjuntos, y lo mismo ocurre con B y B^c . Por lo tanto, P(A) + P(A^c ) = 1 y P(B) + P(B^c ) = 1.

3.1. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD 89

El complemento de un evento A se construye para tener dos propiedades muy importantes: (i) todo resultado posible que no esté en A está en A^c , y (ii) A y A^c son disjuntos. La propiedad (i) implica

\[P(A \text{ o } A^c) = 1\]

Es decir, si el resultado no está en A, debe estar representado en A^c . Usamos la Regla de Adición para eventos disjuntos para aplicar la Propiedad (ii):

\[P(A \text{ o } A^c) = P(A) + P(A^c)\]

La combinación de las dos últimas ecuaciones produce una relación muy útil entre la probabilidad de un evento y su complemento.

COMPLEMENTO

El complemento del evento A se denota A^c , y A^c representa todos los resultados que no están en A. A y A^c están relacionados matemáticamente:

\[P(A) + P(A^c) = 1, \quad \text{es decir.} \quad P(A) = 1 - P(A^c)\]

En ejemplos simples, calcular A o A^c es factible en unos pocos pasos. Sin embargo, usar el complemento puede ahorrar mucho tiempo a medida que los problemas crecen en complejidad.

PRÁCTICA GUIADA 3.19

Sea A el evento en el que lanzamos dos dados y su total es menor que 12. (a) ¿Qué representa el evento A^c ? (b) Determine P(A^c ) a partir de la Figura 3.5 en la página 87. (c) Determine P(A).15

PRÁCTICA GUIADA 3.20

Encuentre las siguientes probabilidades para lanzar dos dados:16

• 1. La suma de los dados no es 6.
• 2. La suma es al menos 4. Es decir, determine la probabilidad del evento B = {4, 5, …, 12}.
• 3. La suma no es mayor que 10. Es decir, determine la probabilidad del evento D = {2, 3, …, 10}.

3.1.7 Independencia

Así como las variables y las observaciones pueden ser independientes, los procesos aleatorios también pueden ser independientes. Dos procesos son independientes si conocer el resultado de uno no proporciona información útil sobre el resultado del otro. Por ejemplo, lanzar una moneda y tirar un dado son dos procesos independientes: saber que la moneda salió cara no ayuda a determinar el resultado de una tirada de dados. Por otro lado, los precios de las acciones generalmente suben o bajan juntos, por lo que no son independientes.

El Ejemplo 3.5 proporciona un ejemplo básico de dos procesos independientes: lanzar dos dados. Queremos determinar la probabilidad de que ambos sean 1. Suponga que uno de los dados es rojo y el otro blanco. Si el resultado del dado rojo es un 1, no proporciona información sobre el resultado del dado blanco. Primero encontramos esta misma pregunta en el Ejemplo 3.5 (página 81), donde calculamos la probabilidad utilizando el siguiente razonamiento: 1/6 del tiempo el dado rojo es un 1, y 1/6 de esas veces el dado blanco

¹⁵(a) El complemento de A: cuando el total es igual a 12. (b) P(A^c ) = 1/36. (c) Use la probabilidad del complemento de la parte (b), P(A^c ) = 1/36, y la ecuación para el complemento: P(menos de 12) = 1 − P(12) = 1 − 1/36 = 35/36.

¹⁶(a) Primero encuentre P(6) = 5/36, luego use el complemento: P(no 6) = 1 − P(6) = 31/36.

⁽b) Primero encuentre el complemento, que requiere mucho menos esfuerzo: P(2 o 3) = 1/36 + 2/36 = 1/12. Luego calcule P(B) = 1 − P(B^c ) = 1 − 1/12 = 11/12.

⁽c) Como antes, encontrar el complemento es la forma inteligente de determinar P(D). Primero encuentre P(D^c ) = P(11 o 12) = 2/36 + 1/36 = 1/12. Luego calcule P(D) = 1 − P(D^c ) = 11/12.

también será 1. Esto se ilustra en la Figura 3.10. Debido a que los lanzamientos son independientes, las probabilidades de los resultados correspondientes se pueden multiplicar para obtener la respuesta final: (1/6)×(1/6) = 1/36. Esto se puede generalizar a muchos procesos independientes.

Figura 3.10: 1/6 del tiempo, el primer lanzamiento es un 1. Luego, 1/6 de esas veces, el segundo lanzamiento también será un 1.

EJEMPLO 3.21

¿Qué pasaría si también hubiera un dado azul independiente de los otros dos? ¿Cuál es la probabilidad de lanzar los tres dados y obtener todos 1s?

La misma lógica se aplica desde el Ejemplo 3.5. Si 1/36 del tiempo los dados blanco y rojo son ambos 1, entonces 1/6 de esas veces el dado azul también será 1, así que multiplique:

P(blanco = 1 y rojo = 1 y azul = 1) = P(blanco = 1) × P(rojo = 1) × P(azul = 1) = (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216

El Ejemplo 3.21 ilustra lo que se llama la Regla de Multiplicación para procesos independientes.

REGLA DE MULTIPLICACIÓN PARA PROCESOS INDEPENDIENTES

Si A y B representan eventos de dos procesos diferentes e independientes, entonces la probabilidad de que ocurran tanto A como B se puede calcular como el producto de sus probabilidades separadas:

\[P(A \text{ y } B) = P(A) \times P(B)\]

De manera similar, si hay k eventos A1, …, A^k de k procesos independientes, entonces la probabilidad de que todos ocurran es

\[P(A\_1) \times P(A\_2) \times \dots \times P(A\_k)\]

PRÁCTICA GUIADA 3.22

Aproximadamente el 9% de las personas son zurdas. Supongamos que se seleccionan 2 personas al azar de la población de EE. UU. Debido a que el tamaño de la muestra de 2 es muy pequeño en relación con la población, es razonable suponer que estas dos personas son independientes. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean zurdas? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean diestras?17

¹⁷(a) La probabilidad de que la primera persona sea zurda es 0.09, que es la misma para la segunda persona. Aplicamos la Regla de la Multiplicación para procesos independientes para determinar la probabilidad de que ambas sean zurdas: 0.09×0.09 = 0.0081.

⁽b) Es razonable suponer que la proporción de personas ambidiestras (tanto diestras como zurdas) es casi 0, lo que resulta en P(diestro) = 1 − 0.09 = 0.91. Usando el mismo razonamiento que en la parte (a), la probabilidad de que ambas sean diestras es 0.91 × 0.91 = 0.8281.

Supongamos que se seleccionan 5 personas al azar.18

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean diestras?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean zurdas?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que no todas las personas sean diestras?

Supongamos que las variables de lateralidad y sexo son independientes, es decir, saber el sexo de alguien no proporciona información útil sobre su lateralidad y viceversa. Entonces podemos calcular si una persona seleccionada al azar es diestra y mujer19 usando la Regla de la Multiplicación:

\[\begin{aligned} P(\text{diestro y mujer}) &= P(\text{diestro}) \times P(\text{mujer}) \\ &= 0.91 \times 0.50 = 0.455 \end{aligned}\]

PRÁCTICA GUIADA 3.24

Se seleccionan tres personas al azar.20

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona sea hombre y diestro?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras personas sean hombres y diestros?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera persona sea mujer y zurda?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras personas sean hombres y diestros y la tercera persona sea mujer y zurda?

A veces nos preguntamos si un resultado proporciona información útil sobre otro resultado. La pregunta que estamos haciendo es, ¿son independientes las ocurrencias de los dos eventos? Decimos que dos eventos A y B son independientes si satisfacen P(A y B) = P(A) × P(B).

EJEMPLO 3.25

Si mezclamos una baraja de cartas y sacamos una, ¿el evento de que la carta sea un corazón es independiente del evento de que la carta sea un as?

La probabilidad de que la carta sea un corazón es 1/4 y la probabilidad de que sea un as es 1/13. La probabilidad de que la carta sea el as de corazones es 1/52. Comprobamos si se cumple P(A y B) = P(A) × P(B):

\[P(\heartsuit) \times P(\text{as}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52} = P(\heartsuit \text{ y as})\]

Debido a que la ecuación se cumple, el evento de que la carta sea un corazón y el evento de que la carta sea un as son eventos independientes.

P(los cinco son DD) = P(primero = DD, segundo = DD, …, quinto = DD)

= P(primero = DD) × P(segundo = DD) × · · · × P(quinto = DD)

• = 0.91 × 0.91 × 0.91 × 0.91 × 0.91 = 0.624
• 2. Usando el mismo razonamiento que en (a), 0.09 × 0.09 × 0.09 × 0.09 × 0.09 = 0.0000059
• 3. Usa el complemento, P(los cinco son DD), para responder esta pregunta:

P(no todos DD) = 1 − P(todos DD) = 1 − 0.624 = 0.376

¹⁹La proporción real de la población de EE. UU. que es femenina es aproximadamente del 50%, por lo que usamos 0.5 para la probabilidad de muestrear a una mujer. Sin embargo, esta probabilidad sí difiere en otros países.

²⁰Se proporcionan respuestas breves. (a) Esto se puede escribir en notación de probabilidad como P(una persona seleccionada al azar es hombre y diestro) = 0.455. (b) 0.207. (c) 0.045. (d) 0.0093.

¹⁸(a) Las abreviaturas DD y ZD se utilizan para diestro y zurdo, respectivamente. Dado que cada uno es independiente, aplicamos la Regla de la Multiplicación para procesos independientes:

Ejercicios

• 3.1 Verdadero o falso. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento.
• 1. Si una moneda justa se lanza muchas veces y los últimos ocho lanzamientos son todos cara, entonces la probabilidad de que el siguiente lanzamiento sea cara es algo menor al 50%.
• 2. Sacar una figura (jota, reina o rey) y sacar una carta roja de una baraja completa de cartas son eventos mutuamente excluyentes.
• 3. Sacar una figura y sacar un as de una baraja completa de cartas son eventos mutuamente excluyentes.

3.2 Ruleta. El juego de la ruleta implica girar una rueda con 38 casillas: 18 rojas, 18 negras y 2 verdes. Una bola gira sobre la rueda y eventualmente aterriza en una casilla, donde cada casilla tiene la misma probabilidad de capturar la bola.

• 1. Usted observa una ruleta girar 3 veces consecutivas y la bola cae en una casilla roja cada vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola caiga en una casilla roja en el siguiente giro?
• 2. Usted observa una ruleta girar 300 veces consecutivas y la bola cae en una casilla roja cada vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola caiga en una casilla roja en el siguiente giro?
• 3. ¿Tiene la misma confianza en sus respuestas a las partes (a) y (b)? ¿Por qué o por qué no?

Foto de H˚akan Dahlstr¨om (http://flic.kr/p/93fEzp) Licencia CC BY 2.0

3.3 Cuatro juegos, un ganador. A continuación, se presentan cuatro versiones del mismo juego. Su archienemigo puede elegir la versión del juego, y luego usted puede elegir cuántas veces lanzar una moneda: 10 veces o 100 veces. Identifique cuántos lanzamientos de moneda debe elegir para cada versión del juego. Cuesta $1 jugar cada juego. Explique su razonamiento.

• 1. Si la proporción de caras es mayor que 0.60, usted gana $1.
• 2. Si la proporción de caras es mayor que 0.40, usted gana $1.
• 3. Si la proporción de caras está entre 0.40 y 0.60, usted gana $1.
• 4. Si la proporción de caras es menor que 0.30, usted gana $1.

3.4 Backgammon. El backgammon es un juego de mesa para dos jugadores en el que las piezas de juego se mueven de acuerdo con el resultado de dos dados. Los jugadores ganan al retirar todas sus piezas del tablero, por lo que suele ser bueno obtener números altos. Está jugando al backgammon con un amigo y saca dos 6 en su primer lanzamiento y dos 6 en su segundo lanzamiento. Su amigo saca dos 3 en su primer lanzamiento y nuevamente en su segundo lanzamiento. Su amigo afirma que está haciendo trampa, porque sacar dobles 6 dos veces seguidas es muy poco probable. Usando la probabilidad, demuestre que sus lanzamientos fueron tan probables como los suyos.

3.5 Lanzamientos de moneda. Si lanza una moneda justa 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de

• 1. obtener todas las cruces?
• 2. obtener todas las caras?
• 3. obtener al menos una cruz?

3.6 Lanzamientos de dados. Si lanza un par de dados justos, ¿cuál es la probabilidad de

• 1. obtener una suma de 1?
• 2. obtener una suma de 5?
• 3. obtener una suma de 12?

3.1. DEFINIENDO PROBABILIDAD 93

3.7 Votantes indecisos. Una encuesta de Pew Research preguntó a 2373 votantes registrados seleccionados al azar sobre su afiliación política (Republicano, Demócrata o Independiente) y si se identificaban o no como votantes indecisos. El 35% de los encuestados se identificó como Independiente, el 23% se identificó como votantes indecisos y el 11% se identificó con ambos.21

• 1. ¿Ser Independiente y ser un votante indeciso son eventos disjuntos, es decir, mutuamente excluyentes?
• 2. Dibuje un diagrama de Venn que resuma las variables y sus probabilidades asociadas.
• 3. ¿Qué porcentaje de votantes son Independientes pero no son votantes indecisos?
• 4. ¿Qué porcentaje de votantes son Independientes o votantes indecisos?
• 5. ¿Qué porcentaje de votantes no son ni Independientes ni votantes indecisos?
• 6. ¿El evento de que alguien sea un votante indeciso es independiente del evento de que alguien sea un Independiente político?

3.8 Pobreza e idioma. La Encuesta de la Comunidad Americana es una encuesta continua que proporciona datos cada año para brindar a las comunidades la información actual que necesitan para planificar inversiones y servicios. La Encuesta de la Comunidad Americana de 2010 estima que el 14.6% de los estadounidenses vive por debajo del umbral de la pobreza, el 20.7% habla un idioma que no es inglés (idioma extranjero) en casa y el 4.2% entra en ambas categorías.22

• 1. ¿Vivir por debajo del umbral de la pobreza y hablar un idioma extranjero en casa son eventos disjuntos?
• 2. Dibuje un diagrama de Venn que resuma las variables y sus probabilidades asociadas.
• 3. ¿Qué porcentaje de estadounidenses vive por debajo del umbral de la pobreza y solo habla inglés en casa?
• 4. ¿Qué porcentaje de estadounidenses vive por debajo del umbral de la pobreza o habla un idioma extranjero en casa?
• 5. ¿Qué porcentaje de estadounidenses vive por encima del umbral de la pobreza y solo habla inglés en casa?
• 6. ¿El evento de que alguien viva por debajo del umbral de la pobreza es independiente del evento de que la persona hable un idioma extranjero en casa?

3.9 Disjunto vs. independiente. En las partes (a) y (b), identifique si los eventos son disjuntos, independientes o ninguno (los eventos no pueden ser disjuntos e independientes a la vez).

• 1. Usted y un estudiante seleccionado al azar de su clase obtienen una A en este curso.
• 2. Usted y su compañero de estudio de clase obtienen una A en este curso.
• 3. Si dos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo, ¿deben ser dependientes?

3.10 Adivinar en un examen. En un examen de opción múltiple, hay 5 preguntas y 4 opciones para cada pregunta (a, b, c, d). Nancy no ha estudiado nada para el examen y decide adivinar las respuestas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que:

• 1. ¿la primera pregunta que acierta sea la quinta pregunta?
• 2. ¿acierte todas las preguntas?
• 3. ¿acierte al menos una pregunta?

²¹Pew Research Center, Con los votantes centrados en la economía, la ventaja de Obama se reduce, datos recopilados entre el 4 y el 15 de abril de 2012.

²²Oficina del Censo de EE. UU., Estimaciones de 1 año de la Encuesta de la Comunidad Americana de 2010, Características de las personas por idioma Hablado en casa.

			Género
		Hombre	Mujer
	Menos de 9º grado	0.07	0.13
	9º a 12º grado, sin diploma	0.10	0.09
Mayor	Graduado de HS (o equivalente)	0.30	0.20
educación	Algo de universidad, sin título	0.22	0.24
alcanzada	Título de asociado	0.06	0.08
	Título de licenciatura	0.16	0.17
	Título de posgrado o profesional	0.09	0.09
	Total	1.00	1.00

3.11 Nivel educativo de las parejas. La tabla a continuación muestra la distribución del nivel educativo alcanzado por los residentes de EE. UU. por género, según los datos recopilados en la Encuesta de la Comunidad Americana de 2010.23

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre elegido al azar tenga al menos una licenciatura?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga al menos una licenciatura?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre y una mujer que se casan tengan ambos al menos una licenciatura? Tenga en cuenta cualquier suposición que deba hacer para responder a esta pregunta.
• 4. Si hizo una suposición en la parte (c), ¿cree que fue razonable? Si no hizo una suposición, revise su respuesta anterior y luego regrese a esta parte.

3.12 Ausencias escolares. Los datos recopilados en las escuelas primarias del condado de DeKalb, GA, sugieren que cada año aproximadamente el 25% de los estudiantes faltan exactamente un día de escuela, el 15% faltan 2 días y el 28% faltan 3 o más días debido a enfermedad.24

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no falte ningún día de escuela debido a enfermedad este año?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no falte más de un día?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar falte al menos un día?
• 4. Si un padre tiene dos hijos en una escuela primaria del condado de DeKalb, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos falte a la escuela? Tenga en cuenta cualquier suposición que deba hacer para responder a esta pregunta.
• 5. Si un padre tiene dos hijos en una escuela primaria del condado de DeKalb, ¿cuál es la probabilidad de que ambos niños falten a la escuela, es decir, al menos un día? Tenga en cuenta cualquier suposición que haga.
• 6. Si hizo una suposición en la parte (d) o (e), ¿cree que fue razonable? Si no hizo ninguna suposición, revise sus respuestas anteriores.

²³Oficina del Censo de EE. UU., Estimaciones de 1 año de la Encuesta de la Comunidad Americana de 2010, Nivel Educativo.

²⁴S.S. Mizan et al. “Ausencia, Ausencia Extendida y Retraso Repetido Relacionado con el Estado de Asma entre los Niños de Primaria”. En: Journal of Asthma 48.3 (2011), pp. 228–234.

3.2 Probabilidad condicional

Puede haber relaciones ricas entre dos o más variables que son útiles para comprender. Por ejemplo, una compañía de seguros de automóviles considerará información sobre el historial de conducción de una persona para evaluar el riesgo de que sea responsable de un accidente. Este tipo de relaciones son el ámbito de las probabilidades condicionales.

3.2.1 Explorando probabilidades con una tabla de contingencia

El conjunto de datos de clasificación de fotos representa un clasificador de una muestra de 1822 fotos de un sitio web para compartir fotos. Los científicos de datos han estado trabajando para mejorar un clasificador para determinar si una foto trata sobre moda o no, y estas 1822 fotos representan una prueba para su clasificador. Cada foto recibe dos clasificaciones: la primera se llama mach learn y proporciona una clasificación de un sistema de aprendizaje automático (ML) de pred fashion o pred not. Cada una de estas 1822 fotos también ha sido clasificada cuidadosamente por un equipo de personas, lo que consideramos la fuente de la verdad; esta variable se llama truth y toma los valores fashion y not. La figura 3.11 resume los resultados.

		truth
		fashion	not	Total
mach learn	pred fashion	197	22	219
	pred not	112	1491	1603
	Total	309	1513	1822

Figura 3.12: Un diagrama de Venn que usa cajas para el conjunto de datos de clasificación de fotos.

EJEMPLO 3.26

Si una foto realmente trata sobre moda, ¿cuál es la probabilidad de que el clasificador ML haya identificado correctamente la foto como sobre moda?

Podemos estimar esta probabilidad utilizando los datos. De las 309 fotos de moda, el algoritmo ML clasificó correctamente 197 de las fotos:

\[P(\text{mach.1earn es pred.fashion dado que truth es fashion}) = \frac{197}{309} = 0.638\]

EJEMPLO 3.27

Tomamos una muestra de una foto del conjunto de datos y aprendemos que el algoritmo ML predijo que esta foto no trataba sobre moda. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera incorrecto y la foto trate sobre moda?

Si el clasificador ML sugiere que una foto no trata sobre moda, entonces proviene de la segunda fila en el conjunto de datos. De estas 1603 fotos, 112 en realidad trataban sobre moda:

^P(truth es fashion dado que mach learn es pred not) = ¹¹² 1603 = 0.070

3.2.2 Probabilidades marginales y conjuntas

La Figura 3.11 incluye los totales de filas y columnas para cada variable por separado en el conjunto de datos de clasificación de fotos. Estos totales representan las probabilidades marginales para la muestra, que son las probabilidades basadas en una sola variable sin tener en cuenta ninguna otra variable. Por ejemplo, una probabilidad basada únicamente en la variable mach learn es una probabilidad marginal:

\[P(\text{mach\\_1earn es } \text{pred\\_fashion}) = \frac{219}{1822} = 0.12\]

Una probabilidad de resultados para dos o más variables o procesos se denomina probabilidad conjunta:

\[P(\text{mach.}\text{1earn} \text{ es } \text{pred.}\text{fashtion y truth es } \text{fashtion}) = \frac{197}{1822} = 0.11\]

Es común sustituir una coma por “y” en una probabilidad conjunta, aunque es aceptable usar la palabra “y” o una coma:

P(mach learn is pred fashion, truth is fashion)

significa lo mismo que

P(mach learn is pred fashion and truth is fashion)

PROBABILIDADES MARGINALES Y CONJUNTAS

Si una probabilidad se basa en una sola variable, es una probabilidad marginal. La probabilidad de resultados para dos o más variables o procesos se denomina probabilidad conjunta.

Utilizamos las proporciones de la tabla para resumir las probabilidades conjuntas de la muestra de clasificación de fotos. Estas proporciones se calculan dividiendo cada recuento en la Figura 3.11 por el total de la tabla, 1822, para obtener las proporciones en la Figura 3.13. La distribución de probabilidad conjunta de las variables mach learn y truth se muestra en la Figura 3.14.

	truth: fashion	truth: not	Total
mach learn: pred fashion	0.1081	0.0121	0.1202
mach learn: pred not	0.0615	0.8183	0.8798
Total	0.1696	0.8304	1.00

Figura 3.13: Tabla de probabilidad que resume el conjunto de datos de clasificación de fotos.

Joint outcome	Probability
mach learn is pred fashion and truth is fashion	0.1081
mach learn is pred fashion and truth is not	0.0121
mach learn is pred not and truth is fashion	0.0615
mach learn is pred not and truth is not	0.8183
Total	1.0000

Figura 3.14: Distribución de probabilidad conjunta para el conjunto de datos de clasificación de fotos.

Verifique que la Figura 3.14 representa una distribución de probabilidad: los eventos son disjuntos, todas las probabilidades son no negativas y las probabilidades suman 1.25

Podemos calcular las probabilidades marginales utilizando las probabilidades conjuntas en casos sencillos. Por ejemplo, la probabilidad de que una foto seleccionada al azar del conjunto de datos sea sobre moda se encuentra sumando los resultados donde truth toma el valor fashion:

P(truth is fashion) = P(mach learn is pred fashion and truth is fashion) + P(mach learn is pred not and truth is fashion) = 0.1081 + 0.0615 = 0.1696

3.2.3 Definición de Probabilidad Condicional

El clasificador de ML predice si una foto es sobre moda, incluso si no es perfecto. Nos gustaría entender mejor cómo usar la información de una variable como mach learn para mejorar nuestra estimación de probabilidad de una segunda variable, que en este ejemplo es truth.

La probabilidad de que una foto aleatoria del conjunto de datos sea sobre moda es de aproximadamente 0.17. Si supiéramos que el clasificador de aprendizaje automático predijo que la foto era sobre moda, ¿podríamos obtener una mejor estimación de la probabilidad de que la foto sea realmente sobre moda? Absolutamente. Para hacerlo, limitamos nuestra visión solo a esos 219 casos donde el clasificador de ML predijo que la foto era sobre moda y observamos la fracción donde la foto era realmente sobre moda:

\[P(\text{truth is fashion given } \texttt{mach}.\texttt{1oearn is } \texttt{pred}.\texttt{fashtion}) = \frac{197}{219} = 0.9009\]

Llamamos a esto una probabilidad condicional porque calculamos la probabilidad bajo una condición: la predicción del clasificador de ML dijo que la foto era sobre moda.

Hay dos partes en una probabilidad condicional, el resultado de interés y la condición. Es útil pensar en la condición como información que sabemos que es verdadera, y esta información generalmente puede describirse como un resultado o evento conocido. Generalmente separamos el texto dentro de nuestra notación de probabilidad en el resultado de interés y la condición con una barra vertical:

\[P(\text{truth is fashion given } \texttt{mach\\_1earn} \text{ is } \texttt{pred\\_fashion})\]

\[\mathbf{I} = P(\texttt{truth is fashion } | \texttt{mach\\_1earn} \text{ is } \texttt{pred\\_fashion}) = \frac{197}{219} = 0.900\]

La barra vertical “|” se lee como dado.

²⁵Cada una de las cuatro combinaciones de resultados son disjuntas, todas las probabilidades son de hecho no negativas y la suma de las probabilidades es 0.1081 + 0.0121 + 0.0615 + 0.8183 = 1.00.

En la última ecuación, calculamos la probabilidad de que una foto fuera sobre moda basada en la condición de que el algoritmo de ML predijera que era sobre moda como una fracción:

\[\begin{aligned} &P(\text{truth is fashion} \mid \text{mach.} \texttt{1earn} \text{ is } \texttt{pred.fashtion})\\ &= \frac{\# \text{ casos donde } \texttt{truth is fashion} \text{ and } \texttt{mach.} \texttt{1earn} \text{ is } \texttt{pred.fashtion}}{\# \text{ casos donde } \texttt{mach.} \texttt{1earn} \text{ is } \texttt{pred.fashtion}}\\ &= \frac{197}{219} = 0.900 \end{aligned}\]

Consideramos solo aquellos casos que cumplieron con la condición, mach learn is pred fashion, y luego calculamos la proporción de aquellos casos que satisficieron nuestro resultado de interés, la foto era realmente sobre moda.

Con frecuencia, se proporcionan probabilidades marginales y conjuntas en lugar de datos de conteo. Por ejemplo, las tasas de enfermedad se enumeran comúnmente en porcentajes en lugar de en un formato de conteo. Nos gustaría poder calcular las probabilidades condicionales incluso cuando no haya conteos disponibles, y usamos la última ecuación como plantilla para comprender esta técnica.

Consideramos solo aquellos casos que satisfacieron la condición, donde el algoritmo de ML predijo moda. De estos casos, la probabilidad condicional fue la fracción que representa el resultado de interés, que la foto era sobre moda. Supongamos que solo se nos proporcionó la información en la Figura 3.13, es decir, solo datos de probabilidad. Entonces, si tomáramos una muestra de 1000 fotos, anticiparíamos que aproximadamente el 12.0% o 0.120 × 1000 = 120 se predecirían como sobre moda (mach learn is pred fashion). De manera similar, esperaríamos que aproximadamente el 10.8% o 0.108 × 1000 = 108 cumplieran con los criterios de información y representaran nuestro resultado de interés. Entonces, la probabilidad condicional se puede calcular como

P(truth is fashion | mach learn is pred fashion) = # (truth is fashion and mach learn is pred fashion) # (mach learn is pred fashion) = 108 120 = 0.108 0.120 = 0.90

Aquí estamos examinando exactamente la fracción de dos probabilidades, 0.108 y 0.120, que podemos escribir como

P(truth is fashion and mach learn is pred fashion) y P(mach learn is pred fashion).

La fracción de estas probabilidades es un ejemplo de la fórmula general para la probabilidad condicional.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional del resultado A dado la condición B se calcula de la siguiente manera:

\[P(A|B) = \frac{P(A \text{ y } B)}{P(B)}\]

PRÁCTICA GUIADA 3.29

1. Escriba la siguiente declaración en notación de probabilidad condicional: “La probabilidad de que la predicción de ML fuera correcta, si la foto era sobre moda”. Aquí la condición ahora se basa en el estado de verdad de la foto, no en el algoritmo de ML.

2. Determine la probabilidad de la parte (a). La Tabla 3.13 en la página 96 puede ser útil.26

P(aprendizaje automático predice moda | la verdad es moda)

²⁶(a) Si la foto es sobre moda y la predicción del algoritmo de ML fue correcta, entonces el algoritmo de ML puede tener un valor de predice moda:

⁽b) La ecuación para la probabilidad condicional indica que primero debemos encontrar P(aprendizaje automático predice moda y la verdad es moda) = 0.1081 y P(la verdad es moda) = 0.1696. Entonces la razón representa la probabilidad condicional: 0.1081/0.1696 = 0.6374.

(a) Determine la probabilidad de que el algoritmo sea incorrecto si se sabe que la foto es sobre moda.

2. Usando las respuestas de la parte (a) y la Práctica Guiada 3.29(b), calcule

P(aprendizaje automático predice moda | la verdad es moda) + P(aprendizaje automático predice no moda | la verdad es moda)

3. Proporcione un argumento intuitivo para explicar por qué la suma en (b) es 1.27

3.2.4 Viruela en Boston, 1721

El conjunto de datos de la viruela proporciona una muestra de 6224 individuos del año 1721 que estuvieron expuestos a la viruela en Boston. Los médicos de la época creían que la inoculación, que implica exponer a una persona a la enfermedad de forma controlada, podía reducir la probabilidad de muerte.

Cada caso representa a una persona con dos variables: inoculado y resultado. La variable inoculado toma dos niveles: sí o no, que indica si la persona fue inoculada o no. La variable resultado tiene los resultados vivió o murió. Estos datos se resumen en las Tablas 3.15 y 3.16.

		inoculado
		sí	no	Total
resultado	vivió	238	5136	5374
	murió	6	844	850
	Total	244	5980	6224

Figura 3.15: Tabla de contingencia para el conjunto de datos de la viruela.

			inoculado
		sí	no	Total
resultado	vivió	0.0382	0.8252	0.8634
	murió	0.0010	0.1356	0.1366
	Total	0.0392	0.9608	1.0000

Figura 3.16: Proporciones de la tabla para los datos de la viruela, calculadas dividiendo cada recuento por el total de la tabla, 6224.

PRÁCTICA GUIADA 3.31

Escriba, en notación formal, la probabilidad de que una persona seleccionada al azar que no fue inoculada muriera de viruela, y encuentre esta probabilidad.28

PRÁCTICA GUIADA 3.32

Determine la probabilidad de que una persona inoculada muriera de viruela. ¿Cómo se compara este resultado con el resultado de la Práctica Guiada 3.31? 29

²⁷(a) Esta probabilidad es ^P (mach learn is pred no, truth is fashion) ^P (truth is fashion) ^{= 0}.^{0615 0}.¹⁶⁹⁶ = 0.3626. (b) El total es igual a 1. (c) Bajo la condición de que la foto sea sobre moda, el algoritmo de ML debe haber predicho que era sobre moda o predicho que no era sobre moda. El complemento aún funciona para probabilidades condicionales, siempre que las probabilidades estén condicionadas a la misma información.

²⁸P(resultado = murió | inoculado = no) = ^P (resultado ⁼ murió y inoculado ⁼ no) ^P (inoculado ⁼ no) ^{= 0}.^{1356 0}.⁹⁶⁰⁸ = 0.1411.

²⁹P(resultado = murió | inoculado = sí) = ^P (resultado ⁼ murió y inoculado ⁼ sí) ^P (inoculado ⁼ sí) ^{= 0}.^{0010 0}.⁰³⁹² = 0.0255 (si hubiéramos evitado errores de redondeo, obtendríamos 6/244 = 0.0246). La tasa de mortalidad para las personas que fueron inoculadas es solo de aproximadamente 1 en 40, mientras que la tasa de mortalidad es de aproximadamente 1 en 7 para aquellos que no fueron inoculados.

La gente de Boston se auto-seleccionó para ser inoculada o no. (a) ¿Es este estudio observacional o fue un experimento? (b) ¿Podemos inferir alguna conexión causal usando estos datos? (c) ¿Cuáles son algunas posibles variables de confusión que podrían influir en si alguien vivió o murió y también afectar si esa persona fue inoculada?30

3.2.5 Regla general de multiplicación

La sección 3.1.7 introdujo la Regla de Multiplicación para procesos independientes. Aquí proporcionamos la Regla General de Multiplicación para eventos que podrían no ser independientes.

REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIÓN

Si A y B representan dos resultados o eventos, entonces

P(A y B) = P(A|B) × P(B)

Es útil pensar en A como el resultado de interés y B como la condición.

Esta Regla General de Multiplicación es simplemente una reorganización de la ecuación de probabilidad condicional.

EJEMPLO 3.34

Considera el conjunto de datos de la viruela. Supón que solo se nos dan dos piezas de información: el 96.08% de los residentes no fueron inoculados, y el 85.88% de los residentes que no fueron inoculados terminaron sobreviviendo. ¿Cómo podríamos calcular la probabilidad de que un residente no fuera inoculado y viviera?

Calcularemos nuestra respuesta usando la Regla General de Multiplicación y luego la verificaremos usando la Figura 3.16. Queremos determinar

P(resultado = vivió y inoculado = no)

y se nos da que

P(resultado = vivió | inoculado = no) = 0.8588 P(inoculado = no) = 0.9608

Entre el 96.08% de las personas que no fueron inoculadas, el 85.88% sobrevivió:

P(resultado = vivió y inoculado = no) = 0.8588 × 0.9608 = 0.8251

Esto es equivalente a la Regla General de Multiplicación. Podemos confirmar esta probabilidad en la Figura 3.16 en la intersección de no y vivió (con un pequeño error de redondeo).

PRÁCTICA GUIADA 3.35

Usa P(inoculado = sí) = 0.0392 y P(resultado = vivió | inoculado = sí) = 0.9754 para determinar la probabilidad de que una persona estuviera tanto inoculada como viva.31

PRÁCTICA GUIADA 3.36

Si el 97.54% de las personas inoculadas vivieron, ¿qué proporción de personas inoculadas debieron morir?32

³⁰Respuestas breves: (a) Observacional. (b) No, no podemos inferir causalidad de este estudio observacional. (c) Accesibilidad a la atención médica más reciente y de mejor calidad. Hay otras respuestas válidas para la parte (c).

³¹La respuesta es 0.0382, lo cual se puede verificar utilizando la Figura 3.16.

³²Solo había dos resultados posibles: vivir o morir. Esto significa que el 100% - 97.54% = 2.46% de las personas que fueron inoculadas murieron.

SUMA DE PROBABILIDADES CONDICIONALES

Sean A1, …, A^k todos los resultados disjuntos para una variable o proceso. Entonces, si B es un evento, posiblemente para otra variable o proceso, tenemos:

\[P(A\_1|B) + \dots + P(A\_k|B) = 1\]

La regla de los complementos también se cumple cuando un evento y su complemento están condicionados a la misma información:

\[P(A|B) = 1 - P(A^c|B)\]

PRÁCTICA GUIADA 3.37

Basado en las probabilidades calculadas arriba, ¿parece que la inoculación es efectiva para reducir el riesgo de muerte por viruela?33

3.2.6 Consideraciones sobre la independencia en la probabilidad condicional

Si dos eventos son independientes, entonces conocer el resultado de uno no debería proporcionar información sobre el otro. Podemos demostrar que esto es matemáticamente cierto utilizando probabilidades condicionales.

PRÁCTICA GUIADA 3.38

Sean X e Y los resultados de lanzar dos dados.34

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer dado, X, sea 1?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto X como Y sean 1?
• 3. Utilice la fórmula de la probabilidad condicional para calcular P(Y = 1 | X = 1).
• 4. ¿Cuál es P(Y = 1)? ¿Es diferente de la respuesta de la parte (c)? Explique.

Podemos demostrar en la Práctica Guiada 3.38(c) que la información de condicionamiento no tiene influencia utilizando la Regla de Multiplicación para procesos de independencia:

\[\begin{aligned} P(Y=1 \mid X=1) &= \frac{P(Y=1 \text{ y } X=1)}{P(X=1)} \\ &= \frac{P(Y=1) \times P(X=1)}{P(X=1)} \\ &= P(Y=1) \end{aligned}\]

PRÁCTICA GUIADA 3.39

Ron está mirando una mesa de ruleta en un casino y observa que los últimos cinco resultados fueron negros. Él piensa que las probabilidades de obtener negro seis veces seguidas son muy pequeñas (alrededor de 1/64) y pone su cheque de pago al rojo. ¿Qué está mal en su razonamiento?35

³³Las muestras son grandes en relación con la diferencia en las tasas de mortalidad para los grupos “inoculados” y “no inoculados”, por lo que parece que existe una asociación entre inoculado y el resultado. Sin embargo, como se señaló en la solución a la Práctica Guiada 3.33, este es un estudio observacional y no podemos estar seguros de si existe una conexión causal. (Investigaciones posteriores han demostrado que la inoculación es eficaz para reducir las tasas de mortalidad).

³⁴Soluciones breves: (a) 1/6. (b) 1/36. (c) ^P (^{Y = 1} y ^{X= 1}) ^P (X^{= 1}) = 1/36 ¹/⁶ = 1/6. (d) La probabilidad es la misma que en la parte (c): P(Y = 1) = 1/6. La probabilidad de que Y = 1 no se modificó por el conocimiento sobre X, lo que tiene sentido ya que X e Y son independientes.

³⁵Ha olvidado que el siguiente giro de la ruleta es independiente de los giros anteriores. Los casinos emplean esta práctica, publicando los últimos resultados de muchos juegos de apuestas para engañar a los jugadores desprevenidos y hacerles creer que las probabilidades están a su favor. Esto se llama la falacia del jugador.

3.2.7 Diagramas de árbol

Los diagramas de árbol son una herramienta para organizar los resultados y las probabilidades en torno a la estructura de los datos. Son más útiles cuando dos o más procesos ocurren en secuencia y cada proceso está condicionado a sus predecesores.

Los datos de la viruela se ajustan a esta descripción. Vemos que la población se divide por la inoculación: sí y no. Después de esta división, se observaron las tasas de supervivencia para cada grupo. Esta estructura se refleja en el diagrama de árbol que se muestra en la Figura 3.17. Se dice que la primera rama para la inoculación es la rama primaria, mientras que las otras ramas son secundarias.

Figura 3.17: Un diagrama de árbol del conjunto de datos de la viruela.

Los diagramas de árbol se anotan con probabilidades marginales y condicionales, como se muestra en la Figura 3.17. Este diagrama de árbol divide los datos de la viruela por inoculación en los grupos sí y no con probabilidades marginales respectivas de 0.0392 y 0.9608. Las ramas secundarias están condicionadas a la primera, por lo que asignamos probabilidades condicionales a estas ramas. Por ejemplo, la rama superior en la Figura 3.17 es la probabilidad de que el resultado = vivió condicionado a la información de que inoculated = yes. Podemos (y generalmente lo hacemos) construir probabilidades conjuntas al final de cada rama en nuestro árbol multiplicando los números que encontramos al movernos de izquierda a derecha. Estas probabilidades conjuntas se calculan utilizando la Regla General de Multiplicación:

P(inoculated = yes and result = lived) = P(inoculated = yes) × P(result = lived|inoculated = yes) = 0.0392 × 0.9754 = 0.0382

3.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL 103

EJEMPLO 3.40

Considere el examen parcial y final de una clase de estadística. Suponga que el 13% de los estudiantes obtuvieron una A en el examen parcial. De esos estudiantes que obtuvieron una A en el examen parcial, el 47% recibió una A en el examen final, y el 11% de los estudiantes que obtuvieron una calificación inferior a una A en el examen parcial recibieron una A en el examen final. Usted elige al azar un examen final y observa que el estudiante recibió una A. ¿Cuál es la probabilidad de que este estudiante haya obtenido una A en el examen parcial?

El objetivo final es encontrar P(parcial = A|final = A). Para calcular esta probabilidad condicional, necesitamos las siguientes probabilidades:

P(parcial = A y final = A) y P(final = A)

Sin embargo, esta información no se proporciona, y no es obvio cómo calcular estas probabilidades. Como no estamos seguros de cómo proceder, es útil organizar la información en un diagrama de árbol:

Al construir un diagrama de árbol, las variables proporcionadas con probabilidades marginales se utilizan a menudo para crear las ramas primarias del árbol; en este caso, las probabilidades marginales se proporcionan para las calificaciones del examen parcial. Las calificaciones finales, que corresponden a las probabilidades condicionales proporcionadas, se mostrarán en las ramas secundarias.

Con el diagrama de árbol construido, podemos calcular las probabilidades requeridas:

\[\begin{aligned} P(\texttt{parcial} \texttt{= A y } \texttt{final} = \texttt{A}) &= 0.0611\\ P(\texttt{final} = \texttt{A}) \\ = P(\texttt{parcial} = \texttt{otro} \text{ y } \texttt{final} = \texttt{A}) + P(\texttt{parcial} = \texttt{A y } \texttt{final} = \texttt{A})\\ = 0.0957 + 0.0611 &= 0.1568 \end{aligned}\]

La probabilidad marginal, P(final = A), se calculó sumando todas las probabilidades conjuntas en el lado derecho del árbol que corresponden a final = A. Ahora podemos finalmente tomar la razón de las dos probabilidades:

\[P(\texttt{parcial} = \texttt{A} | \texttt{final} = \texttt{A}) = \frac{P(\texttt{parcial} = \texttt{A} \text{ y } \texttt{final} = \texttt{A})}{P(\texttt{final} = \texttt{A})}\]

\[= \frac{0.0611}{0.1568} = 0.3897\]

La probabilidad de que el estudiante también haya obtenido una A en el examen parcial es de aproximadamente 0.39.

Después de un curso introductorio de estadística, el 78% de los estudiantes pueden construir diagramas de árbol con éxito. De aquellos que pueden construir diagramas de árbol, el 97% aprobó, mientras que solo el 57% de aquellos estudiantes que no pudieron construir diagramas de árbol aprobó. (a) Organice esta información en un diagrama de árbol. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar apruebe? (c) Calcule la probabilidad de que un estudiante pueda construir un diagrama de árbol si se sabe que aprobó.36

3.2.8 Teorema de Bayes

En muchas instancias, se nos da una probabilidad condicional de la forma

P(afirmación sobre la variable 1 | afirmación sobre la variable 2)

pero realmente nos gustaría conocer la probabilidad condicional invertida:

P(afirmación sobre la variable 2 | afirmación sobre la variable 1)

Los diagramas de árbol se pueden utilizar para encontrar la segunda probabilidad condicional cuando se da la primera. Sin embargo, a veces no es posible dibujar el escenario en un diagrama de árbol. En estos casos, podemos aplicar una fórmula muy útil y general: el Teorema de Bayes.

Primero, analizamos críticamente un ejemplo de inversión de probabilidades condicionales donde todavía aplicamos un diagrama de árbol.

⁽c) P(construir diagrama de árbol | aprobado) = ⁰.^{7566 0}.⁸⁸²⁰ = 0.8578.

³⁶(a) El diagrama de árbol se muestra a la derecha.

⁽b) Identifique qué dos probabilidades conjuntas representan a los estudiantes que aprobaron y súmelas: P(aprobado) = 0.7566+0.1254 = 0.8820.

3.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL 105

EJEMPLO 3.42

En Canadá, aproximadamente el 0.35% de las mujeres mayores de 40 años desarrollarán cáncer de mama en un año determinado. Una prueba de detección común para el cáncer es la mamografía, pero esta prueba no es perfecta. En aproximadamente el 11% de las pacientes con cáncer de mama, la prueba da un falso negativo: indica que una mujer no tiene cáncer de mama cuando sí lo tiene. De manera similar, la prueba da un falso positivo en el 7% de las pacientes que no tienen cáncer de mama: indica que estas pacientes tienen cáncer de mama cuando en realidad no lo tienen. Si evaluamos a una mujer aleatoria mayor de 40 años para detectar cáncer de mama mediante una mamografía y la prueba resulta positiva, es decir, la prueba sugiere que la paciente tiene cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que la paciente realmente tenga cáncer de mama?

Observe que se nos proporciona suficiente información para calcular rápidamente la probabilidad de dar positivo si una mujer tiene cáncer de mama (1.00 − 0.11 = 0.89). Sin embargo, buscamos la probabilidad invertida de cáncer dado un resultado de prueba positivo. (Tenga cuidado con el lenguaje médico no intuitivo: un resultado de prueba positivo sugiere la posible presencia de cáncer en una detección por mamografía). Esta probabilidad invertida se puede dividir en dos partes:

^P(tiene CM ^| mamografía+) = ^P(tiene CM y mamografía+) P(mamografía+)

donde “tiene CM” es una abreviatura de que la paciente tiene cáncer de mama y “mamografía⁺” significa que la detección por mamografía fue positiva. Podemos construir un diagrama de árbol para estas probabilidades:

La probabilidad de que la paciente tenga cáncer de mama y la mamografía sea positiva es

\[\begin{aligned} P(\text{tiene CM y mamografía}^+) &= P(\text{mamografía}^+ \mid \text{tiene CM})P(\text{tiene CM}) \\ &= 0.89 \times 0.0035 = 0.00312 \end{aligned}\]

La probabilidad de un resultado de prueba positivo es la suma de los dos escenarios correspondientes:

\[\begin{aligned} P(\underline{\text{mamografía}}^+) &= P(\underline{\text{mamografía}}^+ \text{ y tiene CM}) \\ &+ P(\underline{\text{mamografía}}^+ \text{ y no tiene CM}) \\ &= P(\text{tiene CM})P(\text{mamografía}^+ \mid \text{tiene CM}) \\ &+ P(\text{no tiene CM})P(\text{mamografía}^+ \mid \text{no tiene CM}) \\ &= 0.0035 \times 0.89 + 0.9965 \times 0.07 = 0.07288 \end{aligned}\]

Entonces, si la detección por mamografía es positiva para una paciente, la probabilidad de que la paciente tenga cáncer de mama es

\[\begin{aligned} P(\text{tiene CM} \mid \text{mamografía}^+) &= \frac{P(\text{tiene CM y mamografía}^+)}{P(\text{mamografía}^+)} \\ &= \frac{0.00312}{0.07288} \approx 0.0428 \end{aligned}\]

Es decir, incluso si una paciente tiene una detección por mamografía positiva, todavía hay solo un 4% de posibilidades de que tenga cáncer de mama.

El ejemplo 3.42 destaca por qué los médicos a menudo realizan más pruebas independientemente de un primer resultado positivo. Cuando una condición médica es rara, una sola prueba positiva generalmente no es definitiva.

Considere nuevamente la última ecuación del Ejemplo 3.42. Usando el diagrama de árbol, podemos ver que el numerador (la parte superior de la fracción) es igual al siguiente producto:

\[P(\text{tiene CM y mamografía}^+) = P(\text{mamografía}^+ \mid \text{tiene CM})P(\text{tiene CM})\]

El denominador, la probabilidad de que la detección sea positiva, es igual a la suma de las probabilidades para cada escenario de detección positiva:

P(mamografía+) = P(mamografía⁺ y no tiene CM) + P(mamografía⁺ y tiene CM)

En el ejemplo, cada una de las probabilidades en el lado derecho se dividió en un producto de una probabilidad condicional y una probabilidad marginal utilizando el diagrama de árbol.

\[\begin{aligned} P(\text{mamografía}^+) &= P(\text{mamografía}^+ \text{ y no tiene CM}) + P(\text{mamografía}^+ \text{ y tiene CM}) \\ &= P(\text{mamografía}^+ \mid \text{no tiene CM})P(\text{no tiene CM}) \\ &+ P(\text{mamografía}^+ \mid \text{tiene CM})P(\text{tiene CM}) \end{aligned}\]

Podemos ver una aplicación del Teorema de Bayes sustituyendo las expresiones de probabilidad resultantes en el numerador y denominador de la probabilidad condicional original.

P(tiene CM | mamografía+)

\[=\frac{P(\text{mamografía}^+ \mid \text{tiene CM})P(\text{tiene CM})}{P(\text{mamografía}^+ \mid \text{no tiene CM})P(\text{no tiene CM}) + P(\text{mamografía}^+ \mid \text{tiene CM})P(\text{tiene CM})}\]

TEOREMA DE BAYES: INVERSIÓN DE PROBABILIDADES

Considera la siguiente probabilidad condicional para la variable 1 y la variable 2:

P(resultado A¹ de la variable 1 | resultado B de la variable 2)

El teorema de Bayes establece que esta probabilidad condicional se puede identificar como la siguiente fracción:

\[\frac{P(B|A\_1)P(A\_1)}{P(B|A\_1)P(A\_1) + P(B|A\_2)P(A\_2) + \dots + P(B|A\_k)P(A\_k)}\]

donde A2, A3, …, y A^k representan todos los demás resultados posibles de la primera variable.

El teorema de Bayes es una generalización de lo que hemos hecho usando diagramas de árbol. El numerador identifica la probabilidad de obtener tanto A¹ como B. El denominador es la probabilidad marginal de obtener B. Este componente inferior de la fracción parece largo y complicado ya que tenemos que sumar las probabilidades de todas las diferentes formas de obtener B. Siempre completamos este paso al usar diagramas de árbol. Sin embargo, generalmente lo hacíamos en un paso separado, por lo que no parecía tan complejo. Para aplicar correctamente el teorema de Bayes, hay dos pasos preparatorios:

• 1. Primero, identifica las probabilidades marginales de cada resultado posible de la primera variable: P(A1), P(A2), …, P(Ak).
• 2. Luego, identifica la probabilidad del resultado B, condicionado a cada posible escenario para la primera variable: P(B|A1), P(B|A2), …, P(B|Ak).

Una vez que se identifican cada una de estas probabilidades, se pueden aplicar directamente dentro de la fórmula. El teorema de Bayes tiende a ser una buena opción cuando hay tantos escenarios que dibujar un diagrama de árbol sería complejo.

3.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL 107

PRÁCTICA GUIADA 3.43

José visita el campus todos los jueves por la noche. Sin embargo, algunos días el estacionamiento está lleno, a menudo debido a eventos universitarios. Hay eventos académicos el 35% de las noches, eventos deportivos el 20% de las noches y ningún evento el 45% de las noches. Cuando hay un evento académico, el estacionamiento se llena aproximadamente el 25% de las veces, y se llena el 70% de las noches con eventos deportivos. En las noches en que no hay eventos, solo se llena alrededor del 5% de las veces. Si José llega al campus y encuentra el estacionamiento lleno, ¿cuál es la probabilidad de que haya un evento deportivo? Utilice un diagrama de árbol para resolver este problema.37

EJEMPLO 3.44

Aquí resolvemos el mismo problema presentado en la Práctica Guiada 3.43, excepto que esta vez usamos el Teorema de Bayes.

El resultado de interés es si hay un evento deportivo (llamemos a esto A1), y la condición es que el estacionamiento está lleno (B). Sea A² representa un evento académico y A³ representa que no hay ningún evento en el campus. Entonces, las probabilidades dadas se pueden escribir como

\[\begin{aligned} P(A\_1) &= 0.2 & P(A\_2) &= 0.35 & P(A\_3) &= 0.45\\ P(B|A\_1) &= 0.7 & P(B|A\_2) &= 0.25 & P(B|A\_3) &= 0.05 \end{aligned}\]

El Teorema de Bayes se puede usar para calcular la probabilidad de un evento deportivo (A1) bajo la condición de que el estacionamiento esté lleno (B):

\[\begin{split}P(A\_1|B) &= \frac{P(B|A\_1)P(A\_1)}{P(B|A\_1)P(A\_1) + P(B|A\_2)P(A\_2) + P(B|A\_3)P(A\_3)} \\ &= \frac{(0.7)(0.2)}{(0.7)(0.2) + (0.25)(0.35) + (0.05)(0.45)} \\ &= 0.56\end{split}\]

Basado en la información de que el estacionamiento está lleno, hay una probabilidad del 56% de que se esté celebrando un evento deportivo en el campus esa noche.

³⁷El diagrama de árbol, con tres ramas principales, se muestra a la derecha. A continuación, identificamos dos probabilidades del diagrama de árbol. (1) La probabilidad de que haya un evento deportivo y el estacionamiento esté lleno: 0.14. (2) La probabilidad de que el estacionamiento esté lleno: 0.0875 + 0.14 + 0.0225 = 0.25. Entonces la solución es la razón de estas probabilidades: ⁰.^{14 0}.²⁵ = 0.56. Si el estacionamiento está lleno, hay una probabilidad del 56% de que haya un evento deportivo.

Utilice la información del ejercicio y el ejemplo anteriores para verificar la probabilidad de que haya un evento académico condicionado a que el estacionamiento esté lleno es 0.35.38

PRÁCTICA GUIADA 3.46

En la Práctica Guiada 3.43 y 3.45, encontró que si el estacionamiento está lleno, la probabilidad de que haya un evento deportivo es 0.56 y la probabilidad de que haya un evento académico es 0.35. Utilizando esta información, calcule P(ningún evento | el estacionamiento está lleno).39

Los últimos ejercicios ofrecieron una forma de actualizar nuestra creencia sobre si hay un evento deportivo, un evento académico o ningún evento en la escuela, basándonos en la información de que el estacionamiento estaba lleno. Esta estrategia de actualizar las creencias utilizando el Teorema de Bayes es en realidad la base de una sección completa de la estadística llamada estadística bayesiana. Si bien la estadística bayesiana es muy importante y útil, no tendremos tiempo para cubrir mucho más en este libro.

³⁸Respuesta corta:

^P(A2|B) = ^P(B|A2)P(A2) P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) = (0.25)(0.35) (0.7)(0.2) + (0.25)(0.35) + (0.05)(0.45) = 0.35

³⁹Cada probabilidad está condicionada a la misma información de que el estacionamiento está lleno, por lo que se puede utilizar el complemento: 1.00 − 0.56 − 0.35 = 0.09.

Ejercicios

• 3.13 Probabilidades conjuntas y condicionales. P(A) = 0.3, P(B) = 0.7
• 1. ¿Puedes calcular P(A y B) si solo conoces P(A) y P(B)?
• 2. Asumiendo que los eventos A y B surgen de procesos aleatorios independientes,
  • 1. ¿Cuál es P(A y B)?
  • 2. ¿Cuál es P(A o B)?
  • 3. ¿Cuál es P(A|B)?
• 3. Si se nos da que P(A y B) = 0.1, ¿son las variables aleatorias que dan lugar a los eventos A y B independientes?
• 4. Si se nos da que P(A y B) = 0.1, ¿cuál es P(A|B)?

3.14 Mantequilla de maní y jalea (PB & J). Supongamos que al 80% de las personas les gusta la mantequilla de maní, al 89% les gusta la jalea y al 78% les gustan ambas. Dado que a una persona seleccionada al azar le gusta la mantequilla de maní, ¿cuál es la probabilidad de que también le guste la jalea?

3.15 Calentamiento global. Una encuesta de Pew Research preguntó a 1,306 estadounidenses “¿De lo que ha leído y escuchado, hay evidencia sólida de que la temperatura promedio en la tierra ha estado aumentando en las últimas décadas, o no?”. La siguiente tabla muestra la distribución de las respuestas por partido e ideología, donde los conteos han sido reemplazados por frecuencias relativas.40

		Respuesta
		La Tierra se	No	No sé
		está calentando	calentando	Rechazar	Total
	Republicano Conservador	0.11	0.20	0.02	0.33
Partido e	Republicano Mod/Lib	0.06	0.06	0.01	0.13
Ideología	Demócrata Mod/Cons	0.25	0.07	0.02	0.34
	Demócrata Liberal	0.18	0.01	0.01	0.20
	Total	0.60	0.34	0.06	1.00

• 1. ¿Son mutuamente excluyentes creer que la tierra se está calentando y ser un demócrata liberal?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado elegido al azar crea que la tierra se está calentando o sea un demócrata liberal?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado elegido al azar crea que la tierra se está calentando dado que es un demócrata liberal?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado elegido al azar crea que la tierra se está calentando dado que es un republicano conservador?
• 5. ¿Parece que el hecho de que un encuestado crea o no que la tierra se está calentando es independiente de su partido e ideología? Explica tu razonamiento.
• 6. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado elegido al azar sea un republicano moderado/liberal dado que no cree que la tierra se esté calentando?

⁴⁰Pew Research Center, La mayoría de los republicanos ya no ven evidencia del calentamiento global, datos recolectados el 27 de octubre de 2010.

3.16 Cobertura de salud, frecuencias relativas. El Sistema de Vigilancia de Factores de Riesgo del Comportamiento (BRFSS) es una encuesta telefónica anual diseñada para identificar factores de riesgo en la población adulta e informar sobre las tendencias emergentes en la salud. La siguiente tabla muestra la distribución del estado de salud de los encuestados a esta encuesta (excelente, muy bueno, bueno, regular, malo) y si tienen o no seguro médico.

			Estado de Salud
		Excelente	Muy bueno	Bueno	Regular	Malo	Total
Cobertura	No	0.0230	0.0364	0.0427	0.0192	0.0050	0.1262
de Salud	Sí	0.2099	0.3123	0.2410	0.0817	0.0289	0.8738
	Total	0.2329	0.3486	0.2838	0.1009	0.0338	1.0000

• 1. ¿Son mutuamente excluyentes tener una salud excelente y tener cobertura de salud?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una salud excelente?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una salud excelente dado que tiene cobertura de salud?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una salud excelente dado que no tiene cobertura de salud?
• 5. ¿Parece que tener una salud excelente y tener cobertura de salud son independientes?

3.17 Preferencias de hamburguesas. Una encuesta de SurveyUSA de 2010 preguntó a 500 residentes de Los Ángeles: “¿Cuál es el mejor lugar de hamburguesas en el sur de California? ¿Five Guys Burgers? ¿In-N-Out Burger? ¿Fat Burger? ¿Tommy’s Hamburgers? ¿Umami Burger? ¿O en otro lugar?”. La distribución de las respuestas por género se muestra a continuación.41

			Género
		Hombre	Mujer	Total
	Five Guys Burgers	5	6	11
	In-N-Out Burger	162	181	343
Mejor	Fat Burger	10	12	22
lugar de	Tommy’s Hamburgers	27	27	54
hamburguesa	Umami Burger	5	1	6
	Otro	26	20	46
	No estoy seguro	13	5	18
	Total	248	252	500

1. ¿Son ser mujer y que te gusten las hamburguesas Five Guys mutuamente excluyentes?

• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que a un hombre elegido al azar le guste In-N-Out como el mejor?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que a una mujer elegida al azar le guste In-N-Out como el mejor?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que a un hombre y una mujer que están saliendo les guste In-N-Out como el mejor? Tenga en cuenta cualquier suposición que haga y evalúe si cree que esa suposición es razonable.
• 5. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona elegida al azar le guste Umami como el mejor o que esa persona sea mujer?

⁴¹SurveyUSA, Resultados de la encuesta de noticias SurveyUSA #17718, datos recolectados el 2 de diciembre de 2010.

3.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL 111

3.18 Emparejamiento selectivo. El emparejamiento selectivo es un patrón de emparejamiento no aleatorio donde los individuos con genotipos y/o fenotipos similares se aparean entre sí con más frecuencia de lo que se esperaría bajo un patrón de emparejamiento aleatorio. Investigadores que estudian este tema recopilaron datos sobre los colores de ojos de 204 hombres escandinavos y sus parejas femeninas. La siguiente tabla resume los resultados.42

		Pareja (femenina)
		Azul	Marrón	Verde	Total
	Azul	78	23	13	114
Yo (masculino)	Marrón	19	23	12	54
	Verde	11	9	16	36
	Total	108	55	41	204

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado masculino elegido al azar o su pareja tenga ojos azules?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado masculino elegido al azar con ojos azules tenga una pareja con ojos azules?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado masculino elegido al azar con ojos marrones tenga una pareja con ojos azules? ¿Qué pasa con la probabilidad de que un encuestado masculino elegido al azar con ojos verdes tenga una pareja con ojos azules?
• 4. ¿Parece que los colores de ojos de los encuestados masculinos y sus parejas son independientes? Explique su razonamiento.

3.19 Dibujo de diagramas de caja. Después de un curso de estadística introductorio, el 80% de los estudiantes pueden construir diagramas de caja con éxito. De los que pueden construir diagramas de caja, el 86% aprobó, mientras que solo el 65% de los estudiantes que no pudieron construir diagramas de caja aprobó.

• 1. Construya un diagrama de árbol de este escenario.
• 2. Calcule la probabilidad de que un estudiante pueda construir un diagrama de caja si se sabe que aprobó.

3.20 Predisposición a la trombosis. Se utiliza una prueba genética para determinar si las personas tienen una predisposición a la trombosis, que es la formación de un coágulo de sangre dentro de un vaso sanguíneo que obstruye el flujo de sangre a través del sistema circulatorio. Se cree que el 3% de las personas realmente tienen esta predisposición. La prueba genética tiene una precisión del 99% si una persona realmente tiene la predisposición, lo que significa que la probabilidad de un resultado de prueba positivo cuando una persona realmente tiene la predisposición es de 0.99. La prueba tiene una precisión del 98% si una persona no tiene la predisposición. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar que dé positivo en la prueba de la predisposición realmente tenga la predisposición?

3.21 Nunca es lupus. El lupus es un fenómeno médico en el que los anticuerpos que se supone que atacan las células extrañas para prevenir infecciones en cambio ven las proteínas plasmáticas como cuerpos extraños, lo que conlleva un alto riesgo de coagulación sanguínea. Se cree que el 2% de la población padece esta enfermedad. La prueba tiene una precisión del 98% si una persona realmente tiene la enfermedad. La prueba tiene una precisión del 74% si una persona no tiene la enfermedad. Hay una línea del programa de televisión House de Fox que se usa a menudo después de que un paciente da positivo por lupus: “Nunca es lupus”. ¿Cree que hay algo de verdad en esta afirmación? Utilice las probabilidades adecuadas para respaldar su respuesta.

3.22 Encuesta a pie de urna. Edison Research recopiló los resultados de las encuestas a pie de urna de varias fuentes para la elección revocatoria de Scott Walker en Wisconsin. Descubrieron que el 53% de los encuestados votaron a favor de Scott Walker. Además, estimaron que de los que votaron a favor de Scott Walker, el 37% tenía un título universitario, mientras que el 44% de los que votaron en contra de Scott Walker tenía un título universitario. Supongamos que seleccionamos al azar a una persona que participó en la encuesta a pie de urna y descubrimos que tenía un título universitario. ¿Cuál es la probabilidad de que haya votado a favor de Scott Walker?43

⁴²B. Laeng et al. “¿Por qué los hombres de ojos azules prefieren a las mujeres con el mismo color de ojos?” En: Behavioral Ecology and Sociobiology 61.3 (2007), pp. 371–384.

⁴³New York Times, Encuestas a pie de urna de la revocación de Wisconsin.

3.3 Muestreo de una población pequeña

Cuando muestreamos observaciones de una población, generalmente solo muestreamos una pequeña fracción de los posibles individuos o casos. Sin embargo, a veces nuestro tamaño de muestra es lo suficientemente grande o la población es lo suficientemente pequeña como para que muestreemos más del 10% de una población44 sin reemplazo (lo que significa que no tenemos la posibilidad de muestrear los mismos casos dos veces). Muestrear una fracción tan notable de una población puede ser importante para cómo analizamos la muestra.

EJEMPLO 3.47

A veces, los profesores seleccionan a un estudiante al azar para responder una pregunta. Si cada estudiante tiene la misma probabilidad de ser seleccionado y hay 15 personas en tu clase, ¿cuál es la probabilidad de que te elija para la próxima pregunta?

Si hay 15 personas a las que preguntar y ninguna falta a clase, entonces la probabilidad es 1/15, o aproximadamente 0.067.

EJEMPLO 3.48

Si el profesor hace 3 preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que no seas seleccionado? Asume que no elegirá a la misma persona dos veces en una misma clase.

Para la primera pregunta, elegirá a otra persona con una probabilidad de 14/15. Cuando haga la segunda pregunta, solo tendrá 14 personas a las que aún no se les ha preguntado. Por lo tanto, si no fuiste elegido en la primera pregunta, la probabilidad de que no seas elegido de nuevo es de 13/14. De manera similar, la probabilidad de que no seas elegido de nuevo en la tercera pregunta es de 12/13, y la probabilidad de no ser elegido para ninguna de las tres preguntas es

P(no ser elegido en 3 preguntas)

= P(P1 = no ser elegido, P2 = no ser elegido, P3 = no ser elegido.) = 14 15 × 13 14 × 12 13 = 12 15 = 0.80

PRÁCTICA GUIADA 3.49

¿Qué regla nos permitió multiplicar las probabilidades en el Ejemplo 3.48? 45

P(Q2 = no elegido | Q1 = no elegido)

P(Q3 = no elegido | Q1 = no elegido, Q2 = no elegido)

⁴⁴La regla del 10% es un punto de corte orientativo para cuando estas consideraciones se vuelven más importantes.

⁴⁵Las tres probabilidades que calculamos fueron en realidad una probabilidad marginal, P(Q1=no elegido), y dos probabilidades condicionales:

Usando la Regla General de Multiplicación, el producto de estas tres probabilidades es la probabilidad de no ser elegido en 3 preguntas.

3.3. MUESTREO DE UNA POBLACIÓN PEQUEÑA 113

EJEMPLO 3.50

Supongamos que el profesor elige al azar sin tener en cuenta a quién ya seleccionó, es decir, los estudiantes pueden ser elegidos más de una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que no seas elegido para ninguna de las tres preguntas?

Cada elección es independiente, y la probabilidad de no ser elegido para cualquier pregunta individual es 14/15. Por lo tanto, podemos usar la Regla de Multiplicación para procesos independientes.

P(no elegido en 3 preguntas)

= P(Q1 = no elegido, Q2 = no elegido, Q3 = no elegido.) = 14 15 × 14 15 × 14 15 = 0.813

Tienes una probabilidad ligeramente mayor de no ser elegido en comparación con cuando elegía a una persona nueva para cada pregunta. Sin embargo, ahora puedes ser elegido más de una vez.

PRÁCTICA GUIADA 3.51

Bajo la configuración del Ejemplo 3.50, ¿cuál es la probabilidad de ser elegido para responder las tres preguntas?46

Si muestreamos de una población pequeña sin reemplazo, ya no tenemos independencia entre nuestras observaciones. En el Ejemplo 3.48, la probabilidad de no ser elegido para la segunda pregunta estaba condicionada al evento de que no fueras elegido para la primera pregunta. En el Ejemplo 3.50, el profesor muestreó a sus estudiantes con reemplazo: muestreó repetidamente a toda la clase sin tener en cuenta a quién ya había elegido.

PRÁCTICA GUIADA 3.52

Tu departamento está organizando una rifa. Venden 30 boletos y ofrecen siete premios. (a) Colocan los boletos en un sombrero y sacan uno para cada premio. Los boletos se muestrean sin reemplazo, es decir, los boletos seleccionados no se vuelven a colocar en el sombrero. ¿Cuál es la probabilidad de ganar un premio si compras un boleto? (b) ¿Qué pasa si los boletos se muestrean con reemplazo?47

PRÁCTICA GUIADA 3.53

Compara tus respuestas en la Práctica Guiada 3.52. ¿Cuánta influencia tiene el método de muestreo en tus posibilidades de ganar un premio?48

Si hubiéramos repetido la Práctica Guiada 3.52 con 300 boletos en lugar de 30, habríamos encontrado algo interesante: los resultados serían casi idénticos. La probabilidad sería 0.0233 sin reemplazo y 0.0231 con reemplazo. Cuando el tamaño de la muestra es solo una pequeña fracción de la población (menos del 10%), las observaciones son casi independientes incluso cuando se muestrea sin reemplazo.

⁴⁶P(ser elegido para responder las tres preguntas) = 1 15 ³ = 0.00030.

⁴⁷(a) Primero determina la probabilidad de no ganar. Los boletos se muestrean sin reemplazo, lo que significa que la probabilidad de que no ganes en el primer sorteo es 29/30, 28/29 para el segundo, …, y 23/24 para el séptimo. La probabilidad de no ganar ningún premio es el producto de estas probabilidades separadas: 23/30. Es decir, la probabilidad de ganar un premio es 1 − 23/30 = 7/30 = 0.233. (b) Cuando los boletos se muestrean con reemplazo, hay siete sorteos independientes. Nuevamente, primero encontramos la probabilidad de no ganar un premio: (29/30)⁷ = 0.789. Por lo tanto, la probabilidad de ganar (al menos) un premio al sortear con reemplazo es 0.211.

⁴⁸Hay aproximadamente un 10% más de posibilidades de ganar un premio cuando se utiliza el muestreo sin reemplazo. Sin embargo, como máximo se puede ganar un premio bajo este procedimiento de muestreo.

Ejercicios

• 3.23 Canicas en una urna. Imagina que tienes una urna que contiene 5 canicas rojas, 3 azules y 2 naranjas.
• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica que saques sea azul?
• 2. Supón que sacaste una canica azul en la primera extracción. Si se extrae con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica azul en la segunda extracción?
• 3. Supón que en cambio sacaste una canica naranja en la primera extracción. Si se extrae con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica azul en la segunda extracción?
• 4. Si se extrae con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos canicas azules seguidas?
• 5. Cuando se extrae con reemplazo, ¿son independientes las extracciones? Explica.

3.24 Calcetines en un cajón. En tu cajón de calcetines tienes 4 calcetines azules, 5 grises y 3 negros. Medio dormido una mañana, tomas 2 calcetines al azar y te los pones. Encuentra la probabilidad de que termines usando

• 1. 2 calcetines azules
• 2. ningún calcetín gris
• 3. al menos 1 calcetín negro
• 4. un calcetín verde
• 5. calcetines iguales

3.25 Fichas en una bolsa. Imagina que tienes una bolsa que contiene 5 fichas rojas, 3 azules y 2 naranjas.

• 1. Supón que sacas una ficha y es azul. Si se extrae sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente también sea azul?
• 2. Supón que sacas una ficha y es naranja, y luego sacas una segunda ficha sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que esta segunda ficha sea azul?
• 3. Si se extrae sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos fichas azules seguidas?
• 4. Cuando se extrae sin reemplazo, ¿son independientes las extracciones? Explica.

3.26 Libros en una estantería. La tabla a continuación muestra la distribución de libros en una estantería según si son de no ficción o ficción y de tapa dura o blanda.

		Formato
		Tapa Dura	Tapa Blanda	Total
Tipo	Ficción	13	59	72
	No Ficción	15	8	23
	Total	28	67	95

• 1. Encuentra la probabilidad de sacar primero un libro de tapa dura y luego un libro de ficción de tapa blanda en segundo lugar cuando se extrae sin reemplazo.
• 2. Determina la probabilidad de sacar primero un libro de ficción y luego un libro de tapa dura en segundo lugar, cuando se extrae sin reemplazo.
• 3. Calcula la probabilidad del escenario en la parte (b), excepto que esta vez completa los cálculos bajo el escenario donde el primer libro se vuelve a colocar en la estantería antes de sacar aleatoriamente el segundo libro.
• 4. Las respuestas finales a las partes (b) y (c) son muy similares. Explica por qué este es el caso.

3.27 Atuendos de estudiantes. En un aula con 24 estudiantes, 7 estudiantes usan jeans, 4 usan pantalones cortos, 8 usan faldas y el resto usan leggings. Si seleccionamos aleatoriamente 3 estudiantes sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los estudiantes seleccionados use leggings y los otros dos usen jeans? Ten en cuenta que estas son opciones de ropa mutuamente excluyentes.

3.28 El problema del cumpleaños. Supón que elegimos a tres personas al azar. Para cada una de las siguientes preguntas, ignora el caso especial en el que alguien pueda nacer el 29 de febrero y asume que los nacimientos se distribuyen uniformemente a lo largo del año.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras personas compartan un cumpleaños?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas compartan un cumpleaños?

3.4 Variables aleatorias

A menudo es útil modelar un proceso utilizando lo que se llama una variable aleatoria. Tal modelo nos permite aplicar un marco matemático y principios estadísticos para una mejor comprensión y predicción de los resultados en el mundo real.

EJEMPLO 3.54

Se asignan dos libros para una clase de estadística: un libro de texto y su guía de estudio correspondiente. La librería universitaria determinó que el 20% de los estudiantes matriculados no compran ninguno de los dos libros, el 55% compra solo el libro de texto y el 25% compra ambos libros, y estos porcentajes son relativamente constantes de un trimestre a otro. Si hay 100 estudiantes matriculados, ¿cuántos libros debería esperar vender la librería a esta clase?

Alrededor de 20 estudiantes no comprarán ninguno de los dos libros (0 libros en total), aproximadamente 55 comprarán un libro (55 libros en total) y aproximadamente 25 comprarán dos libros (totalizando 50 libros para estos 25 estudiantes). La librería debería esperar vender alrededor de 105 libros para esta clase.

PRÁCTICA GUIADA 3.55

¿Te sorprendería si la librería vendiera un poco más o un poco menos de 105 libros?49

EJEMPLO 3.56

El libro de texto cuesta $137 y la guía de estudio $33. ¿Cuántos ingresos debería esperar la librería de esta clase de 100 estudiantes?

Aproximadamente 55 estudiantes solo comprarán un libro de texto, lo que generará ingresos de

$ \(137 \times 55 = \$ 7,535.\)

Los aproximadamente 25 estudiantes que compran tanto el libro de texto como la guía de estudio pagarían un total de

$( $137 + $ 33) =  \(170 \times 25 = \$ 4,250\)

Por lo tanto, la librería debería esperar generar alrededor de $7, 535 + $4, 250 = $11, 785 de estos 100 estudiantes para esta clase. Sin embargo, podría haber cierta variabilidad en el muestreo, por lo que la cantidad real puede diferir un poco.

Figura 3.18: Distribución de probabilidad de los ingresos de la librería de un estudiante. El triángulo representa el ingreso promedio por estudiante.

⁴⁹Si venden un poco más o un poco menos, esto no debería ser una sorpresa. Esperamos que el Capítulo 1 haya ayudado a aclarar que existe una variabilidad natural en los datos observados. Por ejemplo, si lanzáramos una moneda 100 veces, no saldrá cara exactamente la mitad de las veces, pero probablemente se acercará.

EJEMPLO 3.57

¿Cuál es el ingreso promedio por estudiante para este curso?

El ingreso total esperado es de $11,785, y hay 100 estudiantes. Por lo tanto, el ingreso esperado por estudiante es de $11, 785/100 = $117.85.

3.4.1 Esperanza

Llamamos variable aleatoria a una variable o proceso con un resultado numérico, y normalmente representamos esta variable aleatoria con una letra mayúscula como X, Y o Z. La cantidad de dinero que un estudiante gastará en sus libros de estadística es una variable aleatoria, y la representamos con X.

VARIABLE ALEATORIA

Un proceso o variable aleatoria con un resultado numérico.

Los posibles resultados de X se etiquetan con una letra minúscula correspondiente x y subíndices. Por ejemplo, escribimos x¹ = $0, x² = $137 y x³ = $170, que ocurren con probabilidades 0.20, 0.55 y 0.25. La distribución de X se resume en la Figura 3.18 y la Figura 3.19.

i	1	2	3	Total
xi	$0	$137	$170	–
P(X = xi)	0.20	0.55	0.25	1.00

Figura 3.19: La distribución de probabilidad para la variable aleatoria X, que representa los ingresos de la librería de un solo estudiante.

Calculamos el resultado promedio de X como $117.85 en el Ejemplo 3.57. Llamamos a este promedio el valor esperado de X, denotado por E(X). El valor esperado de una variable aleatoria se calcula sumando cada resultado ponderado por su probabilidad:

E(X) = 0 × P(X = 0) + 137 × P(X = 137) + 170 × P(X = 170) = 0 × 0.20 + 137 × 0.55 + 170 × 0.25 = 117.85

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Si X toma los resultados x1, …, x^k con probabilidades P(X = x1), …, P(X = xk), el valor esperado de X es la suma de cada resultado multiplicado por su probabilidad correspondiente:

\[\begin{aligned} E(X) &= x\_1 \times P(X = x\_1) + \dots + x\_k \times P(X = x\_k) \\ &= \sum\_{i=1}^k x\_i P(X = x\_i) \end{aligned}\]

La letra griega µ puede usarse en lugar de la notación E(X).

Figura 3.20: Un sistema de pesas que representa la distribución de probabilidad para X. La cuerda sostiene la distribución en la media para mantener el sistema equilibrado.

Figura 3.21: Una distribución continua también se puede equilibrar en su media.

El valor esperado para una variable aleatoria representa el resultado promedio. Por ejemplo, E(X) = 117.85 representa la cantidad promedio que la librería espera obtener de un solo estudiante, lo que también podríamos escribir como µ = 117.85.

También es posible calcular el valor esperado de una variable aleatoria continua (ver Sección 3.5). Sin embargo, requiere un poco de cálculo y lo guardamos para una clase posterior.50

En física, la esperanza tiene el mismo significado que el centro de gravedad. La distribución puede representarse mediante una serie de pesos en cada resultado, y la media representa el punto de equilibrio. Esto se representa en las Figuras 3.18 y 3.20. La idea de un centro de gravedad también se expande a las distribuciones de probabilidad continuas. La Figura 3.21 muestra una distribución de probabilidad continua equilibrada sobre una cuña colocada en la media.

⁵⁰µ = R xf(x)dx donde f(x) representa una función para la curva de densidad.

3.4.2 Variabilidad en variables aleatorias

Suponga que usted dirigiera la librería de la universidad. Además de cuántos ingresos espera generar, también podría querer conocer la volatilidad (variabilidad) en sus ingresos.

La varianza y la desviación estándar se pueden usar para describir la variabilidad de una variable aleatoria. La Sección 2.1.4 introdujo un método para encontrar la varianza y la desviación estándar para un conjunto de datos. Primero calculamos las desviaciones de la media (xⁱ − µ), elevamos al cuadrado esas desviaciones y sacamos un promedio para obtener la varianza. En el caso de una variable aleatoria, nuevamente calculamos las desviaciones al cuadrado. Sin embargo, tomamos su suma ponderada por sus probabilidades correspondientes, tal como lo hicimos para la esperanza. Esta suma ponderada de desviaciones al cuadrado es igual a la varianza, y calculamos la desviación estándar tomando la raíz cuadrada de la varianza, tal como lo hicimos en la Sección 2.1.4.

FÓRMULA GENERAL DE VARIANZA

Si X toma los resultados x1, …, x^k con probabilidades P(X = x1), …, P(X = xk) y valor esperado µ = E(X), entonces la varianza de X, denotada por V ar(X) o el símbolo σ 2 , es

\[\sigma^2 = (x\_1 - \mu)^2 \times P(X = x\_1) + \dotsb\]

\[\dots + (x\_k - \mu)^2 \times P(X = x\_k)\]

\[= \sum\_{j=1}^k (x\_j - \mu)^2 P(X = x\_j)\]

La desviación estándar de X, etiquetada σ, es la raíz cuadrada de la varianza.

EJEMPLO 3.58

Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de X, los ingresos de un solo estudiante de estadística para la librería.

Es útil construir una tabla que contenga los cálculos para cada resultado por separado, luego sumar los resultados.

i	1	2	3	Total
xi	$0	$137	$170
P(X = xi)	0.20	0.55	0.25
× P(X = xi) xi	0	75.35	42.50	117.85

Por lo tanto, el valor esperado es µ = 117.85, que calculamos anteriormente. La varianza se puede construir extendiendo esta tabla:

i	1	2	3	Total
xi	$0	$137	$170
P(X = xi)	0.20	0.55	0.25
× P(X = xi) xi	0	75.35	42.50	117.85
xi − µ	-117.85	19.15	52.15
2 − µ) (xi	13888.62	366.72	2719.62
2 × (xi − µ) P(X = xi)	2777.7	201.7	679.9	3659.3

La varianza de X es σ ² = 3659.3, lo que significa que la desviación estándar es σ = √ 3659.3 = $60.49.

La librería también ofrece un libro de texto de química por $159 y un suplemento del libro por $41. Por experiencia pasada, saben que alrededor del 25% de los estudiantes de química solo compran el libro de texto, mientras que el 60% compra tanto el libro de texto como el suplemento.51

• 1. ¿Qué proporción de estudiantes no compra ninguno de los dos libros? Asuma que ningún estudiante compra el suplemento sin el libro de texto.
• 2. Sea Y la representación de los ingresos de un solo estudiante. Escriba la distribución de probabilidad de Y , es decir, una tabla para cada resultado y su probabilidad asociada.
• 3. Calcule los ingresos esperados de un solo estudiante de química.
• 4. Encuentre la desviación estándar para describir la variabilidad asociada con los ingresos de un solo estudiante.

3.4.3 Combinaciones lineales de variables aleatorias

Hasta ahora, hemos considerado cada variable como una historia completa en sí misma. A veces, es más apropiado usar una combinación de variables. Por ejemplo, la cantidad de tiempo que una persona dedica a ir al trabajo cada semana puede dividirse en varios viajes diarios. De manera similar, la ganancia o pérdida total en una cartera de acciones es la suma de las ganancias y pérdidas en sus componentes.

EJEMPLO 3.60

John viaja al trabajo cinco días a la semana. Usaremos X¹ para representar su tiempo de viaje el lunes, X² para representar su tiempo de viaje el martes, y así sucesivamente. Escribe una ecuación usando X1, …, X⁵ que represente su tiempo de viaje para la semana, denotado por W.

Su tiempo total de viaje semanal es la suma de los cinco valores diarios:

\[W = X\_1 + X\_2 + X\_3 + X\_4 + X\_5\]

Dividir el tiempo de viaje semanal W en partes proporciona un marco para comprender cada fuente de aleatoriedad y es útil para modelar W.

⁵¹(a) 100% - 25% - 60% = 15% de los estudiantes no compran ningún libro para la clase. La parte (b) está representada por las dos primeras líneas en la tabla a continuación. La esperanza para la parte (c) se da como el total en la línea yⁱ × P(Y = yi). El resultado de la parte (d) es la raíz cuadrada de la varianza que se enumera en el total en la última línea: σ = p V ar(Y ) = $69.28.

i (escenario)	1 (sinLibro)	2 (libroDeTexto)	3 (ambos)	Total
yi	0.00	159.00	200.00
P(Y = yi)	0.15	0.25	0.60
yi × P(Y = yi)	0.00	39.75	120.00	E(Y ) = 159.75
yi − E(Y )	-159.75	-0.75	40.25
(yi − E(Y ))2	25520.06	0.56	1620.06
(yi − E(Y ))2 × P(Y )	3828.0	0.1	972.0	V ar(Y ) ≈ 4800

EJEMPLO 3.61

A John le toma un promedio de 18 minutos cada día para ir al trabajo. ¿Cuál esperarías que fuera su tiempo promedio de viaje para la semana?

Nos dijeron que el promedio (es decir, el valor esperado) del tiempo de viaje es de 18 minutos por día: E(Xi) = 18. Para obtener el tiempo esperado para la suma de los cinco días, podemos sumar el tiempo esperado para cada día individual:

\[\begin{aligned} E(W) &= E(X\_1 + X\_2 + X\_3 + X\_4 + X\_5) \\ &= E(X\_1) + E(X\_2) + E(X\_3) + E(X\_4) + E(X\_5) \\ &= 18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 90 \text{ minutos} \end{aligned}\]

La esperanza del tiempo total es igual a la suma de los tiempos individuales esperados. Más generalmente, la esperanza de una suma de variables aleatorias es siempre la suma de la esperanza para cada variable aleatoria.

PRÁCTICA GUIADA 3.62

Elena está vendiendo un televisor en una subasta en efectivo y también tiene la intención de comprar un horno tostador en la subasta. Si X representa la ganancia por vender el televisor e Y representa el costo del horno tostador, escribe una ecuación que represente el cambio neto en el efectivo de Elena.52

PRÁCTICA GUIADA 3.63

Basado en subastas pasadas, Elena calcula que debería esperar ganar alrededor de $175 por el televisor y pagar alrededor de $23 por el horno tostador. En total, ¿cuánto debería esperar ganar o gastar?53

PRÁCTICA GUIADA 3.64

¿Te sorprendería si el viaje semanal de John no fuera exactamente de 90 minutos o si Elena no ganara exactamente $152? Explica.54

Hasta ahora, se han introducido dos conceptos importantes sobre las combinaciones de variables aleatorias. Primero, un valor final a veces se puede describir como la suma de sus partes en una ecuación. Segundo, la intuición sugiere que poner los valores promedio individuales en esta ecuación da el valor promedio que esperaríamos en total. Este segundo punto necesita aclaración: está garantizado que sea cierto en lo que se llama combinaciones lineales de variables aleatorias.

Una combinación lineal de dos variables aleatorias X e Y es una frase elegante para describir una combinación

\[aX + bY\]

donde a y b son algunos números fijos y conocidos. Para el tiempo de viaje de John, había cinco variables aleatorias, una para cada día de trabajo, y cada variable aleatoria podría escribirse como teniendo un coeficiente fijo de 1:

\[1X\_1 + 1X\_2 + 1X\_3 + 1X\_4 + 1X\_5\]

Para la ganancia o pérdida neta de Elena, la variable aleatoria X tenía un coeficiente de +1 y la variable aleatoria Y tenía un coeficiente de -1.

⁵²Ella ganará X dólares por el televisor pero gastará Y dólares por el horno tostador: X − Y .

⁵³E(X − Y ) = E(X) − E(Y ) = 175 − 23 = $152. Debería esperar ganar alrededor de $152.

⁵⁴No, ya que probablemente haya alguna variabilidad. Por ejemplo, el tráfico variará de un día a otro, y los precios de la subasta variarán según la calidad de la mercancía y el interés de los asistentes.

Al considerar el promedio de una combinación lineal de variables aleatorias, es seguro insertar la media de cada variable aleatoria y luego calcular el resultado final. Para algunos ejemplos de combinaciones no lineales de variables aleatorias (casos donde no podemos simplemente insertar las medias), consulta la nota al pie.55

COMBINACIONES LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS Y EL RESULTADO PROMEDIO

Si X e Y son variables aleatorias, entonces una combinación lineal de las variables aleatorias está dada por

aX + bY

donde a y b son algunos números fijos. Para calcular el valor promedio de una combinación lineal de variables aleatorias, inserta el promedio de cada variable aleatoria individual y calcula el resultado:

\[a \times E(X) + b \times E(Y)\]

Recuerda que el valor esperado es el mismo que la media, p. ej. E(X) = µX.

EJEMPLO 3.65

Leonard ha invertido $6000 en Caterpillar Inc (código bursátil: CAT) y $2000 en Exxon Mobil Corp (XOM). Si X representa el cambio en las acciones de Caterpillar el próximo mes e Y representa el cambio en las acciones de Exxon Mobil el próximo mes, escribe una ecuación que describa cuánto dinero se ganará o perderá en las acciones de Leonard para el mes.

Para simplificar, supondremos que X e Y no están en porcentajes sino en forma decimal (p. ej., si las acciones de Caterpillar aumentan un 1%, entonces X = 0.01; o si pierden un 1%, entonces X = −0.01). Entonces podemos escribir una ecuación para la ganancia de Leonard como

$6000 × X + $2000 × Y

Si insertamos el cambio en el valor de las acciones para X e Y , esta ecuación da el cambio en el valor de la cartera de acciones de Leonard para el mes. Un valor positivo representa una ganancia y un valor negativo representa una pérdida.

PRÁCTICA GUIADA 3.66

Las acciones de Caterpillar han estado aumentando recientemente un 2.0% y las de Exxon Mobil un 0.2% por mes, respectivamente. Calcula el cambio esperado en la cartera de acciones de Leonard para el próximo mes.56

PRÁCTICA GUIADA 3.67

Deberías haber encontrado que Leonard espera una ganancia positiva en la Práctica Guiada 3.66. Sin embargo, ¿te sorprendería si en realidad tuviera una pérdida este mes?57

⁵⁵Si X e Y son variables aleatorias, considera las siguientes combinaciones: X1+^Y , X × Y , X/Y . En tales casos, introducir el valor promedio para cada variable aleatoria y calcular el resultado generalmente no conducirá a un valor promedio preciso para el resultado final.

⁵⁶E($6000 × X + $2000 × Y ) = $6000 × 0.020 + $2000 × 0.002 = $124.

⁵⁷No. Si bien las acciones tienden a subir con el tiempo, a menudo son volátiles a corto plazo.

3.4.4 Variabilidad en combinaciones lineales de variables aleatorias

Cuantificar el resultado promedio de una combinación lineal de variables aleatorias es útil, pero también es importante tener una idea de la incertidumbre asociada con el resultado total de esa combinación de variables aleatorias. La ganancia o pérdida neta esperada de la cartera de acciones de Leonard se consideró en la Práctica Guiada 3.66. Sin embargo, no hubo una discusión cuantitativa sobre la volatilidad de esta cartera. Por ejemplo, aunque la ganancia mensual promedio podría ser de aproximadamente $124 según los datos, esa ganancia no está garantizada. La Figura 3.22 muestra los cambios mensuales en una cartera como la de Leonard durante un período de tres años. Las ganancias y pérdidas varían ampliamente, y cuantificar estas fluctuaciones es importante al invertir en acciones.

Rendimientos mensuales durante 3 años

Figura 3.22: El cambio en una cartera como la de Leonard durante 36 meses, donde $6000 están en acciones de Caterpillar y $2000 están en Exxon Mobil.

Así como lo hemos hecho en muchos casos anteriores, usamos la varianza y la desviación estándar para describir la incertidumbre asociada con los rendimientos mensuales de Leonard. Para ello, las varianzas del rendimiento mensual de cada acción serán útiles, y estas se muestran en la Figura 3.23. Los rendimientos de las acciones son casi independientes.

Aquí usamos una ecuación de la teoría de la probabilidad para describir la incertidumbre de los rendimientos mensuales de Leonard; dejamos la prueba de este método para un curso dedicado de probabilidad. La varianza de una combinación lineal de variables aleatorias se puede calcular conectando las varianzas de las variables aleatorias individuales y elevando al cuadrado los coeficientes de las variables aleatorias:

\[\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2 \times \operatorname{Var}(X) + b^2 \times \operatorname{Var}(Y)\]

Es importante tener en cuenta que esta igualdad asume que las variables aleatorias son independientes; si la independencia no se cumple, entonces se requeriría una modificación a esta ecuación que dejamos como un tema para un curso futuro para cubrir. Esta ecuación se puede utilizar para calcular la varianza del rendimiento mensual de Leonard:

\[\begin{aligned} Var(6000 \times X + 2000 \times Y) &= 6000^2 \times Var(X) + 2000^2 \times Var(Y) \\ &= 36,000,000 \times 0.0057 + 4,000,000 \times 0.0021 \\ &\approx 213,600 \end{aligned}\]

La desviación estándar se calcula como la raíz cuadrada de la varianza: ^√ 213, 600 = $463. Si bien un rendimiento mensual promedio de $124 en una inversión de $8000 no es despreciable, los rendimientos mensuales son tan volátiles que Leonard no debería esperar que este ingreso sea muy estable.

	Media (¯x)	Desviación estándar (s)	2 Varianza (s )
CAT	0.0204	0.0757	0.0057
XOM	0.0025	0.0455	0.0021

Figura 3.23: La media, la desviación estándar y la varianza de las acciones de CAT y XOM. Estas estadísticas se estimaron a partir de datos históricos de acciones, por lo que se ha utilizado la notación utilizada para las estadísticas de muestra.

VARIABILIDAD DE LAS COMBINACIONES LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS

La varianza de una combinación lineal de variables aleatorias se puede calcular elevando al cuadrado las constantes, sustituyendo las varianzas de las variables aleatorias y calculando el resultado:

\[\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2 \times \operatorname{Var}(X) + b^2 \times \operatorname{Var}(Y)\]

Esta ecuación es válida siempre que las variables aleatorias sean independientes entre sí. La desviación estándar de la combinación lineal se puede encontrar tomando la raíz cuadrada de la varianza.

EJEMPLO 3.68

Supongamos que el viaje diario de John tiene una desviación estándar de 4 minutos. ¿Cuál es la incertidumbre en su tiempo total de viaje para la semana?

La expresión para el tiempo de viaje de John fue

\[X\_1 + X\_2 + X\_3 + X\_4 + X\_5\]

Cada coeficiente es 1, y la varianza del tiempo de cada día es 4² = 16. Por lo tanto, la varianza del tiempo total de viaje semanal es

\[\begin{aligned} \text{varianza} &= 1^2 \times 16 + 1^2 \times 16 + 1^2 \times 16 + 1^2 \times 16 + 1^2 \times 16 = 5 \times 16 = 80 \\ \text{desviación estándar} &= \sqrt{\text{varianza}} = \sqrt{80} = 8.94 \end{aligned}\]

La desviación estándar para el tiempo de viaje semanal al trabajo de John es de aproximadamente 9 minutos.

PRÁCTICA GUIADA 3.69

El cálculo en el Ejemplo 3.68 se basó en una suposición importante: el tiempo de viaje para cada día es independiente del tiempo en otros días de esa semana. ¿Crees que esto es válido? Explica.58

PRÁCTICA GUIADA 3.70

Considere las dos subastas de Elena de la Práctica Guiada 3.62 en la página 120. Suponga que estas subastas son aproximadamente independientes y que la variabilidad en los precios de las subastas asociadas con el televisor y el horno tostador se puede describir utilizando desviaciones estándar de $25 y $8. Calcule la desviación estándar de la ganancia neta de Elena.59

Considere nuevamente la Práctica Guiada 3.70. El coeficiente negativo para Y en la combinación lineal se eliminó cuando elevamos al cuadrado los coeficientes. Esto generalmente es cierto: los negativos en una combinación lineal no tendrán ningún impacto en la variabilidad calculada para una combinación lineal, pero sí impactan los cálculos del valor esperado.

\[(1)\times X + (-1)\times Y\]

Las varianzas de X e Y son 625 y 64. Elevamos al cuadrado los coeficientes y conectamos las varianzas:

\[(1)^2 \times Var(X) + (-1)^2 \times Var(Y) = 1 \times 625 + 1 \times 64 = 6895\]

La varianza de la combinación lineal es 689, y la desviación estándar es la raíz cuadrada de 689: aproximadamente $26.25.

⁵⁸Una preocupación es si los patrones de tráfico tienden a tener un ciclo semanal (por ejemplo, los viernes pueden ser peores que otros días). Si ese es el caso, y John conduce, entonces la suposición probablemente no sea razonable. Sin embargo, si John camina al trabajo, entonces su viaje probablemente no se vea afectado por ningún ciclo de tráfico semanal.

⁵⁹La ecuación para Elena se puede escribir como

Ejercicios

• 3.29 Fumadores universitarios. En una universidad, el 13% de los estudiantes fuma.
• 1. Calcula el número esperado de fumadores en una muestra aleatoria de 100 estudiantes de esta universidad.
• 2. El gimnasio de la universidad abre a las 9 am los sábados por la mañana. Un sábado por la mañana a las 8:55 am hay 27 estudiantes esperando afuera del gimnasio a que abra. ¿Deberías usar el mismo enfoque de la parte (a) para calcular el número esperado de fumadores entre estos 27 estudiantes?

3.30 El as de tréboles gana. Considera el siguiente juego de cartas con una baraja de cartas bien mezclada. Si sacas una carta roja, no ganas nada. Si sacas un pique, ganas $5. Por cada trébol, ganas $10 más $20 adicionales por el as de tréboles.

• 1. Crea un modelo de probabilidad para la cantidad que ganas en este juego. Además, encuentra las ganancias esperadas para un solo juego y la desviación estándar de las ganancias.
• 2. ¿Cuál es la cantidad máxima que estarías dispuesto a pagar para jugar este juego? Explica tu razonamiento.

3.31 Corazones ganan. En un nuevo juego de cartas, comienzas con una baraja completa bien mezclada y sacas 3 cartas sin reemplazo. Si sacas 3 corazones, ganas $50. Si sacas 3 cartas negras, ganas $25. Para cualquier otra extracción, no ganas nada.

• 1. Crea un modelo de probabilidad para la cantidad que ganas en este juego y encuentra las ganancias esperadas. También calcula la desviación estándar de esta distribución.
• 2. Si el juego cuesta $5 para jugar, ¿cuál sería el valor esperado y la desviación estándar de la ganancia neta (o pérdida)? (Pista: ganancia = ganancias − costo; X − 5)
• 3. Si el juego cuesta $5 para jugar, ¿deberías jugar este juego? Explica.

3.32 ¿Vale la pena? Andy siempre está buscando formas de ganar dinero rápido. Últimamente, ha estado tratando de ganar dinero apostando. Aquí está el juego que está considerando jugar: El juego cuesta $2 para jugar. Saca una carta de una baraja. Si obtiene una carta numérica (2-10), no gana nada. Por cualquier figura (jota, reina o rey), gana $3. Por cualquier as, gana $5, y gana $20 adicionales si saca el as de tréboles.

• 1. Crea un modelo de probabilidad y encuentra la ganancia esperada de Andy por juego.
• 2. ¿Le recomendarías este juego a Andy como una buena forma de ganar dinero? Explica.

3.33 Retorno de cartera. El valor de una cartera aumenta un 18% durante un auge financiero y un 9% durante tiempos normales. Disminuye un 12% durante una recesión. ¿Cuál es el retorno esperado de esta cartera si cada escenario es igualmente probable?

3.34 Cargos por equipaje. Una aerolínea cobra las siguientes tarifas por equipaje: $25 por la primera maleta y $35 por la segunda. Supongamos que el 54% de los pasajeros no tiene equipaje facturado, el 34% tiene una pieza de equipaje facturado y el 12% tiene dos piezas. Suponemos que una porción insignificante de personas factura más de dos maletas.

• 1. Construye un modelo de probabilidad, calcula el ingreso promedio por pasajero y calcula la desviación estándar correspondiente.
• 2. ¿Cuántos ingresos debería esperar la aerolínea para un vuelo de 120 pasajeros? ¿Con qué desviación estándar? Observa cualquier suposición que hagas y si crees que están justificadas.

3.35 Ruleta americana. El juego de la ruleta americana implica girar una rueda con 38 ranuras: 18 rojas, 18 negras y 2 verdes. Una bola se hace girar sobre la rueda y eventualmente caerá en una ranura, donde cada ranura tiene la misma probabilidad de capturar la bola. Los jugadores pueden hacer apuestas al rojo o al negro. Si la bola cae en su color, duplican su dinero. Si cae en otro color, pierden su dinero. Supongamos que apuestas $1 al rojo. ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de tus ganancias?

3.36 Ruleta europea. El juego de la ruleta europea implica girar una rueda con 37 ranuras: 18 rojas, 18 negras y 1 verde. Una bola se hace girar sobre la rueda y eventualmente caerá en una ranura, donde cada ranura tiene la misma probabilidad de capturar la bola. Los jugadores pueden hacer apuestas al rojo o al negro. Si la bola cae en su color, duplican su dinero. Si cae en otro color, pierden su dinero.

• 1. Supongamos que juegas a la ruleta y apuestas $3 en una sola ronda. ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de tus ganancias totales?
• 2. Supongamos que apuestas $1 en tres rondas diferentes. ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de tus ganancias totales?
• 3. ¿Cómo se comparan tus respuestas a las partes (a) y (b)? ¿Qué dice esto sobre el riesgo de los dos juegos?

3.5 Distribuciones continuas

Hasta ahora en este capítulo hemos discutido casos donde el resultado de una variable es discreto. En esta sección, consideramos un contexto donde el resultado es una variable numérica continua.

EJEMPLO 3.71

La Figura 3.24 muestra algunos histogramas huecos diferentes para las alturas de adultos estadounidenses. ¿Cómo el cambiar el número de contenedores (bins) le permite hacer diferentes interpretaciones de los datos?

Añadir más contenedores (bins) proporciona mayor detalle. Esta muestra es extremadamente grande, por lo que los contenedores (bins) mucho más pequeños todavía funcionan bien. Por lo general, no usamos tantos contenedores (bins) con tamaños de muestra más pequeños, ya que los conteos pequeños por contenedor (bin) significan que las alturas de los contenedores (bins) son muy volátiles.

Figura 3.24: Cuatro histogramas huecos de alturas de adultos estadounidenses con anchos de contenedor (bin) variables.

EJEMPLO 3.72

¿Qué proporción de la muestra tiene entre 180 cm y 185 cm de altura (alrededor de 5’11” a 6’1”)?

Podemos sumar las alturas de los contenedores (bins) en el rango de 180 cm y 185 cm y dividir por el tamaño de la muestra. Por ejemplo, esto se puede hacer con los dos contenedores (bins) sombreados que se muestran en la Figura 3.25. Los dos contenedores (bins) en esta región tienen conteos de 195,307 y 156,239 personas, lo que resulta en la siguiente estimación de la probabilidad:

\[\frac{195307 + 156239}{3,000,000} = 0.1172\]

Esta fracción es la misma que la proporción del área del histograma que cae en el rango de 180 a 185 cm.

Figura 3.25: Un histograma con tamaños de contenedor (bin) de 2.5 cm. La región sombreada representa a individuos con alturas entre 180 y 185 cm.

3.5.1 De histogramas a distribuciones continuas

Examine la transición desde un histograma hueco con forma de caja en la parte superior izquierda de la Figura 3.24 hasta el gráfico mucho más suave en la parte inferior derecha. En este último gráfico, los contenedores son tan delgados que el histograma hueco comienza a parecerse a una curva suave. Esto sugiere que la altura de la población como una variable numérica continua podría explicarse mejor mediante una curva que representa el contorno de contenedores extremadamente delgados.

Esta curva suave representa una función de densidad de probabilidad (también llamada densidad o distribución), y dicha curva se muestra en la Figura 3.26 superpuesta a un histograma de la muestra. Una densidad tiene una propiedad especial: el área total bajo la curva de la densidad es 1.

Figura 3.26: La distribución de probabilidad continua de alturas para adultos estadounidenses.

3.5.2 Probabilidades de distribuciones continuas

Calculamos la proporción de individuos con alturas de 180 a 185 cm en el Ejemplo 3.72 como una fracción:

número de personas entre 180 y 185 / tamaño total de la muestra

Encontramos el número de personas con alturas entre 180 y 185 cm determinando la fracción del área del histograma en esta región. De manera similar, podemos usar el área en la región sombreada bajo la curva para encontrar una probabilidad (con la ayuda de una computadora):

P(altura entre 180 y 185) = área entre 180 y 185 = 0.1157

La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga entre 180 y 185 cm es 0.1157. Esto es muy cercano a la estimación del Ejemplo 3.72: 0.1172.

Figura 3.27: Densidad para alturas en la población adulta de EE. UU. con el área entre 180 y 185 cm sombreada. Compare este gráfico con la Figura 3.25.

PRÁCTICA GUIADA 3.73

Se seleccionan aleatoriamente tres adultos estadounidenses. La probabilidad de que un solo adulto mida entre 180 y 185 cm es de 0.1157.60

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres midan entre 180 y 185 cm de altura?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno mida entre 180 y 185 cm?

EJEMPLO 3.74

¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar mida exactamente 180 cm? Suponga que puede medir perfectamente.

Esta probabilidad es cero. Una persona podría estar cerca de los 180 cm, pero no medir exactamente 180 cm de altura. Esto también tiene sentido con la definición de probabilidad como área; no hay área capturada entre 180 cm y 180 cm.

PRÁCTICA GUIADA 3.75

Supongamos que la altura de una persona se redondea al centímetro más cercano. ¿Existe la posibilidad de que la altura medida de una persona al azar sea de 180 cm?61

⁶¹Esto tiene una probabilidad positiva. Cualquiera que mida entre 179.5 cm y 180.5 cm tendrá una altura medida de 180 cm. Es probable que este sea un escenario más realista para encontrar en la práctica versus el Ejemplo 3.74.

⁶⁰Respuestas breves: (a) 0.1157 × 0.1157 × 0.1157 = 0.0015. (b) (1 − 0.1157)³ = 0.692

Ejercicios

3.37 Pesos de gatos. El histograma que se muestra a continuación representa los pesos (en kg) de 47 gatas y 97 gatos.62

• 1. ¿Qué fracción de estos gatos pesa menos de 2.5 kg?
• 2. ¿Qué fracción de estos gatos pesa entre 2.5 y 2.75 kg?
• 3. ¿Qué fracción de estos gatos pesa entre 2.75 y 3.5 kg?

3.38 Ingresos y género. La tabla de frecuencia relativa que se muestra a continuación muestra la distribución del ingreso personal total anual (en dólares ajustados por inflación de 2009) para una muestra representativa de 96,420,486 estadounidenses. Estos datos provienen de la Encuesta de la Comunidad Americana de 2005-2009. Esta muestra se compone de 59% de hombres y 41% de mujeres.63

• 1. Describe la distribución del ingreso personal total.
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un residente estadounidense elegido al azar gane menos de $50,000 por año?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un residente estadounidense elegido al azar gane menos de $50,000 por año y sea mujer? Observe cualquier suposición que haga.
• 4. La misma fuente de datos indica que el 71.8% de las mujeres ganan menos de $50,000 por año. Utilice este valor para determinar si la suposición que hizo en la parte (c) es válida o no.

Ingreso	Total
$1 a $9,999 o pérdida	2.2%
$10,000 a $14,999	4.7%
$15,000 a $24,999	15.8%
$25,000 a $34,999	18.3%
$35,000 a $49,999	21.2%
$50,000 a $64,999	13.9%
$65,000 a $74,999	5.8%
$75,000 a $99,999	8.4%
$100,000 o más	9.7%

⁶²W. N. Venables y B. D. Ripley. Estadística Aplicada Moderna con S. Cuarta Edición. www.stats.ox.ac.uk/pub/MASS4. Nueva York: Springer, 2002. ⁶³Oficina del Censo de EE. UU., Encuesta de la Comunidad Americana de 2005-2009.

Ejercicios del Capítulo

3.39 Distribuciones de calificaciones. Cada fila en la tabla a continuación es una distribución de calificaciones propuesta para una clase. Identifique cada una como una distribución de probabilidad válida o no válida, y explique su razonamiento.

	Calificaciones
	A	B	C	D	F
(a)	0.3	0.3	0.3	0.2	0.1
(b)	0	0	1	0	0
(c)	0.3	0.3	0.3	0	0
(d)	0.3	0.5	0.2	0.1	-0.1
(e)	0.2	0.4	0.2	0.1	0.1
(f)	0	-0.1	1.1	0	0

3.40 Cobertura de salud, frecuencias. El Sistema de Vigilancia de Factores de Riesgo del Comportamiento (BRFSS) es una encuesta telefónica anual diseñada para identificar factores de riesgo en la población adulta e informar sobre las tendencias emergentes de la salud. La siguiente tabla resume dos variables para los encuestados: estado de salud y cobertura de salud, que describe si cada encuestado tenía seguro médico.64

		Estado de Salud
		Excelente	Muy bueno	Bueno	Regular	Malo	Total
Cobertura	No	459	727	854	385	99	2,524
de Salud	Sí	4,198	6,245	4,821	1,634	578	17,476
	Total	4,657	6,972	5,675	2,019	677	20,000

• 1. Si elegimos a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el encuestado tenga una salud excelente y no tenga cobertura de salud?
• 2. Si elegimos a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el encuestado tenga una salud excelente o no tenga cobertura de salud?

3.41 VIH en Suazilandia. Suazilandia tiene la prevalencia de VIH más alta del mundo: el 25.9% de la población de este país está infectada con el VIH.65 La prueba ELISA es una de las primeras y más precisas para detectar el VIH. Para aquellos que portan el VIH, la prueba ELISA es 99.7% precisa. Para aquellos que no portan el VIH, la prueba es 92.6% precisa. Si un individuo de Suazilandia ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea portador del VIH?

3.42 Gemelos. Alrededor del 30% de los gemelos humanos son idénticos, y el resto son fraternos. Los gemelos idénticos son necesariamente del mismo sexo: la mitad son varones y la otra mitad son mujeres. Una cuarta parte de los gemelos fraternos son ambos varones, una cuarta parte son ambas mujeres y la mitad son mixtos: un varón y una mujer. Acabas de convertirte en padre de gemelos y te dicen que son ambas niñas. Dada esta información, ¿cuál es la probabilidad de que sean idénticas?

3.43 Costo del desayuno. Sally toma una taza de café y un muffin todos los días para el desayuno en una de las muchas cafeterías de su vecindario. Elige una cafetería cada mañana al azar e independientemente de los días anteriores. El precio promedio de una taza de café es de $1.40 con una desviación estándar de 30¢ ($0.30), el precio promedio de un muffin es de $2.50 con una desviación estándar de 15¢, y los dos precios son independientes entre sí.

• 1. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la cantidad que gasta en el desayuno diariamente?
• 2. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la cantidad que gasta en el desayuno semanalmente (7 días)?

⁶⁴Oficina de Vigilancia, Epidemiología y Servicios de Laboratorio Sistema de Vigilancia de Factores de Riesgo del Comportamiento, BRFSS Datos de la Encuesta de 2010.

⁶⁵Fuente: CIA Factbook, Comparación de países: VIH/SIDA - Tasa de prevalencia en adultos.

3.44 Servir helado. El helado generalmente viene en cajas de 1.5 cuartos de galón (48 onzas líquidas), y las cucharas para helado contienen aproximadamente 2 onzas. Sin embargo, existe cierta variabilidad en la cantidad de helado en una caja, así como en la cantidad de helado extraída. Representamos la cantidad de helado en la caja como X y la cantidad extraída como Y. Suponga que estas variables aleatorias tienen las siguientes medias, desviaciones estándar y varianzas:

	media	DE	varianza
X	48	1	1
Y	2	0.25	0.0625

• 1. En una fiesta se sirve una caja entera de helado, más 3 cucharadas de una segunda caja. ¿Cuánto helado espera que se haya servido en esta fiesta? ¿Cuál es la desviación estándar de la cantidad de helado servido?
• 2. ¿Cuánto helado esperaría que quede en la caja después de sacar una cucharada de helado? Es decir, encuentre el valor esperado de X − Y. ¿Cuál es la desviación estándar de la cantidad que queda en la caja?
• 3. Utilizando el contexto de este ejercicio, explique por qué sumamos varianzas cuando restamos una variable aleatoria de otra.

3.45 Varianza de una media, Parte I. Suponga que tenemos observaciones independientes X¹ y X² de una distribución con media µ y desviación estándar σ. ¿Cuál es la varianza de la media de los dos valores: ^X1+X² 2 ?

3.46 Varianza de una media, Parte II. Suponga que tenemos 3 observaciones independientes X1, X2, X³ de una distribución con media µ y desviación estándar σ. ¿Cuál es la varianza de la media de estos 3 valores: X1+X2+X3 3 ?

3.47 Varianza de una media, Parte III. Suponga que tenemos n observaciones independientes X1, X2, …, Xⁿ de una distribución con media µ y desviación estándar σ. ¿Cuál es la varianza de la media de estos n valores: X1+X2+···+Xn n ?

Capítulo 4

131

Distribuciones de variables aleatorias

• 4.1 Distribución normal
• 4.2 Distribución geométrica
• 4.3 Distribución binomial
• 4.4 Distribución binomial negativa
• 4.5 Distribución de Poisson

En este capítulo, discutimos las distribuciones estadísticas que surgen con frecuencia en el contexto del análisis de datos o la inferencia estadística. Comenzamos con la distribución normal en la primera sección, que se utiliza con frecuencia en los capítulos posteriores de este libro. Se hará referencia ocasionalmente a las secciones restantes, pero pueden considerarse opcionales para el contenido de este libro.

Para videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

4.1 Distribución normal

Entre todas las distribuciones que vemos en la práctica, una es abrumadoramente la más común. La curva simétrica, unimodal y en forma de campana es omnipresente en todas las estadísticas. De hecho, es tan común que la gente a menudo la conoce como la curva normal o la distribución normal, 1 que se muestra en la Figura 4.1. Variables como las puntuaciones del SAT y las alturas de los hombres adultos estadounidenses siguen de cerca la distribución normal.

Figura 4.1: Una curva normal.

HECHOS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Muchas variables son casi normales, pero ninguna es exactamente normal. Por lo tanto, la distribución normal, aunque no es perfecta para ningún problema individual, es muy útil para una variedad de problemas. La utilizaremos en la exploración de datos y para resolver problemas importantes en estadística.

4.1.1 Modelo de distribución normal

La distribución normal siempre describe una curva simétrica, unimodal y con forma de campana. Sin embargo, estas curvas pueden verse diferentes dependiendo de los detalles del modelo. Específicamente, el modelo de distribución normal se puede ajustar utilizando dos parámetros: media y desviación estándar. Como probablemente puedas adivinar, cambiar la media desplaza la curva de campana hacia la izquierda o hacia la derecha, mientras que cambiar la desviación estándar estira o contrae la curva. La Figura 4.2 muestra la distribución normal con media 0 y desviación estándar 1 en el panel izquierdo y las distribuciones normales con media 19 y desviación estándar 4 en el panel derecho. La Figura 4.3 muestra estas distribuciones en el mismo eje.

Figura 4.2: Ambas curvas representan la distribución normal. Sin embargo, difieren en su centro y dispersión.

Si una distribución normal tiene media µ y desviación estándar σ, podemos escribir la distribución como N(µ, σ). Las dos distribuciones en la Figura 4.3 se pueden escribir como

\[N(\mu = 0, \sigma = 1) \quad \text{y} \quad N(\mu = 19, \sigma = 4)\]

Debido a que la media y la desviación estándar describen una distribución normal exactamente, se les llama los parámetros de la distribución. La distribución normal con media µ = 0 y desviación estándar σ = 1 se llama la distribución normal estándar.

¹ También se introduce como la distribución Gaussiana en honor a Frederic Gauss, la primera persona en formalizar su expresión matemática.

Figura 4.3: Las distribuciones normales que se muestran en la Figura 4.2 pero trazadas juntas y en la misma escala.

Escribe la notación abreviada para una distribución normal con2

1. media 5 y desviación estándar 3,

2. media -100 y desviación estándar 10, y

3. media 2 y desviación estándar 9.

4.1.2 Estandarización con puntajes Z

A menudo queremos poner los datos en una escala estandarizada, lo que puede hacer que las comparaciones sean más razonables.

EJEMPLO 4.2

La Tabla 4.4 muestra la media y la desviación estándar para las puntuaciones totales en el SAT y el ACT. La distribución de las puntuaciones del SAT y el ACT son casi normales. Supongamos que Ann obtuvo 1300 en su SAT y Tom obtuvo 24 en su ACT. ¿Quién se desempeñó mejor?

Utilizamos la desviación estándar como guía. Ann está 1 desviación estándar por encima del promedio en el SAT: 1100 + 200 = 1300. Tom está 0.5 desviaciones estándar por encima de la media en el ACT: 21 + 0.5 × 6 = 24. En la Figura 4.5, podemos ver que Ann tiende a obtener mejores resultados con respecto a todos los demás que Tom, por lo que su puntuación fue mejor.

	SAT	ACT
Media	1100	21
DE	200	6

Figura 4.4: Media y desviación estándar para el SAT y el ACT.

El Ejemplo 4.2 utilizó una técnica de estandarización llamada puntaje Z, un método empleado más comúnmente para observaciones casi normales, pero que puede usarse con cualquier distribución. El puntaje Z de una observación se define como el número de desviaciones estándar que se encuentra por encima o por debajo de la media. Si la observación está una desviación estándar por encima de la media, su puntaje Z es 1. Si está 1.5 desviaciones estándar por debajo de la media, entonces su puntaje Z es -1.5. Si x es una observación de una distribución N(µ, σ), definimos el puntaje Z matemáticamente como

\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

Usando µSAT = 1100, σSAT = 200 y xAnn = 1300, encontramos el puntaje Z de Ann:

\[Z\_{\rm Ann} = \frac{x\_{\rm Ann} - \mu\_{\rm SAT}}{\sigma\_{\rm SAT}} = \frac{1300 - 1100}{200} = 11\]

2 (a) N(µ = 5, σ = 3). (b) N(µ = −100, σ = 10). (c) N(µ = 2, σ = 9).

Figura 4.5: Las puntuaciones de Ann y Tom se muestran contra las distribuciones del SAT y el ACT.

LA PUNTUACIÓN Z

La puntuación Z de una observación es el número de desviaciones estándar que se encuentra por encima o por debajo de la media. Calculamos la puntuación Z para una observación x que sigue una distribución con media µ y desviación estándar σ usando

\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

PRÁCTICA GUIADA 4.3

Usa la puntuación ACT de Tom, 24, junto con la media y la desviación estándar del ACT para encontrar su puntuación Z.3

Las observaciones por encima de la media siempre tienen puntuaciones Z positivas, mientras que las que están por debajo de la media siempre tienen puntuaciones Z negativas. Si una observación es igual a la media, como una puntuación SAT de 1100, entonces la puntuación Z es 0.

PRÁCTICA GUIADA 4.4

Sea X una variable aleatoria de N(µ = 3, σ = 2), y supongamos que observamos x = 5.19.

• 1. Encuentra la puntuación Z de x.
• 2. Usa la puntuación Z para determinar cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media cae x.4

PRÁCTICA GUIADA 4.5

Las longitudes de cabeza de las zarigüeyas de cola de cepillo siguen una distribución normal con una media de 92.6 mm y una desviación estándar de 3.6 mm. Calcula las puntuaciones Z para las zarigüeyas con longitudes de cabeza de 95.4 mm y 85.8 mm.5

Podemos usar las puntuaciones Z para identificar aproximadamente qué observaciones son más inusuales que otras. Se dice que una observación x¹ es más inusual que otra observación x² si el valor absoluto de su puntuación Z es mayor que el valor absoluto de la puntuación Z de la otra observación: |Z1| > |Z2|. Esta técnica es especialmente perspicaz cuando una distribución es simétrica.

PRÁCTICA GUIADA 4.6

¿Cuál de las observaciones en la Práctica Guiada 4.5 es más inusual?6

4 (a) Su puntaje Z está dado por Z = x−µ ^σ = 5.19−3 ² = 2.19/2 = 1.095. (b) La observación x está 1.095 desviaciones estándar por encima de la media. Sabemos que debe estar por encima de la media ya que Z es positivo.

⁵Para x¹ = 95.4 mm: Z¹ = x1−µ ^σ = 95.4−92.6 ³.⁶ = 0.78. Para x² = 85.8 mm: Z² = 85.8−92.6 ³.⁶ = −1.89.

³ZT om = xTom−µACT σACT = 24−21 ⁶ = 0.5

⁶Debido a que el valor absoluto del puntaje Z para la segunda observación es mayor que el de la primera, la segunda observación tiene una longitud de cabeza más inusual.

4.1.3 Encontrando áreas de cola

Es muy útil en estadística poder identificar las áreas de cola de las distribuciones. Por ejemplo, ¿qué fracción de personas tiene un puntaje SAT por debajo del puntaje de Ann de 1300? Esto es lo mismo que el percentil en el que se encuentra Ann, que es el porcentaje de casos que tienen puntajes más bajos que Ann. Podemos visualizar tal área de cola como la curva y el sombreado que se muestran en la Figura 4.6.

Figura 4.6: El área a la izquierda de Z representa la fracción de personas que obtuvieron un puntaje más bajo que Ann.

Hay muchas técnicas para hacer esto, y discutiremos tres de las opciones.

1. El enfoque más común en la práctica es utilizar software estadístico. Por ejemplo, en el programa R, podríamos encontrar el área que se muestra en la Figura 4.6 utilizando el siguiente comando, que toma el puntaje Z y devuelve el área de la cola inferior:

…..> pnorm(1)

…..[1] 0.8413447

Según este cálculo, la región sombreada que está por debajo de 1300 representa la proporción 0.841 (84.1%) de los examinados del SAT que tenían puntajes Z por debajo de Z = 1. Más generalmente, también podemos especificar el punto de corte explícitamente si también notamos la media y la desviación estándar:

…..> pnorm(1300, mean = 1100, sd = 200) …..[1] 0.8413447

Hay muchas otras opciones de software, como Python o SAS; incluso los programas de hojas de cálculo como Excel y Google Sheets admiten estos cálculos.

2. Una estrategia común en las aulas es utilizar una calculadora gráfica, como una calculadora TI o Casio. Estas calculadoras requieren una serie de pulsaciones de botones que se describen con menos concisión. Puede encontrar instrucciones sobre el uso de estas calculadoras para encontrar áreas de cola de una distribución normal en la biblioteca de videos de OpenIntro:

www.openintro.org/videos

3. La última opción para encontrar áreas de cola es usar lo que se llama una tabla de probabilidad; estas se utilizan ocasionalmente en las aulas, pero rara vez en la práctica. El Apéndice C.1 contiene dicha tabla y una guía sobre cómo usarla.

Resolveremos los problemas de distribución normal en esta sección encontrando siempre primero el puntaje Z. La razón es que encontraremos paralelos cercanos llamados estadísticos de prueba a partir del Capítulo 5; estos son, en muchos casos, un equivalente de un puntaje Z.

4.1.4 Ejemplos de probabilidad normal

Los puntajes acumulativos del SAT se aproximan bien con un modelo normal, N(µ = 1100, σ = 200).

EJEMPLO 4.7

Shannon es una persona que toma el SAT seleccionada al azar, y no se sabe nada sobre su aptitud para el SAT. ¿Cuál es la probabilidad de que Shannon obtenga al menos 1190 en sus SAT?

Primero, siempre dibuje y etiquete una imagen de la distribución normal. (Los dibujos no necesitan ser exactos para ser útiles). Estamos interesados en la posibilidad de que obtenga una puntuación superior a 1190, por lo que sombreamos esta cola superior:

La imagen muestra la media y los valores en 2 desviaciones estándar por encima y por debajo de la media. La forma más sencilla de encontrar el área sombreada bajo la curva es utilizar el puntaje Z del valor de corte. Con µ = 1100, σ = 200 y el valor de corte x = 1190, el puntaje Z se calcula como

\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{1190 - 1100}{200} = \frac{90}{200} = 0.45\]

Usando software estadístico (u otro método preferido), podemos encontrar el área a la izquierda de Z = 0.45 como 0.6736. Para encontrar el área por encima de Z = 0.45, calculamos uno menos el área de la cola inferior:

La probabilidad de que Shannon obtenga al menos 1190 en el SAT es 0.3264.

SIEMPRE DIBUJE UNA IMAGEN PRIMERO, Y ENCUENTRE EL PUNTAJE Z SEGUNDO

Para cualquier situación de probabilidad normal, siempre, siempre, siempre dibuje y etiquete la curva normal y sombree el área de interés primero. La imagen proporcionará una estimación de la probabilidad. Después de dibujar una figura para representar la situación, identifique el puntaje Z para el valor de interés.

PRÁCTICA GUIADA 4.8

Si la probabilidad de que Shannon obtenga al menos 1190 es 0.3264, entonces, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga menos de 1190? Dibuje la curva normal que representa este ejercicio, sombreando la región inferior en lugar de la superior.7

EJEMPLO 4.9

Edward obtuvo un 1030 en su SAT. ¿Cuál es su percentil?

Primero, se necesita una imagen. El percentil de Edward es la proporción de personas que no obtienen una puntuación tan alta como 1030. Estas son las puntuaciones a la izquierda de 1030.

700 1100 1500

Identificar la media µ = 1100, la desviación estándar σ = 200 y el corte para el área de la cola x = 1030 facilita el cálculo del puntaje Z:

\[Z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{1030 - 1100}{200} = -0.355\]

Usando software estadístico, obtenemos un área de cola de 0.3632. Edward está en el percentil 36.

PRÁCTICA GUIADA 4.10

Utilice los resultados del Ejemplo 4.9 para calcular la proporción de personas que tomaron el SAT y obtuvieron mejores resultados que Edward. También dibuje una nueva imagen.8

ENCONTRAR ÁREAS A LA DERECHA

Muchos programas de software devuelven el área a la izquierda cuando se les da una puntuación Z. Si deseas el área a la derecha, primero encuentra el área a la izquierda y luego resta esta cantidad de uno.

PRÁCTICA GUIADA 4.11

Stuart obtuvo una puntuación de 1500 en el SAT. Dibuja una imagen para cada parte.

• 1. ¿Cuál es su percentil?
• 2. ¿Qué porcentaje de los que tomaron el SAT lo hicieron mejor que Stuart?9

Basado en una muestra de 100 hombres, las alturas de los hombres adultos en los EE. UU. son casi normales con una media de 70.0” y una desviación estándar de 3.3”.

PRÁCTICA GUIADA 4.12

Mike mide 5’7” y José mide 6’4”, y ambos viven en los EE. UU.

• 1. ¿Cuál es el percentil de altura de Mike?
• 2. ¿Cuál es el percentil de altura de José?
• También dibuja una imagen para cada parte.10

4.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL 139

Los últimos problemas se han centrado en encontrar el percentil (cola inferior) o la cola superior para una observación particular. ¿Qué pasa si quieres saber la observación correspondiente a un percentil particular?

EJEMPLO 4.13

La altura de Erik está en el percentil 40. ¿Qué altura tiene?

Como siempre, primero dibuja la imagen.

En este caso, la probabilidad de la cola inferior es conocida (0.40), la cual puede ser sombreada en el diagrama. Queremos encontrar la observación que corresponda a este valor. Como primer paso en esta dirección, determinamos el puntaje Z asociado con el percentil 40. Usando software, podemos obtener el puntaje Z correspondiente de aproximadamente -0.25.

Conociendo ZErik = −0.25 y los parámetros de la población µ = 70 y σ = 3.3 pulgadas, la fórmula del puntaje Z puede ser establecida para determinar la altura desconocida de Erik, etiquetada xErik :

\[-0.25 = Z\_{\text{Erik}} = \frac{x\_{\text{Erik}} - \mu}{\sigma} = \frac{x\_{\text{Erik}} - 70}{3.3}\]

Resolviendo para xErik obtenemos una altura de 69.18 pulgadas. Es decir, Erik mide aproximadamente 5’9”.

EJEMPLO 4.14

¿Cuál es la altura de un hombre adulto en el percentil 82?

De nuevo, primero dibujamos la figura.

A continuación, queremos encontrar la puntuación Z en el percentil 82, que será un valor positivo y se puede encontrar utilizando software como Z = 0.92. Finalmente, la altura x se encuentra utilizando la fórmula de la puntuación Z con la media conocida µ, la desviación estándar σ y la puntuación Z = 0.92:

\[0.92 = Z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{x - 70}{3.3}\]

Esto da como resultado 73.04 pulgadas o aproximadamente 1.85 metros como la altura en el percentil 82.

PRÁCTICA GUIADA 4.15

Los puntajes del SAT siguen N(1100, 200).11

1. ¿Cuál es el percentil 95 para los puntajes del SAT?

(b) ¿Cuál es el percentil 97.5 para los puntajes del SAT?

Las alturas de los hombres adultos siguen N(70.0”, 3.3”).12

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre adulto seleccionado al azar mida al menos 6’2” (74 pulgadas)?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre adulto sea más bajo que 5’9” (69 pulgadas)?

EJEMPLO 4.17

¿Cuál es la probabilidad de que un hombre adulto aleatorio mida entre 5’9” y 6’2”?

Estas alturas corresponden a 69 pulgadas y 74 pulgadas. Primero, dibuja la figura. El área de interés ya no es una cola superior o inferior.

El área total bajo la curva es 1. Si encontramos el área de las dos colas que no están sombreadas (de la Práctica Guiada 4.16, estas áreas son 0.3821 y 0.1131), entonces podemos encontrar el área media:

Es decir, la probabilidad de estar entre 5’9” y 6’2” es 0.5048.

PRÁCTICA GUIADA 4.18

Los puntajes del SAT siguen N(1100, 200). ¿Qué porcentaje de los que toman el SAT obtienen entre 1100 y 1400?13

PRÁCTICA GUIADA 4.19

Las alturas de los hombres adultos siguen N(70.0”, 3.3”). ¿Qué porcentaje de los hombres adultos miden entre 5’5” y 5’7”?14

¹²Respuestas cortas: (a) Z = 1.21 → 0.8869, luego resta este valor de 1 para obtener 0.1131. (b) Z = −0.30 → 0.3821.

¹³Esta es una solución abreviada. (¡Asegúrate de dibujar una figura!) Primero encuentra el porcentaje que obtiene por debajo de 1100 y el porcentaje que obtiene por encima de 1400: Z¹¹⁰⁰ = 0.00 → 0.5000 (área debajo), Z¹⁴⁰⁰ = 1.5 → 0.0668 (área arriba). Respuesta final: 1.0000 − 0.5000 − 0.0668 = 0.4332.

¹⁴5’5” son 65 pulgadas (Z = −1.52). 5’7” son 67 pulgadas (Z = −0.91). Solución numérica: 1.000−0.0643−0.8186 = 0.1171, es decir, 11.71%.

4.1.5 Regla 68-95-99.7

Aquí, presentamos una regla empírica útil para la probabilidad de caer dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media en la distribución normal. Esto será útil en una amplia gama de entornos prácticos, especialmente cuando se intenta hacer una estimación rápida sin una calculadora o una tabla Z.

Figura 4.7: Probabilidades de caer dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media en una distribución normal.

PRÁCTICA GUIADA 4.20

Use software, una calculadora o una tabla de probabilidad para confirmar que aproximadamente el 68%, 95% y 99.7% de las observaciones caen dentro de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media en la distribución normal, respectivamente. Por ejemplo, primero encuentre el área que cae entre Z = −1 y Z = 1, que debería tener un área de aproximadamente 0.68. De manera similar, debería haber un área de aproximadamente 0.95 entre Z = −2 y Z = 2.15

Es posible que una variable aleatoria normal caiga a 4, 5 o incluso más desviaciones estándar de la media. Sin embargo, estas ocurrencias son muy raras si los datos son casi normales. La probabilidad de estar a más de 4 desviaciones estándar de la media es de aproximadamente 1 entre 15,000. Para 5 y 6 desviaciones estándar, es de aproximadamente 1 entre 2 millones y 1 entre 500 millones, respectivamente.

PRÁCTICA GUIADA 4.21

Los puntajes del SAT siguen de cerca el modelo normal con media µ = 1100 y desviación estándar σ = 200.16 (a) ¿Alrededor de qué porcentaje de los que toman el examen obtienen entre 700 y 1500?

2. ¿Qué porcentaje obtiene entre 1100 y 1500?

¹⁵Primero dibuje las imágenes. Usando software, obtenemos 0.6827 dentro de 1 desviación estándar, 0.9545 dentro de 2 desviaciones estándar y 0.9973 dentro de 3 desviaciones estándar.

¹⁶(a) 700 y 1500 representan dos desviaciones estándar por debajo y por encima de la media, lo que significa que aproximadamente el 95% de los que toman el examen obtendrán entre 700 y 1500. (b) Encontramos que 700 a 1500 representa aproximadamente el 95% de los que toman el examen. Estos examinados se dividirían equitativamente por el centro de la distribución, 1100, por lo que el 95% ² = 47.5% de todos los que toman el examen obtienen entre 1100 y 1500.

Ejercicios

4.1 Área bajo la curva, Parte I. ¿Qué porcentaje de una distribución normal estándar N(µ = 0, σ = 1) se encuentra en cada región? Asegúrate de dibujar un gráfico.

1. Z < −1.35 (b) Z > 1.48 (c) −0.4 < Z < 1.5 (d) |Z| > 2

4.2 Área bajo la curva, Parte II. ¿Qué porcentaje de una distribución normal estándar N(µ = 0, σ = 1) se encuentra en cada región? Asegúrate de dibujar un gráfico.

1. Z > −1.13 (b) Z < 0.18 (c) Z > 8 (d) |Z| < 0.5

4.3 Puntuaciones del GRE, Parte I. Sophia, que realizó el Examen de Registro de Posgrado (GRE), obtuvo una puntuación de 160 en la sección de Razonamiento Verbal y 157 en la sección de Razonamiento Cuantitativo. La puntuación media para la sección de Razonamiento Verbal para todos los examinados fue de 151 con una desviación estándar de 7, y la puntuación media para el Razonamiento Cuantitativo fue de 153 con una desviación estándar de 7.67. Supongamos que ambas distribuciones son casi normales.

• 1. Escribe la notación abreviada para estas dos distribuciones normales.
• 2. ¿Cuál es la puntuación Z de Sophia en la sección de Razonamiento Verbal? ¿En la sección de Razonamiento Cuantitativo? Dibuja una curva de distribución normal estándar y marca estas dos puntuaciones Z.
• 3. ¿Qué te dicen estas puntuaciones Z?
• 4. En relación con los demás, ¿en qué sección le fue mejor?
• 5. Encuentra sus puntuaciones de percentil para los dos exámenes.
• 6. ¿Qué porcentaje de los examinados obtuvo mejores resultados que ella en la sección de Razonamiento Verbal? ¿En la sección de Razonamiento Cuantitativo?
• 7. Explica por qué la simple comparación de las puntuaciones brutas de las dos secciones podría conducir a una conclusión incorrecta sobre en qué sección le fue mejor a un estudiante.
• 8. Si las distribuciones de las puntuaciones en estos exámenes no son casi normales, ¿cambiarían tus respuestas a las partes (b) - (f)? Explica tu razonamiento.

4.4 Tiempos de triatlón, Parte I. En los triatlones, es común que los corredores se clasifiquen en grupos de edad y género. Los amigos Leo y Mary completaron el Triatlón de Hermosa Beach, donde Leo compitió en el grupo de Hombres, Edades 30 - 34, mientras que Mary compitió en el grupo de Mujeres, Edades 25 - 29. Leo completó la carrera en 1:22:28 (4948 segundos), mientras que Mary completó la carrera en 1:31:53 (5513 segundos). Obviamente, Leo terminó más rápido, pero tienen curiosidad por saber cómo les fue dentro de sus respectivos grupos. ¿Puedes ayudarles? Aquí tienes información sobre el rendimiento de sus grupos:

• Los tiempos de finalización del grupo de Hombres, Edades 30 - 34 tienen una media de 4313 segundos con una desviación estándar de 583 segundos.
• Los tiempos de finalización del grupo de Mujeres, Edades 25 - 29 tienen una media de 5261 segundos con una desviación estándar de 807 segundos.
• Las distribuciones de los tiempos de finalización para ambos grupos son aproximadamente normales.

Recuerda: un mejor rendimiento corresponde a una finalización más rápida.

• 1. Escribe la notación abreviada para estas dos distribuciones normales.
• 2. ¿Cuáles son las puntuaciones Z para los tiempos de finalización de Leo y Mary? ¿Qué te dicen estas puntuaciones Z?
• 3. ¿Leo o Mary se clasificaron mejor en sus respectivos grupos? Explica tu razonamiento.
• 4. ¿Qué porcentaje de los triatletas terminó Leo más rápido que en su grupo?
• 5. ¿Qué porcentaje de las triatletas terminó Mary más rápido que en su grupo?
• 6. Si las distribuciones de los tiempos de finalización no son casi normales, ¿cambiarían tus respuestas a las partes (b) - (e)? Explica tu razonamiento.

4.5 Puntuaciones del GRE, Parte II. En el Ejercicio 4.3 vimos dos distribuciones para las puntuaciones del GRE: N(µ = 151, σ = 7) para la parte verbal del examen y N(µ = 153, σ = 7.67) para la parte cuantitativa. Utiliza esta información para calcular cada una de las siguientes:

• 1. La puntuación de un estudiante que obtuvo una puntuación en el percentil 80 en la sección de Razonamiento Cuantitativo.
• 2. La puntuación de un estudiante que obtuvo una puntuación peor que el 70% de los examinados en la sección de Razonamiento Verbal.

4.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL 143

4.6 Tiempos de triatlón, Parte II. En el Ejercicio 4.4 vimos dos distribuciones para los tiempos de triatlón: N(µ = 4313, σ = 583) para Hombres, Edades 30 - 34 y N(µ = 5261, σ = 807) para el grupo de Mujeres, Edades 25 - 29. Los tiempos se enumeran en segundos. Utiliza esta información para calcular cada una de las siguientes:

• 1. El tiempo de corte para el 5% más rápido de los atletas en el grupo de hombres, es decir, aquellos que tardaron el 5% más corto en terminar.
• 2. El tiempo de corte para el 10% más lento de las atletas en el grupo de mujeres.

4.7 El clima de LA, Parte I. La temperatura alta diaria promedio en junio en Los Ángeles es de 77◦F con una desviación estándar de 5◦F. Supongamos que las temperaturas en junio siguen de cerca una distribución normal.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de observar una temperatura de 83◦F o más alta en Los Ángeles durante un día elegido al azar en junio?
• 2. ¿Qué tan fríos son el 10% más frío de los días (días con la temperatura alta más baja) durante junio en Los Ángeles?

4.8 CAPM. El Modelo de Valoración de Activos Financieros (CAPM) es un modelo financiero que asume que los rendimientos de una cartera se distribuyen normalmente. Supongamos que una cartera tiene un rendimiento anual promedio del 14.7% (es decir, una ganancia promedio del 14.7%) con una desviación estándar del 33%. Un rendimiento del 0% significa que el valor de la cartera no cambia, un rendimiento negativo significa que la cartera pierde dinero y un rendimiento positivo significa que la cartera gana dinero.

• 1. ¿Qué porcentaje de años esta cartera pierde dinero, es decir, tiene un rendimiento inferior al 0%?
• 2. ¿Cuál es el punto de corte para el 15% más alto de los rendimientos anuales con esta cartera?

4.9 El clima de LA, Parte II. El ejercicio 4.7 establece que la temperatura alta diaria promedio en junio en Los Ángeles es de 77◦F con una desviación estándar de 5◦F, y se puede suponer que siguen una distribución normal. Utilizamos la siguiente ecuación para convertir ◦F (Fahrenheit) a ◦C (Celsius):

\[C = (F - 32) \times \frac{5}{9}\]

.

• 1. Escribe el modelo de probabilidad para la distribución de la temperatura en ◦C en junio en Los Ángeles.
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de observar una temperatura de 28◦C (que corresponde aproximadamente a 83◦F) o más alta en junio en Los Ángeles? Calcula utilizando el modelo de ◦C de la parte (a).
• 3. ¿Obtuviste la misma respuesta o respuestas diferentes en la parte (b) de esta pregunta y en la parte (a) del Ejercicio 4.7? ¿Te sorprende? Explica.
• 4. Estima el IQR de las temperaturas (en ◦C) en junio en Los Ángeles.

4.10 Encuentra la SD. Los niveles de colesterol para las mujeres de 20 a 34 años siguen una distribución aproximadamente normal con una media de 185 miligramos por decilitro (mg/dl). Las mujeres con niveles de colesterol superiores a 220 mg/dl se consideran que tienen el colesterol alto y alrededor del 18.5% de las mujeres entran en esta categoría. ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución de los niveles de colesterol para las mujeres de 20 a 34 años?

4.2 Distribución geométrica

¿Cuánto tiempo debemos esperar para lanzar una moneda hasta que salga cara? ¿O cuántas veces debemos esperar para tirar un dado hasta que obtengamos un 1? Estas preguntas se pueden responder utilizando la distribución geométrica. Primero formalizamos cada prueba, como un solo lanzamiento de moneda o un lanzamiento de dado, utilizando la distribución de Bernoulli, y luego combinamos estas con nuestras herramientas de probabilidad (Capítulo 3) para construir la distribución geométrica.

4.2.1 Distribución de Bernoulli

Muchos planes de seguro médico en los Estados Unidos tienen un deducible, donde el individuo asegurado es responsable de los costos hasta el deducible, y luego los costos por encima del deducible se comparten entre el individuo y la compañía de seguros por el resto del año.

Supongamos que una compañía de seguros médicos descubrió que el 70% de las personas que aseguran permanecen por debajo de su deducible en un año determinado. Cada una de estas personas puede considerarse como un ensayo. Etiquetamos a una persona como un éxito si sus costos de atención médica no exceden el deducible. Etiquetamos a una persona como un fracaso si excede su deducible en el año. Debido a que el 70% de las personas no alcanzarán su deducible, denotamos la probabilidad de un éxito como p = 0.7. La probabilidad de un fracaso a veces se denota con q = 1 − p, que sería 0.3 para el ejemplo del seguro.

Cuando un ensayo individual solo tiene dos resultados posibles, a menudo etiquetados como éxito o fracaso, se denomina variable aleatoria de Bernoulli. Elegimos etiquetar a una persona que no alcanza su deducible como un “éxito” y a todos los demás como “fracasos”. Sin embargo, podríamos haber invertido estas etiquetas con la misma facilidad. El marco matemático que construiremos no depende de qué resultado se etiquete como éxito y cuál como fracaso, siempre y cuando seamos consistentes.

Las variables aleatorias de Bernoulli a menudo se denotan como 1 para un éxito y 0 para un fracaso. Además de ser conveniente para ingresar datos, también es matemáticamente útil. Supongamos que observamos diez ensayos:

1 1 1 0 1 0 0 1 1 0

Entonces, la proporción muestral, ˆp, es la media muestral de estas observaciones:

\[\hat{p} = \frac{\#\text{ de éxitos}}{\#\text{ de intentos}} = \frac{1+1+1+0+1+0+0+1+1+0}{10} = 0.6\]

Esta investigación matemática de variables aleatorias de Bernoulli puede extenderse aún más. Debido a que 0 y 1 son resultados numéricos, podemos definir la media y la desviación estándar de una variable aleatoria de Bernoulli. (Ver Ejercicios 4.15 y 4.16.)

VARIABLE ALEATORIA DE BERNOULLI

Si X es una variable aleatoria que toma el valor 1 con una probabilidad de éxito p y 0 con una probabilidad de 1 − p, entonces X es una variable aleatoria de Bernoulli con media y desviación estándar

\[ \mu = p \qquad \qquad \qquad \sigma = \sqrt{p(1-p)} \]

En general, es útil pensar en una variable aleatoria de Bernoulli como un proceso aleatorio con solo dos resultados: un éxito o un fracaso. Luego, construimos nuestro marco matemático utilizando las etiquetas numéricas 1 y 0 para éxitos y fracasos, respectivamente.

4.2.2 Distribución geométrica

La distribución geométrica se utiliza para describir cuántos intentos se necesitan para observar un éxito. Primero veamos un ejemplo.

EJEMPLO 4.22

Supongamos que estamos trabajando en la compañía de seguros y necesitamos encontrar un caso en el que la persona no haya excedido su deducible como estudio de caso. Si la probabilidad de que una persona no exceda su deducible es de 0.7 y estamos seleccionando personas al azar, ¿cuáles son las posibilidades de que la primera persona no haya excedido su deducible, es decir, sea un éxito? ¿La segunda persona? ¿La tercera? ¿Qué pasa si sacamos n − 1 casos antes de encontrar el primer éxito, es decir, el primer éxito es la persona número n ? (Si el primer éxito es la quinta persona, entonces decimos que n = 5).

La probabilidad de detenerse después de la primera persona es solo la probabilidad de que la primera persona no alcance su deducible: 0.7. La probabilidad de que la segunda persona sea la primera en alcanzar su deducible es

P(la segunda persona es la primera en no alcanzar el deducible) = P(la primera sí, la segunda no) = (0.3)(0.7) = 0.21

Del mismo modo, la probabilidad de que sea el tercer caso es (0.3)(0.3)(0.7) = 0.063.

Si el primer éxito está en la persona número n , entonces hay n − 1 fracasos y finalmente 1 éxito, lo que corresponde a la probabilidad (0.3)n−¹ (0.7). Esto es lo mismo que (1 − 0.7)n−¹ (0.7).

El ejemplo 4.22 ilustra lo que es la distribución geométrica, que describe el tiempo de espera hasta un éxito para variables aleatorias de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas (iid). En este caso, el aspecto de la independencia solo significa que los individuos en el ejemplo no se afectan entre sí, e idéntico significa que cada uno tiene la misma probabilidad de éxito.

La distribución geométrica del Ejemplo 4.22 se muestra en la Figura 4.8. En general, las probabilidades para una distribución geométrica disminuyen exponencialmente rápido.

Figura 4.8: La distribución geométrica cuando la probabilidad de éxito es p = 0.7.

Si bien este texto no derivará las fórmulas para el número medio (esperado) de intentos necesarios para encontrar el primer éxito o la desviación estándar o la varianza de esta distribución, presentamos fórmulas generales para cada uno.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Si la probabilidad de un éxito en un intento es p y la probabilidad de un fracaso es 1 − p, entonces la probabilidad de encontrar el primer éxito en el intento número n está dada por

\[(1-p)^{n-1}p\]

La media (es decir, el valor esperado), la varianza y la desviación estándar de este tiempo de espera están dados por

\[\mu = \frac{1}{p} \qquad \qquad \qquad \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2} \qquad \qquad \qquad \sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}\]

No es una coincidencia que usemos el símbolo µ tanto para la media como para el valor esperado. La media y el valor esperado son una y la misma cosa.

Se necesitan, en promedio, 1/p intentos para obtener un éxito bajo la distribución geométrica. Este resultado matemático es consistente con lo que esperaríamos intuitivamente. Si la probabilidad de un éxito es alta (por ejemplo, 0.8), entonces generalmente no esperamos mucho tiempo para un éxito: 1/0.8 = 1.25 intentos en promedio. Si la probabilidad de un éxito es baja (por ejemplo, 0.1), entonces esperaríamos ver muchos intentos antes de ver un éxito: 1/0.1 = 10 intentos.

PRÁCTICA GUIADA 4.23

Se dice que la probabilidad de que un caso particular no exceda su deducible es de 0.7. Si tuviéramos que examinar los casos hasta que encontráramos uno en el que la persona no alcanzara su deducible, ¿cuántos casos deberíamos esperar revisar?17

EJEMPLO 4.24

¿Cuál es la probabilidad de que encontremos el primer éxito dentro de los primeros 3 casos?

Esta es la probabilidad de que sea el primer (n = 1), segundo (n = 2) o tercer (n = 3) caso el primer éxito, que son tres resultados disjuntos. Debido a que los individuos en la muestra se seleccionan aleatoriamente de una población grande, son independientes. Calculamos la probabilidad de cada caso y sumamos los resultados separados:

\[\begin{aligned} &P(n=1,2,\text{ o }3) \\ &=P(n=1) + P(n=2) + P(n=3) \\ &= (0.3)^{1-1}(0.7) + (0.3)^{2-1}(0.7) + (0.3)^{3-1}(0.7) \\ &= 0.973 \end{aligned}\]

Hay una probabilidad de 0.973 de que encontremos un caso exitoso dentro de 3 casos.

PRÁCTICA GUIADA 4.25

Determina una forma más inteligente de resolver el Ejemplo 4.24. Demuestra que obtienes el mismo resultado.18

¹⁸Primero encuentra la probabilidad del complemento: P(ningún éxito en los primeros 3 intentos) = 0.3 ³ = 0.027. Luego, calcula uno menos esta probabilidad: 1 − P(ningún éxito en 3 intentos) = 1 − 0.027 = 0.973.

¹⁷Esperaríamos ver aproximadamente 1/0.7 ≈ 1.43 individuos para encontrar el primer éxito.

4.2. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA 147

EJEMPLO 4.26

Supongamos que una aseguradora de automóviles ha determinado que el 88% de sus conductores no excederá su deducible en un año determinado. Si alguien de la compañía tuviera que extraer aleatoriamente archivos de conductores hasta que encontrara uno que no hubiera excedido su deducible, ¿cuál es el número esperado de conductores que el empleado de la aseguradora debe revisar? ¿Cuál es la desviación estándar del número de archivos de conductores que deben extraerse?

En este ejemplo, un éxito es nuevamente cuando alguien no excederá el deducible del seguro, que tiene probabilidad p = 0.88. El número esperado de personas a revisar es 1/p = 1/0.88 = 1.14 y la desviación estándar es p (1 − p)/p² = 0.39.

PRÁCTICA GUIADA 4.27

Usando los resultados del Ejemplo 4.26, µ = 1.14 y σ = 0.39, ¿sería apropiado usar el modelo normal para encontrar qué proporción de experimentos terminaría en 3 o menos intentos?19

La suposición de independencia es crucial para la descripción precisa de un escenario por parte de la distribución geométrica. Matemáticamente, podemos ver que para construir la probabilidad del éxito en el intento n, tuvimos que usar la Regla de Multiplicación para Procesos Independientes. No es una tarea sencilla generalizar el modelo geométrico para intentos dependientes.

¹⁹No. La distribución geométrica siempre está sesgada a la derecha y nunca puede ser bien aproximada por el modelo normal.

Ejercicios

4.11 ¿Es de Bernoulli? Determine si cada ensayo puede considerarse un ensayo de Bernoulli independiente para las siguientes situaciones.

• 1. Cartas repartidas en una mano de póquer.
• 2. Resultado de cada tirada de un dado.

4.12 Con y sin reemplazo. En las siguientes situaciones, asuma que la mitad de la población especificada es masculina y la otra mitad es femenina.

• 1. Suponga que está muestreando de una habitación con 10 personas. ¿Cuál es la probabilidad de muestrear dos mujeres seguidas al muestrear con reemplazo? ¿Cuál es la probabilidad al muestrear sin reemplazo?
• 2. Ahora suponga que está muestreando de un estadio con 10,000 personas. ¿Cuál es la probabilidad de muestrear dos mujeres seguidas al muestrear con reemplazo? ¿Cuál es la probabilidad al muestrear sin reemplazo?
• 3. A menudo tratamos a los individuos que se muestrean de una población grande como independientes. Usando sus hallazgos de las partes (a) y (b), explique si esta suposición es razonable o no.

4.13 Color de ojos, Parte I. Un esposo y una esposa tienen ambos ojos marrones pero portan genes que hacen posible que sus hijos tengan ojos marrones (probabilidad 0.75), ojos azules (0.125) u ojos verdes (0.125).

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer hijo de ojos azules que tengan sea su tercer hijo? Asuma que los colores de ojos de los niños son independientes entre sí.
• 2. En promedio, ¿cuántos hijos tendría una pareja de padres así antes de tener un hijo de ojos azules? ¿Cuál es la desviación estándar del número de hijos que esperarían tener hasta el primer hijo de ojos azules?

4.14 Tasa de defectuosos. Una máquina que produce un tipo especial de transistor (un componente de las computadoras) tiene una tasa de defectuosos del 2%. La producción se considera un proceso aleatorio donde cada transistor es independiente de los demás.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo transistor producido sea el primero con un defecto?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no produzca transistores defectuosos en un lote de 100?
• 3. En promedio, ¿cuántos transistores esperaría que se produjeran antes del primero con un defecto? ¿Cuál es la desviación estándar?
• 4. Otra máquina que también produce transistores tiene una tasa de defectuosos del 5% donde cada transistor se produce independientemente de los demás. En promedio, ¿cuántos transistores esperaría que se produjeran con esta máquina antes del primero con un defecto? ¿Cuál es la desviación estándar?
• 5. Según sus respuestas a las partes (c) y (d), ¿cómo afecta el aumento de la probabilidad de un evento a la media y la desviación estándar del tiempo de espera hasta el éxito?

4.15 Bernoulli, la media. Utilice las reglas de probabilidad de la Sección 3.4 para derivar la media de una variable aleatoria de Bernoulli, es decir, una variable aleatoria X que toma el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad 1 − p. Es decir, calcule el valor esperado de una variable aleatoria de Bernoulli genérica.

4.16 Bernoulli, la desviación estándar. Utilice las reglas de probabilidad de la Sección 3.4 para derivar la desviación estándar de una variable aleatoria de Bernoulli, es decir, una variable aleatoria X que toma el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad 1 − p. Es decir, calcule la raíz cuadrada de la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli genérica.

4.3 Distribución binomial

La distribución binomial se utiliza para describir el número de éxitos en un número fijo de ensayos. Esto es diferente de la distribución geométrica, que describía el número de ensayos que debemos esperar antes de observar un éxito.

4.3.1 La distribución binomial

Imaginemos de nuevo que estamos en la agencia de seguros donde el 70% de los individuos no exceden su deducible.

EJEMPLO 4.28

Supongamos que la agencia de seguros está considerando una muestra aleatoria de cuatro individuos que aseguran. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de ellos exceda el deducible y los otros tres no? Llamemos a las cuatro personas Ariana (A), Brittany (B), Carlton (C) y Damian (D) para mayor comodidad.

Consideremos un escenario donde una persona excede el deducible:

P(A = excede, B = no, C = no, D = no) = P(A = excede) P(B = no) P(C = no) P(D = no) = (0.3)(0.7)(0.7)(0.7) = (0.7)³ (0.3)¹ = 0.103

Pero hay otros tres escenarios: Brittany, Carlton o Damian podrían haber sido los que excedieron el deducible. En cada uno de estos casos, la probabilidad es nuevamente (0.7)³ (0.3)¹. Estos cuatro escenarios agotan todas las formas posibles en que exactamente una de estas cuatro personas podría haber excedido el deducible, por lo que la probabilidad total es 4 × (0.7)³ (0.3)¹ = 0.412.

PRÁCTICA GUIADA 4.29

Verifique que el escenario donde Brittany es la única que excede el deducible tenga una probabilidad de (0.7)³ (0.3)¹. 20

El escenario descrito en el Ejemplo 4.28 es un ejemplo de un escenario de distribución binomial. La distribución binomial describe la probabilidad de tener exactamente k éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p (en el Ejemplo 4.28, n = 4, k = 3, p = 0.7). Nos gustaría determinar las probabilidades asociadas con la distribución binomial de manera más general, es decir, queremos una fórmula donde podamos usar n, k y p para obtener la probabilidad. Para hacer esto, reexaminamos cada parte del Ejemplo 4.28.

Hubo cuatro individuos que podrían haber sido los que excedieron el deducible, y cada uno de estos cuatro escenarios tenía la misma probabilidad. Por lo tanto, podríamos identificar la probabilidad final como

[# de escenarios] × P(escenario único)

El primer componente de esta ecuación es el número de formas de organizar los k = 3 éxitos entre los n = 4 ensayos. El segundo componente es la probabilidad de cualquiera de los cuatro escenarios (igualmente probables).

²⁰P(A = no, B = excede, C = no, D = no) = (0.7)(0.3)(0.7)(0.7) = (0.7)³ (0.3)¹ .

Considere P(escenario único) bajo el caso general de k éxitos y n − k fracasos en los n ensayos. En cualquier escenario de este tipo, aplicamos la Regla de la Multiplicación para eventos independientes:

\[p^k (1-p)^{n-k}\]

Esta es nuestra fórmula general para P(escenario único).

En segundo lugar, introducimos una fórmula general para el número de formas de elegir k éxitos en n ensayos, es decir, organizar k éxitos y n − k fracasos:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

La cantidad ⁿ k se lee n elige k. 21 La notación de signo de exclamación (por ejemplo, k!) denota una expresión factorial.

\[\begin{aligned} 0! &= 1 \\ 1! &= 1 \\ 2! &= 2 \times 1 = 2 \\ 3! &= 3 \times 2 \times 1 = 6 \\ 4! &= 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \\ &\vdots \\ n! &= n \times (n-1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1 \end{aligned}\]

Usando la fórmula, podemos calcular el número de formas de elegir k = 3 éxitos en n = 4 ensayos:

\[ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4 \]

Este resultado es exactamente lo que encontramos al pensar cuidadosamente en cada posible escenario en el Ejemplo 4.28.

Sustituyendo n elige k por el número de escenarios y p k (1 − p) n−k por la probabilidad de un solo escenario, se obtiene la fórmula binomial general.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Suponga que la probabilidad de que un solo ensayo sea un éxito es p. Entonces, la probabilidad de observar exactamente k éxitos en n ensayos independientes está dada por

\[ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k} \]

La media, la varianza y la desviación estándar del número de éxitos observados son

\[ \mu = np \qquad \qquad \sigma^2 = np(1-p) \qquad \qquad \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

¿ES BINOMIAL? CUATRO CONDICIONES A VERIFICAR.

• 1. Los ensayos son independientes.
• 2. El número de ensayos, n, es fijo.
• 3. El resultado de cada ensayo puede clasificarse como éxito o fracaso.
• 4. La probabilidad de éxito, p, es la misma para cada ensayo.

²¹Otra notación para n elige k incluye ⁿCk, C^{k n} y C(n, k).

4.3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 151

EJEMPLO 4.30

¿Cuál es la probabilidad de que 3 de 8 individuos seleccionados al azar hayan excedido el deducible del seguro, es decir, que 5 de 8 no excedan el deducible? Recuerde que el 70% de los individuos no excederán el deducible.

Nos gustaría aplicar el modelo binomial, por lo que verificamos las condiciones. El número de ensayos es fijo (n = 8) (condición 2) y cada resultado del ensayo puede clasificarse como éxito o fracaso (condición 3). Debido a que la muestra es aleatoria, los ensayos son independientes (condición 1) y la probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo (condición 4).

En el resultado de interés, hay k = 5 éxitos en n = 8 ensayos (recuerde que un éxito es un individuo que no excede el deducible), y la probabilidad de un éxito es p = 0.7. Entonces, la probabilidad de que 5 de 8 no excedan el deducible y 3 excedan el deducible está dada por

\[\begin{aligned} \binom{8}{5} (0.7)^5 (1 - 0.7)^{8-5} &= \frac{8!}{5!(8-5)!} (0.7)^5 (1 - 0.7)^{8-5} \\ &= \frac{8!}{5!3!} (0.7)^5 (0.3)^3 \end{aligned}\]

Tratando con la parte factorial:

\[\frac{8!}{5!3!} = \frac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{(5\times4\times3\times2\times1)(3\times2\times1)} = \frac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56\]

Usando (0.7)⁵ (0.3)³ ≈ 0.00454, la probabilidad final es aproximadamente 56 × 0.00454 ≈ 0.254.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES

El primer paso para usar el modelo binomial es verificar que el modelo sea apropiado. El segundo paso es identificar n, p y k. Como última etapa, use software o las fórmulas para determinar la probabilidad, luego interprete los resultados.

Si debe hacer los cálculos a mano, a menudo es útil cancelar tantos términos como sea posible en la parte superior e inferior del coeficiente binomial.

PRÁCTICA GUIADA 4.31

Si seleccionáramos al azar 40 expedientes de casos de la agencia de seguros mencionada anteriormente, ¿cuántos de los casos esperarías que no hayan excedido el deducible en un año determinado? ¿Cuál es la desviación estándar del número que no habría excedido el deducible?22

PRÁCTICA GUIADA 4.32

La probabilidad de que un fumador al azar desarrolle una condición pulmonar grave en su vida es de aproximadamente 0.3. Si tienes 4 amigos que fuman, ¿se cumplen las condiciones para el modelo binomial?23

²²Se nos pide determinar el número esperado (la media) y la desviación estándar, los cuales pueden calcularse directamente a partir de las fórmulas: µ = np = 40 × 0.7 = 28 y σ = p np(1 ^{− p}) = ^√ 40 × 0.7 × 0.3 = 2.9. Debido a que aproximadamente el 95% de las observaciones se encuentran dentro de las 2 desviaciones estándar de la media (ver Sección 2.1.4), probablemente observaríamos al menos 22 pero menos de 34 individuos en nuestra muestra que no excederían el deducible.

²³Una posible respuesta: si los amigos se conocen, entonces la suposición de independencia probablemente no se satisface. Por ejemplo, los conocidos pueden tener hábitos de fumar similares, o esos amigos pueden hacer un pacto para dejar de fumar juntos.

Supongamos que estos cuatro amigos no se conocen y podemos tratarlos como si fueran una muestra aleatoria de la población. ¿Es apropiado el modelo binomial? ¿Cuál es la probabilidad de que24

• 1. Ninguno de ellos desarrolle una condición pulmonar grave?
  • 2. Uno desarrolle una condición pulmonar grave?
  • 3. Que no más de uno desarrolle una condición pulmonar grave?

PRÁCTICA GUIADA 4.34

¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de tus 4 amigos fumadores desarrollen una condición pulmonar grave en su vida?25

PRÁCTICA GUIADA 4.35

Suponga que tiene 7 amigos que son fumadores y que pueden ser tratados como una muestra aleatoria de fumadores.26

• 1. ¿Cuántos esperaría que desarrollen una condición pulmonar grave, es decir, cuál es la media?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de tus 7 amigos desarrollen una condición pulmonar grave?

A continuación, consideramos el primer término en la probabilidad binomial, n elige k bajo algunos escenarios especiales.

PRÁCTICA GUIADA 4.36

¿Por qué es cierto que ⁿ 0 = 1 y ⁿ n = 1 para cualquier número n? 27

PRÁCTICA GUIADA 4.37

¿De cuántas maneras puedes organizar un éxito y n−1 fracasos en n intentos? ¿De cuántas maneras puedes organizar n − 1 éxitos y un fracaso en n intentos?28

\[ \binom{n}{1} = n, \qquad \binom{n}{n-1} = n. \]

²⁴Para verificar si el modelo binomial es apropiado, debemos verificar las condiciones. (i) Como suponemos que podemos tratar a los amigos como una muestra aleatoria, son independientes. (ii) Tenemos un número fijo de intentos (n = 4). (iii) Cada resultado es un éxito o un fracaso. (iv) La probabilidad de un éxito es la misma para cada intento, ya que los individuos son como una muestra aleatoria (p = 0.3 si decimos que un “éxito” es que alguien contraiga una afección pulmonar, una elección morbosa). Calcula las partes (a) y (b) utilizando la fórmula binomial: P(0) = ⁴ 0 (0.3)⁰ (0.7)⁴ = 1 × 1 × 0.7 ⁴ = 0.2401, P(1) = ⁴ 1 (0.3)¹ (0.7)³ = 0.4116. Nota: 0! = 1. La parte (c) se puede calcular como la suma de las partes (a) y (b): P(0) + P(1) = 0.2401 + 0.4116 = 0.6517. Es decir, hay aproximadamente un 65% de probabilidad de que no más de uno de tus cuatro amigos fumadores desarrolle una afección pulmonar grave.

²⁵El complemento (no más de uno desarrollará una afección pulmonar grave) como se calculó en la Práctica Guiada 4.33 como 0.6517, por lo que calculamos uno menos este valor: 0.3483.

²⁶(a) µ = 0.3×7 = 2.1. (b) P(0, 1, o 2 desarrollan una afección pulmonar grave) = P(k = 0)+P(k = 1)+P(k = 2) = 0.6471. ²⁷Formula estas expresiones en palabras. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden organizar 0 éxitos y n fracasos en n intentos? (1 manera). ¿De cuántas maneras diferentes se pueden organizar n éxitos y 0 fracasos en n intentos? (1 manera).

²⁸Un éxito y n − 1 fracasos: hay exactamente n lugares únicos donde podemos colocar el éxito, por lo que hay n maneras de organizar un éxito y n − 1 fracasos. Se utiliza un argumento similar para la segunda pregunta. Matemáticamente, mostramos estos resultados verificando las siguientes dos ecuaciones:

4.3.2 Aproximación normal a la distribución binomial

La fórmula binomial es engorrosa cuando el tamaño de la muestra (n) es grande, particularmente cuando consideramos un rango de observaciones. En algunos casos podemos usar la distribución normal como una forma más fácil y rápida de estimar las probabilidades binomiales.

EJEMPLO 4.38

Aproximadamente el 15% de la población de EE. UU. fuma cigarrillos. Un gobierno local creía que su comunidad tenía una tasa de fumadores más baja y encargó una encuesta a 400 personas seleccionadas al azar. La encuesta encontró que solo 42 de los 400 participantes fuman cigarrillos. Si la verdadera proporción de fumadores en la comunidad fuera realmente del 15%, ¿cuál es la probabilidad de observar 42 o menos fumadores en una muestra de 400 personas?

Dejamos como ejercicio la verificación habitual de que las cuatro condiciones para el modelo binomial son válidas.

La pregunta planteada es equivalente a preguntar, ¿cuál es la probabilidad de observar k = 0, 1, 2, …, o 42 fumadores en una muestra de n = 400 cuando p = 0.15? Podemos calcular estas 43 probabilidades diferentes y sumarlas para encontrar la respuesta:

\[\begin{aligned} P(k=0 \text{ o } k=1 \text{ o } \cdots \text{ o } k=42) \\ &= P(k=0) + P(k=1) + \cdots + P(k=42) \\ &= 0.0054 \end{aligned}\]

Si la verdadera proporción de fumadores en la comunidad es p = 0.15, entonces la probabilidad de observar 42 o menos fumadores en una muestra de n = 400 es 0.0054.

Los cálculos en el Ejemplo 4.38 son tediosos y largos. En general, debemos evitar ese trabajo si existe un método alternativo que sea más rápido, más fácil y aún preciso. Recordemos que calcular las probabilidades de un rango de valores es mucho más fácil en el modelo normal. Podríamos preguntarnos, ¿es razonable usar el modelo normal en lugar de la distribución binomial? Sorprendentemente, sí, si se cumplen ciertas condiciones.

PRÁCTICA GUIADA 4.39

Aquí consideramos el modelo binomial cuando la probabilidad de éxito es p = 0.10. La Figura 4.9 muestra cuatro histogramas huecos para muestras simuladas de la distribución binomial utilizando cuatro tamaños de muestra diferentes: n = 10, 30, 100, 300. ¿Qué sucede con la forma de las distribuciones a medida que aumenta el tamaño de la muestra? ¿A qué distribución se parece el último histograma hueco?29

APROXIMACIÓN NORMAL DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial con probabilidad de éxito p es casi normal cuando el tamaño de la muestra n es suficientemente grande de modo que np y n(1 − p) sean al menos 10. La distribución normal aproximada tiene parámetros que corresponden a la media y la desviación estándar de la distribución binomial:

\[\mu = n\]

µ = np σ = p np(1 − p)

La aproximación normal se puede utilizar al calcular el rango de muchos éxitos posibles. Por ejemplo, podemos aplicar la distribución normal al contexto del Ejemplo 4.38.

²⁹La distribución se transforma de una distribución bloqueada y sesgada a una que se asemeja más a la distribución normal en el último histograma hueco.

Figura 4.9: Histogramas huecos de muestras del modelo binomial cuando p = 0.10. Los tamaños de muestra para las cuatro gráficas son n = 10, 30, 100 y 300, respectivamente.

EJEMPLO 4.40

¿Cómo podemos usar la aproximación normal para estimar la probabilidad de observar 42 o menos fumadores en una muestra de 400, si la proporción verdadera de fumadores es p = 0.15?

Demostrar que el modelo binomial es razonable fue un ejercicio sugerido en el Ejemplo 4.38. También verificamos que tanto np como n(1 − p) sean al menos 10:

\[np = 400 \times 0.15 = 60 \quad \quad \quad \quad n(1-p) = 400 \times 0.85 = 340\]

Con estas condiciones verificadas, podemos usar la aproximación normal en lugar de la distribución binomial usando la media y la desviación estándar del modelo binomial:

\[\mu = np = 60 \qquad \qquad \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = 7.14\]

Queremos encontrar la probabilidad de observar 42 o menos fumadores usando este modelo.

PRÁCTICA GUIADA 4.41

Use el modelo normal N(µ = 60, σ = 7.14) para estimar la probabilidad de observar 42 o menos fumadores. Su respuesta debe ser aproximadamente igual a la solución del Ejemplo 4.38: 0.0054. 30

³⁰Calcule primero la puntuación Z: Z = 42−60 ⁷.¹⁴ = −2.52. El área de la cola izquierda correspondiente es 0.0059.

4.3.3 La aproximación normal falla en intervalos pequeños

La aproximación normal a la distribución binomial tiende a funcionar mal al estimar la probabilidad de un rango pequeño de conteos, incluso cuando se cumplen las condiciones.

Supongamos que quisiéramos calcular la probabilidad de observar 49, 50 o 51 fumadores en 400 cuando p = 0.15. Con una muestra tan grande, podríamos sentirnos tentados a aplicar la aproximación normal y usar el rango de 49 a 51. Sin embargo, encontraríamos que la solución binomial y la aproximación normal difieren notablemente:

Binomial: 0.0649 Normal: 0.0421

Podemos identificar la causa de esta discrepancia utilizando la Figura 4.10, que muestra las áreas que representan la probabilidad binomial (delineada) y la aproximación normal (sombreada). Observe que el ancho del área bajo la distribución normal es 0.5 unidades demasiado delgado en ambos lados del intervalo.

Figura 4.10: Una curva normal con el área entre 49 y 51 sombreada. El área delineada representa la probabilidad binomial exacta.

MEJORANDO LA APROXIMACIÓN NORMAL PARA LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La aproximación normal a la distribución binomial para intervalos de valores usualmente mejora si los valores de corte se modifican ligeramente. Los valores de corte para el extremo inferior de una región sombreada deberían reducirse en 0.5, y el valor de corte para el extremo superior debería incrementarse en 0.5.

El consejo de añadir área extra cuando se aplica la aproximación normal es más útil cuando se examina un rango de observaciones. En el ejemplo anterior, la estimación revisada de la distribución normal es 0.0633, mucho más cercana al valor exacto de 0.0649. Si bien es posible también aplicar esta corrección al calcular un área de cola, el beneficio de la modificación usualmente desaparece dado que el intervalo total es típicamente bastante amplio.

Ejercicios

4.17 Consumo de alcohol en menores de edad, Parte I. Los datos recopilados por la Administración de Servicios de Salud Mental y Abuso de Sustancias (SAMSHA) sugieren que el 69.7% de los jóvenes de 18 a 20 años consumieron bebidas alcohólicas en un año determinado.31

• 1. Suponga que se toma una muestra aleatoria de diez jóvenes de 18 a 20 años. ¿Es apropiado el uso de la distribución binomial para calcular la probabilidad de que exactamente seis hayan consumido bebidas alcohólicas? Explique.
• 2. Calcule la probabilidad de que exactamente 6 de cada 10 jóvenes de 18 a 20 años seleccionados al azar hayan consumido una bebida alcohólica.
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro de cada diez jóvenes de 18 a 20 años no hayan consumido una bebida alcohólica?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 2 de cada 5 jóvenes de 18 a 20 años seleccionados al azar hayan consumido bebidas alcohólicas?
• 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 de cada 5 jóvenes de 18 a 20 años seleccionados al azar haya consumido bebidas alcohólicas?

4.18 Varicela, Parte I. El Hospital Infantil de Boston estima que el 90% de los estadounidenses han tenido varicela cuando llegan a la edad adulta.32

• 1. Suponga que tomamos una muestra aleatoria de 100 adultos estadounidenses. ¿Es apropiado el uso de la distribución binomial para calcular la probabilidad de que exactamente 97 de cada 100 adultos estadounidenses seleccionados al azar hayan tenido varicela durante la infancia? Explique.
• 2. Calcule la probabilidad de que exactamente 97 de cada 100 adultos estadounidenses seleccionados al azar hayan tenido varicela durante la infancia.
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de una nueva muestra de 100 adultos estadounidenses no hayan tenido varicela en su infancia?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 de cada 10 adultos estadounidenses seleccionados al azar haya tenido varicela?
• 5. ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo 3 de cada 10 adultos estadounidenses seleccionados al azar no hayan tenido varicela?

4.19 Consumo de alcohol en menores de edad, Parte II. Aprendimos en el Ejercicio 4.17 que aproximadamente el 70% de los jóvenes de 18 a 20 años consumieron bebidas alcohólicas en un año determinado. Ahora consideramos una muestra aleatoria de cincuenta jóvenes de 18 a 20 años.

• 1. ¿Cuántas personas esperaría que hayan consumido bebidas alcohólicas? ¿Y con qué desviación estándar?
• 2. ¿Le sorprendería que hubiera 45 o más personas que hayan consumido bebidas alcohólicas?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que 45 o más personas en esta muestra hayan consumido bebidas alcohólicas? ¿Cómo se relaciona esta probabilidad con su respuesta a la parte (b)?

4.20 Varicela, Parte II. Aprendimos en el Ejercicio 4.18 que aproximadamente el 90% de los adultos estadounidenses tuvieron varicela antes de la edad adulta. Ahora consideramos una muestra aleatoria de 120 adultos estadounidenses.

• 1. ¿Cuántas personas en esta muestra esperaría que hayan tenido varicela en su infancia? ¿Y con qué desviación estándar?
• 2. ¿Le sorprendería que hubiera 105 personas que hayan tenido varicela en su infancia?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que 105 o menos personas en esta muestra hayan tenido varicela en su infancia? ¿Cómo se relaciona esta probabilidad con su respuesta a la parte (b)?

4.21 Juego del dreidel. Un dreidel es una peonza de cuatro lados con las letras hebreas nun, gimel, hei y shin, una en cada lado. Cada lado tiene la misma probabilidad de salir en un solo giro del dreidel. Suponga que gira un dreidel tres veces. Calcule la probabilidad de obtener

• 1. ¿al menos una nun?
• 2. ¿exactamente 2 nuns?
• 3. ¿exactamente 1 hei?
• 4. ¿como máximo 2 gimels?

Foto de Staccabees, recortada (http://flic.kr/p/7gLZTf) Licencia CC BY 2.0

³¹SAMHSA, Oficina de Estudios Aplicados, Encuesta Nacional sobre el Uso de Drogas y la Salud, 2007 y 2008. ³²Hospital Infantil de Boston, Página de resumen de la varicela, referenciado el 29 de abril de 2021.

4.22 Aracnofobia. Una encuesta de Gallup encontró que el 7% de los adolescentes (de 13 a 17 años) sufren de aracnofobia y tienen mucho miedo a las arañas. En un campamento de verano hay 10 adolescentes durmiendo en cada tienda de campaña. Asuma que estos 10 adolescentes son independientes entre sí.33

• 1. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra de aracnofobia.
• 2. Calcule la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sufran de aracnofobia.
• 3. Calcule la probabilidad de que como máximo 1 de ellos sufra de aracnofobia.
• 4. Si el consejero del campamento quiere asegurarse de que no más de 1 adolescente en cada tienda de campaña tenga miedo a las arañas, ¿parece razonable que asigne a los adolescentes a las tiendas de campaña al azar?

4.23 Color de ojos, Parte II. El ejercicio 4.13 presenta a un matrimonio con ojos marrones que tienen una probabilidad de 0.75 de tener hijos con ojos marrones, una probabilidad de 0.125 de tener hijos con ojos azules y una probabilidad de 0.125 de tener hijos con ojos verdes.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que su primer hijo tenga ojos verdes y el segundo no?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de sus dos hijos tenga ojos verdes?
• 3. Si tienen seis hijos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos tengan ojos verdes?
• 4. Si tienen seis hijos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno tenga ojos verdes?
• 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer hijo con ojos verdes sea el cuarto hijo?
• 6. ¿Se consideraría inusual si solo 2 de sus 6 hijos tuvieran ojos marrones?

4.24 Anemia falciforme. La anemia falciforme es un trastorno sanguíneo genético en el que los glóbulos rojos pierden su flexibilidad y adoptan una forma anormal, rígida, “de hoz”, lo que resulta en un riesgo de diversas complicaciones. Si ambos padres son portadores de la enfermedad, entonces un niño tiene un 25% de probabilidad de tener la enfermedad, un 50% de probabilidad de ser portador y un 25% de probabilidad de no tener la enfermedad ni ser portador. Si dos padres que son portadores de la enfermedad tienen 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que

• 1. dos tengan la enfermedad?
• 2. ninguno tenga la enfermedad?
• 3. ¿al menos uno no tenga la enfermedad ni sea portador?
• 4. ¿el primer hijo con la enfermedad sea el tercer hijo?

4.25 Explorando permutaciones. La fórmula para el número de formas de organizar n objetos es n! = n × (n − 1) × · · · × 2 × 1. Este ejercicio le guía a través de la derivación de esta fórmula para un par de casos especiales.

Una pequeña empresa tiene cinco empleados: Anna, Ben, Carl, Damian y Eddy. Hay cinco plazas de aparcamiento en fila en la empresa, ninguna de las cuales está asignada, y cada día los empleados aparcan en una plaza aleatoria. Es decir, todos los órdenes posibles de los coches en la fila de plazas son igualmente probables.

• 1. En un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que los empleados aparquen en orden alfabético?
• 2. Si el orden alfabético tiene la misma probabilidad de ocurrir en relación con todos los demás órdenes posibles, ¿cuántas formas debe haber de organizar los cinco coches?
• 3. Ahora considere una muestra de 8 empleados en su lugar. ¿Cuántas formas posibles hay de ordenar los coches de estos 8 empleados?

4.26 Niños varones. Si bien a menudo se asume que las probabilidades de tener un niño o una niña son las mismas, la probabilidad real de tener un niño es ligeramente mayor, del 0.51. Suponga que una pareja planea tener 3 hijos.

• 1. Utilice el modelo binomial para calcular la probabilidad de que dos de ellos sean niños.
• 2. Escriba todos los órdenes posibles de 3 hijos, 2 de los cuales son niños. Utilice estos escenarios para calcular la misma probabilidad de la parte (a) pero utilizando la regla de la suma para resultados disjuntos. Confirme que sus respuestas de las partes (a) y (b) coincidan.
• 3. Si quisiéramos calcular la probabilidad de que una pareja que planea tener 8 hijos tenga 3 niños, describa brevemente por qué el enfoque de la parte (b) sería más tedioso que el enfoque de la parte (a).

³³Encuesta de Gallup, ¿Qué asusta a la juventud de Estados Unidos?, 29 de marzo de 2005.

4.4 Distribución binomial negativa

La distribución geométrica describe la probabilidad de observar el primer éxito en el n-ésimo ensayo. La distribución binomial negativa es más general: describe la probabilidad de observar el k-ésimo éxito en el n-ésimo ensayo.

EJEMPLO 4.42

Cada día, un entrenador de fútbol americano de la escuela secundaria le dice a su pateador estrella, Brian, que puede irse a casa después de que patee con éxito cuatro goles de campo de 35 yardas. Supongamos que decimos que cada patada tiene una probabilidad p de ser exitosa. Si p es pequeña, por ejemplo, cerca de 0.1, ¿esperaríamos que Brian necesite muchos intentos antes de patear con éxito su cuarto gol de campo?

Estamos esperando el cuarto éxito (k = 4). Si la probabilidad de un éxito (p) es pequeña, entonces el número de intentos (n) probablemente será grande. Esto significa que es más probable que Brian necesite muchos intentos antes de obtener k = 4 éxitos. Para decirlo de otra manera, la probabilidad de que n sea pequeño es baja.

Para identificar un caso binomial negativo, verificamos 4 condiciones. Las tres primeras son comunes a la distribución binomial.

¿ES BINOMIAL NEGATIVO? CUATRO CONDICIONES PARA VERIFICAR

• 1. Los ensayos son independientes.
• 2. El resultado de cada ensayo se puede clasificar como un éxito o un fracaso.
• 3. La probabilidad de un éxito (p) es la misma para cada ensayo.
• 4. El último ensayo debe ser un éxito.

PRÁCTICA GUIADA 4.43

Supongamos que Brian es muy diligente en sus intentos y realiza cada gol de campo de 35 yardas con una probabilidad p = 0.8. Adivina cuántos intentos necesitaría antes de hacer su cuarto gol.34

EJEMPLO 4.44

En la práctica de ayer, Brian solo necesitó 6 intentos para obtener su cuarto gol de campo. Escribe cada una de las posibles secuencias de patadas.

Debido a que Brian necesitó seis intentos para obtener el cuarto éxito, sabemos que la última patada debe haber sido un éxito. Eso deja tres patadas exitosas y dos patadas no exitosas (las etiquetamos como fallas) que conforman los primeros cinco intentos. Hay diez secuencias posibles de estas primeras cinco patadas, que se muestran en la Figura 4.11. Si Brian logró su cuarto éxito (k = 4) en su sexto intento (n = 6), entonces su orden de éxitos y fallas debe ser una de estas diez posibles secuencias.

PRÁCTICA GUIADA 4.45

Cada secuencia en la Figura 4.11 tiene exactamente dos fallas y cuatro éxitos, siendo el último intento siempre un éxito. Si la probabilidad de un éxito es p = 0.8, encuentra la probabilidad de la primera secuencia.35

³⁴Una posible respuesta: dado que es probable que haga cada intento de gol de campo, le tomará al menos 4 intentos, pero probablemente no más de 6 o 7.

³⁵La primera secuencia: 0.2 × 0.2 × 0.8 × 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.0164.

	Intento de Patada
	1	2	3	4	5	6
1	F	F	1 S	2 S	3 S	4 S
2	F	1 S	F	2 S	3 S	4 S
3	F	1 S	2 S	F	3 S	4 S
4	F	1 S	2 S	3 S	F	4 S
5	1 S	F	F	2 S	3 S	4 S
6	1 S	F	2 S	F	3 S	4 S
7	1 S	F	2 S	3 S	F	4 S
8	1 S	2 S	F	F	3 S	4 S
9	1 S	2 S	F	3 S	F	4 S
10	1 S	2 S	3 S	F	F	4 S

Figura 4.11: Las diez posibles secuencias cuando la cuarta patada exitosa es en el sexto intento.

Si la probabilidad de que Brian patee un gol de campo de 35 yardas es p = 0.8, ¿cuál es la probabilidad de que Brian necesite exactamente seis intentos para obtener su cuarta patada exitosa? Podemos escribir esto como

P(Brian necesita seis intentos para hacer cuatro goles de campo)

= P(Brian hace tres de sus primeros cinco goles de campo, y hace el sexto)

= P(1ra secuencia O 2da secuencia O … O 10ma secuencia)

donde las secuencias son de la Figura 4.11. Podemos desglosar esta última probabilidad en la suma de diez posibilidades disjuntas:

\[P(1^{ra}\text{ secuencia O } 2^{da}\text{ secuencia O } \dots \text{ O } 10^{ma}\text{ secuencia})\]

\[= P(1^{ra}\text{ secuencia}) + P(2^{da}\text{ secuencia}) + \dots + P(10^{ma}\text{ secuencia})\]

La probabilidad de la primera secuencia se identificó en la Práctica Guiada 4.45 como 0.0164, y cada una de las otras secuencias tiene la misma probabilidad. Dado que cada una de las diez secuencias tiene la misma probabilidad, la probabilidad total es diez veces la de cualquier secuencia individual.

La forma de calcular esta probabilidad binomial negativa es similar a cómo se resolvieron los problemas binomiales en la Sección 4.3. La probabilidad se divide en dos partes:

P(Brian necesita seis intentos para hacer cuatro goles de campo) = [Número de secuencias posibles] × P(Secuencia única)

Cada parte se examina por separado, luego multiplicamos para obtener el resultado final.

Primero identificamos la probabilidad de una sola secuencia. Un caso particular es observar primero todas las fallas (n − k de ellas) seguidas de los k éxitos:

P(Secuencia única) = P(n − k fallas y luego k éxitos) = (1 − p) n−k p k

También debemos identificar el número de secuencias para el caso general. Arriba, se identificaron diez secuencias donde el cuarto éxito llegó en el sexto intento. Estas secuencias se identificaron fijando la última observación como un éxito y buscando todas las formas de organizar las otras observaciones. En otras palabras, ¿de cuántas maneras podríamos organizar k − 1 éxitos en n − 1 ensayos? Esto se puede encontrar usando el coeficiente n elige k pero para n − 1 y k − 1 en su lugar:

\[\binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \left( (n-1) - (k-1) \right)!} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \left( n-k \right)!}\]

Esta es la cantidad de formas diferentes en que podemos ordenar k − 1 éxitos y n − k fallas en n − 1 ensayos. Si la notación factorial (el signo de exclamación) no le resulta familiar, consulte la página 150.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

La distribución binomial negativa describe la probabilidad de observar el k-ésimo éxito en el n-ésimo ensayo, donde todos los ensayos son independientes:

\[P(\text{el } k^{th} \text{ éxito en el } n^{th} \text{ ensayo}) = \binom{n-1}{k-1} p^k (1-p)^{n-k}\]

El valor p representa la probabilidad de que un ensayo individual sea un éxito.

EJEMPLO 4.46

Muestra usando la fórmula para la distribución binomial negativa que la probabilidad de que Brian patee su cuarto gol de campo exitoso en el sexto intento es 0.164.

La probabilidad de un solo éxito es p = 0.8, el número de éxitos es k = 4 y el número de intentos necesarios bajo este escenario es n = 6.

\[ \binom{n-1}{k-1} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{5!}{3!2!} (0.8)^4 (0.2)^2 \\ = 10 \times 0.0164 \\ = 0.1645 \]

PRÁCTICA GUIADA 4.47

La distribución binomial negativa requiere que cada intento de patada de Brian sea independiente. ¿Crees que es razonable sugerir que cada uno de los intentos de patada de Brian son independientes?36

PRÁCTICA GUIADA 4.48

Supongamos que los intentos de patada de Brian son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que Brian patee su cuarto gol de campo dentro de 5 intentos?37

\[\begin{aligned} P(n=4 \text{ O } n=5) &= P(n=4) + P(n=5) \\ &= \binom{4-1}{4-1} 0.8^4 + \binom{5-1}{4-1} (0.8)^4 (1-0.8) = 1 \times 0.41 + 4 \times 0.082 = 0.41 + 0.33 = 0.74 \end{aligned}\]

³⁶Las respuestas pueden variar. No podemos decir de manera concluyente que son o no son independientes. Sin embargo, muchas revisiones estadísticas del rendimiento deportivo sugieren que tales intentos son casi independientes.

³⁷Si su cuarto gol de campo (k = 4) está dentro de los cinco intentos, o le tomó cuatro o cinco intentos (n = 4 o n = 5). Tenemos p = 0.8 de antes. Usa la distribución binomial negativa para calcular la probabilidad de n = 4 intentos y n = 5 intentos, luego suma esas probabilidades:

BINOMIAL VERSUS BINOMIAL NEGATIVA

En el caso binomial, normalmente tenemos un número fijo de ensayos y en su lugar consideramos el número de éxitos. En el caso binomial negativo, examinamos cuántos ensayos se necesitan para observar un número fijo de éxitos y requerimos que la última observación sea un éxito.

PRÁCTICA GUIADA 4.49

En el 70% de los días, un hospital admite al menos un paciente con ataque cardíaco. En el 30% de los días, no se admiten pacientes con ataque cardíaco. Identifica cada caso a continuación como un caso binomial o binomial negativo, y calcula la probabilidad.38

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el hospital admita un paciente con ataque cardíaco exactamente tres días esta semana?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo día con un paciente con ataque cardíaco sea el cuarto día de la semana?
• 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto día del próximo mes sea el primer día con un paciente con ataque cardíaco?

³⁸En cada parte, p = 0.7. (a) El número de días es fijo, por lo que esto es binomial. Los parámetros son k = 3 y n = 7: 0.097. (b) El último “éxito” (admitir un paciente con ataque cardíaco) está fijado al último día, por lo que debemos aplicar la distribución binomial negativa. Los parámetros son k = 2, n = 4: 0.132. (c) Este problema es binomial negativo con k = 1 y n = 5: 0.006. Ten en cuenta que el caso binomial negativo cuando k = 1 es el mismo que usar la distribución geométrica.

Ejercicios

4.27 Lanzando un dado. Calcula las siguientes probabilidades e indica qué modelo de distribución de probabilidad es apropiado en cada caso. Lanzas un dado justo 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener

• 1. el primer 6 en el quinto lanzamiento?
• 2. exactamente tres 6s?
• 3. el tercer 6 en el quinto lanzamiento?

4.28 Jugando a los dardos. Calcula las siguientes probabilidades e indica qué modelo de distribución de probabilidad es apropiado en cada caso. Un muy buen jugador de dardos puede dar en el centro (círculo rojo en el centro del tablero de dardos) el 65% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que

• 1. dé en el centro por décima vez en el intento número 15?
• 2. dé en el centro 10 veces en 15 intentos?
• 3. dé en el primer centro en el tercer intento?

4.29 Muestreo en la escuela. Para un proyecto de clase de sociología, se te pide que realices una encuesta a 20 estudiantes de tu escuela. Decides pararte afuera de la cafetería de tu residencia y realizar la encuesta en una muestra aleatoria de 20 estudiantes que salen de la cafetería después de cenar una noche. Tu residencia está compuesta por un 45% de hombres y un 55% de mujeres.

• 1. ¿Qué modelo de probabilidad es el más apropiado para calcular la probabilidad de que la cuarta persona que encuestes sea la segunda mujer? Explica.
• 2. Calcula la probabilidad de la parte (a).
• 3. Los tres escenarios posibles que conducen a que la cuarta persona que encuestes sea la segunda mujer son

{H, H, M, M}, {H, M, H, M}, {M, H, H, M}

Una característica común entre estos escenarios es que el último intento es siempre mujer. En los tres primeros intentos hay 2 hombres y 1 mujer. Utiliza el coeficiente binomial para confirmar que hay 3 formas de ordenar 2 hombres y 1 mujer.

4. Utiliza los hallazgos presentados en la parte (c) para explicar por qué la fórmula para el coeficiente para la binomial negativa es ⁿ−¹ k−1 mientras que la fórmula para el coeficiente binomial es ⁿ k .

4.30 Sacando en voleibol. Una jugadora de voleibol no muy hábil tiene un 15% de posibilidades de hacer el saque, lo que implica golpear la pelota para que pase por encima de la red en una trayectoria tal que aterrice en la cancha del equipo contrario. Supón que sus saques son independientes entre sí.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el décimo intento haga su tercer saque exitoso?
• 2. Supón que ha hecho dos saques exitosos en nueve intentos. ¿Cuál es la probabilidad de que su décimo saque sea exitoso?
• 3. Aunque las partes (a) y (b) discuten el mismo escenario, las probabilidades que calculaste deberían ser diferentes. ¿Puedes explicar la razón de esta discrepancia?

4.5 Distribución de Poisson

EJEMPLO 4.50

Hay alrededor de 8 millones de personas en la ciudad de Nueva York. ¿Cuántas personas podríamos esperar que fueran hospitalizadas por infarto agudo de miocardio (IAM), es decir, un ataque al corazón, cada día? Según los registros históricos, el número promedio es de aproximadamente 4.4 personas. Sin embargo, también nos gustaría conocer la distribución aproximada de los conteos. ¿Cómo se vería un histograma del número de ocurrencias de IAM cada día si registráramos los conteos diarios durante todo un año?

Se muestra un histograma del número de ocurrencias de IAM en 365 días para la ciudad de Nueva York en la Figura 4.12. 39 La media muestral (4.38) es similar a la media histórica de 4.4. La desviación estándar muestral es de aproximadamente 2, y el histograma indica que aproximadamente el 70% de los datos se encuentran entre 2.4 y 6.4. La forma de la distribución es unimodal y sesgada hacia la derecha.

Figura 4.12: Un histograma del número de ocurrencias de IAM en 365 días separados en la ciudad de Nueva York.

La distribución de Poisson es a menudo útil para estimar el número de eventos en una población grande durante una unidad de tiempo. Por ejemplo, considera cada uno de los siguientes eventos:

• tener un ataque al corazón,
• casarse, y
• ser alcanzado por un rayo.

La distribución de Poisson nos ayuda a describir el número de tales eventos que ocurrirán en un día para una población fija si los individuos dentro de la población son independientes. La distribución de Poisson también podría usarse durante otra unidad de tiempo, como una hora o una semana.

El histograma en la Figura 4.12 se aproxima a una distribución de Poisson con una tasa igual a 4.4. La tasa para una distribución de Poisson es el número promedio de ocurrencias en una población mayormente fija por unidad de tiempo. En el Ejemplo 4.50, la unidad de tiempo es un día, la población son todos los residentes de la ciudad de Nueva York, y la tasa histórica es de 4.4. El parámetro en la distribución de Poisson es la tasa, o cuántos eventos esperamos observar, y generalmente se denota con λ (la letra griega lambda) o µ. Usando la tasa, podemos describir la probabilidad de observar exactamente k eventos en una sola unidad de tiempo.

³⁹Estos datos son simulados. En la práctica, deberíamos verificar si existe una asociación entre días sucesivos.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Supón que estamos observando eventos y que el número de eventos observados sigue una distribución de Poisson con tasa λ. Entonces

\[P(\text{eventos observados } k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]

donde k puede tomar un valor 0, 1, 2, y así sucesivamente, y k! representa k-factorial, como se describe en la página 150. La letra e ≈ 2.718 es la base del logaritmo natural. La media y la desviación estándar de esta distribución son ^λ y ^√ λ, respectivamente.

Dejaremos un conjunto riguroso de condiciones para la distribución de Poisson para un curso posterior. Sin embargo, ofrecemos algunas pautas simples que se pueden utilizar para una evaluación inicial de si el modelo de Poisson sería apropiado.

Una variable aleatoria puede seguir una distribución de Poisson si estamos buscando el número de eventos, la población que genera tales eventos es grande y los eventos ocurren independientemente uno del otro.

Incluso cuando los eventos no son realmente independientes (por ejemplo, los sábados y domingos son especialmente populares para las bodas), un modelo de Poisson a veces puede seguir siendo razonable si le permitimos tener una tasa diferente para diferentes momentos. En el ejemplo de la boda, la tasa se modelaría como más alta los fines de semana que los días de semana. La idea de modelar las tasas para una distribución de Poisson contra una segunda variable, como el día de la semana, constituye la base de algunos métodos más avanzados que se encuentran en el ámbito de los modelos lineales generalizados. En los Capítulos 8 y 9, discutiremos una base de modelos lineales.

Ejercicios

4.31 Clientes en una cafetería. Una cafetería atiende un promedio de 75 clientes por hora durante la hora punta de la mañana.

• 1. ¿Qué distribución hemos estudiado que sea la más apropiada para calcular la probabilidad de que un número determinado de clientes llegue en una hora durante este momento del día?
• 2. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de clientes que esta cafetería atiende en una hora durante este momento del día?
• 3. ¿Se consideraría inusualmente bajo si solo 60 clientes se presentaran en esta cafetería en una hora durante este momento del día?
• 4. Calcula la probabilidad de que esta cafetería atienda a 70 clientes en una hora durante este momento del día.

4.32 Errores tipográficos de un taquígrafo. Un taquígrafo judicial muy hábil comete un error tipográfico (typo) por hora en promedio.

• 1. ¿Qué distribución de probabilidad es la más apropiada para calcular la probabilidad de un número determinado de errores tipográficos que este taquígrafo comete en una hora?
• 2. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de errores tipográficos que comete este taquígrafo?
• 3. ¿Se consideraría inusual si este taquígrafo cometiera 4 errores tipográficos en una hora determinada?
• 4. Calcula la probabilidad de que este taquígrafo cometa como máximo 2 errores tipográficos en una hora determinada.

4.33 ¿Cuántos coches aparecen? De lunes a jueves, cuando no hay festivo, el número medio de vehículos que visitan un determinado minorista entre las 14:00 y las 15:00 de cada tarde es de 6,5, y el número de coches que aparecen en un día determinado sigue una distribución de Poisson.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan exactamente 5 coches el próximo lunes?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 0, 1 o 2 coches el próximo lunes entre las 14:00 y las 15:00?
• 3. Hay un promedio de 11,7 personas que visitan durante esas mismas horas desde vehículos. ¿Es probable que el número de personas que visitan en coche durante esta hora también sea de Poisson? Explica.

4.34 Equipaje perdido. Ocasionalmente, una aerolínea pierde una maleta. Supongamos que una pequeña aerolínea ha descubierto que puede modelar razonablemente el número de maletas perdidas cada día laborable utilizando un modelo de Poisson con una media de 2,2 maletas.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la aerolínea no pierda ninguna maleta el próximo lunes?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la aerolínea pierda 0, 1 o 2 maletas el próximo lunes?
• 3. Supongamos que la aerolínea se expande en el transcurso de los próximos 3 años, duplicando el número de vuelos que realiza, y el CEO le pregunta si es razonable que sigan utilizando el modelo de Poisson con una media de 2,2. ¿Cuál es una recomendación apropiada? Explica.

Ejercicios del Capítulo

4.35 Ganancias en la ruleta. En el juego de la ruleta, se hace girar una rueda y se hacen apuestas sobre dónde se detendrá. Una apuesta popular es que se detendrá en una casilla roja; tal apuesta tiene una probabilidad de 18/38 de ganar. Si se detiene en rojo, se duplica el dinero apostado. Si no, se pierde el dinero apostado. Supongamos que juegas 3 veces, cada vez con una apuesta de $1. Sea Y la cantidad total ganada o perdida. Escribe un modelo de probabilidad para Y.

4.36 Exceso de velocidad en la I-5, Parte I. La distribución de las velocidades de los vehículos de pasajeros que viajan por la autopista Interstate 5 (I-5) en California es casi normal con una media de 72.6 millas/hora y una desviación estándar de 4.78 millas/hora.40

• 1. ¿Qué porcentaje de vehículos de pasajeros viajan a menos de 80 millas/hora?
• 2. ¿Qué porcentaje de vehículos de pasajeros viajan entre 60 y 80 millas/hora?
• 3. ¿A qué velocidad viaja el 5% más rápido de los vehículos de pasajeros?
• 4. El límite de velocidad en este tramo de la I-5 es de 70 millas/hora. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los vehículos de pasajeros viajan por encima del límite de velocidad en este tramo de la I-5?

4.37 Admisiones universitarias. Supongamos que una universidad anunció que admitió a 2,500 estudiantes para la clase de primer año del año siguiente. Sin embargo, la universidad solo tiene lugares en residencias para 1,786 estudiantes de primer año. Si hay una probabilidad del 70% de que un estudiante admitido decida aceptar la oferta y asistir a esta universidad, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que la universidad no tenga suficientes lugares en las residencias para la clase de primer año?

4.38 Exceso de velocidad en la I-5, Parte II. El ejercicio 4.36 afirma que la distribución de las velocidades de los automóviles que viajan por la autopista Interstate 5 (I-5) en California es casi normal con una media de 72.6 millas/hora y una desviación estándar de 4.78 millas/hora. El límite de velocidad en este tramo de la I-5 es de 70 millas/hora.

• 1. Un oficial de la patrulla de carreteras está escondido al costado de la autopista. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 5 autos y ninguno esté excediendo la velocidad? Suponga que las velocidades de los autos son independientes entre sí.
• 2. En promedio, ¿cuántos autos esperaría observar el oficial de la patrulla de carreteras hasta el primer auto que exceda la velocidad? ¿Cuál es la desviación estándar del número de autos que esperaría observar?

4.39 Primas de seguro de automóvil. Supongamos que un artículo periodístico afirma que la distribución de las primas de seguro de automóvil para los residentes de California es aproximadamente normal con una media de $1,650. El artículo también afirma que el 25% de los residentes de California pagan más de $1,800.

• 1. ¿Cuál es la puntuación Z que corresponde al 25% superior (o el percentil 75) de la distribución normal estándar?
• 2. ¿Cuál es el costo promedio del seguro? ¿Cuál es el límite para el percentil 75?
• 3. Identifique la desviación estándar de las primas de seguro en California.

4.40 Puntajes del SAT. Los puntajes del SAT (de 1600) se distribuyen normalmente con una media de 1100 y una desviación estándar de 200. Supongamos que un consejo escolar otorga un certificado de excelencia a todos los estudiantes que obtienen al menos 1350 en el SAT, y supongamos que elegimos al azar a uno de los estudiantes reconocidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje de este estudiante sea de al menos 1500? (El material cubierto en la Sección 3.2 sobre probabilidad condicional sería útil para esta pregunta).

4.41 Mujeres casadas. La Encuesta sobre la Comunidad Estadounidense estima que el 47.1% de las mujeres de 15 años o más están casadas.41

• 1. Seleccionamos al azar a tres mujeres entre estas edades. ¿Cuál es la probabilidad de que la tercera mujer seleccionada sea la única que está casada?
• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres mujeres seleccionadas al azar estén casadas?
• 3. En promedio, ¿cuántas mujeres esperaría muestrear antes de seleccionar a una mujer casada? ¿Cuál es la desviación estándar?
• 4. Si la proporción de mujeres casadas fuera en realidad del 30%, ¿cuántas mujeres esperaría muestrear antes de seleccionar a una mujer casada? ¿Cuál es la desviación estándar?
• 5. Según sus respuestas a las partes (c) y (d), ¿cómo afecta la disminución de la probabilidad de un evento a la media y la desviación estándar del tiempo de espera hasta el éxito?

⁴⁰S. Johnson y D. Murray. “Análisis Empírico de las Velocidades de Camiones y Automóviles en Carreteras Interestatales Rurales: Impacto de los Límites de Velocidad Publicados”. En: Reunión Anual No. 89 del Transportation Research Board. 2010.

⁴¹Oficina del Censo de EE. UU., Encuesta sobre la Comunidad Estadounidense de 2010, Estado Civil.

4.5. DISTRIBUCIÓN DE POISSON 167

4.42 Tasa de respuesta a encuestas. Pew Research informó que la tasa de respuesta típica a sus encuestas es solo del 9%. Si para una encuesta en particular se contacta a 15,000 hogares, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 1,500 acepten responder?42

4.43 Equipaje con sobrepeso. Suponga que los pesos del equipaje facturado de los pasajeros de las aerolíneas siguen una distribución casi normal con una media de 45 libras y una desviación estándar de 3.2 libras. La mayoría de las aerolíneas cobran una tarifa por el equipaje que pesa más de 50 libras. Determine qué porcentaje de pasajeros de aerolíneas incurre en esta tarifa.

4.44 Estaturas de niños de 10 años, Parte I. Las estaturas de niños de 10 años, independientemente del género, siguen de cerca una distribución normal con una media de 55 pulgadas y una desviación estándar de 6 pulgadas.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño de 10 años elegido al azar sea más bajo que 48 pulgadas?

• 2. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño de 10 años elegido al azar mida entre 60 y 65 pulgadas?
• 3. Si el 10% más alto de la clase se considera “muy alto”, ¿cuál es el límite de altura para “muy alto”?

4.45 Compra de libros en Ebay. Suponga que está considerando comprar su costoso libro de texto de química en Ebay. Observar subastas pasadas sugiere que los precios de este libro de texto siguen una distribución aproximadamente normal con una media de $89 y una desviación estándar de $15.

• 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una subasta seleccionada al azar para este libro se cierre en más de $100?
• 2. Ebay le permite establecer su precio de oferta máximo para que si alguien supera su oferta en una subasta, pueda superarla automáticamente, hasta el precio de oferta máximo que establezca. Si solo está ofertando en una subasta, ¿cuáles son las ventajas y desventajas de establecer un precio de oferta demasiado alto o demasiado bajo? ¿Qué pasa si está ofertando en varias subastas?
• 3. Si observó 10 subastas, ¿aproximadamente qué percentil podría usar para un límite de oferta máximo para estar algo seguro de que ganará una de estas diez subastas? ¿Es posible encontrar un punto de corte que garantice que ganará una subasta?
• 4. Si está dispuesto a rastrear de cerca hasta diez subastas, ¿aproximadamente qué precio podría usar como su precio de oferta máximo si quiere estar algo seguro de que comprará uno de estos diez libros?

4.46 Estaturas de niños de 10 años, Parte II. Las estaturas de niños de 10 años, independientemente del género, siguen de cerca una distribución normal con una media de 55 pulgadas y una desviación estándar de 6 pulgadas.

• 1. El requisito de altura para Batman the Ride en Six Flags Magic Mountain es de 54 pulgadas. ¿Qué porcentaje de niños de 10 años no pueden subir a esta atracción?
• 2. Suponga que hay cuatro niños de 10 años. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos puedan subir a Batman the Ride?
• 3. Suponga que trabaja en el parque para ayudarlos a comprender mejor la demografía de sus clientes y está contando a las personas a medida que ingresan al parque. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer niño de 10 años que vea que puede subir a Batman the Ride sea el tercer niño de 10 años que entra al parque?
• 4. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto niño de 10 años que vea que puede subir a Batman the Ride sea el duodécimo niño de 10 años que entra al parque?

4.47 Estaturas de niños de 10 años, Parte III. Las estaturas de niños de 10 años, independientemente del género, siguen de cerca una distribución normal con una media de 55 pulgadas y una desviación estándar de 6 pulgadas.

• 1. ¿Qué fracción de niños de 10 años mide más de 76 pulgadas?
• (b) Si hay 2,000 niños de 10 años entrando a Six Flags Magic Mountain en un solo día, entonces calcule el número esperado de niños de 10 años que miden al menos 76 pulgadas. (Puede suponer que las alturas de los niños de 10 años son independientes).
• 3. Usando la distribución binomial, calcule la probabilidad de que 0 de los 2,000 niños de 10 años midan al menos 76 pulgadas.
• 4. El número de niños de 10 años que ingresan a Six Flags Magic Mountain y miden al menos 76 pulgadas en un día determinado sigue una distribución de Poisson con una media igual al valor encontrado en la parte (b). Use la distribución de Poisson para identificar la probabilidad de que ningún niño de 10 años ingrese al parque que mida 76 pulgadas o más.

4.48 Examen de opción múltiple. En un examen de opción múltiple hay 5 preguntas y 4 opciones para cada pregunta (a, b, c, d). Robin no ha estudiado para el examen en absoluto y decide adivinar las respuestas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que

• 1. la primera pregunta que acierte sea la tercera pregunta?
• 2. acierte exactamente 3 o exactamente 4 preguntas?
• 3. acierte la mayoría de las preguntas?

⁴²Pew Research Center, Assessing the Representativeness of Public Opinion Surveys, May 15, 2012.

Capítulo 5

168

Fundamentos para la inferencia

• 5.1 Estimaciones puntuales y variabilidad del muestreo
• 5.2 Intervalos de confianza para una proporción
• 5.3 Prueba de hipótesis para una proporción

La inferencia estadística se ocupa principalmente de comprender y cuantificar la incertidumbre de las estimaciones de parámetros. Si bien las ecuaciones y los detalles cambian según el contexto, los fundamentos de la inferencia son los mismos en toda la estadística.

Comenzamos con un tema familiar: la idea de usar una proporción muestral para estimar una proporción poblacional. A continuación, creamos lo que se llama un intervalo de confianza, que es un rango de valores plausibles donde podemos encontrar el verdadero valor de la población. Finalmente, presentamos el marco de prueba de hipótesis, que nos permite evaluar formalmente las afirmaciones sobre la población, como si una encuesta proporciona evidencia sólida de que un candidato cuenta con el apoyo de la mayoría de la población votante.

Para ver videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

5.1 Estimaciones puntuales y variabilidad del muestreo

Empresas como Pew Research realizan con frecuencia encuestas como una forma de comprender el estado de la opinión pública o el conocimiento sobre muchos temas, incluidos la política, la comprensión científica, el reconocimiento de marca y más. El objetivo final al realizar una encuesta es generalmente utilizar las respuestas para estimar la opinión o el conocimiento de la población en general.

5.1.1 Estimaciones puntuales y error

Supongamos que una encuesta sugiere que el índice de aprobación del Presidente de los Estados Unidos es del 45%. Consideraríamos el 45% como una estimación puntual del índice de aprobación que podríamos observar si recogiéramos respuestas de toda la población. Esta proporción de respuesta de toda la población se conoce generalmente como el parámetro de interés. Cuando el parámetro es una proporción, a menudo se denota por p, y a menudo nos referimos a la proporción de la muestra como ˆp (pronunciado p-gorro1 ). A menos que recojamos respuestas de cada individuo de la población, p permanece desconocido, y usamos ˆp como nuestra estimación de p. La diferencia que observamos entre la encuesta y el parámetro se llama el error en la estimación. Generalmente, el error consta de dos aspectos: error de muestreo y sesgo.

El error de muestreo, a veces llamado incertidumbre de muestreo, describe cuánto tenderá a variar una estimación de una muestra a otra. Por ejemplo, la estimación de una muestra podría ser un 1% demasiado baja, mientras que en otra podría ser un 3% demasiado alta. Gran parte de la estadística, incluyendo gran parte de este libro, se centra en la comprensión y cuantificación del error de muestreo, y nos resultará útil considerar el tamaño de una muestra para ayudarnos a cuantificar este error; el tamaño de la muestra se representa a menudo con la letra n.

El sesgo describe una tendencia sistemática a sobreestimar o subestimar el valor real de la población. Por ejemplo, si estuviéramos haciendo una encuesta a los estudiantes preguntando sobre el apoyo a un nuevo estadio universitario, probablemente obtendríamos una estimación sesgada del nivel de apoyo estudiantil al estadio al redactar la pregunta como, ¿Apoyas a tu escuela apoyando la financiación para el nuevo estadio? Tratamos de minimizar el sesgo a través de procedimientos de recogida de datos bien pensados, que se discutieron en el Capítulo 1 y son el tema de muchos otros libros.

5.1.2 Comprender la variabilidad de una estimación puntual

Supongamos que la proporción de adultos estadounidenses que apoyan la expansión de la energía solar es p = 0.88, que es nuestro parámetro de interés.2 Si tomáramos una encuesta de 1000 adultos estadounidenses sobre este tema, la estimación no sería perfecta, pero ¿cuán cerca podríamos esperar que estuviera la proporción de la muestra en la encuesta del 88%? Queremos entender, ¿cómo se comporta la proporción de la muestra pˆ cuando la verdadera proporción de la población es 0.88? 3 ¡Averigüémoslo! Podemos simular las respuestas que obtendríamos de una muestra aleatoria simple de 1000 adultos estadounidenses, lo cual sólo es posible porque sabemos que el apoyo real a la expansión de la energía solar es de 0.88. Aquí está cómo podríamos construir tal simulación:

• 1. Había alrededor de 250 millones de adultos estadounidenses en 2018. En 250 millones de hojas de papel, escriba “apoyo” en el 88% de ellas y “no” en el otro 12%.
• 2. Mezcle los trozos de papel y saque 1000 trozos para representar nuestra muestra de 1000 adultos estadounidenses.
• 3. Calcule la fracción de la muestra que dice “apoyo”.

¿Algún voluntario para realizar esta simulación? Probablemente no. Ejecutar esta simulación con 250 millones de trozos de papel sería lento y muy costoso, pero podemos simularlo usando código de computadora

¹No confundir con phat, el término del argot utilizado para algo genial, como este libro.

²En realidad, no hemos realizado un censo para medir este valor perfectamente. Sin embargo, una muestra muy grande ha sugerido que el nivel real de apoyo es de alrededor del 88%.

³88% escrito como una proporción sería 0.88. Es común cambiar entre proporción y porcentaje. Sin embargo, las fórmulas presentadas en este libro siempre se refieren a la proporción, no al porcentaje.

código; hemos escrito un breve programa en la Figura 5.1 en caso de que tengas curiosidad por saber cómo es el código de la computadora. En esta simulación, la muestra dio una estimación puntual de ˆp¹ = 0.894. Sabemos que la proporción de la población para la simulación fue p = 0.88, por lo que sabemos que la estimación tuvo un error de 0.894 − 0.88 = +0.014.

1. Crea un conjunto de 250 millones de entradas, donde el 88% son “support”

y el 12% son “not”.

tamaño de población <- 250000000 entradas posibles <- c(rep(“support”, 0.88 * tamaño de población), rep(“not”, 0.12 * tamaño de población))

2. Muestra de 1000 entradas sin reemplazo.

entradas_muestreadas <- sample(entradas_posibles, size = 1000)

3. Calcular p-sombrero: contar el número que son de “apoyo”, luego dividir por

el tamaño de la muestra.

sum(entradas_muestreadas == “apoyo”) / 1000

Figura 5.1: Para aquellos curiosos, este es el código para una simulación individual de ˆp usando el software estadístico llamado R. Cada línea que comienza con # es un comentario de código, que se utiliza para describir en lenguaje normal lo que está haciendo el código. Hemos proporcionado laboratorios de software en R en openintro.org/book/os para cualquier persona interesada en aprender más.

Una simulación no es suficiente para tener una buena idea de la distribución de las estimaciones que podríamos esperar en la simulación, por lo que deberíamos ejecutar más simulaciones. En una segunda simulación, obtenemos ˆp² = 0.885, que tiene un error de +0.005. En otra, ˆp³ = 0.878 para un error de -0.002. Y en otra, una estimación de ˆp⁴ = 0.859 con un error de -0.021. Con la ayuda de una computadora, hemos ejecutado la simulación 10,000 veces y creado un histograma de los resultados de las 10,000 simulaciones en la Figura 5.2. Esta distribución de proporciones muestrales se llama distribución de muestreo. Podemos caracterizar esta distribución de muestreo de la siguiente manera:

• Centro. El centro de la distribución es ¯xp^ˆ = 0.880, que es el mismo que el parámetro. Observe que la simulación imitó una muestra aleatoria simple de la población, que es una estrategia de muestreo sencilla que ayuda a evitar el sesgo de muestreo.
• Dispersión. La desviación estándar de la distribución es sp^ˆ = 0.010. Cuando hablamos de una distribución de muestreo o de la variabilidad de una estimación puntual, normalmente utilizamos el término error estándar en lugar de desviación estándar, y la notación SEp^ˆ se utiliza para el error estándar asociado a la proporción muestral.

Forma. La distribución es simétrica y con forma de campana, y se asemeja a una distribución normal.

¡Estos hallazgos son alentadores! Cuando la proporción de la población es p = 0.88 y el tamaño de la muestra es n = 1000, la proporción de la muestra ˆp tiende a dar una estimación bastante buena de la proporción de la población. También tenemos la interesante observación de que el histograma se asemeja a una distribución normal.

LAS DISTRIBUCIONES DE MUESTREO NUNCA SE OBSERVAN, PERO LAS TENEMOS EN CUENTA

En las aplicaciones del mundo real, nunca observamos realmente la distribución de muestreo, pero es útil pensar siempre en una estimación puntual como procedente de una distribución hipotética de este tipo. Comprender la distribución de muestreo nos ayudará a caracterizar y dar sentido a las estimaciones puntuales que sí observamos.

EJEMPLO 5.1

Si utilizáramos un tamaño de muestra mucho menor de n = 50, ¿adivinaría que el error estándar para ˆp sería mayor o menor que cuando utilizamos n = 1000?

Intuitivamente, parece que más datos son mejores que menos datos, ¡y generalmente eso es correcto! El error típico cuando p = 0.88 y n = 50 sería mayor que el error que esperaríamos cuando n = 1000.

El Ejemplo 5.1 destaca una propiedad importante que veremos una y otra vez: una muestra más grande tiende a proporcionar una estimación puntual más precisa que una muestra más pequeña.

Figura 5.2: Un histograma de 10,000 proporciones de muestra, donde cada muestra se toma de una población donde la proporción de la población es 0.88 y el tamaño de la muestra es n = 1000.

5.1.3 Teorema del Límite Central

La distribución en la Figura 5.2 se parece muchísimo a una distribución normal. Eso no es una anomalía; es el resultado de un principio general llamado el Teorema del Límite Central.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL Y LA CONDICIÓN DE ÉXITO-FRACASO

Cuando las observaciones son independientes y el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la proporción muestral ˆp tenderá a seguir una distribución normal con la siguiente media y error estándar:

\[ \mu\_{\hat{p}} = p \qquad \qquad \qquad SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

Para que el Teorema del Límite Central se cumpla, el tamaño de la muestra se considera típicamente suficientemente grande cuando np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10, lo que se denomina condición de éxito-fracaso.

El Teorema del Límite Central es increíblemente importante y proporciona una base para gran parte de la estadística. Al comenzar a aplicar el Teorema del Límite Central, tenga en cuenta las dos condiciones técnicas: las observaciones deben ser independientes y el tamaño de la muestra debe ser suficientemente grande de modo que np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10.

EJEMPLO 5.2

Anteriormente estimamos la media y el error estándar de ˆp utilizando datos simulados cuando p = 0.88 y n = 1000. Confirme que el Teorema del Límite Central se aplica y que la distribución muestral es aproximadamente normal.

Independencia. Hay n = 1000 observaciones para cada proporción muestral ˆp, y cada una de esas observaciones son extracciones independientes. La forma más común para que las observaciones se consideren independientes es si provienen de una muestra aleatoria simple.

Condición de éxito-fracaso. Podemos confirmar que el tamaño de la muestra es suficientemente grande verificando la condición de éxito-fracaso y confirmando que los dos valores calculados son mayores que 10:

np = 1000 × 0.88 = 880 ≥ 10 n(1 − p) = 1000 × (1 − 0.88) = 120 ≥ 10

Las condiciones de independencia y de éxito-fracaso se cumplen, por lo que se aplica el Teorema del Límite Central, y es razonable modelar ˆp utilizando una distribución normal.

CÓMO VERIFICAR QUE LAS OBSERVACIONES DE LA MUESTRA SON INDEPENDIENTES

Los sujetos en un experimento se consideran independientes si se someten a una asignación aleatoria a los grupos de tratamiento.

Si las observaciones provienen de una muestra aleatoria simple, entonces son independientes.

Si una muestra proviene de un proceso aparentemente aleatorio, por ejemplo, un error ocasional en una línea de ensamblaje, verificar la independencia es más difícil. En este caso, utilice su mejor criterio.

Una condición adicional que a veces se agrega para las muestras de una población es que no sean mayores al 10% de la población. Cuando la muestra excede el 10% del tamaño de la población, los métodos que discutimos tienden a sobreestimar ligeramente el error de muestreo en comparación con lo que obtendríamos utilizando métodos más avanzados.4 Esto rara vez es un problema, y cuando lo es, nuestros métodos tienden a ser conservadores, por lo que consideramos esta verificación adicional como opcional.

EJEMPLO 5.3

Calcule la media teórica y el error estándar de ˆp cuando p = 0.88 y n = 1000, según el Teorema del Límite Central.

La media de los ˆp es simplemente la proporción de la población: µp^ˆ = 0.88.

El cálculo del error estándar de ˆp utiliza la siguiente fórmula:

\[SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{0.88(1-0.88)}{1000}} = 0.0101\]

EJEMPLO 5.4

Estime con qué frecuencia la proporción muestral ˆp debe estar dentro de 0.02 (2%) del valor de la población, p = 0.88. Según los ejemplos 5.2 y 5.3, sabemos que la distribución es aproximadamente N(µp^ˆ = 0.88, SEp^ˆ = 0.010).

Después de tanta práctica en la Sección 4.1, ¡este ejemplo de distribución normal con suerte se sentirá familiar! Nos gustaría comprender la fracción de ˆp’s entre 0.86 y 0.90:

Con µp^ˆ = 0.88 y SEp^ˆ = 0.010, podemos calcular el puntaje Z tanto para los límites izquierdo como derecho:

\[Z\_{0.86} = \frac{0.86 - 0.88}{0.010} = -2 \qquad\qquad\qquad Z\_{0.90} = \frac{0.90 - 0.88}{0.010} = 2\]

Podemos usar software estadístico, una calculadora gráfica o una tabla para encontrar las áreas hacia las colas, y en cualquier caso encontraremos que cada una es 0.0228. Las áreas totales de la cola son 2 × 0.0228 = 0.0456, lo que deja el área sombreada de 0.9544. Es decir, aproximadamente el 95.44% de la distribución muestral en la Figura 5.2 está dentro de ±0.02 de la proporción de la población, p = 0.88.

⁴Por ejemplo, podríamos usar lo que se llama el factor de corrección de población finita: si la muestra es de tamaño n y el tamaño de la población es N, entonces podemos multiplicar la fórmula típica del error estándar por qN−ⁿ N−1 para obtener una estimación más pequeña y precisa del error estándar real. Cuando n < 0.1 × N, este factor de corrección es relativamente pequeño.

En el Ejemplo 5.1 discutimos cómo una muestra más pequeña tendería a producir una estimación menos confiable. Explique cómo esta intuición se refleja en la fórmula para SEp^ˆ = q p(1−p) n . 5

5.1.4 Aplicación del Teorema del Límite Central a un contexto del mundo real

En realidad, no conocemos la proporción de la población a menos que realicemos una encuesta costosa a todos los individuos de la población. Nuestro valor anterior de p = 0.88 se basó en una encuesta realizada por Pew Research a 1000 adultos estadounidenses que encontró que ˆp = 0.887 de ellos estaban a favor de la expansión de la energía solar. Los investigadores podrían haberse preguntado: ¿la proporción de la muestra de la encuesta sigue aproximadamente una distribución normal? Podemos verificar las condiciones del Teorema del Límite Central:

• Independencia. La encuesta es una muestra aleatoria simple de adultos estadounidenses, lo que significa que las observaciones son independientes.
• Condición de éxito-fracaso. Para verificar esta condición, necesitamos la proporción de la población, p, para verificar si tanto np como n(1 − p) son mayores que 10. Sin embargo, en realidad no conocemos p, ¡que es exactamente la razón por la que los encuestadores tomarían una muestra! En casos como estos, a menudo usamos ˆp como nuestra siguiente mejor manera de verificar la condición de éxito-fracaso:

\[n\hat{p} = 1000 \times 0.887 = 887 \qquad \qquad n(1-\hat{p}) = 1000 \times (1 - 0.887) = 113\]

La proporción de la muestra ˆp actúa como un sustituto razonable de p durante esta verificación, y cada valor en este caso está muy por encima del mínimo de 10.

Esta aproximación de sustitución de usar ˆp en lugar de p también es útil al calcular el error estándar de la proporción de la muestra:

\[SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \approx \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.887(1-0.887)}{1000}} = 0.010\]

Esta técnica de sustitución a veces se conoce como el “principio de conexión”. En este caso, SEp^ˆ no cambió lo suficiente como para ser detectado usando solo 3 decimales en comparación con cuando completamos el cálculo con 0.88 anteriormente. El error estándar calculado tiende a ser razonablemente estable incluso cuando se observan proporciones ligeramente diferentes en una muestra u otra.

⁵Dado que el tamaño de la muestra n está en el denominador (en la parte inferior) de la fracción, un tamaño de muestra mayor significa que toda la expresión cuando se calcula tenderá a ser menor. Es decir, un tamaño de muestra mayor correspondería a un error estándar menor.

5.1.5 Más detalles sobre el Teorema del Límite Central

Hemos aplicado el Teorema del Límite Central en numerosos ejemplos hasta ahora en este capítulo:

Cuando las observaciones son independientes y el tamaño de la muestra es suficientemente grande, la distribución de pˆ se asemeja a una distribución normal con

\[ \mu\_{\hat{p}} = p \qquad \qquad \qquad SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

Se considera que el tamaño de la muestra es suficientemente grande cuando np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10.

En esta sección, exploraremos la condición de éxito-fracaso y buscaremos comprender mejor el Teorema del Límite Central.

Una pregunta interesante para responder es, ¿qué sucede cuando np < 10 o n(1 − p) < 10? Como hicimos en la Sección 5.1.2, podemos simular la extracción de muestras de diferentes tamaños donde, digamos, la proporción verdadera es p = 0.25. Aquí hay una muestra de tamaño 10:

no, no, sí, sí, no, no, no, no, no, no

En esta muestra, observamos una proporción de la muestra de síes de ˆp = 2 ¹⁰ = 0.2. Podemos simular muchas de esas proporciones para comprender la distribución de muestreo de ˆp cuando n = 10 y p = 0.25, que hemos representado en la Figura 5.3 junto con una distribución normal con la misma media y variabilidad. Estas distribuciones tienen una serie de diferencias importantes.

Figura 5.3: Izquierda: simulaciones de ˆp cuando el tamaño de la muestra es n = 10 y la proporción de la población es p = 0.25. Derecha: una distribución normal con la misma media (0.25) y desviación estándar (0.137).

	¿Unimodal?	¿Suave?	¿Simétrico?
Normal: N(0.25, 0.14)	Sí	Sí	Sí
n = 10, p = 0.25	Sí	No	No

Observe que la condición de éxito-fracaso no se cumplió cuando n = 10 y p = 0.25:

\[np = 10 \times 0.25 = 2.5 \qquad \qquad \qquad n(1-p) = 10 \times 0.75 = 7.5\]

Esta única distribución de muestreo no muestra que la condición de éxito-fracaso sea la guía perfecta, pero hemos descubierto que la guía identificó correctamente que una distribución normal podría no ser apropiada.

Podemos completar varias simulaciones adicionales, que se muestran en las Figuras 5.4 y 5.5, y podemos ver algunas tendencias:

• 1. Cuando np o n(1 − p) es pequeño, la distribución es más discreta, es decir, no continua.
• 2. Cuando np o n(1 − p) es menor que 10, la asimetría en la distribución es más notable.
• 3. Cuanto mayores sean tanto np como n(1 − p), más normal será la distribución. Esto puede ser un poco más difícil de ver para el tamaño de muestra más grande en estos gráficos, ya que la variabilidad también se vuelve mucho menor.
• 4. Cuando np y n(1 − p) son ambos muy grandes, la discreción de la distribución apenas es evidente y la distribución se parece mucho más a una distribución normal.

Figura 5.4: Distribuciones de muestreo para varios escenarios de p y n. Filas: p = 0.10, p = 0.20, p = 0.50, p = 0.80 y p = 0.90. Columnas: n = 10 y n = 25.

Figura 5.5: Distribuciones de muestreo para varios escenarios de p y n. Filas: p = 0.10, p = 0.20, p = 0.50, p = 0.80 y p = 0.90. Columnas: n = 50, n = 100 y n = 250.

Hasta ahora solo nos hemos centrado en la asimetría y la discreción de las distribuciones. No hemos considerado cómo cambian la media y el error estándar de las distribuciones. Tómese un momento para volver a mirar los gráficos y preste atención a tres cosas:

• 1. Los centros de la distribución están siempre en la proporción de la población, p, que se utilizó para generar la simulación. Debido a que la distribución de muestreo de ˆp siempre está centrada en el parámetro de la población p, significa que la proporción de la muestra ˆp no está sesgada cuando los datos son independientes y se extraen de dicha población.
• 2. Para una proporción de población particular p, la variabilidad en la distribución de muestreo disminuye a medida que el tamaño de la muestra n se hace más grande. Esto probablemente se alineará con su intuición: una estimación basada en un tamaño de muestra mayor tenderá a ser más precisa.
• 3. Para un tamaño de muestra particular, la variabilidad será mayor cuando p = 0.5. Las diferencias pueden ser un poco sutiles, así que observe de cerca. Esto refleja el papel de la proporción p en la fórmula del error estándar: SE = q p(1−p) n . El error estándar es mayor cuando p = 0.5.

En ningún momento la distribución de ˆp se verá perfectamente normal, ya que ˆp siempre tomará valores discretos (x/n). Siempre es una cuestión de grado, y utilizaremos la condición estándar de éxito-fracaso con mínimos de 10 para np y n(1 − p) como nuestra guía dentro de este libro.

5.1.6 Extendiendo el marco para otras estadísticas

La estrategia de usar una estadística de muestra para estimar un parámetro es bastante común, y es una estrategia que podemos aplicar a otras estadísticas además de una proporción. Por ejemplo, si queremos estimar el salario promedio de los graduados de una universidad en particular, podríamos encuestar una muestra aleatoria de graduados recientes; en ese ejemplo, estaríamos usando una media muestral ¯x para estimar la media poblacional µ para todos los graduados. Como otro ejemplo, si queremos estimar la diferencia en los precios de los productos para dos sitios web, podríamos tomar una muestra aleatoria de productos disponibles en ambos sitios, verificar los precios en cada uno y luego calcular la diferencia promedio; esta estrategia sin duda nos daría una idea de la diferencia real a través de una estimación puntual.

Si bien este capítulo enfatiza un contexto de una sola proporción, encontraremos muchos contextos diferentes a lo largo de este libro donde se aplicarán estos métodos. Los principios y las ideas generales son los mismos, incluso si los detalles cambian un poco. También hemos espolvoreado algunos otros contextos en los ejercicios para ayudarte a comenzar a pensar en cómo se generalizan las ideas.

Ejercicios

5.1 Identificar el parámetro, Parte I. Para cada una de las siguientes situaciones, indique si el parámetro de interés es una media o una proporción. Puede ser útil examinar si las respuestas individuales son numéricas o categóricas.

• 1. En una encuesta, se pregunta a cien estudiantes universitarios cuántas horas por semana pasan en Internet.
• 2. En una encuesta, se pregunta a cien estudiantes universitarios: “¿Qué porcentaje del tiempo que pasa en Internet forma parte del trabajo de su curso?”
• 3. En una encuesta, se pregunta a cien estudiantes universitarios si citaron o no información de Wikipedia en sus trabajos.
• 4. En una encuesta, se pregunta a cien estudiantes universitarios qué porcentaje de su gasto semanal total se destina a bebidas alcohólicas.
• 5. En una muestra de cien recién graduados universitarios, se encuentra que el 85 por ciento espera conseguir un trabajo en el plazo de un año a partir de la fecha de su graduación.

5.2 Identificar el parámetro, Parte II. Para cada una de las siguientes situaciones, indique si el parámetro de interés es una media o una proporción.

• 1. Una encuesta muestra que el 64% de los estadounidenses se preocupa mucho por el gasto federal y el déficit presupuestario.
• 2. Una encuesta informa de que las noticias de la televisión local han mostrado un aumento del 17% en los ingresos en un período de dos años, mientras que los ingresos de los periódicos disminuyeron un 6,4% durante este período.
• 3. En una encuesta, se pregunta a estudiantes de secundaria y universitarios si utilizan o no servicios de geolocalización en sus teléfonos inteligentes.
• 4. En una encuesta, se pregunta a los usuarios de teléfonos inteligentes si utilizan o no un servicio de taxi basado en la web.
• 5. En una encuesta, se pregunta a los usuarios de teléfonos inteligentes cuántas veces han utilizado un servicio de taxi basado en la web durante el último año.

5.3 Control de calidad. Como parte de un proceso de control de calidad para los chips de ordenador, un ingeniero de una fábrica toma una muestra aleatoria de 212 chips durante una semana de producción para probar la tasa actual de chips con defectos graves. Encuentra que 27 de los chips son defectuosos.

• 1. ¿Qué población se está considerando en el conjunto de datos?
• 2. ¿Qué parámetro se está estimando?
• 3. ¿Cuál es la estimación puntual para el parámetro?
• (d) ¿Cuál es el nombre del estadístico que utilizamos para medir la incertidumbre de la estimación puntual?
• (e) Calcule el valor de la parte (d) para este contexto.
• 6. La tasa histórica de defectos es del 10%. ¿Debería sorprender al ingeniero la tasa de defectos observada durante la semana actual?
• 7. Supongamos que se descubre que el valor real de la población es del 10%. Si utilizamos esta proporción para volver a calcular el valor de la parte (e) utilizando p = 0,1 en lugar de ˆp, ¿cambia mucho el valor resultante?

5.4 Gasto inesperado. En una muestra aleatoria de 765 adultos en los Estados Unidos, 322 dicen que no podrían cubrir un gasto inesperado de $400 sin pedir dinero prestado o endeudarse.

• 1. ¿Qué población se está considerando en el conjunto de datos?
• 2. ¿Qué parámetro se está estimando?
• 3. ¿Cuál es la estimación puntual para el parámetro?
• (d) ¿Cuál es el nombre del estadístico que utilizamos para medir la incertidumbre de la estimación puntual?
• (e) Calcule el valor de la parte (d) para este contexto.
• 6. Un experto de noticias por cable piensa que el valor es en realidad del 50%. ¿Debería sorprenderle los datos?
• 7. Supongamos que se descubre que el valor real de la población es del 40%. Si utilizamos esta proporción para volver a calcular el valor de la parte (e) utilizando p = 0,4 en lugar de ˆp, ¿cambia mucho el valor resultante?

5.5 Muestras de agua repetidas. Una organización sin ánimo de lucro quiere comprender la fracción de hogares que tienen niveles elevados de plomo en su agua potable. Esperan que al menos el 5% de los hogares tengan niveles elevados de plomo, pero no más del 30%. Toman una muestra aleatoria de 800 hogares y trabajan con los propietarios para recuperar muestras de agua, y calculan la fracción de estos hogares con niveles elevados de plomo. Repiten esto 1.000 veces y construyen una distribución de las proporciones de la muestra.

• 1. ¿Cómo se llama esta distribución?
• 2. ¿Esperaría que la forma de esta distribución fuera simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda? Explique su razonamiento.
• 3. Si las proporciones se distribuyen en torno al 8%, ¿cuál es la variabilidad de la distribución?
• 4. ¿Cuál es el nombre formal del valor que ha calculado en (c)?
• 5. Supongamos que se reduce el presupuesto de los investigadores y sólo pueden recoger 250 observaciones por muestra, pero aún así pueden recoger 1.000 muestras. Construyen una nueva distribución de las proporciones de la muestra. ¿Cómo se comparará la variabilidad de esta nueva distribución con la variabilidad de la distribución cuando cada muestra contenía 800 observaciones?

5.6 Muestras repetidas de estudiantes. De todos los estudiantes de primer año de una gran universidad, el 16% entró en la lista del decano en el año en curso. Como parte de un proyecto de clase, los estudiantes toman una muestra aleatoria de 40 estudiantes y comprueban si esos estudiantes entraron en la lista. Repiten esto 1.000 veces y construyen una distribución de las proporciones de la muestra.

• 1. ¿Cómo se llama esta distribución?
• 2. ¿Esperaría que la forma de esta distribución fuera simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda? Explique su razonamiento.
• 3. Calcule la variabilidad de esta distribución.
• 4. ¿Cuál es el nombre formal del valor que ha calculado en (c)?
• 5. Supongamos que los estudiantes deciden volver a tomar muestras, esta vez recogiendo 90 estudiantes por muestra, y de nuevo recogen 1.000 muestras. Construyen una nueva distribución de las proporciones de la muestra. ¿Cómo se comparará la variabilidad de esta nueva distribución con la variabilidad de la distribución cuando cada muestra contenía 40 observaciones?

5.2 Intervalos de confianza para una proporción

La proporción muestral ˆp proporciona un único valor plausible para la proporción poblacional p. Sin embargo, la proporción muestral no es perfecta y tendrá algún error estándar asociado. Al indicar una estimación para la proporción poblacional, es una mejor práctica proporcionar un rango plausible de valores en lugar de proporcionar sólo la estimación puntual.

5.2.1 Capturando el parámetro poblacional

Usar solo una estimación puntual es como pescar en un lago turbio con una lanza. Podemos lanzar una lanza donde vimos un pez, pero probablemente fallaremos. Por otro lado, si lanzamos una red en esa área, tenemos una buena posibilidad de atrapar el pez. Un intervalo de confianza es como pescar con una red, y representa un rango de valores plausibles donde es probable que encontremos el parámetro poblacional.

Si informamos una estimación puntual ˆp, probablemente no acertaremos la proporción poblacional exacta. Por otro lado, si informamos un rango de valores plausibles, representando un intervalo de confianza, tenemos una buena oportunidad de capturar el parámetro.

PRÁCTICA GUIADA 5.6

Si queremos estar muy seguros de capturar la proporción de la población en un intervalo, ¿deberíamos usar un intervalo más amplio o un intervalo más pequeño?6

5.2.2 Construyendo un intervalo de confianza del 95%

Nuestra proporción muestral ˆp es el valor más plausible de la proporción poblacional, por lo que tiene sentido construir un intervalo de confianza alrededor de esta estimación puntual. El error estándar proporciona una guía sobre cuán grande deberíamos hacer el intervalo de confianza.

El error estándar representa la desviación estándar de la estimación puntual, y cuando se cumplen las condiciones del Teorema del Límite Central, la estimación puntual sigue de cerca una distribución normal. En una distribución normal, el 95% de los datos se encuentra dentro de 1.96 desviaciones estándar de la media. Usando este principio, podemos construir un intervalo de confianza que se extienda 1.96 errores estándar desde la proporción muestral para tener un 95% de confianza en que el intervalo captura la proporción poblacional:

\[\text{estimación puntual } \pm \text{ 1.96} \times SE\]

\[ \hat{p} \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]

Pero, ¿qué significa “95% de confianza”? Supongamos que tomamos muchas muestras y construimos un intervalo de confianza del 95% de cada una. Entonces, aproximadamente el 95% de esos intervalos contendrían el parámetro, p. La Figura 5.6 muestra el proceso de creación de 25 intervalos a partir de 25 muestras de la simulación en la Sección 5.1.2, donde 24 de los intervalos de confianza resultantes contienen la proporción poblacional de la simulación de p = 0.88, y un intervalo no lo hace.

⁶ Si queremos estar más seguros de capturar el pez, podríamos usar una red más ancha. Del mismo modo, usamos un intervalo de confianza más amplio si queremos estar más seguros de que capturamos el parámetro.

Figura 5.6: Veinticinco estimaciones puntuales e intervalos de confianza de las simulaciones en la Sección 5.1.2. Estos intervalos se muestran en relación con la proporción poblacional p = 0.88. Solo 1 de estos 25 intervalos no capturó la proporción poblacional, y este intervalo ha sido resaltado en negrita.

EJEMPLO 5.7

En la Figura 5.6, un intervalo no contiene p = 0.88. ¿Implica esto que la proporción de población utilizada en la simulación no podría haber sido p = 0.88?

Así como algunas observaciones ocurren naturalmente a más de 1.96 desviaciones estándar de la media, algunas estimaciones puntuales estarán a más de 1.96 errores estándar del parámetro de interés. Un intervalo de confianza solo proporciona un rango plausible de valores. Si bien podríamos decir que otros valores son implausibles según los datos, esto no significa que sean imposibles.

INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% PARA UN PARÁMETRO

Cuando la distribución de una estimación puntual califica para el Teorema del Límite Central y, por lo tanto, sigue de cerca una distribución normal, podemos construir un intervalo de confianza del 95% como

estimación puntual ± 1.96 × EE

EJEMPLO 5.8

En la Sección 5.1 aprendimos sobre una encuesta de Pew Research donde el 88.7% de una muestra aleatoria de 1000 adultos estadounidenses apoyaba la expansión del papel de la energía solar. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para la proporción de la población.

Anteriormente confirmamos que ˆp sigue una distribución normal y tiene un error estándar de EEp^ˆ = 0.010. Para calcular el intervalo de confianza del 95%, conecte la estimación puntual ˆp = 0.887 y el error estándar en la fórmula del intervalo de confianza del 95%:

pˆ± 1.96 × EEp^ˆ → 0.887 ± 1.96 × 0.010 → (0.8674, 0.9066)

Tenemos un 95% de confianza en que la proporción real de adultos estadounidenses que apoyan la expansión de la energía solar está entre el 86.7% y el 90.7%. (Es común redondear al punto porcentual más cercano o al décimo de punto porcentual más cercano al informar un intervalo de confianza).

5.2.3 Cambiando el nivel de confianza

Supongamos que queremos considerar intervalos de confianza donde el nivel de confianza sea superior al 95%, como un nivel de confianza del 99%. Piensa de nuevo en la analogía de tratar de atrapar un pez: si queremos estar más seguros de que atraparemos el pez, deberíamos usar una red más ancha. Para crear un nivel de confianza del 99%, también debemos ampliar nuestro intervalo del 95%. Por otro lado, si queremos un intervalo con menor confianza, como el 90%, podríamos usar un intervalo ligeramente más estrecho que nuestro intervalo original del 95%.

La estructura del intervalo de confianza del 95% proporciona orientación sobre cómo hacer intervalos con diferentes niveles de confianza. El intervalo de confianza general del 95% para una estimación puntual que sigue una distribución normal es

estimación puntual ± 1.96 × EE

Hay tres componentes en este intervalo: la estimación puntual, “1.96” y el error estándar. La elección de 1.96 × EE se basó en capturar el 95% de los datos, ya que la estimación está dentro de 1.96 errores estándar del parámetro aproximadamente el 95% del tiempo. La elección de 1.96 corresponde a un nivel de confianza del 95%.

PRÁCTICA GUIADA 5.9

Si X es una variable aleatoria distribuida normalmente, ¿cuál es la probabilidad de que el valor X esté dentro de 2.58 desviaciones estándar de la media?7

La Práctica Guiada 5.9 destaca que el 99% de las veces una variable aleatoria normal estará dentro de 2.58 desviaciones estándar de la media. Para crear un intervalo de confianza del 99%, cambie 1.96 en la fórmula del intervalo de confianza del 95% a 2.58. Es decir, la fórmula para un intervalo de confianza del 99% es

estimación puntual ± 2.58 × EE

Figura 5.7: El área entre -z ^⋆ y z ⋆ aumenta a medida que z ^⋆ se hace más grande. Si el nivel de confianza es del 99%, elegimos z ⋆ de manera que el 99% de una distribución normal normal esté entre -z ^⋆ y z ⋆ , lo que corresponde al 0.5% en la cola inferior y al 0.5% en la cola superior: z ^⋆ = 2.58.

⁷Esto es equivalente a preguntar con qué frecuencia el puntaje Z será mayor que -2.58 pero menor que 2.58. Para una imagen, vea la Figura 5.7. Para determinar esta probabilidad, podemos usar software estadístico, una calculadora o una tabla para buscar -2.58 y 2.58 para una distribución normal: 0.0049 y 0.9951. Por lo tanto, hay una probabilidad de 0.9951 − 0.0049 ≈ 0.99 de que una variable aleatoria normal no observada X esté dentro de 2.58 desviaciones estándar de µ.

Este enfoque, que utiliza los puntajes Z en el modelo normal para calcular los niveles de confianza, es apropiado cuando una estimación puntual como ˆp está asociada con una distribución normal. Para algunas otras estimaciones puntuales, un modelo normal no es un buen ajuste; en estos casos, utilizaremos distribuciones alternativas que representen mejor la distribución del muestreo.

INTERVALO DE CONFIANZA UTILIZANDO CUALQUIER NIVEL DE CONFIANZA

Si una estimación puntual sigue de cerca un modelo normal con error estándar EE, entonces un intervalo de confianza para el parámetro de la población es

estimación puntual ± z ^⋆ × EE

donde z ⋆ corresponde al nivel de confianza seleccionado.

La Figura 5.7 proporciona una imagen de cómo identificar z ^⋆ en función de un nivel de confianza. Seleccionamos z ⋆ para que el área entre -z ^⋆ y z ⋆ en la distribución normal estándar, N(0, 1), corresponda al nivel de confianza.

MARGEN DE ERROR

En un intervalo de confianza, z ^⋆ × EE se llama margen de error.

EJEMPLO 5.10

Utilice los datos del Ejemplo 5.8 para crear un intervalo de confianza del 90% para la proporción de adultos estadounidenses que apoyan la expansión del uso de la energía solar. Ya hemos verificado las condiciones de normalidad.

Primero encontramos z ⋆ tal que el 90% de la distribución se encuentre entre -z ^⋆ y z ⋆ en la distribución normal estándar, N(µ = 0, σ = 1). Podemos hacer esto usando una calculadora gráfica, software estadístico o una tabla de probabilidad buscando una cola superior del 5% (el otro 5% está en la cola inferior): z ^⋆ = 1.65. El intervalo de confianza del 90% se puede calcular entonces como

pˆ ± 1.6449 × SEp^ˆ → 0.887 ± 1.65 × 0.0100 → (0.8705, 0.9034)

Es decir, estamos 90% seguros de que entre el 87.1% y el 90.3% de los adultos estadounidenses apoyaron la expansión de la energía solar en 2018.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA SOLA PROPORCIÓN

Una vez que haya determinado que un intervalo de confianza de una proporción sería útil para una aplicación, hay cuatro pasos para construir el intervalo:

Preparar. Identifique ˆp y n, y determine qué nivel de confianza desea utilizar.

Verificar. Verifique las condiciones para asegurar que ˆp sea casi normal. Para intervalos de confianza de una proporción, use ˆp en lugar de p para verificar la condición de éxito-fracaso.

Calcular. Si las condiciones se cumplen, calcule SE usando ˆp, encuentre z ⋆ , y construya el intervalo.

Concluir. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema.

5.2.4 Más estudios de caso

En la ciudad de Nueva York el 23 de octubre de 2014, un médico que había estado tratando recientemente a pacientes con Ébola en Guinea fue al hospital con una ligera fiebre y posteriormente fue diagnosticado con Ébola. Poco después, una encuesta de NBC 4 New York/The Wall Street Journal/Marist Poll encontró que el 82% de los neoyorquinos favorecían una “cuarentena obligatoria de 21 días para cualquier persona que haya estado en contacto con un paciente de Ébola”. Esta encuesta incluyó respuestas de 1,042 adultos de Nueva York entre el 26 y el 28 de octubre de 2014.

EJEMPLO 5.11

¿Cuál es la estimación puntual en este caso, y es razonable usar una distribución normal para modelar esa estimación puntual?

La estimación puntual, basada en una muestra de tamaño n = 1042, es ˆp = 0.82. Para verificar si ˆp puede modelarse razonablemente usando una distribución normal, verificamos la independencia (la encuesta se basa en una muestra aleatoria simple) y la condición de éxito-fracaso (1042 × pˆ ≈ 854 y 1042 × (1 − pˆ) ≈ 188, ambos fácilmente mayores que 10). Con las condiciones cumplidas, estamos seguros de que la distribución muestral de ˆp puede modelarse razonablemente usando una distribución normal.

EJEMPLO 5.12

Estime el error estándar de ˆp = 0.82 de la encuesta sobre el Ébola.

Usaremos la aproximación de sustitución de p ≈ pˆ = 0.82 para calcular el error estándar:

\[SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \approx \sqrt{\frac{0.82(1-0.82)}{1042}} = 0.0124\]

EJEMPLO 5.13

Construya un intervalo de confianza del 95% para p, la proporción de adultos de Nueva York que apoyaron una cuarentena para cualquier persona que haya estado en contacto con un paciente de Ébola.

Usando el error estándar SE = 0.012 del Ejemplo 5.12, la estimación puntual 0.82, y z ^⋆ = 1.96 para un nivel de confianza del 95%, el intervalo de confianza es

estimación puntual ± z ^⋆ × SE → 0.82 ± 1.96 × 0.012 → (0.796, 0.844)

Tenemos un 95% de confianza en que la proporción de adultos de Nueva York en octubre de 2014 que apoyaron una cuarentena para cualquier persona que haya estado en contacto con un paciente de Ébola estuvo entre 0.796 y 0.844.

PRÁCTICA GUIADA 5.14

Responda las siguientes dos preguntas sobre el intervalo de confianza del Ejemplo 5.13: 8

• 1. ¿Qué significa 95% de confianza en este contexto?
• 2. ¿Cree que el intervalo de confianza sigue siendo válido para las opiniones de los neoyorquinos hoy en día?

⁸ (a) Si tomáramos muchas muestras de este tipo y calculáramos un intervalo de confianza del 95% para cada una, entonces aproximadamente el 95% de esos intervalos contendrían la proporción real de adultos de Nueva York que apoyaron una cuarentena para cualquier persona que haya estado en contacto con un paciente de Ébola.

⁽b) No necesariamente. La encuesta se realizó en un momento en que existía una gran preocupación por la seguridad pública. Ahora que la gente ha tenido tiempo para reflexionar, es posible que hayan cambiado de opinión. Necesitaríamos realizar una nueva encuesta si quisiéramos obtener una estimación de la proporción actual de adultos de Nueva York que apoyarían dicho período de cuarentena.

En la encuesta de Pew Research sobre energía solar, también preguntaron sobre otras formas de energía, y el 84.8% de los 1000 encuestados apoyaron la expansión del uso de turbinas eólicas.9

• 1. ¿Es razonable modelar la proporción de adultos estadounidenses que apoyan la expansión de las turbinas eólicas utilizando una distribución normal?
  • 2. Cree un intervalo de confianza del 99% para el nivel de apoyo estadounidense a la expansión del uso de turbinas eólicas para la generación de energía.

También podemos construir intervalos de confianza para otros parámetros, como la media de una población. En estos casos, un intervalo de confianza se calcularía de manera similar al de una sola proporción: una estimación puntual más/menos un cierto margen de error. Profundizaremos en estos detalles en capítulos posteriores.

5.2.5 Interpretación de los intervalos de confianza

En cada uno de los ejemplos, describimos los intervalos de confianza poniéndolos en el contexto de los datos y también utilizando un lenguaje algo formal:

• Solar. Tenemos un 90% de confianza en que entre el 87.1% y el 90.4% de los adultos estadounidenses apoyan la expansión de la energía solar en 2018.
• Ébola. Tenemos un 95% de confianza en que la proporción de adultos de Nueva York en octubre de 2014 que apoyaban una cuarentena para cualquier persona que hubiera estado en contacto con un paciente con Ébola estaba entre 0.796 y 0.844.
• Turbina eólica. Tenemos un 99% de confianza en que la proporción de adultos estadounidenses que apoyan la expansión del uso de turbinas eólicas está entre el 81.9% y el 87.7% en 2018.

Primero, observe que las afirmaciones siempre se refieren al parámetro poblacional, que considera a todos los adultos estadounidenses para las encuestas sobre energía o a todos los adultos de Nueva York para la encuesta sobre cuarentena.

También evitamos otro error común: un lenguaje incorrecto podría intentar describir el intervalo de confianza como la captura del parámetro poblacional con una cierta probabilidad. Hacer una interpretación de probabilidad es un error común: si bien puede ser útil pensar en ello como una probabilidad, el nivel de confianza solo cuantifica cuán plausible es que el parámetro esté en el intervalo dado.

Otra consideración importante de los intervalos de confianza es que solo se refieren al parámetro poblacional. Un intervalo de confianza no dice nada sobre observaciones individuales o estimaciones puntuales. Los intervalos de confianza solo proporcionan un rango plausible para los parámetros poblacionales.

Por último, tenga en cuenta que los métodos que discutimos solo se aplican al error de muestreo, no al sesgo. Si un conjunto de datos se recopila de una manera que tenderá a subestimar (o sobreestimar) sistemáticamente el parámetro poblacional, las técnicas que hemos discutido no abordarán ese problema. En cambio, confiamos en procedimientos cuidadosos de recopilación de datos para ayudar a protegernos contra el sesgo en los ejemplos que hemos considerado, lo cual es una práctica común empleada por los científicos de datos para combatir el sesgo.

PRÁCTICA GUIADA 5.16

Considera el intervalo de confianza del 90% para la encuesta de energía solar: 87.1% a 90.4%. Si volviéramos a realizar la encuesta, ¿podemos decir que estamos 90% seguros de que la proporción de la nueva encuesta estará entre 87.1% y 90.4%?10

estimación puntual ± z ^⋆ × EE

En este caso, la estimación puntual es ˆp = 0.848. Para un intervalo de confianza del 99%, z ^⋆ = 2.58. Calculando el error estándar: EEp^ˆ = q0.848(1−0.848) ¹⁰⁰⁰ = 0.0114. Finalmente, calculamos el intervalo como 0.848 ± 2.58 × 0.0114 → (0.8186, 0.8774). También es importante proporcionar siempre una interpretación para el intervalo: estamos 99% seguros de que la proporción de adultos estadounidenses que apoyan la expansión del uso de turbinas eólicas en 2018 está entre el 81.9% y el 87.7%.

¹⁰No, un intervalo de confianza solo proporciona un rango de valores plausibles para un parámetro, no futuras estimaciones puntuales.

⁹ (a) La encuesta fue una muestra aleatoria y ambos recuentos son ≥ 10 (1000 × 0.848 = 848 y 1000 × 0.152 = 152), por lo que se satisfacen la independencia y la condición de éxito-fracaso, y ˆp = 0.848 puede modelarse usando una distribución normal. (b) La práctica guiada 5.15 confirmó que ˆp sigue de cerca una distribución normal, por lo que podemos usar la fórmula C.I.:

Ejercicios

5.7 Enfermedad crónica, Parte I. En 2013, la Pew Research Foundation informó que “el 45% de los adultos estadounidenses informan que viven con una o más afecciones crónicas”.11 Sin embargo, este valor se basó en una muestra, por lo que puede no ser una estimación perfecta para el parámetro poblacional de interés por sí solo. El estudio informó un error estándar de aproximadamente 1.2%, y un modelo normal puede usarse razonablemente en este entorno. Cree un intervalo de confianza del 95% para la proporción de adultos estadounidenses que viven con una o más afecciones crónicas. También interprete el intervalo de confianza en el contexto del estudio.

5.8 Usuarios de Twitter y noticias, Parte I. Una encuesta realizada en 2013 encontró que el 52% de los usuarios adultos estadounidenses de Twitter reciben al menos algunas noticias en Twitter.12. El error estándar para esta estimación fue del 2.4%, y se puede usar una distribución normal para modelar la proporción de la muestra. Construya un intervalo de confianza del 99% para la fracción de usuarios adultos estadounidenses de Twitter que reciben algunas noticias en Twitter, e interprete el intervalo de confianza en contexto.

5.9 Enfermedad crónica, Parte II. En 2013, la Pew Research Foundation informó que “el 45% de los adultos estadounidenses informan que viven con una o más afecciones crónicas”, y el error estándar para esta estimación es del 1.2%. Identifique cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Proporcione una explicación para justificar cada una de sus respuestas.

• 1. Podemos decir con certeza que el intervalo de confianza del Ejercicio 5.7 contiene el porcentaje verdadero de adultos estadounidenses que padecen una enfermedad crónica.
• 2. Si repitiéramos este estudio 1,000 veces y construyéramos un intervalo de confianza del 95% para cada estudio, entonces aproximadamente 950 de esos intervalos de confianza contendrían la fracción verdadera de adultos estadounidenses que padecen enfermedades crónicas.
• 3. La encuesta proporciona evidencia estadísticamente significativa (en el nivel α = 0.05) de que el porcentaje de adultos estadounidenses que padecen enfermedades crónicas es inferior al 50%.
• 4. Dado que el error estándar es del 1.2%, solo el 1.2% de las personas en el estudio comunicaron incertidumbre sobre su respuesta.

5.10 Usuarios de Twitter y noticias, Parte II. Una encuesta realizada en 2013 encontró que el 52% de los usuarios adultos estadounidenses de Twitter reciben al menos algunas noticias en Twitter, y el error estándar para esta estimación fue del 2.4%. Identifique cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa. Proporcione una explicación para justificar cada una de sus respuestas.

• 1. Los datos proporcionan evidencia estadísticamente significativa de que más de la mitad de los usuarios adultos estadounidenses de Twitter obtienen algunas noticias a través de Twitter. Utilice un nivel de significancia de α = 0.01. (Esta parte utiliza conceptos de la Sección 5.3 y se corregirá en una edición futura).
• 2. Dado que el error estándar es del 2.4%, podemos concluir que el 97.6% de todos los usuarios adultos estadounidenses de Twitter fueron incluidos en el estudio.
• 3. Si queremos reducir el error estándar de la estimación, deberíamos recopilar menos datos.
• 4. Si construimos un intervalo de confianza del 90% para el porcentaje de usuarios adultos estadounidenses de Twitter que reciben algunas noticias a través de Twitter, este intervalo de confianza será más amplio que un intervalo de confianza correspondiente del 99%.

¹¹Pew Research Center, Washington, D.C. La Diferencia del Diagnóstico, 26 de noviembre de 2013.

¹²Pew Research Center, Washington, D.C. Consumidores de Noticias de Twitter: Jóvenes, Móviles y Educados, 4 de noviembre de 2013.

5.11 Esperando en una sala de emergencias, Parte I. Un administrador de un hospital que espera mejorar los tiempos de espera decide estimar el tiempo promedio de espera en la sala de emergencias de su hospital. Recopila una muestra aleatoria simple de 64 pacientes y determina el tiempo (en minutos) entre el momento en que se registraron en la sala de emergencias hasta que fueron atendidos por primera vez por un médico. Un intervalo de confianza del 95% basado en esta muestra es (128 minutos, 147 minutos), que se basa en el modelo normal para la media. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explique su razonamiento.

• 1. Tenemos un 95% de confianza en que el tiempo de espera promedio de estos 64 pacientes de la sala de emergencias está entre 128 y 147 minutos.
• 2. Tenemos un 95% de confianza en que el tiempo de espera promedio de todos los pacientes en la sala de emergencias de este hospital está entre 128 y 147 minutos.
• 3. El 95% de las muestras aleatorias tienen una media muestral entre 128 y 147 minutos.
• 4. Un intervalo de confianza del 99% sería más estrecho que el intervalo de confianza del 95%, ya que necesitamos estar más seguros de nuestra estimación.
• 5. El margen de error es 9.5 y la media muestral es 137.5.
• 6. Para disminuir el margen de error de un intervalo de confianza del 95% a la mitad de lo que es ahora, necesitaríamos duplicar el tamaño de la muestra. (Pista: el margen de error para una media se escala de la misma manera con el tamaño de la muestra que el margen de error para una proporción).

5.12 Salud mental. La Encuesta Social General preguntó: “¿Durante cuántos días en los últimos 30 días su salud mental, que incluye estrés, depresión y problemas con las emociones, no fue buena?”. Basado en las respuestas de 1,151 residentes de EE. UU., la encuesta informó un intervalo de confianza del 95% de 3.40 a 4.24 días en 2010.

• 1. Interprete este intervalo en el contexto de los datos.
• 2. ¿Qué significa “95% de confianza”? Explique en el contexto de la aplicación.
• 3. Suponga que los investigadores creen que un nivel de confianza del 99% sería más apropiado para este intervalo. ¿Este nuevo intervalo será más pequeño o más amplio que el intervalo de confianza del 95%?
• 4. Si se realizara una nueva encuesta con 500 estadounidenses, ¿cree que el error estándar de la estimación sería mayor, menor o aproximadamente el mismo?

5.13 Registro de sitio web. Un sitio web está tratando de aumentar el registro de visitantes primerizos, exponiendo al 1% de estos visitantes a un nuevo diseño del sitio. De 752 visitantes muestreados aleatoriamente durante un mes que vieron el nuevo diseño, 64 se registraron.

• 1. Verifique cualquier condición requerida para construir un intervalo de confianza.
• 2. Calcule el error estándar.
• 3. Construya e interprete un intervalo de confianza del 90% para la fracción de visitantes primerizos del sitio que se registrarían con el nuevo diseño (asumiendo comportamientos estables por parte de los nuevos visitantes a lo largo del tiempo).

5.14 Cupones que impulsan las visitas. Una tienda muestrea aleatoriamente a 603 compradores en el transcurso de un año y descubre que 142 de ellos hicieron su visita debido a un cupón que habían recibido por correo. Construya un intervalo de confianza del 95% para la fracción de todos los compradores durante el año cuya visita se debió a un cupón que habían recibido por correo.

5.3 Prueba de hipótesis para una proporción

La siguiente pregunta proviene de un libro escrito por Hans Rosling, Anna Rosling R¨onnlund y Ola Rosling llamado Factfulness:

¿Cuántos de los niños de 1 año del mundo de hoy han sido vacunados contra alguna enfermedad?:

1. 20%

2. 50%

3. 80%

Escriba su respuesta (o adivine), y cuando esté listo, encuentre la respuesta en la nota al pie.13

En esta sección, exploraremos cómo las personas con un título universitario de 4 años se desempeñan en esta y otras preguntas sobre la salud mundial a medida que aprendemos sobre las pruebas de hipótesis, que son un marco utilizado para evaluar rigurosamente ideas y afirmaciones en competencia.

5.3.1 Marco de prueba de hipótesis

Estamos interesados en comprender cuánto saben las personas sobre salud y desarrollo mundial. Si tomamos una pregunta de opción múltiple sobre salud mundial, entonces podríamos querer entender si

• H0: Las personas nunca aprenden estos temas particulares y sus respuestas son simplemente equivalentes a conjeturas aleatorias.
• HA: Las personas tienen conocimiento que les ayuda a obtener mejores resultados que las conjeturas aleatorias, o quizás, tienen conocimientos falsos que los llevan a obtener resultados peores que las conjeturas aleatorias.

Estas ideas contrapuestas se denominan hipótesis. Llamamos H⁰ a la hipótesis nula y H^A a la hipótesis alternativa. Cuando hay un subíndice 0 como en H0, los científicos de datos lo pronuncian como “cero” (ej. H⁰ se pronuncia “H-cero”).

HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA

La hipótesis nula (H0) a menudo representa una perspectiva escéptica o una afirmación que debe probarse. La hipótesis alternativa (HA) representa una afirmación alternativa bajo consideración y a menudo está representada por un rango de posibles valores de parámetros.

Nuestro trabajo como científicos de datos es desempeñar el papel de un escéptico: antes de aceptar la hipótesis alternativa, necesitamos ver evidencia de apoyo sólida.

La hipótesis nula a menudo representa una posición escéptica o una perspectiva de “sin diferencia”. En nuestro primer ejemplo, consideraremos si la persona típica hace algo diferente a una conjetura aleatoria en la pregunta de Rosling sobre las vacunas infantiles.

La hipótesis alternativa generalmente representa una perspectiva nueva o más sólida. En el caso de la pregunta sobre las vacunas infantiles, ciertamente sería interesante saber si a la gente le va mejor que con las conjeturas aleatorias, ya que eso significaría que la persona típica sabe algo sobre las estadísticas de salud mundial. También sería muy interesante si supiéramos que a la gente le va peor que con las conjeturas aleatorias, lo que sugeriría que la gente cree información incorrecta sobre la salud mundial.

El marco de prueba de hipótesis es una herramienta muy general, y a menudo la usamos sin pensarlo dos veces. Si una persona hace una afirmación algo increíble, inicialmente somos escépticos. Sin embargo, si hay evidencia suficiente que respalde la afirmación, dejamos de lado nuestro escepticismo y rechazamos la hipótesis nula en favor de la alternativa. Las características distintivas de la prueba de hipótesis también se encuentran en el sistema judicial de los EE. UU.

¹³La respuesta correcta es (c): El 80% de los niños de 1 año del mundo han sido vacunados contra alguna enfermedad.

Un tribunal de EE. UU. considera dos posibles afirmaciones sobre un acusado: ella es inocente o culpable. Si configuramos estas afirmaciones en un marco de hipótesis, ¿cuál sería la hipótesis nula y cuál la alternativa?14

Los miembros del jurado examinan la evidencia para ver si muestra de manera convincente que un acusado es culpable. Incluso si los miembros del jurado no se convencen de la culpabilidad más allá de toda duda razonable, esto no significa que crean que el acusado es inocente. Este también es el caso con la prueba de hipótesis: incluso si no logramos rechazar la hipótesis nula, normalmente no aceptamos la hipótesis nula como verdadera. No encontrar evidencia sólida para la hipótesis alternativa no es equivalente a aceptar la hipótesis nula.

Al considerar la pregunta de Rosling sobre la vacunación infantil, la hipótesis nula representa la noción de que las personas que vamos a considerar, adultos con educación universitaria, son tan precisas como las conjeturas aleatorias. Es decir, la proporción p de encuestados que eligen la respuesta correcta, que el 80% de los niños de 1 año han sido vacunados contra alguna enfermedad, es de aproximadamente el 33,3% (o 1 de cada 3 si se quiere ser perfectamente preciso). La hipótesis alternativa es que esta proporción es diferente de 33.3%. Si bien es útil escribir estas hipótesis en palabras, puede ser útil escribirlas utilizando notación matemática:

H0: p = 0.333

HA: p ̸= 0.333

En esta configuración de hipótesis, queremos llegar a una conclusión sobre el parámetro de población p. El valor con el que estamos comparando el parámetro se llama valor nulo, que en este caso es 0.333. Es común etiquetar el valor nulo con el mismo símbolo que el parámetro pero con un subíndice ‘0’. Es decir, en este caso, el valor nulo es p⁰ = 0.333 (pronunciado “p-cero es igual a 0.333”).

EJEMPLO 5.18

Puede parecer imposible que la proporción de personas que obtienen la respuesta correcta sea exactamente del 33.3%. Si no creemos en la hipótesis nula, ¿deberíamos simplemente rechazarla?

No. Si bien es posible que no aceptemos la noción de que la proporción es exactamente del 33.3%, el marco de prueba de hipótesis requiere que haya evidencia sólida antes de que rechacemos la hipótesis nula y concluyamos algo más interesante.

Después de todo, incluso si no creemos que la proporción sea exactamente del 33.3%, ¡eso realmente no nos dice nada útil! Todavía estaríamos atrapados con la pregunta original: ¿a la gente le va mejor o peor que con las conjeturas aleatorias en la pregunta de Rosling? Sin datos que apunten fuertemente en una dirección u otra, es tanto poco interesante como inútil rechazar H0.

PRÁCTICA GUIADA 5.19

Otro ejemplo de una situación de prueba de hipótesis del mundo real es evaluar si un nuevo fármaco es mejor o peor que un fármaco existente para tratar una enfermedad en particular. ¿Qué deberíamos usar para las hipótesis nula y alternativa en este caso?15

¹⁴El jurado considera si la evidencia es tan convincente (fuerte) que no hay duda razonable sobre la culpabilidad de la persona; en tal caso, el jurado rechaza la inocencia (la hipótesis nula) y concluye que el acusado es culpable (hipótesis alternativa).

¹⁵La hipótesis nula (H0) en este caso es la declaración de que no hay diferencia: los fármacos son igualmente eficaces. La hipótesis alternativa (HA) es que el nuevo fármaco funciona de manera diferente al original, es decir, podría funcionar mejor o peor.

5.3.2 Pruebas de hipótesis utilizando intervalos de confianza

Utilizaremos el conjunto de datos de respuestas de rosling para evaluar la prueba de hipótesis que evalúa si los adultos con educación universitaria que responden correctamente a la pregunta sobre la vacunación infantil son diferentes del 33.3%. Este conjunto de datos resume las respuestas de 50 adultos con educación universitaria. De estos 50 adultos, el 24% de los encuestados respondió correctamente a la pregunta de que el 80% de los niños de 1 año han sido vacunados contra alguna enfermedad.

Hasta ahora, nuestra discusión ha sido filosófica. Sin embargo, ahora que tenemos datos, podríamos preguntarnos: ¿proporcionan los datos evidencia sólida de que la proporción de todos los adultos con educación universitaria que responderían correctamente a esta pregunta es diferente al 33.3%?

Aprendimos en la Sección 5.1 que hay fluctuaciones de una muestra a otra, y es poco probable que la proporción de nuestra muestra, ˆp, sea exactamente igual a p, pero queremos llegar a una conclusión sobre p. Tenemos una preocupación persistente: ¿esta desviación del 24% del 33.3% se debe simplemente al azar, o los datos proporcionan evidencia sólida de que la proporción de la población es diferente del 33.3%?

En la Sección 5.2, aprendimos cómo cuantificar la incertidumbre en nuestra estimación utilizando intervalos de confianza. El mismo método para medir la variabilidad puede ser útil para la prueba de hipótesis.

EJEMPLO 5.20

Verifica si es razonable construir un intervalo de confianza para p usando los datos de la muestra, y si es así, construye un intervalo de confianza del 95%.

Se cumplen las condiciones para que ˆp sea aproximadamente normal: los datos provienen de una muestra aleatoria simple (satisface la independencia), y npˆ = 12 y n(1 − pˆ) = 38 son ambos al menos 10 (condición de éxito-fracaso).

Para construir el intervalo de confianza, necesitaremos identificar la estimación puntual (ˆp = 0.24), el valor crítico para el nivel de confianza del 95% (z ^⋆ = 1.96), y el error estándar de ˆp (SEp^ˆ = p pˆ(1 − pˆ)/n = 0.060). Con estas piezas, el intervalo de confianza para p puede ser construido:

\[\begin{aligned} \hat{p} & \pm z^\star \times SE\_{\hat{p}}\\ 0.24 & \pm 1.96 \times 0.060\\ (0.122, 0.358) \end{aligned}\]

Tenemos un 95% de confianza en que la proporción de todos los adultos con estudios universitarios que responden correctamente a esta pregunta particular sobre la vacunación infantil está entre el 12.2% y el 35.8%.

Debido a que el valor nulo en la prueba de hipótesis es p⁰ = 0.333, el cual cae dentro del rango de valores plausibles del intervalo de confianza, no podemos decir que el valor nulo sea implausible.16 Es decir, los datos no proveen suficiente evidencia para rechazar la noción de que el desempeño de los adultos con estudios universitarios fue diferente al azar, y no rechazamos la hipótesis nula, H0.

EJEMPLO 5.21

Explica por qué no podemos concluir que los adultos con estudios universitarios simplemente adivinaron la respuesta a la pregunta sobre la vacunación infantil.

Mientras que no rechazamos H0, eso no necesariamente significa que la hipótesis nula sea verdadera. Tal vez hubo una diferencia real, pero no fuimos capaces de detectarla con la relativamente pequeña muestra de 50.

LAS NEGATIVAS DOBLES PUEDEN A VECES SER USADAS EN ESTADÍSTICA

En muchas explicaciones estadísticas, usamos negativas dobles. Por ejemplo, podríamos decir que la hipótesis nula no es implausible o que no rechazamos la hipótesis nula. Las negativas dobles son usadas para comunicar que mientras no estamos rechazando una posición, tampoco estamos diciendo que es correcta.

¹⁶Podría decirse que este método es ligeramente impreciso. Como veremos en unas pocas páginas, el error estándar es a menudo calculado ligeramente diferente en el contexto de una prueba de hipótesis para una proporción.

Pasemos a una segunda pregunta planteada por los Roslings:

Hay 2 mil millones de niños en el mundo hoy en día de edades entre 0-15 años, ¿cuántos niños habrá en el año 2100 según las Naciones Unidas?

1. 4 mil millones.

• 2. 3 mil millones.
• 3. 2 mil millones.

Establece las hipótesis apropiadas para evaluar si los adultos con estudios universitarios son mejores que la adivinación aleatoria en esta pregunta. Además, ¡mira si puedes adivinar la respuesta correcta antes de verificar la respuesta en la nota al pie

PRÁCTICA GUIADA 5.23

Esta vez tomamos una muestra más grande de 228 adultos con estudios universitarios, 34 (14.9%) seleccionaron la respuesta correcta a la pregunta en la Práctica Guiada 5.22: 2 mil millones. ¿Podemos modelar la proporción de la muestra usando una distribución normal y construir un intervalo de confianza?18

EJEMPLO 5.24

Calcula un intervalo de confianza del 95% para la fracción de adultos con estudios universitarios que respondieron correctamente a la pregunta de los niños en 2100, y evalúa las hipótesis en la Práctica Guiada 5.22.

Para calcular el error estándar, usaremos de nuevo ˆp en lugar de p para el cálculo:

\[SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.149(1-0.149)}{228}} = 0.0245\]

En la Práctica Guiada 5.23, encontramos que ˆp puede ser modelado usando una distribución normal, lo cual asegura que un intervalo de confianza del 95% puede ser construido precisamente como

pˆ ± z ^⋆ × SE → 0.149 ± 1.96 × 0.024 → (0.103, 0.195)

Debido a que el valor nulo, p⁰ = 0.333, no está en el intervalo de confianza, una proporción poblacional de 0.333 es implausible y rechazamos la hipótesis nula. Es decir, los datos proveen evidencia estadísticamente significativa de que la proporción real de adultos con estudios universitarios que responden correctamente a la pregunta de los niños en 2100 es diferente a la adivinación aleatoria. Debido a que el intervalo de confianza del 95% completo está por debajo de 0.333, podemos concluir que a los adultos con estudios universitarios les va peor que la adivinación aleatoria en esta pregunta.

Una consideración sutil es que usamos un intervalo de confianza del 95%. ¿Qué pasaría si hubiéramos usado un nivel de confianza del 99%? ¿O incluso un nivel de confianza del 99.9%? Es posible llegar a una conclusión diferente si se usa un nivel de confianza diferente. Por lo tanto, cuando hacemos una conclusión basada en un intervalo de confianza, también debemos asegurarnos de que quede claro qué nivel de confianza usamos.

El rendimiento peor que el aleatorio en esta última pregunta no es una casualidad: hay muchas preguntas sobre salud mundial en las que a la gente le va peor que adivinando al azar. En general, las respuestas sugieren que la gente tiende a ser más pesimista sobre el progreso de lo que sugiere la realidad. Este tema se discute con mucho mayor detalle en el libro de los Roslings, Factfulness.

¹⁷Las hipótesis apropiadas son:

H0: la proporción que obtiene la respuesta correcta es la misma que la adivinación aleatoria: 1 de cada 3, o p = 0.333.

HA: la proporción que obtiene la respuesta correcta es diferente de la adivinación aleatoria, p ̸= 0.333.

La respuesta correcta a la pregunta es 2 mil millones. Si bien se proyecta que la población mundial aumentará, también se espera que aumente la edad promedio. Es decir, la mayor parte del crecimiento de la población ocurrirá en los grupos de mayor edad, lo que significa que se proyecta que las personas vivirán más tiempo en el futuro en gran parte del mundo.

¹⁸Verificamos ambas condiciones, las cuales se satisfacen, por lo que es razonable usar una distribución normal para ˆp:

Independencia. Dado que los datos provienen de una muestra aleatoria simple, las observaciones son independientes.

Éxito-fracaso. Usaremos ˆp en lugar de p para verificar: npˆ = 34 y n(1 − pˆ) = 194. Ambos son mayores que 10, por lo que se cumple la condición de éxito-fracaso.

5.3.3 Errores de decisión

Las pruebas de hipótesis no son perfectas: podemos tomar una decisión incorrecta en una prueba de hipótesis estadística basada en los datos. Por ejemplo, en el sistema judicial, a veces personas inocentes son condenadas injustamente y los culpables a veces quedan en libertad. Una distinción clave con las pruebas de hipótesis estadísticas es que tenemos las herramientas necesarias para cuantificar probabilísticamente con qué frecuencia cometemos errores en nuestras conclusiones.

Recuerda que hay dos hipótesis en competencia: la nula y la alternativa. En una prueba de hipótesis, hacemos una declaración sobre cuál podría ser verdadera, pero podríamos elegir incorrectamente. Hay cuatro escenarios posibles, que se resumen en la Figura 5.8.

		Conclusión de la prueba
		no rechazar H0	rechazar H0 en favor de HA
	H0 verdadera	bien	Error de tipo 1
Verdad	HA verdadera	Error de tipo 2	bien

Figura 5.8: Cuatro escenarios diferentes para las pruebas de hipótesis.

Un Error de Tipo 1 es rechazar la hipótesis nula cuando H⁰ es realmente verdadera. Un Error de Tipo 2 es no rechazar la hipótesis nula cuando la alternativa es realmente verdadera.

PRÁCTICA GUIADA 5.25

En un tribunal de EE. UU., el acusado es inocente (H0) o culpable (HA). ¿Qué representa un error de tipo 1 en este contexto? ¿Qué representa un error de tipo 2? La Figura 5.8 puede ser útil.19

EJEMPLO 5.26

¿Cómo podríamos reducir la tasa de errores de tipo 1 en los tribunales de EE. UU.? ¿Qué influencia tendría esto en la tasa de errores de tipo 2?

Para reducir la tasa de errores de tipo 1, podríamos elevar nuestro estándar para la condena de “más allá de una duda razonable” a “más allá de una duda concebible”, de modo que menos personas sean condenadas injustamente. Sin embargo, esto también haría más difícil condenar a las personas que son realmente culpables, por lo que cometeríamos más errores de tipo 2.

PRÁCTICA GUIADA 5.27

¿Cómo podríamos reducir la tasa de errores de tipo 2 en los tribunales de EE. UU.? ¿Qué influencia tendría esto en la tasa de errores de tipo 1?20

Los ejercicios 5.25-5.27 proporcionan una lección importante: si reducimos la frecuencia con la que cometemos un tipo de error, generalmente cometemos más del otro tipo.

Las pruebas de hipótesis se basan en rechazar o no rechazar la hipótesis nula. Es decir, no rechazamos H⁰ a menos que tengamos pruebas sólidas. Pero, ¿qué significa precisamente evidencia sólida? Como regla general, para aquellos casos en los que la hipótesis nula es realmente verdadera, no queremos rechazar incorrectamente H⁰ más del 5% de las veces. Esto corresponde a un nivel de significancia de 0.05. Es decir, si la hipótesis nula es verdadera, el nivel de significancia indica con qué frecuencia los datos nos llevan a rechazar incorrectamente H0. A menudo escribimos el nivel de significancia usando α (la letra griega alfa): α = 0.05. Discutimos la conveniencia de diferentes niveles de significancia en la Sección 5.3.5.

¹⁹Si el tribunal comete un error de tipo 1, esto significa que el acusado es inocente (H⁰ verdadera) pero es condenado injustamente. Ten en cuenta que un error de tipo 1 solo es posible si hemos rechazado la hipótesis nula.

Un error de tipo 2 significa que el tribunal no rechazó H⁰ (es decir, no condenó a la persona) cuando de hecho era culpable (H^A verdadera). Ten en cuenta que un error de tipo 2 solo es posible si no hemos rechazado la hipótesis nula.

²⁰Para reducir la tasa de errores de tipo 2, queremos condenar a más personas culpables. Podríamos reducir los estándares para la condena de “más allá de una duda razonable” a “más allá de una pequeña duda”. Reducir la vara para la culpabilidad también resultará en más condenas injustas, lo que elevará la tasa de errores de tipo 1.

Si usamos un intervalo de confianza del 95% para evaluar una prueba de hipótesis y la hipótesis nula resulta ser verdadera, cometeremos un error siempre que la estimación puntual esté al menos a 1.96 errores estándar del parámetro de la población. Esto sucede aproximadamente el 5% de las veces (2.5% en cada cola). De manera similar, usar un intervalo de confianza del 99% para evaluar una hipótesis es equivalente a un nivel de significancia de α = 0.01.

Un intervalo de confianza es muy útil para determinar si se debe o no rechazar la hipótesis nula. Sin embargo, el enfoque del intervalo de confianza no siempre es sostenible. En varias secciones, encontraremos situaciones en las que no se puede construir un intervalo de confianza. Por ejemplo, si quisiéramos evaluar la hipótesis de que varias proporciones son iguales, no está claro cómo construir y comparar muchos intervalos de confianza en conjunto.

A continuación, introduciremos una estadística llamada valor p para ayudarnos a expandir nuestro conjunto de herramientas estadísticas, lo que nos permitirá comprender mejor la solidez de la evidencia y trabajar en escenarios de datos más complejos en secciones posteriores.

5.3.4 Pruebas formales usando valores p

El valor p es una forma de cuantificar la fuerza de la evidencia en contra de la hipótesis nula y a favor de la hipótesis alternativa. Las pruebas de hipótesis estadísticas típicamente usan el método del valor p en lugar de tomar una decisión basada en intervalos de confianza.

VALOR P (P-VALUE)

El valor p es la probabilidad de observar datos al menos tan favorables a la hipótesis alternativa como nuestro conjunto de datos actual, si la hipótesis nula fuera verdadera. Normalmente usamos una estadística resumida de los datos, en esta sección la proporción muestral, para ayudar a calcular el valor p y evaluar las hipótesis.

EJEMPLO 5.28

Pew Research preguntó a una muestra aleatoria de 1000 adultos estadounidenses si apoyaban el mayor uso de carbón para producir energía. Plantea hipótesis para evaluar si una mayoría de los adultos estadounidenses apoya o se opone al mayor uso de carbón.

El resultado no interesante es que no hay una mayoría en ningún sentido: la mitad de los estadounidenses apoya y la otra mitad se opone a la expansión del uso del carbón para producir energía. La hipótesis alternativa sería que hay una mayoría que apoya o se opone (¡aunque no sabemos cuál!) a la expansión del uso del carbón. Si p representa la proporción que apoya, entonces podemos escribir las hipótesis como

H0: p = 0.5

HA: p ̸= 0.5

En este caso, el valor nulo es p⁰ = 0.5.

Al evaluar hipótesis para proporciones utilizando el método del valor p, modificaremos ligeramente la forma en que verificamos la condición de éxito-fracaso y calculamos el error estándar para el caso de una sola proporción. Estos cambios no son dramáticos, pero presta mucha atención a cómo usamos el valor nulo, p0.

5.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN 195

EJEMPLO 5.29

La muestra de Pew Research muestra que el 37% de los adultos estadounidenses apoya un mayor uso del carbón. Ahora nos preguntamos, ¿representa ese 37% una diferencia real con respecto a la hipótesis nula del 50%? ¿Cómo se vería la distribución muestral de ˆp si la hipótesis nula fuera verdadera?

Si la hipótesis nula fuera verdadera, la proporción de la población sería el valor nulo, 0.5. Anteriormente aprendimos que la distribución muestral de ˆp será normal cuando se cumplan dos condiciones:

Independencia. La encuesta se basó en una muestra aleatoria simple, por lo que se satisface la independencia.

Éxito-fracaso. Basado en el tamaño de la muestra de la encuesta de n = 1000, se cumple la condición de éxito-fracaso, ya que

\[np \stackrel{H\_0}{=} 1000 \times 0.5 = 500 \qquad \qquad n(1-p) \stackrel{H\_0}{=} 1000 \times (1-0.5) = 500\]

son ambos al menos 10. Observe que la condición de éxito-fracaso se verificó utilizando el valor nulo, p⁰ = 0.5; esta es la primera diferencia de procedimiento con respecto a los intervalos de confianza.

Si la hipótesis nula fuera verdadera, la distribución muestral indica que una proporción muestral basada en n = 1000 observaciones se distribuiría normalmente. A continuación, podemos calcular el error estándar, donde nuevamente usaremos el valor nulo p⁰ = 0.5 en el cálculo:

\[SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \quad \overset{H\_0}{=} \quad \sqrt{\frac{0.5 \times (1-0.5)}{1000}} = 0.016\]

Esto marca la otra diferencia de procedimiento con respecto a los intervalos de confianza: dado que la distribución muestral se determina bajo la proporción nula, el valor nulo p⁰ se utilizó para la proporción en el cálculo en lugar de ˆp.

En última instancia, si la hipótesis nula fuera verdadera, entonces la proporción de la muestra debería seguir una distribución normal con una media de 0.5 y un error estándar de 0.016. Esta distribución se muestra en la Figura 5.9.

Figura 5.9: Si la hipótesis nula fuera verdadera, esta distribución normal describe la distribución de ˆp.

COMPROBACIÓN DE ÉXITO-FRACASO Y CÁLCULO DE SEˆp PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS

Cuando usamos el método del valor p para evaluar una prueba de hipótesis, verificamos las condiciones para ˆp y construimos el error estándar usando el valor nulo, p0, en lugar de usar la proporción muestral.

En una prueba de hipótesis con un valor p, estamos suponiendo que la hipótesis nula es verdadera, lo cual es una mentalidad diferente a cuando calculamos un intervalo de confianza. Esta es la razón por la que usamos p⁰ en lugar de ˆp cuando verificamos las condiciones y calculamos el error estándar en este contexto.

Cuando identificamos la distribución muestral bajo la hipótesis nula, esta tiene un nombre especial: la distribución nula. El valor p representa la probabilidad del ˆp observado, o un ˆp que es más extremo, si la hipótesis nula fuera verdadera. Para encontrar el valor p, generalmente encontramos la distribución nula y luego encontramos un área de cola en esa distribución correspondiente a nuestra estimación puntual.

EJEMPLO 5.30

Si la hipótesis nula fuera verdadera, determine la probabilidad de encontrar ˆp al menos tan lejos en las colas como 0.37 bajo la distribución nula, que es una distribución normal con media µ = 0.5 y SE = 0.016.

Este es un problema de probabilidad normal donde x = 0.37. Primero, dibujamos un gráfico simple para representar la situación, similar a lo que se muestra en la Figura 5.9. Dado que ˆp está tan lejos en la cola, sabemos que el área de la cola será muy pequeña. Para encontrarla, comenzamos calculando la puntuación Z usando la media de 0.5 y el error estándar de 0.016:

\[Z = \frac{0.37 - 0.5}{0.016} = -8.125\]

Podemos usar software para encontrar el área de la cola: 2.2 × 10−¹⁶ (0.00000000000000022). Si usamos la tabla de probabilidad normal en el Apéndice C.1, encontraríamos que Z = −8.125 está fuera de la tabla, por lo que usaríamos el área más pequeña listada: 0.0002.

Los posibles ˆp en la cola superior más allá de 0.63, que se muestran en la Figura 5.10, también representan observaciones al menos tan extremas como el valor observado de 0.37. Para tener en cuenta estos valores que también son más extremos bajo la configuración de la hipótesis, duplicamos la cola inferior para obtener una estimación del valor p: 4.4 × 10−¹⁶ (o si usamos el método de la tabla, 0.0004).

El valor p representa la probabilidad de observar una proporción muestral tan extrema por casualidad, si la hipótesis nula fuera verdadera.

Figura 5.10: Si H⁰ fuera verdadera, entonces los valores por encima de 0.63 son tan improbables como los valores por debajo de 0.37.

EJEMPLO 5.31

¿Cómo deberíamos evaluar las hipótesis utilizando el valor p de 4.4×10⁻16? Utilice el nivel de significancia estándar de α = 0.05.

Si la hipótesis nula fuera verdadera, sólo hay una probabilidad increíblemente pequeña de observar una desviación tan extrema de ˆp de 0.5. Esto significa que una de las siguientes debe ser verdadera:

• 1. La hipótesis nula es verdadera, y simplemente observamos algo tan extremo que sólo ocurre aproximadamente una vez cada 23 cuatrillones de veces (1 cuatrillón = 1 millón × 1 mil millones).
• 2. La hipótesis alternativa es verdadera, lo que sería consistente con la observación de una proporción de muestra alejada de 0.5.

El primer escenario es ridículamente improbable, mientras que el segundo escenario parece mucho más plausible.

Formalmente, cuando evaluamos una prueba de hipótesis, comparamos el valor p con el nivel de significancia, que en este caso es α = 0.05. Dado que el valor p es menor que α, rechazamos la hipótesis nula. Es decir, los datos proporcionan una fuerte evidencia en contra de H0. Los datos indican la dirección de la diferencia: la mayoría de los estadounidenses no apoyan la expansión del uso de la energía a base de carbón.

COMPARE EL VALOR P CON α PARA EVALUAR H⁰

Cuando el valor p es menor que el nivel de significancia, α, rechace H0. Reportaríamos una conclusión de que los datos proporcionan una fuerte evidencia que respalda la hipótesis alternativa.

Cuando el valor p es mayor que α, no rechace H0, e informe que no tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.

En cualquier caso, es importante describir la conclusión en el contexto de los datos.

PRÁCTICA GUIADA 5.32

¿Apoya u se opone la mayoría de los estadounidenses a la reducción de armas nucleares? Plantee hipótesis para evaluar esta pregunta.21

EJEMPLO 5.33

Una muestra aleatoria simple de 1028 adultos estadounidenses en marzo de 2013 muestra que el 56% apoya la reducción de armas nucleares. ¿Proporciona esto evidencia convincente de que una mayoría de estadounidenses apoyaba la reducción de armas nucleares con un nivel de significancia del 5%?

Primero, verifique las condiciones:

• Independencia. La encuesta fue de una muestra aleatoria simple de adultos estadounidenses, lo que significa que las observaciones son independientes.
• Éxito-fracaso. En una prueba de hipótesis de una proporción, esta condición se verifica utilizando la proporción nula, que es p⁰ = 0.5 en este contexto: np⁰ = n(1 − p0) = 1028 × 0.5 = 514 ≥ 10.

Con estas condiciones verificadas, podemos modelar ˆp usando un modelo normal.

A continuación, se puede calcular el error estándar. El valor nulo p⁰ se usa nuevamente aquí, porque esta es una prueba de hipótesis para una sola proporción.

\[SE\_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p\_0(1-p\_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{1028}} = 0.0156\]

Basado en el modelo normal, el estadístico de prueba se puede calcular como el puntaje Z de la estimación puntual:

\[Z = \frac{\text{estimación puntual} - \text{valor nulo}}{SE} = \frac{0.56 - 0.50}{0.0156} = 3.85\]

Generalmente es útil dibujar la distribución nula y las áreas de la cola de interés para calcular el valor p:

El área de la cola superior es aproximadamente 0.0001, y duplicamos esta área de la cola para obtener el valor p: 0.0002. Debido a que el valor p es menor que 0.05, rechazamos H0. La encuesta proporciona evidencia convincente de que una mayoría de estadounidenses apoyó los esfuerzos de reducción de armas nucleares en marzo de 2013.

²¹Nos gustaría comprender si una mayoría apoya o se opone, o en última instancia, si no hay diferencia. Si p es la proporción de estadounidenses que apoyan la reducción de armas nucleares, entonces H0: p = 0.50 y HA: p ̸= 0.50.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA SOLA PROPORCIÓN

Una vez que haya determinado que una prueba de hipótesis de una proporción es el procedimiento correcto, hay cuatro pasos para completar la prueba:

• Preparar. Identifique el parámetro de interés, enumere las hipótesis, identifique el nivel de significancia e identifique ˆp y n.
• Verificar. Verifique las condiciones para asegurar que ˆp sea casi normal bajo H0. Para las pruebas de hipótesis de una proporción, use el valor nulo para verificar la condición de éxito-fracaso.
• Calcular. Si las condiciones se cumplen, calcule el error estándar, nuevamente usando p0, calcule el puntaje Z e identifique el valor p.
• Concluir. Evalúe la prueba de hipótesis comparando el valor p con α, y proporcione una conclusión en el contexto del problema.

5.3.5 Elegir un nivel de significancia

Elegir un nivel de significancia para una prueba es importante en muchos contextos, y el nivel tradicional es α = 0.05. Sin embargo, puede ser útil ajustar el nivel de significancia según la aplicación. Podemos seleccionar un nivel que sea menor o mayor que 0.05 dependiendo de las consecuencias de cualquier conclusión alcanzada de la prueba.

Si cometer un Error Tipo 1 es peligroso o especialmente costoso, deberíamos elegir un nivel de significancia pequeño (por ejemplo, 0.01). Bajo este escenario, queremos ser muy cautelosos al rechazar la hipótesis nula, por lo que exigimos evidencia muy sólida que favorezca a H^A antes de rechazar H0.

Si un Error Tipo 2 es relativamente más peligroso o mucho más costoso que un Error Tipo 1, entonces podríamos elegir un nivel de significancia más alto (por ejemplo, 0.10). Aquí queremos ser cautelosos al no rechazar H⁰ cuando la hipótesis alternativa es realmente verdadera.

Además, si el costo de recopilar datos es pequeño en relación con el costo de un Error Tipo 2, entonces también puede ser una buena estrategia recopilar más datos. Bajo esta estrategia, el Error Tipo 2 se puede reducir sin afectar la tasa de Error Tipo 1. Por supuesto, recopilar datos adicionales suele ser costoso, por lo que generalmente hay un análisis de costo-beneficio a considerar.

EJEMPLO 5.34

Un fabricante de automóviles está considerando cambiar a un equipo nuevo de mayor calidad que construye las bisagras de las puertas de los vehículos. Calculan que ahorrarán dinero a largo plazo si esta nueva máquina produce bisagras que tengan defectos menos del 0.2% de las veces. Sin embargo, si las bisagras tienen defectos más del 0.2% de las veces, no obtendrían un retorno de la inversión lo suficientemente bueno del nuevo equipo y perderían dinero. ¿Hay una buena razón para modificar el nivel de significancia en tal prueba de hipótesis?

La hipótesis nula sería que la tasa de bisagras defectuosas es del 0.2%, mientras que la alternativa es que la tasa es diferente del 0.2%. Esta decisión es solo una de las muchas que tienen un impacto marginal en el automóvil y la empresa. Un nivel de significancia de 0.05 parece razonable ya que ni un Error Tipo 1 ni un Error Tipo 2 deberían ser peligrosos o (relativamente) mucho más costosos.

5.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN 199

EJEMPLO 5.35

El mismo fabricante de automóviles está considerando un proveedor ligeramente más caro para piezas relacionadas con la seguridad, no bisagras de puertas. Si se demuestra que la durabilidad de estos componentes de seguridad es mejor que la del proveedor actual, cambiarán de fabricante. ¿Existe una buena razón para modificar el nivel de significancia en tal evaluación?

La hipótesis nula sería que las piezas de los proveedores son igualmente confiables. Debido a que la seguridad está involucrada, la empresa automotriz debería estar ansiosa por cambiar al fabricante ligeramente más caro (rechazar H0), incluso si la evidencia de mayor seguridad es solo moderadamente fuerte. Un nivel de significancia ligeramente mayor, como α = 0.10, podría ser apropiado.

PRÁCTICA GUIADA 5.36

Una pieza dentro de una máquina es muy cara de reemplazar. Sin embargo, la máquina normalmente funciona correctamente incluso si esta pieza está rota, por lo que la pieza se reemplaza solo si estamos extremadamente seguros de que está rota basándonos en una serie de mediciones. Identifica hipótesis apropiadas para esta prueba (en lenguaje sencillo) y sugiere un nivel de significancia adecuado.22

¿POR QUÉ 0.05 ES EL VALOR PREDETERMINADO?

El umbral α = 0.05 es el más común. Pero, ¿por qué? Tal vez el nivel estándar debería ser menor, o quizás mayor. Si estás un poco desconcertado, estás leyendo con un ojo extra crítico: ¡buen trabajo! Hemos creado una tarea de 5 minutos para ayudar a aclarar por qué 0.05:

www.openintro.org/why05

5.3.6 Significación estadística versus significación práctica

Cuando el tamaño de la muestra se hace más grande, las estimaciones puntuales se vuelven más precisas y cualquier diferencia real en la media y el valor nulo se vuelve más fácil de detectar y reconocer. Incluso una diferencia muy pequeña probablemente se detectaría si tomáramos una muestra lo suficientemente grande. A veces, los investigadores toman muestras tan grandes que se detecta incluso la más mínima diferencia, incluso diferencias que no tienen valor práctico. En tales casos, todavía decimos que la diferencia es estadísticamente significativa, pero no es prácticamente significativa. Por ejemplo, un experimento en línea podría identificar que colocar anuncios adicionales en un sitio web de reseñas de películas aumenta estadísticamente significativamente la audiencia de un programa de televisión en un 0,001%, pero este aumento podría no tener ningún valor práctico.

Un papel de un científico de datos al realizar un estudio a menudo incluye la planificación del tamaño del estudio. El científico de datos podría consultar primero a expertos o literatura científica para aprender cuál sería la diferencia significativa más pequeña del valor nulo. También obtendría otra información, como una estimación muy aproximada de la proporción verdadera p, para que pueda estimar aproximadamente el error estándar. A partir de aquí, puede sugerir un tamaño de muestra que sea lo suficientemente grande como para que, si hay una diferencia real que sea significativa, podamos detectarla. Si bien se pueden usar tamaños de muestra más grandes, estos cálculos son especialmente útiles al considerar los costos o los riesgos potenciales, como los posibles impactos en la salud de los voluntarios en un estudio médico.

²²Aquí la hipótesis nula es que la pieza no está rota, y la alternativa es que está rota. Si no tenemos evidencia suficiente para rechazar H0, no reemplazaríamos la pieza. Parece que no arreglar la pieza si está rota (H⁰ falso, H^A verdadero) no es muy problemático, y reemplazar la pieza es costoso. Por lo tanto, deberíamos requerir evidencia muy sólida contra H⁰ antes de reemplazar la pieza. Elija un nivel de significancia pequeño, como α = 0.01.

5.3.7 Pruebas de hipótesis unilaterales (tema especial)

Hasta ahora solo hemos considerado lo que se denominan pruebas de hipótesis bilaterales, donde nos importa detectar si p está por encima o por debajo de algún valor nulo p0. Existe un segundo tipo de prueba de hipótesis llamada prueba de hipótesis unilateral. Para una prueba de hipótesis unilateral, las hipótesis toman una de las siguientes formas:

• 1. Solo tiene valor detectar si el parámetro de la población es menor que algún valor p0. En este caso, la hipótesis alternativa se escribe como p < p⁰ para algún valor nulo p0.
• 2. Solo tiene valor detectar si el parámetro de la población es mayor que algún valor p0: En este caso, la hipótesis alternativa se escribe como p > p0.

Si bien ajustamos la forma de la hipótesis alternativa, continuamos escribiendo la hipótesis nula usando un signo igual en el caso de la prueba de hipótesis unilateral.

En todo el procedimiento de prueba de hipótesis, solo hay una diferencia al evaluar una prueba de hipótesis unilateral frente a una prueba de hipótesis bilateral: cómo calcular el valor p. En una prueba de hipótesis unilateral, calculamos el valor p como el área de la cola en la dirección de la hipótesis alternativa únicamente, lo que significa que está representado por un área de una sola cola. Aquí radica la razón por la cual las pruebas unilaterales a veces son interesantes: si no tenemos que duplicar el área de la cola para obtener el valor p, entonces el valor p es menor y el nivel de evidencia requerido para identificar un hallazgo interesante en la dirección de la hipótesis alternativa disminuye. Sin embargo, las pruebas unilaterales no son todo alegría y felicidad: el alto precio que se paga es que cualquier hallazgo interesante en la dirección opuesta debe ignorarse.

EJEMPLO 5.37

En la Sección 1.1, encontramos un ejemplo donde los médicos estaban interesados en determinar si los stents ayudarían a las personas que tenían un alto riesgo de accidente cerebrovascular. Los investigadores creían que los stents ayudarían. Desafortunadamente, los datos mostraron lo contrario: a los pacientes que recibieron stents en realidad les fue peor. ¿Por qué fue tan importante usar una prueba bilateral en este contexto?

Antes del estudio, los investigadores tenían razones para creer que los stents ayudarían a los pacientes, ya que la investigación existente sugería que los stents ayudaban a los pacientes con ataques cardíacos. Seguramente habría sido tentador usar una prueba unilateral en esta situación, y si lo hubieran hecho, habrían limitado su capacidad para identificar posibles daños a los pacientes.

El Ejemplo 5.37 destaca que usar una hipótesis unilateral crea un riesgo de pasar por alto datos que respalden la conclusión opuesta. Podríamos haber cometido un error similar al revisar los datos de la pregunta de los Roslings en esta sección; si tuviéramos una noción preconcebida de que las personas con educación universitaria no obtendrían peores resultados que la adivinación aleatoria y, por lo tanto, usáramos una prueba unilateral, nos habríamos perdido el hallazgo realmente interesante de que muchas personas tienen conocimientos incorrectos sobre la salud pública mundial.

¿Cuándo podría ser apropiado usar una prueba unilateral? Muy raramente. Si alguna vez te encuentras considerando usar una prueba unilateral, responde cuidadosamente la siguiente pregunta:

¿Qué concluiría yo, u otros, si los datos resultan ir claramente en la dirección opuesta a mi hipótesis alternativa?

Si tú u otros encontrarían algún valor en sacar una conclusión sobre los datos que va en la dirección opuesta de una prueba unilateral, entonces en realidad se debería usar una prueba de hipótesis bilateral. Estas consideraciones pueden ser sutiles, así que ten cuidado. Solo aplicaremos pruebas bilaterales en el resto de este libro.

5.3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN 201

EJEMPLO 5.38

¿Por qué no podemos simplemente ejecutar una prueba unilateral que vaya en la dirección de los datos?

Hemos estado construyendo un marco de trabajo cuidadoso que controla el Error Tipo 1, que es el nivel de significación α en una prueba de hipótesis. Usaremos α = 0.05 a continuación para mantener las cosas simples.

Imagina que pudiéramos elegir la prueba unilateral después de ver los datos. ¿Qué saldrá mal?

• Si ˆp es menor que el valor nulo, entonces una prueba unilateral donde p < p⁰ significaría que cualquier observación en la cola inferior del 5% de la distribución nula nos llevaría a rechazar H0.
• Si ˆp es mayor que el valor nulo, entonces una prueba unilateral donde p > p⁰ significaría que cualquier observación en la cola superior del 5% de la distribución nula nos llevaría a rechazar H0.

Entonces, si H⁰ fuera verdadera, hay un 10% de probabilidad de estar en una de las dos colas, por lo que nuestro error de prueba es en realidad α = 0.10, no 0.05. Es decir, no tener cuidado sobre cuándo usar pruebas unilaterales socava efectivamente los métodos que estamos trabajando tan duro para desarrollar y utilizar.

Ejercicios

5.15 Identificar hipótesis, Parte I. Escribe las hipótesis nula y alternativa en palabras y luego en símbolos para cada una de las siguientes situaciones.

• 1. Una empresa de tutorías quiere entender si la mayoría de los estudiantes tienden a mejorar sus calificaciones (o no) después de usar sus servicios. Muestrean a 200 de los estudiantes que usaron su servicio en el último año y les preguntan si sus calificaciones han mejorado o disminuido con respecto al año anterior.
• 2. Los empleadores de una empresa están preocupados por el efecto de March Madness, un campeonato de baloncesto que se celebra cada primavera en los EE. UU., en la productividad de los empleados. Estiman que en un día laborable normal los empleados dedican un promedio de 15 minutos del tiempo de la empresa a revisar el correo electrónico personal, hacer llamadas telefónicas personales, etc. También recopilan datos sobre la cantidad de tiempo de la empresa que los empleados dedican a tales actividades no relacionadas con el trabajo durante March Madness. Quieren determinar si estos datos proporcionan evidencia convincente de que la productividad de los empleados cambió durante March Madness.

5.16 Identificar hipótesis, Parte II. Escribe las hipótesis nula y alternativa en palabras y usando símbolos para cada una de las siguientes situaciones.

• 1. Desde 2008, los restaurantes de cadena en California han estado obligados a mostrar el conteo de calorías de cada elemento del menú. Antes de que los menús mostraran el conteo de calorías, el consumo promedio de calorías de los comensales en un restaurante era de 1100 calorías. Después de que el conteo de calorías comenzó a mostrarse en los menús, un nutricionista recopiló datos sobre el número de calorías consumidas en este restaurante de una muestra aleatoria de comensales. ¿Proporcionan estos datos evidencia convincente de una diferencia en el consumo promedio de calorías de los comensales en este restaurante?
• 2. Al estado de Wisconsin le gustaría comprender la fracción de sus residentes adultos que consumieron alcohol en el último año, específicamente si la tasa es diferente de la tasa nacional del 70%. Para ayudarles a responder esta pregunta, realizan una muestra aleatoria de 852 residentes y les preguntan sobre su consumo de alcohol.

5.17 Comunicación en línea. Un estudio sugiere que el 60% de los estudiantes universitarios dedican 10 o más horas por semana a comunicarse con otros en línea. Crees que esto es incorrecto y decides recopilar tu propia muestra para una prueba de hipótesis. Muestreas aleatoriamente a 160 estudiantes de tu residencia y encuentras que el 70% dedica 10 o más horas a la semana a comunicarse con otros en línea. Un amigo tuyo, que se ofrece a ayudarte con la prueba de hipótesis, propone el siguiente conjunto de hipótesis. Indica cualquier error que veas.

\[\begin{aligned} H\_0: \hat{p} &< 0.6\\ H\_A: \hat{p} &> 0.7 \end{aligned}\]

5.18 Casados a los 25. Un estudio sugiere que el 25% de los jóvenes de 25 años se han casado. Crees que esto es incorrecto y decides recopilar tu propia muestra para una prueba de hipótesis. De una muestra aleatoria de jóvenes de 25 años en datos del censo con un tamaño de 776, encuentras que el 24% de ellos están casados. Un amigo tuyo se ofrece a ayudarte a configurar la prueba de hipótesis y propone las siguientes hipótesis. Indica cualquier error que veas.

\[\begin{aligned} H\_0 &: \hat{p} = 0.24 \\ H\_A &: \hat{p} \neq 0.24 \end{aligned}\]

5.19 Tasas de ciberacoso. Se encuestó a adolescentes sobre el ciberacoso, y del 54% al 64% informaron haber experimentado ciberacoso (intervalo de confianza del 95%).23 Responde las siguientes preguntas basándote en este intervalo.

• 1. Un periódico afirma que la mayoría de los adolescentes han experimentado ciberacoso. ¿Esta afirmación está respaldada por el intervalo de confianza? Explica tu razonamiento.
• (b) Un investigador conjeturó que el 70% de los adolescentes han experimentado ciberacoso. ¿Esta afirmación está respaldada por el intervalo de confianza? Explica tu razonamiento.
• (c) Sin calcular realmente el intervalo, determina si la afirmación del investigador de la parte (b) estaría respaldada basándose en un intervalo de confianza del 90%.

5.20 Esperando en una sala de emergencias, Parte II. El ejercicio 5.11 proporciona un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de espera promedio en una sala de emergencias (ER) de (128 minutos, 147 minutos). Responde las siguientes preguntas basándote en este intervalo.

• 1. Un periódico local afirma que el tiempo de espera promedio en esta sala de emergencias supera las 3 horas. ¿Esta afirmación está respaldada por el intervalo de confianza? Explica tu razonamiento.
• (b) El Decano de Medicina de este hospital afirma que el tiempo de espera promedio es de 2.2 horas. ¿Esta afirmación está respaldada por el intervalo de confianza? Explica tu razonamiento.
• 3. Sin calcular realmente el intervalo, determina si la afirmación del Decano de la parte (b) estaría respaldada basándose en un intervalo de confianza del 99%.

5.21 Salario mínimo, Parte I. ¿Cree la mayoría de los adultos estadounidenses que aumentar el salario mínimo ayudará a la economía, o hay una mayoría que no lo cree? Una encuesta de Rasmussen Reports de una muestra aleatoria de 1,000 adultos estadounidenses encontró que el 42% cree que ayudará a la economía.24 Realiza una prueba de hipótesis apropiada para ayudar a responder la pregunta de investigación.

5.22 Dormir lo suficiente. Se muestrearon aleatoriamente 400 estudiantes de una gran universidad, y 289 dijeron que no dormían lo suficiente. Realiza una prueba de hipótesis para verificar si esto representa una diferencia estadísticamente significativa con respecto al 50%, y utiliza un nivel de significancia de 0.01.

5.23 Trabajando hacia atrás, Parte I. Se te dan las siguientes hipótesis:

\[H\_0: p = 0.3\]

\[H\_A: p \neq 0.3\]

Sabemos que el tamaño de la muestra es 90. ¿Para qué proporción muestral el valor p sería igual a 0.05? Supón que se cumplen todas las condiciones necesarias para la inferencia.

5.24 Trabajando hacia atrás, Parte II. Se te dan las siguientes hipótesis:

\[\begin{aligned} H\_0 &: p = 0.9 \\ H\_A &: p \neq 0.9 \end{aligned}\]

Sabemos que el tamaño de la muestra es 1,429. ¿Para qué proporción muestral el valor p sería igual a 0.01? Supón que se cumplen todas las condiciones necesarias para la inferencia.

5.25 Pruebas para la fibromialgia. A una paciente llamada Diana se le diagnosticó fibromialgia, un síndrome a largo plazo de dolor corporal, y se le recetaron antidepresivos. Siendo la escéptica que es, Diana inicialmente no creía que los antidepresivos ayudarían a sus síntomas. Sin embargo, después de un par de meses de tomar la medicación, decide que los antidepresivos están funcionando, porque siente que sus síntomas están mejorando.

• 1. Escribe las hipótesis en palabras para la posición escéptica de Diana cuando comenzó a tomar los antidepresivos.
• 2. ¿Qué es un error de tipo 1 en este contexto?
• 3. ¿Qué es un error de tipo 2 en este contexto?

5.26 ¿Cuál es más alto? En cada parte a continuación, hay un valor de interés y dos escenarios (I y II). Para cada parte, informa si el valor de interés es mayor en el escenario I, en el escenario II, o si el valor es igual en los escenarios.

• 1. El error estándar de ˆp cuando (I) n = 125 o (II) n = 500.
• 2. El margen de error de un intervalo de confianza cuando el nivel de confianza es (I) 90% o (II) 80%.
• 3. El valor p para un estadístico Z de 2.5 calculado con base en una (I) muestra con n = 500 o con base en una (II) muestra con n = 1000.
• 4. La probabilidad de cometer un error de tipo 2 cuando la hipótesis alternativa es verdadera y el nivel de significancia es (I) 0.05 o (II) 0.10.

²⁴Encuesta de Rasmussen Reports, La mayoría favorece un salario mínimo de $10.50 o más, 16 de abril de 2019.

Ejercicios del capítulo

5.27 Relajarse después del trabajo. La Encuesta Social General preguntó: “Después de un día de trabajo promedio, ¿cuántas horas tiene para relajarse o realizar actividades que disfruta?” a una muestra aleatoria de 1,155 estadounidenses.25 Un intervalo de confianza del 95% para el número promedio de horas dedicadas a relajarse o realizar actividades que disfrutan fue de (1.38, 1.92).

• 1. Interpreta este intervalo en el contexto de los datos.
• 2. Supón que otro grupo de investigadores reportó un intervalo de confianza con un margen de error mayor basado en la misma muestra de 1,155 estadounidenses. ¿Cómo se compara su nivel de confianza con el nivel de confianza del intervalo indicado anteriormente?
• 3. Supón que el próximo año se realiza una nueva encuesta que hace la misma pregunta, y esta vez el tamaño de la muestra es de 2,500. Suponiendo que las características de la población, con respecto a la cantidad de tiempo que las personas pasan relajándose después del trabajo, no han cambiado mucho en un año. ¿Cómo se comparará el margen de error del intervalo de confianza del 95% construido con base en los datos de la nueva encuesta con el margen de error del intervalo indicado anteriormente?

5.28 Salario mínimo, Parte II. En el Ejercicio 5.21, aprendimos que una encuesta de Rasmussen Reports de 1,000 adultos estadounidenses encontró que el 42% cree que aumentar el salario mínimo ayudará a la economía. Construye un intervalo de confianza del 99% para la verdadera proporción de adultos estadounidenses que creen esto.

5.29 Pruebas de seguridad alimentaria. Se llama a un inspector de seguridad alimentaria para investigar un restaurante con algunos informes de clientes sobre malas prácticas de saneamiento. El inspector de seguridad alimentaria utiliza un marco de prueba de hipótesis para evaluar si no se están cumpliendo las regulaciones. Si decide que el restaurante está en grave violación, se revocará su licencia para servir comida.

• 1. Escribe las hipótesis en palabras.
• 2. ¿Qué es un error de tipo 1 en este contexto?
• 3. ¿Qué es un error de tipo 2 en este contexto?
• 4. ¿Qué error es más problemático para el dueño del restaurante? ¿Por qué?
• 5. ¿Qué error es más problemático para los comensales? ¿Por qué?
• 6. Como comensal, ¿preferirías que el inspector de seguridad alimentaria requiera evidencia sólida o evidencia muy sólida de problemas de salud antes de revocar la licencia de un restaurante? Explica tu razonamiento.

5.30 Verdadero o falso. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica tu razonamiento. Si es falso, indica cómo podría corregirse.

• 1. Si un valor dado (por ejemplo, el valor nulo hipotético de un parámetro) está dentro de un intervalo de confianza del 95%, también estará dentro de un intervalo de confianza del 99%.
• 2. Disminuir el nivel de significancia (α) aumentará la probabilidad de cometer un error de tipo 1.
• 3. Supón que la hipótesis nula es p = 0.5 y no rechazamos H0. Bajo este escenario, la verdadera proporción de la población es 0.5.
• 4. Con tamaños de muestra grandes, incluso las pequeñas diferencias entre el valor nulo y la estimación puntual observada, una diferencia a menudo llamada tamaño del efecto, se identificarán como estadísticamente significativas.

5.31 Desempleo y problemas de relación. Una encuesta de USA Today/Gallup preguntó a un grupo de estadounidenses desempleados y subempleados si habían tenido problemas importantes en sus relaciones con su cónyuge u otro familiar cercano como resultado de no tener un trabajo (si estaban desempleados) o no tener un trabajo de tiempo completo (si estaban subempleados). El 27% de los 1,145 encuestados desempleados y el 25% de los 675 encuestados subempleados dijeron que tenían problemas importantes en las relaciones como resultado de su estado laboral.

• 1. ¿Cuáles son las hipótesis para evaluar si las proporciones de personas desempleadas y subempleadas que tenían problemas de relación eran diferentes?
• 2. El valor p para esta prueba de hipótesis es aproximadamente 0.35. Explica lo que esto significa en el contexto de la prueba de hipótesis y los datos.

²⁵Centro Nacional de Investigación de Opinión, Encuesta Social General, 2018.

5.32 Miope. Se cree que la miopía afecta a aproximadamente el 8% de todos los niños. En una muestra aleatoria de 194 niños, 21 son miopes. Realiza una prueba de hipótesis para la siguiente pregunta: ¿proporcionan estos datos evidencia de que el valor del 8% es inexacto?

5.33 Etiquetas nutricionales. La etiqueta nutricional en una bolsa de papas fritas dice que una porción de una onza (28 gramos) de papas fritas tiene 130 calorías y contiene diez gramos de grasa, con tres gramos de grasa saturada. Una muestra aleatoria de 35 bolsas arrojó un intervalo de confianza para el número de calorías por bolsa de 128.2 a 139.8 calorías. ¿Hay evidencia de que la etiqueta nutricional no proporciona una medida precisa de las calorías en las bolsas de papas fritas?

5.34 TLC para proporciones. Define el término “distribución muestral” de la proporción muestral y describe cómo la forma, el centro y la dispersión de la distribución muestral cambian a medida que aumenta el tamaño de la muestra cuando p = 0.1.

5.35 Significación práctica vs. estadística. Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y explica tu razonamiento: “Con tamaños de muestra grandes, incluso las pequeñas diferencias entre el valor nulo y la estimación puntual observada pueden ser estadísticamente significativas”.

5.36 Misma observación, diferente tamaño de muestra. Supón que realizas una prueba de hipótesis basada en una muestra donde el tamaño de la muestra es n = 50, y llegas a un valor p de 0.08. Luego, vuelves a consultar tus notas y descubres que cometiste un error descuidado, el tamaño de la muestra debería haber sido n = 500. ¿Tu valor p aumentará, disminuirá o permanecerá igual? Explica.

5.37 Brecha salarial de género en la medicina. Un estudio examinó el salario promedio de hombres y mujeres que ingresan a la fuerza laboral como médicos para 21 puestos diferentes.26

• (a) Si cada género recibiera el mismo salario, entonces esperaríamos que aproximadamente la mitad de esos puestos tuvieran hombres que recibieran más que las mujeres y las mujeres recibirían más que los hombres en la otra mitad de los puestos. Escribe hipótesis apropiadas para probar este escenario.
• 2. A los hombres, en promedio, se les pagó más en 19 de esos 21 puestos. Suponiendo que estos 21 puestos representan una muestra aleatoria simple, completa una prueba de hipótesis utilizando tus hipótesis de la parte (a).

²⁶Lo Sasso AT et al. “La brecha salarial de $16,819 para médicos recién capacitados: la tendencia inexplicable de los hombres que ganan más que las mujeres”. En: Health Affairs 30.2 (2011).

Capítulo 6

206

Inferencia para datos categóricos

• 6.1 Inferencia para una sola proporción
• 6.2 Diferencia de dos proporciones
• 6.3 Prueba de bondad de ajuste utilizando chi-cuadrado
• 6.4 Prueba de independencia en tablas de doble entrada

En este capítulo, aplicamos los métodos e ideas del Capítulo 5 en varios contextos para datos categóricos. Comenzaremos revisando lo que aprendimos para una sola proporción, donde la distribución normal puede usarse para modelar la incertidumbre en la proporción de la muestra. A continuación, aplicamos estas mismas ideas para analizar la diferencia de dos proporciones utilizando el modelo normal. Más adelante en el capítulo, aplicamos técnicas de inferencia a tablas de contingencia; si bien utilizaremos una distribución diferente en este contexto, las ideas centrales de la prueba de hipótesis siguen siendo las mismas.

Para videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

6.1 Inferencia para una sola proporción

Encontramos métodos de inferencia para una sola proporción en el Capítulo 5, explorando estimaciones puntuales, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. En esta sección, haremos una revisión de estos temas y también cómo elegir un tamaño de muestra apropiado al recopilar datos para contextos de una sola proporción.

6.1.1 Identificando cuándo la proporción muestral es casi normal

Una proporción muestral ˆp puede ser modelada usando una distribución normal cuando las observaciones de la muestra son independientes y el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE p̂

La distribución muestral para p̂ basada en una muestra de tamaño n de una población con una proporción verdadera p es casi normal cuando:

• 1. Las observaciones de la muestra son independientes, p. ej., provienen de una muestra aleatoria simple.
• 2. Esperamos ver al menos 10 éxitos y 10 fracasos en la muestra, es decir, np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10. Esto se llama la condición de éxito-fracaso.

Cuando se cumplen estas condiciones, la distribución muestral de p̂ es casi normal con media p y error estándar SE = q p(1−p) n .

Normalmente no conocemos la proporción verdadera p, por lo que sustituimos algún valor para verificar las condiciones y estimar el error estándar. Para los intervalos de confianza, la proporción muestral p̂ se utiliza para verificar la condición de éxito-fracaso y calcular el error estándar. Para las pruebas de hipótesis, normalmente el valor nulo – es decir, la proporción afirmada en la hipótesis nula – se utiliza en lugar de p.

6.1.2 Intervalos de confianza para una proporción

Un intervalo de confianza proporciona un rango de valores plausibles para el parámetro p, y cuando ˆp puede modelarse usando una distribución normal, el intervalo de confianza para p toma la forma

\[ \hat{p} \pm z^\star \times SE \]

EJEMPLO 6.1

Se encuestó una muestra aleatoria simple de 826 prestatarios de préstamos de día de pago para comprender mejor sus intereses en torno a la regulación y los costos. El 70% de las respuestas apoyó nuevas regulaciones sobre los prestamistas de día de pago. ¿Es razonable modelar ˆp = 0.70 usando una distribución normal?

Los datos son una muestra aleatoria, por lo que las observaciones son independientes y representativas de la población de interés.

También debemos verificar la condición de éxito-fracaso, lo cual hacemos usando ˆp en lugar de p al calcular un intervalo de confianza:

Apoyo: np ≈ 826 × 0.70 = 578 No: n(1 − p) ≈ 826 × (1 − 0.70) = 248

Dado que ambos valores son al menos 10, podemos usar la distribución normal para modelar ˆp.

6.1. INFERENCIA PARA UNA SOLA PROPORCIÓN 209

PRÁCTICA GUIADA 6.2

Estime el error estándar de ˆp = 0.70. Debido a que p es desconocido y el error estándar es para un intervalo de confianza, use ˆp en lugar de p en la fórmula.1

EJEMPLO 6.3

Construya un intervalo de confianza del 95% para p, la proporción de prestatarios de día de pago que apoyan una mayor regulación para los prestamistas de día de pago.

Usando la estimación puntual 0.70, z ^⋆ = 1.96 para un intervalo de confianza del 95% y el error estándar SE = 0.016 de la Práctica Guiada 6.2, el intervalo de confianza es

estimación puntual ± z ^⋆ × SE → 0.70 ± 1.96 × 0.016 → (0.669, 0.731)

Tenemos un 95% de confianza en que la verdadera proporción de prestatarios de día de pago que apoyaron la regulación en el momento de la encuesta estaba entre 0.669 y 0.731.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA SOLA PROPORCIÓN

Una vez que haya determinado que un intervalo de confianza de una proporción sería útil para una aplicación, hay cuatro pasos para construir el intervalo:

Prepare. Identifique ˆp y n, y determine qué nivel de confianza desea utilizar.

Verifique. Verifique las condiciones para asegurarse de que ˆp sea casi normal. Para los intervalos de confianza de una proporción, use ˆp en lugar de p para verificar la condición de éxito-fracaso.

Calcule. Si las condiciones se cumplen, calcule SE usando ˆp, encuentre z ⋆ y construya el intervalo.

Concluya. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema.

Para ejemplos adicionales de intervalos de confianza de una proporción, consulte la Sección 5.2.

6.1.3 Prueba de hipótesis para una proporción

Una posible regulación para los prestamistas de día de pago es que se les exija realizar una verificación de crédito y evaluar los pagos de la deuda en función de las finanzas del prestatario. Nos gustaría saber: ¿los prestatarios apoyarían esta forma de regulación?

PRÁCTICA GUIADA 6.4

Establezca hipótesis para evaluar si los prestatarios tienen un apoyo mayoritario o una oposición mayoritaria a este tipo de regulación.2

Para aplicar el marco de la distribución normal en el contexto de una prueba de hipótesis para una proporción, deben cumplirse las condiciones de independencia y éxito-fracaso. En una prueba de hipótesis, la condición de éxito-fracaso se verifica utilizando la proporción nula: verificamos que np⁰ y n(1 − p0) sean al menos 10, donde p⁰ es el valor nulo.

¿Los prestatarios de préstamos de día de pago apoyan una regulación que requiera que los prestamistas obtengan su informe de crédito y evalúen sus pagos de deuda? De una muestra aleatoria de 826 prestatarios, el 51% dijo que apoyaría tal regulación. ¿Es razonable modelar ˆp = 0.51 utilizando una distribución normal para una prueba de hipótesis aquí?3

EJEMPLO 6.6

Usando las hipótesis y los datos de la Práctica Guiada 6.4 y 6.5, evalúe si la encuesta proporciona evidencia convincente de que la mayoría de los prestatarios de préstamos de día de pago apoyan una nueva regulación que requeriría que los prestamistas obtengan informes de crédito y evalúen los pagos de deuda.

Con las hipótesis ya establecidas y las condiciones verificadas, podemos pasar a los cálculos. El error estándar en el contexto de una prueba de hipótesis de una proporción se calcula utilizando el valor nulo, p0:

\[SE = \sqrt{\frac{p\_0(1-p\_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{826}} = 0.017\]

A continuación, se muestra una imagen del modelo normal con el valor p representado por la región sombreada.

Basado en el modelo normal, la estadística de prueba se puede calcular como la puntuación Z de la estimación puntual:

\[Z = \frac{\text{estimación puntual} - \text{valor nulo}}{SE} = \frac{0.51 - 0.50}{0.017} = 0.59\]

El área de una sola cola es 0.2776, y el valor p, representado por ambas áreas de la cola juntas, es 0.5552. Debido a que el valor p es mayor que 0.05, no rechazamos H0. La encuesta no proporciona evidencia convincente de que una mayoría de los prestatarios de préstamos de día de pago apoyen u se opongan a las regulaciones en torno a las verificaciones de crédito y la evaluación de los pagos de la deuda.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA SOLA PROPORCIÓN

Una vez que haya determinado que una prueba de hipótesis de una proporción es el procedimiento correcto, hay cuatro pasos para completar la prueba:

• Preparar. Identifique el parámetro de interés, enumere las hipótesis, identifique el nivel de significancia e identifique ˆp y n.
• Comprobar. Verifique las condiciones para asegurar que ˆp sea casi normal bajo H0. Para las pruebas de hipótesis de una proporción, use el valor nulo para verificar la condición de éxito-fracaso.
• Calcular. Si las condiciones se cumplen, calcule el error estándar, nuevamente usando p0, calcule la puntuación Z e identifique el valor p.

Concluir. Evalúe la prueba de hipótesis comparando el valor p con α, y proporcione una conclusión en el contexto del problema.

Para ejemplos adicionales de pruebas de hipótesis de una proporción, vea la Sección 5.3.

³ La independencia se cumple ya que la encuesta se basa en una muestra aleatoria. La condición de éxito-fracaso también se cumple, lo que se verifica usando el valor nulo (p⁰ = 0.5) de H0: np⁰ = 826 × 0.5 = 413, n(1 − p0) = 826 × 0.5 = 413.

6.1.4 Cuando no se cumplen una o más condiciones

Hemos dedicado mucho tiempo a discutir las condiciones para cuando ˆp puede modelarse razonablemente mediante una distribución normal. ¿Qué sucede cuando falla la condición de éxito-fracaso? ¿Qué pasa cuando falla la condición de independencia? En cualquier caso, las ideas generales de los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis siguen siendo las mismas, pero la estrategia o técnica utilizada para generar el intervalo o el valor p cambia.

Cuando la condición de éxito-fracaso no se cumple para una prueba de hipótesis, podemos simular la distribución nula de ˆp usando el valor nulo, p0. El concepto de simulación es similar a las ideas utilizadas en el estudio de caso de la malaria presentado en la Sección 2.3, y una sección en línea describe esta estrategia:

www.openintro.org/r?go=stat sim prop ht

Para un intervalo de confianza cuando no se cumple la condición de éxito-fracaso, podemos usar lo que se llama el intervalo de Clopper-Pearson. Los detalles están más allá del alcance de este libro. Sin embargo, hay muchos recursos de Internet que cubren este tema.

La condición de independencia es un requisito más matizado. Cuando no se cumple, es importante comprender cómo y por qué no se cumple. Por ejemplo, si tomamos una muestra de conglomerados (vea la Sección 1.3), existen métodos estadísticos adecuados disponibles, pero estarían más allá del alcance incluso de la mayoría de los segundos o terceros cursos de estadística. Por otro lado, nos costaría encontrar cualquier método que pudiéramos aplicar con confianza para corregir los sesgos inherentes de los datos de una muestra de conveniencia.

Si bien este libro está enfocado a problemas estadísticos bien definidos, recuerde que este es solo el primer libro de lo que es una gran biblioteca de métodos estadísticos que son adecuados para una amplia gama de datos y contextos.

6.1.5 Elegir un tamaño de muestra al estimar una proporción

Al recopilar datos, elegimos un tamaño de muestra adecuado para el propósito del estudio. A menudo, esto significa elegir un tamaño de muestra lo suficientemente grande como para que el margen de error, que es la parte que sumamos y restamos de la estimación puntual en un intervalo de confianza, sea lo suficientemente pequeño como para que la muestra sea útil. Por ejemplo, nuestra tarea podría ser encontrar un tamaño de muestra n para que la proporción de la muestra esté dentro de ±0.04 de la proporción real en un intervalo de confianza del 95%.

EJEMPLO 6.7

El periódico de una universidad está realizando una encuesta para determinar qué fracción de estudiantes apoya un aumento de $200 al año en las tasas para pagar un nuevo estadio de fútbol. ¿Qué tan grande debe ser la muestra para asegurar que el margen de error sea menor a 0.04 utilizando un nivel de confianza del 95%?

El margen de error para la proporción de una muestra es

\[z^{\star}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Nuestro objetivo es encontrar el tamaño de muestra n más pequeño para que este margen de error sea menor a 0.04. Para un nivel de confianza del 95%, el valor z ⋆ corresponde a 1.96:

\[1.96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} < \ 0.04\]

Hay dos incógnitas en la ecuación: p y n. Si tenemos una estimación de p, tal vez de una encuesta anterior, podríamos ingresar ese valor y resolver para n. Si no tenemos tal estimación, debemos usar algún otro valor para p. Resulta que el margen de error es mayor cuando p es 0.5, por lo que típicamente usamos este valor del peor de los casos si no se dispone de una estimación de la proporción:

\[\begin{aligned} 1.96 \times \sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}} &< 0.04\\ 1.96^2 \times \frac{0.5(1-0.5)}{n} &< 0.04^2\\ 1.96^2 \times \frac{0.5(1-0.5)}{0.04^2} &< n\\ 600.25 &< n \end{aligned}\]

Necesitaríamos más de 600.25 participantes, lo que significa que necesitamos 601 participantes o más, para asegurar que la proporción de la muestra esté dentro de 0.04 de la verdadera proporción con un 95% de confianza.

Cuando se dispone de una estimación de la proporción, la usamos en lugar del valor de la proporción del peor de los casos, 0.5.

6.1. INFERENCIA PARA UNA SOLA PROPORCIÓN 213

PRÁCTICA GUIADA 6.8

Una gerente está a punto de supervisar la producción en masa de un nuevo modelo de neumático en su fábrica, y le gustaría estimar qué proporción de estos neumáticos serán rechazados a través del control de calidad. El equipo de control de calidad ha supervisado los últimos tres modelos de neumáticos producidos por la fábrica, fallando el 1.7% de los neumáticos en el primer modelo, el 6.2% del segundo modelo y el 1.3% del tercer modelo. A la gerente le gustaría examinar suficientes neumáticos para estimar la tasa de fallos del nuevo modelo de neumático con una precisión de aproximadamente el 1% con un nivel de confianza del 90%. Hay tres tasas de fallos diferentes para elegir. Realice el cálculo del tamaño de la muestra para cada una por separado, e identifique tres tamaños de muestra a considerar.4

EJEMPLO 6.9

Los tamaños de muestra varían ampliamente en la Práctica Guiada 6.8. ¿Cuál de los tres sugeriría usar? ¿Qué influiría en su elección?

Podríamos examinar cuál de los modelos antiguos es más parecido al nuevo modelo, y luego elegir el tamaño de muestra correspondiente. O si dos de las estimaciones anteriores se basan en muestras pequeñas mientras que la otra se basa en una muestra más grande, podríamos considerar el valor correspondiente a la muestra más grande. También hay otros enfoques razonables.

También observe que la condición de éxito-fracaso tendría que ser comprobada en la muestra final. Por ejemplo, si muestreáramos n = 1584 neumáticos y encontráramos una tasa de fallos del 0.5%, la aproximación normal no sería razonable, y requeriríamos métodos estadísticos más avanzados para crear el intervalo de confianza.

PRÁCTICA GUIADA 6.10

Supongamos que queremos hacer un seguimiento continuo del apoyo de los prestatarios de día de pago a la regulación de los prestamistas, donde realizaríamos una nueva encuesta cada mes. Realizar encuestas tan frecuentes es caro, por lo que decidimos que un margen de error más amplio del 5% para cada encuesta individual sería aceptable. Basándonos en la muestra original de prestatarios en la que el 70% apoyaba alguna forma de regulación, ¿qué tan grande debería ser nuestra muestra mensual para un margen de error de 0.05 con un 95% de confianza?5

\[0.1.649 \times \sqrt{\frac{0.017(1 - 0.017)}{n}} < 0.01 \qquad \rightarrow \quad \frac{0.017(1 - 0.017)}{n} < \left(\frac{0.01}{1.6449}\right)^2 \quad \rightarrow \quad 452.15 < n^2\]

Para los cálculos del tamaño de la muestra, siempre redondeamos hacia arriba, por lo que el primer modelo de neumático sugiere que 453 neumáticos serían suficientes. Un cálculo similar puede realizarse utilizando 0.062 y 0.013 para p, y usted debería verificar que el uso de estas

proporciones resulta en tamaños de muestra mínimos de 1574 y 348 neumáticos, respectivamente.

⁵Completamos los mismos cálculos que antes, excepto que ahora usamos 0.70 en lugar de 0.5 para p:

\[1.96 \times \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \approx 1.96 \times \sqrt{\frac{0.70(1-0.70)}{n}} \le 0.05 \qquad \rightarrow \qquad n \ge 322.7\]

Un tamaño de muestra de 323 o más sería razonable. (Recordatorio: ¡siempre redondee hacia arriba para los cálculos del tamaño de la muestra!) Dado que planeamos rastrear esta encuesta con el tiempo, también es posible que queramos repetir periódicamente estos cálculos para asegurarnos de que estamos siendo reflexivos en nuestras recomendaciones sobre el tamaño de la muestra en caso de que la tasa base fluctúe.

⁴Para un intervalo de confianza del 90%, z ^⋆ = 1.6449, y dado que se dispone de una estimación de la proporción 0.017, la utilizaremos en la fórmula del margen de error:

Ejercicios

6.1 Estudiantes universitarios vegetarianos. Suponga que el 8% de los estudiantes universitarios son vegetarianos. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento.

• 1. La distribución de las proporciones muestrales de vegetarianos en muestras aleatorias de tamaño 60 es aproximadamente normal ya que n ≥ 30.
• 2. La distribución de las proporciones muestrales de estudiantes universitarios vegetarianos en muestras aleatorias de tamaño 50 está sesgada a la derecha.
• 3. Una muestra aleatoria de 125 estudiantes universitarios donde el 12% son vegetarianos se consideraría inusual.
• 4. Una muestra aleatoria de 250 estudiantes universitarios donde el 12% son vegetarianos se consideraría inusual.
• 5. El error estándar se reduciría a la mitad si aumentáramos el tamaño de la muestra de 125 a 250.

6.2 Jóvenes estadounidenses, Parte I. Alrededor del 77% de los adultos jóvenes creen que pueden lograr el sueño americano. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento.6

• 1. La distribución de las proporciones muestrales de jóvenes estadounidenses que piensan que pueden lograr el sueño americano en muestras de tamaño 20 está sesgada a la izquierda.
• 2. La distribución de las proporciones muestrales de jóvenes estadounidenses que piensan que pueden lograr el sueño americano en muestras aleatorias de tamaño 40 es aproximadamente normal ya que n ≥ 30.
• 3. Una muestra aleatoria de 60 jóvenes estadounidenses donde el 85% piensa que puede lograr el sueño americano se consideraría inusual.
• 4. Una muestra aleatoria de 120 jóvenes estadounidenses donde el 85% piensa que puede lograr el sueño americano se consideraría inusual.

6.3 Gatos atigrados naranjas. Suponga que el 90% de los gatos atigrados naranjas son machos. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento.

• 1. La distribución de las proporciones muestrales de muestras aleatorias de tamaño 30 está sesgada a la izquierda.
• 2. Usar un tamaño de muestra 4 veces mayor reducirá el error estándar de la proporción muestral a la mitad.
• 3. La distribución de las proporciones muestrales de muestras aleatorias de tamaño 140 es aproximadamente normal.
• 4. La distribución de las proporciones muestrales de muestras aleatorias de tamaño 280 es aproximadamente normal.

6.4 Jóvenes estadounidenses, Parte II. Alrededor del 25% de los jóvenes estadounidenses han retrasado la formación de una familia debido a la continua crisis económica. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento.7

• 1. La distribución de las proporciones muestrales de jóvenes estadounidenses que han retrasado la formación de una familia debido a la continua crisis económica en muestras aleatorias de tamaño 12 está sesgada a la derecha.
• 2. Para que la distribución de las proporciones muestrales de jóvenes estadounidenses que han retrasado la formación de una familia debido a la continua crisis económica sea aproximadamente normal, necesitamos muestras aleatorias donde el tamaño de la muestra sea al menos 40.
• 3. Una muestra aleatoria de 50 jóvenes estadounidenses donde el 20% ha retrasado la formación de una familia debido a la continua crisis económica se consideraría inusual.
• 4. Una muestra aleatoria de 150 jóvenes estadounidenses donde el 20% ha retrasado la formación de una familia debido a la continua crisis económica se consideraría inusual.
• 5. Triplicar el tamaño de la muestra reducirá el error estándar de la proporción muestral en un tercio.

⁶A. Vaughn. “Poll finds young adults optimistic, but not about money”. In: Los Angeles Times (2011). ⁷Demos.org. “The State of Young America: The Poll”. In: (2011).

6.1. INFERENCIA PARA UNA SOLA PROPORCIÓN 215

6.5 Igualdad de género. La Encuesta Social General (General Social Survey) le preguntó a una muestra aleatoria de 1390 estadounidenses la siguiente pregunta: “En general, ¿cree que debería o no ser responsabilidad del gobierno promover la igualdad entre hombres y mujeres?”. El 82% de los encuestados dijo que “debería ser”. Con un nivel de confianza del 95%, esta muestra tiene un margen de error del 2%. Basado en esta información, determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento.8

• 1. Tenemos un 95% de confianza en que entre el 80% y el 84% de los estadounidenses en esta muestra piensa que es responsabilidad del gobierno promover la igualdad entre hombres y mujeres.
• 2. Tenemos un 95% de confianza en que entre el 80% y el 84% de todos los estadounidenses piensa que es responsabilidad del gobierno promover la igualdad entre hombres y mujeres.
• 3. Si consideramos muchas muestras aleatorias de 1390 estadounidenses, y calculamos intervalos de confianza del 95% para cada una, el 95% de estos intervalos incluiría la verdadera proporción poblacional de estadounidenses que piensa que es responsabilidad del gobierno promover la igualdad entre hombres y mujeres.
• 4. Para disminuir el margen de error al 1%, necesitaríamos cuadruplicar (multiplicar por 4) el tamaño de la muestra.
• 5. Basado en este intervalo de confianza, hay evidencia suficiente para concluir que una mayoría de los estadounidenses piensa que es responsabilidad del gobierno promover la igualdad entre hombres y mujeres.

6.6 Conductores de edad avanzada. La encuesta Marist Poll publicó un informe que indica que el 66% de los adultos a nivel nacional piensa que se les debería exigir a los conductores con licencia volver a tomar su examen de manejo una vez que cumplan 65 años. También se informó que las entrevistas se realizaron a 1018 adultos estadounidenses, y que el margen de error fue del 3% utilizando un nivel de confianza del 95%.9

• 1. Verifique el margen de error reportado por The Marist Poll.
• 2. Basado en un intervalo de confianza del 95%, ¿la encuesta proporciona evidencia convincente de que más del 70% de la población piensa que se les debería exigir a los conductores con licencia volver a tomar su examen de manejo una vez que cumplan 65 años?

6.7 Fuegos artificiales el 4 de julio. Un medio de noticias local informó que el 56% de 600 residentes de Kansas muestreados aleatoriamente planeaba encender fuegos artificiales el 4 de julio. Determine el margen de error para la estimación puntual del 56% utilizando un nivel de confianza del 95%.10

6.8 Calificación de vida en Grecia. Grecia ha enfrentado una severa crisis económica desde finales de 2009. Una encuesta de Gallup encuestó a 1000 griegos muestreados aleatoriamente en 2011 y encontró que el 25% de ellos dijo que calificaría sus vidas lo suficientemente mal como para ser considerados “sufriendo”.11

• 1. Describa el parámetro de la población de interés. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de este parámetro?
• 2. Verifique si se cumplen las condiciones necesarias para construir un intervalo de confianza basado en estos datos.
• 3. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de griegos que están “sufriendo”.
• 4. Sin hacer ningún cálculo, describa lo que le sucedería al intervalo de confianza si decidiéramos usar un nivel de confianza más alto.
• 5. Sin hacer ningún cálculo, describa lo que le sucedería al intervalo de confianza si usáramos una muestra más grande.

6.9 Estudiar en el extranjero. Una encuesta a 1509 estudiantes de último año de secundaria que tomaron el SAT y que completaron una encuesta web opcional muestra que el 55% de los estudiantes de último año de secundaria están bastante seguros de que participarán en un programa de estudios en el extranjero en la universidad.12

• 1. ¿Es esta muestra una muestra representativa de la población de todos los estudiantes de último año de secundaria en los EE. UU.? Explique su razonamiento.
• 2. Supongamos que se cumplen las condiciones para la inferencia. Incluso si su respuesta a la parte (a) indicó que este enfoque no sería confiable, este análisis aún puede ser interesante de llevar a cabo (aunque no de informar). Construya un intervalo de confianza del 90% para la proporción de estudiantes de último año de secundaria (de los que tomaron el SAT) que están bastante seguros de que participarán en un programa de estudios en el extranjero en la universidad, e interprete este intervalo en contexto.
• 3. ¿Qué significa “90% de confianza”?
• 4. Basado en este intervalo, ¿sería apropiado afirmar que la mayoría de los estudiantes de último año de secundaria están bastante seguros de que participarán en un programa de estudios en el extranjero en la universidad?

⁸National Opinion Research Center, General Social Survey, 2018.

⁹Marist Poll, Road Rules: Re-Testing Drivers at Age 65?, 4 de marzo de 2011.

¹⁰Survey USA, News Poll #19333, datos recopilados el 27 de junio de 2012.

¹¹Gallup World, More Than One in 10 “Suffering” Worldwide, datos recopilados a lo largo de 2011.

¹²studentPOLL, College-Bound Students’ Interests in Study Abroad and Other International Learning Activities, enero de 2008.

6.10 Legalización de la marihuana, Parte I. La Encuesta Social General le preguntó a 1578 residentes de los EE. UU.: “¿Cree que el uso de la marihuana debería ser legal, o no?”. El 61% de los encuestados dijo que debería ser legal.13

• 1. ¿Es 61% una estadística de muestra o un parámetro de población? Explique.
• 2. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de residentes de los EE. UU. que piensa que la marihuana debería ser legal, e interprételo en el contexto de los datos.
• 3. Un crítico señala que este intervalo de confianza del 95% solo es preciso si la estadística sigue una distribución normal, o si el modelo normal es una buena aproximación. ¿Es esto cierto para estos datos? Explique.
• 4. Una noticia sobre los hallazgos de esta encuesta afirma: “La mayoría de los estadounidenses piensa que la marihuana debería ser legalizada”. Basado en su intervalo de confianza, ¿está justificada la afirmación de esta noticia?

6.11 Plan Nacional de Salud, Parte I. Una encuesta de Kaiser Family Foundation para adultos estadounidenses en 2019 encontró que el 79% de los demócratas, el 55% de los independientes y el 24% de los republicanos apoyaban un “Plan Nacional de Salud” genérico. Se encuestaron 347 demócratas, 298 republicanos y 617 independientes.14

• 1. Un experto político en la televisión afirma que la mayoría de los independientes apoya un Plan Nacional de Salud. ¿Proporcionan estos datos evidencia sólida para respaldar este tipo de afirmación?
• 2. ¿Esperaría que un intervalo de confianza para la proporción de independientes que se oponen al plan de opción pública incluya 0.5? Explique.

6.12 ¿Vale la pena la universidad? Parte I. Entre una muestra aleatoria simple de 331 adultos estadounidenses que no tienen un título universitario de cuatro años y que no están actualmente matriculados en la escuela, el 48% dijo que decidió no ir a la universidad porque no podían pagar la escuela.15

• 1. Un artículo de periódico afirma que solo una minoría de los estadounidenses que deciden no ir a la universidad lo hacen porque no pueden pagarla y utiliza la estimación puntual de esta encuesta como evidencia. Realice una prueba de hipótesis para determinar si estos datos proporcionan evidencia sólida que respalde esta afirmación.
• 2. ¿Esperaría que un intervalo de confianza para la proporción de adultos estadounidenses que deciden no ir a la universidad porque no pueden pagarla incluya 0.5? Explique.

6.13 Prueba de sabor. Algunas personas afirman que pueden notar la diferencia entre una gaseosa dietética y una gaseosa regular en el primer sorbo. Un investigador que quería probar esta afirmación muestreó aleatoriamente a 80 de estas personas. Luego llenó 80 vasos blancos lisos con gaseosa, la mitad dietética y la mitad regular mediante asignación aleatoria, y le pidió a cada persona que tomara un sorbo de su vaso e identificara la gaseosa como dietética o regular. 53 participantes identificaron correctamente la gaseosa.

• 1. ¿Proporcionan estos datos evidencia sólida de que estas personas son mejores o peores que la adivinación aleatoria para notar la diferencia entre la gaseosa dietética y la regular?
• 2. Interprete el valor p en este contexto.

6.14 ¿Vale la pena la universidad? Parte II. El ejercicio 6.12 presenta los resultados de una encuesta donde el 48% de 331 estadounidenses que deciden no ir a la universidad lo hacen porque no pueden pagarla.

• 1. Calcule un intervalo de confianza del 90% para la proporción de estadounidenses que deciden no ir a la universidad porque no pueden pagarla, e interprete el intervalo en contexto.
• 2. Suponga que queremos que el margen de error para el nivel de confianza del 90% sea de aproximadamente el 1.5%. ¿Qué tamaño de encuesta recomendaría?

6.15 Plan Nacional de Salud, Parte II. El ejercicio 6.11 presenta los resultados de una encuesta que evalúa el apoyo a un “Plan Nacional de Salud” genérico en los EE. UU. en 2019, informando que el 55% de los independientes lo apoyan. Si quisiéramos estimar este número con un margen de error del 1% con un 90% de confianza, ¿cuál sería un tamaño de muestra apropiado?

6.16 Legalizar la marihuana, Parte II. Como se analizó en el Ejercicio 6.10, la Encuesta Social General informó una muestra donde aproximadamente el 61% de los residentes de los EE. UU. pensaba que la marihuana debería ser legalizada. Si quisiéramos limitar el margen de error de un intervalo de confianza del 95% al 2%, ¿a cuántos estadounidenses necesitaríamos encuestar aproximadamente?

¹³National Opinion Research Center, General Social Survey, 2018.

¹⁴Kaiser Family Foundation, The Public On Next Steps For The ACA And Proposals To Expand Coverage, datos recopilados entre el 9 y el 14 de enero de 2019.

¹⁵Pew Research Center Publications, Is College Worth It?, datos recopilados entre el 15 y el 29 de marzo de 2011.

6.2 Diferencia de dos proporciones

Nos gustaría extender los métodos de la Sección 6.1 para aplicar intervalos de confianza y pruebas de hipótesis a las diferencias en las proporciones de la población: p¹ − p2. En nuestras investigaciones, identificaremos una estimación puntual razonable de p¹ − p² basada en la muestra, y es posible que ya haya adivinado su forma: ˆp¹ − pˆ2. A continuación, aplicaremos los mismos procesos que utilizamos en el contexto de una sola proporción: verificaremos que la estimación puntual pueda modelarse utilizando una distribución normal, calcularemos el error estándar de la estimación y aplicaremos nuestro marco inferencial.

6.2.1 Distribución muestral de la diferencia de dos proporciones

Al igual que con ˆp, la diferencia de dos proporciones muestrales ˆp¹ − pˆ² se puede modelar usando una distribución normal cuando se cumplen ciertas condiciones. Primero, requerimos una condición de independencia más amplia y, en segundo lugar, la condición de éxito-fracaso debe ser cumplida por ambos grupos.

CONDICIONES PARA QUE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE pˆ¹ − pˆ² SEA NORMAL

La diferencia ˆp¹ − pˆ² se puede modelar usando una distribución normal cuando

• Independencia, extendida. Los datos son independientes dentro y entre los dos grupos. Generalmente, esto se satisface si los datos provienen de dos muestras aleatorias independientes o si los datos provienen de un experimento aleatorizado.
• Condición de éxito-fracaso. La condición de éxito-fracaso se cumple para ambos grupos, donde verificamos los éxitos y los fracasos en cada grupo por separado.

Cuando se cumplen estas condiciones, el error estándar de ˆp¹ − pˆ² es

\[SE = \sqrt{\frac{p\_1(1-p\_1)}{n\_1} + \frac{p\_2(1-p\_2)}{n\_2}}\]

donde p¹ y p² representan las proporciones de la población, y n¹ y n² representan los tamaños de la muestra.

6.2.2 Intervalos de confianza para p¹ − p²

Podemos aplicar la fórmula genérica del intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones, donde usamos ˆp¹ − pˆ² como la estimación puntual y sustituimos la fórmula del EE:

\[\text{estimación puntual } \pm \; z^{\star} \times EE \qquad \rightarrow \qquad \hat{p}\_1 - \hat{p}\_2 \pm \; z^{\star} \times \sqrt{\frac{p\_1(1-p\_1)}{n\_1} + \frac{p\_2(1-p\_2)}{n\_2}}\]

También podemos seguir los mismos pasos de Preparar, Verificar, Calcular, Concluir para calcular un intervalo de confianza o completar una prueba de hipótesis. Los detalles cambian un poco, pero el enfoque general sigue siendo el mismo. Piensa en estos pasos cuando apliques métodos estadísticos.

EJEMPLO 6.11

Consideramos un experimento para pacientes que se sometieron a reanimación cardiopulmonar (RCP) por un ataque al corazón y fueron posteriormente ingresados en un hospital. Estos pacientes fueron divididos aleatoriamente en un grupo de tratamiento donde recibieron un anticoagulante o en el grupo de control donde no recibieron un anticoagulante. La variable de resultado de interés fue si los pacientes sobrevivieron durante al menos 24 horas. Los resultados se muestran en la Figura 6.1. Verifica si podemos modelar la diferencia en las proporciones de la muestra utilizando la distribución normal.

Primero verificamos la independencia: dado que se trata de un experimento aleatorio, esta condición se cumple.

A continuación, verificamos la condición de éxito-fracaso para cada grupo. Tenemos al menos 10 éxitos y 10 fracasos en cada brazo del experimento (11, 14, 39, 26), por lo que esta condición también se cumple.

Con ambas condiciones satisfechas, la diferencia en las proporciones de la muestra puede modelarse razonablemente utilizando una distribución normal para estos datos.

	Sobrevivió	Murió	Total
Control	11	39	50
Tratamiento	14	26	40
Total	25	65	90

Figura 6.1: Resultados para el estudio de RCP. Los pacientes en el grupo de tratamiento recibieron un anticoagulante, y los pacientes en el grupo de control no lo recibieron.

EJEMPLO 6.12

Cree e interprete un intervalo de confianza del 90% para la diferencia en las tasas de supervivencia en el estudio de RCP.

Usaremos p^t para la tasa de supervivencia en el grupo de tratamiento y p^c para el grupo de control:

\[ \hat{p}\_t - \hat{p}\_c = \frac{14}{40} - \frac{11}{50} = 0.35 - 0.22 = 0.13 \]

Usamos la fórmula del error estándar proporcionada en la página 217. Al igual que con el caso de proporción de una muestra, usamos las estimaciones de muestra de cada proporción en la fórmula en el contexto del intervalo de confianza:

\[SE \approx \sqrt{\frac{0.35(1 - 0.35)}{40} + \frac{0.22(1 - 0.22)}{50}} = 0.095\]

Para un intervalo de confianza del 90%, usamos z ^⋆ = 1.6449:

estimación puntual ± z ^⋆ × SE → 0.13 ± 1.6449 × 0.095 → (−0.026, 0.286)

Tenemos un 90% de confianza en que los anticoagulantes tienen una diferencia de -2.6% a +28.6% de impacto en la tasa de supervivencia para los pacientes que son como los del estudio. Debido a que el 0% está contenido en el intervalo, no tenemos suficiente información para decir si los anticoagulantes ayudan o perjudican a los pacientes con ataque cardíaco que han sido admitidos después de haber sido sometidos a RCP.

Se llevó a cabo un experimento de 5 años para evaluar la eficacia de los aceites de pescado en la reducción de eventos cardiovasculares, donde cada sujeto fue asignado al azar a uno de dos grupos de tratamiento. Consideraremos los resultados de ataques cardíacos en estos pacientes:

	ataque cardíaco	sin evento	Total
aceite de pescado	145	12788	12933
placebo	200	12738	12938

Cree un intervalo de confianza del 95% para el efecto de los aceites de pescado en los ataques cardíacos para los pacientes que están bien representados por los del estudio. También interprete el intervalo en el contexto del estudio.16

6.2.3 Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos proporciones

Una mamografía es un procedimiento de rayos X utilizado para detectar el cáncer de mama. Si las mamografías deben utilizarse es parte de una discusión controvertida, y es el tema de nuestro siguiente ejemplo donde aprendemos sobre las pruebas de hipótesis de 2 proporciones cuando H⁰ es p¹ − p² = 0 (o equivalentemente, p¹ = p2).

Se llevó a cabo un estudio de 30 años con casi 90,000 participantes femeninas. Durante un período de detección de 5 años, cada mujer fue asignada aleatoriamente a uno de dos grupos: en el primer grupo, las mujeres recibieron mamografías regulares para detectar el cáncer de mama, y en el segundo grupo, las mujeres recibieron exámenes regulares de cáncer de mama que no eran mamografías. No se realizó ninguna intervención durante los siguientes 25 años del estudio, y consideraremos la muerte resultante del cáncer de mama durante el período completo de 30 años. Los resultados del estudio se resumen en la Figura 6.2.

Si las mamografías son mucho más efectivas que los exámenes de cáncer de mama que no son mamografías, entonces esperaríamos ver muertes adicionales por cáncer de mama en el grupo de control. Por otro lado, si las mamografías no son tan efectivas como los exámenes regulares de cáncer de mama, esperaríamos ver un aumento en las muertes por cáncer de mama en el grupo de mamografías.

	¿Muerte por cáncer de mama?
	Sí	No
Mamografía	500	44,425
Control	505	44,405

Figura 6.2: Resultados resumidos del estudio de cáncer de mama.

PRÁCTICA GUIADA 6.14

¿Este estudio es un experimento o un estudio observacional?17

−0.0043 ± 1.96 × 0.00145 → (−0.0071, −0.0015)

¹⁶Debido a que los pacientes fueron asignados aleatoriamente, los sujetos son independientes, tanto dentro como entre los dos grupos. La condición de éxito-fracaso también se cumple para ambos grupos, ya que todos los recuentos son al menos 10. Esto satisface las condiciones necesarias para modelar la diferencia en proporciones utilizando una distribución normal.

Calcule las proporciones de la muestra (ˆpaceite de pescado = 0.0112, ˆpplacebo = 0.0155), la estimación puntual de la diferencia (0.0112 − 0.0155 = −0.0043) y el error estándar (SE = q0.0112×0.9888 ¹²⁹³³ + 0.0155×0.9845 ¹²⁹³⁸ = 0.00145). Luego, conecte los valores en la fórmula general para un intervalo de confianza, donde usaremos un nivel de confianza del 95% con z ^⋆ = 1.96:

Tenemos un 95% de confianza en que los aceites de pescado disminuyen los ataques cardíacos en 0.15 a 0.71 puntos porcentuales (fuera de una línea de base de aproximadamente 1.55%) durante un período de 5 años para sujetos que son similares a los del estudio. Debido a que el intervalo está completamente por debajo de 0, los datos proporcionan evidencia sólida de que los suplementos de aceite de pescado reducen los ataques cardíacos en pacientes como los del estudio.

¹⁷Este es un experimento. Los pacientes fueron asignados aleatoriamente para recibir mamografías o un examen estándar de cáncer de mama. Podremos sacar conclusiones causales basadas en este estudio.

Establezca hipótesis para probar si hubo una diferencia en las muertes por cáncer de mama en los grupos de mamografía y control.18

En el Ejemplo 6.16, verificaremos las condiciones para usar una distribución normal para analizar los resultados del estudio. Los detalles son muy similares a los de los intervalos de confianza. Sin embargo, cuando la hipótesis nula es que p¹ − p² = 0, usamos una proporción especial llamada proporción combinada para verificar la condición de éxito-fracaso:

\[\begin{split} \hat{p}\_{combinada} &= \frac{\#\text{ de pacientes que murieron de cáncer de mama en todo el estudio}}{\#\text{ de pacientes en todo el estudio}} \\ &= \frac{500 + 505}{500 + 44,425 + 505 + 44,405} \\ &= 0.0112 \end{split}\]

Esta proporción es una estimación de la tasa de mortalidad por cáncer de mama en todo el estudio, y es nuestra mejor estimación de las proporciones pmgm y pctrl si la hipótesis nula es verdadera de que pmgm = pctrl. También utilizaremos esta proporción combinada al calcular el error estándar.

EJEMPLO 6.16

¿Es razonable modelar la diferencia en proporciones usando una distribución normal en este estudio?

Debido a que los pacientes son asignados aleatoriamente, pueden ser tratados como independientes, tanto dentro como entre los grupos. También debemos verificar la condición de éxito-fracaso para cada grupo. Bajo la hipótesis nula, las proporciones pmgm y pctrl son iguales, por lo que verificamos la condición de éxito-fracaso con nuestra mejor estimación de estos valores bajo H0, la proporción combinada de las dos muestras, ˆpcombinada = 0.0112:

\[\begin{aligned} \hat{p}\_{combinada} \times n\_{mgm} &= 0.0112 \times 44,925 = 503 & \quad \text{(1 - } \hat{p}\_{combinada}\text{)} \times n\_{mgm} &= 0.9888 \times 44,925 = 44,422\\ \hat{p}\_{combinada} \times n\_{ctrl} &= 0.0112 \times 44,910 = 503 & \quad \text{(1 - } \hat{p}\_{combinada}\text{)} \times n\_{ctrl} &= 0.9888 \times 44,910 = 44,407 \end{aligned}\]

La condición de éxito-fracaso se cumple ya que todos los valores son al menos 10. Con ambas condiciones satisfechas, podemos modelar de manera segura la diferencia en proporciones usando una distribución normal.

USE LA PROPORCIÓN COMBINADA CUANDO H⁰ ES p¹ − p² = 0

Cuando la hipótesis nula es que las proporciones son iguales, use la proporción combinada (ˆpcombinada) para verificar la condición de éxito-fracaso y estimar el error estándar:

\[ \hat{p}\_{combinada} = \frac{\text{número de \textquotesingle éxitos\textquotesingle}}{\text{número de casos}} = \frac{\hat{p}\_1 n\_1 + \hat{p}\_2 n\_2}{n\_1 + n\_2} \]

Aquí ˆp1n¹ representa el número de éxitos en la muestra 1 ya que

\[ \hat{p}\_1 = \frac{\text{número de éxitos en la muestra 1}}{n\_1} \]

De manera similar, ˆp2n² representa el número de éxitos en la muestra 2.

En el Ejemplo 6.16, la proporción combinada se utilizó para verificar la condición de éxito-fracaso.19 En el siguiente ejemplo, vemos el segundo lugar donde la proporción combinada entra en juego: el cálculo del error estándar.

¹⁸H0: la tasa de mortalidad por cáncer de mama para pacientes examinadas con mamografías es la misma que la tasa de mortalidad por cáncer de mama para pacientes en el control, pmgm − pctrl = 0.

HA: la tasa de mortalidad por cáncer de mama para pacientes examinadas con mamografías es diferente de la tasa de mortalidad por cáncer de mama para pacientes en el control, pmgm − pctrl ̸= 0.

¹⁹Para un ejemplo de una prueba de hipótesis de dos proporciones que no requiere que se cumpla la condición de éxito-fracaso, consulte la Sección 2.3.

6.2. DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES 221

EJEMPLO 6.17

Calcule la estimación puntual de la diferencia en las tasas de mortalidad por cáncer de mama en los dos grupos, y utilice la proporción agrupada ˆppooled = 0.0112 para calcular el error estándar.

La estimación puntual de la diferencia en las tasas de mortalidad por cáncer de mama es

\[\begin{aligned} \hat{p}\_{mgm} - \hat{p}\_{ctrl} &= \frac{500}{500 + 44,425} - \frac{505}{505 + 44,405} \\ &= 0.01113 - 0.01125 \\ &= -0.00012 \end{aligned}\]

La tasa de mortalidad por cáncer de mama en el grupo de mamografías fue un 0.012% menor que en el grupo de control. A continuación, el error estándar se calcula utilizando la proporción agrupada, ˆppooled:

\[SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\_{pooled}(1-\hat{p}\_{pooled})}{n\_{mgm}} + \frac{\hat{p}\_{pooled}(1-\hat{p}\_{pooled})}{n\_{ctrl}}} = 0.00070\]

EJEMPLO 6.18

Usando la estimación puntual ˆpmgm − pˆctrl = −0.00012 y el error estándar SE = 0.00070, calcule un valor p para la prueba de hipótesis y escriba una conclusión.

Al igual que en pruebas anteriores, primero calculamos un estadístico de prueba y dibujamos una imagen:

El área de la cola inferior es 0.4325, que duplicamos para obtener el valor p: 0.8650. Debido a que este valor p es mayor que 0.05, no rechazamos la hipótesis nula. Es decir, la diferencia en las tasas de mortalidad por cáncer de mama se explica razonablemente por el azar, y no observamos beneficios ni daños de las mamografías en relación con un examen de mama regular.

¿Podemos concluir que las mamografías no tienen beneficios ni daños? Aquí hay algunas consideraciones a tener en cuenta al revisar el estudio de mamografías, así como cualquier otro estudio médico:

• No rechazamos la hipótesis nula, lo que significa que no tenemos evidencia suficiente para concluir que las mamografías reducen o aumentan las muertes por cáncer de mama.
• Si las mamografías son útiles o perjudiciales, los datos sugieren que el efecto no es muy grande.
• ¿Son las mamografías más o menos costosas que un examen de mama sin mamografía? Si una opción es mucho más costosa que la otra y no ofrece beneficios claros, entonces deberíamos inclinarnos por la opción menos costosa.
• Los autores del estudio también encontraron que las mamografías llevaron a un sobrediagnóstico de cáncer de mama, lo que significa que se encontraron algunos cánceres de mama (o se pensó que se habían encontrado), pero que estos cánceres no causarían síntomas durante la vida de las pacientes. Es decir, algo más mataría a la paciente antes de que aparecieran los síntomas del cáncer de mama. Esto significa que algunas pacientes pueden haber sido tratadas por cáncer de mama innecesariamente, y este tratamiento es otro costo a considerar. También es importante reconocer que el sobrediagnóstico puede causar daños físicos o emocionales innecesarios a las pacientes.

Estas consideraciones resaltan la complejidad en torno a la atención médica y las recomendaciones de tratamiento. Los expertos y las juntas médicas que estudian los tratamientos médicos utilizan consideraciones como las anteriores para brindar su mejor recomendación en función de la evidencia actual.

6.2.4 Más sobre pruebas de hipótesis de 2 proporciones (tema especial)

Cuando realizamos una prueba de hipótesis de 2 proporciones, usualmente H⁰ es p¹ − p² = 0. Sin embargo, existen situaciones raras donde queremos verificar alguna diferencia en p¹ y p² que sea algún valor diferente de 0. Por ejemplo, tal vez nos interese verificar una hipótesis nula donde p¹ − p² = 0.1. En contextos como estos, generalmente usamos ˆp¹ y ˆp² para verificar la condición de éxito-fracaso y construir el error estándar.

PRÁCTICA GUIADA 6.19

Una empresa de cuadricópteros está considerando un nuevo fabricante para las hélices del rotor. El nuevo fabricante sería más caro, pero afirman que sus hélices de mayor calidad son más fiables, con un 3% más de hélices que pasan la inspección que su competidor. Establezca las hipótesis apropiadas para la prueba.20

—————————– Foto por David J (http://flic.kr/p/oiWLNu). Licencia CC-BY 2.0. Esta foto ha sido recortada y se le ha añadido un borde.

²⁰H0: Las hélices de mayor calidad pasarán la inspección un 3% más frecuentemente que las hélices de calidad estándar. phighQ− pstandard = 0.03. HA: Las hélices de mayor calidad pasarán la inspección una cantidad diferente al 3% más a menudo que las hélices de calidad estándar. phighQ − pstandard ̸= 0.03.

6.2. DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES 223

EJEMPLO 6.20

La ingeniera de control de calidad de la Práctica Guiada 6.19 recoge una muestra de cuchillas, examinando 1000 cuchillas de cada empresa, y encuentra que 899 cuchillas pasan la inspección del proveedor actual y 958 pasan la inspección del posible proveedor. Utilizando estos datos, evalúa las hipótesis de la Práctica Guiada 6.19 con un nivel de significación del 5%.

Primero, comprobamos las condiciones. La muestra no es necesariamente aleatoria, por lo que para proceder debemos asumir que todas las cuchillas son independientes; para esta muestra supondremos que esta suposición es razonable, pero la ingeniera tendría más conocimiento sobre si esta suposición es apropiada. La condición de éxito-fracaso también se cumple para cada muestra. Por lo tanto, se puede decir que la diferencia en las proporciones de la muestra, 0.958 − 0.899 = 0.059, proviene de una distribución casi normal.

El error estándar se calcula utilizando las dos proporciones de la muestra, ya que no utilizamos una proporción combinada para este contexto:

\[SE = \sqrt{\frac{0.958(1 - 0.958)}{1000} + \frac{0.899(1 - 0.899)}{1000}} = 0.0114\]

En esta prueba de hipótesis, dado que la hipótesis nula es que p¹ − p² = 0.03, las proporciones de la muestra se utilizaron para el cálculo del error estándar en lugar de una proporción combinada.

A continuación, calculamos el estadístico de prueba y lo utilizamos para encontrar el valor p, que se representa en la Figura 6.4.

\[Z = \frac{\text{estimación puntual} - \text{valor nulo}}{SE} = \frac{0.059 - 0.03}{0.0114} = 2.54\]

Utilizando una distribución normal estándar para este estadístico de prueba, identificamos el área de la cola derecha como 0.006, y la duplicamos para obtener el valor p: 0.012. Rechazamos la hipótesis nula porque 0.012 es menor que 0.05. Dado que observamos un aumento mayor del 3% en las cuchillas que pasan la inspección, tenemos evidencia estadísticamente significativa de que las cuchillas de mayor calidad pasan la inspección más del 3% con más frecuencia que las cuchillas utilizadas actualmente, superando las afirmaciones de la empresa.

Figura 6.4: Distribución del estadístico de prueba si la hipótesis nula fuera verdadera. El valor p está representado por las áreas sombreadas.

6.2.5 Examinando la fórmula del error estándar (tema especial)

Esta subsección cubre temas más teóricos que ofrecen una visión más profunda de los orígenes de la fórmula del error estándar para la diferencia de dos proporciones. En última instancia, todas las fórmulas del error estándar que encontraremos en este capítulo y en el Capítulo 7 pueden derivarse de los principios de probabilidad de la Sección 3.4.

La fórmula para el error estándar de la diferencia en dos proporciones se puede descomponer en las fórmulas para los errores estándar de las proporciones de muestra individuales. Recuerde que el error estándar de las proporciones de muestra individuales ˆp¹ y ˆp² son

\[SE\_{\hat{p}\_1} = \sqrt{\frac{p\_1(1-p\_1)}{n\_1}}\qquad\qquad\qquad SE\_{\hat{p}\_2} = \sqrt{\frac{p\_2(1-p\_2)}{n\_2}}\]

El error estándar de la diferencia de dos proporciones de muestra se puede descomponer de los errores estándar de las proporciones de muestra separadas:

\[SE\_{\hat{p}\_1-\hat{p}\_2} = \sqrt{SE\_{\hat{p}\_1}^2 + SE\_{\hat{p}\_2}^2} = \sqrt{\frac{p\_1(1-p\_1)}{n\_1} + \frac{p\_2(1-p\_2)}{n\_2}}\]

Esta relación especial se deriva de la teoría de la probabilidad.

PRÁCTICA GUIADA 6.21

Prerrequisito: Sección 3.4. Podemos reescribir la ecuación anterior de una manera diferente:

\[\mathbf{G}\]

\[SE\_{\hat{p}\_1-\hat{p}\_2}^2 = SE\_{\hat{p}\_1}^2 + SE\_{\hat{p}\_2}^2\]

Explique de dónde viene esta fórmula utilizando la fórmula para la variabilidad de la suma de dos variables aleatorias.21

²¹El error estándar al cuadrado representa la varianza de la estimación. Si X e Y son dos variables aleatorias con varianzas σ 2 ^x y σ 2 y , entonces la varianza de X − Y es σ 2 ^x + σ 2 y . Asimismo, la varianza correspondiente a ˆp¹ − pˆ² es σ 2 pˆ1 + σ 2 pˆ2 . Debido a que σ 2 pˆ1 y σ 2 pˆ2 son solo otra forma de escribir SE² pˆ1 y SE² pˆ2 , la varianza asociada con ˆp¹ − pˆ² se puede escribir como SE² pˆ1 + SE² pˆ2 .

Ejercicios

6.17 Experimento social, Parte I. Un “experimento social” conducido por un programa de televisión cuestionó lo que hace la gente cuando ve a una mujer visiblemente golpeada siendo maltratada por su novio. En dos ocasiones diferentes en el mismo restaurante, se representó a la misma pareja. En un escenario, la mujer vestía de forma “provocativa” y en el otro escenario, la mujer vestía de forma “conservadora”. La tabla a continuación muestra cuántos comensales del restaurante estaban presentes en cada escenario y si intervinieron o no.

		Escenario
		Provocativo	Conservador	Total
	Sí	5	15	20
Intervenir	No	15	10	25
	Total	20	25	45

Explica por qué la distribución muestral de la diferencia entre las proporciones de intervenciones en escenarios provocativos y conservadores no sigue una distribución aproximadamente normal.

6.18 Éxito del trasplante de corazón. El Estudio de Trasplante de Corazón de la Universidad de Stanford se llevó a cabo para determinar si un programa experimental de trasplante de corazón aumentaba la esperanza de vida. Cada paciente que ingresaba al programa era designado oficialmente como candidato a trasplante de corazón, lo que significa que estaba gravemente enfermo y podría beneficiarse de un nuevo corazón. Los pacientes fueron asignados aleatoriamente a grupos de tratamiento y control. Los pacientes del grupo de tratamiento recibieron un trasplante y los del grupo de control no. La tabla a continuación muestra cuántos pacientes sobrevivieron y murieron en cada grupo.22

	control	tratamiento
vivo	4	24
muerto	30	45

Supongamos que estamos interesados en estimar la diferencia en la tasa de supervivencia entre los grupos de control y tratamiento utilizando un intervalo de confianza. Explica por qué no podemos construir tal intervalo utilizando la aproximación normal. ¿Qué podría salir mal si construyéramos el intervalo de confianza a pesar de este problema?

6.19 Género y preferencia de color. Un estudio preguntó a 1924 estudiantes universitarios varones y 3666 mujeres cuál era su color favorito. Se calculó un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres cuyo color favorito es el negro (phombre − pmujer) y resultó ser (0.02, 0.06). Basándote en esta información, determina si las siguientes afirmaciones sobre los estudiantes universitarios son verdaderas o falsas y explica tu razonamiento para cada afirmación que identifiques como falsa.23

• 1. Tenemos un 95% de confianza en que la verdadera proporción de hombres cuyo color favorito es el negro es entre un 2% y un 6% menor que la verdadera proporción de mujeres cuyo color favorito es el negro.
• 2. Tenemos un 95% de confianza en que la verdadera proporción de hombres cuyo color favorito es el negro es entre un 2% y un 6% mayor que la verdadera proporción de mujeres cuyo color favorito es el negro.
• 3. El 95% de las muestras aleatorias producirán intervalos de confianza del 95% que incluyen la verdadera diferencia entre las proporciones de la población de hombres y mujeres cuyo color favorito es el negro.
• 4. Podemos concluir que existe una diferencia significativa entre las proporciones de hombres y mujeres cuyo color favorito es el negro y que la diferencia entre las dos proporciones muestrales es demasiado grande para atribuirse plausiblemente al azar.
• 5. El intervalo de confianza del 95% para (pmujer − phombre) no se puede calcular solo con la información proporcionada en este ejercicio.

²²B. Turnbull et al. “Supervivencia de los datos de trasplante de corazón”. En: Journal of the American Statistical Association 69 (1974), pp. 74–80.

²³L Ellis y C Ficek. “Preferencias de color según género y orientación sexual”. En: Personality and Individual Differences 31.8 (2001), pp. 1375–1379.

6.20 Cierre del gobierno. El cierre del gobierno federal de los Estados Unidos de 2018-2019 ocurrió desde el 22 de diciembre de 2018 hasta el 25 de enero de 2019, un lapso de 35 días. Una encuesta de Survey USA de 614 estadounidenses seleccionados al azar durante este período informó que el 48% de los que ganan menos de $40,000 por año y el 55% de los que ganan $40,000 o más por año dijeron que el cierre del gobierno no les ha afectado en absoluto personalmente. Un intervalo de confianza del 95% para (p<40K − p^≥40K), donde p es la proporción de aquellos que dijeron que el cierre del gobierno no les ha afectado en absoluto personalmente, es (-0.16, 0.02). Basándote en esta información, determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica tu razonamiento si identificas la afirmación como falsa.24

• 1. Con un nivel de significancia del 5%, los datos proporcionan evidencia convincente de una diferencia real en la proporción de personas que no se ven afectadas personalmente entre los estadounidenses que ganan menos de $40,000 anuales y los estadounidenses que ganan $40,000 anuales o más.
• 2. Tenemos un 95% de confianza en que entre un 16% más y un 2% menos de estadounidenses que ganan menos de $40,000 por año no se ven afectados en absoluto personalmente por el cierre del gobierno en comparación con aquellos que ganan $40,000 o más por año.
• 3. Un intervalo de confianza del 90% para (p<40K − p^≥40K) sería más amplio que el intervalo (−0.16, 0.02).
• 4. Un intervalo de confianza del 95% para (p^≥40K − p<40K) es (-0.02, 0.16).

6.21 Plan Nacional de Salud, Parte III. El ejercicio 6.11 presenta los resultados de una encuesta que evalúa el apoyo a un “Plan Nacional de Salud” de marca genérica en los Estados Unidos. El 79% de 347 demócratas y el 55% de 617 independientes apoyan un Plan Nacional de Salud.

• 1. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la proporción de demócratas e independientes que apoyan un Plan Nacional de Salud (p^D − p^I) e interprétalo en este contexto. Ya hemos verificado las condiciones por ti.
• 2. Verdadero o falso: si hubiéramos elegido un demócrata aleatorio y un independiente aleatorio en el momento de esta encuesta, es más probable que el demócrata apoye el Plan Nacional de Salud que el independiente.

6.22 Privación del sueño, CA vs. OR, Parte I. Según un informe sobre la privación del sueño de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades, la proporción de residentes de California que informaron descanso o sueño insuficientes durante cada uno de los 30 días anteriores es del 8.0%, mientras que esta proporción es del 8.8% para los residentes de Oregón. Estos datos se basan en muestras aleatorias simples de 11,545 residentes de California y 4,691 de Oregón. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las proporciones de californianos y habitantes de Oregón que están privados de sueño e interprétalo en el contexto de los datos.25

6.23 Perforación en alta mar, Parte I. Una encuesta preguntó a 827 votantes registrados seleccionados al azar en California “¿Apoya? ¿O se opone? ¿A la perforación en busca de petróleo y gas natural frente a la costa de California? ¿O no sabe lo suficiente para opinar?” A continuación, se muestra la distribución de las respuestas, separadas según si el encuestado se graduó o no de la universidad.26

• 1. ¿Qué porcentaje de los graduados universitarios y qué porcentaje de los no graduados universitarios en esta muestra no saben lo suficiente para tener una opinión sobre la perforación en busca de petróleo y gas natural frente a la costa de California?
• Graduado Universitario Sí No Apoyo 154 132 Oposición 180 126 No sabe 104 131 Total 438 389
• 2. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si los datos proporcionan evidencia sólida de que la proporción de graduados universitarios que no tienen una opinión sobre este tema es diferente a la de los no graduados universitarios.

6.24 Privación del sueño, CA vs. OR, Parte II. El ejercicio 6.22 proporciona datos sobre las tasas de privación del sueño de californianos y habitantes de Oregón. La proporción de residentes de California que informaron descanso o sueño insuficientes durante cada uno de los 30 días anteriores es del 8.0%, mientras que esta proporción es del 8.8% para los residentes de Oregón. Estos datos se basan en muestras aleatorias simples de 11,545 residentes de California y 4,691 de Oregón.

• 1. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si estos datos proporcionan evidencia sólida de que la tasa de privación del sueño es diferente para los dos estados. (Recordatorio: verifica las condiciones)
• 2. Es posible que la conclusión de la prueba en la parte (a) sea incorrecta. Si este es el caso, ¿qué tipo de error se cometió?

²⁴Survey USA, Encuesta de noticias #24568, datos recopilados el 21 de abril de 2019.

²⁵CDC, Descanso o sueño percibido como insuficiente entre adultos: Estados Unidos, 2008.

²⁶Survey USA, Encuesta electoral #16804, datos recopilados del 8 al 11 de julio de 2010.

6.25 Perforación en alta mar, Parte II. Los resultados de una encuesta que evalúa el apoyo a la perforación en busca de petróleo y gas natural frente a la costa de California se presentaron en el ejercicio 6.23.

	Graduado Universitario
	Sí	No
Apoyo	154	132
Oposición	180	126
No sabe	104	131
Total	438	389

• 1. ¿Qué porcentaje de los graduados universitarios y qué porcentaje de los no graduados universitarios en esta muestra apoyan la perforación en busca de petróleo y gas natural frente a la costa de California?
• 2. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si los datos proporcionan evidencia sólida de que la proporción de graduados universitarios que apoyan la perforación en alta mar en California es diferente a la de los no graduados universitarios.

6.26 Escaneo de cuerpo completo, Parte I. Un artículo de noticias informa que “Los estadounidenses tienen diferentes puntos de vista sobre dos prácticas potencialmente inconvenientes e invasivas que los aeropuertos podrían implementar para descubrir posibles ataques terroristas”. Esta noticia se basó en una encuesta realizada entre una muestra aleatoria de 1,137 adultos en todo el país, donde una de las preguntas de la encuesta era “Algunos aeropuertos ahora están utilizando máquinas de rayos X digitales de ‘cuerpo completo’ para examinar electrónicamente a los pasajeros en las líneas de seguridad del aeropuerto. ¿Cree que estas nuevas máquinas de rayos X deberían o no deberían usarse en los aeropuertos?” A continuación, se muestra un resumen de las respuestas según la afiliación partidista.27

		Afiliación partidista
		Republicano	Demócrata	Independiente
	Debería	264	299	351
Respuesta	No debería	38	55	77
	No sabe/Sin respuesta	16	15	22
	Total	318	369	450

• 1. Realiza una prueba de hipótesis apropiada que evalúe si existe una diferencia en la proporción de republicanos y demócratas que piensan que los escáneres de cuerpo completo deberían aplicarse en los aeropuertos. Supón que se cumplen todas las condiciones relevantes.
• 2. La conclusión de la prueba en la parte (a) puede ser incorrecta, lo que significa que se cometió un error de prueba. Si se cometió un error, ¿fue un error de tipo 1 o un error de tipo 2? Explica.

6.27 Trabajadores del transporte privados de sueño. La National Sleep Foundation realizó una encuesta sobre los hábitos de sueño de trabajadores del transporte seleccionados aleatoriamente y una muestra de control de trabajadores no del transporte. Los resultados de la encuesta se muestran a continuación.28

		Profesionales del Transporte
			Camión Tren Autobús/Taxi/Limo
	Control	Pilotos	Conductores	Operadores	Conductores
Menos de 6 horas de sueño	35	19	35	29	21
De 6 a 8 horas de sueño	193	132	117	119	131
Más de 8 horas	64	51	51	32	58
Total	292	202	203	180	210

Realiza una prueba de hipótesis para evaluar si estos datos proporcionan evidencia de una diferencia entre las proporciones de conductores de camiones y trabajadores no del transporte (el grupo de control) que duermen menos de 6 horas al día, es decir, se consideran privados de sueño.

²⁷S. Condon. “Encuesta: 4 de cada 5 apoyan los escáneres de cuerpo completo en los aeropuertos”. En: CBS News (2010).

²⁸National Sleep Foundation, Encuesta sobre el sueño en Estados Unidos de 2012: El sueño de los trabajadores del transporte, 2012.

6.28 Vitaminas prenatales y autismo. Investigadores que estudiaban la relación entre el uso de vitaminas prenatales y el autismo encuestaron a las madres de una muestra aleatoria de niños de entre 24 y 60 meses con autismo y realizaron otra muestra aleatoria separada para niños con un desarrollo típico. La tabla a continuación muestra el número de madres en cada grupo que usaron o no vitaminas prenatales durante los tres meses anteriores al embarazo (período periconcepcional).29

		Autismo	Desarrollo típico	Total
Periconcepcional	Sin vitamina	111	70	181
vitamina prenatal	Vitamina	143	159	302
	Total	254	229	483

• 1. Indica las hipótesis apropiadas para probar la independencia del uso de vitaminas prenatales durante los tres meses anteriores al embarazo y el autismo.
• 2. Completa la prueba de hipótesis e indica una conclusión apropiada. (Recordatorio: verifica cualquier condición necesaria para la prueba).
• 3. Un artículo del New York Times que informaba sobre este estudio se titulaba “Las vitaminas prenatales pueden prevenir el autismo”. ¿Consideras apropiado el título de este artículo? Explica tu respuesta. Además, propón un título alternativo.30

6.29 VIH en África subsahariana. En julio de 2008, los Institutos Nacionales de Salud de EE. UU. anunciaron que estaban interrumpiendo un estudio clínico antes de tiempo debido a resultados inesperados. La población del estudio consistía en mujeres infectadas con el VIH en África subsahariana a las que se les había administrado una dosis única de Nevaripina (un tratamiento para el VIH) durante el parto, para prevenir la transmisión del VIH al bebé. El estudio fue una comparación aleatoria del tratamiento continuo de una mujer (después de un parto exitoso) con Nevaripina frente a Lopinavir, un segundo medicamento utilizado para tratar el VIH. 240 mujeres participaron en el estudio; 120 fueron asignadas aleatoriamente a cada uno de los dos tratamientos. Veinticuatro semanas después de comenzar el tratamiento del estudio, se evaluó a cada mujer para determinar si la infección por VIH estaba empeorando (un resultado llamado fracaso virológico). Veintiséis de las 120 mujeres tratadas con Nevaripina experimentaron fracaso virológico, mientras que 10 de las 120 mujeres tratadas con el otro fármaco experimentaron fracaso virológico.31

• 1. Crea una tabla bidireccional que presente los resultados de este estudio.
• 2. Indica las hipótesis apropiadas para probar la diferencia en las tasas de fracaso virológico entre los grupos de tratamiento.
• 3. Completa la prueba de hipótesis e indica una conclusión apropiada. (Recordatorio: verifica cualquier condición necesaria para la prueba).

6.30 Una manzana al día mantiene alejado al médico. Una profesora de educación física en una escuela secundaria que quería aumentar la conciencia sobre temas de nutrición y salud preguntó a sus estudiantes al comienzo del semestre si creían en la expresión “una manzana al día mantiene alejado al médico”, y el 40% de los estudiantes respondió que sí. A lo largo del semestre, comenzó cada clase con una breve discusión sobre un estudio que destacaba los efectos positivos de comer más frutas y verduras. Realizó la misma encuesta sobre la manzana al día al final del semestre, y esta vez el 60% de los estudiantes respondió que sí. ¿Puede utilizar un método de dos proporciones de esta sección para este análisis? Explica tu razonamiento.

²⁹R.J. Schmidt et al. “Vitaminas prenatales, variantes del gen del metabolismo del carbono y riesgo de autismo”. En: Epidemiology 22.4 (2011), p. 476.

³⁰R.C. Rabin. “Patrones: Las vitaminas prenatales pueden prevenir el autismo”. En: New York Times (2011).

³¹S. Lockman et al. “Respuesta a la terapia antirretroviral después de una sola dosis periparto de nevirapina”. En: Obstetrical & gynecological survey 62.6 (2007), p. 361.

6.3 Prueba de bondad de ajuste utilizando chi-cuadrado

En esta sección, desarrollamos un método para evaluar un modelo nulo cuando los datos se agrupan. Esta técnica se utiliza comúnmente en dos circunstancias:

• Dado un muestreo de casos que se pueden clasificar en varios grupos, determinar si el muestreo es representativo de la población general.
• Evaluar si los datos se asemejan a una distribución particular, como una distribución normal o una distribución geométrica.

Cada uno de estos escenarios se puede abordar utilizando la misma prueba estadística: una prueba de chi-cuadrado.

En el primer caso, consideramos los datos de una muestra aleatoria de 275 jurados en un condado pequeño. Los jurados identificaron su grupo racial, como se muestra en la Figura 6.5, y nos gustaría determinar si estos jurados son racialmente representativos de la población. Si el jurado es representativo de la población, entonces las proporciones en la muestra deberían reflejar aproximadamente la población de jurados elegibles, es decir, votantes registrados.

Raza	Blanco	Negro	Hispano	Otro	Total
Representación en jurados	205	26	25	19	275
Votantes registrados	0.72	0.07	0.12	0.09	1.00

Figura 6.5: Representación por raza en los jurados y la población de una ciudad.

Si bien las proporciones en los jurados no representan con precisión las proporciones de la población, no está claro si estos datos proporcionan evidencia convincente de que la muestra no es representativa. Si los jurados realmente fueran muestreados aleatoriamente de los votantes registrados, podríamos esperar pequeñas diferencias debido al azar. Sin embargo, las diferencias inusualmente grandes pueden proporcionar evidencia convincente de que los jurados no eran representativos.

Una segunda aplicación, la evaluación del ajuste de una distribución, se presenta al final de esta sección. Los rendimientos diarios de las acciones del S&P500 durante 25 años se utilizan para evaluar si la actividad bursátil de cada día es independiente del comportamiento de la acción en días anteriores.

En estos problemas, nos gustaría examinar todos los contenedores simultáneamente, no simplemente comparar uno o dos contenedores a la vez, lo que requerirá que desarrollemos un nuevo estadístico de prueba.

6.3.1 Creación de un estadístico de prueba para tablas de una vía

EJEMPLO 6.22

De las personas en la ciudad, 275 formaron parte de un jurado. Si los individuos son seleccionados aleatoriamente para formar parte de un jurado, ¿aproximadamente cuántas de las 275 personas esperaríamos que fueran Blancas? ¿Cuántas esperaríamos que fueran Negras?

Aproximadamente el 72% de la población es Blanca, por lo que esperaríamos que aproximadamente el 72% de los miembros del jurado fueran Blancos: 0.72 × 275 = 198.

De manera similar, esperaríamos que aproximadamente el 7% de los miembros del jurado fueran Negros, lo que correspondería a aproximadamente 0.07 × 275 = 19.25 miembros del jurado Negros.

PRÁCTICA GUIADA 6.23

El doce por ciento de la población es hispana y el 9% representa a otras razas. ¿Cuántos de los 275 miembros del jurado esperaríamos que fueran hispanos o de otra raza? Las respuestas se pueden encontrar en la Figura 6.6.

La proporción de la muestra representada de cada raza entre los 275 miembros del jurado no coincidió con precisión con ningún grupo étnico. Si bien se espera cierta variación en el muestreo, esperaríamos que las

Raza	Blanco	Negro	Hispano	Otro	Total
Datos observados	205	26	25	19	275
Conteo esperado	198	19.25	33	24.75	275

		Figura 6.6: Composición real y esperada de los miembros del jurado.

proporciones de la muestra sean bastante similares a las proporciones de la población si no hay sesgo en los jurados. Necesitamos probar si las diferencias son lo suficientemente fuertes como para proporcionar evidencia convincente de que los miembros del jurado no son una muestra aleatoria. Estas ideas se pueden organizar en hipótesis:

• H0: Los miembros del jurado son una muestra aleatoria, es decir, no hay sesgo racial en quién sirve en un jurado, y los conteos observados reflejan la fluctuación natural del muestreo.
• HA: Los miembros del jurado no se seleccionan al azar, es decir, hay sesgo racial en la selección del jurado.

Para evaluar estas hipótesis, cuantificamos cuán diferentes son los conteos observados de los conteos esperados. La evidencia sólida para la hipótesis alternativa vendría en forma de desviaciones inusualmente grandes en los grupos de lo que se esperaría basándose únicamente en la variación del muestreo.

6.3.2 El estadístico de prueba chi-cuadrado

En pruebas de hipótesis anteriores, construimos un estadístico de prueba de la siguiente forma:

estimación puntual − valor nulo EE de la estimación puntual

Esta construcción se basó en (1) identificar la diferencia entre una estimación puntual y un valor esperado si la hipótesis nula fuera verdadera, y (2) estandarizar esa diferencia utilizando el error estándar de la estimación puntual. Estas dos ideas ayudarán en la construcción de un estadístico de prueba apropiado para datos de conteo.

Nuestra estrategia será primero calcular la diferencia entre los conteos observados y los conteos que esperaríamos si la hipótesis nula fuera verdadera, luego estandarizaremos la diferencia:

\[Z\_1 = \frac{\text{conteo de Blancos observado} - \text{conteo de Blancos nulo}}{\text{EE del conteo de Blancos observado}}\]

El error estándar para la estimación puntual del conteo en datos agrupados es la raíz cuadrada del conteo bajo la hipótesis nula.32 Por lo tanto:

\[Z\_1 = \frac{205 - 198}{\sqrt{198}} = 0.50\]

La fracción es muy similar a las estadísticas de prueba anteriores: primero calcule una diferencia, luego estandarícela. Estos cálculos también deben completarse para los grupos de negros, hispanos y otros:

\[\begin{aligned} Negro &\quad &Hispano &\quad Otros\\ Z\_2 = \frac{26 - 19.25}{\sqrt{19.25}} = 1.54 &\quad Z\_3 = \frac{25 - 33}{\sqrt{33}} = -1.39 &\quad Z\_4 = \frac{19 - 24.75}{\sqrt{24.75}} = -1.16 \end{aligned}\]

Nos gustaría usar un solo estadístico de prueba para determinar si estas cuatro diferencias estandarizadas están irregularmente lejos de cero. Es decir, Z1, Z2, Z3 y Z⁴ deben combinarse de alguna manera para ayudar a determinar si ellos, como grupo, tienden a estar inusualmente lejos de cero. Una primera idea podría ser tomar el valor absoluto de estas cuatro diferencias estandarizadas y sumarlas:

\[|Z\_1| + |Z\_2| + |Z\_3| + |Z\_4| = 4.58\]

³²Usando algunas de las reglas aprendidas en capítulos anteriores, podríamos pensar que el error estándar sería np(1 − p), donde n es el tamaño de la muestra y p es la proporción en la población. Esto sería correcto si estuviéramos mirando solo un conteo. Sin embargo, estamos calculando muchas diferencias estandarizadas y sumándolas. Se puede demostrar, aunque no aquí, que la raíz cuadrada del conteo es una mejor manera de estandarizar las diferencias de conteo.

De hecho, esto da un número que resume cuán lejos están los conteos reales de lo que se esperaba. Sin embargo, es más común sumar los valores al cuadrado:

\[Z\_1^2 + Z\_2^2 + Z\_3^2 + Z\_4^2 = 5.89\]

Elevar al cuadrado cada diferencia estandarizada antes de sumarlas hace dos cosas:

• Cualquier diferencia estandarizada que se eleve al cuadrado ahora será positiva.
• Las diferencias que ya parecen inusuales, por ejemplo, una diferencia estandarizada de 2.5, se volverán mucho más grandes después de ser elevadas al cuadrado.

El estadístico de prueba X², que es la suma de los valores Z ², generalmente se usa por estas razones. También podemos escribir una ecuación para X² usando los conteos observados y los conteos nulos:

\[X^2 = \frac{(\text{conteo observado}\_1 - \text{conteo nulo}\_1)^2}{\text{conteo nulo}\_1} + \dots + \frac{(\text{conteo observado}\_4 - \text{conteo nulo}\_4)^2}{\text{conteo nulo}\_4}\]

El número final X² resume cuán fuertemente tienden a desviarse los conteos observados de los conteos nulos. En la Sección 6.3.4, veremos que si la hipótesis nula es verdadera, entonces X² sigue una nueva distribución llamada distribución chi-cuadrado. Usando esta distribución, podremos obtener un valor p para evaluar las hipótesis.

6.3.3 La distribución chi-cuadrado y la búsqueda de áreas

La distribución chi-cuadrado se utiliza a veces para caracterizar conjuntos de datos y estadísticas que son siempre positivos y típicamente sesgados a la derecha. Recordemos que una distribución normal tenía dos parámetros - media y desviación estándar - que podían utilizarse para describir sus características exactas. La distribución chi-cuadrado tiene un solo parámetro llamado grados de libertad (df), que influye en la forma, el centro y la dispersión de la distribución.

PRÁCTICA GUIADA 6.24

La Figura 6.7 muestra tres distribuciones chi-cuadrado.

• 1. ¿Cómo cambia el centro de la distribución cuando los grados de libertad son mayores?
• 2. ¿Qué ocurre con la variabilidad (dispersión)?
• (c) ¿Cómo cambia la forma?33

Figura 6.7: Tres distribuciones chi-cuadrado con diferentes grados de libertad.

³³(a) El centro se hace más grande. Si observáramos con atención, podríamos ver que la media de cada distribución es igual a los grados de libertad de la distribución. (b) La variabilidad aumenta a medida que aumentan los grados de libertad. (c) La distribución está muy fuertemente sesgada para df = 2, y luego las distribuciones se vuelven más simétricas para los grados de libertad mayores df = 4 y df = 9. Veríamos que esta tendencia continúa si examináramos distribuciones con grados de libertad aún mayores.

La Figura 6.7 y la Práctica Guiada 6.24 demuestran tres propiedades generales de las distribuciones chi-cuadrado a medida que aumentan los grados de libertad: la distribución se vuelve más simétrica, el centro se desplaza hacia la derecha y la variabilidad se infla.

Nuestro principal interés en la distribución chi-cuadrado es el cálculo de valores p, que (como hemos visto antes) está relacionado con la búsqueda del área relevante en la cola de una distribución. Las formas más comunes de hacerlo son utilizando software informático, utilizando una calculadora gráfica o utilizando una tabla. Para aquellos que deseen utilizar la opción de tabla, proporcionamos un esquema de cómo leer la tabla chi-cuadrado en el Apéndice C.3, que es también donde puede encontrar la tabla. Para los ejemplos siguientes, utilice su enfoque preferido para confirmar que obtiene las mismas respuestas.

EJEMPLO 6.25

La Figura 6.8(a) muestra una distribución chi-cuadrado con 3 grados de libertad y una cola superior sombreada que comienza en 6.25. Encuentra el área sombreada.

Usando software estadístico o una calculadora gráfica, podemos encontrar que el área de la cola superior para una distribución chi-cuadrado con 3 grados de libertad (gl) y un punto de corte de 6.25 es 0.1001. Es decir, la cola superior sombreada de la Figura 6.8(a) tiene un área de 0.1.

EJEMPLO 6.26

La Figura 6.8(b) muestra la cola superior de una distribución chi-cuadrado con 2 grados de libertad. El límite para esta cola superior está en 4.3. Encuentra el área de la cola.

Usando software, podemos encontrar que el área de la cola sombreada en la Figura 6.8(b) es 0.1165. Si usamos una tabla, solo podríamos encontrar un rango de valores para el área de la cola: entre 0.1 y 0.2.

EJEMPLO 6.27

La Figura 6.8(c) muestra una cola superior para una distribución chi-cuadrado con 5 grados de libertad y un punto de corte de 5.1. Encuentra el área de la cola.

Usando software, obtendríamos un área de la cola de 0.4038. Si usamos la tabla en el Apéndice C.3, habríamos identificado que el área de la cola es mayor que 0.3 pero no podríamos dar el valor preciso.

PRÁCTICA GUIADA 6.28

La Figura 6.8(d) muestra un punto de corte de 11.7 en una distribución chi-cuadrado con 7 grados de libertad. Encuentra el área de la cola superior.34

PRÁCTICA GUIADA 6.29

La Figura 6.8(e) muestra un punto de corte de 10 en una distribución chi-cuadrado con 4 grados de libertad. Encuentra el área de la cola superior.35

PRÁCTICA GUIADA 6.30

La Figura 6.8(f) muestra un punto de corte de 9.21 con una distribución chi-cuadrado con 3 gl. Encuentra el área de la cola superior.36

³⁴El área es 0.1109. Si se usa una tabla, identificaríamos que cae entre 0.1 y 0.2.

³⁵Valor preciso: 0.0404. Si se usa la tabla: entre 0.02 y 0.05.

³⁶Valor preciso: 0.0266. Si se usa la tabla: entre 0.02 y 0.05.

Figura 6.8: (a) Distribución chi-cuadrado con 3 grados de libertad, área por encima de 6.25 sombreada. (b) 2 grados de libertad, área por encima de 4.3 sombreada. (c) 5 grados de libertad, área por encima de 5.1 sombreada. (d) 7 grados de libertad, área por encima de 11.7 sombreada. (e) 4 grados de libertad, área por encima de 10 sombreada. (f) 3 grados de libertad, área por encima de 9.21 sombreada.

6.3.4 Encontrar un valor p para una distribución chi-cuadrado

En la Sección 6.3.2, identificamos un nuevo estadístico de prueba (X² ) dentro del contexto de evaluar si había evidencia de sesgo racial en cómo se seleccionaron los jurados. La hipótesis nula representaba la afirmación de que los jurados fueron seleccionados al azar y no había sesgo racial. La hipótesis alternativa era que había sesgo racial en cómo se seleccionaron los jurados.

Determinamos que un valor X² grande sugeriría una fuerte evidencia a favor de la hipótesis alternativa: que había sesgo racial. Sin embargo, no pudimos cuantificar cuál era la probabilidad de observar un estadístico de prueba tan grande (X² = 5.89) si la hipótesis nula realmente fuera cierta. Aquí es donde la distribución chi-cuadrado se vuelve útil. Si la hipótesis nula fuera cierta y no hubiera sesgo racial, entonces X² seguiría una distribución chi-cuadrado, con tres grados de libertad en este caso. Bajo ciertas condiciones, el estadístico X² sigue una distribución chi-cuadrado con k − 1 grados de libertad, donde k es el número de contenedores.

EJEMPLO 6.31

¿Cuántas categorías había en el ejemplo del jurado? ¿Cuántos grados de libertad deberían estar asociados con la distribución chi-cuadrado utilizada para X² ?

En el ejemplo de los jurados, había k = 4 categorías: blancos, negros, hispanos y otros. De acuerdo con la regla anterior, el estadístico de prueba X² debería entonces seguir una distribución chi-cuadrado con k − 1 = 3 grados de libertad si H⁰ es verdadera.

Al igual que verificamos las condiciones del tamaño de la muestra para usar una distribución normal en secciones anteriores, también debemos verificar una condición del tamaño de la muestra para aplicar de manera segura la distribución chi-cuadrado para X² . Cada conteo esperado debe ser al menos 5. En el ejemplo del jurado, los conteos esperados fueron 198, 19.25, 33 y 24.75, todos fácilmente por encima de 5, por lo que podemos aplicar el modelo chi-cuadrado al estadístico de prueba, X² = 5.89.

EJEMPLO 6.32

Si la hipótesis nula es verdadera, el estadístico de prueba X² = 5.89 estaría estrechamente asociado con una distribución chi-cuadrado con tres grados de libertad. Usando esta distribución y estadístico de prueba, identifica el valor p.

La distribución chi-cuadrado y el valor p se muestran en la Figura 6.9. Debido a que los valores chi-cuadrado más grandes corresponden a una evidencia más fuerte en contra de la hipótesis nula, sombreamos la cola superior para representar el valor p. Usando un software estadístico (o la tabla en el Apéndice C.3), podemos determinar que el área es 0.1171. Generalmente no rechazamos la hipótesis nula con un valor p tan grande. En otras palabras, los datos no proporcionan evidencia convincente de sesgo racial en la selección del jurado.

Figura 6.9: El valor p para la prueba de hipótesis del jurado está sombreado en la distribución chi-cuadrado con gl = 3.

PRUEBA CHI-CUADRADO PARA TABLA DE UNA VÍA

Supongamos que debemos evaluar si hay evidencia convincente de que un conjunto de conteos observados O1, O2, …, O^k en k categorías son inusualmente diferentes de lo que podría esperarse bajo una hipótesis nula. Llamemos a los conteos esperados que se basan en la hipótesis nula E1, E2, …, Ek. Si cada conteo esperado es al menos 5 y la hipótesis nula es verdadera, entonces el estadístico de prueba a continuación sigue una distribución chi-cuadrado con k − 1 grados de libertad:

\[X^2 = \frac{(O\_1 - E\_1)^2}{E\_1} + \frac{(O\_2 - E\_2)^2}{E\_2} + \dots + \frac{(O\_k - E\_k)^2}{E\_k}\]

El valor p para este estadístico de prueba se encuentra observando la cola superior de esta distribución chi-cuadrado. Consideramos la cola superior porque los valores más grandes de X² proporcionarían una mayor evidencia en contra de la hipótesis nula.

CONDICIONES PARA LA PRUEBA CHI-CUADRADO

Hay dos condiciones que deben verificarse antes de realizar una prueba chi-cuadrado:

• Independencia. Cada caso que contribuye con un conteo a la tabla debe ser independiente de todos los demás casos en la tabla.
• Tamaño de la muestra / distribución. Cada escenario particular (es decir, el conteo de celdas) debe tener al menos 5 casos esperados.

No verificar las condiciones puede afectar las tasas de error de la prueba.

Cuando examines una tabla con solo dos contenedores, elige un solo contenedor y usa los métodos de una proporción introducidos en la Sección 6.1.

6.3.5 Evaluación de la bondad de ajuste para una distribución

La Sección 4.2 sería una lectura útil como antecedente para este ejemplo, pero no es un requisito previo.

Podemos aplicar el marco de prueba chi-cuadrado al segundo problema en esta sección: evaluar si un cierto modelo estadístico se ajusta a un conjunto de datos. Los rendimientos diarios de las acciones del S&P500 durante 10 años se pueden usar para evaluar si la actividad bursátil cada día es independiente del comportamiento de la acción en los días anteriores. Esto suena como una pregunta muy compleja, y lo es, pero se puede usar una prueba chi-cuadrado para estudiar el problema. Etiquetaremos cada día como Arriba o Abajo (A) dependiendo de si el mercado subió o bajó ese día. Por ejemplo, considera los siguientes cambios en el precio, sus nuevas etiquetas de arriba y abajo, y luego el número de días que deben observarse antes de cada día de Arriba:

Cambio en el precio	2.52	-1.46	0.51	-4.07	3.36	1.10	-5.46	-1.03	-2.99	1.71
Resultado	Arriba	Abajo	Arriba	Abajo	Arriba	Arriba	Abajo	Abajo	Abajo	Arriba
Días hasta Arriba	1	-	2	-	2	1	-	-	-	4

Si los días realmente son independientes, entonces el número de días hasta un día de cotización positivo debería seguir una distribución geométrica. La distribución geométrica describe la probabilidad de esperar hasta el intento k para observar el primer éxito. Aquí cada día de subida (Arriba) representa un éxito, y los días de bajada (Abajo) representan fracasos. En los datos anteriores, solo tomó un día hasta que el mercado subió, por lo que el primer tiempo de espera fue de 1 día. Tomó dos días más antes de que observáramos nuestro próximo día de cotización de Arriba, y dos más para el tercer día de Arriba. Nos gustaría determinar si estos conteos (1, 2, 2, 1, 4, etc.) siguen la distribución geométrica. La Figura 6.10 muestra el número de días de espera para un día de cotización positivo durante 10 años para el S&P500.

Días	1	2	3	4	5	6	7+	Total
Observado	717	369	155	69	28	14	10	1362

Figura 6.10: Distribución observada del tiempo de espera hasta un día de cotización positivo para el S&P500.

Consideramos cuántos días uno debe esperar hasta observar un día de Arriba en el índice bursátil S&P500. Si la actividad bursátil fuera independiente de un día al siguiente y la probabilidad de un día de cotización positivo fuera constante, entonces esperaríamos que este tiempo de espera siguiera una distribución geométrica. Podemos organizar esto en un marco de hipótesis:

• H0: Que el mercado de valores suba o baje en un día determinado es independiente de todos los demás días. Consideraremos el número de días que pasan hasta que se observa un día de Arriba. Bajo esta hipótesis, el número de días hasta un día de Arriba debería seguir una distribución geométrica.
• HA: Que el mercado de valores suba o baje en un día determinado no es independiente de todos los demás días. Dado que sabemos que el número de días hasta un día de Arriba seguiría una distribución geométrica bajo la nula, buscamos desviaciones de la distribución geométrica, lo que apoyaría la hipótesis alternativa.

Hay implicaciones importantes en nuestro resultado para los operadores de bolsa: si la información de los días de cotización anteriores es útil para decir lo que sucederá hoy, esa información puede proporcionar una ventaja sobre otros operadores.

Consideramos los datos para el S&P500 y resumimos los tiempos de espera en la Figura 6.11 y la Figura 6.12. El S&P500 fue positivo en el 54.5% de esos días.

Debido a que la aplicación del marco chi-cuadrado requiere que los conteos esperados sean al menos 5, hemos agrupado todos los casos en los que el tiempo de espera fue de al menos 7 días para asegurar que cada conteo esperado esté muy por encima de este mínimo. Los datos reales, que se muestran en la fila Observado en la Figura 6.11, se pueden comparar con los conteos esperados de la fila Modelo Geométrico. El método para calcular los conteos esperados se analiza en la Figura 6.11. En general, los conteos esperados se determinan (1) identificando la proporción nula asociada con cada contenedor, luego (2) multiplicando cada proporción nula por el conteo total para obtener los conteos esperados. Es decir, esta estrategia identifica qué proporción del conteo total esperaríamos que estuviera en cada contenedor.

Días	1	2	3	4	5	6	7+	Total
Observado	717	369	155	69	28	14	10	1362
Modelo Geométrico	743	338	154	70	32	14	12	1362

Figura 6.11: Distribución del tiempo de espera hasta un día de cotización positivo. Los conteos esperados basados en el modelo geométrico se muestran en la última fila. Para encontrar cada conteo esperado, identificamos la probabilidad de esperar D días según el modelo geométrico (P(D) = (1 − 0.545)D−¹ (0.545)) y multiplicamos por el número total de rachas, 1362. Por ejemplo, esperar tres días ocurre bajo el modelo geométrico aproximadamente el 0.455² × 0.545 = 11.28% del tiempo, lo que corresponde a 0.1128 × 1362 = 154 rachas.

Figura 6.12: Gráfico de barras lado a lado de los conteos observados y esperados para cada tiempo de espera.

EJEMPLO 6.33

¿Notas alguna desviación inusualmente grande en el gráfico? ¿Puedes decir si estas desviaciones se deben al azar solo con mirarlo?

No es obvio si las diferencias en los conteos observados y los conteos esperados de la distribución geométrica son significativamente diferentes. Es decir, no está claro si estas desviaciones podrían deberse al azar o si son tan fuertes que los datos proporcionan evidencia convincente en contra de la hipótesis nula. Sin embargo, podemos realizar una prueba de chi-cuadrado utilizando los conteos en la Figura 6.11.

PRÁCTICA GUIADA 6.34

La Figura 6.11 proporciona un conjunto de datos de conteo para los tiempos de espera (O¹ = 717, O² = 369, …) y los conteos esperados bajo la distribución geométrica (E¹ = 743, E² = 338, …). Calcula el estadístico de prueba de chi-cuadrado, X² . 37

PRÁCTICA GUIADA 6.35

Debido a que los conteos esperados son todos al menos 5, podemos aplicar con seguridad la distribución chi-cuadrado a X² . Sin embargo, ¿cuántos grados de libertad deberíamos usar?38

EJEMPLO 6.36

Si los conteos observados siguen el modelo geométrico, entonces el estadístico de prueba chi-cuadrado X² = 4.61 seguiría de cerca una distribución chi-cuadrado con gl = 6. Usando esta información, calcula un valor p.

La Figura 6.13 muestra la distribución chi-cuadrado, el punto de corte y el valor p sombreado. Usando software, podemos encontrar el valor p: 0.5951. En última instancia, no tenemos suficiente evidencia para rechazar la noción de que los tiempos de espera siguen una distribución geométrica para los últimos 10 años de datos para el S&P500, es decir, no podemos rechazar la noción de que los días de negociación son independientes.

Figura 6.13: Distribución chi-cuadrado con 6 grados de libertad. El valor p para el análisis de acciones está sombreado.

EJEMPLO 6.37

En el Ejemplo 6.36, no rechazamos la hipótesis nula de que los días de negociación son independientes durante los últimos 10 años de datos. ¿Por qué es esto tan importante?

Puede ser tentador pensar que el mercado está “debido” a un día de subida si ha habido varios días consecutivos en los que ha estado a la baja. Sin embargo, no hemos encontrado evidencia sólida de que exista tal propiedad donde el mercado esté “debido” a una corrección. Por lo menos, el análisis sugiere que cualquier dependencia entre días es muy débil.

³⁷X² = (717−743)^{2 743} + (369−338)^{2 338} + · · · + (10−12)^{2 12} = 4.61 ³⁸Hay k = 7 grupos, así que usamos gl = k − 1 = 6.

Ejercicios

6.31 Verdadero o falso, Parte I. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para cada afirmación falsa, sugiere una redacción alternativa para que sea una afirmación verdadera.

• 1. La distribución chi-cuadrado, al igual que la distribución normal, tiene dos parámetros, media y desviación estándar.
• 2. La distribución chi-cuadrado siempre está sesgada a la derecha, independientemente del valor del parámetro de grados de libertad.
• 3. El estadístico chi-cuadrado siempre es positivo.
• 4. A medida que aumentan los grados de libertad, la forma de la distribución chi-cuadrado se vuelve más sesgada.

6.32 Verdadero o falso, Parte II. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Para cada afirmación falsa, sugiere una redacción alternativa para que sea una afirmación verdadera.

• 1. A medida que aumentan los grados de libertad, la media de la distribución chi-cuadrado aumenta.
• 2. Si encontraste χ ² = 10 con gl = 5, no podrías rechazar H⁰ al nivel de significancia del 5%.
• 3. Al encontrar el valor p de una prueba chi-cuadrado, siempre sombreamos las áreas de la cola en ambas colas.
• 4. A medida que aumentan los grados de libertad, la variabilidad de la distribución chi-cuadrado disminuye.

6.33 Libro de texto de código abierto. Un profesor que usa un libro de texto introductorio de estadística de código abierto predice que el 60% de los estudiantes comprarán una copia impresa del libro, el 25% lo imprimirá de la web y el 15% lo leerá en línea. Al final del semestre, pide a sus estudiantes que completen una encuesta donde indiquen qué formato del libro usaron. De los 126 estudiantes, 71 dijeron que compraron una copia impresa del libro, 30 dijeron que lo imprimieron de la web y 25 dijeron que lo leyeron en línea.

• 1. Indica las hipótesis para probar si las predicciones del profesor fueron inexactas.
• 2. ¿Cuántos estudiantes esperaba el profesor que compraran el libro, imprimieran el libro y leyeran el libro exclusivamente en línea?
• 3. Este es un entorno apropiado para una prueba chi-cuadrado. Enumera las condiciones requeridas para una prueba y verifica que se cumplan.
• 4. Calcula el estadístico chi-cuadrado, los grados de libertad asociados y el valor p.
• 5. Según el valor p calculado en la parte (d), ¿cuál es la conclusión de la prueba de hipótesis? Interpreta tu conclusión en este contexto.

6.34 Ciervo ladrador. Se examinaron los factores de microhábitat asociados con los sitios de forraje y descanso del ciervo ladrador en la isla de Hainan, China. En esta región, los bosques constituyen el 4.8% de la tierra, la parcela de hierba cultivada constituye el 14.7% y los bosques caducifolios constituyen el 39.6%. De los 426 sitios donde se alimentan los ciervos, 4 se clasificaron como bosques, 16 como parcela de hierba cultivada y 61 como bosques caducifolios. La siguiente tabla resume estos datos.39

Bosques	Parcela de hierba cultivada	Bosques caducifolios	Otros	Total
4	16	61	345	426

• 1. Escribe las hipótesis para probar si los ciervos ladradores prefieren alimentarse en ciertos hábitats sobre otros.
• 2. ¿Qué tipo de prueba podemos usar para responder a esta pregunta de investigación?
• 3. Verifica si se cumplen los supuestos y las condiciones requeridas para esta prueba.
• 4. ¿Estos datos proporcionan evidencia convincente de que los ciervos ladradores prefieren alimentarse en ciertos hábitats sobre otros? Realiza una prueba de hipótesis apropiada para responder a esta pregunta de investigación. Foto de Shrikant Rao

(http://flic.kr/p/4Xjdkk) Licencia CC BY 2.0

³⁹Liwei Teng et al. “Forage and bed sites characteristics of Indian muntjac (Muntiacus muntjak) in Hainan Island, China”. En: Ecological Research 19.6 (2004), pp. 675–681.

6.4 Prueba de independencia en tablas de doble entrada

Todos compramos productos usados ​​(automóviles, computadoras, libros de texto, etc.) y, a veces, asumimos que los vendedores de esos productos serán directos sobre cualquier problema subyacente con lo que están vendiendo. Esto no es algo que debamos dar por sentado. Los investigadores reclutaron a 219 participantes en un estudio donde venderían un iPod usado40 que se sabía que se había congelado dos veces en el pasado. Los participantes fueron incentivados para obtener la mayor cantidad de dinero posible por el iPod, ya que recibirían un recorte del 5% de la venta además de $10 por participar. Los investigadores querían comprender qué tipos de preguntas harían que el vendedor revelara el problema de congelación.

Sin que lo supieran los participantes que eran los vendedores en el estudio, los compradores estaban colaborando con los investigadores para evaluar la influencia de diferentes preguntas sobre la probabilidad de que los vendedores revelaran los problemas pasados ​​con el iPod. Los compradores con guión comenzaron con “Está bien, supongo que se supone que debo ir primero. Así que has tenido el iPod durante 2 años…” y terminaron con una de tres preguntas:

• General: ¿Qué puedes decirme sobre él?
• Suposición positiva: No tiene ningún problema, ¿verdad?
• Suposición negativa: ¿Qué problemas tiene?

La pregunta es el tratamiento dado a los vendedores, y la respuesta es si la pregunta los impulsó a revelar el problema de congelación con el iPod. Los resultados se muestran en la Figura 6.14, y los datos sugieren que preguntar, ¿Qué problemas tiene?, fue lo más efectivo para que el vendedor revelara los problemas de congelación pasados. Sin embargo, también deberías preguntarte: ¿podríamos ver estos resultados solo por casualidad, o es esto de hecho evidencia de que algunas preguntas son más efectivas para llegar a la verdad?

	General	Suposición positiva	Suposición negativa	Total
Revelar problema	2	23	36	61
Ocultar problema	71	50	37	158
Total	73	73	73	219

Figura 6.14: Resumen del estudio de iPod, donde se hizo una pregunta al participante del estudio que actuó

DIFERENCIAS DE TABLAS UNIDIRECCIONALES VS TABLAS BIDIRECCIONALES

Una tabla unidireccional describe los conteos para cada resultado en una sola variable. Una tabla bidireccional describe los conteos para combinaciones de resultados para dos variables. Cuando consideramos una tabla bidireccional, a menudo nos gustaría saber, ¿están estas variables relacionadas de alguna manera? Es decir, ¿son dependientes (versus independientes)?

La prueba de hipótesis para el experimento de iPod se trata realmente de evaluar si existe evidencia estadísticamente significativa de que el éxito que cada pregunta tuvo para lograr que el participante revelara el problema con el iPod. En otras palabras, el objetivo es verificar si la pregunta del comprador era independiente de si el vendedor reveló un problema.

⁴⁰Para los lectores no tan viejos como los autores, un iPod es básicamente un iPhone sin ningún servicio celular, asumiendo que era una de las generaciones posteriores. Las generaciones anteriores eran más básicas.

6.4.1 Conteo Esperado en Tablas de Doble Entrada

Al igual que con las tablas de una sola entrada, necesitaremos calcular los conteos estimados para cada celda en una tabla de doble entrada.

EJEMPLO 6.38

Del experimento, podemos calcular la proporción de todos los vendedores que revelaron el problema de congelación como 61/219 = 0.2785. Si realmente no hay diferencia entre las preguntas y el 27.85% de los vendedores iban a revelar el problema de congelación sin importar la pregunta que se les hiciera, ¿cuántas de las 73 personas en el grupo General esperaríamos que revelaran el problema de congelación?

Predeciríamos que 0.2785 × 73 = 20.33 vendedores revelarían el problema. Obviamente, observamos menos que esto, aunque aún no está claro si eso se debe a la variación aleatoria o si se debe a que las preguntas varían en la eficacia con la que llegan a la verdad.

PRÁCTICA GUIADA 6.39

Si las preguntas fueran realmente igualmente efectivas, lo que significa que alrededor del 27.85% de los encuestados revelarían el problema de congelación independientemente de la pregunta que se les hiciera, ¿aproximadamente cuántos vendedores esperaríamos que ocultaran el problema de congelación al grupo de Suposición Positiva?41

Podemos calcular el número esperado de vendedores que esperaríamos que revelaran u ocultaran el problema de congelación para todos los grupos, si las preguntas no tuvieran ningún impacto en lo que revelaron, utilizando la misma estrategia empleada en el Ejemplo 6.38 y la Práctica Guiada 6.39. Estos conteos esperados se utilizaron para construir la Figura 6.15, que es la misma que la Figura 6.14, excepto que ahora se han agregado los conteos esperados entre paréntesis.

	General	Suposición Positiva	Suposición Negativa	Total
Revelar Problema	2 (20.33)	23 (20.33)	36 (20.33)	61
Ocultar Problema	71 (52.67)	50 (52.67)	37 (52.67)	158
Total	73	73	73	219

Figura 6.15: Los conteos observados y los (conteos esperados).

Los ejemplos y ejercicios anteriores proporcionaron cierta ayuda para calcular los conteos esperados. En general, los conteos esperados para una tabla de doble entrada se pueden calcular utilizando los totales de las filas, los totales de las columnas y el total de la tabla. Por ejemplo, si no hubiera diferencia entre los grupos, entonces alrededor del 27.85% de cada columna debería estar en la primera fila:

0.2785 × (total de la columna 1) = 20.33 0.2785 × (total de la columna 2) = 20.33 0.2785 × (total de la columna 3) = 20.33

Volviendo a cómo se calculó 0.2785, como la fracción de vendedores que revelaron el problema de congelación (158/219), estos tres conteos esperados podrían haberse calculado como

\[ \left(\frac{\text{total de la fila}}{\text{total de la tabla}}\right)(\text{total de la columna 1}) = 20.33 \]

\[ \left(\frac{\text{total de la fila 1}}{\text{total de la tabla}}\right)(\text{total de la columna 2}) = 20.33 \]

\[ \left(\frac{\text{total de la fila 1}}{\text{total de la tabla}}\right)(\text{total de la columna 3}) = 20.33 \]

Esto nos lleva a una fórmula general para calcular los conteos esperados en una tabla de doble entrada cuando nos gustaría probar si existe evidencia sólida de una asociación entre la variable de columna y la variable de fila.

⁴¹Esperaríamos (1 − 0.2785) × 73 = 52.67. Está bien que este resultado, como el resultado del Ejemplo 6.38, sea una fracción.

CÁLCULO DE CONTEOS ESPERADOS EN UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA Para identificar el conteo esperado para la fila i y la columna j, calcule

\[\text{Conteo Esperado}\_{\text{fila } i, \text{ col } j} = \frac{\text{(total de la fila } i \text{)} \times \text{(total de la columna } j \text{)}}{\text{total de la tabla}}\]

6.4.2 La prueba de chi-cuadrado para tablas de doble entrada

El estadístico de prueba de chi-cuadrado para una tabla de doble entrada se encuentra de la misma manera que se encuentra para una tabla de una sola entrada. Para cada conteo de la tabla, calcule

Fórmula general	(conteo observado − conteo esperado)2
	conteo esperado
Fila 1, Col 1	(2 − 20.33)2 = 16.53 20.33
Fila 1, Col 2	(23 − 20.33)2 = 0.35 20.33
Fila 2, Col 3	(37 − 52.67)2 = 4.66 52.67

Sumar el valor calculado para cada celda da el estadístico de prueba de chi-cuadrado X² :

X² = 16.53 + 0.35 + · · · + 4.66 = 40.13

Al igual que antes, este estadístico de prueba sigue una distribución de chi-cuadrado. Sin embargo, los grados de libertad se calculan de manera un poco diferente para una tabla de doble entrada.42 Para las tablas de doble entrada, los grados de libertad son iguales a

df = (número de filas menos 1) × (número de columnas menos 1)

En nuestro ejemplo, el parámetro de grados de libertad es

\[df = (2 - 1) \times (3 - 1) = 2\]

Si la hipótesis nula es verdadera (es decir, las preguntas no tuvieron impacto en los vendedores en el experimento), entonces el estadístico de prueba X² = 40.13 sigue de cerca una distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad. Utilizando esta información, podemos calcular el valor p para la prueba, que se muestra en la Figura 6.16.

CÁLCULO DE GRADOS DE LIBERTAD PARA UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA

Cuando aplicamos la prueba de chi-cuadrado a una tabla de doble entrada, usamos

\[df = (R - 1) \times (C - 1)\]

donde R es el número de filas en la tabla y C es el número de columnas.

Cuando se analizan tablas de contingencia de 2 por 2, una guía es utilizar los métodos de dos proporciones introducidos en la Sección 6.2.

⁴²Recordatorio: en la tabla de una sola entrada, los grados de libertad eran el número de celdas menos 1.

Figura 6.16: Visualización del valor p para X² = 40.13 cuando df = 2.

EJEMPLO 6.40

Encuentre el valor p y saque una conclusión sobre si la pregunta afecta la probabilidad de que los vendedores informen sobre el problema de congelación.

Usando una computadora, podemos calcular un valor muy preciso para el área de la cola por encima de X² = 40.13 para una distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad: 0.000000002. (Si usa la tabla en el Apéndice C.3, identificaríamos que el valor p es menor que 0.001). Usando un nivel de significancia de α = 0.05, la hipótesis nula se rechaza ya que el valor p es menor. Es decir, los datos proporcionan evidencia convincente de que la pregunta formulada afectó la probabilidad de que un vendedor dijera la verdad sobre los problemas con el iPod.

EJEMPLO 6.41

La Figura 6.17 resume los resultados de un experimento que evalúa tres tratamientos para la diabetes tipo 2 en pacientes de 10 a 17 años que estaban siendo tratados con metformina. Los tres tratamientos considerados fueron el tratamiento continuo con metformina (met), el tratamiento con metformina combinado con rosiglitazona (rosi) o un programa de intervención en el estilo de vida. Cada paciente tuvo un resultado primario, que fue la falta de control glucémico (fracaso) o la ausencia de ese control (éxito). ¿Cuáles son las hipótesis apropiadas para esta prueba?

• H0: No hay diferencia en la efectividad de los tres tratamientos.
• HA: Existe alguna diferencia en la efectividad entre los tres tratamientos, por ejemplo, tal vez el tratamiento con rosi funcionó mejor que el estilo de vida.

	Fracaso	Éxito	Total
estilo de vida	109	125	234
met	120	112	232
rosi	90	143	233
Total	319	380	699

Figura 6.17: Resultados para el estudio de Diabetes tipo 2.
—————————————————–	–	–	–	–

Se puede utilizar una prueba de chi-cuadrado para una tabla de doble entrada para probar las hipótesis en el Ejemplo 6.41. Como primer paso, calcule los valores esperados para cada una de las seis celdas de la tabla.43

PRÁCTICA GUIADA 6.43

Calcule el estadístico de prueba de chi-cuadrado para los datos en la Figura 6.17. 44

PRÁCTICA GUIADA 6.44

Debido a que hay 3 filas y 2 columnas, los grados de libertad para la prueba son df = (3−1)×(2−1) = 2. Use X² = 8.16, df = 2, evalúe si rechazar la hipótesis nula usando un nivel de significancia de 0.05.45

⁴³El conteo esperado para la fila uno / columna uno se encuentra multiplicando el total de la fila uno (234) y el total de la columna uno (319), luego dividiendo por el total de la tabla (699): ²³⁴×^{319 699} = 106.8. Similarmente para la segunda columna y la primera fila: ²³⁴×^{380 699} = 127.2. Fila 2: 105.9 y 126.1. Fila 3: 106.3 y 126.7.

⁴⁴Para cada celda, calcule (obs−exp)² exp . Por ejemplo, la primera fila y la primera columna: (109−106.8)^{2 106}.⁸ = 0.05. Sumando los resultados de cada celda se obtiene el estadístico de prueba chi-cuadrado: X² = 0.05 + · · · + 2.11 = 8.16.

⁴⁵Si usa una computadora, podemos identificar el valor p como 0.017. Es decir, rechazamos la hipótesis nula porque el valor p es menor que 0.05, y concluimos que al menos uno de los tratamientos es más o menos efectivo que los demás en el tratamiento de la diabetes tipo 2 para el control glucémico.

Ejercicios

6.35 Desertores. ¿Ser parte de un grupo de apoyo afecta la capacidad de las personas para dejar de fumar? Un departamento de salud del condado inscribió a 300 fumadores en un experimento aleatorizado. 150 participantes fueron asignados a un grupo que usó un parche de nicotina y se reunió semanalmente con un grupo de apoyo; los otros 150 recibieron el parche y no se reunieron con un grupo de apoyo. Al final del estudio, 40 de los participantes en el grupo de parche más apoyo habían dejado de fumar, mientras que solo 30 fumadores habían dejado de fumar en el otro grupo.

• 1. Cree una tabla de doble entrada que presente los resultados de este estudio.
• 2. Responda a cada una de las siguientes preguntas bajo la hipótesis nula de que ser parte de un grupo de apoyo no afecta la capacidad de las personas para dejar de fumar, e indique si los valores esperados son mayores o menores que los valores observados.
  • 1. ¿Cuántos sujetos en el grupo “parche + apoyo” esperaría que dejaran de fumar?
  • 2. ¿Cuántos sujetos en el grupo “solo parche” esperaría que no dejaran de fumar?

6.36 Escaneo de cuerpo completo, Parte II. La tabla a continuación resume un conjunto de datos que encontramos por primera vez en el Ejercicio 6.26 con respecto a las opiniones sobre los escaneos de cuerpo completo y la afiliación política. Las diferencias en cada grupo político pueden deberse al azar. Complete los siguientes cálculos bajo la hipótesis nula de independencia entre la afiliación partidista de un individuo y su apoyo a los escaneos de cuerpo completo. Puede ser útil agregar primero una columna adicional para los totales de las filas antes de continuar con los cálculos.

		Afiliación Partidista
		Republicano	Demócrata	Independiente
	Debería	264	299	351
Respuesta	No debería	38	55	77
	No sé/Sin respuesta	16	15	22
	Total	318	369	450

1. ¿Cuántos republicanos esperaría que no apoyaran el uso de escaneos de cuerpo completo?

2. ¿Cuántos demócratas esperaría que apoyaran el uso de escaneos de cuerpo completo?

3. ¿Cuántos independientes esperaría que no supieran o no respondieran?

6.37 Perforación mar adentro, Parte III. La tabla a continuación resume un conjunto de datos que encontramos por primera vez en el Ejercicio 6.23 que examina las respuestas de una muestra aleatoria de graduados universitarios y no graduados sobre el tema de la perforación petrolera. Complete una prueba de chi-cuadrado para estos datos para verificar si existe una diferencia estadísticamente significativa en las respuestas de los graduados universitarios y los no graduados.

	Graduado Universitario
	Sí	No
Apoya	154	132
Se opone	180	126
No sabe	104	131
Total	438	389

6.38 Gusano parásito. La filariasis linfática es una enfermedad causada por un gusano parásito. Las complicaciones de la enfermedad pueden provocar hinchazón extrema y otras complicaciones. Aquí consideramos los resultados de un experimento aleatorizado que comparó tres opciones diferentes de tratamiento farmacológico para eliminar este parásito de las personas, en el que la gente está trabajando para eliminarlo por completo. Los resultados del segundo año del estudio se dan a continuación:46

	Despejado en el año 2	No despejado en el año 2
Tres fármacos	52	2
Dos fármacos	31	24
Dos fármacos anualmente	42	14

(a) Establezca hipótesis para evaluar si existe alguna diferencia en el rendimiento de los tratamientos y también verifique las condiciones.

2. Se utilizó software estadístico para ejecutar una prueba de chi-cuadrado, que arrojó:

\[X^2 = 23.7 \qquad \qquad df = 2 \qquad \qquad \qquad \text{valor p} = 7.2 \text{e-6}\]

Utilice estos resultados para evaluar las hipótesis de la parte (a) y proporcione una conclusión en el contexto del problema.

⁴⁶Christopher King et al. “A Trial of a Triple-Drug Treatment for Lymphatic Filariasis”. En: New England Journal of Medicine 379 (2018), pp. 1801–1810.

Ejercicios del Capítulo

6.39 Aprendizaje activo. Una profesora que desea aumentar el componente de aprendizaje activo en su curso está preocupada por las reacciones de los estudiantes a los cambios que planea hacer. Realiza una encuesta en su clase, preguntando a los estudiantes si creen que más aprendizaje activo en el aula (ejercicios prácticos) en lugar de la conferencia tradicional ayudará a mejorar su aprendizaje. Ella hace esto al principio y al final del semestre y quiere evaluar si las opiniones de los estudiantes han cambiado durante el semestre. ¿Puede usar los métodos que aprendimos en este capítulo para este análisis? Explica tu razonamiento.

6.40 Experimento del sitio web. El sitio web de OpenIntro ocasionalmente experimenta con el diseño y la ubicación de los enlaces. Realizamos un experimento probando tres ubicaciones diferentes de un enlace de descarga para este libro de texto en la página principal del libro para ver qué ubicación, si la hay, condujo a la mayor cantidad de descargas. El número de visitantes del sitio incluidos en el experimento fue de 701 y se captura en una de las combinaciones de respuesta en la siguiente tabla:

	Descargar	No Descargar
Posición 1	13.8%	18.3%
Posición 2	14.6%	18.5%
Posición 3	12.1%	22.7%

• 1. Calcula el número real de visitantes del sitio en cada una de las seis categorías de respuesta.
• 2. Cada individuo en el experimento tuvo la misma probabilidad de estar en cualquiera de los tres grupos experimentales. Sin embargo, vemos que hay totales ligeramente diferentes para los grupos. ¿Hay alguna evidencia de que los grupos estuvieran realmente desequilibrados? Asegúrate de indicar claramente las hipótesis, verificar las condiciones, calcular el estadístico de prueba apropiado y el valor p, y sacar tu conclusión en el contexto de los datos.
• 3. Completa una prueba de hipótesis apropiada para verificar si hay evidencia de que haya una tasa más alta de visitantes del sitio que hagan clic en el enlace del libro de texto en cualquiera de los tres grupos.

6.41 Envío de regalos navideños. Una encuesta de noticias local preguntó a 500 residentes de Los Ángeles seleccionados al azar qué compañía de envíos prefieren usar para enviar regalos navideños. La siguiente tabla muestra la distribución de las respuestas por grupo de edad, así como los recuentos esperados para cada celda (que se muestran entre paréntesis).

		Edad
			18-34		35-54		55+	Total
	USPS	72	(81)	97	(102)	76	(62)	245
	UPS	52	(53)	76	(68)	34	(41)	162
Método de Envío	FedEx	31	(21)	24	(27)	9	(16)	64
	Algo más	7	(5)	6	(7)	3	(4)	16
	No estoy seguro	3	(5)	6	(5)	4	(3)	13
	Total		165		209		126	500

• 1. Indica las hipótesis nula y alternativa para probar la independencia de la edad y el método de envío preferido para los regalos navideños entre los residentes de Los Ángeles.
• 2. ¿Se cumplen las condiciones para la inferencia utilizando una prueba de chi-cuadrado?

6.42 La Guerra Civil. Una encuesta nacional realizada entre una muestra aleatoria simple de 1,507 adultos muestra que el 56% de los estadounidenses piensa que la Guerra Civil todavía es relevante para la política y la vida política estadounidenses.47

• 1. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si estos datos proporcionan evidencia sólida de que la mayoría de los estadounidenses piensa que la Guerra Civil todavía es relevante.
• 2. Interpreta el valor p en este contexto.
• 3. Calcula un intervalo de confianza del 90% para la proporción de estadounidenses que piensan que la Guerra Civil todavía es relevante. Interpreta el intervalo en este contexto y comenta si el intervalo de confianza concuerda o no con la conclusión de la prueba de hipótesis.

⁴⁷Publicaciones del Pew Research Center, La Guerra Civil a los 150: Todavía relevante, todavía divisiva, datos recopilados entre el 30 de marzo y el 3 de abril de 2011.

6.4. PRUEBA DE INDEPENDENCIA EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA 247

6.43 Fumadores universitarios. Estamos interesados en estimar la proporción de estudiantes en una universidad que fuman. De una muestra aleatoria de 200 estudiantes de esta universidad, 40 estudiantes fuman.

• 1. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de estudiantes en esta universidad que fuman, e interpreta este intervalo en contexto. (Recordatorio: Verifica las condiciones).
• 2. Si quisiéramos que el margen de error no fuera mayor al 2% con un nivel de confianza del 95% para la proporción de estudiantes que fuman, ¿qué tan grande necesitaríamos que fuera la muestra?

6.44 Acetaminofén y daño hepático. Se cree que grandes dosis de acetaminofén (el ingrediente activo en analgésicos de venta libre como Tylenol) pueden causar daño al hígado. Un investigador quiere realizar un estudio para estimar la proporción de usuarios de acetaminofén que tienen daño hepático. Por participar en este estudio, pagará a cada sujeto $20 y brindará una consulta médica gratuita si el paciente tiene daño hepático.

• 1. Si quiere limitar el margen de error de su intervalo de confianza del 98% al 2%, ¿cuál es la cantidad mínima de dinero que necesita reservar para pagar a sus sujetos?
• 2. La cantidad que calculaste en la parte (a) supera sustancialmente su presupuesto, por lo que decide utilizar menos sujetos. ¿Cómo afectará esto el ancho de su intervalo de confianza?

6.45 La vida después de la universidad. Estamos interesados en estimar la proporción de graduados de una universidad mediana que encontraron un trabajo dentro de un año después de completar su título universitario. Supongamos que realizamos una encuesta y descubrimos que 348 de los 400 graduados muestreados aleatoriamente encontraron trabajo. La clase de graduados en consideración incluyó a más de 4500 estudiantes.

• 1. Describe el parámetro poblacional de interés. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de este parámetro?
• 2. Verifica si se cumplen las condiciones para construir un intervalo de confianza basado en estos datos.
• 3. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de graduados que encontraron un trabajo dentro de un año después de completar su título universitario en esta universidad, e interprétalo en el contexto de los datos.
• 4. ¿Qué significa “95% de confianza”?
• 5. Ahora calcula un intervalo de confianza del 99% para el mismo parámetro e interprétalo en el contexto de los datos.
• 6. Compara los anchos de los intervalos de confianza del 95% y del 99%. ¿Cuál es más ancho? Explica.

6.46 Diabetes y desempleo. Una encuesta de Gallup encuestó a estadounidenses sobre su estado laboral y si tienen o no diabetes. Los resultados de la encuesta indican que el 1.5% de los 47,774 empleados (a tiempo completo o parcial) y el 2.5% de los 5,855 desempleados de 18 a 29 años tienen diabetes.48

• 1. Crea una tabla de doble entrada que presente los resultados de este estudio.
• 2. Enuncia hipótesis apropiadas para probar la diferencia en las proporciones de diabetes entre estadounidenses empleados y desempleados.
• 3. La diferencia de muestra es de aproximadamente el 1%. Si completáramos la prueba de hipótesis, encontraríamos que el valor p es muy pequeño (alrededor de 0), lo que significa que la diferencia es estadísticamente significativa. Utiliza este resultado para explicar la diferencia entre hallazgos estadísticamente significativos y prácticamente significativos.

6.47 Piedra, papel o tijera. Piedra, papel o tijera es un juego de manos jugado por dos o más personas donde los jugadores eligen mostrar ya sea piedra, papel o tijera con sus manos. Para tu proyecto de clase de estadística, quieres evaluar si los jugadores eligen entre estas tres opciones al azar, o si ciertas opciones son favorecidas por encima de otras. Les pides a dos amigos que jueguen piedra, papel o tijera y cuentas las veces que se juega cada opción. La siguiente tabla resume los datos:

\[\begin{array}{cc} \text{Piedra} & \text{Papel} & \text{Tijeras} \\ \hline 43 & 21 & 35 \\ \end{array}\]

Utiliza estos datos para evaluar si los jugadores eligen entre estas tres opciones al azar, o si ciertas opciones son favorecidas por encima de otras. Asegúrate de delinear claramente cada paso de tu análisis, e interpreta tus resultados en el contexto de los datos y la pregunta de investigación.

⁴⁸Gallup Wellbeing, Empleados estadounidenses con mejor salud que los desempleados, datos recopilados del 2 de enero de 2011 al 21 de mayo de 2012.

6.48 Ley de salud de 2010. El 28 de junio de 2012, la Corte Suprema de los Estados Unidos confirmó la muy debatida ley de salud de 2010, declarándola constitucional. Una encuesta de Gallup publicada el día después de esta decisión indica que el 46% de 1,012 estadounidenses está de acuerdo con esta decisión. Con un nivel de confianza del 95%, esta muestra tiene un margen de error del 3%. Según esta información, determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica tu razonamiento.49

• 1. Tenemos un 95% de confianza en que entre el 43% y el 49% de los estadounidenses en esta muestra apoyan la decisión de la Corte Suprema de los Estados Unidos sobre la ley de salud de 2010.
• 2. Tenemos un 95% de confianza en que entre el 43% y el 49% de los estadounidenses apoyan la decisión de la Corte Suprema de los Estados Unidos sobre la ley de salud de 2010.
• 3. Si consideráramos muchas muestras aleatorias de 1,012 estadounidenses, y calculáramos las proporciones de la muestra de aquellos que apoyan la decisión de la Corte Suprema de los Estados Unidos, el 95% de esas proporciones de la muestra estarían entre el 43% y el 49%.
• 4. El margen de error con un nivel de confianza del 90% sería mayor al 3%.

6.49 Navegando en el dispositivo móvil. Una encuesta de 2,254 adultos estadounidenses indica que el 17% de los propietarios de teléfonos celulares navegan por Internet exclusivamente en su teléfono en lugar de en una computadora u otro dispositivo.50

• 1. Según un artículo en línea, un informe de una compañía de investigación móvil indica que el 38 por ciento de los usuarios chinos de la web móvil solo acceden a Internet a través de sus teléfonos celulares.51 Realiza una prueba de hipótesis para determinar si estos datos proporcionan evidencia sólida de que la proporción de estadounidenses que solo usan sus teléfonos celulares para acceder a Internet es diferente de la proporción china del 38%.
• 2. Interpreta el valor p en este contexto.
• 3. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de estadounidenses que acceden a Internet en sus teléfonos celulares e interpreta el intervalo en este contexto.

6.50 Café y depresión. Los investigadores realizaron un estudio que investiga la relación entre el consumo de café con cafeína y el riesgo de depresión en las mujeres. Recopilaron datos de 50,739 mujeres libres de síntomas de depresión al inicio del estudio en el año 1996, y estas mujeres fueron seguidas hasta 2006. Los investigadores utilizaron cuestionarios para recopilar datos sobre el consumo de café con cafeína, preguntaron a cada individuo sobre la depresión diagnosticada por un médico y también preguntaron sobre el uso de antidepresivos. La tabla a continuación muestra la distribución de las incidencias de depresión por cantidad de consumo de café con cafeína.52

		Consumo de café con cafeína
		≤ 1	2-6 1 2-3 ≥ 4
		taza/semana	tazas/semana	taza/día	tazas/día	tazas/día	Total
Clínica	Sí	670	373	905	564	95	2,607
depresión	No	11,545	6,244	16,329	11,726	2,288	48,132
	Total	12,215	6,617	17,234	12,290	2,383	50,739

• 1. ¿Qué tipo de prueba es apropiada para evaluar si existe una asociación entre el consumo de café y la depresión?
• 2. Escribe las hipótesis para la prueba que identificaste en la parte (a).
• 3. Calcula la proporción general de mujeres que sufren y no sufren de depresión.
• 4. Identifica el conteo esperado para la celda resaltada y calcula la contribución de esta celda al estadístico de prueba, es decir, (Observado - Esperado) 2 / Esperado.
• 5. El estadístico de prueba es χ ² = 20.93. ¿Cuál es el valor p?
• 6. ¿Cuál es la conclusión de la prueba de hipótesis?
• 7. Uno de los autores de este estudio fue citado en el NYTimes diciendo que era “demasiado pronto para recomendar que las mujeres se carguen de café extra” basándose solo en este estudio.53 ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? Explica tu razonamiento.

⁴⁹Gallup, Los estadounidenses emiten una decisión dividida sobre el fallo de atención médica, datos recopilados el 28 de junio de 2012.

⁵⁰Pew Internet, Uso de Internet celular 2012, datos recopilados entre el 15 de marzo y el 13 de abril de 2012.

⁵¹S. Chang. “A los chinos les encanta usar teléfonos básicos para acceder a Internet”. En: M.I.C Gadget (2012).

⁵²M. Lucas et al. “Café, cafeína y riesgo de depresión entre las mujeres”. En: Archivos de medicina interna 171.17 (2011), pág. 1571.

⁵³A. O’Connor. “El consumo de café está relacionado con menos depresión en las mujeres”. En: New York Times (2011).

Capítulo 7

249

Inferencia para datos numéricos

• 7.1 Medias de una muestra con la distribución t
• 7.2 Datos pareados
• 7.3 Diferencia de dos medias
• 7.4 Cálculos de potencia para una diferencia de medias
• 7.5 Comparación de muchas medias con ANOVA

El Capítulo 5 introdujo un marco para la inferencia estadística basado en intervalos de confianza e hipótesis utilizando la distribución normal para las proporciones de la muestra. En este capítulo, nos encontramos con varias estimaciones puntuales nuevas y un par de distribuciones nuevas. En cada caso, las ideas de inferencia siguen siendo las mismas: determinar qué estimación puntual o estadístico de prueba es útil, identificar una distribución apropiada para la estimación puntual o el estadístico de prueba, y aplicar las ideas de inferencia.

Para videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

7.1 Medias de una muestra con la distribución t

De forma similar a como podemos modelar el comportamiento de la proporción muestral ˆp utilizando una distribución normal, la media muestral ¯x también se puede modelar utilizando una distribución normal cuando se cumplen ciertas condiciones. Sin embargo, pronto aprenderemos que una nueva distribución, llamada distribución t, tiende a ser más útil cuando se trabaja con la media muestral. Primero aprenderemos sobre esta nueva distribución, luego la usaremos para construir intervalos de confianza y realizar pruebas de hipótesis para la media.

7.1.1 La distribución muestral de x¯

La media muestral tiende a seguir una distribución normal centrada en la media poblacional, µ, cuando se cumplen ciertas condiciones. Adicionalmente, podemos calcular un error estándar para la media muestral usando la desviación estándar poblacional σ y el tamaño de la muestra n.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL PARA LA MEDIA MUESTRAL

Cuando recolectamos una muestra suficientemente grande de n observaciones independientes de una población con media µ y desviación estándar σ, la distribución muestral de ¯x será casi normal con

\[\text{Media} = \mu \qquad\qquad\qquad\text{Error Estándar (EE)} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Antes de sumergirnos en los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis usando ¯x, primero necesitamos cubrir dos temas:

• Cuando modelamos ˆp usando la distribución normal, ciertas condiciones debían ser satisfechas. Las condiciones para trabajar con ¯x son un poco más complejas, y dedicaremos la Sección 7.1.2 a discutir cómo verificar las condiciones para la inferencia.
• El error estándar depende de la desviación estándar de la población, σ. Sin embargo, rara vez conocemos σ, y en su lugar debemos estimarla. Debido a que esta estimación es en sí misma imperfecta, utilizamos una nueva distribución llamada distribución t para solucionar este problema, que discutimos en la Sección 7.1.3.

7.1.2 Evaluación de las dos condiciones requeridas para modelar x¯

Se requieren dos condiciones para aplicar el Teorema del Límite Central para una media muestral ¯x:

• Independencia. Las observaciones de la muestra deben ser independientes. La forma más común de satisfacer esta condición es cuando la muestra es una muestra aleatoria simple de la población. Si los datos provienen de un proceso aleatorio, análogo a lanzar un dado, esto también satisfaría la condición de independencia.
• Normalidad. Cuando una muestra es pequeña, también requerimos que las observaciones de la muestra provengan de una población distribuida normalmente. Podemos relajar esta condición cada vez más para tamaños de muestra más y más grandes. Esta condición es obviamente vaga, lo que dificulta su evaluación, por lo que a continuación presentamos un par de reglas generales para facilitar la verificación de esta condición.

REGLAS GENERALES: CÓMO REALIZAR LA VERIFICACIÓN DE NORMALIDAD

No existe una forma perfecta de verificar la condición de normalidad, por lo que en su lugar utilizamos dos reglas generales:

• n < 30: Si el tamaño de la muestra n es menor que 30 y no hay valores atípicos claros en los datos, entonces normalmente asumimos que los datos provienen de una distribución casi normal para satisfacer la condición.
• n ≥ 30: Si el tamaño de la muestra n es al menos 30 y no hay valores atípicos particularmente extremos, entonces normalmente asumimos que la distribución muestral de ¯x es casi normal, incluso si la distribución subyacente de las observaciones individuales no lo es.

En este primer curso de estadística, no se espera que desarrolles un juicio perfecto sobre la condición de normalidad. Sin embargo, se espera que seas capaz de manejar casos claros basados en las reglas generales.1

EJEMPLO 7.1

Consideremos los siguientes dos diagramas que provienen de muestras aleatorias simples de diferentes poblaciones. Sus tamaños de muestra son n¹ = 15 y n² = 50.

¿Se cumplen las condiciones de independencia y normalidad en cada caso?

Cada muestra proviene de una muestra aleatoria simple de su respectiva población, por lo que se satisface la condición de independencia. A continuación, verifiquemos la condición de normalidad para cada una usando la regla general.

La primera muestra tiene menos de 30 observaciones, por lo que estamos atentos a cualquier valor atípico claro. No hay ninguno presente; si bien hay una pequeña brecha en el histograma entre 5 y 6, esta brecha es pequeña y el 20% de las observaciones en esta pequeña muestra están representadas en esa barra del extremo derecho del histograma, por lo que difícilmente podemos llamar a estos valores atípicos claros. Sin valores atípicos claros, la condición de normalidad se cumple razonablemente.

La segunda muestra tiene un tamaño de muestra mayor que 30 e incluye un valor atípico que parece estar aproximadamente 5 veces más lejos del centro de la distribución que la siguiente observación más lejana. Este es un ejemplo de un valor atípico particularmente extremo, por lo que la condición de normalidad no se cumpliría.

En la práctica, también es común hacer una verificación mental para evaluar si tenemos motivos para creer que la población subyacente tendría una asimetría moderada (si n < 30) o tendría valores atípicos particularmente extremos (n ≥ 30) más allá de lo que observamos en los datos. Por ejemplo, considere el número de seguidores para cada cuenta individual en Twitter, y luego imagine esta distribución. La gran mayoría de las cuentas han acumulado un par de miles de seguidores o menos, mientras que una fracción relativamente pequeña ha acumulado decenas de millones de seguidores, lo que significa que la distribución es extremadamente asimétrica. Cuando sabemos que los datos provienen de una distribución tan extremadamente asimétrica, se necesita un esfuerzo para comprender qué tamaño de muestra es lo suficientemente grande para que se cumpla la condición de normalidad.

7.1.3 Introducción a la distribución t

En la práctica, no podemos calcular directamente el error estándar para ¯x ya que no conocemos la desviación estándar de la población, σ. Encontramos un problema similar al calcular el error estándar para una proporción de muestra, que se basaba en la proporción de la población, p. Nuestra solución en el contexto de la proporción fue usar el valor de la muestra en lugar del valor de la población al calcular el error estándar. Emplearemos una estrategia similar para calcular el error estándar de ¯x, utilizando la desviación estándar de la muestra s en lugar de σ:

\[SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}\]

Esta estrategia tiende a funcionar bien cuando tenemos muchos datos y podemos estimar σ usando s con precisión. Sin embargo, la estimación es menos precisa con muestras más pequeñas, y esto genera problemas al usar la distribución normal para modelar ¯x.

¹Directrices más matizadas considerarían relajar aún más la verificación de valores atípicos particularmente extremos cuando el tamaño de la muestra es muy grande. Sin embargo, dejaremos una discusión más amplia aquí para un curso futuro.

7.1. MEDIAS DE UNA MUESTRA CON LA DISTRIBUCIÓN t 253

Nos resultará útil usar una nueva distribución para los cálculos de inferencia llamada distribución t. Una distribución t, que se muestra como una línea sólida en la Figura 7.1, tiene forma de campana. Sin embargo, sus colas son más gruesas que las de la distribución normal, lo que significa que es más probable que las observaciones caigan más allá de dos desviaciones estándar de la media que bajo la distribución normal. Las colas extra gruesas de la distribución t son exactamente la corrección necesaria para resolver el problema de usar s en lugar de σ en el cálculo de SE.

Figura 7.1: Comparación de una distribución t y una distribución normal.

La distribución t siempre está centrada en cero y tiene un solo parámetro: grados de libertad. Los grados de libertad (gl) describen la forma precisa de la distribución t en forma de campana. Varias distribuciones t se muestran en la Figura 7.2 en comparación con la distribución normal.

En general, usaremos una distribución t con gl = n−1 para modelar la media de la muestra cuando el tamaño de la muestra es n. Es decir, cuando tenemos más observaciones, los grados de libertad serán mayores y la distribución t se verá más como la distribución normal estándar; cuando los grados de libertad son de aproximadamente 30 o más, la distribución t es casi indistinguible de la distribución normal.

Figura 7.2: Cuanto mayores son los grados de libertad, más se asemeja la distribución t a la distribución normal estándar.

GRADOS DE LIBERTAD (gl )

Los grados de libertad describen la forma de la distribución t. Cuanto mayores son los grados de libertad, más se aproxima la distribución al modelo normal.

Cuando modele ¯x usando la distribución t, use gl = n − 1.

La distribución t nos permite una mayor flexibilidad que la distribución normal al analizar datos numéricos. En la práctica, es común utilizar software estadístico, como R, Python o SAS para estos análisis. Alternativamente, se puede utilizar una calculadora gráfica o una tabla t; la tabla t es similar a la tabla de distribución normal, y se puede encontrar en el Apéndice C.2, que incluye instrucciones de uso y ejemplos para aquellos que deseen utilizar esta opción. No importa el enfoque que elija, aplique su método utilizando los ejemplos a continuación para confirmar su comprensión práctica de la distribución t.

Figura 7.3: La distribución t con 18 grados de libertad. El área debajo de -2.10 ha sido sombreada.

Figura 7.4: Izquierda: La distribución t con 20 grados de libertad, con el área por encima de 1.65 sombreada. Derecha: La distribución t con 2 grados de libertad, con el área a más de 3 unidades de 0 sombreada.

EJEMPLO 7.2

¿Qué proporción de la distribución t con 18 grados de libertad cae por debajo de -2.10?

Al igual que un problema de probabilidad normal, primero dibujamos la imagen en la Figura 7.3 y sombreamos el área debajo de -2.10. Usando software estadístico, podemos obtener un valor preciso: 0.0250.

EJEMPLO 7.3

Se muestra una distribución t con 20 grados de libertad en el panel izquierdo de la Figura 7.4. Estime la proporción de la distribución que cae por encima de 1.65.

Con una distribución normal, esto correspondería a aproximadamente 0.05, por lo que deberíamos esperar que la distribución t nos dé un valor en este vecindario. Usando software estadístico: 0.0573.

EJEMPLO 7.4

Se muestra una distribución t con 2 grados de libertad en el panel derecho de la Figura 7.4. Estime la proporción de la distribución que cae a más de 3 unidades de la media (por encima o por debajo).

Con tan pocos grados de libertad, la distribución t dará un valor notablemente diferente al de la distribución normal. Bajo una distribución normal, el área sería de aproximadamente 0.003 usando la regla 68-95-99.7. Para una distribución t con df = 2, el área en ambas colas más allá de 3 unidades suma 0.0955. Esta área es dramáticamente diferente de lo que obtenemos de la distribución normal.

PRÁCTICA GUIADA 7.5

¿Qué proporción de la distribución t con 19 grados de libertad cae por encima de -1.79 unidades? Utiliza tu método preferido para encontrar áreas de cola.2

²Queremos encontrar el área sombreada por encima de -1.79 (te dejamos la imagen a ti). El área de la cola inferior tiene un área de 0.0447, por lo que el área superior tendría un área de 1 − 0.0447 = 0.9553.

7.1.4 Intervalos de confianza t de una muestra

Probemos por primera vez la aplicación de la distribución t en el contexto de un ejemplo sobre el contenido de mercurio en el músculo de los delfines. Las concentraciones elevadas de mercurio son un problema importante tanto para los delfines como para otros animales, como los humanos, que ocasionalmente los comen.

Figura 7.5: Un delfín de Risso. —————————– Foto de Mike Baird (www.bairdphotos.com). Licencia CC BY 2.0.

Identificaremos un intervalo de confianza para el contenido promedio de mercurio en el músculo de delfines utilizando una muestra de 19 delfines de Risso del área de Taiji en Japón. Los datos se resumen en la Figura 7.6. Los valores mínimo y máximo observados se pueden utilizar para evaluar si existen o no valores atípicos claros.

n	x s ¯		mínimo	máximo
19	4.4	2.3	1.7	9.2

Figura 7.6: Resumen del contenido de mercurio en el músculo de 19 delfines de Risso del área de Taiji. Las medidas están en microgramos de mercurio por gramo húmedo de músculo (µg/wet g).

EJEMPLO 7.6

¿Se cumplen las condiciones de independencia y normalidad para este conjunto de datos?

Las observaciones son una muestra aleatoria simple, por lo tanto, la independencia es razonable. Las estadísticas resumidas en la Figura 7.6 no sugieren ningún valor atípico claro, ya que todas las observaciones están dentro de 2.5 desviaciones estándar de la media. Basado en esta evidencia, la condición de normalidad parece razonable.

En el modelo normal, usamos z^⋆ y el error estándar para determinar el ancho de un intervalo de confianza. Revisamos ligeramente la fórmula del intervalo de confianza cuando usamos la distribución t:

\[\begin{array}{ccccc}\text{estimación puntual } \pm & t\_{gl}^{\star} \times EE & \rightarrow & \rightarrow & \bar{x} \pm \; t\_{gl}^{\star} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \end{array}\]

EJEMPLO 7.7

Usando las estadísticas resumidas en la Figura 7.6, calcule el error estándar para el contenido promedio de mercurio en los n = 19 delfines.

Sustituimos ^s y ⁿ en la fórmula: SE ⁼ s/^√ n = 2.3/ √ 19 = 0.528.

El valor t ⋆ df es un punto de corte que obtenemos basándonos en el nivel de confianza y la distribución t con df grados de libertad. Ese punto de corte se encuentra de la misma manera que con una distribución normal: encontramos t ⋆ df tal que la fracción de la distribución t con df grados de libertad dentro de una distancia t ⋆ df de 0 coincide con el nivel de confianza de interés.

EJEMPLO 7.8

Cuando n = 19, ¿cuáles son los grados de libertad apropiados? Encuentra t ⋆ df para estos grados de libertad y el nivel de confianza del 95%

Los grados de libertad son fáciles de calcular: df = n − 1 = 18.

Usando software estadístico, encontramos el punto de corte donde la cola superior es igual a 2.5%: t ⋆ ¹⁸ = 2.10. El área por debajo de -2.10 también será igual a 2.5%. Es decir, el 95% de la distribución t con df = 18 se encuentra dentro de 2.10 unidades de 0.

EJEMPLO 7.9

Calcular e interpretar el intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de mercurio en los delfines de Risso.

Podemos construir el intervalo de confianza como

x¯ ± t ⋆ ¹⁸ × SE → 4.4 ± 2.10 × 0.528 → (3.29, 5.51)

Tenemos un 95% de confianza en que el contenido promedio de mercurio en los músculos de los delfines de Risso está entre 3.29 y 5.51 µg/gramo húmedo, lo cual se considera extremadamente alto.

ENCONTRANDO UN t-INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA

Basado en una muestra de n observaciones independientes y casi normales, un intervalo de confianza para la media poblacional es

\[\begin{array}{ccccc}\text{estimación puntual }\pm & t\_{df}^{\star} \times EE & \rightarrow & \bar{x} \pm & t\_{df}^{\star} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \end{array}\]

donde ¯x es la media muestral, t ⋆ df corresponde al nivel de confianza y grados de libertad df, y EE es el error estándar estimado por la muestra.

PRÁCTICA GUIADA 7.10

La página web de la FDA proporciona algunos datos sobre el contenido de mercurio en el pescado. Basado en una muestra de 15 corvinas blancas (Pacífico), se calcularon una media y una desviación estándar muestral de 0.287 y 0.069 ppm (partes por millón), respectivamente. Las 15 observaciones variaron de 0.18 a 0.41 ppm. Asumiremos que estas observaciones son independientes. Basado en las estadísticas resumidas de los datos, ¿tiene alguna objeción a la condición de normalidad de las observaciones individuales?3

EJEMPLO 7.11

Estime el error estándar de ¯x = 0.287 ppm utilizando los resúmenes de datos en la Práctica Guiada 7.10. Si vamos a utilizar la distribución t para crear un intervalo de confianza del 90% para la media real del contenido de mercurio, identifique los grados de libertad y t ⋆ df .

El error estándar: EE = 0 √.069 ¹⁵ = 0.0178.

Grados de libertad: df = n − 1 = 14.

Dado que el objetivo es un intervalo de confianza del 90%, elegimos t ⋆ ¹⁴ de modo que el área de dos colas sea 0.1: t ⋆ ¹⁴ = 1.76.

³El tamaño de la muestra es inferior a 30, por lo que verificamos si hay valores atípicos obvios: dado que todas las observaciones están dentro de las 2 desviaciones estándar de la media, no existen tales valores atípicos claros.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA SOLA MEDIA

Una vez que haya determinado que un intervalo de confianza de una media sería útil para una aplicación, hay cuatro pasos para construir el intervalo:

Preparar. Identifique ¯x, s, n y determine qué nivel de confianza desea utilizar.

Verificar. Verifique las condiciones para asegurarse de que ¯x sea casi normal.

Calcular. Si se cumplen las condiciones, calcule EE, encuentre t ⋆ df y construya el intervalo.

Concluir. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema.

PRÁCTICA GUIADA 7.12

Utilizando la información y los resultados de la Práctica Guiada 7.10 y el Ejemplo 7.11, calcule un intervalo de confianza del 90% para el contenido promedio de mercurio de la corvina blanca (Pacífico).4

PRÁCTICA GUIADA 7.13

El intervalo de confianza del 90% de la Práctica Guiada 7.12 es de 0.256 ppm a 0.318 ppm. ¿Podemos decir que el 90% de las corvinas blancas (Pacífico) tienen niveles de mercurio entre 0.256 y 0.318 ppm?5

7.1.5 Pruebas t de una muestra

¿El corredor típico de EE. UU. se está volviendo más rápido o más lento con el tiempo? Consideramos esta pregunta en el contexto de la Carrera Cherry Blossom, que es una carrera de 10 millas en Washington, DC cada primavera.

El tiempo promedio para todos los corredores que terminaron la Carrera Cherry Blossom en 2006 fue de 93.29 minutos (93 minutos y aproximadamente 17 segundos). Queremos determinar, utilizando datos de 100 participantes en la Carrera Cherry Blossom de 2017, si los corredores en esta carrera se están volviendo más rápidos o más lentos, frente a la otra posibilidad de que no haya habido cambios.

PRÁCTICA GUIADA 7.14

¿Cuáles son las hipótesis apropiadas para este contexto?6

PRÁCTICA GUIADA 7.15

Los datos provienen de una muestra aleatoria simple de todos los participantes, por lo que las observaciones son independientes. Sin embargo, ¿deberíamos preocuparnos por la condición de normalidad? Consulta la Figura 7.7 para ver un histograma de las diferencias y evalúa si podemos seguir adelante.7

Al completar una prueba de hipótesis para la media de una muestra, el proceso es casi idéntico a completar una prueba de hipótesis para una sola proporción. Primero, encontramos la puntuación Z utilizando el valor observado, el valor nulo y el error estándar; sin embargo, lo llamamos puntuación T ya que usamos una distribución t para calcular el área de la cola. Luego encontramos el valor p usando las mismas ideas que usamos anteriormente: encontramos el área de una cola bajo la distribución de muestreo y la duplicamos.

⁴x¯ ± t ⋆ ¹⁴ × SE → 0.287 ± 1.76 × 0.0178 → (0.256, 0.318). Tenemos un 90% de confianza en que el contenido promedio de mercurio del corvina blanca (Pacífico) está entre 0.256 y 0.318 ppm.

⁵No, un intervalo de confianza solo proporciona un rango de valores plausibles para un parámetro de población, en este caso la media de la población. No describe lo que podríamos observar para las observaciones individuales.

⁶H0: El tiempo promedio de carrera de 10 millas fue el mismo para 2006 y 2017. µ = 93.29 minutos. HA: El tiempo promedio de carrera de 10 millas para 2017 fue diferente al de 2006. µ ̸= 93.29 minutos.

⁷Con una muestra de 100, solo deberíamos preocuparnos si hay valores atípicos particularmente extremos. El histograma de los datos no muestra ningún valor atípico preocupante (y podría decirse que no hay valores atípicos en absoluto).

Figura 7.7: Un histograma del tiempo para los datos de muestra de la Carrera Cherry Blossom.

EJEMPLO 7.16

Con las condiciones de independencia y normalidad satisfechas, podemos proceder con una prueba de hipótesis utilizando la distribución t. La media muestral y la desviación estándar muestral de la muestra de 100 corredores de la carrera Cherry Blossom de 2017 son 97.32 y 16.98 minutos, respectivamente. Recordemos que el tamaño de la muestra es 100 y el tiempo promedio de carrera en 2006 fue de 93.29 minutos. Encuentra el estadístico de prueba y el valor p. ¿Cuál es tu conclusión?

Para encontrar el estadístico de prueba (puntuación T), primero debemos determinar el error estándar:

\[SE = 16.98 / \sqrt{100} = 1.70\]

Ahora podemos calcular la puntuación T utilizando la media muestral (97.32), el valor nulo (93.29) y el SE:

\[T = \frac{97.32 - 93.29}{1.70} = 2.37\]

Para gl = 100 − 1 = 99, podemos determinar utilizando software estadístico (o una tabla t) que el área de una cola es 0.01, que duplicamos para obtener el valor p: 0.02.

Debido a que el valor p es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Es decir, los datos proporcionan evidencia sólida de que el tiempo promedio de carrera para la Cherry Blossom Run en 2017 es diferente del promedio de 2006. Dado que el valor observado está por encima del valor nulo y hemos rechazado la hipótesis nula, concluiríamos que los corredores en la carrera fueron más lentos en promedio en 2017 que en 2006.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA SOLA MEDIA

Una vez que hayas determinado que una prueba de hipótesis para una sola media es el procedimiento correcto, hay cuatro pasos para completar la prueba:

Preparar. Identifica el parámetro de interés, enumera las hipótesis, identifica el nivel de significancia e identifica ¯x, s, y n.

Verificar. Verifica las condiciones para asegurar que ¯x sea casi normal.

Calcular. Si las condiciones se cumplen, calcula SE, calcula la puntuación T e identifica el valor p.

Concluir. Evalúa la prueba de hipótesis comparando el valor p con α, y proporciona una conclusión en el contexto del problema.

Ejercicios

7.1 Identificar el valor crítico t. Se selecciona una muestra aleatoria independiente de una población aproximadamente normal con desviación estándar desconocida. Encuentra los grados de libertad y el valor crítico t (t^⋆) para el tamaño de muestra y el nivel de confianza dados.

• 1. n = 6, CL = 90% (b) n = 21, CL = 98% (c) n = 29, CL = 95%
• 4. n = 12, CL = 99%

7.2 Distribución t. La figura de la derecha muestra tres curvas unimodales y simétricas: la distribución normal estándar (z), la distribución t con 5 grados de libertad y la distribución t con 1 grado de libertad. Determina cuál es cuál y explica tu razonamiento.

7.3 Encuentra el valor p, Parte I. Se selecciona una muestra aleatoria independiente de una población aproximadamente normal con una desviación estándar desconocida. Encuentra el valor p para el tamaño de muestra y el estadístico de prueba dados. También determina si la hipótesis nula se rechazaría con α = 0.05.

• 1. n = 11, T = 1.91 (b) n = 17, T = −3.45
• 3. n = 7, T = 0.83
• 4. n = 28, T = 2.13

7.4 Encuentra el valor p, Parte II. Se selecciona una muestra aleatoria independiente de una población aproximadamente normal con una desviación estándar desconocida. Encuentra el valor p para el tamaño de muestra y el estadístico de prueba dados. También determina si la hipótesis nula se rechazaría con α = 0.01.

1. n = 26, T = 2.485 (b) n = 18, T = 0.5

7.5 Trabajando hacia atrás, Parte I. Se da un intervalo de confianza del 95% para la media de una población, µ, como (18.985, 21.015). Este intervalo de confianza se basa en una muestra aleatoria simple de 36 observaciones. Calcula la media y la desviación estándar de la muestra. Asume que se cumplen todas las condiciones necesarias para la inferencia. Usa la distribución t en cualquier cálculo.

7.6 Trabajando hacia atrás, Parte II. Un intervalo de confianza del 90% para la media de una población es (65, 77). La distribución de la población es aproximadamente normal y la desviación estándar de la población es desconocida. Este intervalo de confianza se basa en una muestra aleatoria simple de 25 observaciones. Calcula la media de la muestra, el margen de error y la desviación estándar de la muestra.

7.7 Hábitos de sueño de los neoyorquinos. Nueva York es conocida como “la ciudad que nunca duerme”. Se preguntó a una muestra aleatoria de 25 neoyorquinos cuántas horas duermen por noche. Los resúmenes estadísticos de estos datos se muestran a continuación. La estimación puntual sugiere que los neoyorquinos duermen menos de 8 horas por noche en promedio. ¿Es el resultado estadísticamente significativo?

n	¯x	s	min	max
25	7.73	0.77	6.17	9.78

• 1. Escribe las hipótesis en símbolos y en palabras.
• 2. Verifica las condiciones, luego calcula el estadístico de prueba, T, y los grados de libertad asociados.
• 3. Encuentra e interpreta el valor p en este contexto. Dibujar una imagen puede ser útil.
• 4. ¿Cuál es la conclusión de la prueba de hipótesis?
• 5. Si fueras a construir un intervalo de confianza del 90% que correspondiera a esta prueba de hipótesis, ¿esperarías que 8 horas estuvieran en el intervalo?

7.8 Estaturas de adultos. Investigadores que estudian antropometría recolectaron mediciones de la circunferencia del cuerpo y mediciones del diámetro esquelético, así como la edad, el peso, la altura y el sexo, de 507 personas físicamente activas. El histograma a continuación muestra la distribución de la muestra de alturas en centímetros.8

• 1. ¿Cuál es la estimación puntual para la altura promedio de las personas activas? ¿Qué pasa con la mediana?
• 2. ¿Cuál es la estimación puntual para la desviación estándar de las alturas de las personas activas? ¿Qué pasa con el IQR?
• 3. ¿Se considera inusualmente alta a una persona que mide 1 m 80 cm (180 cm)? ¿Y se considera inusualmente baja a una persona que mide 1 m 55 cm (155 cm)? Explica tu razonamiento.
• 4. Los investigadores toman otra muestra aleatoria de personas físicamente activas. ¿Esperarías que la media y la desviación estándar de esta nueva muestra fueran las que se dan arriba? Explica tu razonamiento.
• 5. Las medias de la muestra obtenidas son estimaciones puntuales para la altura media de todas las personas activas, si la muestra de personas es equivalente a una muestra aleatoria simple. ¿Qué medida utilizamos para cuantificar la variabilidad de tal estimación? Calcula esta cantidad utilizando los datos de la muestra original bajo la condición de que los datos sean una muestra aleatoria simple.
• 7.9 Encuentra la media. Se te dan las siguientes hipótesis:

\[\begin{aligned} H\_0: \mu &= 60 \\ H\_A: \mu &\neq 60 \end{aligned}\]

Sabemos que la desviación estándar de la muestra es 8 y el tamaño de la muestra es 20. ¿Para qué media de la muestra el valor p sería igual a 0.05? Asume que se cumplen todas las condiciones necesarias para la inferencia.

⁸G. Heinz et al. “Explorando relaciones en dimensiones corporales”. En: Journal of Statistics Education 11.2 (2003).

7.10 t ⋆ vs. z ⋆ . Para un nivel de confianza dado, t ⋆ df es mayor que z ⋆ . Explica cómo el hecho de que t ∗ df sea ligeramente mayor que z ∗ afecta el ancho del intervalo de confianza.

7.11 Tocar el piano. Georgianna afirma que en una pequeña ciudad famosa por su escuela de música, el niño promedio toma menos de 5 años de clases de piano. Tenemos una muestra aleatoria de 20 niños de la ciudad, con una media de 4.6 años de clases de piano y una desviación estándar de 2.2 años.

• 1. Evalúa la afirmación de Georgianna (o que lo contrario podría ser cierto) utilizando una prueba de hipótesis.
• 2. Construye un intervalo de confianza del 95% para el número de años que los estudiantes de esta ciudad toman clases de piano e interprétalo en el contexto de los datos.
• 3. ¿Concuerdan tus resultados de la prueba de hipótesis y el intervalo de confianza? Explica tu razonamiento.

7.12 Escape de automóviles y exposición al plomo. Los investigadores interesados en la exposición al plomo debido al escape de automóviles tomaron muestras de sangre de 52 oficiales de policía sometidos a la inhalación constante de gases de escape de automóviles mientras trabajaban en el control del tráfico en un entorno principalmente urbano. Las muestras de sangre de estos oficiales tenían una concentración promedio de plomo de 124.32 µg/l y una SD de 37.74 µg/l; un estudio anterior de personas de un suburbio cercano, sin antecedentes de exposición, encontró una concentración promedio de plomo en sangre de 35 µg/l.9

• 1. Escribe las hipótesis que serían apropiadas para probar si los oficiales de policía parecen haber estado expuestos a una concentración diferente de plomo.
• (b) Declara explícitamente y verifica todas las condiciones necesarias para la inferencia sobre estos datos.
• 3. Independientemente de tus respuestas en la parte (b), prueba la hipótesis de que los oficiales de policía del centro tienen una exposición al plomo mayor que el grupo en el estudio anterior. Interpreta tus resultados en contexto.

7.13 Ahorros en seguros de automóviles. Un investigador de mercado quiere evaluar los ahorros en seguros de automóviles en una empresa competidora. Basado en estudios anteriores, asume que la desviación estándar de los ahorros es de $100. Quiere recopilar datos de tal manera que pueda obtener un margen de error de no más de $10 con un nivel de confianza del 95%. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que debe recopilar?

7.14 Puntajes SAT. La desviación estándar de los puntajes SAT para los estudiantes de una determinada universidad de la Ivy League es de 250 puntos. Dos estudiantes de estadística, Raina y Luke, quieren estimar el puntaje SAT promedio de los estudiantes de esta universidad como parte de un proyecto de clase. Quieren que su margen de error no sea superior a 25 puntos.

• 1. Raina quiere usar un intervalo de confianza del 90%. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que debe recopilar?
• 2. Luke quiere usar un intervalo de confianza del 99%. Sin calcular el tamaño real de la muestra, determina si su muestra debe ser más grande o más pequeña que la de Raina, y explica tu razonamiento.
• 3. Calcula el tamaño mínimo requerido de la muestra para Luke.

⁹WI Mortada et al. “Study of lead exposure from automobile exhaust as a risk for nephrotoxicity among traffic policemen.” En: American journal of nephrology 21.4 (2000), pp. 274–279.

7.2 Datos pareados

En una edición anterior de este libro de texto, encontramos que los precios de Amazon eran, en promedio, más bajos que los de la librería de UCLA para los cursos de UCLA en 2010. Han pasado varios años, y muchas tiendas se han adaptado al mercado en línea, por lo que nos preguntamos, ¿cómo le está yendo a la librería de UCLA hoy en día?

Muestreamos 201 cursos de UCLA. De ellos, 68 libros requeridos se pudieron encontrar en Amazon. Una parte del conjunto de datos de estos cursos se muestra en la Figura 7.8, donde los precios están en dólares estadounidenses.

	materia	número de curso	librería	amazon	diferencia de precio
1	Estudios de Indios Americanos	M10	47.97	47.45	0.52
2	Antropología	2	14.26	13.55	0.71
3	Artes y Arquitectura	10	13.50	12.53	0.97
68	Estudios Judíos	M10	35.96	32.40	3.56

Figura 7.8: Cuatro casos del conjunto de datos de libros de texto.

7.2.1 Observaciones emparejadas

Cada libro de texto tiene dos precios correspondientes en el conjunto de datos: uno para la Librería de UCLA y otro para Amazon. Cuando dos conjuntos de observaciones tienen esta correspondencia especial, se dice que están emparejados.

DATOS EMPAREJADOS

Dos conjuntos de observaciones están emparejados si cada observación en un conjunto tiene una correspondencia o conexión especial con exactamente una observación en el otro conjunto de datos.

Para analizar datos emparejados, a menudo es útil observar la diferencia en los resultados de cada par de observaciones. En los datos de los libros de texto, observamos las diferencias de precios, que se representan como la variable de diferencia de precios en el conjunto de datos. Aquí, las diferencias se toman como

Precio Librería UCLA − Precio Amazon

Es importante que siempre restemos utilizando un orden consistente; aquí los precios de Amazon siempre se restan de los precios de UCLA. La primera diferencia que se muestra en la Figura 7.8 se calcula como 47.97 − 47.45 = 0.52. De manera similar, la segunda diferencia se calcula como 14.26 − 13.55 = 0.71, y la tercera es 13.50 − 12.53 = 0.97. Se muestra un histograma de las diferencias en la Figura 7.9. Usar las diferencias entre observaciones emparejadas es una forma común y útil de analizar datos emparejados.

Figura 7.9: Histograma de la diferencia de precio para cada libro muestreado.

7.2.2 Inferencia para datos pareados

Para analizar un conjunto de datos pareados, simplemente analizamos las diferencias. Podemos usar las mismas técnicas de distribución t que aplicamos en la Sección 7.1.

ndiff	x¯diff	sdiff
68	3.58	13.42

Figura 7.10: Estadísticas resumidas para las 68 diferencias de precio.
————————————————————————-	–	–	–	–	–	–	–

EJEMPLO 7.17

Establezca una prueba de hipótesis para determinar si, en promedio, existe una diferencia entre el precio de Amazon para un libro y el precio de la librería de UCLA. Además, verifique las condiciones para determinar si podemos seguir adelante con la prueba utilizando la distribución t.

Estamos considerando dos escenarios: no hay diferencia o hay alguna diferencia en los precios promedio.

H0: µdiff = 0. No hay diferencia en el precio promedio de los libros de texto.

HA: µdiff ̸= 0. Hay una diferencia en los precios promedio.

A continuación, verificamos las condiciones de independencia y normalidad. Las observaciones se basan en una muestra aleatoria simple, por lo que la independencia es razonable. Si bien hay algunos valores atípicos, n = 68 y ninguno de los valores atípicos es particularmente extremo, por lo que se satisface la normalidad de ¯x. Con estas condiciones satisfechas, podemos seguir adelante con la distribución t.

EJEMPLO 7.18

Completa la prueba de hipótesis iniciada en el Ejemplo 7.17.

Para calcular la prueba, calcula el error estándar asociado con ¯xdiff usando la desviación estándar de las diferencias (sdiff = 13.42) y el número de diferencias (ndiff = 68):

\[SE\_{\bar{x}\_{d\bar{f}}} = \frac{s\_{d\bar{f}\bar{f}}}{\sqrt{n\_{d\bar{f}\bar{f}}}} = \frac{13.42}{\sqrt{68}} = 1.63\]

El estadístico de prueba es la puntuación T de ¯xdiff bajo la condición nula de que la diferencia media real es 0:

\[T = \frac{\bar{x}\_{diff} - 0}{SE\_{\bar{x}\_{diff}}} = \frac{3.58 - 0}{1.63} = 2.20\]

Para visualizar el valor p, la distribución de muestreo de ¯xdiff se dibuja como si H⁰ fuera verdadera, y el valor p está representado por las dos colas sombreadas:

Los grados de libertad son df = 68 − 1 = 67. Usando software estadístico, encontramos el área de una cola de 0.0156. Duplicar esta área da el valor p: 0.0312.

Debido a que el valor p es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Los precios de Amazon son, en promedio, más bajos que los precios de la librería de UCLA para los cursos de UCLA.

Crea un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de precio promedio entre los libros en la librería de UCLA y los libros en Amazon.10

PRÁCTICA GUIADA 7.20

Tenemos evidencia sólida de que Amazon es, en promedio, menos costoso. ¿Cómo debería afectar esta conclusión los hábitos de compra de los estudiantes de UCLA? ¿Deberían los estudiantes de UCLA comprar siempre sus libros en Amazon?11

¹⁰Las condiciones ya se han verificado y el error estándar se calculó en el Ejemplo 7.17. Para encontrar el intervalo, identifique t ⋆ ⁶⁷ utilizando software estadístico o la tabla t (t ⋆ ⁶⁷ = 2.00) e introduzca este valor, la estimación puntual y el error estándar en la fórmula del intervalo de confianza:

estimación puntual ± z ^⋆ × EE → 3.58 ± 2.00 × 1.63 → (0.32, 6.84)

Tenemos un 95% de confianza en que Amazon es, en promedio, entre $0.32 y $6.84 menos costoso que la Librería de UCLA para los libros de los cursos de UCLA.

¹¹La diferencia de precio promedio es solo ligeramente útil para esta pregunta. Examine la distribución que se muestra en la Figura 7.9. Ciertamente, hay un puñado de casos en los que los precios de Amazon son muy inferiores a los de la Librería de UCLA, lo que sugiere que vale la pena consultar Amazon (y probablemente otros sitios en línea) antes de comprar. Sin embargo, en muchos casos, el precio de Amazon es superior a lo que cobra la Librería de UCLA, y la mayoría de las veces el precio no es tan diferente. En última instancia, si obtener un libro inmediatamente de la librería es notablemente más conveniente, por ejemplo, para comenzar a leer o hacer la tarea, es probable que sea una buena idea optar por la Librería de UCLA a menos que la diferencia de precio en un libro específico sea bastante grande.

Como referencia, este es un resultado muy diferente de lo que nosotros (los autores) habíamos visto en un conjunto de datos similar de 2010. En ese momento, los precios de Amazon eran casi uniformemente más bajos que los de la Librería de UCLA y por un amplio margen, lo que hacía que la opción de usar Amazon en lugar de la Librería de UCLA fuera bastante convincente en ese momento. Ahora revisamos con frecuencia varios sitios web para encontrar el mejor precio.

Ejercicios

7.15 Calidad del aire. Se recolectaron mediciones de la calidad del aire en una muestra aleatoria de 25 capitales de países en 2013, y luego nuevamente en las mismas ciudades en 2014. Nos gustaría utilizar estos datos para comparar la calidad promedio del aire entre los dos años. ¿Deberíamos usar una prueba pareada o no pareada? Explica tu razonamiento.

7.16 Verdadero / Falso: pareado. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falso, explica.

• 1. En un análisis pareado, primero tomamos la diferencia de cada par de observaciones, y luego hacemos inferencia sobre estas diferencias.
• 2. Dos conjuntos de datos de diferentes tamaños no pueden ser analizados como datos pareados.
• 3. Considera dos conjuntos de datos que están pareados entre sí. Cada observación en un conjunto de datos tiene una correspondencia natural con exactamente una observación del otro conjunto de datos.
• 4. Considera dos conjuntos de datos que están pareados entre sí. Cada observación en un conjunto de datos se resta del promedio de las observaciones del otro conjunto de datos.

7.17 ¿Pareado o no? Parte I. En cada uno de los siguientes escenarios, determina si los datos están pareados.

• 1. Compara las puntuaciones pre-test (al inicio del semestre) y post-test (al final del semestre) de los estudiantes.
• 2. Evalúa la brecha salarial relacionada con el género comparando los salarios de hombres y mujeres muestreados aleatoriamente.
• 3. Compara el grosor de las arterias al inicio de un estudio y después de 2 años de tomar vitamina E para el mismo grupo de pacientes.
• 4. Evalúa la efectividad de un régimen dietético comparando los pesos antes y después de los sujetos.

7.18 ¿Pareado o no? Parte II. En cada uno de los siguientes escenarios, determina si los datos están pareados.

• 1. Nos gustaría saber si las acciones de Intel y las acciones de Southwest Airlines tienen tasas de retorno similares. Para averiguarlo, tomamos una muestra aleatoria de 50 días y registramos las acciones de Intel y Southwest en esos mismos días.
• 2. Muestreamos aleatoriamente 50 artículos de las tiendas Target y anotamos el precio de cada uno. Luego visitamos Walmart y recolectamos el precio de cada uno de esos mismos 50 artículos.
• 3. Una junta escolar desea determinar si existe una diferencia en los puntajes promedio del SAT para los estudiantes de una escuela secundaria versus otra escuela secundaria en el distrito. Para verificar, toman una muestra aleatoria simple de 100 estudiantes de cada escuela secundaria.

7.19 Calentamiento global, Parte I. Consideremos un conjunto limitado de datos climáticos, examinando las diferencias de temperatura en 1948 vs 2018. Muestreamos 197 ubicaciones de los datos históricos de la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA), donde los datos estaban disponibles para ambos años de interés. Queremos saber: ¿hubo más días con temperaturas superiores a 90°F en 2018 o en 1948?12 La diferencia en el número de días que excedieron los 90°F (número de días en 2018 - número de días en 1948) se calculó para cada una de las 197 ubicaciones. El promedio de estas diferencias fue de 2.9 días con una desviación estándar de 17.2 días. Estamos interesados en determinar si estos datos proporcionan evidencia sólida de que hubo más días en 2018 que superaron los 90°F de las estaciones meteorológicas de la NOAA.

• 1. ¿Existe una relación entre las observaciones recolectadas en 1948 y 2018? ¿O las observaciones en los dos grupos son independientes? Explica.
• 2. Escribe hipótesis para esta investigación en símbolos y en palabras.
• 3. Verifica las condiciones requeridas para completar esta prueba. Se proporciona un histograma de las diferencias a la derecha.
• 4. Calcula el estadístico de prueba y encuentra el valor p.
• 5. Usa α = 0.05 para evaluar la prueba e interpreta tu conclusión en contexto.
• 6. ¿Qué tipo de error podríamos haber cometido? Explica en contexto qué significa el error.
• (g) Basado en los resultados de esta prueba de hipótesis, ¿esperarías que un intervalo de confianza para la diferencia promedio entre el número de días que exceden los 90°F desde 1948 y 2018 incluya 0? Explica tu razonamiento.

7.20 High School and Beyond, Parte I. El Centro Nacional de Estadísticas de Educación realizó una encuesta a estudiantes de último año de secundaria, recolectando datos de pruebas de lectura, escritura y varias otras materias. Aquí examinamos una muestra aleatoria simple de 200 estudiantes de esta encuesta. A continuación, se muestran diagramas de caja lado a lado de las puntuaciones de lectura y escritura, así como un histograma de las diferencias en las puntuaciones.

• 1. ¿Existe una diferencia clara en las puntuaciones promedio de lectura y escritura?
• 2. ¿Las puntuaciones de lectura y escritura de cada estudiante son independientes entre sí?
• 3. Crea hipótesis apropiadas para la siguiente pregunta de investigación: ¿existe una diferencia evidente en las puntuaciones promedio de los estudiantes en el examen de lectura y escritura?
• 4. Verifica las condiciones requeridas para completar esta prueba.
• 5. La diferencia promedio observada en las puntuaciones es ¯xread−write = −0.545, y la desviación estándar de las diferencias es de 8.887 puntos. ¿Estos datos proporcionan evidencia convincente de una diferencia entre las puntuaciones promedio en los dos exámenes?
• 6. ¿Qué tipo de error podríamos haber cometido? Explica qué significa el error en el contexto de la aplicación.
• 7. Basado en los resultados de esta prueba de hipótesis, ¿esperarías que un intervalo de confianza para la diferencia promedio entre las puntuaciones de lectura y escritura incluya 0? Explica tu razonamiento.

7.21 Calentamiento global, Parte II. Consideramos el cambio en el número de días que excedieron los 90°F de 1948 a 2018 en 197 ubicaciones muestreadas aleatoriamente de la base de datos de la NOAA en el Ejercicio 7.19. La media y la desviación estándar de las diferencias reportadas son 2.9 días y 17.2 días.

• 1. Calcula un intervalo de confianza del 90% para la diferencia promedio entre el número de días que exceden los 90°F entre 1948 y 2018. Ya hemos verificado las condiciones por ti.
• 2. Interpreta el intervalo en contexto.
• 3. ¿El intervalo de confianza proporciona evidencia convincente de que hubo más días que excedieron los 90°F en 2018 que en 1948 en las estaciones de la NOAA? Explica.

7.22 High school and beyond, Parte II. Consideramos las diferencias entre las puntuaciones de lectura y escritura de una muestra aleatoria de 200 estudiantes que tomaron la Encuesta High School and Beyond en el Ejercicio 7.20. La media y la desviación estándar de las diferencias son ¯xread−write = −0.545 y 8.887 puntos.

• 1. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la diferencia promedio entre las puntuaciones de lectura y escritura de todos los estudiantes.
• 2. Interpreta este intervalo en contexto.
• 3. ¿El intervalo de confianza proporciona evidencia convincente de que existe una diferencia real en las puntuaciones promedio? Explica.

7.3 Diferencia de dos medias

En esta sección consideramos una diferencia en dos medias poblacionales, µ¹ − µ2, bajo la condición de que los datos no estén pareados. Al igual que con una sola muestra, identificamos las condiciones para asegurar que podemos usar la distribución t con una estimación puntual de la diferencia, ¯x¹ −x¯2, y una nueva fórmula de error estándar. Aparte de estas dos diferencias, los detalles son casi idénticos a los procedimientos de una media.

Aplicamos estos métodos en tres contextos: determinar si las células madre pueden mejorar la función cardíaca, explorar la relación entre los hábitos de tabaquismo de las mujeres embarazadas y los pesos al nacer de los recién nacidos, y explorar si existe evidencia estadísticamente significativa de que una variación de un examen es más difícil que otra variación. Esta sección está motivada por preguntas como “¿Existe evidencia convincente de que los recién nacidos de madres que fuman tienen un peso promedio al nacer diferente al de los recién nacidos de madres que no fuman?”

7.3.1 Intervalo de confianza para una diferencia de medias

¿Ayuda el tratamiento con células madre embrionarias (CME) a mejorar la función cardíaca después de un ataque al corazón? La Figura 7.11 contiene estadísticas resumidas de un experimento para probar las CME en ovejas que sufrieron un ataque al corazón. Cada una de estas ovejas fue asignada aleatoriamente al grupo de CME o al grupo de control, y se midió el cambio en la capacidad de bombeo de sus corazones en el estudio. La Figura 7.12 proporciona histogramas de los dos conjuntos de datos. Un valor positivo corresponde a una mayor capacidad de bombeo, lo que generalmente sugiere una recuperación más fuerte. Nuestro objetivo será identificar un intervalo de confianza del 95% para el efecto de las CME sobre el cambio en la capacidad de bombeo del corazón en relación con el grupo de control.

	n	x	s ¯
CME	9	3.50	5.17
control	9	-4.33	2.76

Figura 7.11: Estadísticas resumidas del estudio de células madre embrionarias.

La estimación puntual de la diferencia en la variable de bombeo cardíaco es sencilla de encontrar: es la diferencia en las medias muestrales.

\[ \bar{x}\_{cme} - \bar{x}\_{control} = 3.50 - (-4.33) = 7.83 \]

Para la cuestión de si podemos modelar esta diferencia usando una distribución t, necesitaremos verificar nuevas condiciones. Al igual que en los casos de 2 proporciones, requeriremos una versión más robusta de la independencia para estar seguros de que los dos grupos también son independientes. En segundo lugar, también verificamos la normalidad en cada grupo por separado, lo cual, en la práctica, es una verificación de valores atípicos.

USO DE LA DISTRIBUCIÓN t PARA UNA DIFERENCIA DE MEDIAS

La distribución t se puede utilizar para la inferencia cuando se trabaja con la diferencia estandarizada de dos medias si

• Independencia, extendida. Los datos son independientes dentro y entre los dos grupos, por ejemplo, los datos provienen de muestras aleatorias independientes o de un experimento aleatorizado.
• Normalidad. Verificamos las reglas generales de valores atípicos para cada grupo por separado.

El error estándar se puede calcular como

\[SE = \sqrt{\frac{\sigma\_1^2}{n\_1} + \frac{\sigma\_2^2}{n\_2}}\]

La fórmula oficial para los grados de libertad es bastante compleja y generalmente se calcula usando software, por lo que en su lugar puede usar el menor de n¹ − 1 y n² − 1 para los grados de libertad si el software no está disponible.

EJEMPLO 7.21

frecuencia

frecuencia

¿Se puede utilizar la distribución t para hacer inferencias utilizando la estimación puntual, ¯xesc − x¯control = 7.83?

Primero, verificamos la independencia. Debido a que las ovejas se asignaron aleatoriamente a los grupos, se cumple la independencia dentro y entre los grupos.

La Figura 7.12 no revela ningún valor atípico claro en ninguno de los grupos. (El grupo ESC parece tener un poco más de variabilidad, pero esto no es lo mismo que tener valores atípicos claros).

Con ambas condiciones cumplidas, podemos usar la distribución t para modelar la diferencia de las medias muestrales.

Figura 7.12: Histogramas para el grupo de células madre embrionarias y el grupo de control.

Al igual que con el caso de una muestra, siempre calculamos el error estándar utilizando las desviaciones estándar de la muestra en lugar de las desviaciones estándar de la población:

\[SE = \sqrt{\frac{s\_{esc}^2}{n\_{esc}} + \frac{s\_{control}^2}{n\_{control}}} = \sqrt{\frac{5.17^2}{9} + \frac{2.76^2}{9}} = 1.95\]

Generalmente, usamos software estadístico para encontrar los grados de libertad apropiados, o si el software no está disponible, podemos usar el menor de n¹ − 1 y n² − 1 para los grados de libertad, por ejemplo, si usamos una tabla t para encontrar áreas de cola. Para transparencia en los ejemplos y la práctica guiada, usaremos este último enfoque para encontrar df; en el caso del ejemplo ESC, esto significa que usaremos df = 8.

7.3. DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 269

EJEMPLO 7.22

Calcula un intervalo de confianza del 95% para el efecto de las Células Madre Embrionarias (CME) en el cambio en la capacidad de bombeo del corazón de ovejas después de que hayan sufrido un ataque al corazón.

Usaremos la diferencia de la muestra y el error estándar que calculamos en cálculos anteriores:

\[ \bar{x}\_{cme} - \bar{x}\_{control} = 7.83 \qquad \qquad \qquad EE = \sqrt{\frac{5.17^2}{9} + \frac{2.76^2}{9}} = 1.95 \]

Usando gl = 8, podemos identificar el valor crítico de t ⋆ ⁸ = 2.31 para un intervalo de confianza del 95%. Finalmente, podemos ingresar los valores en la fórmula del intervalo de confianza:

estimación puntual ± t ^⋆ × EE → 7.83 ± 2.31 × 1.95 → (3.32, 12.34)

Tenemos un 95% de confianza en que las células madre embrionarias mejoran la función de bombeo del corazón en ovejas que han sufrido un ataque al corazón entre un 3.32% y un 12.34%.

Al igual que con aplicaciones de inferencia estadística anteriores, existe un procedimiento bien definido.

Preparar. Recuperar información contextual crítica y, si corresponde, establecer hipótesis.

Verificar. Asegurarse de que las condiciones requeridas se cumplan razonablemente.

Calcular. Encontrar el error estándar y luego construir un intervalo de confianza, o si se realiza una prueba de hipótesis, encontrar un estadístico de prueba y un valor p.

Concluir. Interpretar los resultados en el contexto de la aplicación.

Los detalles cambian un poco de un entorno a otro, pero este enfoque general sigue siendo el mismo.

7.3.2 Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias

Un conjunto de datos llamado ncbirths representa una muestra aleatoria de 150 casos de madres y sus recién nacidos en Carolina del Norte durante un año. Cuatro casos de este conjunto de datos se representan en la Figura 7.13. Estamos particularmente interesados en dos variables: weight y smoke. La variable weight representa los pesos de los recién nacidos y la variable smoke describe qué madres fumaron durante el embarazo. Nos gustaría saber, ¿hay evidencia convincente de que los recién nacidos de madres que fuman tienen un peso promedio al nacer diferente al de los recién nacidos de madres que no fuman? Utilizaremos la muestra de Carolina del Norte para tratar de responder a esta pregunta. El grupo de fumadoras incluye 50 casos y el grupo de no fumadoras contiene 100 casos.

	fage	mage	weeks	weight	sex	smoke
1	NA	13	37	5.00	female	nonsmoker
2	NA	14	36	5.88	female	nonsmoker
3	19	15	41	8.13	male	smoker
150	45	50	36	9.25	female	nonsmoker

Figura 7.13: Cuatro casos del conjunto de datos ncbirths. El valor “NA”, que se muestra para las dos primeras entradas de la primera variable, indica que falta ese dato.

EJEMPLO 7.23

Establezca hipótesis apropiadas para evaluar si existe una relación entre que una madre fume y el peso promedio al nacer.

La hipótesis nula representa el caso de que no haya diferencia entre los grupos.

• H0: No hay diferencia en el peso promedio al nacer de los recién nacidos de madres que fumaron y no fumaron. En notación estadística: µⁿ − µ^s = 0, donde µⁿ representa a las madres no fumadoras y µ^s representa a las madres que fumaron.
• HA: Existe alguna diferencia en los pesos promedio de los recién nacidos de madres que fumaron y no fumaron (µⁿ − µ^s ̸= 0).

Verificamos las dos condiciones necesarias para modelar la diferencia en las medias de la muestra utilizando la distribución t.

• Debido a que los datos provienen de una muestra aleatoria simple, las observaciones son independientes, tanto dentro como entre las muestras.
• Con ambos conjuntos de datos de más de 30 observaciones, inspeccionamos los datos en la Figura 7.14 en busca de valores atípicos particularmente extremos y no encontramos ninguno.

Dado que se cumplen ambas condiciones, la diferencia en las medias de la muestra se puede modelar utilizando una distribución t.

Figura 7.14: El panel izquierdo representa los pesos al nacer de los bebés cuyas madres fumaron. El panel derecho representa los pesos al nacer de los bebés cuyas madres no fumaron.

PRÁCTICA GUIADA 7.24

Las estadísticas resumidas en la Figura 7.15 pueden ser útiles para esta Práctica Guiada.13

• 1. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia poblacional, µⁿ − µs?
• (b) Calcule el error estándar de la estimación puntual de la parte (a).

	smoker	nonsmoker
mean	6.78	7.18
st. dev.	1.43	1.60
samp. size	50	100

Figura 7.15: Estadísticas resumidas para el conjunto de datos ncbirths.

\[SE = \sqrt{\frac{\sigma\_n^2}{n\_n} + \frac{\sigma\_s^2}{n\_s}} \approx \sqrt{\frac{s\_n^2}{n\_n} + \frac{s\_s^2}{n\_s}} = \sqrt{\frac{1.60^2}{100} + \frac{1.43^2}{50}} = 0.26\]

¹³(a) La diferencia en las medias de la muestra es una estimación puntual apropiada: ¯xⁿ − x¯^s = 0.40. (b) El error estándar de la estimación se puede calcular utilizando la fórmula del error estándar:

7.3. DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 271

EJEMPLO 7.25

Complete la prueba de hipótesis iniciada en el Ejemplo 7.23 y la Práctica Guiada 7.24. Utilice un nivel de significancia de α = 0.05. Como referencia, ¯xⁿ − x¯^s = 0.40, SE = 0.26, y los tamaños de muestra fueron nⁿ = 100 y n^s = 50.

Podemos encontrar el estadístico de prueba para esta prueba utilizando los valores de la Práctica Guiada 7.24:

\[T = \frac{0.40 - 0}{0.26} = 1.54\]

El valor p está representado por las dos colas sombreadas en el siguiente gráfico:

Encontramos el área de una sola cola utilizando software (o la tabla t en el Apéndice C.2). Usaremos el menor de nⁿ −1 = 99 y n^s −1 = 49 como los grados de libertad: df = 49. El área de una cola es 0.065; duplicar este valor da el área de dos colas y el valor p, 0.135.

El valor p es mayor que el valor de significancia, 0.05, por lo que no rechazamos la hipótesis nula. No hay evidencia suficiente para decir que hay una diferencia en el peso promedio al nacer de los recién nacidos de madres de Carolina del Norte que fumaron durante el embarazo y los recién nacidos de madres de Carolina del Norte que no fumaron durante el embarazo.

PRÁCTICA GUIADA 7.26

Hemos visto muchas investigaciones que sugieren que fumar es perjudicial durante el embarazo, entonces, ¿cómo podríamos no rechazar la hipótesis nula en el Ejemplo 7.25? 14

PRÁCTICA GUIADA 7.27

Si cometiéramos un Error de Tipo 2 y hubiera una diferencia, ¿qué podríamos haber hecho diferente en la recolección de datos para tener más probabilidades de detectar la diferencia?15

Anuncio de servicio público: si bien hemos utilizado este conjunto de datos relativamente pequeño como ejemplo, conjuntos de datos más grandes muestran que las mujeres que fuman tienden a tener recién nacidos más pequeños. De hecho, algunos en la industria tabacalera incluso tuvieron la audacia de promocionarlo como un beneficio de fumar:

Es verdad. Los bebés nacidos de mujeres que fuman son más pequeños, pero son tan saludables como los bebés nacidos de mujeres que no fuman. Y algunas mujeres preferirían tener bebés más pequeños.

• Joseph Cullman, presidente de la junta directiva de Philip Morris… en Face the Nation de CBS, 3 de enero de 1971

Verificación de hechos: los bebés de mujeres que fuman no son tan saludables como los bebés de mujeres que no fuman.16

¹⁴Es posible que haya una diferencia, pero no la detectamos. Si hay una diferencia, cometimos un Error de Tipo 2. ¹⁵Podríamos haber recolectado más datos. Si los tamaños de muestra son más grandes, tendemos a tener una mejor oportunidad de encontrar una diferencia si existe. De hecho, ¡esto es exactamente lo que encontraríamos si examináramos un conjunto de datos más grande!

¹⁶Puede ver un episodio de John Oliver en Last Week Tonight para explorar las ofensas actuales de la industria tabacalera. Tenga en cuenta que hay algo de lenguaje para adultos: youtu.be/6UsHHOCH4q8.

7.3.3 Estudio de caso: dos versiones de un examen del curso

Un instructor decidió ejecutar dos ligeras variaciones del mismo examen. Antes de distribuir los exámenes, los mezcló para asegurarse de que cada estudiante recibiera una versión aleatoria. Las estadísticas resumidas de cómo se desempeñaron los estudiantes en estos dos exámenes se muestran en la Figura 7.16. Anticipándose a las quejas de los estudiantes que tomaron la Versión B, le gustaría evaluar si la diferencia observada en los grupos es tan grande que proporciona evidencia convincente de que la Versión B fue más difícil (en promedio) que la Versión A.

Versión	n	x	s ¯	min	max
A	30	79.4	14	45	100
B	27	74.1	20	32	100

Figura 7.16: Estadísticas resumidas de las puntuaciones para cada versión del examen.

PRÁCTICA GUIADA 7.28

Construya hipótesis para evaluar si la diferencia observada en las medias de la muestra, ¯x^A − x¯^B = 5.3, se debe al azar. Luego evaluaremos estas hipótesis usando α = 0.01.17

PRÁCTICA GUIADA 7.29

Para evaluar las hipótesis en la Práctica Guiada 7.28 usando la distribución t, primero debemos verificar las condiciones.18

• 1. ¿Parece razonable que las puntuaciones sean independientes?
• 2. ¿Alguna preocupación sobre los valores atípicos?

Después de verificar las condiciones para cada muestra y confirmar que las muestras son independientes entre sí, estamos listos para realizar la prueba utilizando la distribución t. En este caso, estamos estimando la verdadera diferencia en las puntuaciones promedio de las pruebas utilizando los datos de la muestra, por lo que la estimación puntual es ¯xA−x¯^B = 5.3. El error estándar de la estimación se puede calcular como

\[SE = \sqrt{\frac{s\_A^2}{n\_A} + \frac{s\_B^2}{n\_B}} = \sqrt{\frac{14^2}{30} + \frac{20^2}{27}} = 4.62\]

Finalmente, construimos el estadístico de prueba:

\[T = \frac{\text{estimación puntual} - \text{valor nulo}}{SE} = \frac{(79.4 - 74.1) - 0}{4.62} = 1.15\]

Si tenemos una computadora a mano, podemos identificar los grados de libertad como 45.97. De lo contrario, usamos el menor de n¹ − 1 y n² − 1: df = 26.

¹⁷H0: los exámenes son igualmente difíciles, en promedio. µ^A − µ^B = 0. HA: un examen fue más difícil que el otro, en promedio. µ^A − µ^B ̸= 0.

¹⁸(a) Dado que los exámenes se mezclaron, el “tratamiento” en este caso se asignó aleatoriamente, por lo que se satisface la independencia dentro y entre los grupos. (b) Las estadísticas resumidas sugieren que los datos son aproximadamente simétricos con respecto a la media, y los valores mínimos/máximos no sugieren ningún valor atípico de preocupación.

Figura 7.17: La distribución t con 26 grados de libertad y el valor p del ejemplo del examen representados como las áreas sombreadas.

EJEMPLO 7.30

Identifique el valor p representado en la Figura 7.17 usando gl = 26, y proporcione una conclusión en el contexto del estudio de caso.

Usando software, podemos encontrar el área de una cola (0.13) y luego duplicar este valor para obtener el área de dos colas, que es el valor p: 0.26. (Alternativamente, podríamos usar la tabla t en el Apéndice C.2.)

En la Práctica Guiada 7.28, especificamos que usaríamos α = 0.01. Dado que el valor p es mayor que α, no rechazamos la hipótesis nula. Es decir, los datos no muestran de manera convincente que una versión del examen sea más difícil que la otra, y el profesor no debería estar convencido de que debería agregar puntos a las puntuaciones del examen de la Versión B.

7.3.4 Estimación de la desviación estándar agrupada (tema especial)

Ocasionalmente, dos poblaciones tendrán desviaciones estándar que son tan similares que pueden tratarse como idénticas. Por ejemplo, los datos históricos o un mecanismo biológico bien comprendido pueden justificar esta fuerte suposición. En tales casos, podemos hacer que la aproximación de la distribución t sea un poco más precisa utilizando una desviación estándar agrupada.

La desviación estándar agrupada de dos grupos es una forma de usar datos de ambas muestras para estimar mejor la desviación estándar y el error estándar. Si s¹ y s² son las desviaciones estándar de los grupos 1 y 2 y existen muy buenas razones para creer que las desviaciones estándar de la población son iguales, entonces podemos obtener una mejor estimación de las varianzas del grupo agrupando sus datos:

\[s\_{agrupada}^2 = \frac{s\_1^2 \times (n\_1 - 1) + s\_2^2 \times (n\_2 - 1)}{n\_1 + n\_2 - 2}\]

donde n¹ y n² son los tamaños de muestra, como antes. Para usar esta nueva estadística, sustituimos s 2 agrupada en lugar de s 2 ¹ y s 2 2 en la fórmula del error estándar, y usamos una fórmula actualizada para los grados de libertad:

\[gl = n\_1 + n\_2 - 2\]

Los beneficios de agrupar la desviación estándar se obtienen al obtener una mejor estimación de la desviación estándar para cada grupo y al usar un parámetro de grados de libertad mayor para la distribución t. Ambos cambios pueden permitir un modelo más preciso de la distribución muestral de ¯x¹ − x¯2, si las desviaciones estándar de los dos grupos son realmente iguales.

AGRUPE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR SOLO DESPUÉS DE UNA CUIDADOSA CONSIDERACIÓN

Una desviación estándar agrupada solo es apropiada cuando la investigación de antecedentes indica que las desviaciones estándar de la población son casi iguales. Cuando el tamaño de la muestra es grande y la condición se puede verificar adecuadamente con datos, los beneficios de agrupar las desviaciones estándar disminuyen considerablemente.

Ejercicios

7.23 Viernes 13, Parte I. A principios de la década de 1990, investigadores en el Reino Unido recolectaron datos sobre el flujo de tráfico, el número de compradores y las admisiones en la sala de emergencias relacionadas con accidentes de tráfico los viernes 13 y el viernes anterior, el viernes 6. Los histogramas a continuación muestran la distribución del número de coches que pasan por una intersección específica el viernes 6 y el viernes 13 para muchos pares de fechas similares. También se dan algunas estadísticas de muestra, donde la diferencia es el número de coches el día 6 menos el número de coches el día 13.19

• 1. ¿Existen estructuras subyacentes en estos datos que deban considerarse en un análisis? Explique.
• 2. ¿Cuáles son las hipótesis para evaluar si el número de personas que salen el viernes 6 es diferente del número de personas que salen el viernes 13?
• 3. Verifique las condiciones para llevar a cabo la prueba de hipótesis de la parte (b).
• 4. Calcule el estadístico de prueba y el valor p.
• 5. ¿Cuál es la conclusión de la prueba de hipótesis?
• 6. Interprete el valor p en este contexto.
• 7. ¿Qué tipo de error podría haberse cometido en la conclusión de su prueba? Explique.

7.24 Diamantes, Parte I. Los precios de los diamantes están determinados por lo que se conoce como las 4 C: corte (cut), claridad (clarity), color (color) y peso en quilates (carat). Los precios de los diamantes suben a medida que aumenta el peso en quilates, pero el aumento no es uniforme. Por ejemplo, la diferencia entre el tamaño de un diamante de 0,99 quilates y un diamante de 1 quilate es indetectable para el ojo humano desnudo, pero el precio de un diamante de 1 quilate tiende a ser mucho más alto que el precio de un diamante de 0,99 quilates. En esta pregunta utilizamos dos muestras aleatorias de diamantes, de 0,99 quilates y de 1 quilate, cada muestra de tamaño 23, y comparamos los precios medios de los diamantes. Para poder comparar unidades equivalentes, primero dividimos el precio de cada diamante por 100 veces su peso en quilates. Es decir, para un diamante de 0,99 quilates, dividimos el precio por 99. Para un diamante de 1 quilate, dividimos el precio por 100. Las distribuciones y algunas estadísticas de muestra se muestran a continuación.20

Realice una prueba de hipótesis para evaluar si existe una diferencia entre los precios estandarizados promedio de los diamantes de 0,99 y 1 quilate. Asegúrese de indicar sus hipótesis claramente, verificar las condiciones relevantes e interpretar sus resultados en el contexto de los datos.

	0.99 quilates	1 quilate
Media	$44.51	$56.81
SD	$13.32	$16.13
n	23	23

¹⁹T.J. Scanlon et al. “¿Es el viernes 13 malo para tu salud?” En: BMJ 307 (1993), pp. 1584–1586. ²⁰H. Wickham. ggplot2: gráficos elegantes para el análisis de datos. Springer Nueva York, 2009.

7.3. DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 275

7.25 Viernes 13, Parte II. El estudio del Viernes 13 reportado en el Ejercicio 7.23 también proporciona datos sobre admisiones a la sala de emergencias relacionadas con accidentes de tráfico. Las distribuciones de estos conteos del Viernes 6 y Viernes 13 se muestran a continuación para seis fechas emparejadas de este tipo, junto con estadísticas resumidas. Puede asumir que se cumplen las condiciones para la inferencia.

• 1. Realice una prueba de hipótesis para evaluar si existe una diferencia entre el número promedio de admisiones a la sala de emergencias relacionadas con accidentes de tráfico entre el Viernes 6 y el Viernes 13.
• 2. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre el número promedio de admisiones a la sala de emergencias relacionadas con accidentes de tráfico entre el Viernes 6 y el Viernes 13.
• 3. La conclusión del estudio original establece: “El Viernes 13 es desafortunado para algunos. El riesgo de ingreso hospitalario como resultado de un accidente de transporte puede aumentar hasta en un 52%. Se recomienda quedarse en casa”. ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Explique su razonamiento.

7.26 Diamantes, Parte II. En el Ejercicio 7.24, discutimos los precios de los diamantes (estandarizados por peso) para diamantes con pesos de 0.99 quilates y 1 quilate. Consulte la tabla para obtener estadísticas resumidas y luego construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia promedio entre los precios estandarizados de los diamantes de 0.99 y 1 quilate. Puede asumir que se cumplen las condiciones para la inferencia.

	0.99 quilates	1 quilate
Media	$44.51	$56.81
DE	$13.32	$16.13
n	23	23

7.27 Dieta y peso del pollo, Parte I. La cría de pollos es una industria multimillonaria, y cualquier método que aumente la tasa de crecimiento de los pollitos jóvenes puede reducir los costos para el consumidor al tiempo que aumenta las ganancias de la empresa, posiblemente en millones de dólares. Se realizó un experimento para medir y comparar la eficacia de varios suplementos alimenticios en la tasa de crecimiento de los pollos. Los pollitos recién nacidos se asignaron aleatoriamente a seis grupos, y cada grupo recibió un suplemento alimenticio diferente. A continuación, se muestran algunas estadísticas resumidas de este conjunto de datos junto con diagramas de caja que muestran la distribución de los pesos por tipo de alimento.21

• 1. Describa las distribuciones de pesos de los pollos que fueron alimentados con linaza y habas.
• 2. ¿Estos datos proporcionan evidencia sólida de que los pesos promedio de los pollos que fueron alimentados con linaza y habas son diferentes? Use un nivel de significancia del 5%.
• 3. ¿Qué tipo de error podríamos haber cometido? Explicar.
• 4. ¿Cambiaría su conclusión si usáramos α = 0.01?

²¹Pesos de pollos por tipo de alimento, del paquete de conjuntos de datos en R..

7.28 Eficiencia de combustible de automóviles manuales y automáticos, Parte I. Cada año, la Agencia de Protección Ambiental (EPA) de EE. UU. publica datos de economía de combustible sobre los automóviles fabricados ese año. A continuación, se muestran estadísticas resumidas sobre la eficiencia de combustible (en millas/galón) de muestras aleatorias de automóviles con transmisiones manuales y automáticas. ¿Estos datos proporcionan evidencia sólida de una diferencia entre la eficiencia de combustible promedio de los automóviles con transmisiones manuales y automáticas en términos de su kilometraje promedio en ciudad? Asuma que se cumplen las condiciones para la inferencia.22

7.29 Dieta y peso del pollo, Parte II. La caseína es un suplemento común para el aumento de peso en humanos. ¿Tiene algún efecto en los pollos? Utilizando los datos proporcionados en el Ejercicio 7.27, pruebe la hipótesis de que el peso promedio de los pollos que fueron alimentados con caseína es diferente del peso promedio de los pollos que fueron alimentados con soja. Si su prueba de hipótesis produce un resultado estadísticamente significativo, discuta si el mayor peso promedio de los pollos puede atribuirse o no a la dieta de caseína. Asuma que se cumplen las condiciones para la inferencia.

7.30 Eficiencia de combustible de automóviles manuales y automáticos, Parte II. La tabla proporciona estadísticas resumidas sobre el ahorro de combustible en carretera de los mismos 52 automóviles del Ejercicio 7.28. Utilice estas estadísticas para calcular un intervalo de confianza del 98% para la diferencia entre el kilometraje promedio en carretera de los automóviles manuales y automáticos, e interprete este intervalo en el contexto de los datos.23

MPG en carretera

²²Departamento de Energía de EE. UU., Datos de economía de combustible, archivo de datos de 2012. ²³Departamento de Energía de EE. UU., Datos de economía de combustible, archivo de datos de 2012.

7.3. DIFERENCIA DE DOS MEDIAS 277

7.31 Experimento de aislamiento en prisión, Parte I. Sujetos de la prisión central en Raleigh, NC, se ofrecieron como voluntarios para un experimento que involucraba una experiencia de “aislamiento”. El objetivo del experimento era encontrar un tratamiento que redujera las puntuaciones T psicopáticas desviadas de los sujetos. Esta puntuación mide la necesidad de control de una persona o su rebelión contra el control, y es parte de una prueba de salud mental comúnmente utilizada llamada prueba del Inventario Multifásico de Personalidad de Minnesota (MMPI). El experimento tuvo tres grupos de tratamiento:

• 1. Cuatro horas de restricción sensorial más una cinta “terapéutica” de 15 minutos que aconseja que hay ayuda profesional disponible.
• 2. Cuatro horas de restricción sensorial más una cinta “emocionalmente neutral” de 15 minutos sobre el entrenamiento de perros de caza.
• 3. Cuatro horas de restricción sensorial pero sin mensaje grabado.

Cuarenta y dos sujetos fueron asignados aleatoriamente a estos grupos de tratamiento, y se administró una prueba MMPI antes y después del tratamiento. Las distribuciones de las diferencias entre las puntuaciones previas y posteriores al tratamiento (pre - post) se muestran a continuación, junto con algunas estadísticas de muestra. Utilice esta información para probar de forma independiente la eficacia de cada tratamiento. Asegúrese de indicar claramente sus hipótesis, verificar las condiciones e interpretar los resultados en el contexto de los datos.24

7.32 Verdadero / Falso: comparación de medias. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y explique su razonamiento para las afirmaciones que identifique como falsas.

• 1. Al comparar las medias de dos muestras donde n¹ = 20 y n² = 40, podemos usar el modelo normal para la diferencia de medias ya que n² ≥ 30.
• 2. A medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t se acerca a la normalidad.
• 3. Utilizamos un error estándar agrupado para calcular el error estándar de la diferencia entre medias cuando los tamaños de muestra de los grupos son iguales entre sí.

²⁴Experimento de aislamiento en prisión, stat.duke.edu/resources/datasets/prison-isolation.

7.4 Cálculos de potencia para una diferencia de medias

A menudo, en la planificación de experimentos, hay dos consideraciones contrapuestas:

• Queremos recopilar suficientes datos para poder detectar efectos importantes.
• Recopilar datos puede ser costoso y, en experimentos con personas, puede haber algún riesgo para los pacientes.

En esta sección, nos centramos en el contexto de un ensayo clínico, que es un experimento relacionado con la salud en el que los sujetos son personas, y determinaremos un tamaño de muestra apropiado en el que podamos estar 80% seguros de que detectaríamos cualquier efecto prácticamente importante.25

7.4.1 Repasando los pasos de una prueba

Vamos a repasar los pasos de una prueba de hipótesis. Esto nos ayudará a enmarcar nuestros cálculos para determinar un tamaño de muestra apropiado para el estudio.

EJEMPLO 7.31

Suponga que una compañía farmacéutica ha desarrollado un nuevo fármaco para reducir la presión arterial y está preparando un ensayo clínico (experimento) para probar la eficacia del fármaco. Reclutan personas que están tomando un medicamento estándar particular para la presión arterial. Las personas en el grupo de control continuarán tomando su medicamento actual a través de píldoras de aspecto genérico para garantizar el cegamiento. Escriba las hipótesis para una prueba de hipótesis bilateral en este contexto.

Generalmente, los ensayos clínicos utilizan una hipótesis alternativa bilateral, por lo que a continuación se presentan hipótesis adecuadas para este contexto:

• H0: El nuevo fármaco funciona exactamente tan bien como el medicamento estándar. µtrmt − µctrl = 0.
• HA: El rendimiento del nuevo fármaco difiere del medicamento estándar. µtrmt − µctrl ̸= 0.

EJEMPLO 7.32

A los investigadores les gustaría realizar el ensayo clínico en pacientes con presiones arteriales sistólicas entre 140 y 180 mmHg. Suponga que estudios publicados anteriormente sugieren que la desviación estándar de las presiones arteriales de los pacientes será de aproximadamente 12 mmHg y que la distribución de las presiones arteriales de los pacientes será aproximadamente simétrica.26 Si tuviéramos 100 pacientes por grupo, ¿cuál sería el error estándar aproximado para ¯xtrmt − x¯ctrl?

El error estándar se calcula de la siguiente manera:

\[SE\_{\bar{x}\_{trmt} - \bar{x}\_{ctrl}} = \sqrt{\frac{s\_{trmt}^2}{n\_{trmt}} + \frac{s\_{ctrl}^2}{n\_{ctrl}}} = \sqrt{\frac{12^2}{100} + \frac{12^2}{100}} = 1.704\]

Esta puede ser una estimación imperfecta de SEx¯trmt−x¯ctrl , ya que la estimación de la desviación estándar que utilizamos puede no ser perfectamente correcta para este grupo de pacientes. Sin embargo, es suficiente para nuestros propósitos.

²⁵Aunque no lo cubrimos explícitamente, una planificación similar del tamaño de la muestra también es útil para los estudios observacionales.

²⁶En este estudio en particular, generalmente mediríamos la presión arterial de cada paciente al principio y al final del estudio, y luego la medición del resultado para el estudio sería el cambio promedio en la presión arterial. Es decir, tanto µtrmt como µctrl representarían diferencias promedio. Esto es lo que podría considerar como una estructura de prueba pareada de 2 muestras, y lo analizaríamos exactamente como una prueba de hipótesis para una diferencia en el cambio promedio para los pacientes. En los cálculos que realizamos aquí, supondremos que 12 mmHg es la desviación estándar predicha de la diferencia de presión arterial de un paciente durante el transcurso del estudio.

7.4. CÁLCULOS DE POTENCIA PARA UNA DIFERENCIA DE MEDIAS 279

EJEMPLO 7.33

¿Cómo se ve la distribución nula de ¯xtrmt − x¯ctrl?

Los grados de libertad son mayores que 30, por lo que la distribución de ¯xtrmt −x¯ctrl será aproximadamente normal. La desviación estándar de esta distribución (el error estándar) sería de aproximadamente 1.70, y bajo la hipótesis nula, su media sería 0.

EJEMPLO 7.34

¿Para qué valores de ¯xtrmt − x¯ctrl rechazaríamos la hipótesis nula?

Para α = 0.05, rechazaríamos H⁰ si la diferencia está en la cola inferior del 2.5% o la cola superior del 2.5%:

• 2.5% Inferior: Para el modelo normal, esto es 1.96 errores estándar por debajo de 0, por lo que cualquier diferencia menor que −1.96 × 1.70 = −3.332 mmHg.
• 2.5% Superior: Para el modelo normal, esto es 1.96 errores estándar por encima de 0, por lo que cualquier diferencia mayor que 1.96 × 1.70 = 3.332 mmHg.
• Los límites de estas regiones de rechazo se muestran a continuación:

A continuación, realizaremos algunos cálculos hipotéticos para determinar la probabilidad de que rechacemos la hipótesis nula, si la hipótesis alternativa fuera realmente verdadera.

7.4.2 Cálculo de la potencia para una prueba de 2 muestras

Al planificar un estudio, queremos saber qué tan probable es que detectemos un efecto que nos importa. En otras palabras, si existe un efecto real, y ese efecto es lo suficientemente grande como para tener un valor práctico, entonces, ¿cuál es la probabilidad de que detectemos ese efecto? Esta probabilidad se llama potencia, y podemos calcularla para diferentes tamaños de muestra o para diferentes tamaños de efecto.

Primero determinamos qué es un resultado prácticamente significativo. Supongamos que a los investigadores de la empresa les importa encontrar cualquier efecto sobre la presión arterial que sea de 3 mmHg o mayor en comparación con la medicación estándar. Aquí, 3 mmHg es el tamaño de efecto mínimo de interés, y queremos saber qué tan probable es que detectemos este tamaño de efecto en el estudio.

EJEMPLO 7.35

Supongamos que decidimos seguir adelante con 100 pacientes por grupo de tratamiento y que el nuevo fármaco reduce la presión arterial en 3 mmHg adicionales en relación con la medicación estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que detectemos una caída?

Incluso antes de hacer cualquier cálculo, observe que si ¯xtrmt − x¯ctrl = −3 mmHg, ni siquiera habría evidencia suficiente para rechazar H0. Esa no es una buena señal.

Para calcular la probabilidad de que rechacemos H0, necesitamos determinar algunas cosas:

• La distribución de muestreo para ¯xtrmt − x¯ctrl cuando la diferencia verdadera es de -3 mmHg. Esto es lo mismo que la distribución nula, excepto que se desplaza 3 unidades hacia la izquierda:

• Las regiones de rechazo, que están fuera de las líneas punteadas de arriba.

• La fracción de la distribución que cae en la región de rechazo.

En resumen, necesitamos calcular la probabilidad de que x < −3.332 para una distribución normal con media -3 y desviación estándar 1.7. Para hacerlo, primero sombreamos el área que queremos calcular:

Usaremos una aproximación normal, que es una buena aproximación cuando los grados de libertad son de aproximadamente 30 o más. Comenzaremos calculando la puntuación Z y encontraremos el área de la cola utilizando un software estadístico o la tabla de probabilidad:

\[Z = \frac{-3.332 - (-3)}{1.7} = -0.20 \qquad \rightarrow \qquad 0.42\]

La potencia de la prueba es de aproximadamente el 42% cuando µtrmt − µctrl = −3 y cada grupo tiene un tamaño de muestra de 100.

En el Ejemplo 7.35, ignoramos la región de rechazo superior en el cálculo, que estaba en la dirección opuesta de la verdad hipotética, es decir, -3. ¿El razonamiento? No tendría ningún valor rechazar la hipótesis nula y concluir que hubo un aumento cuando en realidad hubo una disminución.

También hemos utilizado una distribución normal en lugar de la distribución t. Esto es una conveniencia, y si el tamaño de la muestra es demasiado pequeño, tendríamos que volver a usar la distribución t. Discutiremos esto un poco más al final de esta sección.

7.4.3 Determinación de un tamaño de muestra adecuado

En el último ejemplo, encontramos que si tenemos un tamaño de muestra de 100 en cada grupo, solo podemos detectar un tamaño del efecto de 3 mmHg con una probabilidad de aproximadamente 0.42. Supongamos que los investigadores siguieron adelante y solo usaron 100 pacientes por grupo, y los datos no respaldaron la hipótesis alternativa, es decir, los investigadores no rechazaron H0. Esta es una situación muy mala por algunas razones:

• En el fondo de la mente de los investigadores, todos se preguntarían, tal vez haya una diferencia real y significativa, pero no pudimos detectarla con una muestra tan pequeña.
• La empresa probablemente invirtió cientos de millones de dólares en el desarrollo del nuevo fármaco, por lo que ahora se quedan con una gran incertidumbre sobre su potencial, ya que el experimento no tuvo muchas posibilidades de detectar efectos que aún podrían ser importantes.
• Los pacientes fueron sometidos al fármaco, y ni siquiera podemos decir con mucha certeza que el fármaco no ayuda (o perjudica) a los pacientes.
• Es posible que sea necesario realizar otro ensayo clínico para obtener una respuesta más concluyente sobre si el fármaco tiene algún valor práctico, y la realización de un segundo ensayo clínico puede llevar años y muchos millones de dólares.

Queremos evitar esta situación, por lo que necesitamos determinar un tamaño de muestra adecuado para asegurarnos de que podemos estar bastante seguros de que detectaremos cualquier efecto que sea prácticamente importante. Como se mencionó anteriormente, un cambio de 3 mmHg se consideró la diferencia mínima que era prácticamente importante. Como primer paso, podríamos calcular la potencia para varios tamaños de muestra diferentes. Por ejemplo, intentemos con 500 pacientes por grupo.

PRÁCTICA GUIADA 7.36

Calcular la potencia para detectar un cambio de -3 mmHg al usar un tamaño de muestra de 500 por grupo.27

• 1. Determine el error estándar (recuerde que la desviación estándar para los pacientes se esperaba que fuera de aproximadamente 12 mmHg).
• 2. Identifique la distribución nula y las regiones de rechazo.
• 3. Identifique la distribución alternativa cuando µtrmt − µctrl = −3.
• 4. Calcule la probabilidad de que rechacemos la hipótesis nula.

Los investigadores decidieron que 3 mmHg era la diferencia mínima que era prácticamente importante, y con un tamaño de muestra de 500, podemos estar muy seguros (97.7% o mejor) de que detectaremos cualquier diferencia de este tipo. Ahora nos hemos movido a otro extremo donde estamos exponiendo a un número innecesario de pacientes al nuevo fármaco en el ensayo clínico. Esto no solo es éticamente cuestionable, sino que también costaría mucho más dinero del necesario para estar bastante seguros de que detectaríamos cualquier efecto importante.

La práctica más común es identificar el tamaño de muestra donde la potencia es de alrededor del 80%, y a veces del 90%. Otros valores pueden ser razonables para un contexto específico, pero el 80% y el 90% son los objetivos más comunes como un buen equilibrio entre una alta potencia y no exponer a demasiados pacientes a un nuevo tratamiento (o desperdiciar demasiado dinero).

Podríamos calcular la potencia de la prueba en varios otros tamaños de muestra posibles hasta que encontremos uno que esté cerca del 80%, pero hay una mejor manera. Deberíamos resolver el problema al revés.

²⁷(a) El error estándar se da como SE = q 122 ^{500 + 122 500} = 0.76. (b) & (c) La distribución nula, los límites de rechazo y la distribución alternativa se muestran a continuación: −9 −6 −3 0 3 6 9 xtrmt − xctrl Distribución con distribución nula µtrmt − µctrl = −3

Las regiones de rechazo son las áreas en el exterior de las dos líneas punteadas y están en ±0.76 × 1.96 = ±1.49. (d) El área de la distribución alternativa donde µtrmt − µctrl = −3 ha sido sombreada. Calculamos la puntuación Z y encontramos el área de la cola: Z = −1.49−(−3) ⁰.⁷⁶ = 1.99 → 0.977. Con 500 pacientes por grupo, estaríamos aproximadamente 97.7% seguros (o más) de que detectaríamos cualquier efecto que tenga al menos 3 mmHg de tamaño.

EJEMPLO 7.37

¿Qué tamaño de muestra conducirá a una potencia del 80%? Use α = 0.05.

Asumiremos que tenemos una muestra lo suficientemente grande como para que la distribución normal sea una buena aproximación para el estadístico de prueba, ya que la distribución normal y la distribución t se ven casi idénticas cuando los grados de libertad son moderadamente grandes (por ejemplo, gl ≥ 30). Si eso no resulta ser cierto, entonces necesitaríamos hacer una corrección.

Comenzamos identificando la puntuación Z que nos daría una cola inferior del 80%. Para un tamaño de muestra moderadamente grande por grupo, la puntuación Z para una cola inferior del 80% sería aproximadamente Z = 0.84.

Además, la región de rechazo se extiende 1.96 × SE desde el centro de la distribución nula para α = 0.05. Esto nos permite calcular la distancia objetivo entre el centro de las distribuciones nula y alternativa en términos del error estándar:

\[0.84 \times SE + 1.96 \times SE = 2.8 \times SE\]

En nuestro ejemplo, queremos que la distancia entre los centros de las distribuciones nula y alternativa sea igual al tamaño del efecto mínimo de interés, 3 mmHg, lo que nos permite establecer una ecuación entre esta diferencia y el error estándar:

\[\begin{aligned} 3 &= 2.8 \times SE\\ 3 &= 2.8 \times \sqrt{\frac{12^2}{n} + \frac{12^2}{n}}\\ n &= \frac{2.8^2}{3^2} \times \left(12^2 + 12^2\right) = 250.88^2 \end{aligned}\]

Deberíamos apuntar a 251 pacientes por grupo para lograr una potencia del 80% al nivel de significancia de 0.05 para este contexto.

La diferencia de error estándar de 2.8 × SE es específica de un contexto donde la potencia objetivo es del 80% y el nivel de significancia es α = 0.05. Si la potencia objetivo es del 90% o si usamos un nivel de significancia diferente, entonces usaremos algo un poco diferente a 2.8 × SE.

Si el tamaño de muestra sugerido hubiera sido relativamente pequeño (aproximadamente 30 o menos), habría sido una buena idea rehacer los cálculos utilizando los grados de libertad para el tamaño de muestra más pequeño bajo ese tamaño de muestra inicial. Es decir, habríamos revisado los valores 0.84 y 1.96 basándonos en los grados de libertad implícitos en el tamaño de muestra inicial. El tamaño objetivo de la muestra revisada generalmente habría sido entonces un poco más grande.

7.4. CÁLCULOS DE POTENCIA PARA UNA DIFERENCIA DE MEDIAS 283

PRÁCTICA GUIADA 7.38

Supongamos que la potencia objetivo era del 90% y estábamos usando α = 0.01. ¿Cuántos errores estándar deberían separar los centros de la distribución nula y la distribución alternativa, donde la distribución alternativa está centrada en el tamaño del efecto mínimo de interés?28

PRÁCTICA GUIADA 7.39

¿Cuáles son algunas consideraciones importantes para determinar cuál debería ser la potencia de un experimento?29

La Figura 7.18 muestra la potencia para tamaños de muestra desde 20 pacientes hasta 5,000 pacientes cuando α = 0.05 y la diferencia verdadera es -3. Esta curva se construyó escribiendo un programa para calcular la potencia para muchos tamaños de muestra diferentes.

Figura 7.18: La curva muestra la potencia para diferentes tamaños de muestra en el contexto del ejemplo de presión arterial cuando la diferencia verdadera es -3. Tener más de aproximadamente 250 a 350 observaciones no proporciona mucho valor adicional en la detección de un efecto cuando α = 0.05.

Los cálculos de potencia para experimentos costosos o riesgosos son críticos. Sin embargo, ¿qué pasa con los experimentos que son económicos y donde las consideraciones éticas son mínimas? Por ejemplo, si estamos haciendo pruebas finales en una nueva característica en un sitio web popular, ¿cómo cambiarían nuestras consideraciones sobre el tamaño de la muestra? Como antes, querríamos asegurarnos de que la muestra sea lo suficientemente grande. Sin embargo, supongamos que la característica se ha sometido a algunas pruebas y se sabe que funciona bien (por ejemplo, los usuarios del sitio web parecen disfrutar de la característica). Entonces, podría ser razonable ejecutar un experimento más grande si hay valor en tener una estimación más precisa del efecto de la característica, como ayudar a guiar el desarrollo de la próxima característica útil.

²⁸Primero, encuentre el puntaje Z tal que el 90% de la distribución esté por debajo de él: Z = 1.28. Luego, encuentre los puntos de corte para las regiones de rechazo: ±2.58. Entonces, la diferencia en los centros debería ser aproximadamente 1.28 × EE + 2.58 × EE = 3.86 × EE. ²⁹Las respuestas variarán, pero aquí hay algunas consideraciones importantes:

^• Si existe algún riesgo para los pacientes en el estudio.

^• El costo de inscribir a más pacientes.

^• La desventaja potencial de no detectar un efecto de interés.

Ejercicios

7.33 Aumento del rendimiento del maíz. Una granja grande quiere probar un nuevo tipo de fertilizante para evaluar si mejorará la producción de maíz de la granja. La tierra se divide en parcelas que producen un promedio de 1215 libras de maíz con una desviación estándar de 94 libras por parcela. El propietario está interesado en detectar cualquier diferencia promedio de al menos 40 libras por parcela. ¿Cuántas parcelas de tierra se necesitarían para el experimento si el nivel de potencia deseado es del 90%? Use α = 0.05. Asuma que cada parcela de tierra se trata con el fertilizante actual o con el nuevo fertilizante.

7.34 Esfuerzos de divulgación por correo electrónico. Un grupo de investigación médica está reclutando personas para completar encuestas cortas sobre su historial médico. Por ejemplo, una encuesta solicita información sobre los antecedentes familiares de una persona con respecto al cáncer. Otra encuesta pregunta sobre qué temas se discutieron durante la última visita de la persona a un hospital. Hasta ahora, a medida que las personas se registran, completan un promedio de solo 4 encuestas, y la desviación estándar del número de encuestas es de aproximadamente 2.2. El grupo de investigación quiere probar una nueva interfaz que creen que alentará a los nuevos inscritos a completar más encuestas, donde aleatorizarán a cada inscrito para que obtenga la nueva interfaz o la interfaz actual. ¿Cuántos nuevos inscritos necesitan para cada interfaz para detectar un tamaño del efecto de 0.5 encuestas por inscrito, si el nivel de potencia deseado es del 80%? Use α = 0.05.

7.5 Comparación de muchas medias con ANOVA

A veces queremos comparar medias entre muchos grupos. Inicialmente podríamos pensar en hacer comparaciones por pares. Por ejemplo, si hubiera tres grupos, podríamos sentirnos tentados a comparar la primera media con la segunda, luego con la tercera, y luego finalmente comparar la segunda y tercera medias para un total de tres comparaciones. Sin embargo, esta estrategia puede ser traicionera. Si tenemos muchos grupos y hacemos muchas comparaciones, es probable que eventualmente encontremos una diferencia solo por casualidad, incluso si no hay diferencia en las poblaciones. En cambio, deberíamos aplicar una prueba holística para verificar si hay evidencia de que al menos un par de grupos son de hecho diferentes, y aquí es donde ANOVA salva el día.

7.5.1 Ideas centrales de ANOVA

En esta sección, aprenderemos un nuevo método llamado análisis de varianza (ANOVA) y un nuevo estadístico de prueba llamado F. ANOVA utiliza una única prueba de hipótesis para verificar si las medias entre muchos grupos son iguales:

• H0: La media del resultado es la misma en todos los grupos. En notación estadística, µ¹ = µ² = · · · = µ^k donde µⁱ representa la media del resultado para las observaciones en la categoría i.
• HA: Al menos una media es diferente.

Generalmente, debemos verificar tres condiciones en los datos antes de realizar ANOVA:

• las observaciones son independientes dentro y entre los grupos,
• los datos dentro de cada grupo son casi normales, y
• la variabilidad entre los grupos es aproximadamente igual.

Cuando se cumplen estas tres condiciones, podemos realizar un ANOVA para determinar si los datos proporcionan evidencia sólida en contra de la hipótesis nula de que todos los µⁱ son iguales.

EJEMPLO 7.40

Los departamentos universitarios suelen impartir varias clases de la misma materia introductoria cada semestre debido a la alta demanda. Considere un departamento de estadística que imparte tres clases de una materia introductoria de estadística. Podríamos querer determinar si existen diferencias estadísticamente significativas en las puntuaciones del primer examen en estas tres clases (A, B y C). Describa las hipótesis apropiadas para determinar si existen diferencias entre las tres clases.

Las hipótesis pueden escribirse de la siguiente forma:

• H0: La puntuación promedio es idéntica en todas las clases. Cualquier diferencia observada se debe al azar. En notación, escribimos µ^A = µ^B = µ^C .
• HA: La puntuación promedio varía según la clase. Rechazaríamos la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa si hubiera diferencias mayores entre los promedios de las clases de lo que podríamos esperar solo por azar.

La evidencia sólida que favorece la hipótesis alternativa en ANOVA se describe mediante diferencias inusualmente grandes entre las medias de los grupos. Pronto aprenderemos que evaluar la variabilidad de las medias de los grupos en relación con la variabilidad entre las observaciones individuales dentro de cada grupo es clave para el éxito de ANOVA.

EJEMPLO 7.41

Examine la Figura 7.19. Compare los grupos I, II y III. ¿Puede determinar visualmente si las diferencias en los centros de los grupos se deben al azar o no? Ahora compare los grupos IV, V y VI. ¿Estas diferencias parecen deberse al azar?

Cualquier diferencia real en las medias de los grupos I, II y III es difícil de discernir, porque los datos dentro de cada grupo son muy volátiles en relación con cualquier diferencia en el resultado promedio. Por otro lado, parece que hay diferencias en los centros de los grupos IV, V y VI. Por ejemplo, el grupo V parece tener una media más alta que la de los otros dos grupos. Investigando los grupos IV, V y VI, vemos que las diferencias en los centros de los grupos son notables porque esas diferencias son grandes en relación con la variabilidad en las observaciones individuales dentro de cada grupo.

Figura 7.19: Diagrama de puntos lado a lado para los resultados de seis grupos.

7.5.2 ¿Está relacionado el rendimiento al bate con la posición del jugador en la MLB?

Nos gustaría discernir si existen diferencias reales entre el rendimiento al bate de los jugadores de béisbol según su posición: jardinero (OF), jugador de cuadro (IF) y receptor (C). Utilizaremos un conjunto de datos llamado bat18, que incluye los registros de bateo de 429 jugadores de las Grandes Ligas de Béisbol (MLB) de la temporada 2018 que tuvieron al menos 100 turnos al bate. Se muestran seis de los 429 casos representados en bat18 en la Figura 7.20, y se proporcionan descripciones para cada variable en la Figura 7.21. La medida que utilizaremos para el rendimiento de bateo del jugador (la variable de resultado) es el porcentaje de embasamiento (OBP). El porcentaje de embasamiento representa aproximadamente la fracción de veces que un jugador se embasa con éxito o batea un jonrón.

	name	team	position	AB	H	HR	RBI	AVG	OBP
1	Abreu, J	CWS	IF	499	132	22	78	0.265	0.325
2	Acuna Jr., R	ATL	OF	433	127	26	64	0.293	0.366
3	Adames, W	TB	IF	288	80	10	34	0.278	0.348
427	Zimmerman, R	WSH	IF	288	76	13	51	0.264	0.337
428	Zobrist, B	CHC	IF	455	139	9	58	0.305	0.378
429	Zunino, M	SEA	C	373	75	20	44	0.201	0.259

Figura 7.20: Seis casos de la matriz de datos bat18.

variable	description
name	Nombre del jugador
team	Nombre abreviado del equipo del jugador
position	Posición principal del jugador en el campo (OF, IF, C)
AB	Número de oportunidades al bate
H	Número de hits
HR	Número de jonrones
RBI	Número de carreras impulsadas
AVG	Promedio de bateo, que es igual a H/AB
OBP	Porcentaje de embasamiento, que es aproximadamente igual a la fracción
	de veces que un jugador se embasa o batea un jonrón

Figura 7.21: Variables y sus descripciones para el conjunto de datos bat18.

PRÁCTICA GUIADA 7.42

La hipótesis nula en consideración es la siguiente: µOF = µIF = µC. Escriba las hipótesis nula y alternativa correspondientes en lenguaje sencillo.30

EJEMPLO 7.43

Las posiciones de los jugadores se han dividido en tres grupos: jardinero (OF), jugador de cuadro (IF) y receptor (C). ¿Cuál sería una estimación puntual apropiada del porcentaje de embasamiento de los jardineros, µOF?

Una buena estimación del porcentaje de embasamiento de los jardineros sería el promedio muestral de OBP para solo aquellos jugadores cuya posición es jardinero: ¯xOF = 0.320.

La Figura 7.22 proporciona estadísticas resumidas para cada grupo. En la Figura 7.23 se muestra un diagrama de caja lado a lado para el porcentaje de embasamiento. Observe que la variabilidad parece ser aproximadamente constante entre los grupos; una varianza casi constante entre los grupos es una suposición importante que debe satisfacerse antes de que consideremos el enfoque ANOVA.

	OF	IF	C
Tamaño de la muestra (ni)	160	205	64
Media muestral (¯xi)	0.320	0.318	0.302
Desviación estándar muestral (si)	0.043	0.038	0.038

Figura 7.22: Estadísticas resumidas del porcentaje de embasamiento, divididas por la posición del jugador.

Figura 7.23: Diagrama de caja lado a lado del porcentaje de embasamiento para 429 jugadores en tres grupos. Con más de cien jugadores tanto en los grupos de infield como en los de outfield, los valores atípicos aparentes no son una preocupación.

³⁰H0: El porcentaje de embasamiento promedio es igual en las tres posiciones. HA: El porcentaje de embasamiento promedio varía entre algunos (o todos) los grupos.

EJEMPLO 7.44

La mayor diferencia entre las medias muestrales es entre las posiciones de receptor y jardinero. Considere nuevamente las hipótesis originales:

H0: µOF = µIF = µ^C

HA: El porcentaje de embasamiento promedio (µi) varía entre algunos (o todos) los grupos.

¿Por qué podría ser inapropiado ejecutar la prueba simplemente estimando si la diferencia de µ^C y µOF es estadísticamente significativa a un nivel de significancia de 0.05?

El problema principal aquí es que estamos inspeccionando los datos antes de elegir los grupos que se compararán. No es apropiado examinar todos los datos a ojo (prueba informal) y solo después decidir qué partes probar formalmente. Esto se llama espionaje de datos o pesca de datos. Naturalmente, elegiríamos los grupos con las grandes diferencias para la prueba formal, y esto conduciría a una inflación en la tasa de error de Tipo 1. Para entender esto mejor, consideremos un problema ligeramente diferente.

Supongamos que debemos medir la aptitud de los estudiantes en 20 clases en una gran escuela primaria al comienzo del año. En esta escuela, todos los estudiantes son asignados aleatoriamente a las aulas, por lo que cualquier diferencia que observemos entre las clases al comienzo del año se debe completamente al azar. Sin embargo, con tantos grupos, probablemente observaremos algunos grupos que se ven bastante diferentes entre sí. Si seleccionamos solo estas clases que se ven tan diferentes y luego realizamos una prueba formal, probablemente llegaremos a la conclusión errónea de que la asignación no fue aleatoria. Si bien solo podríamos probar formalmente las diferencias para algunos pares de clases, evaluamos informalmente las otras clases a ojo antes de elegir los casos más extremos para una comparación.

Para obtener información adicional sobre las ideas expresadas en el Ejemplo 7.44, recomendamos leer sobre la falacia del fiscal. 31

En la siguiente sección aprenderemos cómo usar el estadístico F y ANOVA para probar si las diferencias observadas en las medias muestrales podrían haber ocurrido solo por casualidad, incluso si no hubiera diferencia en las medias poblacionales respectivas.

³¹Ver, por ejemplo, statmodeling.stat.columbia.edu/2007/05/18/the fiscales.

7.5.3 Análisis de varianza (ANOVA) y la prueba F

El método de análisis de varianza en este contexto se centra en responder una pregunta: ¿es la variabilidad en las medias muestrales tan grande que parece poco probable que sea solo por azar? Esta pregunta es diferente de los procedimientos de prueba anteriores, ya que consideraremos simultáneamente muchos grupos y evaluaremos si sus medias muestrales difieren más de lo que esperaríamos de la variación natural. Llamamos a esta variabilidad el cuadrado medio entre grupos (MSG), y tiene unos grados de libertad asociados, df^G = k − 1 cuando hay k grupos. El MSG puede considerarse como una fórmula de varianza escalada para medias. Si la hipótesis nula es verdadera, cualquier variación en las medias muestrales se debe al azar y no debería ser demasiado grande. Los detalles de los cálculos de MSG se proporcionan en la nota al pie.32 Sin embargo, normalmente utilizamos software para estos cálculos.

El cuadrado medio entre los grupos es, por sí solo, bastante inútil en una prueba de hipótesis. Necesitamos un valor de referencia para cuánta variabilidad se debe esperar entre las medias muestrales si la hipótesis nula es verdadera. Con este fin, calculamos una estimación de varianza agrupada, a menudo abreviada como el error cuadrático medio (MSE), que tiene un valor de grados de libertad asociado df^E = n − k. Es útil pensar en MSE como una medida de la variabilidad dentro de los grupos. Los detalles de los cálculos del MSE y un enlace a una sección adicional en línea para los cálculos de ANOVA se proporcionan en la nota al pie33 para los lectores interesados.

Cuando la hipótesis nula es verdadera, cualquier diferencia entre las medias muestrales se debe solo al azar, y el MSG y el MSE deberían ser aproximadamente iguales. Como estadístico de prueba para ANOVA, examinamos la fracción de MSG y MSE:

\[F = \frac{MSG}{MSE}\]

El MSG representa una medida de la variabilidad entre grupos, y el MSE mide la variabilidad dentro de cada uno de los grupos.

PRÁCTICA GUIADA 7.45

Para los datos de béisbol, MSG = 0.00803 y MSE = 0.00158. Identifique los grados de libertad asociados con MSG y MSE y verifique que el estadístico F sea aproximadamente 5.077.34

Podemos usar el estadístico F para evaluar las hipótesis en lo que se llama una prueba F. Se puede calcular un valor p a partir del estadístico F utilizando una distribución F, que tiene dos parámetros asociados: df¹ y df2. Para el estadístico F en ANOVA, df¹ = df^G y df² = dfE. En la Figura 7.24 se muestra una distribución F con 2 y 426 grados de libertad, correspondientes al estadístico F para la prueba de hipótesis de béisbol.

\[MSG = \frac{1}{d f\_G} SSG = \frac{1}{k-1} \sum\_{i=1}^{k} n\_i \left(\bar{x}\_i - \bar{x}\right)^2\]

donde SSG se llama la suma de cuadrados entre grupos y nⁱ es el tamaño de la muestra del grupo i.

³³Sea ¯x la media de los resultados en todos los grupos. Entonces, la suma de cuadrados total (SST) se calcula como

\[SST = \sum\_{i=1}^{n} \left(x\_i - \bar{x}\right)^2\]

donde la suma es sobre todas las observaciones en el conjunto de datos. Luego, calculamos la suma de errores al cuadrado (SSE) de una de dos maneras equivalentes:

\[\begin{aligned} SSE &= SST - SSG \\ &= (n\_1 - 1)s\_1^2 + (n\_2 - 1)s\_2^2 + \dots + (n\_k - 1)s\_k^2 \end{aligned}\]

donde s 2 i es la varianza muestral (cuadrado de la desviación estándar) de los residuos en el grupo i. Entonces, el MSE es la forma estandarizada de SSE: MSE = ¹ dfE SSE.

Para obtener detalles adicionales sobre los cálculos de ANOVA, consulte www.openintro.org/d?file=stat extra anova calculations

³⁴Hay k = 3 grupos, entonces df^G = k − 1 = 2. Hay n = n¹ + n² + n³ = 429 observaciones totales, entonces df^E = n − k = 426. Entonces, el estadístico F se calcula como la razón de MSG y MSE: F = MSG MSE ^{= 0}.^{00803 0}.⁰⁰¹⁵⁸ = 5.082 ≈ 5.077. (F = 5.077 se calculó utilizando valores para MSG y MSE que no se redondearon).

³²Sea ¯x la media de los resultados en todos los grupos. Entonces, el cuadrado medio entre grupos se calcula como

Figura 7.24: Una distribución F con df¹ = 2 y df² = 426.

Cuanto mayor sea la variabilidad observada en las medias muestrales (MSG) en relación con las observaciones dentro del grupo (MSE), mayor será F y más fuerte será la evidencia contra la hipótesis nula. Debido a que los valores más grandes de F representan una evidencia más sólida contra la hipótesis nula, usamos la cola superior de la distribución para calcular un valor p.

EL F ESTADÍSTICO Y LA F -PRUEBA

El análisis de varianza (ANOVA) se utiliza para probar si el resultado medio difiere entre 2 o más grupos. ANOVA utiliza un estadístico de prueba F, que representa una razón estandarizada de la variabilidad en las medias de la muestra en relación con la variabilidad dentro de los grupos. Si H⁰ es verdadera y se cumplen las condiciones del modelo, el estadístico F sigue una distribución F con parámetros df¹ = k − 1 y df² = n − k. La cola superior de la distribución F se utiliza para representar el valor p.

EJEMPLO 7.46

El valor p correspondiente al área sombreada en la Figura 7.24 es igual a aproximadamente 0.0066. ¿Proporciona esto evidencia sólida en contra de la hipótesis nula?

El valor p es menor que 0.05, lo que indica que la evidencia es lo suficientemente sólida como para rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia de 0.05. Es decir, los datos proporcionan evidencia sólida de que el porcentaje promedio de embasado varía según la posición principal del jugador en el campo.

7.5.4 Lectura de una tabla ANOVA desde un software

Los cálculos necesarios para realizar un ANOVA a mano son tediosos y propensos a errores humanos. Por estas razones, es común usar software estadístico para calcular el estadístico F y el valor p.

Un ANOVA puede resumirse en una tabla muy similar a la de un resumen de regresión, que veremos en los Capítulos 8 y 9. La Figura 7.25 muestra un resumen de ANOVA para probar si la media del porcentaje de embasamiento varía según las posiciones de los jugadores en la MLB. Muchos de estos valores deberían resultarle familiares; en particular, el estadístico de la prueba F y el valor p se pueden recuperar de las dos últimas columnas.

	Df	Suma de Cuadrados	Media de Cuadrados	Valor F	Pr(>F)
posición	2	0.0161	0.0080	5.0766	0.0066
Residuales	426	0.6740	0.0016
			spooled	= 0.040 on df = 423

Figura 7.25: Resumen de ANOVA para probar si el porcentaje medio de embasamiento difiere entre las posiciones de los jugadores.

7.5.5 Diagnósticos gráficos para un análisis ANOVA

Hay tres condiciones que debemos verificar para un análisis ANOVA: todas las observaciones deben ser independientes, los datos en cada grupo deben ser casi normales y la varianza dentro de cada grupo debe ser aproximadamente igual.

• Independencia. Si los datos son una muestra aleatoria simple, esta condición se cumple. Para procesos y experimentos, considere cuidadosamente si los datos pueden ser independientes (por ejemplo, sin emparejamiento). Por ejemplo, en los datos de la MLB, los datos no fueron muestreados. Sin embargo, no hay razones obvias por las que la independencia no se cumpliría para la mayoría o todas las observaciones.
• Aproximadamente normal. Al igual que con las pruebas de medias de una y dos muestras, el supuesto de normalidad es especialmente importante cuando el tamaño de la muestra es bastante pequeño, cuando irónicamente es difícil verificar la no normalidad. En la Figura 7.26 se muestra un histograma de las observaciones de cada grupo. Dado que cada uno de los grupos que estamos considerando tiene tamaños de muestra relativamente grandes, lo que estamos buscando son valores atípicos importantes. Ninguno es aparente, por lo que esta condición se cumple razonablemente.

Figura 7.26: Histogramas de OBP para cada posición en el campo.

Varianza constante. El último supuesto es que la varianza en los grupos es aproximadamente igual de un grupo a otro. Este supuesto se puede verificar examinando un diagrama de caja lado a lado de los resultados en los grupos, como en la Figura 7.23 en la página 287. En este caso, la variabilidad es similar en los tres grupos, pero no idéntica. Vemos en la Tabla 7.22 en la página 287 que la desviación estándar no varía mucho de un grupo a otro.

DIAGNÓSTICOS PARA UN ANÁLISIS ANOVA

La independencia es siempre importante para un análisis ANOVA. La condición de normalidad es muy importante cuando los tamaños de muestra para cada grupo son relativamente pequeños. La condición de varianza constante es especialmente importante cuando los tamaños de muestra difieren entre los grupos.

7.5.6 Comparaciones múltiples y control de la tasa de error de tipo 1

Cuando rechazamos la hipótesis nula en un análisis ANOVA, podríamos preguntarnos, ¿cuál de estos grupos tiene diferentes medias? Para responder a esta pregunta, comparamos las medias de cada posible par de grupos. Por ejemplo, si hay tres grupos y hay pruebas sólidas de que hay algunas diferencias en las medias de los grupos, hay tres comparaciones que hacer: grupo 1 con grupo 2, grupo 1 con grupo 3 y grupo 2 con grupo 3. Estas comparaciones se pueden realizar utilizando una prueba t de dos muestras, pero utilizamos un nivel de significancia modificado y una estimación combinada de la desviación estándar entre los grupos. Por lo general, esta desviación estándar combinada se puede encontrar en la tabla ANOVA, por ejemplo, en la parte inferior de la Figura 7.25.

EJEMPLO 7.47

El ejemplo 7.40 en la página 285 discutió tres clases de estadística, todas impartidas durante el mismo semestre. La figura 7.27 muestra estadísticas resumidas para estos tres cursos, y un diagrama de cajas lado a lado de los datos se muestra en la figura 7.28. Nos gustaría realizar un ANOVA para estos datos. ¿Ves alguna desviación de las tres condiciones para ANOVA?

En este caso (como en muchos otros) es difícil verificar la independencia de una manera rigurosa. En cambio, lo mejor que podemos hacer es usar el sentido común para considerar las razones por las que el supuesto de independencia puede no cumplirse. Por ejemplo, el supuesto de independencia puede no ser razonable si hay un asistente de enseñanza estrella al que solo la mitad de los estudiantes puede acceder; tal escenario dividiría una clase en dos subgrupos. No se evidenciaron tales situaciones para estos datos en particular, y creemos que la independencia es aceptable.

Las distribuciones en el diagrama de cajas lado a lado parecen ser aproximadamente simétricas y no muestran valores atípicos notables.

Los diagramas de cajas muestran una variabilidad aproximadamente igual, lo que se puede verificar en la figura 7.27, lo que respalda el supuesto de varianza constante.

Clase i	A	B	C
ni	58	55	51
x¯i	75.1	72.0	78.9
si	13.9	13.8	13.1

Figura 7.27: Estadísticas resumidas para las primeras calificaciones del examen parcial en tres clases diferentes del mismo curso.

Figura 7.28: Diagrama de cajas lado a lado para las primeras calificaciones del examen parcial en tres clases diferentes del mismo curso.

Se realizó un ANOVA para los datos del examen parcial, y los resultados resumidos se muestran en la figura 7.29. ¿Qué debemos concluir?35

	Df	Suma Sq	Media Sq	Valor F	Pr(>F)
clase	2	1290.11	645.06	3.48	0.0330
Residuales	161	29810.13	185.16
			spooled	= 13.61 on df = 161

	Figura 7.29: Tabla de resumen de ANOVA para los datos del examen parcial.

Hay evidencia sólida de que las diferentes medias en cada una de las tres clases no se deben simplemente al azar. Podríamos preguntarnos, ¿cuáles de las clases son realmente diferentes? Como se discutió en capítulos anteriores, se podría usar una prueba t de dos muestras para probar las diferencias en cada posible par de grupos. Sin embargo, se discutió una trampa en el Ejemplo 7.44 en la página 288: cuando realizamos tantas pruebas, la tasa de error tipo 1 aumenta. Este problema se resuelve utilizando un nivel de significancia modificado.

COMPARACIONES MÚLTIPLES Y LA CORRECCIÓN DE BONFERRONI PARA α

El escenario de probar muchos pares de grupos se llama comparaciones múltiples. La corrección de Bonferroni sugiere que un nivel de significancia más estricto es más apropiado para estas pruebas:

\[\alpha^\star = \alpha/K\]

donde K es el número de comparaciones que se están considerando (formal o informalmente). Si hay k grupos, entonces generalmente se comparan todos los pares posibles y K = k(k−1) 2 .

EJEMPLO 7.49

En la Práctica Guiada 7.48, encontraste evidencia sólida de diferencias en las calificaciones promedio del examen parcial entre las tres clases. Completa las tres posibles comparaciones por pares utilizando la corrección de Bonferroni e informa cualquier diferencia.

Usamos un nivel de significancia modificado de α ^⋆ = 0.05/3 = 0.0167. Además, utilizamos la estimación agrupada de la desviación estándar: spooled = 13.61 en df = 161, que se proporciona en la tabla de resumen de ANOVA.

Clase A versus Clase B: La diferencia estimada y el error estándar son, respectivamente,

\[ \bar{x}\_A - \bar{x}\_B = 75.1 - 72 = 3.1 \qquad \qquad SE = \sqrt{\frac{13.61^2}{58} + \frac{13.61^2}{55}} = 2.56 \]

(Consulta la Sección 7.3.4 en la página 273 para obtener detalles adicionales). Esto da como resultado una puntuación T de 1.21 en df = 161 (usamos el df asociado con spooled). Se utilizó software estadístico para identificar con precisión el valor p bilateral ya que el nivel de significancia modificado de 0.0167 no se encuentra en la tabla t. El valor p (0.228) es mayor que α ^∗ = 0.0167, por lo que no hay evidencia sólida de una diferencia en las medias de las clases A y B.

Clase A versus Clase C: La diferencia estimada y el error estándar son 3.8 y 2.61, respectivamente. Esto da como resultado una puntuación T de 1.46 en df = 161 y un valor p bilateral de 0.1462. Este valor p es mayor que α ∗ , por lo que no hay evidencia sólida de una diferencia en las medias de las clases A y C.

Clase B versus Clase C: La diferencia estimada y el error estándar son 6.9 y 2.65, respectivamente. Esto da como resultado una puntuación T de 2.60 en df = 161 y un valor p bilateral de 0.0102. Este valor p es menor que α ∗ . Aquí encontramos evidencia sólida de una diferencia en las medias de las clases B y C.

³⁵El valor p de la prueba es 0.0330, menos que el nivel de significancia predeterminado de 0.05. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que la diferencia en las calificaciones promedio del examen parcial no se debe al azar.

Podríamos resumir los hallazgos del análisis del Ejemplo 7.49 usando la siguiente notación:

\[ \mu\_A \stackrel{?}{=} \mu\_B \qquad\qquad\qquad\qquad\mu\_A \stackrel{?}{=} \mu\_C \qquad\qquad\qquad\qquad\mu\_B \neq \mu\_C \]

La media del examen parcial en la clase A no es estadísticamente distinguible de las de las clases B o C. Sin embargo, hay evidencia sólida de que las clases B y C son diferentes. En las dos primeras comparaciones por pares, no tuvimos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Recuerda que no rechazar H⁰ no implica que H⁰ sea verdadera.

RECHAZAR H⁰ CON ANOVA PERO NO ENCONTRAR DIFERENCIAS EN LAS MEDIAS DE LOS GRUPOS

Es posible rechazar la hipótesis nula usando ANOVA y luego no identificar posteriormente diferencias en las comparaciones por pares. Sin embargo, esto no invalida la conclusión de ANOVA. Solo significa que no hemos podido identificar con éxito qué grupos específicos difieren en sus medias.

El procedimiento ANOVA examina el panorama general: considera todos los grupos simultáneamente para descifrar si existe evidencia de que existe alguna diferencia. Incluso si la prueba indica que existe evidencia sólida de diferencias en las medias de los grupos, identificar con alta confianza una diferencia específica como estadísticamente significativa es más difícil.

Considera la siguiente analogía: observamos una firma de Wall Street que gana grandes cantidades de dinero prediciendo fusiones. Las fusiones son generalmente difíciles de predecir, y si la tasa de éxito de la predicción es extremadamente alta, eso puede considerarse evidencia suficientemente sólida para justificar una investigación por parte de la Comisión de Bolsa y Valores (SEC). Si bien la SEC puede estar bastante segura de que se está produciendo tráfico de información privilegiada en la empresa, la evidencia contra cualquier comerciante individual puede no ser muy sólida. Es solo cuando la SEC considera todos los datos que identifica el patrón. Esta es efectivamente la estrategia de ANOVA: dar un paso atrás y considerar todos los grupos simultáneamente.

Ejercicios

7.35 Complete el espacio en blanco. Al realizar un ANOVA, observa grandes diferencias en las medias entre los grupos. Dentro del marco de ANOVA, esto probablemente se interpretaría como evidencia que favorece fuertemente la hipótesis.

7.36 ¿Qué prueba? Nos gustaría probar si los estudiantes de ciencias sociales, ciencias naturales, artes y humanidades y otros campos dedican la misma cantidad de tiempo a estudiar para este curso. ¿Qué tipo de prueba deberíamos usar? Explique su razonamiento.

7.37 Dieta y peso del pollo, Parte III. En los Ejercicios 7.27 y 7.29 comparamos los efectos de dos tipos de alimento a la vez. Un mejor análisis consideraría primero todos los tipos de alimento a la vez: caseína, haba, linaza, harina de carne, soja y girasol. El resultado de ANOVA a continuación se puede usar para probar si existen diferencias entre los pesos promedio de los pollitos con diferentes dietas.

	Df	Suma de cuadrados	Cuadrado medio	Valor F	Pr(>F)
alimento	5	231,129.16	46,225.83	15.36	0.0000
Residuales	65	195,556.02	3,008.55

Realice una prueba de hipótesis para determinar si estos datos proporcionan evidencia convincente de que el peso promedio de los pollitos varía entre algunos (o todos) los grupos. Asegúrese de verificar las condiciones relevantes. Las figuras y las estadísticas resumidas se muestran a continuación.

7.38 Enseñar estadística descriptiva. Un estudio comparó cinco métodos diferentes para enseñar estadística descriptiva. Los cinco métodos fueron la conferencia y discusión tradicionales, la instrucción programada de libros de texto, el texto programado con conferencias, la instrucción por computadora y la instrucción por computadora con conferencias. 45 estudiantes fueron asignados aleatoriamente, 9 a cada método. Después de completar el curso, los estudiantes tomaron un examen de 1 hora.

• 1. ¿Cuáles son las hipótesis para evaluar si los puntajes promedio de las pruebas son diferentes para los diferentes métodos de enseñanza?
• 2. ¿Cuáles son los grados de libertad asociados con la prueba F para evaluar estas hipótesis?
• 3. Suponga que el valor p para esta prueba es 0.0168. ¿Cuál es la conclusión?

7.39 Café, depresión y actividad física. La cafeína es el estimulante más utilizado en el mundo, y aproximadamente el 80% se consume en forma de café. A los participantes en un estudio que investigaba la relación entre el consumo de café y el ejercicio se les pidió que informaran la cantidad de horas que dedicaban por semana al ejercicio moderado (por ejemplo, caminar a paso ligero) y vigoroso (por ejemplo, deportes extenuantes y trotar). Con base en estos datos, los investigadores estimaron las horas totales de tareas equivalentes metabólicas (MET) por semana, un valor siempre mayor que 0. La siguiente tabla muestra las estadísticas resumidas de MET para mujeres en este estudio según la cantidad de café consumido.36

	Consumo de café con cafeína
	≤ 1 taza/semana	2-6 tazas/semana	1 taza/día	2-3 tazas/día	≥ 4 tazas/día	Total
Media	18.7	19.6	19.3	18.9	17.5
DE	21.1	25.5	22.5	22.0	22.0
n	12,215	6,617	17,234	12,290	2,383	50,739

1. Escriba las hipótesis para evaluar si el nivel promedio de actividad física varía entre los diferentes niveles de consumo de café.

2. Verifique las condiciones y describa cualquier suposición que deba hacer para continuar con la prueba.

3. A continuación, se muestra parte del resultado asociado con esta prueba. Complete las celdas vacías.

	Df	Suma de cuadrados	Cuadrado medio	Valor F	Pr(>F)
café	XXXXX	XXXXX	XXXXX	XXXXX	0.0003
Residuales	XXXXX	25,564,819	XXXXX
Total	XXXXX	25,575,327

4. ¿Cuál es la conclusión de la prueba?

7.40 Rendimiento de los estudiantes en las secciones de discusión. Un profesor que imparte una clase grande de estadística introductoria (197 estudiantes) con ocho secciones de discusión quisiera probar si el rendimiento de los estudiantes difiere según la sección de discusión, donde cada sección de discusión tiene un asistente de enseñanza diferente. La tabla de resumen a continuación muestra el puntaje promedio del examen final para cada sección de discusión, así como la desviación estándar de los puntajes y el número de estudiantes en cada sección.

	Sec 1	Sec 2	Sec 3	Sec 4	Sec 5	Sec 6	Sec 7	Sec 8
ni	33	19	10	29	33	10	32	31
x̄i	92.94	91.11	91.80	92.45	89.30	88.30	90.12	93.35
si	4.21	5.58	3.43	5.92	9.32	7.27	6.93	4.57

El resultado de ANOVA a continuación se puede usar para probar si existen diferencias entre los puntajes promedio de las diferentes secciones de discusión.

	Df	Suma de cuadrados	Cuadrado medio	Valor F	Pr(>F)
sección	7	525.01	75.00	1.87	0.0767
Residuales	189	7584.11	40.13

Realice una prueba de hipótesis para determinar si estos datos proporcionan evidencia convincente de que el puntaje promedio varía entre algunos (o todos) los grupos. Verifique las condiciones y describa cualquier suposición que deba hacer para continuar con la prueba.

³⁶M. Lucas et al. “Coffee, caffeine, and risk of depression among women”. In: Archives of internal medicine 171.17 (2011), p. 1571.

7.41 GPA y especialidad. Los estudiantes universitarios que toman un curso de estadística introductoria en la Universidad de Duke realizaron una encuesta sobre GPA y especialidad. Los diagramas de caja lado a lado muestran la distribución del GPA entre tres grupos de especialidades. También se proporciona el resultado de ANOVA.

• 1. Escriba las hipótesis para probar si existe una diferencia entre el GPA promedio entre las especialidades.
• 2. ¿Cuál es la conclusión de la prueba de hipótesis?
• 3. ¿Cuántos estudiantes respondieron estas preguntas en la encuesta, es decir, cuál es el tamaño de la muestra?

7.42 Horas de trabajo y educación. La Encuesta Social General recopila datos sobre demografía, educación y trabajo, entre muchas otras características de los residentes de EE. UU.37 Usando ANOVA, podemos considerar los niveles de logro educativo para los 1,172 encuestados a la vez. A continuación, se muestran las distribuciones de horas trabajadas por nivel educativo y estadísticas resumidas relevantes que serán útiles para llevar a cabo este análisis.

• 1. Escriba hipótesis para evaluar si el número promedio de horas trabajadas varía entre los cinco grupos.
• 2. Verifique las condiciones y describa cualquier suposición que deba hacer para continuar con la prueba.
• 3. A continuación, se muestra parte del resultado asociado con esta prueba. Complete las celdas vacías.

	Df	Suma de cuadrados	Cuadrado medio	Valor F	Pr(>F)
título	XXXXX	XXXXX	501.54	XXXXX	0.0682
Residuales	XXXXX	267,382	XXXXX
Total	XXXXX	XXXXX

4. ¿Cuál es la conclusión de la prueba?

7.43 Verdadero / Falso: ANOVA, Parte I. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas en ANOVA y explique su razonamiento para las afirmaciones que identifique como falsas.

• 1. A medida que aumenta el número de grupos, el nivel de significancia modificado para las pruebas por pares también aumenta.
• 2. A medida que aumenta el tamaño total de la muestra, los grados de libertad para los residuales también aumentan.
• 3. La condición de varianza constante se puede relajar un poco cuando los tamaños de muestra son relativamente consistentes entre los grupos.
• 4. El supuesto de independencia se puede relajar cuando el tamaño total de la muestra es grande.

³⁷National Opinion Research Center, General Social Survey, 2018.

7.44 Horas de cuidado infantil. La Encuesta de Salud y Nutrición de China tiene como objetivo examinar los efectos de las políticas y programas de salud, nutrición y planificación familiar implementados por los gobiernos nacionales y locales.38 Por ejemplo, recopila información sobre el número de horas que los padres chinos dedican al cuidado de sus hijos menores de 6 años. Los diagramas de caja lado a lado a continuación muestran la distribución de esta variable por nivel educativo del padre. También se proporciona a continuación el resultado de ANOVA para comparar las horas promedio entre las categorías de nivel educativo.

• 1. Escriba las hipótesis para probar si existe una diferencia entre el número promedio de horas dedicadas al cuidado infantil entre los niveles de logro educativo.
• 2. ¿Cuál es la conclusión de la prueba de hipótesis?

7.45 Experimento de aislamiento en prisión, Parte II. El ejercicio 7.31 presentó un experimento que se llevó a cabo con el objetivo de identificar un tratamiento que reduzca los puntajes T desviados psicopáticos de los sujetos, donde este puntaje mide la necesidad de control de una persona o su rebelión contra el control. En el ejercicio 7.31 evaluó el éxito de cada tratamiento individualmente. Un análisis alternativo implica comparar el éxito de los tratamientos. El resultado de ANOVA relevante se da a continuación, y hemos verificado por usted que no hay diferencias significativas en la variabilidad entre los grupos.

	Df	Suma de cuadrados	Cuadrado medio	Valor F	Pr(>F)
tratamiento	2	639.48	319.74	3.33	0.0461
Residuales	39	3740.43	95.91
			spooled	= 9.793 on df = 39

• 1. ¿Cuáles son las hipótesis?
• (b) ¿Cuál es la conclusión de la prueba? Utilice un nivel de significancia del 5%.
• 3. Si en la parte (b) determinó que la prueba es significativa, realice pruebas por pares para determinar qué grupos son diferentes entre sí. Si no rechazó la hipótesis nula en la parte (b), vuelva a verificar su respuesta. A continuación, se proporcionan estadísticas resumidas para cada grupo.

	Tr 1	Tr 2	Tr 3
Media	6.21	2.86	-3.21
DE	12.3	7.94	8.57
n	14	14	14

7.46 Verdadero / Falso: ANOVA, Parte II. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explique su razonamiento para las afirmaciones que identifique como falsas.

Si la hipótesis nula de que las medias de cuatro grupos son todas iguales se rechaza mediante ANOVA con un nivel de significancia del 5%, entonces…

• 1. podemos concluir entonces que todas las medias son diferentes entre sí.
• 2. la variabilidad estandarizada entre grupos es mayor que la variabilidad estandarizada dentro de los grupos.
• 3. el análisis por pares identificará al menos un par de medias que sean significativamente diferentes.
• 4. el α apropiado para usar en comparaciones por pares es 0.05 / 4 = 0.0125 ya que hay cuatro grupos.

³⁸UNC Carolina Population Center, China Health and Nutrition Survey, 2006.

Ejercicios del capítulo

7.47 Juegos y alimentación distraída, Parte I. Un grupo de investigadores está interesado en los posibles efectos de los estímulos que distraen durante la alimentación, como un aumento o una disminución en la cantidad de consumo de alimentos. Para probar esta hipótesis, monitorearon la ingesta de alimentos para un grupo de 44 pacientes que fueron asignados aleatoriamente a dos grupos iguales. El grupo de tratamiento almorzó mientras jugaba al solitario, y el grupo de control almorzó sin distracciones adicionales. Los pacientes en el grupo de tratamiento comieron 52.1 gramos de galletas, con una desviación estándar de 45.1 gramos, y los pacientes en el grupo de control comieron 27.1 gramos de galletas, con una desviación estándar de 26.4 gramos. ¿Proporcionan estos datos evidencia convincente de que la ingesta promedio de alimentos (medida en cantidad de galletas consumidas) es diferente para los pacientes en el grupo de tratamiento? Asuma que se cumplen las condiciones para la inferencia.39

7.48 Juegos y alimentación distraída, Parte II. Los investigadores del Ejercicio 7.47 también investigaron los efectos de estar distraído por un juego en la cantidad que come la gente. A los 22 pacientes en el grupo de tratamiento que almorzaron mientras jugaban al solitario se les pidió que hicieran un recuerdo de orden serial de los alimentos que comieron en el almuerzo. El número promedio de elementos recordados por los pacientes en este grupo fue de 4.9, con una desviación estándar de 1.8. El número promedio de elementos recordados por los pacientes en el grupo de control (sin distracción) fue de 6.1, con una desviación estándar de 1.8. ¿Proporcionan estos datos evidencia sólida de que el número promedio de alimentos recordados por los pacientes en los grupos de tratamiento y control es diferente?

7.49 Tamaño de la muestra y emparejamiento. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, y si es falsa, explique su razonamiento: Si se comparan las medias de dos grupos con tamaños de muestra iguales, siempre use una prueba de emparejamiento.

7.50 Créditos universitarios. Un consejero universitario está interesado en estimar cuántos créditos un estudiante normalmente se inscribe en cada semestre. El consejero decide muestrear aleatoriamente a 100 estudiantes utilizando la base de datos de estudiantes del registrador. El histograma a continuación muestra la distribución del número de créditos tomados por estos estudiantes. También se proporcionan estadísticas de muestra para esta distribución.

• 1. ¿Cuál es la estimación puntual para el número promedio de créditos tomados por semestre por los estudiantes en esta universidad? ¿Qué pasa con la mediana?
• 2. ¿Cuál es la estimación puntual para la desviación estándar del número de créditos tomados por semestre por los estudiantes en esta universidad? ¿Qué pasa con el IQR?
• 3. ¿Es una carga de 16 créditos inusualmente alta para esta universidad? ¿Qué pasa con 18 créditos? Explica tu razonamiento.
• 4. El consejero universitario toma otra muestra aleatoria de 100 estudiantes y esta vez encuentra una media muestral de 14.02 unidades. ¿Debería sorprenderle que esta estadística muestral sea ligeramente diferente de la de la muestra original? Explica tu razonamiento.
• 5. Las medias muestrales dadas anteriormente son estimaciones puntuales para el número medio de créditos tomados por todos los estudiantes en esa universidad. ¿Qué medidas utilizamos para cuantificar la variabilidad de esta estimación? Calcule esta cantidad utilizando los datos de la muestra original.

³⁹R.E. Oldham-Cooper et al. “Playing a computer game during lunch affects fullness, memory for lunch, and later snack intake”. In: The American Journal of Clinical Nutrition 93.2 (2011), p. 308.

7.51 Huevos de gallina. La distribución del número de huevos puestos por una cierta especie de gallina durante su período de cría tiene una media de 35 huevos con una desviación estándar de 18.2. Suponga que un grupo de investigadores muestrea aleatoriamente a 45 gallinas de esta especie, cuenta el número de huevos puestos durante su período de cría y registra la media muestral. Repiten esto 1,000 veces y construyen una distribución de medias muestrales.

• 1. ¿Cómo se llama esta distribución?
• 2. ¿Esperaría que la forma de esta distribución sea simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda? Explica tu razonamiento.
• 3. Calcule la variabilidad de esta distribución e indique el término apropiado utilizado para referirse a este valor.
• 4. Suponga que se reduce el presupuesto de los investigadores y solo pueden recopilar muestras aleatorias de 10 gallinas. Se registra la media muestral del número de huevos, y repetimos esto 1,000 veces, y construimos una nueva distribución de medias muestrales. ¿Cómo se comparará la variabilidad de esta nueva distribución con la variabilidad de la distribución original?

7.52 Manejo forestal. Los guardabosques querían comprender mejor la tasa de crecimiento de los árboles más jóvenes en el parque. Tomaron medidas de una muestra aleatoria de 50 árboles jóvenes en 2009 y nuevamente midieron esos mismos árboles en 2019. Los datos a continuación resumen sus mediciones, donde las alturas están en pies:

	2009	2019	Diferencias
x¯	12.0	24.5	12.5
s	3.5	9.5	7.2
n	50	50	50

Construya un intervalo de confianza del 99% para el crecimiento promedio de (lo que habían sido) árboles más jóvenes en el parque durante 2009-2019.

7.53 Cambio de tamaño del experimento. En una empresa emergente que ejecuta una nueva aplicación meteorológica, un equipo de ingeniería generalmente ejecuta experimentos donde una muestra aleatoria del 1% de los visitantes de la aplicación en el grupo de control y otro 1% estaban en el grupo de tratamiento para probar cada nueva característica. El objetivo principal del equipo es aumentar una métrica llamada visitantes diarios, que es esencialmente el número de visitantes de la aplicación cada día. Rastrean esta métrica en cada brazo del experimento y como su métrica central del experimento. En su experimento más reciente, el equipo probó incluir una nueva animación cuando se iniciaba la aplicación, y el número de visitantes diarios en este experimento se estabilizó en +1.2% con un intervalo de confianza del 95% de (-0.2%, +2.6%). Esto significa que si se lanzara esta nueva animación de inicio de la aplicación, el equipo cree que podría perder hasta un 0.2% de visitantes diarios o ganar hasta un 2.6% más de visitantes diarios. Suponga que está consultando como científico de datos del equipo, y después de discutir con el equipo, usted y ellos acuerdan que deberían realizar otro experimento que sea más grande. También está de acuerdo en que este nuevo experimento debería poder detectar una ganancia en la métrica de visitantes diarios del 1.0% o más con un poder del 80%. Ahora se dirigen a usted y le preguntan: “¿Qué tan grande necesitamos ejecutar un experimento para asegurarnos de que podamos detectar este efecto?”

• (a) ¿Qué tan pequeño debe ser el error estándar si el equipo quiere poder detectar un efecto del 1.0% con un poder del 80% y un nivel de significancia de α = 0.05? Puede asumir con seguridad que el cambio porcentual en la métrica de visitantes diarios sigue una distribución normal.
• (b) Considere el primer experimento, donde la estimación puntual fue de +1.2% y el intervalo de confianza del 95% fue de (-0.2%, +2.6%). Si esa estimación puntual siguió una distribución normal, ¿cuál fue el error estándar de la estimación?
• (c) La relación entre el error estándar de la parte (a) y el error estándar de la parte (b) debería ser 1.97. ¿Cuánto más grande debe ser un experimento para reducir un error estándar en un factor de 1.97?
• 4. Utilice su respuesta de la parte (c) y que el experimento original fue un experimento del 1% frente al 1% para recomendar un tamaño de experimento al equipo.

7.54 Torque en un perno oxidado. Project Farm es un canal de YouTube que compara rutinariamente diferentes productos. En un episodio, el canal evaluó diferentes opciones para aflojar pernos oxidados.40 Se evaluaron ocho opciones, incluido un grupo de control donde no se administró ningún tratamiento (“ninguno” en el gráfico), para determinar cuál era el más eficaz. Para todos los tratamientos, se probaron cuatro pernos, excepto por un tratamiento de calor con un soplete, donde solo se recopilaron dos puntos de datos. Los resultados se muestran en la figura a continuación:

• (a) ¿Cree que es razonable aplicar ANOVA en este caso?
• 2. Independientemente de su respuesta en la parte (a), describa las hipótesis para ANOVA en este contexto y use la tabla a continuación para llevar a cabo la prueba. Dé su conclusión en el contexto de los datos.

	Df	Sum Sq	Mean Sq	F value	Pr(>F)
treatment	7	3603.43	514.78	4.03	0.0056
Residuals	22	2812.80	127.85

(c) La tabla a continuación muestra los valores p para las pruebas t por pares que comparan cada uno de los diferentes grupos. Estos valores p no se han corregido para comparaciones múltiples. ¿Qué par de grupos parece ser el más probable que represente una diferencia?

	AeroKroil	Heat	Liquid Wrench	none	PB Blaster	Royal Purple	WD-40
Acetone/ATF	0.2026	0.0308	0.0476	0.1542	0.3294	0.5222	0.3744
AeroKroil		0.0027	0.0025	0.8723	0.7551	0.5143	0.6883
Heat			0.5580	0.0020	0.0050	0.0096	0.0059
Liquid Wrench				0.0017	0.0053	0.0117	0.0065
none					0.6371	0.4180	0.5751
PB Blaster						0.7318	0.9286
Royal Purple							0.8000

4. Hay 28 valores p que se muestran en la tabla en la parte (c). Determine si alguno de ellos es estadísticamente significativo después de corregir las comparaciones múltiples. Si es así, ¿cuál(es)? Explique su respuesta.

7.55 Relaciones exclusivas. Una encuesta realizada en una muestra razonablemente aleatoria de 203 estudiantes universitarios preguntó, entre muchas otras preguntas, sobre el número de relaciones exclusivas en las que estos estudiantes han estado. El histograma a continuación muestra la distribución de los datos de esta muestra. El promedio de la muestra es 3.2 con una desviación estándar de 1.97.

Estime el número promedio de relaciones exclusivas en las que los estudiantes de Duke han estado utilizando un intervalo de confianza del 90% e interprete este intervalo en contexto. Verifique cualquier condición requerida para la inferencia y tenga en cuenta cualquier suposición que deba hacer a medida que avanza con sus cálculos y conclusiones.

⁴⁰Project Farm en YouTube, youtu.be/xUEob2oAKVs, 16 de abril de 2018.

7.56 Edad al primer matrimonio, Parte I. La Encuesta Nacional de Crecimiento Familiar realizada por los Centros para el Control de Enfermedades recopila información sobre la vida familiar, el matrimonio y el divorcio, el embarazo, la infertilidad, el uso de anticonceptivos y la salud de hombres y mujeres. Una de las variables recopiladas en esta encuesta es la edad al primer matrimonio. El histograma a continuación muestra la distribución de las edades al primer matrimonio de 5,534 mujeres muestreadas aleatoriamente entre 2006 y 2010. La edad promedio al primer matrimonio entre estas mujeres es de 23.44 con una desviación estándar de 4.72.41

Estime la edad promedio al primer matrimonio de las mujeres utilizando un intervalo de confianza del 95% e interprete este intervalo en contexto. Discuta cualquier suposición relevante.

7.57 Comunicación en línea. Un estudio sugiere que el estudiante universitario promedio pasa 10 horas por semana comunicándose con otros en línea. Usted cree que esto es una subestimación y decide recopilar su propia muestra para una prueba de hipótesis. Usted muestrea aleatoriamente a 60 estudiantes de su residencia y encuentra que, en promedio, pasaron 13.5 horas a la semana comunicándose con otros en línea. Un amigo suyo, que se ofrece a ayudarle con la prueba de hipótesis, propone el siguiente conjunto de hipótesis. Indique cualquier error que vea.

H⁰ : ¯x < 10 horas H^A : ¯x > 13.5 horas

7.58 Edad al primer matrimonio, Parte II. El ejercicio 7.56 presenta los resultados de una encuesta de 2006 - 2010 que muestra que la edad promedio de las mujeres al primer matrimonio es de 23.44. Suponga que un científico social piensa que este valor ha cambiado desde que se realizó la encuesta. A continuación se muestra cómo planteó sus hipótesis. Indique cualquier error que vea.

H⁰ : ¯x ̸= 23.44 años H^A : ¯x = 23.44 años

⁴¹Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades, Encuesta Nacional de Crecimiento Familiar, 2010.

Capítulo 8

303

Introducción a la regresión lineal

• 8.1 Ajuste de una línea, residuos y correlación
• 8.2 Regresión por mínimos cuadrados
• 8.3 Tipos de valores atípicos en la regresión lineal
• 8.4 Inferencia para la regresión lineal

La regresión lineal es una técnica estadística muy poderosa. Mucha gente tiene alguna familiaridad con la regresión simplemente por leer las noticias, donde se superponen líneas rectas en diagramas de dispersión. Los modelos lineales se pueden utilizar para la predicción o para evaluar si existe una relación lineal entre dos variables numéricas.

Para videos, diapositivas y otros recursos, por favor visite www.openintro.org/os

8.1 Ajuste de una línea, residuos y correlación

Es útil pensar profundamente sobre el proceso de ajuste de la línea. En esta sección, definimos la forma de un modelo lineal, exploramos los criterios para lo que constituye un buen ajuste e introducimos una nueva estadística llamada correlación.

8.1.1 Ajustando una línea a los datos

La Figura 8.1 muestra dos variables cuya relación puede modelarse perfectamente con una línea recta. La ecuación para la línea es

\[y = 5 + 64.96x\]

Consideremos lo que significa una relación lineal perfecta: conocemos el valor exacto de y con solo conocer el valor de x. Esto es poco realista en casi cualquier proceso natural. Por ejemplo, si tomáramos el ingreso familiar (x), este valor proporcionaría información útil sobre cuánta ayuda financiera puede ofrecer una universidad a un estudiante potencial (y). Sin embargo, la predicción estaría lejos de ser perfecta, ya que otros factores juegan un papel en el apoyo financiero más allá de las finanzas de una familia.

Figura 8.1: Se realizaron solicitudes de doce compradores separados simultáneamente a una empresa comercializadora para comprar acciones de Target Corporation (ticker TGT, 28 de diciembre de 2018), y se informó el costo total de las acciones. Debido a que el costo se calcula utilizando una fórmula lineal, el ajuste lineal es perfecto.

La regresión lineal es el método estadístico para ajustar una línea a los datos donde la relación entre dos variables, x e y, puede modelarse mediante una línea recta con algún error:

\[y = \beta\_0 + \beta\_1 x + \varepsilon\]

Los valores β⁰ y β¹ representan los parámetros del modelo (β es la letra griega beta), y el error está representado por ε (la letra griega épsilon). Los parámetros se estiman utilizando datos, y escribimos sus estimaciones puntuales como b⁰ y b1. Cuando usamos x para predecir y, generalmente llamamos a x la variable explicativa o predictora, y llamamos a y la respuesta; también solemos omitir el término ϵ al escribir el modelo, ya que nuestro enfoque principal suele estar en la predicción del resultado promedio.

Es raro que todos los datos caigan perfectamente en una línea recta. En cambio, es más común que los datos aparezcan como una nube de puntos, como los ejemplos que se muestran en la Figura 8.2. En cada caso, los datos caen alrededor de una línea recta, incluso si ninguna de las observaciones cae exactamente en la línea. El primer gráfico muestra una tendencia lineal descendente relativamente fuerte, donde la variabilidad restante en los datos alrededor de la línea es menor en relación con la fuerza de la relación entre x e y. El segundo gráfico muestra una tendencia ascendente que, aunque evidente, no es tan fuerte como la primera. El último gráfico muestra una

Figura 8.2: Tres conjuntos de datos donde un modelo lineal puede ser útil aunque los datos no caigan exactamente en la línea.

Figura 8.3: Un modelo lineal no es útil en este caso no lineal. Estos datos provienen de un experimento de física introductoria.

tendencia descendente muy débil en los datos, tan leve que apenas podemos notarla. En cada uno de estos ejemplos, tendremos cierta incertidumbre con respecto a nuestras estimaciones de los parámetros del modelo, β⁰ y β1. Por ejemplo, podríamos preguntarnos, ¿deberíamos mover la línea hacia arriba o hacia abajo un poco, o deberíamos inclinarla más o menos? A medida que avancemos en este capítulo, aprenderemos sobre los criterios para el ajuste de líneas y también aprenderemos sobre la incertidumbre asociada con las estimaciones de los parámetros del modelo.

También hay casos en los que ajustar una línea recta a los datos, incluso si existe una clara relación entre las variables, no es útil. Uno de esos casos se muestra en la Figura 8.3 donde existe una relación muy clara entre las variables, aunque la tendencia no es lineal. Discutimos las tendencias no lineales en este capítulo y en el siguiente, pero los detalles del ajuste de modelos no lineales se guardan para un curso posterior.

8.1.2 Usando la regresión lineal para predecir la longitud de la cabeza de las zarigüeyas

Las zarigüeyas de cola de cepillo son marsupiales que viven en Australia, y una foto de una se muestra en la Figura 8.4. Los investigadores capturaron 104 de estos animales y tomaron medidas corporales antes de liberar a los animales de vuelta a la naturaleza. Consideramos dos de estas medidas: la longitud total de cada zarigüeya, desde la cabeza hasta la cola, y la longitud de la cabeza de cada zarigüeya.

La Figura 8.5 muestra un diagrama de dispersión para la longitud de la cabeza y la longitud total de las zarigüeyas. Cada punto representa una sola zarigüeya de los datos. Las variables de longitud de la cabeza y longitud total están asociadas: las zarigüeyas con una longitud total superior a la media también tienden a tener longitudes de cabeza superiores a la media. Si bien la relación no es perfectamente lineal, podría ser útil para explicar parcialmente la conexión entre estas variables con una línea recta.

Figura 8.4: La zarigüeya común de cola de cepillo de Australia. —————————– Foto de Greg Schechter (https://flic.kr/p/9BAFbR). Licencia CC BY 2.0.

Figura 8.5: Un diagrama de dispersión que muestra la longitud de la cabeza frente a la longitud total de 104 zarigüeyas de cola de cepillo. Se destaca un punto que representa una zarigüeya con una longitud de cabeza de 94,1 mm y una longitud total de 89 cm.

Queremos describir la relación entre las variables de longitud de la cabeza y longitud total en el conjunto de datos de zarigüeyas usando una línea. En este ejemplo, usaremos la longitud total como la variable predictora, x, para predecir la longitud de la cabeza de una zarigüeya, y. Podríamos ajustar la relación lineal a ojo, como en la Figura 8.6. La ecuación para esta línea es

\[ \hat{y} = 41 + 0.59x \]

Se usa un “sombrero” en y para indicar que esto es una estimación. Podemos usar esta línea para discutir las propiedades de las zarigüeyas. Por ejemplo, la ecuación predice que una zarigüeya con una longitud total de 80 cm tendrá una longitud de cabeza de

\[\begin{split} \hat{y} &= 41 + 0.59 \times 80 \\ &= 88.2 \end{split}\]

La estimación puede verse como un promedio: la ecuación predice que las zarigüeyas con una longitud total de 80 cm tendrán una longitud de cabeza promedio de 88.2 mm. A falta de más información sobre una zarigüeya de 80 cm, la predicción para la longitud de la cabeza que utiliza el promedio es una estimación razonable.

Figura 8.6: Se ajustó un modelo lineal razonable para representar la relación entre la longitud de la cabeza y la longitud total.

EJEMPLO 8.1

¿Qué otras variables podrían ayudarnos a predecir la longitud de la cabeza de una zarigüeya además de su longitud?

Tal vez la relación sería un poco diferente para las zarigüeyas macho que para las zarigüeyas hembra, o tal vez diferiría para las zarigüeyas de una región de Australia en comparación con otra región. En el Capítulo 9, aprenderemos cómo podemos incluir más de un predictor. Antes de llegar allí, primero necesitamos comprender mejor cómo construir mejor un modelo lineal simple con un predictor.

8.1.3 Residuales

Los residuales son la variación restante en los datos después de tener en cuenta el ajuste del modelo:

\[\text{Datos} = \text{Ajuste} + \text{Residual}\]

Cada observación tendrá un residual, y tres de los residuales para el modelo lineal que ajustamos para los datos de zarigüeyas se muestran en la Figura 8.6. Si una observación está por encima de la línea de regresión, entonces su residual, la distancia vertical desde la observación a la línea, es positiva. Las observaciones por debajo de la línea tienen residuales negativos. Un objetivo al elegir el modelo lineal correcto es que estos residuales sean lo más pequeños posible.

Veamos más de cerca los tres residuales que se muestran en la Figura 8.6. La observación marcada con una “×” tiene un residual pequeño y negativo de aproximadamente -1; la observación marcada con “+” tiene un residual grande de aproximadamente +7; y la observación marcada con “△” tiene un residual moderado de aproximadamente -4. El tamaño de un residual se discute generalmente en términos de su valor absoluto. Por ejemplo, el residual para “△” es mayor que el de “×” porque | − 4| es mayor que | − 1|.

RESIDUAL: DIFERENCIA ENTRE OBSERVADO Y ESPERADO

El residual de la i-ésima observación (xⁱ , yi) es la diferencia de la respuesta observada (yi) y la respuesta que predeciríamos basándonos en el ajuste del modelo (ˆyi):

\[e\_i = y\_i - \hat{y}\_i\]

Normalmente identificamos ˆyⁱ insertando xⁱ en el modelo.

8.1. AJUSTE DE UNA LÍNEA, RESIDUALES Y CORRELACIÓN 309

EJEMPLO 8.2

El ajuste lineal mostrado en la Figura 8.6 está dado como ˆy = 41 + 0.59x. Basado en esta línea, calcule formalmente el residuo de la observación (77.0, 85.3). Esta observación se denota con “×” en la Figura 8.6. Compruébelo con la estimación visual anterior, -1.

Primero calculamos el valor predicho del punto “×” basado en el modelo:

yˆ^× = 41 + 0.59x^× = 41 + 0.59 × 77.0 = 86.4

Luego calculamos la diferencia entre la longitud de la cabeza real y la longitud de la cabeza predicha:

e^× = y^× − yˆ^× = 85.3 − 86.4 = −1.1

El error del modelo es e^× = −1.1mm, que está muy cerca de la estimación visual de -1mm. El residuo negativo indica que el modelo lineal sobreestimó la longitud de la cabeza para esta zarigüeya en particular.

PRÁCTICA GUIADA 8.3

Si un modelo subestima una observación, ¿el residuo será positivo o negativo? ¿Qué pasa si sobreestima la observación?1

PRÁCTICA GUIADA 8.4

Calcula los residuos para la observación “+” (85.0, 98.6) y la observación “△” (95.5, 94.0) en la figura usando la relación lineal ˆy = 41 + 0.59x. 2

Los residuos son útiles para evaluar qué tan bien un modelo lineal se ajusta a un conjunto de datos. A menudo los mostramos en un diagrama de residuos como el que se muestra en la Figura 8.7 para la línea de regresión en la Figura 8.6. Los residuos se trazan en sus ubicaciones horizontales originales, pero con la coordenada vertical como el residuo. Por ejemplo, el punto (85.0, 98.6)⁺ tenía un residuo de 7.45, por lo que en el diagrama de residuos se coloca en (85.0, 7.45). Crear un diagrama de residuos es algo así como inclinar el diagrama de dispersión para que la línea de regresión sea horizontal.

Figura 8.7: Diagrama de residuos para el modelo en la Figura 8.6.

2 (+) Primero calcula el valor predicho basado en el modelo:

\[\hat{y}\_{+} = 41 + 0.59x\_{+} = 41 + 0.59 \times 85.0 = 91.15\]

Entonces el residuo está dado por

\[e\_{\div} = y\_{\div} - \hat{y}\_{\div} = 98.6 - 91.15 = 7.45\]

Esto estuvo cerca de la estimación anterior de 7. (△) ˆy△ = 41 + 0.59x△ = 97.3. e△ = y△ − yˆ△ = −3.3, cerca de la estimación de -4.

¹ Si un modelo subestima una observación, entonces la estimación del modelo está por debajo de la real. El residuo, que es el valor de la observación real menos la estimación del modelo, debe ser entonces positivo. Lo contrario es cierto cuando el modelo sobreestima la observación: el residuo es negativo.

Figura 8.8: Datos de muestra con sus líneas de mejor ajuste (fila superior) y sus diagramas de residuos correspondientes (fila inferior).

EJEMPLO 8.5

Un propósito de los gráficos de residuos es identificar características o patrones que todavía son evidentes en los datos después de ajustar un modelo. La Figura 8.8 muestra tres diagramas de dispersión con modelos lineales en la primera fila y gráficos de residuos en la segunda fila. ¿Puedes identificar algún patrón que quede en los residuos?

En el primer conjunto de datos (primera columna), los residuos no muestran patrones obvios. Los residuos parecen estar dispersos aleatoriamente alrededor de la línea punteada que representa el 0.

El segundo conjunto de datos muestra un patrón en los residuos. Hay cierta curvatura en el diagrama de dispersión, que es más obvia en el gráfico de residuos. No deberíamos usar una línea recta para modelar estos datos. En cambio, se debe utilizar una técnica más avanzada.

El último gráfico muestra muy poca tendencia ascendente, y los residuos tampoco muestran patrones obvios. Es razonable intentar ajustar un modelo lineal a los datos. Sin embargo, no está claro si existe evidencia estadísticamente significativa de que el parámetro de pendiente sea diferente de cero. La estimación puntual del parámetro de pendiente, etiquetada como b1, no es cero, pero podríamos preguntarnos si esto podría deberse al azar. Abordaremos este tipo de escenario en la Sección 8.4.

8.1.4 Describiendo relaciones lineales con correlación

Hemos visto diagramas de dispersión con relaciones lineales fuertes y otros con relaciones lineales muy débiles. Sería útil si pudiéramos cuantificar la fuerza de estas relaciones lineales con una estadística.

CORRELACIÓN: FUERZA DE UNA RELACIÓN LINEAL

La correlación, que siempre toma valores entre -1 y 1, describe la fuerza de la relación lineal entre dos variables. Denotamos la correlación con R.

Podemos calcular la correlación usando una fórmula, tal como lo hicimos con la media muestral y la desviación estándar. Esta fórmula es bastante compleja,3 y al igual que con otras estadísticas, generalmente realizamos

\[R = \frac{1}{n-1} \sum\_{i=1}^{n} \frac{x\_i - \bar{x}}{s\_x} \frac{y\_i - \bar{y}}{s\_y}\]

donde ¯x, ¯y, sx, y sy son las medias muestrales y las desviaciones estándar para cada variable.

³Formalmente, podemos calcular la correlación para las observaciones (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) usando la fórmula

Figura 8.9: Diagramas de dispersión de muestra y sus correlaciones. La primera fila muestra variables con una relación positiva, representada por la tendencia hacia arriba y hacia la derecha. La segunda fila muestra un diagrama con una tendencia aproximadamente neutral y tres diagramas con una tendencia negativa.

los cálculos en una computadora o calculadora. La Figura 8.9 muestra ocho diagramas y sus correlaciones correspondientes. Solo cuando la relación es perfectamente lineal la correlación es -1 o 1. Si la relación es fuerte y positiva, la correlación estará cerca de +1. Si es fuerte y negativa, estará cerca de -1. Si no hay una relación lineal aparente entre las variables, entonces la correlación estará cerca de cero.

La correlación tiene como objetivo cuantificar la fuerza de una tendencia lineal. Las tendencias no lineales, incluso cuando son fuertes, a veces producen correlaciones que no reflejan la fuerza de la relación; vea tres ejemplos de este tipo en la Figura 8.10.

Figura 8.10: Diagramas de dispersión de muestra y sus correlaciones. En cada caso, existe una fuerte relación entre las variables. Sin embargo, debido a que la relación no es lineal, la correlación es relativamente débil.

PRÁCTICA GUIADA 8.6

Ninguna línea recta se ajusta bien a los conjuntos de datos representados en la Figura 8.10. Intenta dibujar curvas no lineales en cada gráfico. Una vez que hayas creado una curva para cada uno, describe qué es importante en tu ajuste.4

⁴Te dejaremos a ti dibujar las líneas. En general, las líneas que dibujes deben estar cerca de la mayoría de los puntos y reflejar las tendencias generales en los datos.

8.4 Identificar relaciones, Parte II. Para cada uno de los seis gráficos, identifica la fuerza de la relación (ej. débil, moderada o fuerte) en los datos y si ajustar un modelo lineal sería razonable.

8.5 Exámenes y calificaciones. Los dos diagramas de dispersión siguientes muestran la relación entre las calificaciones de los exámenes finales y de mitad de semestre registradas durante varios años para un curso de Estadística en una universidad.

• 1. Basándote en estos gráficos, ¿cuál de los dos exámenes tiene la correlación más fuerte con la calificación del examen final? Explica.
• 2. ¿Puedes pensar en una razón por la que la correlación entre el examen que elegiste en la parte (a) y el examen final es mayor?

8.6 Maridos y esposas, Parte I. La Oficina de Censos y Encuestas de Población de Gran Bretaña una vez recopiló datos sobre una muestra aleatoria de 170 parejas casadas en Gran Bretaña, registrando la edad (en años) y las alturas (convertidas aquí a pulgadas) de los maridos y las esposas.5 El diagrama de dispersión de la izquierda muestra la edad de la esposa trazada contra la edad de su marido, y el gráfico de la derecha muestra la altura de la esposa trazada contra la altura de su marido.

• 1. Describe la relación entre las edades de los maridos y las esposas.
• 2. Describe la relación entre las alturas de los maridos y las esposas.
• 3. ¿Qué gráfico muestra una correlación más fuerte? Explica tu razonamiento.
• 4. Los datos sobre las alturas se recopilaron originalmente en centímetros y luego se convirtieron a pulgadas. ¿Esta conversión afecta la correlación entre las alturas de los maridos y las esposas?
• 8.7 Emparejar la correlación, Parte I. Empareja cada correlación con el diagrama de dispersión correspondiente.

8.8 Emparejar la correlación, Parte II. Empareja cada correlación con el diagrama de dispersión correspondiente.

8.9 Velocidad y altura. A 1.302 estudiantes de la UCLA se les pidió que completaran una encuesta donde se les preguntaba sobre su altura, la velocidad más rápida a la que habían conducido y el género. El diagrama de dispersión de la izquierda muestra la relación entre la altura y la velocidad más rápida, y el diagrama de dispersión de la derecha muestra el desglose por género en esta relación.

• 1. Describe la relación entre la altura y la velocidad más rápida.
• 2. ¿Por qué crees que estas variables están asociadas positivamente?
• 3. ¿Qué papel juega el género en la relación entre la altura y la velocidad de conducción más rápida?

⁵D.J. Hand. A handbook of small data sets. Chapman & Hall/CRC, 1994.

8.10 Adivina la correlación. Eduardo y Rosie están ambos recolectando datos sobre el número de días lluviosos en un año y la precipitación total para el año. Eduardo registra la precipitación en pulgadas y Rosie en centímetros. ¿Cómo se compararán sus coeficientes de correlación?

8.11 The Coast Starlight, Parte I. El tren Coast Starlight de Amtrak va desde Seattle hasta Los Ángeles. El diagrama de dispersión a continuación muestra la distancia entre cada parada (en millas) y la cantidad de tiempo que lleva viajar de una parada a otra (en minutos).

• 1. Describe la relación entre la distancia y el tiempo de viaje.
• 2. ¿Cómo cambiaría la relación si el tiempo de viaje se midiera en horas y la distancia se midiera en kilómetros?
• 3. La correlación entre el tiempo de viaje (en millas) y la distancia (en minutos) es r = 0.636. Supongamos que en su lugar hubiéramos medido el tiempo de viaje en horas y medido la distancia en kilómetros (km). ¿Cuál sería la correlación en estas diferentes unidades?

8.12 Bebés gateando, Parte I. Un estudio realizado en la Universidad de Denver investigó si los bebés tardan más en aprender a gatear en los meses fríos, cuando a menudo están envueltos en ropa que restringe su movimiento, que en los meses más cálidos.6 Los bebés nacidos durante el año del estudio se dividieron en doce grupos, uno para cada mes de nacimiento. Consideramos la edad promedio de gateo de los bebés en cada grupo contra la temperatura promedio cuando los bebés tienen seis meses (que es cuando los bebés a menudo comienzan a intentar gatear). La temperatura se mide en grados Fahrenheit (◦F) y la edad se mide en semanas.

• 1. Describe la relación entre la temperatura y la edad de gateo.
• 2. ¿Cómo cambiaría la relación si la temperatura se midiera en grados Celsius (◦C) y la edad se midiera en meses?
• 3. La correlación entre la temperatura en ◦F y la edad en semanas fue r = −0.70. Si convertimos la temperatura a ◦C y la edad a meses, ¿cuál sería la correlación?

Temperatura (F)

⁶J.B. Benson. “Season of birth and onset of locomotion: Theoretical and methodological implications”. In: Infant behavior and development 16.1 (1993), pp. 69–81. issn: 0163-6383.

8.13 Mediciones corporales, Parte I. Investigadores que estudian antropometría recolectaron medidas de circunferencia corporal y mediciones del diámetro esquelético, así como la edad, el peso, la altura y el género de 507 individuos físicamente activos.7 El diagrama de dispersión a continuación muestra la relación entre la altura y la circunferencia del hombro (sobre los músculos deltoides), ambos medidos en centímetros.

• 1. Describe la relación entre la circunferencia del hombro y la altura.
• 2. ¿Cómo cambiaría la relación si la circunferencia del hombro se midiera en pulgadas mientras que las unidades de altura permanecieran en centímetros?

80 90 100 110 120 130

8.14 Mediciones corporales, Parte II. El diagrama de dispersión a continuación muestra la relación entre el peso medido en kilogramos y la circunferencia de la cadera medida en centímetros a partir de los datos descritos en el Ejercicio 8.13.

• 1. Describe la relación entre la circunferencia de la cadera y el peso.
• 2. ¿Cómo cambiaría la relación si el peso se midiera en libras mientras que las unidades para la circunferencia de la cadera permanecieran en centímetros?

Circunferencia de la cadera (cm) 8.15 Correlación, Parte I. ¿Cuál sería la correlación entre las edades de los maridos y las esposas si los hombres siempre se casaran con mujeres que fueran

40

60

80

Peso (kg)

100

• 1. 3 años menores que ellos?
• 2. 2 años mayores que ellos?
• 3. la mitad de su edad?

8.16 Correlación, Parte II. ¿Cuál sería la correlación entre los salarios anuales de hombres y mujeres en una empresa si para un determinado tipo de puesto los hombres siempre ganaran

• 1. $5,000 más que las mujeres?
• 2. 25% más que las mujeres?
• (c) 15% menos que las mujeres?

8.2 Regresión por mínimos cuadrados

Ajustar modelos lineales a ojo está abierto a críticas ya que se basa en la preferencia de un individuo. En esta sección, utilizamos la regresión por mínimos cuadrados como un enfoque más riguroso.

8.2.1 Ayuda económica (Gift Aid) para estudiantes de primer año en Elmhurst College

Esta sección considera los ingresos familiares y los datos de ayuda económica de una muestra aleatoria de cincuenta estudiantes de primer año en Elmhurst College en Illinois. La ayuda económica es ayuda financiera que no necesita ser devuelta, a diferencia de un préstamo. Un diagrama de dispersión de los datos se muestra en la Figura 8.11 junto con dos ajustes lineales. Las líneas siguen una tendencia negativa en los datos; los estudiantes que tienen ingresos familiares más altos tendían a tener una ayuda económica menor por parte de la universidad.

Figura 8.11: Ayuda económica e ingresos familiares para una muestra aleatoria de 50 estudiantes de primer año de Elmhurst College. Se ajustan dos líneas a los datos, siendo la línea sólida la línea de mínimos cuadrados.

PRÁCTICA GUIADA 8.7

¿Es la correlación positiva o negativa en la Figura 8.11? 8

8.2.2 Una medida objetiva para encontrar la mejor línea

Comenzamos pensando en lo que queremos decir con “mejor”. Matemáticamente, queremos una línea que tenga residuos pequeños. La primera opción que puede venir a la mente es minimizar la suma de las magnitudes de los residuos:

\[|e\_1| + |e\_2| + \dots + |e\_n|\]

lo cual podríamos lograr con un programa de computadora. La línea discontinua resultante que se muestra en la Figura 8.11 demuestra que este ajuste puede ser bastante razonable. Sin embargo, una práctica más común es elegir la línea que minimiza la suma de los residuos al cuadrado:

\[e\_1^2 + e\_2^2 + \dots + e\_n^2\]

⁸Los ingresos familiares más altos están asociados con cantidades menores de ayuda, por lo que la correlación será negativa. Usando una computadora, se puede calcular la correlación: -0.499.

La línea que minimiza este criterio de mínimos cuadrados se representa como la línea continua en la Figura 8.11. Esto se conoce comúnmente como la línea de mínimos cuadrados. Las siguientes son tres posibles razones para elegir esta opción en lugar de tratar de minimizar la suma de las magnitudes de los residuos sin elevarlos al cuadrado:

• 1. Es el método más utilizado.
• 2. El cálculo de la línea de mínimos cuadrados es ampliamente compatible con el software estadístico.
• 3. En muchas aplicaciones, un residuo dos veces mayor que otro residuo es más del doble de malo. Por ejemplo, equivocarse por 4 suele ser más del doble de malo que equivocarse por 2. Elevar al cuadrado los residuos tiene en cuenta esta discrepancia.

Las dos primeras razones son en gran medida por tradición y conveniencia; la última razón explica por qué el criterio de mínimos cuadrados suele ser más útil.9

8.2.3 Condiciones para la línea de mínimos cuadrados

Cuando ajustamos una línea de mínimos cuadrados, generalmente requerimos

• Linealidad. Los datos deben mostrar una tendencia lineal. Si hay una tendencia no lineal (por ejemplo, el panel izquierdo de la Figura 8.12), se debe aplicar un método de regresión avanzado de otro libro o curso posterior.
• Residuos casi normales. Generalmente, los residuos deben ser casi normales. Cuando esta condición resulta ser irrazonable, generalmente se debe a valores atípicos o preocupaciones sobre puntos influyentes, de lo que hablaremos más en las Secciones 8.3. Un ejemplo de un residuo que podría ser potencialmente preocupante se muestra en la Figura 8.12, donde una observación está claramente mucho más lejos de la línea de regresión que las demás.
• Variabilidad constante. La variabilidad de los puntos alrededor de la línea de mínimos cuadrados permanece aproximadamente constante. Un ejemplo de variabilidad no constante se muestra en el tercer panel de la Figura 8.12, que representa el patrón más común observado cuando esta condición falla: la variabilidad de y es mayor cuando x es mayor.
• Observaciones independientes. Sea cauteloso al aplicar la regresión a datos de series de tiempo, que son observaciones secuenciales en el tiempo, como el precio de las acciones cada día. Dichos datos pueden tener una estructura subyacente que debe considerarse en un modelo y análisis. Un ejemplo de un conjunto de datos donde las observaciones sucesivas no son independientes se muestra en el cuarto panel de la Figura 8.12. También hay otros casos en los que las correlaciones dentro de los datos son importantes, lo que se analiza más a fondo en el Capítulo 9.

PRÁCTICA GUIADA 8.8

¿Deberíamos tener inquietudes sobre la aplicación de la regresión de mínimos cuadrados a los datos de Elmhurst en la Figura 8.11? 10

⁹Hay aplicaciones donde la suma de las magnitudes residuales puede ser más útil, y hay muchos otros criterios que podríamos considerar. Sin embargo, este libro solo aplica el criterio de mínimos cuadrados.

¹⁰La tendencia parece ser lineal, los datos caen alrededor de la línea sin valores atípicos obvios, la varianza es aproximadamente constante. Estas tampoco son observaciones de series de tiempo. La regresión de mínimos cuadrados se puede aplicar a estos datos.

Figura 8.12: Cuatro ejemplos que muestran cuándo los métodos de este capítulo son insuficientes para aplicarlos a los datos. Primer panel: falla la linealidad. Segundo panel: hay valores atípicos, especialmente un punto que está muy lejos de la línea. Tercer panel: la variabilidad de los errores está relacionada con el valor de x. Cuarto panel: se muestra un conjunto de datos de series de tiempo, donde las observaciones sucesivas están altamente correlacionadas.

8.2.4 Encontrar la línea de mínimos cuadrados

Para los datos de Elmhurst, podríamos escribir la ecuación de la línea de regresión de mínimos cuadrados como

\[\dot{a}\dot{a}\dot{d} = \beta\_0 + \beta\_1 \times ingreso\text{\textquotedblleft familiar}\]

Aquí la ecuación está configurada para predecir la ayuda económica basada en el ingreso familiar de un estudiante, lo que sería útil para los estudiantes que consideran Elmhurst. Estos dos valores, β⁰ y β1, son los parámetros de la línea de regresión.

Como en los Capítulos 5, 6, y 7, los parámetros se estiman utilizando datos observados. En la práctica, esta estimación se realiza utilizando una computadora de la misma manera que otras estimaciones, como la media muestral, se pueden estimar utilizando una computadora o calculadora. Sin embargo, también podemos encontrar las estimaciones de los parámetros aplicando dos propiedades de la línea de mínimos cuadrados:

• La pendiente de la línea de mínimos cuadrados se puede estimar mediante

\[b\_1 = \frac{s\_y}{s\_x} R\]

donde R es la correlación entre las dos variables, y s^x y s^y son las desviaciones estándar muestrales de la variable explicativa y la respuesta, respectivamente.

• Si ¯x es la media muestral de la variable explicativa y ¯y es la media muestral de la variable vertical, entonces el punto (¯x, y¯) está en la línea de mínimos cuadrados.

La Figura 8.13 muestra las medias muestrales para el ingreso familiar y la ayuda económica como $101,780 y $19,940, respectivamente. Podríamos trazar el punto (101.8, 19.94) en la Figura 8.11 en la página 317 para verificar que cae en la línea de mínimos cuadrados (la línea sólida).

A continuación, encontramos formalmente las estimaciones puntuales b⁰ y b¹ de los parámetros β⁰ y β1.

	Ingreso Familiar (x)	Ayuda Económica (y)
media	¯x = $101,780	¯y = $19,940
sd	sx = $63,200	sy = $5,460
		R = −0.499

Figura 8.13: Estadísticas resumidas para el ingreso familiar y la ayuda económica.

Utilizando las estadísticas resumidas en la Figura 8.13, calcule la pendiente de la línea de regresión de la ayuda económica contra el ingreso familiar.11

Quizás recuerdes la forma punto-pendiente de una línea de la clase de matemáticas, que podemos usar para encontrar el ajuste del modelo, incluida la estimación de b0. Dada la pendiente de una línea y un punto en la línea, (x0, y0), la ecuación de la línea se puede escribir como

y − y⁰ = pendiente × (x − x0)

IDENTIFICANDO LA LÍNEA DE MÍNIMOS CUADRADOS A PARTIR DE ESTADÍSTICAS RESUMIDAS

Para identificar la línea de mínimos cuadrados a partir de estadísticas resumidas:

• Estime el parámetro de pendiente, b¹ = (sy/sx)R.
• Observando que el punto (¯x, y¯) está en la línea de mínimos cuadrados, use x⁰ = ¯x e y⁰ = ¯y con la ecuación punto-pendiente: y − y¯ = b1(x − x¯).
• Simplifique la ecuación, lo que revelaría que b⁰ = ¯y − b1x¯.

EJEMPLO 8.10

Usando el punto (101780, 19940) de las medias muestrales y la estimación de la pendiente b¹ = −0.0431 de la Práctica Guiada 8.9, encuentre la línea de mínimos cuadrados para predecir la ayuda económica basada en el ingreso familiar.

Aplique la ecuación punto-pendiente usando (101.78, 19.94) y la pendiente b¹ = −0.0431:

\[\begin{aligned} y - y\_0 &= b\_1(x - x\_0) \\ y - 19,940 &= -0.0431(x - 101,780) \end{aligned}\]

Expandiendo el lado derecho y luego agregando 19,940 a cada lado, la ecuación se simplifica:

\[ayuda = 24,327 - 0.0431 \times ingreso\\_familiar\]

Aquí hemos reemplazado ^y con ayuda^c y ^x con ingreso familiar para poner la ecuación en contexto. La ecuación final siempre debe incluir un “sombrero” en la variable que se predice, ya sea una “y” genérica o una variable con nombre como “ayuda”.

Por lo general, se utiliza una computadora para calcular la línea de mínimos cuadrados, y en la Figura 8.14. se muestra una tabla de resumen generada con el software para la línea de regresión de Elmhurst. La primera columna de números proporciona estimaciones para b⁰ y b1, respectivamente. Estos resultados coinciden con los del Ejemplo 8.10 (con un pequeño error de redondeo).

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	24319.3	1291.5	18.83	<0.0001
ingreso familiar	-0.0431	0.0108	-3.98	0.0002

Figura 8.14: Resumen del ajuste de mínimos cuadrados para los datos de Elmhurst. Compare las estimaciones de los parámetros en la primera columna con los resultados del Ejemplo 8.10.

\[b\_1 = \frac{s\_y}{s\_x} R = \frac{5,460}{63,200} (-0.499) = -0.0431\]

¹¹Calcule la pendiente utilizando las estadísticas resumidas de la Figura 8.13:

8.2. REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS 321

EJEMPLO 8.11

Examine la segunda, tercera y cuarta columna en la Figura 8.14. ¿Puede adivinar lo que representan? (Si aún no ha revisado ningún capítulo de inferencia, omita este ejemplo).

Describiremos el significado de las columnas usando la segunda fila, que corresponde a β1. La primera columna proporciona la estimación puntual para β1, como calculamos en un ejemplo anterior: b¹ = −0.0431. La segunda columna es un error estándar para esta estimación puntual: SEb¹ = 0.0108. La tercera columna es un estadístico de prueba t para la hipótesis nula de que β¹ = 0: T = −3.98. La última columna es el valor p para el estadístico de prueba t para la hipótesis nula β¹ = 0 y una hipótesis alternativa bilateral: 0.0002. Entraremos en más detalles sobre esto en la Sección 8.4.

EJEMPLO 8.12

Supongamos que una estudiante de último año de secundaria está considerando Elmhurst College. ¿Puede simplemente usar la ecuación lineal que hemos estimado para calcular su ayuda financiera de la universidad?

Puede usarla como una estimación, aunque algunas salvedades sobre este enfoque son importantes. Primero, los datos provienen de una sola clase de primer año, y la forma en que la universidad determina la ayuda puede cambiar de año en año. Segundo, la ecuación proporcionará una estimación imperfecta. Si bien la ecuación lineal es buena para capturar la tendencia en los datos, la ayuda de ningún estudiante individual se predecirá perfectamente.

8.2.5 Interpretación de las estimaciones de los parámetros del modelo de regresión

Interpretar los parámetros en un modelo de regresión es a menudo uno de los pasos más importantes en el análisis.

EJEMPLO 8.13

Las estimaciones de la intersección y la pendiente para los datos de Elmhurst son b⁰ = 24,319 y b¹ = −0.0431. ¿Qué significan realmente estos números?

Interpretar el parámetro de la pendiente es útil en casi cualquier aplicación. Por cada $1,000 adicionales de ingresos familiares, esperaríamos que un estudiante reciba una diferencia neta de $1,000×(−0.0431) = −$43.10 en ayuda en promedio, es decir, $43.10 menos. Tenga en cuenta que un mayor ingreso familiar corresponde a menos ayuda porque el coeficiente del ingreso familiar es negativo en el modelo. Debemos ser cautelosos en esta interpretación: si bien existe una asociación real, no podemos interpretar una conexión causal entre las variables porque estos datos son observacionales. Es decir, aumentar el ingreso familiar de un estudiante puede no causar que la ayuda del estudiante disminuya. (Sería razonable contactar a la universidad y preguntar si la relación es causal, es decir, si las decisiones de ayuda de Elmhurst College se basan parcialmente en el ingreso familiar de los estudiantes).

La intersección estimada b⁰ = 24,319 describe la ayuda promedio si la familia de un estudiante no tuviera ingresos. El significado de la intersección es relevante para esta aplicación, ya que el ingreso familiar de algunos estudiantes en Elmhurst es de $0. En otras aplicaciones, la intersección puede tener poco o ningún valor práctico si no hay observaciones donde x esté cerca de cero.

INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS ESTIMADOS POR MÍNIMOS CUADRADOS

La pendiente describe la diferencia estimada en la variable y si la variable explicativa x para un caso fuera una unidad mayor. La intersección describe el resultado promedio de y si x = 0 y el modelo lineal es válido hasta x = 0, lo que en muchas aplicaciones no es el caso.

8.2.6 La extrapolación es traicionera

Cuando esas tormentas de nieve azotaron la costa este este invierno, demostró a mi satisfacción que el calentamiento global era un fraude. Esa nieve estaba helada. Pero en una tendencia alarmante, las temperaturas esta primavera han aumentado. Considere esto: el 6 de febrero hacía 10 grados. Hoy llegó a casi 80. A este ritmo, para agosto hará 220 grados. Así que, claramente, amigos, el debate sobre el clima continúa.

Stephen Colbert 6 de abril de 201012

Los modelos lineales se pueden usar para aproximar la relación entre dos variables. Sin embargo, estos modelos tienen limitaciones reales. La regresión lineal es simplemente un marco de modelado. La verdad es casi siempre mucho más compleja que nuestra simple línea. Por ejemplo, no sabemos cómo se comportarán los datos fuera de nuestra ventana limitada.

EJEMPLO 8.14

Use el modelo aid^c = 24,319−0.0431×ingreso familiar para estimar la ayuda de otro estudiante de primer año cuya familia tenía un ingreso de $1 millón.

Queremos calcular la ayuda para ingreso familiar = 1,000,000:

24,319 − 0.0431 × ingreso familiar = 24,319 − 0.0431 × 1,000,000 = −18,781

El modelo predice que este estudiante tendrá -$18,781 en ayuda (!). Sin embargo, Elmhurst College no ofrece ayuda negativa donde seleccionan a algunos estudiantes para que paguen un extra además de la matrícula para asistir.

Aplicar una estimación de modelo a valores fuera del ámbito de los datos originales se llama extrapolación. Generalmente, un modelo lineal es solo una aproximación de la relación real entre dos variables. Si extrapolamos, estamos haciendo una apuesta poco confiable de que la relación lineal aproximada será válida en lugares donde no se ha analizado.

8.2.7 Usando R² para describir la fuerza de un ajuste

Evaluamos la fuerza de la relación lineal entre dos variables anteriormente usando la correlación, R. Sin embargo, es más común explicar la fuerza de un ajuste lineal usando R² , llamado R-cuadrado. Si se nos proporciona un modelo lineal, es posible que deseemos describir qué tan cerca se agrupan los datos alrededor del ajuste lineal.

Figura 8.15: Ayuda económica e ingreso familiar para una muestra aleatoria de 50 estudiantes de primer año de Elmhurst College, que se muestra con la línea de regresión de mínimos cuadrados.

¹²www.cc.com/video-clips/l4nkoq

8.2. REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS 323

El R² de un modelo lineal describe la cantidad de variación en la respuesta que se explica por la línea de mínimos cuadrados. Por ejemplo, considere los datos de Elmhurst, que se muestran en la Figura 8.15. La varianza de la variable de respuesta, la ayuda recibida, es de aproximadamente s 2 aid ≈ 29.8 millones. Sin embargo, si aplicamos nuestra línea de mínimos cuadrados, entonces este modelo reduce nuestra incertidumbre al predecir la ayuda utilizando el ingreso familiar de un estudiante. La variabilidad en los residuos describe cuánta variación permanece después de usar el modelo: s 2 RES ≈ 22.4 millones. En resumen, hubo una reducción de

\[\frac{s\_{aid}^2 - s\_{RES}^2}{s\_{aid}^2} = \frac{29,800,000 - 22,400,000}{29,800,000} = \frac{7,500,000}{29,800,000} = 0.25\]

o alrededor del 25% en la variación de los datos mediante el uso de información sobre el ingreso familiar para predecir la ayuda mediante un modelo lineal. Esto corresponde exactamente al valor de R-cuadrado:

\[R = -0.499 \qquad \qquad \qquad R^2 = 0.25\]

PRÁCTICA GUIADA 8.15

Si un modelo lineal tiene una relación negativa muy fuerte con una correlación de -0.97, ¿qué cantidad de la variación en la respuesta se explica por la variable explicativa?13

8.2.8 Predictores categóricos con dos niveles

Las variables categóricas también son útiles para predecir resultados. Aquí consideramos un predictor categórico con dos niveles (recuerde que un nivel es lo mismo que una categoría). Consideraremos las subastas de Ebay para un videojuego, Mario Kart para Nintendo Wii, donde se registró tanto el precio total de la subasta como el estado del juego. Aquí queremos predecir el precio total en función del estado del juego, que toma los valores usado y nuevo. En la Figura 8.16 se muestra un diagrama de los datos de la subasta.

Figura 8.16: Precios totales de subasta para el videojuego Mario Kart, divididos en juegos en estado usado (x = 0) y nuevo (x = 1). También se muestra la línea de regresión de mínimos cuadrados.

Para incorporar la variable de estado del juego en una ecuación de regresión, debemos convertir las categorías en una forma numérica. Lo haremos usando una variable indicadora llamada estado_nuevo, que toma el valor 1 cuando el juego es nuevo y 0 cuando el juego está usado. Usando esta variable indicadora, el modelo lineal puede escribirse como

\[ \widehat{precio} = \beta\_0 + \beta\_1 \times \mathbf{estado\\_nuevo} \]

¹³Acerca de R² = (−0.97)² = 0.94 o 94% de la variación se explica por el modelo lineal.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intersección)	42.87	0.81	52.67	<0.0001
estado_nuevo	10.90	1.26	8.66	<0.0001

Figura 8.17: Resumen de la regresión por mínimos cuadrados para el precio final de la subasta contra el estado del juego.

Las estimaciones de los parámetros se dan en la Figura 8.17 y la ecuación del modelo se puede resumir como

precio ^d = 42.87 + 10.^{90 ×} estado_nuevo

Para predictores categóricos con solo dos niveles, el supuesto de linealidad siempre se cumplirá. Sin embargo, debemos evaluar si los residuos en cada grupo son aproximadamente normales y tienen una varianza aproximadamente igual. Como se puede ver en la Figura 8.16, ambas condiciones se cumplen razonablemente con los datos de la subasta.

EJEMPLO 8.16

Interprete los dos parámetros estimados en el modelo para el precio de Mario Kart en las subastas de eBay.

La intersección es el precio estimado cuando estado_nuevo toma el valor 0, es decir, cuando el juego está en estado usado. Es decir, el precio de venta promedio de una versión usada del juego es de $42.87.

La pendiente indica que, en promedio, los juegos nuevos se venden por aproximadamente $10.90 más que los juegos usados.

INTERPRETACIÓN DE LAS ESTIMACIONES DEL MODELO PARA PREDICTORES CATEGÓRICOS

La intersección estimada es el valor de la variable de respuesta para la primera categoría (es decir, la categoría correspondiente a un valor indicador de 0). La pendiente estimada es el cambio promedio en la variable de respuesta entre las dos categorías.

Profundizaremos más en este tema en el Capítulo 9, donde examinaremos la influencia de muchas variables predictoras simultáneamente utilizando la regresión múltiple.

Ejercicios

8.17 Unidades de regresión. Considere una regresión que predice el peso (kg) a partir de la altura (cm) para una muestra de hombres adultos. ¿Cuáles son las unidades del coeficiente de correlación, la intersección y la pendiente?

8.18 ¿Cuál es mayor? Determine si I o II es mayor o si son iguales. Explique su razonamiento. Para una línea de regresión, la incertidumbre asociada con la estimación de la pendiente, b1, es mayor cuando

• I. hay mucha dispersión alrededor de la línea de regresión o
• 2. hay muy poca dispersión alrededor de la línea de regresión

8.19 Sobre-subestimar, Parte I. Suponga que ajustamos una línea de regresión para predecir la vida útil de una manzana en función de su peso. Para una manzana en particular, predecimos que la vida útil será de 4.6 días. El residuo de la manzana es de -0.6 días. ¿Sobreestimamos o subestimamos la vida útil de la manzana? Explique su razonamiento.

8.20 Sobre-subestimar, Parte II. Suponga que ajustamos una línea de regresión para predecir el número de casos de cáncer de piel por cada 1,000 personas a partir del número de días soleados en un año. Para un año en particular, predecimos que la incidencia de cáncer de piel será de 1.5 por cada 1,000 personas, y el residuo para este año es de 0.5. ¿Sobreestimamos o subestimamos la incidencia de cáncer de piel? Explique su razonamiento.

8.21 Gasto en turismo. La Asociación de Agencias de Viajes Turcas informa el número de turistas extranjeros que visitan Turquía y el gasto turístico por año.14 Se proporcionan tres gráficos: un diagrama de dispersión que muestra la relación entre estas dos variables junto con el ajuste de mínimos cuadrados, un gráfico de residuos y un histograma de residuos.

• 1. Describa la relación entre el número de turistas y el gasto.
• 2. ¿Cuáles son las variables explicativas y de respuesta?
• 3. ¿Por qué podríamos querer ajustar una línea de regresión a estos datos?
• 4. ¿Cumplen los datos las condiciones necesarias para ajustar una línea de mínimos cuadrados? Además del diagrama de dispersión, utilice el gráfico de residuos y el histograma para responder a esta pregunta.

¹⁴Asociación de Agencias de Viajes Turcas, Cifra de visitantes extranjeros y gasto turístico por años.

8.22 Nutrición en Starbucks, Parte I. El diagrama de dispersión a continuación muestra la relación entre el número de calorías y la cantidad de carbohidratos (en gramos) que contienen los elementos del menú de comida de Starbucks.15 Dado que Starbucks solo enumera el número de calorías en los elementos de la pantalla, estamos interesados en predecir la cantidad de carbohidratos que tiene un elemento del menú en función de su contenido calórico.

• 1. Describa la relación entre el número de calorías y la cantidad de carbohidratos (en gramos) que contienen los elementos del menú de comida de Starbucks.
• 2. En este escenario, ¿cuáles son las variables explicativas y de respuesta?
• 3. ¿Por qué podríamos querer ajustar una línea de regresión a estos datos?
• 4. ¿Cumplen estos datos las condiciones necesarias para ajustar una línea de mínimos cuadrados?

8.23 The Coast Starlight, Parte II. El Ejercicio 8.11 presenta datos sobre el tren Coast Starlight de Amtrak que va de Seattle a Los Ángeles. El tiempo de viaje promedio de una parada a la siguiente en el Coast Starlight es de 129 minutos, con una desviación estándar de 113 minutos. La distancia promedio recorrida de una parada a la siguiente es de 108 millas con una desviación estándar de 99 millas. La correlación entre el tiempo de viaje y la distancia es de 0.636.

• 1. Escriba la ecuación de la línea de regresión para predecir el tiempo de viaje.
• 2. Interprete la pendiente y la intersección en este contexto.
• 3. Calcule R 2 de la línea de regresión para predecir el tiempo de viaje a partir de la distancia recorrida para el Coast Starlight, e interprete R 2 en el contexto de la aplicación.
• 4. La distancia entre Santa Bárbara y Los Ángeles es de 103 millas. Utilice el modelo para estimar el tiempo que tarda el Starlight en viajar entre estas dos ciudades.
• 5. En realidad, el Coast Starlight tarda unos 168 minutos en viajar de Santa Bárbara a Los Ángeles. Calcule el residuo y explique el significado de este valor residual.
• 6. Suponga que Amtrak está considerando agregar una parada al Coast Starlight a 500 millas de Los Ángeles. ¿Sería apropiado utilizar este modelo lineal para predecir el tiempo de viaje desde Los Ángeles hasta este punto?

8.24 Medidas corporales, Parte III. El Ejercicio 8.13 presenta datos sobre el contorno de hombros y la altura de un grupo de individuos. El contorno de hombros promedio es de 107.20 cm con una desviación estándar de 10.37 cm. La altura promedio es de 171.14 cm con una desviación estándar de 9.41 cm. La correlación entre la altura y el contorno de hombros es de 0.67.

• 1. Escriba la ecuación de la línea de regresión para predecir la altura.
• 2. Interprete la pendiente y la intersección en este contexto.
• 3. Calcule R 2 de la línea de regresión para predecir la altura a partir del contorno de hombros, e interprételo en el contexto de la aplicación.
• 4. Un estudiante seleccionado al azar de su clase tiene un contorno de hombros de 100 cm. Prediga la altura de este estudiante utilizando el modelo.
• 5. El estudiante de la parte (d) mide 160 cm de altura. Calcule el residuo y explique lo que significa este residuo.
• 6. Un niño de un año tiene un contorno de hombros de 56 cm. ¿Sería apropiado utilizar este modelo lineal para predecir la altura de este niño?

¹⁵Fuente: Starbucks.com, recopilado el 10 de marzo de 2011, www.starbucks.com/menu/nutrition.

8.25 Asesinatos y pobreza, Parte I. La siguiente salida de regresión es para predecir los asesinatos anuales por millón a partir del porcentaje que vive en la pobreza en una muestra aleatoria de 20 áreas metropolitanas.

8.26 Gatos, Parte I. La siguiente salida de regresión es para predecir el peso del corazón (en g) de los gatos a partir de su peso corporal (en kg). Los coeficientes se estiman utilizando un conjunto de datos de 144 gatos domésticos.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intersección)	-0.357	0.692	-0.515	0.607
peso corporal	4.034	0.250	16.119	0.000
s = 1.452	R2 = 64.66%		R2 ajustado = 64.41%

1. Escriba el modelo lineal.

2. Interprete la intersección.

3. Interprete la pendiente.

4. Interprete R 2 .

5. Calcule el coeficiente de correlación.

8.3 Tipos de valores atípicos en la regresión lineal

En esta sección, identificamos los criterios para determinar qué valores atípicos son importantes e influyentes. Los valores atípicos en la regresión son observaciones que se encuentran lejos de la nube de puntos. Estos puntos son especialmente importantes porque pueden tener una gran influencia en la línea de mínimos cuadrados.

EJEMPLO 8.17

Hay seis gráficos que se muestran en la Figura 8.18 junto con la línea de mínimos cuadrados y los gráficos de residuos. Para cada par de diagramas de dispersión y gráficos de residuos, identifique los valores atípicos y observe cómo influyen en la línea de mínimos cuadrados. Recuerde que un valor atípico es cualquier punto que no parece pertenecer a la gran mayoría de los otros puntos.

• 1. Hay un valor atípico lejos de los otros puntos, aunque solo parece influir ligeramente en la línea.
• 2. Hay un valor atípico a la derecha, aunque está bastante cerca de la línea de mínimos cuadrados, lo que sugiere que no fue muy influyente.
• 3. Hay un punto lejos de la nube, y este valor atípico parece tirar de la línea de mínimos cuadrados hacia arriba a la derecha; examine cómo la línea alrededor de la nube principal no parece encajar muy bien.
• 4. Hay una nube principal y luego una pequeña nube secundaria de cuatro valores atípicos. La nube secundaria parece estar influyendo en la línea con bastante fuerza, haciendo que la línea de mínimos cuadrados se ajuste mal en casi todas partes. Podría haber una explicación interesante para las nubes duales, que es algo que podría investigarse.
• 5. No hay una tendencia obvia en la nube principal de puntos y el valor atípico a la derecha parece controlar en gran medida la pendiente de la línea de mínimos cuadrados.
• 6. Hay un valor atípico lejos de la nube. Sin embargo, cae bastante cerca de la línea de mínimos cuadrados y no parece ser muy influyente.

Examine los gráficos de residuos en la Figura 8.18. Probablemente encontrará que hay alguna tendencia en las nubes principales de (3) y (4). En estos casos, los valores atípicos influyeron en la pendiente de las líneas de mínimos cuadrados. En (5), a los datos sin una tendencia clara se les asignó una línea con una gran tendencia simplemente debido a un valor atípico (!).

APALANCAMIENTO

Los puntos que se encuentran horizontalmente lejos del centro de la nube tienden a tirar más fuerte de la línea, por lo que los llamamos puntos con un alto apalancamiento.

Los puntos que se encuentran horizontalmente lejos de la línea son puntos de alto apalancamiento; estos puntos pueden influir fuertemente en la pendiente de la línea de mínimos cuadrados. Si uno de estos puntos de alto apalancamiento parece realmente invocar su influencia en la pendiente de la línea, como en los casos (3), (4) y (5) del Ejemplo 8.17, entonces lo llamamos un punto influyente. Por lo general, podemos decir que un punto es influyente si, si hubiéramos ajustado la línea sin él, el punto influyente habría estado inusualmente lejos de la línea de mínimos cuadrados.

Es tentador eliminar los valores atípicos. No haga esto sin una muy buena razón. Los modelos que ignoran los casos excepcionales (e interesantes) a menudo funcionan mal. Por ejemplo, si una empresa financiera ignorara las mayores fluctuaciones del mercado, los “valores atípicos”, pronto se irían a la quiebra al realizar inversiones mal pensadas.

Figura 8.18: Seis gráficos, cada uno con una línea de mínimos cuadrados y un gráfico de residuos. Todos los conjuntos de datos tienen al menos un valor atípico.

Ejercicios

8.27 Valores atípicos, Parte I. Identifique los valores atípicos en los diagramas de dispersión que se muestran a continuación y determine qué tipo de valores atípicos son. Explique su razonamiento.

8.28 Valores atípicos, Parte II. Identifique los valores atípicos en los diagramas de dispersión que se muestran a continuación y determine qué tipo de valores atípicos son. Explique su razonamiento.

8.29 Propietarios de viviendas urbanas, Parte I. El diagrama de dispersión a continuación muestra el porcentaje de familias que son dueñas de su casa frente al porcentaje de la población que vive en áreas urbanas.16 Hay 52 observaciones, cada una correspondiente a un estado de los EE. UU. También se incluyen Puerto Rico y el Distrito de Columbia.

• 1. Describa la relación entre el porcentaje de familias que son dueñas de su casa y el porcentaje de la población que vive en áreas urbanas.
• 2. El valor atípico en la esquina inferior derecha es el Distrito de Columbia, donde el 100% de la población se considera urbana. ¿Qué tipo de valor atípico es esta observación?

8.30 Bebés gateando, Parte II. El Ejercicio 8.12 introduce datos sobre la temperatura mensual promedio durante el mes en que los bebés intentan gatear por primera vez (alrededor de 6 meses después del nacimiento) y la edad promedio de gateo para los bebés nacidos en un mes determinado. Un diagrama de dispersión de estas dos variables revela un mes potencialmente atípico cuando la temperatura promedio es de aproximadamente 53 °F y la edad promedio de gateo es de aproximadamente 28.5 semanas. ¿Tiene este punto un alto apalancamiento? ¿Es un punto influyente?

¹⁶Oficina del Censo de los Estados Unidos, Clasificación Urbana y Rural del Censo de 2010 y Criterios del Área Urbana y Vivienda Características: 2010.

8.4 Inferencia para la regresión lineal

En esta sección, discutimos la incertidumbre en las estimaciones de la pendiente y la intersección con el eje y para una línea de regresión. Así como identificamos errores estándar para las estimaciones puntuales en capítulos anteriores, primero discutimos los errores estándar para estas nuevas estimaciones.

8.4.1 Elecciones de mitad de mandato y desempleo

Las elecciones para los miembros de la Cámara de Representantes de los Estados Unidos ocurren cada dos años, coincidiendo cada cuatro años con las elecciones presidenciales de EE. UU. El conjunto de elecciones a la Cámara que ocurren a la mitad de un mandato presidencial se denominan elecciones de mitad de mandato. En el sistema bipartidista de Estados Unidos, una teoría política sugiere que cuanto mayor sea la tasa de desempleo, peor le irá al partido del Presidente en las elecciones de mitad de mandato.

Para evaluar la validez de esta afirmación, podemos recopilar datos históricos y buscar una conexión. Consideramos cada elección de mitad de mandato desde 1898 hasta 2018, con la excepción de aquellas elecciones durante la Gran Depresión. La Figura 8.19 muestra estos datos y la línea de regresión de mínimos cuadrados:

% de cambio en los escaños de la Cámara para el partido del Presidente

= −7.36 − 0.89 × (tasa de desempleo)

Consideramos el porcentaje de cambio en el número de escaños del partido del Presidente (por ejemplo, el porcentaje de cambio en el número de escaños para los republicanos en 2018) frente a la tasa de desempleo.

Al examinar los datos, no hay desviaciones claras de la linealidad, la condición de varianza constante o valores atípicos sustanciales. Si bien los datos se recopilan secuencialmente, se utilizó un análisis separado para verificar cualquier correlación aparente entre observaciones sucesivas; no se encontró tal correlación.

Figura 8.19: El porcentaje de cambio en los escaños de la Cámara para el partido del Presidente en cada elección de mitad de mandato de 1898 a 2018 graficado contra la tasa de desempleo. Los dos puntos para la Gran Depresión han sido eliminados, y una línea de regresión de mínimos cuadrados ha sido ajustada a los datos.

Los datos para la Gran Depresión (1934 y 1938) fueron eliminados porque la tasa de desempleo fue del 21% y 18%, respectivamente. ¿Está de acuerdo en que deberían ser eliminados para esta investigación? ¿Por qué sí o por qué no?17

Hay una pendiente negativa en la línea mostrada en la Figura 8.19. Sin embargo, esta pendiente (y la intersección con el eje y) son solo estimaciones de los valores de los parámetros. Podríamos preguntarnos, ¿es esta evidencia convincente de que el modelo lineal “verdadero” tiene una pendiente negativa? Es decir, ¿proporcionan los datos evidencia sólida de que la teoría política es precisa, donde la tasa de desempleo es un predictor útil de las elecciones de mitad de mandato? Podemos enmarcar esta investigación en una prueba de hipótesis estadística:

• H0: β¹ = 0. El modelo lineal verdadero tiene pendiente cero.
• HA: β¹ ̸= 0. El modelo lineal verdadero tiene una pendiente diferente de cero. El desempleo es predictivo de si el partido del Presidente gana o pierde escaños en la Cámara de Representantes.

Rechazaríamos H⁰ a favor de H^A si los datos proporcionan evidencia sólida de que el parámetro de pendiente verdadero es diferente de cero. Para evaluar las hipótesis, identificamos un error estándar para la estimación, calculamos un estadístico de prueba apropiado e identificamos el valor p.

8.4.2 Comprender el resultado de la regresión del software

Al igual que otras estimaciones puntuales que hemos visto antes, podemos calcular un error estándar y un estadístico de prueba para b1. Generalmente etiquetaremos el estadístico de prueba usando una T, ya que sigue la distribución t.

Nos basaremos en software estadístico para calcular el error estándar y dejaremos la explicación de cómo se determina este error estándar para un segundo o tercer curso de estadística. La Figura 8.20 muestra el resultado del software para la línea de regresión de mínimos cuadrados en la Figura 8.19. La fila etiquetada como desempleo incluye la estimación puntual y otra información de la prueba de hipótesis para la pendiente, que es el coeficiente de la variable de desempleo.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intersección)	-7.3644	5.1553	-1.43	0.1646
desempleo	-0.8897	0.8350	-1.07	0.2961
				df = 27

Figura 8.20: Salida del software estadístico para la línea de regresión que modela las pérdidas de las elecciones de mitad de período para el partido del Presidente como respuesta al desempleo.

EJEMPLO 8.19

¿Qué representan la primera y la segunda columna de la Figura 8.20?

Las entradas en la primera columna representan las estimaciones de mínimos cuadrados, b⁰ y b1, y los valores en la segunda columna corresponden a los errores estándar de cada estimación. Usando las estimaciones, podríamos escribir la ecuación para la línea de regresión de mínimos cuadrados como

\[ \hat{y} = -7.3644 - 0.8897x \]

donde ˆy en este caso representa el cambio predicho en el número de escaños para el partido del presidente, y x representa la tasa de desempleo.

¹⁷Proporcionaremos dos consideraciones. Cada uno de estos puntos tendría un apalancamiento muy alto en cualquier línea de regresión de mínimos cuadrados, y los años con un desempleo tan alto pueden no ayudarnos a comprender lo que sucedería en otros años donde el desempleo es solo modestamente alto. Por otro lado, estos son casos excepcionales, y estaríamos descartando información importante si los excluimos de un análisis final.

8.4. INFERENCIA PARA REGRESIÓN LINEAL 333

Anteriormente usamos un estadístico de prueba t para la prueba de hipótesis en el contexto de datos numéricos. La regresión es muy similar. En las hipótesis que consideramos, el valor nulo para la pendiente es 0, por lo que podemos calcular el estadístico de prueba usando la fórmula de la puntuación T (o Z):

\[T = \frac{\text{estimación} - \text{valor nulo}}{\text{EE}} = \frac{-0.8897 - 0}{0.8350} = -1.07\]

Esto corresponde a la tercera columna de la Figura 8.20.

EJEMPLO 8.20

Use la tabla en la Figura 8.20 para determinar el valor p para la prueba de hipótesis.

La última columna de la tabla da el valor p para la prueba de hipótesis bilateral para el coeficiente de la tasa de desempleo: 0.2961. Es decir, los datos no proporcionan evidencia convincente de que una tasa de desempleo más alta tenga alguna correspondencia con pérdidas menores o mayores para el partido del Presidente en la Cámara de Representantes en las elecciones de mitad de período.

INFERENCIA PARA REGRESIÓN

Por lo general, confiamos en el software estadístico para identificar estimaciones puntuales, errores estándar, estadísticos de prueba y valores p en la práctica. Sin embargo, tenga en cuenta que el software generalmente no verificará si el método es apropiado, lo que significa que aún debemos verificar que se cumplan las condiciones.

EJEMPLO 8.21

Examine la Figura 8.15 en la página 322, que relaciona la ayuda de Elmhurst College y los ingresos familiares de los estudiantes. ¿Qué tan seguro está de que la pendiente es estadísticamente significativamente diferente de cero? Es decir, ¿cree que una prueba de hipótesis formal rechazaría la afirmación de que la verdadera pendiente de la línea debería ser cero?

Si bien la relación entre las variables no es perfecta, existe una tendencia decreciente evidente en los datos. Esto sugiere que la prueba de hipótesis rechazará la afirmación nula de que la pendiente es cero.

PRÁCTICA GUIADA 8.22

La Figura 8.21 muestra la salida de un software estadístico al ajustar la línea de regresión de mínimos cuadrados que se muestra en la Figura 8.15. Utilice esta salida para evaluar formalmente las siguientes hipótesis.18

• H0: El coeficiente verdadero para el ingreso familiar es cero.
• HA: El coeficiente verdadero para el ingreso familiar no es cero.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	24319.3	1291.5	18.83	<0.0001
ingreso familiar	-0.0431	0.0108	-3.98	0.0002
				df = 48

Figura 8.21: Resumen del ajuste de mínimos cuadrados para los datos de Elmhurst College, donde estamos prediciendo la ayuda económica de la universidad en función del ingreso familiar de los estudiantes.

¹⁸Observamos la segunda fila correspondiente a la variable de ingreso familiar. Vemos que la estimación puntual de la pendiente de la línea es -0.0431, el error estándar de esta estimación es 0.0108 y el estadístico de la prueba t es T = -3.98. El valor p corresponde exactamente a la prueba bilateral que nos interesa: 0.0002. El valor p es tan pequeño que rechazamos la hipótesis nula y concluimos que el ingreso familiar y la ayuda financiera en Elmhurst College para los estudiantes de primer año que ingresan en el año 2011 están negativamente correlacionados y el verdadero parámetro de pendiente es de hecho menor que 0, tal como creíamos en el Ejemplo 8.21.

8.4.3 Intervalo de confianza para un coeficiente

De forma similar a cómo podemos realizar una prueba de hipótesis para un coeficiente de modelo utilizando la salida de la regresión, también podemos construir un intervalo de confianza para ese coeficiente.

EJEMPLO 8.23

Calcule el intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de ingresos familiares utilizando los resultados de la regresión de la Tabla 8.21.

La estimación puntual es -0.0431 y el error estándar es SE = 0.0108. Al construir un intervalo de confianza para un coeficiente de modelo, generalmente usamos una distribución t. Los grados de libertad para la distribución se indican en los resultados de la regresión, df = 48, lo que nos permite identificar t ⋆ ⁴⁸ = 2.01 para usarlo en el intervalo de confianza.

Ahora podemos construir el intervalo de confianza de la forma habitual:

estimación puntual ± t ⋆ ⁴⁸ × SE → −0.0431 ± 2.01 × 0.0108 → (−0.0648, −0.0214)

Tenemos un 95% de confianza en que con cada dólar de aumento en los ingresos familiares, se predice que la ayuda financiera de la universidad disminuirá en promedio entre $0.0214 y $0.0648.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA COEFICIENTES

Los intervalos de confianza para los coeficientes del modelo se pueden calcular utilizando la distribución t:

\[b\_i \pm t\_{df}^\* \times SE\_{b\_i}\]

donde t ⋆ df es el valor t apropiado correspondiente al nivel de confianza con los grados de libertad del modelo.

En cuanto al tema de los intervalos en este libro, nos hemos centrado exclusivamente en los intervalos de confianza para los parámetros del modelo. Sin embargo, existen otros tipos de intervalos que pueden ser de interés, incluidos los intervalos de predicción para un valor de respuesta y también los intervalos de confianza para un valor de respuesta medio en el contexto de la regresión. Estos dos tipos de intervalos se presentan en un extra en línea que puede descargar en

www.openintro.org/d?file=stat extra linear regression supp

Ejercicios

En los siguientes ejercicios, comprueba visualmente las condiciones para ajustar una línea de regresión de mínimos cuadrados. Sin embargo, no es necesario que informes de estas condiciones en tus soluciones.

8.31 Medidas corporales, Parte IV. El diagrama de dispersión y el resumen de mínimos cuadrados que se muestran a continuación muestran la relación entre el peso medido en kilogramos y la altura medida en centímetros de 507 individuos físicamente activos.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	-105.0113	7.5394	-13.93	0.0000
altura	1.0176	0.0440	23.13	0.0000

• 1. Describe la relación entre altura y peso.
• 2. Escribe la ecuación de la línea de regresión. Interpreta la pendiente y la intersección en contexto.
• 3. ¿Proporcionan los datos evidencia sólida de que un aumento en la altura está asociado con un aumento en el peso? Indica las hipótesis nula y alternativa, informa el valor p y establece tu conclusión.
• 4. El coeficiente de correlación para la altura y el peso es 0.72. Calcula R 2 e interprétalo en contexto.

8.32 Cerveza y contenido de alcohol en la sangre. Mucha gente cree que el género, el peso, los hábitos de consumo y muchos otros factores son mucho más importantes para predecir el contenido de alcohol en la sangre (BAC) que simplemente considerar el número de bebidas que una persona ha consumido. Aquí examinamos datos de dieciséis estudiantes voluntarios de la Universidad Estatal de Ohio que bebieron cada uno un número asignado al azar de latas de cerveza. Estos estudiantes estaban divididos equitativamente entre hombres y mujeres, y diferían en peso y hábitos de consumo. Treinta minutos más tarde, un oficial de policía midió su contenido de alcohol en la sangre (BAC) en gramos de alcohol por decilitro de sangre.19 El diagrama de dispersión y la tabla de regresión resumen los hallazgos.

• 1. Describe la relación entre el número de latas de cerveza y el BAC.
• 2. Escribe la ecuación de la línea de regresión. Interpreta la pendiente y la intersección en contexto.
• 3. ¿Proporcionan los datos evidencia sólida de que beber más latas de cerveza está asociado con un aumento en el alcohol en la sangre? Indica las hipótesis nula y alternativa, informa el valor p y establece tu conclusión.
• 4. El coeficiente de correlación para el número de latas de cerveza y el BAC es 0.89. Calcula R 2 e interprétalo en contexto.
• 5. Supongamos que visitamos un bar, le preguntamos a la gente cuántas bebidas han tomado y también tomamos su BAC. ¿Crees que la relación entre el número de bebidas y el BAC sería tan fuerte como la relación encontrada en el estudio de la Universidad Estatal de Ohio?

¹⁹J. Malkevitch y L.M. Lesser. For All Practical Purposes: Mathematical Literacy in Today’s World. WH Freeman & Co, 2008.

8.33 Maridos y esposas, Parte II. El diagrama de dispersión que se muestra a continuación resume las alturas de maridos y esposas en una muestra aleatoria de 170 parejas casadas en Gran Bretaña, donde las edades de ambos miembros de la pareja son inferiores a 65 años. En la tabla también se proporciona un resumen del ajuste de mínimos cuadrados para predecir la altura de la esposa a partir de la altura del marido.

• 1. ¿Existe una fuerte evidencia de que los hombres más altos se casan con mujeres más altas? Indica las hipótesis e incluye cualquier información utilizada para realizar la prueba.
• 2. Escribe la ecuación de la línea de regresión para predecir la altura de la esposa a partir de la altura del marido.
• 3. Interpreta la pendiente y la intersección en el contexto de la aplicación.
• 4. Dado que R ² = 0.09, ¿cuál es la correlación de las alturas en este conjunto de datos?
• 5. Conoces a un hombre casado de Gran Bretaña que mide 5’9” (69 pulgadas). ¿Cuál predecirías que sería la altura de su esposa? ¿Qué tan confiable es esta predicción?
• 6. Conoces a otro hombre casado de Gran Bretaña que mide 6’7” (79 pulgadas). ¿Sería prudente utilizar el mismo modelo lineal para predecir la altura de su esposa? ¿Por qué o por qué no?

8.34 Propietarios de viviendas urbanas, Parte II. El ejercicio 8.29 proporciona un diagrama de dispersión que muestra la relación entre el porcentaje de familias que son propietarias de su vivienda y el porcentaje de la población que vive en áreas urbanas. A continuación, se muestra un diagrama de dispersión similar, excluyendo el Distrito de Columbia, así como el diagrama de residuos. Hubo 51 casos.

• 1. Para estos datos, R ² = 0.28. ¿Cuál es la correlación? ¿Cómo puedes saber si es positiva o negativa?
• 2. Examina el diagrama de residuos. ¿Qué observas? ¿Es apropiado un ajuste simple de mínimos cuadrados para estos datos?

8.4. INFERENCIA PARA REGRESIÓN LINEAL 337

8.35 Asesinatos y pobreza, Parte II. El Ejercicio 8.25 presenta resultados de regresión de un modelo para predecir asesinatos anuales por millón a partir del porcentaje de personas que viven en la pobreza, basado en una muestra aleatoria de 20 áreas metropolitanas. Los resultados del modelo también se proporcionan a continuación.

	Estimado	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	-29.901	7.789	-3.839	0.001
pobreza%	2.559	0.390	6.562	0.000
s = 5.512	R	2 = 70.52%	2 R adj = 68.89%

• 1. ¿Cuáles son las hipótesis para evaluar si el porcentaje de pobreza es un predictor significativo de la tasa de asesinatos?
• 2. Indique la conclusión de la prueba de hipótesis de la parte (a) en el contexto de los datos.
• 3. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la pendiente del porcentaje de pobreza e interprételo en el contexto de los datos.
• 4. ¿Concuerdan sus resultados de la prueba de hipótesis y el intervalo de confianza? Explique.

8.36 Bebés. ¿Es útil la edad gestacional (tiempo entre la concepción y el nacimiento) de un bebé con bajo peso al nacer para predecir la circunferencia de la cabeza al nacer? Se estudiaron veinticinco bebés con bajo peso al nacer en un hospital universitario de Harvard; los investigadores calcularon la regresión de la circunferencia de la cabeza (medida en centímetros) con respecto a la edad gestacional (medida en semanas). La línea de regresión estimada es

circunferencia de la cabeza ^d = 3.91 + 0.^{78 ×} edad gestacional

• 1. ¿Cuál es la circunferencia de la cabeza predicha para un bebé cuya edad gestacional es de 28 semanas?
• 2. El error estándar para el coeficiente de la edad gestacional es de 0.35, que está asociado con gl = 23. ¿Proporciona el modelo evidencia sólida de que la edad gestacional está significativamente asociada con la circunferencia de la cabeza?

Ejercicios del Capítulo

8.37 Verdadero / Falso. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falso, explique por qué.

• 1. Un coeficiente de correlación de -0.90 indica una relación lineal más fuerte que una correlación de 0.5.
• 2. La correlación es una medida de la asociación entre dos variables cualesquiera.

8.38 Árboles. Los diagramas de dispersión a continuación muestran la relación entre la altura, el diámetro y el volumen de madera en 31 árboles de cerezo negro talados. El diámetro del árbol se mide a 4.5 pies sobre el suelo.20

• 1. Describe la relación entre el volumen y la altura de estos árboles.
• 2. Describe la relación entre el volumen y el diámetro de estos árboles.
• 3. Suponga que tiene mediciones de altura y diámetro para otro árbol de cerezo negro. ¿Cuál de estas variables sería preferible usar para predecir el volumen de madera en este árbol utilizando un modelo de regresión lineal simple? Explica tu razonamiento.

8.39 Maridos y esposas, Parte III. El ejercicio 8.33 presenta un diagrama de dispersión que muestra la relación entre las edades de los maridos y las esposas en una muestra aleatoria de 170 parejas casadas en Gran Bretaña, donde las edades de ambos cónyuges son inferiores a 65 años. A continuación, se muestra el resultado resumido del ajuste de mínimos cuadrados para predecir la edad de la esposa a partir de la edad del marido.

Edad del marido (en años)

• 1. Podríamos preguntarnos, ¿es la diferencia de edad entre maridos y esposas consistente en todas las edades? Si este fuera el caso, entonces el parámetro de pendiente sería β¹ = 1. Use la información anterior para evaluar si existe evidencia sólida de que la diferencia en las edades de marido y mujer difiere para diferentes edades.
• 2. Escribe la ecuación de la línea de regresión para predecir la edad de la esposa a partir de la edad del marido.
• 3. Interpreta la pendiente y la intersección en contexto.
• 4. Dado que R² = 0.88, ¿cuál es la correlación de las edades en este conjunto de datos?
• 5. Conoces a un hombre casado de Gran Bretaña que tiene 55 años. ¿Cuál sería tu predicción de la edad de su esposa? ¿Qué tan confiable es esta predicción?
• 6. Conoces a otro hombre casado de Gran Bretaña que tiene 85 años. ¿Sería prudente utilizar el mismo modelo lineal para predecir la edad de su esposa? Explica.

²⁰Fuente: Conjunto de datos R, stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/datasets/html/trees.html.

8.4. INFERENCIA PARA LA REGRESIÓN LINEAL 339

8.40 Gatos, Parte II. El Ejercicio 8.26 presenta la salida de una regresión de un modelo para predecir el peso del corazón (en g) de gatos a partir de su peso corporal (en kg). Los coeficientes se estiman utilizando un conjunto de datos de 144 gatos domésticos. La salida del modelo también se proporciona a continuación.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	-0.357	0.692	-0.515	0.607
peso corp.	4.034	0.250	16.119	0.000
s = 1.452	R	2 = 64.66%	2 R adj = 64.41%

• 1. Vemos que la estimación puntual para la pendiente es positiva. ¿Cuáles son las hipótesis para evaluar si el peso corporal está asociado positivamente con el peso del corazón en los gatos?
• 2. Indique la conclusión de la prueba de hipótesis de la parte (a) en el contexto de los datos.
• 3. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la pendiente del peso corporal e interprételo en el contexto de los datos.
• 4. ¿Están de acuerdo sus resultados de la prueba de hipótesis y el intervalo de confianza? Explique.

8.41 Nutrición en Starbucks, Parte II. El Ejercicio 8.22 introdujo un conjunto de datos sobre información nutricional de los elementos del menú de comida de Starbucks. Basándose en el diagrama de dispersión y el diagrama de residuos proporcionados, describa la relación entre el contenido de proteínas y las calorías de estos elementos del menú, y determine si un modelo lineal simple es apropiado para predecir la cantidad de proteína a partir del número de calorías.

8.42 Cascos y almuerzos. El diagrama de dispersión muestra la relación entre el estatus socioeconómico medido como el porcentaje de niños en un vecindario que reciben almuerzos a precio reducido en la escuela (almuerzo) y el porcentaje de ciclistas en el vecindario que usan cascos (casco). El porcentaje promedio de niños que reciben almuerzos a precio reducido es del 30.8% con una desviación estándar del 26.7% y el porcentaje promedio de ciclistas que usan cascos es del 38.8% con una desviación estándar del 16.9%. 2

• 1. Si la R para la línea de regresión de mínimos cuadrados para estos datos es del 72%, ¿cuál es la correlación entre almuerzo y casco?
• 2. Calcule la pendiente y la intersección para la línea de regresión de mínimos cuadrados para estos datos.
• 3. Interprete la intersección de la línea de regresión de mínimos cuadrados en el contexto de la aplicación.
• 4. Interprete la pendiente de la línea de regresión de mínimos cuadrados en el contexto de la aplicación.
• 5. ¿Cuál sería el valor del residuo para un vecindario donde el 40% de los niños reciben almuerzos a precio reducido y el 40% de los ciclistas usan cascos? Interprete el significado de este residuo en el contexto de la aplicación. ●

8.43 Empareje la correlación, Parte III. Empareje cada correlación con el diagrama de dispersión correspondiente.

8.44 Califique a mi profesor. Muchos cursos universitarios concluyen brindando a los estudiantes la oportunidad de evaluar el curso y al instructor de forma anónima. Sin embargo, el uso de estas evaluaciones de los estudiantes como un indicador de la calidad del curso y la eficacia de la enseñanza a menudo se critica porque estas medidas pueden reflejar la influencia de características no relacionadas con la enseñanza, como la apariencia física del instructor. Investigadores de la Universidad de Texas, Austin, recopilaron datos sobre el puntaje de evaluación de la enseñanza (un puntaje más alto significa mejor) y el puntaje de belleza estandarizado (un puntaje de 0 significa promedio, un puntaje negativo significa por debajo del promedio y un puntaje positivo significa por encima del promedio) para una muestra de 463 profesores.21 El diagrama de dispersión a continuación muestra la relación entre estas variables, y se proporciona la salida de regresión para predecir el puntaje de evaluación de la enseñanza a partir del puntaje de belleza.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	4.010	0.0255	157.21	0.0000
belleza	Celda 1	0.0322	4.13	0.0000

• 1. Dado que el puntaje de belleza estandarizado promedio es -0.0883 y el puntaje de evaluación de la enseñanza promedio es 3.9983, calcule la pendiente. Alternativamente, la pendiente se puede calcular utilizando solo la información proporcionada en la tabla de resumen del modelo.
• 2. ¿Estos datos proporcionan evidencia convincente de que la pendiente de la relación entre la evaluación de la enseñanza y la belleza es positiva? Explique su razonamiento.
• 3. Enumere las condiciones necesarias para la regresión lineal y verifique si cada una se satisface para este modelo basándose en los siguientes diagramas de diagnóstico.

²¹Daniel S Hamermesh and Amy Parker. “Beauty in the classroom: Instructors’ pulchritude and putative pedagogical productivity”. In: Economics of Education Review 24.4 (2005), pp. 369–376.

Capítulo 9

341

Regresión múltiple y logística

• 9.1 Introducción a la regresión múltiple
• 9.2 Selección de modelos
• 9.3 Verificación de las condiciones del modelo usando gráficos
• 9.4 Estudio de caso de regresión múltiple: Mario Kart
• 9.5 Introducción a la regresión logística

Los principios de la regresión lineal simple sientan las bases para modelos de regresión más sofisticados utilizados en una amplia gama de entornos desafiantes. En el Capítulo 9, exploramos la regresión múltiple, que introduce la posibilidad de más de un predictor en un modelo lineal, y la regresión logística, una técnica para predecir resultados categóricos con dos niveles.

Para videos, diapositivas y otros recursos, visite www.openintro.org/os

9.1 Introducción a la regresión múltiple

La regresión múltiple extiende la regresión simple de dos variables al caso que todavía tiene una respuesta pero muchos predictores (denotados x1, x2, x3, …). El método está motivado por escenarios donde muchas variables pueden estar conectadas simultáneamente a una salida.

Consideraremos datos sobre préstamos del prestamista entre pares, Lending Club, que es un conjunto de datos que encontramos por primera vez en los Capítulos 1 y 2. Los datos del préstamo incluyen los términos del préstamo, así como información sobre el prestatario. La variable de resultado que nos gustaría comprender mejor es la tasa de interés asignada al préstamo. Por ejemplo, manteniendo constantes todas las demás características, ¿importa cuánta deuda ya tiene alguien? ¿Importa si sus ingresos han sido verificados? La regresión múltiple nos ayudará a responder estas y otras preguntas.

El conjunto de datos loans incluye resultados de 10,000 préstamos, y analizaremos un subconjunto de las variables disponibles, algunas de las cuales serán nuevas con respecto a las que vimos en capítulos anteriores. Las primeras seis observaciones en el conjunto de datos se muestran en la Figura 9.1, y las descripciones de cada variable se muestran en la Figura 9.2. Observe que la variable de bancarrota pasada (bankruptcy) es una variable indicadora, donde toma el valor 1 si el prestatario tuvo una bancarrota pasada en su registro y 0 si no. El uso de una variable indicadora en lugar de un nombre de categoría permite que estas variables se utilicen directamente en la regresión. Dos de las otras variables son categóricas (income ver e issued), cada una de las cuales puede tomar uno de algunos valores no numéricos diferentes; discutiremos cómo se manejan estos en el modelo en la Sección 9.1.1.

	tasa de interés	income ver	deuda a ingresos	credit util	bancarrota	plazo	emitido	verificaciones de crédito
1	14.07	verificado	18.01	0.55	0	60	Mar2018	6
2	12.61	no	5.04	0.15	1	36	Feb2018	1
3	17.09	solo fuente	21.15	0.66	0	36	Feb2018	4
4	6.72	no	10.16	0.20	0	36	Ene2018	0
5	14.07	verificado	57.96	0.75	0	36	Mar2018	7
6	6.72	no	6.46	0.09	0	36	Ene2018	6

Figura 9.1: Primeras seis filas del conjunto de datos loans.

variable	descripción
tasa de interés	Tasa de interés para el préstamo.
income ver	Variable categórica que describe si la fuente y el monto de los ingresos del prestatario
	han sido verificados, con niveles verificado, solo fuente, y no.
deuda a ingresos	Relación deuda-ingresos, que es el porcentaje de la deuda total del prestatario dividido
	por sus ingresos totales.
credit util	De todo el crédito disponible para el prestatario, ¿qué fracción están utilizando? Por
	ejemplo, la utilización del crédito en una tarjeta de crédito sería el saldo de la tarjeta dividido
	por el límite de crédito de la tarjeta.
bancarrota	Una variable indicadora de si el prestatario tiene una bancarrota pasada en su
	registro. Esta variable toma un valor de 1 si la respuesta es “sí” y 0 si la respuesta
	es “no”.
plazo	La duración del préstamo, en meses.
emitido	El mes y el año en que se emitió el préstamo, que para estos préstamos siempre es durante
	el primer trimestre de 2018.
verificaciones de crédito	Número de verificaciones de crédito en los últimos 12 meses. Por ejemplo, al presentar una solicitud
	para una tarjeta de crédito, es común que la empresa que recibe la solicitud
	ejecute una verificación de crédito.

Figura 9.2: Variables y sus descripciones para el conjunto de datos loans.

9.1.1 Variables indicadoras y categóricas como predictores

Comencemos ajustando un modelo de regresión lineal para la tasa de interés con un solo predictor que indique si una persona tiene o no una bancarrota en su registro:

\[\dot{t}as \dot{a} = 12.33 + 0.74 \times bancarrota\]

Los resultados de este modelo se muestran en la Figura 9.3.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	12.3380	0.0533	231.49	<0.0001
bancarrota	0.7368	0.1529	4.82	<0.0001
				df = 9998

Figura 9.3: Resumen de un modelo lineal para predecir la tasa de interés en función de si el prestatario tiene una bancarrota en su registro.

EJEMPLO 9.1

Interprete el coeficiente para la variable de bancarrota pasada en el modelo. ¿Es este coeficiente significativamente diferente de 0?

La variable de bancarrota toma uno de dos valores: 1 cuando el prestatario tiene una bancarrota en su historial y 0 en caso contrario. Una pendiente de 0.74 significa que el modelo predice una tasa de interés 0.74% más alta para aquellos prestatarios con una bancarrota en su registro. (Consulte la Sección 8.2.8 para una revisión de la interpretación de las variables predictoras categóricas de dos niveles). Al examinar la salida de la regresión en la Figura 9.3, podemos ver que el valor p para la bancarrota es muy cercano a cero, lo que indica que hay evidencia sólida de que el coeficiente es diferente de cero al usar este modelo simple de un predictor.

Supongamos que hubiéramos ajustado un modelo usando una variable categórica de 3 niveles, como income ver. La salida del software se muestra en la Figura 9.4. Esta salida de regresión proporciona múltiples filas para la variable income ver. Cada fila representa la diferencia relativa para cada nivel de income ver. Sin embargo, nos falta uno de los niveles: no (para no verificado). El nivel faltante se llama el nivel de referencia, y representa el nivel predeterminado con el que se miden otros niveles.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	11.0995	0.0809	137.18	<0.0001
income ver: solo fuente	1.4160	0.1107	12.79	<0.0001
income ver: verificado	3.2543	0.1297	25.09	<0.0001
				df = 9998

Figura 9.4: Resumen de un modelo lineal para predecir la tasa de interés en función de si se ha verificado la fuente y el monto de los ingresos del prestatario. Este predictor tiene tres niveles, lo que da como resultado 2 filas en la salida de la regresión.

EJEMPLO 9.2

¿Cómo escribiríamos una ecuación para este modelo de regresión?

La ecuación para el modelo de regresión se puede escribir como un modelo con dos predictores:

tasa ^d = 11.10 + 1.^{42 ×} income versolo fuente + 3.^{25 ×} income ververificado

Usamos la notación variable nivel para representar variables indicadoras para cuando la variable categórica toma un valor particular. Por ejemplo, income versolo fuente tomaría un valor de 1 si income ver era solo fuente para un préstamo, y tomaría un valor de 0 en caso contrario. Del mismo modo, income ververificado tomaría un valor de 1 si income ver tomara un valor de verificado y 0 si tomara cualquier otro valor.

9.1. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN MÚLTIPLE 345

La notación utilizada en el Ejemplo 9.2 puede parecer un poco confusa. Averigüemos cómo usar la ecuación para cada nivel de la variable income ver.

EJEMPLO 9.3

Usando el modelo del Ejemplo 9.2, calcula la tasa de interés promedio para los prestatarios cuya fuente y monto de ingresos no están verificados.

Cuando la verificación de ingresos toma un valor de not, entonces ambas funciones indicadoras en la ecuación del Ejemplo 9.2 se establecen en cero:

tasa ^d = 11.10 + 1.^{42 ×} 0 + 3.^{25 × 0} = 11.10

La tasa de interés promedio para estos prestatarios es del 11.1%. Debido a que el nivel not no tiene su propio coeficiente y es el valor de referencia, los indicadores para los otros niveles de esta variable desaparecen.

EJEMPLO 9.4

Usando el modelo del Ejemplo 9.2, calcula la tasa de interés promedio para los prestatarios cuya fuente de ingresos está verificada, pero el monto no.

Cuando la verificación de ingresos toma un valor de source only, entonces la variable correspondiente toma un valor de 1 mientras que la otra (income ververified) es 0:

\[\begin{split} \dot{tasa} &= 11.10 + 1.42 \times 1 + 3.25 \times 0 \\ &= 12.52 \end{split}\]

La tasa de interés promedio para estos prestatarios es del 12.52%.

PRÁCTICA GUIADA 9.5

Calcula la tasa de interés promedio para los prestatarios cuya fuente y monto de ingresos están verificados.1

PREDICTORES CON VARIAS CATEGORÍAS

Al ajustar un modelo de regresión con una variable categórica que tiene k niveles donde k > 2, el software proporcionará un coeficiente para k − 1 de esos niveles. Para el último nivel que no recibe un coeficiente, este es el nivel de referencia, y los coeficientes enumerados para los otros niveles se consideran todos en relación con este nivel de referencia.

\[ \bar{r}a\bar{t}\bar{e} = 11.10 + 1.42 \times 0 + 3.25 \times 1 \]

\[=14.35\]

La tasa de interés promedio para estos prestatarios es del 14.35%.

¹Cuando income ver toma un valor de verified, entonces la variable correspondiente toma un valor de 1 mientras que la otra (income versource only) es 0:

Interprete los coeficientes en el modelo income ver.2

La tasa de interés más alta para los prestatarios que han verificado su fuente o cantidad de ingresos es sorprendente. Intuitivamente, pensaríamos que un préstamo parecería menos riesgoso si se hubiera verificado el ingreso del prestatario. Sin embargo, tenga en cuenta que la situación puede ser más compleja y puede haber variables de confusión que no tuvimos en cuenta. Por ejemplo, quizás el prestamista requiera que los prestatarios con mal crédito verifiquen sus ingresos. Es decir, verificar los ingresos en nuestro conjunto de datos podría ser una señal de algunas preocupaciones sobre el prestatario en lugar de una garantía de que el prestatario pagará el préstamo. Por esta razón, el prestatario podría considerarse de mayor riesgo, lo que resultaría en una tasa de interés más alta. (¿Qué otras variables de confusión podrían explicar esta relación contra-intuitiva sugerida por el modelo?)

PRÁCTICA GUIADA 9.7

¿Cuánto mayor sería la tasa de interés que esperaríamos para un prestatario que ha verificado su fuente y cantidad de ingresos en comparación con un prestatario cuya fuente de ingresos solo ha sido verificada?3

9.1.2 Incluir y evaluar muchas variables en un modelo

El mundo es complejo y puede ser útil considerar muchos factores a la vez en el modelado estadístico. Por ejemplo, nos gustaría usar el contexto completo del prestatario para predecir la tasa de interés que recibe, en lugar de usar una sola variable. Esta es la estrategia utilizada en la regresión múltiple. Si bien seguimos siendo cautelosos acerca de hacer cualquier interpretación causal usando la regresión múltiple en datos observacionales, tales modelos son un primer paso común para obtener información o proporcionar alguna evidencia de una conexión causal.

Queremos construir un modelo que tenga en cuenta no solo cualquier bancarrota pasada o si el prestatario tuvo su fuente de ingresos o el monto verificado, sino que simultáneamente tenga en cuenta todas las variables en el conjunto de datos: verificación de ingresos, deuda a ingresos, utilización de crédito, bancarrota, plazo, emisión y verificaciones de crédito.

\[\begin{split} \mathbf{\tilde{rate}} &= \beta\_0 + \beta\_1 \times \mathbf{income\\_ver\_{\texttt{sourc.only}}} + \beta\_2 \times \mathbf{income\\_ver\_{\texttt{sourfied}}} + \beta\_3 \times \mathbf{debt\\_to\texttt{cincone}} \\ &+ \beta\_4 \times \mathbf{credit\\_util} + \beta\_5 \times \mathbf{bankruptcy} + \beta\_6 \times \mathbf{term} \\ &+ \beta\_7 \times \mathbf{issued}\_{\texttt{Jan2018}} + \beta\_8 \times \mathbf{issued}\_{\texttt{Mar2018}} + \beta\_9 \times \mathbf{credit\\_checkcks} \end{split}\]

Esta ecuación representa un enfoque holístico para modelar todas las variables simultáneamente. Observe que hay dos coeficientes para la verificación de ingresos y también dos coeficientes para la emisión, ya que ambos son variables categóricas de 3 niveles.

Estimamos los parámetros β0, β1, β2, …, β⁹ de la misma manera que lo hicimos en el caso de un solo predictor. Seleccionamos b0, b1, b2, …, b⁹ que minimicen la suma de los residuos al cuadrado:

\[SSE = e\_1^2 + e\_2^2 + \dots + e\_{10000}^2 = \sum\_{i=1}^{10000} e\_i^2 = \sum\_{i=1}^{10000} \left( y\_i - \hat{y}\_i \right)^2 \tag{9.8}\]

donde yⁱ y ˆyⁱ representan las tasas de interés observadas y sus valores estimados según el modelo, respectivamente. Se calculan 10,000 residuos, uno para cada observación. Normalmente usamos una computadora para minimizar la suma de cuadrados y calcular estimaciones puntuales, como se muestra en la salida de muestra en la Figura 9.5. Usando esta salida, identificamos las estimaciones puntuales bⁱ de cada βⁱ , tal como lo hicimos en el caso de un solo predictor.

²Cada uno de los coeficientes da la tasa de interés incremental para el nivel correspondiente en relación con el nivel no, que es el nivel de referencia. Por ejemplo, para un prestatario cuya fuente de ingresos y el monto han sido verificados, el modelo predice que tendrá una tasa de interés 3.25% más alta que un prestatario que no ha tenido su fuente de ingresos o el monto verificado.

³En relación con la categoría no, la categoría verificada tiene una tasa de interés 3.25% más alta, mientras que la categoría solo fuente es solo 1.42% más alta. Por lo tanto, los prestatarios verificados tenderán a obtener una tasa de interés aproximadamente 3.25%−1.42% = 1.83% más alta que los prestatarios solo fuente.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercept)	1.9251	0.2102	9.16	<0.0001
verificación de ingresos: solo fuente	0.9750	0.0991	9.83	<0.0001
verificación de ingresos: verificado	2.5374	0.1172	21.65	<0.0001
deuda a ingresos	0.0211	0.0029	7.18	<0.0001
utilización de crédito	4.8959	0.1619	30.24	<0.0001
bancarrota	0.3864	0.1324	2.92	0.0035
plazo	0.1537	0.0039	38.96	<0.0001
emisión: Ene2018	0.0276	0.1081	0.26	0.7981
emisión: Mar2018	-0.0397	0.1065	-0.37	0.7093
verificaciones de crédito	0.2282	0.0182	12.51	<0.0001
				df = 9990

Figura 9.5: Salida para el modelo de regresión, donde la tasa de interés es el resultado y las variables enumeradas son los predictores.

MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

Un modelo de regresión múltiple es un modelo lineal con muchos predictores. En general, escribimos el modelo como

\[ \hat{y} = \beta\_0 + \beta\_1 x\_1 + \beta\_2 x\_2 + \dots + \beta\_k x\_k \]

cuando hay k predictores. Siempre estimamos los parámetros βⁱ utilizando software estadístico.

EJEMPLO 9.9

Escriba el modelo de regresión utilizando las estimaciones puntuales de la Figura 9.5. ¿Cuántos predictores hay en este modelo?

El modelo ajustado para la tasa de interés está dado por:

tasa ^d = 1.925 + 0.^{975 ×} ingresos versource only + 2.^{537 ×} ingresos ververified + 0.^{021 ×} deuda a ingresos + 4.896 × credit util + 0.386 × bancarrota + 0.154 × plazo + 0.028 × emitidoEne2018 − 0.040 × emitidoMar2018 + 0.228 × verificaciones de crédito

Si contamos el número de coeficientes de predictores, obtenemos el número efectivo de predictores en el modelo: k = 9. Observe que el predictor categórico emitido cuenta como dos, una vez para los dos niveles que se muestran en el modelo. En general, un predictor categórico con p niveles diferentes estará representado por p − 1 términos en un modelo de regresión múltiple.

PRÁCTICA GUIADA 9.10

¿Qué representa β4, el coeficiente de la variable credit util? ¿Cuál es la estimación puntual de β4? 4

⁴β⁴ representa el cambio en la tasa de interés que esperaríamos si la utilización del crédito de alguien fuera de 0 y pasara a 1, manteniendo todos los demás factores iguales. La estimación puntual es b⁴ = 4.90%.

EJEMPLO 9.11

Calcule el residuo de la primera observación en la Figura 9.1 en la página 343 utilizando la ecuación identificada en la Práctica Guiada 9.9.

Para calcular el residuo, primero necesitamos el valor predicho, que calculamos insertando valores en la ecuación del Ejemplo 9.9. Por ejemplo, fuente de ingresos solo toma un valor de 0, ingreso verificado toma un valor de 1 (ya que la fuente y el monto de los ingresos del prestatario se verificaron), la relación deuda-ingresos fue de 18.01, y así sucesivamente. Esto lleva a una predicción de la tasa ^d1 = 18.09. La tasa de interés observada fue del 14.07%, lo que lleva a un residuo de e¹ = 14.07 − 18.09 = −4.02.

EJEMPLO 9.12

Estimamos un coeficiente para la bancarrota en la Sección 9.1.1 de b⁴ = 0.74 con un error estándar de SEb¹ = 0.15 cuando se utiliza una regresión lineal simple. ¿Por qué hay una diferencia entre esa estimación y el coeficiente estimado de 0.39 en el contexto de la regresión múltiple?

Si examináramos los datos cuidadosamente, veríamos que algunos predictores están correlacionados. Por ejemplo, cuando estimamos la conexión de la tasa de interés del resultado y el predictor de bancarrota utilizando la regresión lineal simple, no pudimos controlar otras variables como si los ingresos del prestatario fueron verificados, la relación deuda-ingresos del prestatario y otras variables. Ese modelo original se construyó en un vacío y no consideró el contexto completo. Cuando incluimos todas las variables, el sesgo subyacente e involuntario que se pasó por alto con estas otras variables se reduce o elimina. Por supuesto, aún puede existir sesgo de otras variables de confusión.

El Ejemplo 9.12 describe un problema común en la regresión múltiple: la correlación entre las variables predictoras. Decimos que las dos variables predictoras son colineales (pronunciado co-lineal) cuando están correlacionadas, y esta colinealidad complica la estimación del modelo. Si bien es imposible evitar que surja la colinealidad en los datos observacionales, los experimentos generalmente están diseñados para evitar que los predictores sean colineales.

PRÁCTICA GUIADA 9.13

El valor estimado de la intersección es 1.925, y uno podría estar tentado a hacer alguna interpretación de este coeficiente, como, es el precio predicho del modelo cuando cada una de las variables toma el valor cero: la fuente de ingresos no se verifica, el prestatario no tiene deudas (la relación deuda-ingresos y la utilización del crédito son cero), y así sucesivamente. ¿Es esto razonable? ¿Se obtiene algún valor al hacer esta interpretación?5

⁵Muchas de las variables sí toman un valor de 0 para al menos un punto de datos, y para esas variables, es razonable. Sin embargo, una variable nunca toma un valor de cero: plazo, que describe la duración del préstamo, en meses. Si el plazo se establece en cero, entonces el préstamo debe ser pagado inmediatamente; el prestatario debe devolver el dinero tan pronto como lo recibe, lo que significa que no es un préstamo real. En última instancia, la interpretación de la intersección en este entorno no es perspicaz.

9.1.3 R² Ajustado como una mejor herramienta para la regresión múltiple

Primero usamos R² en la Sección 8.2 para determinar la cantidad de variabilidad en la respuesta que fue explicada por el modelo:

\[R^2 = 1 - \frac{\text{variabilidad en los residuos}}{\text{variabilidad en el resultado}} = 1 - \frac{Var(e\_i)}{Var(y\_i)}\]

donde eⁱ representa los residuos del modelo e yⁱ los resultados. Esta ecuación sigue siendo válida en el marco de regresión múltiple, pero una pequeña mejora puede hacerla aún más informativa al comparar modelos.

PRÁCTICA GUIADA 9.14

La varianza de los residuos para el modelo dado en la Práctica Guiada 9.9 es 18.53, y la varianza del precio total en todas las subastas es 25.01. Calcule R² para este modelo.6

Esta estrategia para estimar R² es aceptable cuando solo hay una sola variable. Sin embargo, se vuelve menos útil cuando hay muchas variables. El R² regular es una estimación sesgada de la cantidad de variabilidad explicada por el modelo cuando se aplica a una nueva muestra de datos. Para obtener una mejor estimación, utilizamos el R² ajustado.

R² AJUSTADO COMO UNA HERRAMIENTA PARA LA EVALUACIÓN DEL MODELO

El R² ajustado se calcula como

\[R\_{adj}^2 = 1 - \frac{s\_{\text{residuos}}^2/(n-k-1)}{s\_{\text{resultado}}^2/(n-1)} = 1 - \frac{s\_{\text{residuos}}^2}{s\_{\text{resultado}}^2} \times \frac{n-1}{n-k-1}\]

donde n es el número de casos utilizados para ajustar el modelo y k es el número de variables predictoras en el modelo. Recuerde que un predictor categórico con p niveles contribuirá con p − 1 al número de variables en el modelo.

Debido a que k nunca es negativo, el R² ajustado será más pequeño, a menudo solo un poco más pequeño, que el R² no ajustado. El razonamiento detrás del R² ajustado radica en los grados de libertad asociados con cada varianza, que es igual a n − k − 1 para el contexto de regresión múltiple. Si hiciéramos predicciones para nuevos datos utilizando nuestro modelo actual, encontraríamos que el R² no ajustado tendería a ser ligeramente demasiado optimista, mientras que la fórmula del R² ajustado ayuda a corregir este sesgo.

PRÁCTICA GUIADA 9.15

Hubo n = 10000 subastas en el conjunto de datos de préstamos y k = 9 variables predictoras en el modelo. Use n, k y las varianzas de la Práctica Guiada 9.14 para calcular R² adj para el modelo de tasa de interés.7

PRÁCTICA GUIADA 9.16

Supón que añades otro predictor al modelo, pero la varianza de los errores V ar(ei) no disminuye. ¿Qué le pasaría a la R² ? ¿Qué le pasaría a la R² ajustada? 8

La R² ajustada podría haberse usado en el Capítulo 8. Sin embargo, cuando solo hay k = 1 predictores, la R² ajustada es muy similar a la R² regular, por lo que este matiz no suele ser importante cuando el modelo solo tiene un predictor.

⁶R² = 1 − ¹⁸.^{53 25}.⁰¹ = 0.2591.

⁷R² adj = 1 ^{− 18}.^{53 25}.⁰¹ × 10000−1 ¹⁰⁰⁰−9−¹ = 0.2584. Si bien la diferencia es muy pequeña, será importante cuando ajustemos el modelo en la siguiente sección.

⁸La R² sin ajustar se mantendría igual y la R² ajustada disminuiría.

Ejercicios

9.1 Peso de bebés, Parte I. Los Estudios de Salud y Desarrollo Infantil investigan una variedad de temas. Un estudio consideró todos los embarazos entre 1960 y 1967 entre mujeres en el Plan de Salud de la Fundación Kaiser en el área de San Francisco East Bay. Aquí, estudiamos la relación entre fumar y el peso del bebé. La variable fumar se codifica como 1 si la madre es fumadora y 0 si no lo es. La tabla de resumen a continuación muestra los resultados de un modelo de regresión lineal para predecir el peso promedio al nacer de los bebés, medido en onzas, según el estado de tabaquismo de la madre.9

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intersección)	123.05	0.65	189.60	0.0000
fumar	-8.94	1.03	-8.65	0.0000

La variabilidad entre fumadores y no fumadores es aproximadamente igual y las distribuciones son simétricas. Con estas condiciones satisfechas, es razonable aplicar el modelo. (Tenga en cuenta que no necesitamos verificar la linealidad ya que el predictor tiene solo dos niveles).

• 1. Escriba la ecuación del modelo de regresión.
• 2. Interprete la pendiente en este contexto y calcule el peso al nacer predicho de los bebés nacidos de madres fumadoras y no fumadoras.
• 3. ¿Existe una relación estadísticamente significativa entre el peso promedio al nacer y el tabaquismo?

9.2 Peso de bebés, Parte II. El Ejercicio 9.1 presenta un conjunto de datos sobre el peso al nacer de los bebés. Otra variable que consideramos es la paridad, que es 1 si el niño es el primer nacido y 0 en caso contrario. La tabla de resumen a continuación muestra los resultados de un modelo de regresión lineal para predecir el peso promedio al nacer de los bebés, medido en onzas, a partir de la paridad.

	Estimación	Error Estándar	valor t	Pr(> t )
(Intersección)	120.07	0.60	199.94	0.0000
paridad	-1.93	1.19	-1.62	0.1052

1. Escriba la ecuación del modelo de regresión.

• 2. Interprete la pendiente en este contexto y calcule el peso al nacer predicho de los primogénitos y los demás.
• 3. ¿Existe una relación estadísticamente significativa entre el peso promedio al nacer y la paridad?

⁹Estudios de Salud y Desarrollo Infantil, Conjunto de datos de peso de bebés.

9.1. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN MÚLTIPLE 351

9.3 Pesos de bebés, Parte III. Consideramos las variables fumar y paridad, una a la vez, al modelar los pesos al nacer de los bebés en los Ejercicios 9.1 y 9.2. Un enfoque más realista para modelar los pesos de los bebés es considerar todas las variables posiblemente relacionadas a la vez. Otras variables de interés incluyen la duración del embarazo en días (gestación), la edad de la madre en años (edad), la altura de la madre en pulgadas (altura) y el peso de la madre durante el embarazo en libras (peso). A continuación, se muestran tres observaciones de este conjunto de datos.

	bwt	gestation	parity	age	height	weight	smoke
1	120	284	0	27	62	100	0
2	113	282	0	33	64	135	0
1236	117	297	0	38	65	129	0

La tabla de resumen a continuación muestra los resultados de un modelo de regresión para predecir el peso promedio al nacer de los bebés basado en todas las variables incluidas en el conjunto de datos.

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(> t )
(Intercept)	-80.41	14.35	-5.60	0.0000
gestation	0.44	0.03	15.26	0.0000
parity	-3.33	1.13	-2.95	0.0033
age	-0.01	0.09	-0.10	0.9170
height	1.15	0.21	5.63	0.0000
weight	0.05	0.03	1.99	0.0471
smoke	-8.40	0.95	-8.81	0.0000

1. Escriba la ecuación del modelo de regresión que incluye todas las variables.

2. Interprete las pendientes de la gestación y la edad en este contexto.

3. El coeficiente de paridad es diferente al del modelo lineal que se muestra en el Ejercicio 9.2. ¿Por qué podría haber una diferencia?

4. Calcule el residuo para la primera observación en el conjunto de datos.

5. La varianza de los residuos es 249.28, y la varianza de los pesos al nacer de todos los bebés en el conjunto de datos es 332.57. Calcule el R 2 y el R 2 ajustado. Tenga en cuenta que hay 1236 observaciones en el conjunto de datos.

9.4 Absentismo, Parte I. Investigadores interesados en la relación entre el absentismo escolar y ciertas características demográficas de los niños recopilaron datos de 146 estudiantes muestreados aleatoriamente en la zona rural de Nueva Gales del Sur, Australia, en un año escolar en particular. A continuación, se muestran tres observaciones de este conjunto de datos.

	eth	sex	lrn	days
1	0	1	1	2
2	0	1	1	11
146	1	0	0	37

La tabla de resumen a continuación muestra los resultados de un modelo de regresión lineal para predecir el número promedio de días ausentes según el origen étnico (eth: 0 - aborigen, 1 - no aborigen), el sexo (sex: 0 - femenino, 1 - masculino) y el estado de aprendizaje (lrn: 0 - estudiante promedio, 1 - estudiante lento).10

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(> t )
(Intercept)	18.93	2.57	7.37	0.0000
eth	-9.11	2.60	-3.51	0.0000
sex	3.10	2.64	1.18	0.2411
lrn	2.15	2.65	0.81	0.4177

1. Escriba la ecuación del modelo de regresión.

• 2. Interprete cada una de las pendientes en este contexto.
• 3. Calcule el residuo para la primera observación en el conjunto de datos: un estudiante que es aborigen, varón, un estudiante lento y faltó 2 días a la escuela.
• 4. La varianza de los residuos es 240.57, y la varianza del número de días ausentes para todos los estudiantes en el conjunto de datos es 264.17. Calcule el R 2 y el R 2 ajustado. Tenga en cuenta que hay 146 observaciones en el conjunto de datos.

9.5 GPA. Una encuesta de 55 estudiantes de la Universidad de Duke preguntó sobre su GPA, la cantidad de horas que estudian por la noche, la cantidad de noches que salen y su género. A continuación, se muestra el resultado resumido del modelo de regresión. Tenga en cuenta que el sexo masculino está codificado como 1.

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(> t )
(Intercept)	3.45	0.35	9.85	0.00
studyweek	0.00	0.00	0.27	0.79
sleepnight	0.01	0.05	0.11	0.91
outnight	0.05	0.05	1.01	0.32
gender	-0.08	0.12	-0.68	0.50

• 1. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de género en el modelo e interprételo en el contexto de los datos.
• 2. ¿Esperaría que un intervalo de confianza del 95% para la pendiente de las variables restantes incluya 0? Explique

9.6 Cerezos. El rendimiento de la madera es aproximadamente igual al volumen de un árbol; sin embargo, este valor es difícil de medir sin cortar primero el árbol. En cambio, otras variables, como la altura y el diámetro, se pueden usar para predecir el volumen y el rendimiento de un árbol. Los investigadores que desean comprender la relación entre estas variables para los cerezos negros recopilaron datos de 31 de estos árboles en el Bosque Nacional Allegheny, Pensilvania. La altura se mide en pies, el diámetro en pulgadas (a 54 pulgadas sobre el suelo) y el volumen en pies cúbicos.11

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(> t )
(Intercept)	-57.99	8.64	-6.71	0.00
height	0.34	0.13	2.61	0.01
diameter	4.71	0.26	17.82	0.00

• 1. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de altura e interprételo en el contexto de los datos.
• 2. Un árbol en esta muestra tiene 79 pies de altura, un diámetro de 11.3 pulgadas y un volumen de 24.2 pies cúbicos. Determine si el modelo sobreestima o subestima el volumen de este árbol y en cuánto.

¹⁰W. N. Venables y B. D. Ripley. Estadística moderna aplicada con S. Cuarta edición. Los datos también se pueden encontrar en el paquete R MASS. Nueva York: Springer, 2002.

¹¹D.J. Hand. Un manual de conjuntos de datos pequeños. Chapman & Hall/CRC, 1994.

9.2 Selección del modelo

El mejor modelo no siempre es el más complicado. A veces, incluir variables que no son evidentemente importantes puede reducir la precisión de las predicciones. En esta sección, analizamos las estrategias de selección de modelos, que nos ayudarán a eliminar las variables del modelo que se consideran menos importantes. Es común (y está de moda, al menos en el mundo estadístico) referirse a los modelos que se han sometido a tal poda de variables como parsimoniosos.

En la práctica, el modelo que incluye todas las variables explicativas disponibles a menudo se conoce como el modelo completo. El modelo completo puede no ser el mejor modelo, y si no lo es, queremos identificar un modelo más pequeño que sea preferible.

9.2.1 Identificación de variables en el modelo que podrían no ser útiles

El R² ajustado describe la fuerza del ajuste de un modelo, y es una herramienta útil para evaluar qué predictores están agregando valor al modelo, donde agregar valor significa que están (probablemente) mejorando la precisión en la predicción de resultados futuros.

Consideremos dos modelos, que se muestran en las Tablas 9.6 y 9.7. La primera tabla resume el modelo completo ya que incluye todos los predictores, mientras que la segunda no incluye la variable de emisión (issued).

	Estimación	Error estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	1.9251	0.2102	9.16	<0.0001
ingreso ver: solo fuente	0.9750	0.0991	9.83	<0.0001
ingreso ver: verificado	2.5374	0.1172	21.65	<0.0001
deuda a ingreso	0.0211	0.0029	7.18	<0.0001
utilización del crédito	4.8959	0.1619	30.24	<0.0001
bancarrota	0.3864	0.1324	2.92	0.0035
plazo	0.1537	0.0039	38.96	<0.0001
emitido: Ene2018	0.0276	0.1081	0.26	0.7981
emitido: Mar2018	-0.0397	0.1065	-0.37	0.7093
comprobaciones de crédito	0.2282	0.0182	12.51	<0.0001
R2 adj = 0.25843				df = 9990

Figura 9.6: El ajuste para el modelo de regresión completo, incluyendo el R² ajustado.

	Estimación	Error estándar	valor t	Pr(> t )
(Intercepto)	1.9213	0.1982	9.69	<0.0001
ingreso ver: solo fuente	0.9740	0.0991	9.83	<0.0001
ingreso ver: verificado	2.5355	0.1172	21.64	<0.0001
deuda a ingreso	0.0211	0.0029	7.19	<0.0001
utilización del crédito	4.8958	0.1619	30.25	<0.0001
bancarrota	0.3869	0.1324	2.92	0.0035
plazo	0.1537	0.0039	38.97	<0.0001
comprobaciones de crédito	0.2283	0.0182	12.51	<0.0001
R2 adj = 0.25854				df = 9992

Figura 9.7: El ajuste para el modelo de regresión después de eliminar la variable de emisión (issued).

EJEMPLO 9.17

¿Cuál de los dos modelos es mejor?

Comparamos la R² ajustada de cada modelo para determinar cuál elegir. Dado que el primer modelo tiene una R² ajustada menor que la R² ajustada del segundo modelo, preferimos el segundo modelo al primero.

¿Será el modelo sin “issued” mejor que el modelo con “issued”? No podemos saberlo con seguridad, pero basándonos en la R² ajustada, esta es nuestra mejor evaluación.

9.2.2 Dos estrategias de selección de modelos

Dos estrategias comunes para añadir o eliminar variables en un modelo de regresión múltiple se denominan eliminación hacia atrás y selección hacia adelante. Estas técnicas se suelen denominar estrategias de selección de modelos por pasos, ya que añaden o eliminan una variable a la vez mientras “avanzan” por los predictores candidatos.

La eliminación hacia atrás comienza con el modelo que incluye todas las variables predictoras potenciales. Las variables se eliminan de una en una del modelo hasta que no podemos mejorar el R² ajustado. La estrategia dentro de cada paso de eliminación es eliminar la variable que conduce a la mayor mejora en el R² ajustado.

EJEMPLO 9.18

Los resultados correspondientes al modelo completo para los datos de préstamos se muestran en la Figura 9.6. ¿Cómo deberíamos proceder bajo la estrategia de eliminación hacia atrás?

Nuestro R² ajustado de referencia del modelo completo es R² adj = 0.25843, y necesitamos determinar si eliminar un predictor mejorará el R² ajustado. Para verificar, ajustamos modelos que eliminan cada uno un predictor diferente, y registramos el R² ajustado:

Excluir … ingreso ver deuda a ingreso uso de crédito bancarrota R² adj = 0.22380 R² adj = 0.25468 R² adj = 0.19063 R² adj = 0.25787 plazo emitido revisiones de crédito R² adj = 0.14581 R² adj = 0.25854 R² adj = 0.24689

El modelo sin emitido tiene el R² ajustado más alto de 0.25854, más alto que el R² ajustado para el modelo completo. Debido a que eliminar emitido conduce a un modelo con un R² ajustado más alto, eliminamos emitido del modelo.

Dado que eliminamos un predictor del modelo en el primer paso, vemos si debemos eliminar algún predictor adicional. Nuestro R² ajustado de referencia ahora es R² adj = 0.25854. Ahora ajustamos nuevos modelos, que consideran eliminar cada uno de los predictores restantes además de emitido:

Excluir emitido y	ingreso	ver	deuda a ingreso	uso de crédito
	R2	R2	R2	R2
	adj = 0.22395	adj = 0.25479	adj = 0.19074	adj = 0.25798
	bancarrota	plazo	revisiones de crédito
	R2	R2	R2
	adj = 0.14592	adj = 0.24701

Ninguno de estos modelos conduce a una mejora en el R² ajustado, por lo que no eliminamos ninguno de los predictores restantes. Es decir, después de la eliminación hacia atrás, nos quedamos con el modelo que mantiene todos los predictores excepto emitido, que podemos resumir utilizando los coeficientes de la Figura 9.7:

tasa ^d = 1.921 + 0.^{974 ×} ingreso versource only + 2.^{535 ×} ingreso ververified + 0.021 × deuda a ingreso + 4.896 × uso de crédito + 0.387 × bancarrota + 0.154 × plazo + 0.228 × revisiones de crédito

La estrategia de selección hacia adelante es la inversa de la técnica de eliminación hacia atrás. En lugar de eliminar variables una a la vez, agregamos variables una a la vez hasta que no podamos encontrar ninguna variable que mejore el modelo (medido por el R² ajustado).

9.2. SELECCIÓN DE MODELO 355

EJEMPLO 9.19

Construye un modelo para el conjunto de datos de préstamos utilizando la estrategia de selección hacia adelante.

Comenzamos con el modelo que no incluye variables. Luego, ajustamos cada uno de los modelos posibles con solo una variable. Es decir, ajustamos el modelo incluyendo solo la verificación de ingresos, luego el modelo incluyendo solo la relación deuda-ingresos, luego un modelo solo con la utilización del crédito, y así sucesivamente. Luego, examinamos el R² ajustado para cada uno de estos modelos:

Añadir … verificación de ingresos relación deuda-ingresos utilización del crédito bancarrota R² ajustado = 0.05926 R² ajustado = 0.01946 R² ajustado = 0.06452 R² ajustado = 0.00222 plazo emitido comprobaciones de crédito R² ajustado = 0.12855 R² ajustado = 0.00018 R² ajustado = 0.01711

En este primer paso, comparamos el R² ajustado con un modelo de referencia que no tiene predictores. El modelo sin predictores siempre tiene R² ajustado = 0. El modelo con un predictor que tiene el R² ajustado más grande es el modelo con el predictor de plazo, y debido a que este R² ajustado es mayor que el R² ajustado del modelo sin predictores (R² ajustado = 0), agregaremos esta variable a nuestro modelo.

Repetimos el proceso nuevamente, esta vez considerando modelos de 2 predictores donde uno de los predictores es el plazo y con una nueva línea de base de R² ajustado = 0.12855:

Añadir plazo y … verificación de ingresos relación deuda-ingresos utilización del crédito R² ajustado = 0.16851 R² ajustado = 0.14368 R² ajustado = 0.20046 bancarrota emitido comprobaciones de crédito R² ajustado = 0.13070 R² ajustado = 0.12840 R² ajustado = 0.14294

El mejor segundo predictor, la utilización del crédito, tiene un R² ajustado más alto (0.20046) que la línea de base (0.12855), por lo que también agregamos la utilización del crédito al modelo.

Dado que nuevamente hemos agregado una variable al modelo, continuamos y vemos si sería beneficioso agregar una tercera variable:

Añadir plazo, utilización del crédito y	verificación de ingresos R2 ajustado = 0.24183	relación deuda-ingresos R2 ajustado = 0.20810
	bancarrota	emitido	comprobaciones de crédito
	R2	R2	R2
	ajustado = 0.20169	ajustado = 0.20031	ajustado = 0.21629

El modelo que agrega la verificación de ingresos mejoró el R² ajustado (0.24183 a 0.20046), por lo que agregamos la verificación de ingresos al modelo.

Continuamos de esta manera, luego agregamos la relación deuda-ingresos, luego las comprobaciones de crédito y la bancarrota. En este punto, volvemos a la variable emitida: agregar esta variable conduce a R² ajustado = 0.25843, mientras que mantener todas las demás variables pero excluir la variable emitida conduce a un R² ajustado más alto = 0.25854. Esto significa que no agregamos la variable emitida. En este ejemplo, hemos llegado al mismo modelo que identificamos a partir de la eliminación hacia atrás.

ESTRATEGIAS DE SELECCIÓN DE MODELOS

La eliminación hacia atrás comienza con el modelo que tiene el mayor número de predictores y elimina variables una por una hasta que estemos satisfechos de que todas las variables restantes son importantes para el modelo. La selección hacia adelante comienza sin variables incluidas en el modelo, luego agrega variables según su importancia hasta que no se encuentren otras variables importantes.

La eliminación hacia atrás y la selección hacia adelante a veces llegan a diferentes modelos finales. Si se intentan ambas técnicas y esto sucede, es común elegir el modelo con el R² ajustado más grande.

9.2.3 El enfoque del valor p, una alternativa al R² ajustado

El valor p se puede utilizar como una alternativa al R² ajustado para la selección del modelo:

• Eliminación hacia atrás con el enfoque del valor p. En la eliminación hacia atrás, identificaríamos el predictor correspondiente al valor p más grande. Si el valor p está por encima del nivel de significancia, generalmente α = 0.05, entonces descartaríamos esa variable, reajustaríamos el modelo y repetiríamos el proceso. Si el valor p más grande es menor que α = 0.05, entonces no eliminaríamos ningún predictor y el modelo actual sería nuestro modelo de mejor ajuste.
• Selección hacia adelante con el enfoque del valor p. En la selección hacia adelante con valores p, invertimos el proceso. Comenzamos con un modelo que no tiene predictores, luego ajustamos un modelo para cada predictor posible, identificando el modelo donde el valor p del predictor correspondiente es el más pequeño. Si ese valor p es más pequeño que α = 0.05, lo agregamos al modelo y repetimos el proceso, considerando si agregar más variables una a la vez. Cuando ninguno de los predictores restantes se puede agregar al modelo y tiene un valor p menor que 0.05, entonces dejamos de agregar variables y el modelo actual sería nuestro modelo de mejor ajuste.

PRÁCTICA GUIADA 9.20

Examina la Figura 9.7 en la página 353, que considera el modelo que incluye todas las variables excepto la variable para el mes en que se emitió el préstamo. Si estuviéramos utilizando el enfoque del valor p con la eliminación hacia atrás y estuviéramos considerando este modelo, ¿cuál de estas variables estaría en camino de eliminación? ¿Descartaríamos esa variable o la mantendríamos en el modelo?12

Si bien los enfoques de R² ajustado y valor p son similares, a veces conducen a diferentes modelos, con el enfoque de R² ajustado tendiendo a incluir más predictores en el modelo final.

R² AJUSTADO VS ENFOQUE DEL VALOR P

Cuando el único objetivo es mejorar la precisión de la predicción, utilice R² ajustado. Este es comúnmente el caso en las aplicaciones de aprendizaje automático.

Cuando nos importa comprender qué variables son predictores estadísticamente significativos de la respuesta, o si existe interés en producir un modelo más simple al costo potencial de una pequeña precisión de predicción, entonces se prefiere el enfoque del valor p.

Independientemente de si utiliza R² ajustado o el enfoque del valor p, o si utiliza la estrategia de eliminación hacia atrás de la selección hacia adelante, nuestro trabajo no está terminado después de la selección de variables. Todavía debemos verificar que las condiciones del modelo sean razonables.

¹²El predictor de bancarrota está en camino de eliminación, ya que tiene el valor p más grande. Sin embargo, dado que ese valor p es menor que 0.05, aún lo mantendríamos en el modelo.

Ejercicios

9.7 Pesos de bebés, Parte IV. El ejercicio 9.3 considera un modelo que predice el peso de un recién nacido utilizando varios predictores (duración de la gestación, paridad, edad de la madre, altura de la madre, peso de la madre, condición de fumadora de la madre). La tabla siguiente muestra el R-cuadrado ajustado para el modelo completo, así como los valores de R-cuadrado ajustado para todos los modelos que evaluamos en el primer paso del proceso de eliminación hacia atrás.

	Modelo	2 R Ajustado
1	Modelo completo	0.2541
2	Sin gestación	0.1031
3	Sin paridad	0.2492
4	Sin edad	0.2547
5	Sin altura	0.2311
6	Sin peso	0.2536
7	Sin condición de fumadora	0.2072

¿Qué variable, si alguna, debería eliminarse primero del modelo?

9.8 Absentismo, Parte II. El ejercicio 9.4 considera un modelo que predice el número de días de ausencia utilizando tres predictores: origen étnico (eth), género (sexo) y estado de aprendizaje (lrn). La tabla siguiente muestra el R-cuadrado ajustado para el modelo, así como los valores de R-cuadrado ajustado para todos los modelos que evaluamos en el primer paso del proceso de eliminación hacia atrás.

	Modelo	2 R Ajustado
1	Modelo completo	0.0701
2	Sin etnia	-0.0033
3	Sin sexo	0.0676
4	Sin estado de aprendizaje	0.0723

¿Qué variable, si alguna, debería eliminarse primero del modelo?

9.9 Pesos de bebés, Parte V. El ejercicio 9.3 proporciona la salida de regresión para el modelo completo (incluidas todas las variables explicativas disponibles en el conjunto de datos) para predecir el peso al nacer de los bebés. En este ejercicio consideramos un algoritmo de selección hacia adelante y agregamos variables al modelo una a la vez. La tabla siguiente muestra el valor p y el R 2 ajustado de cada modelo donde incluimos solo el predictor correspondiente. Según esta tabla, ¿qué variable debería agregarse primero al modelo?

variable	gestación	paridad	edad	altura	peso	fumar
valor p	2.2 × 10−16	0.1052	0.2375	2.97 × 10−12	8.2 × 10−8	2.2 × 10−16
2 R adj	0.1657	0.0013	0.0003	0.0386	0.0229	0.0569

9.10 Absentismo, Parte III. El ejercicio 9.4 proporciona la salida de regresión para el modelo completo, incluidas todas las variables explicativas disponibles en el conjunto de datos, para predecir el número de días de ausencia de la escuela. En este ejercicio consideramos un algoritmo de selección hacia adelante y agregamos variables al modelo una a la vez. La tabla siguiente muestra el valor p y el R 2 ajustado de cada modelo donde incluimos solo el predictor correspondiente. Según esta tabla, ¿qué variable debería agregarse primero al modelo?

variable	etnia	sexo	estado de aprendizaje
valor p	0.0007	0.3142	0.5870
2 R adj	0.0714	0.0001	0

9.11 Amantes del cine, Parte I. Suponga que a una científica social le interesa estudiar qué hace que el público ame u odie una película. Recopila una muestra aleatoria de películas (género, duración, reparto, director, presupuesto, etc.), así como una medida del éxito de la película (puntuación en un sitio web agregador de reseñas de películas). Si como parte de su investigación está interesada en averiguar qué variables son predictores significativos del éxito de una película, ¿qué tipo de método de selección de modelo debería utilizar?

9.12 Amantes del cine, Parte II. Suponga que una empresa de transmisión de medios en línea está interesada en construir un sistema de recomendación de películas. El sitio web mantiene datos sobre las películas en su base de datos (género, duración, reparto, director, presupuesto, etc.) y, además, recopila datos de sus suscriptores (información demográfica, películas vistas anteriormente, cómo calificaron las películas vistas anteriormente, etc.). El sistema de recomendación se considerará exitoso si los suscriptores realmente ven y califican altamente las películas que se les recomiendan. ¿Debería la empresa utilizar el R 2 ajustado o el enfoque del valor p al seleccionar variables para su sistema de recomendación?

9.3 Verificación de las condiciones del modelo utilizando gráficos

Los métodos de regresión múltiple que utilizan el modelo

yˆ = β⁰ + β1x¹ + β2x² + · · · + βkx^k

generalmente dependen de las siguientes cuatro condiciones:

• 1. los residuos del modelo son casi normales (menos importante para conjuntos de datos más grandes),
• 2. la variabilidad de los residuos es casi constante,
• 3. los residuos son independientes y
• 4. cada variable está relacionada linealmente con el resultado.

9.3.1 Gráficos de diagnóstico

Los gráficos de diagnóstico se pueden utilizar para verificar cada una de estas condiciones. Consideraremos el modelo de los datos de préstamos de Lending Club y verificaremos si hay alguna preocupación notable:

tasa ^d = 1.921 + 0.^{974 ×} ingreso versource only + 2.^{535 ×} ingreso verificado + 0.021 × deuda a ingreso + 4.896 × utilización de crédito + 0.387 × bancarrota + 0.154 × plazo + 0.228 × verificación de crédito

Verificar si hay valores atípicos. En teoría, la distribución de los residuos debería ser casi normal; en la práctica, la normalidad se puede relajar para la mayoría de las aplicaciones. En cambio, examinamos un histograma de los residuos para verificar si hay valores atípicos: la Figura 9.8 es un histograma de estos valores atípicos. Dado que este es un conjunto de datos muy grande, solo las observaciones particularmente extremas serían una preocupación en este caso particular. No hay observaciones extremas que puedan causar preocupación.

Si tuviéramos la intención de construir lo que se denominan intervalos de predicción para futuras observaciones, seríamos más estrictos y requeriríamos que los residuos fueran casi normales. Los intervalos de predicción se analizan más a fondo en un extra en línea en el sitio web de OpenIntro:

www.openintro.org/d?id=stat extra linear regression supp

Figura 9.8: Un histograma de los residuos.

Valores absolutos de los residuos contra valores ajustados. Se muestra un gráfico del valor absoluto de los residuos contra sus valores ajustados correspondientes (ˆyi) en la Figura 9.9. Este gráfico es útil para verificar la condición de que la varianza de los residuos es aproximadamente constante, y se ha agregado una línea suavizada para representar la tendencia aproximada en este gráfico. Hay una variabilidad más evidente para los valores ajustados que son más grandes, lo que analizaremos más a fondo.

Figura 9.9: Comparar el valor absoluto de los residuos con los valores ajustados (ˆyi) es útil para identificar desviaciones del supuesto de varianza constante.

• Residuos en el orden de su recopilación de datos. Este tipo de gráfico puede ser útil cuando las observaciones se recopilaron en una secuencia. Un gráfico de este tipo es útil para identificar cualquier conexión entre casos que están cerca uno del otro. Los préstamos en este conjunto de datos se emitieron durante un período de 3 meses, y no se encontró que el mes en que se emitió el préstamo fuera importante, lo que sugiere que esto no es una preocupación para este conjunto de datos. En los casos en que un conjunto de datos muestra algún patrón para esta verificación, los métodos de series de tiempo pueden ser útiles.
• Residuos contra cada variable predictora. Consideramos un gráfico de los residuos contra cada uno de los predictores en la Figura 9.10. Para aquellos casos en los que solo hay 2-3 grupos, se muestran diagramas de caja. Para los resultados numéricos, se ha ajustado una línea suavizada a los datos para que sea más fácil de revisar. En última instancia, estamos buscando cualquier cambio notable en la variabilidad entre grupos o patrón en los datos.

Aquí están las cosas importantes de estos gráficos:

• Hay algunas diferencias menores en la variabilidad entre los grupos de ingresos verificados.
• Hay un patrón muy claro para la variable de deuda a ingresos. Lo que también destaca es que esta variable está muy fuertemente sesgada hacia la derecha: hay pocas observaciones con ratios de deuda a ingresos muy altos.
• La curva descendente en el lado derecho de los gráficos de utilización de crédito y verificación de crédito sugiere algún ajuste incorrecto menor para esos valores más grandes.

Después de revisar los gráficos de diagnóstico, hay dos opciones. La primera opción es, si no estamos preocupados por los problemas observados, usar esto como el modelo final; si se sigue esta ruta, es importante aún así notar cualquier anormalidad observada en los diagnósticos. La segunda opción es intentar mejorar el modelo, que es lo que intentaremos hacer con este ajuste de modelo en particular.

Figura 9.10: Gráficos de diagnóstico para residuos contra cada uno de los predictores. Para los diagramas de caja, estamos buscando diferencias notables en la variabilidad. Para los predictores numéricos, también verificamos si hay tendencias u otra estructura en los datos.

9.3.2 Opciones para mejorar el ajuste del modelo

Hay varias opciones para mejorar un modelo, incluyendo la transformación de variables, la búsqueda de variables adicionales para llenar los vacíos del modelo, o el uso de métodos más avanzados que tengan en cuenta los desafíos en torno a la variabilidad inconsistente o las relaciones no lineales entre los predictores y el resultado.

La principal preocupación para el modelo inicial es que existe una notable relación no lineal entre la variable de deuda a ingresos observada en la Figura 9.10. Para resolver este problema, vamos a considerar un par de estrategias para ajustar la relación entre la variable predictora y el resultado.

Comencemos por echar un vistazo a un histograma de la deuda a los ingresos en la Figura 9.11. La variable está extremadamente sesgada, y los valores superiores tendrán mucha influencia en el ajuste. A continuación, se presentan varias opciones:

• transformación logarítmica (log x),
• transformación de raíz cuadrada (^√ x),
• transformación inversa (1/x),
• truncamiento (limitar el valor máximo posible)

Si inspeccionamos los datos más de cerca, observaríamos algunas instancias donde la variable toma un valor de 0, y dado que log(0) y 1/x no están definidos cuando x = 0, excluiremos estas transformaciones de una mayor consideración.13 Una transformación de raíz cuadrada es válida para todos los valores que toma la variable, y truncar algunas de las observaciones más grandes también es un enfoque válido. Consideraremos ambos enfoques.

Figura 9.11: Histograma de la deuda a los ingresos, donde el sesgo extremo es evidente.

Para intentar transformar la variable, creamos dos nuevas variables que representan las versiones transformadas:

• Raíz cuadrada. Creamos una nueva variable, deuda de raíz cuadrada a ingresos, donde todos los valores son simplemente las raíces cuadradas de los valores en deuda a ingresos, y luego volvemos a ajustar el modelo como antes. El resultado se muestra en el panel izquierdo de la Figura 9.12. La raíz cuadrada atrajo un poco los valores más altos, pero el ajuste todavía no se ve muy bien ya que la línea suavizada todavía está ondulada.
• Truncar en 50. Creamos una nueva variable, deuda a ingresos 50, donde cualquier valor en deuda a ingresos que sea mayor que 50 se reduce a exactamente 50. Volviendo a ajustar el modelo una vez más, el gráfico de diagnóstico para esta nueva variable se muestra en el panel derecho de la Figura 9.12. Aquí el ajuste se ve mucho más razonable, por lo que este parece ser un enfoque razonable.

La desventaja de usar transformaciones es que reduce la facilidad de interpretación de los resultados. Afortunadamente, dado que la transformación de truncamiento solo afecta a un número relativamente pequeño de casos, la interpretación no se ve afectada drásticamente.

¹³Hay formas de hacer que funcionen, pero dejaremos esas opciones para un curso posterior.

Figura 9.12: Histograma de la deuda a los ingresos, donde el sesgo extremo es evidente.

Como siguiente paso, evaluaríamos el nuevo modelo utilizando la versión truncada de la deuda a los ingresos, completaríamos todos los mismos procedimientos que antes. Los otros dos problemas señalados al inspeccionar los diagnósticos en la Sección 9.3.1 todavía están presentes en el modelo actualizado. Si elegimos informar este modelo, también querríamos discutir estas deficiencias para ser transparentes en nuestro trabajo. Dependiendo de para qué se utilizará el modelo, podríamos intentar controlarlos o podríamos detenernos ya que esos problemas no son graves. Si la varianza no constante hubiera sido un poco más dramática, sería una prioridad más alta. En última instancia, decidimos que el modelo era razonable, e informamos su forma final aquí:

\[\begin{split} \text{(tasa)} &= \text{1.562} + \text{1.002} \times \text{ingreso\\_ver}\_{\text{fuente\\_única}} + 2.436 \times \text{ingreso\\_ver}\_{\text{verificado}} \\ &+ 0.048 \times \text{deuda\\_a\\_ingresos\\_50} + 4.694 \times \text{utilización\\_de\\_crédito} + 0.394 \times \text{bancarrota} \\ &+ 0.153 \times \text{plazo} + 0.223 \times \text{verificación\\_de\\_crédito} \end{split}\]

Un ojo avizor notaría que el coeficiente para la deuda a los ingresos 50 es más del doble de grande que lo que había sido el coeficiente para la variable de deuda a los ingresos en el modelo anterior. Esto sugiere que esos valores más grandes no solo fueron puntos con alta influencia, sino que fueron puntos influyentes que estaban impactando dramáticamente el coeficiente.

“TODOS LOS MODELOS ESTÁN EQUIVOCADOS, PERO ALGUNOS SON ÚTILES” -GEORGE E.P. BOX

La verdad es que ningún modelo es perfecto. Sin embargo, incluso los modelos imperfectos pueden ser útiles. Informar un modelo defectuoso puede ser razonable siempre y cuando seamos claros e informemos las deficiencias del modelo.

No informe los resultados cuando las condiciones se violen gravemente. Si bien hay un poco de margen de maniobra en las condiciones del modelo, no vaya demasiado lejos. Si las condiciones del modelo se violan muy claramente, considere un nuevo modelo, incluso si eso significa aprender más métodos estadísticos o contratar a alguien que pueda ayudar. Para ayudarlo a comenzar, hemos desarrollado un par de secciones adicionales que puede encontrar en el sitio web de OpenIntro. Estas secciones proporcionan una introducción ligera a lo que se denominan términos de interacción y al ajuste de curvas no lineales a los datos, respectivamente:

www.openintro.org/d?file=stat extra interaction effects

www.openintro.org/d?file=stat extra nonlinear relationships

Ejercicios

Residuos −60 −40 −20 0 20 40 60 0 50 100 150 200 250 300 Valores ajustados Residuos 80 120 160 −40 0 40 Orden de recolección Residuos 0 400 800 1200 −40 0 40 Duración de la gestación Residuos 150 200 250 300 350 −40 0 40 Paridad Residuos 0 1 −40 0 40 Altura de la madre Residuos 55 60 65 70 −40 0 40 Peso de la madre Residuos 100 150 200 250 −40 0 40 Fumar Residuos 0 1 −40 0 40

9.13 Pesos de bebés, Parte VI. El ejercicio 9.3 presenta un modelo de regresión para predecir el peso promedio al nacer de los bebés según la duración de la gestación, la paridad, la altura, el peso y el estado de tabaquismo de la madre. Determine si se cumplen los supuestos del modelo utilizando los siguientes gráficos. Si no es así, describa cómo proceder con el análisis.

9.14 Retornos de películas, Parte I. Un artículo de FiveThirtyEight.com informa que “Las películas de terror no atraen tanto en taquilla como las grandes superproducciones de verano o las películas de acción/aventura… pero hay un gran incentivo para que los estudios sigan impulsándolas. El potencial de retorno de la inversión para las películas de terror es absurdo”. Para investigar cómo se compara el retorno de la inversión entre géneros y cómo ha cambiado esta relación con el tiempo, un estudiante de estadística introductoria ajustó un modelo que predice la relación entre los ingresos brutos de las películas de género y el año de estreno para 1.070 películas estrenadas entre 2000 y 2018. Utilizando los gráficos que se muestran a continuación, determine si este modelo de regresión es apropiado para estos datos.14

¹⁴FiveThirtyEight, Las películas de miedo son la mejor inversión en Hollywood.

9.4 Estudio de caso de regresión múltiple: Mario Kart

Consideraremos las subastas de Ebay de un videojuego llamado Mario Kart para la Nintendo Wii. La variable de resultado de interés es el precio total de una subasta, que es la oferta más alta más el costo de envío. Intentaremos determinar cómo el precio total está relacionado con cada característica en una subasta, mientras que simultáneamente controlamos otras variables. Por ejemplo, manteniendo constantes todas las demás características, ¿están las subastas más largas asociadas con precios más altos o más bajos? Y, en promedio, ¿cuánto más tienden a pagar los compradores por ruedas de Wii adicionales (volantes de plástico que se adjuntan al controlador de Wii) en las subastas? La regresión múltiple nos ayudará a responder estas y otras preguntas.

9.4.1 Conjunto de datos y el modelo completo

El conjunto de datos de mariokart incluye resultados de 141 subastas. Cuatro observaciones de este conjunto de datos se muestran en la Figura 9.13, y las descripciones de cada variable se muestran en la Figura 9.14. Observe que las variables de condición y foto de archivo son variables indicadoras, similares a la quiebra en el conjunto de datos de préstamos.

	price	cond new	stock photo	duration	wheels
1	51.55	1	1	3	1
2	37.04	0	1	7	1
140	38.76	0	0	7	0
141	54.51	1	1	1	2

Figura 9.13: Cuatro observaciones del conjunto de datos de mariokart.

variable	description
price	Precio final de la subasta más los gastos de envío, en dólares estadounidenses.
cond new	Variable indicadora de si el juego es nuevo (1) o usado (0).
stock photo	Variable indicadora de si la foto principal de la subasta es una foto de archivo.
duration	La duración de la subasta, en días, tomando valores de 1 a 10.
wheels	El número de volantes de Wii incluidos en la subasta. Un volante de Wii
	es un accesorio de volante opcional que sostiene el controlador de Wii.

Figura 9.14: Variables y sus descripciones para el conjunto de datos de mariokart.

Ajustamos un modelo de regresión lineal con la condición del juego como predictor del precio de la subasta. Los resultados de este modelo se resumen a continuación:

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(> t )
(Intercept)	42.8711	0.8140	52.67	<0.0001
cond new	10.8996	1.2583	8.66	<0.0001
				df = 139

Escriba la ecuación para el modelo, observe si la pendiente es estadísticamente diferente de cero e interprete el coeficiente.15

A veces existen estructuras o relaciones subyacentes entre las variables predictoras. Por ejemplo, los juegos nuevos vendidos en Ebay tienden a venir con más volantes de Wii, lo que puede haber llevado a precios más altos para esas subastas. Nos gustaría ajustar un modelo que incluya todas las variables potencialmente importantes simultáneamente. Esto nos ayudaría a evaluar la relación entre una variable predictora y el resultado mientras controlamos la influencia potencial de otras variables.

Queremos construir un modelo que tenga en cuenta no solo la condición del juego, como en la Práctica Guiada 9.21, sino que simultáneamente tenga en cuenta otras tres variables:

precio ^{d = β0 + β1 ×} cond new ^{+ β2 ×} stock photo + β³ × duration + β⁴ × wheels

La figura 9.15 resume el modelo completo. Usando este resultado, identificamos las estimaciones puntuales de cada coeficiente.

	Estimate	Std. Error	t value	Pr(> t )
(Intercept)	36.2110	1.5140	23.92	<0.0001
cond new	5.1306	1.0511	4.88	<0.0001
stock photo	1.0803	1.0568	1.02	0.3085
duration	-0.0268	0.1904	-0.14	0.8882
wheels	7.2852	0.5547	13.13	<0.0001
				df = 136

Figura 9.15: Salida para el modelo de regresión donde el precio es el resultado y cond new, stock photo, duration y wheels son los predictores.

PRÁCTICA GUIADA 9.22

Escriba la ecuación del modelo utilizando las estimaciones puntuales de la Figura 9.15. ¿Cuántos predictores hay en este modelo?16

PRÁCTICA GUIADA 9.23

¿Qué representa β4, el coeficiente de la variable x⁴ (volantes de Wii)? ¿Cuál es la estimación puntual de β4? 17

precio ^d = 42.87 + 10.^{90 ×} cond nuevo

¹⁵La ecuación de la línea puede escribirse como

Examinando el resultado de la regresión en la Práctica Guiada 9.21, podemos ver que el valor p para cond nuevo está muy cerca de cero, lo que indica que hay una fuerte evidencia de que el coeficiente es diferente de cero cuando se usa este modelo simple de una variable.

El cond nuevo es una variable categórica de dos niveles que toma el valor 1 cuando el juego es nuevo y el valor 0 cuando el juego es usado. Esto significa que el coeficiente del modelo 10.90 predice $10.90 adicionales para aquellos juegos que son nuevos en comparación con aquellos que son usados.

¹⁶precio ^d = 36.21+ 5.13×cond nuevo+1.08×foto de stock−0.03×duración+7.29×volantes, con los ^k = 4 predictores. ¹⁷Es la diferencia promedio en el precio de la subasta por cada volante de Wii adicional incluido, manteniendo las otras variables constantes. La estimación puntual es b⁴ = 7.29.

Calcule el residuo de la primera observación en la Figura 9.13 usando la ecuación identificada en la Práctica Guiada 9.22. 18

EJEMPLO 9.25

Estimamos un coeficiente para cond new en la Sección 9.21 de b¹ = 10.90 con un error estándar de SEb¹ = 1.26 cuando utilizamos la regresión lineal simple. ¿Por qué podría haber una diferencia entre esa estimación y la de la regresión múltiple?

Si examináramos los datos cuidadosamente, veríamos que hay colinealidad entre algunos predictores. Por ejemplo, cuando estimamos la conexión del precio resultante y el predictor cond new utilizando la regresión lineal simple, no pudimos controlar otras variables como el número de volantes de Wii incluidos en la subasta. Ese modelo estaba sesgado por la variable de confusión wheels. Cuando usamos ambas variables, este sesgo subyacente e involuntario particular se reduce o elimina (aunque el sesgo de otras variables de confusión aún puede permanecer).

9.4.2 Selección de modelos

Revisitemos el modelo para la subasta de Mario Kart y completemos la selección del modelo utilizando la selección hacia atrás. Recordemos que el modelo completo tomó la siguiente forma:

precio ^d = 36.21 + 5.^{13 ×} cond nuevo + 1.^{08 ×} foto de stock ^{− 0}.^{03 ×} duración + 7.^{29 ×} ruedas

EJEMPLO 9.26

Los resultados correspondientes al modelo completo para los datos de mariokart se mostraron en la Figura 9.15 en la página de enfrente. Para este modelo, consideramos qué pasaría si se eliminara cada una de las variables en el modelo:

Excluir … cond nuevo foto de stock duración ruedas R² adj = 0.6626 R² adj = 0.7107 R² adj = 0.7128 R² adj = 0.3487

Para el modelo completo, R² adj = 0.7108. ¿Cómo debemos proceder bajo la estrategia de eliminación hacia atrás?

El tercer modelo sin duración tiene el R² adj más alto de 0.7128, por lo que lo comparamos con el R² adj para el modelo completo. Debido a que la eliminación de la duración conduce a un modelo con un R² adj más alto, eliminamos la duración del modelo.

PRÁCTICA GUIADA 9.27

En el Ejemplo 9.26, eliminamos la variable de duración, lo que resultó en un modelo con R² adj = 0.7128. Veamos si eliminaríamos otra variable del modelo usando la eliminación hacia atrás:

Excluir duración y … cond nuevo foto de archivo ruedas R² adj = 0.6587 R² adj = 0.7124 R² adj = 0.3414

¿Deberíamos eliminar alguna variable adicional y, de ser así, qué variable deberíamos eliminar?19

¹⁸eⁱ = yⁱ − yˆⁱ = 51.55 − 49.62 = 1.93, donde 49.62 se calculó utilizando los valores de las variables de la observación y la ecuación identificada en la Práctica Guiada 9.22.

¹⁹Eliminar cualquiera de las tres variables restantes conduciría a una disminución en R² adj , por lo que no deberíamos eliminar ninguna variable adicional del modelo después de haber eliminado la duración.

Después de eliminar la duración de la subasta del modelo, nos quedamos con el siguiente modelo reducido:

precio ^d = 36.05 + 5.^{18 ×} cond nuevo + 1.^{12 ×} foto de archivo + 7.^{30 ×} ruedas

¿Cuánto predeciría para el precio total del juego Mario Kart si fuera usado, usara una foto de archivo e incluyera dos ruedas y se pusiera en subasta durante el período de tiempo en que se recopilaron los datos de Mario Kart?20

PRÁCTICA GUIADA 9.29

¿Le sorprendería si el vendedor de la Práctica Guiada 9.28 no obtuviera el precio exacto predicho?21

9.4.3 Comprobación de las condiciones del modelo utilizando gráficos

Echemos un vistazo más de cerca a los diagnósticos del modelo de Mario Kart para comprobar si el modelo que hemos identificado es razonable.

Comprobación de valores atípicos. Se muestra un histograma de los residuos en la Figura 9.16. Con un conjunto de datos de más de cien, estamos buscando principalmente valores atípicos importantes. Si bien aparece un valor atípico menor en el extremo superior, no es una preocupación para este conjunto de datos de gran tamaño.

Figura 9.16: Histograma de los residuos. No se evidencian valores atípicos claros.

• Valores absolutos de los residuos frente a los valores ajustados. Se muestra un gráfico del valor absoluto de los residuos frente a sus valores ajustados correspondientes (ˆyi) en la Figura 9.17. No vemos ninguna desviación obvia de la varianza constante en este ejemplo.
• Residuos en el orden de su recopilación de datos. Se muestra un gráfico de los residuos en el orden en que se observaron sus subastas correspondientes en la Figura 9.18. Aquí no vemos ninguna estructura que indique un problema.
• Residuos frente a cada variable predictora. Consideramos un gráfico de los residuos frente a la variable cond new, los residuos frente a la variable stock photo y los residuos frente a la variable wheels. Estos gráficos se muestran en la Figura 9.19. Para la variable de condición de dos niveles, tenemos la garantía de que no veremos ninguna tendencia restante y, en cambio, estamos comprobando que la variabilidad no fluctúe entre los grupos, lo cual no ocurre. Sin embargo, mirando la foto de stock

²⁰Introduciríamos 0 para cond new, 1 para stock photo y 2 para wheels en la ecuación, lo que devolvería $51.77, que es el precio total que esperaríamos para la subasta.

²¹No. El modelo proporciona el precio promedio de la subasta que esperaríamos, y el precio de una subasta a la siguiente seguirá variando un poco (pero menos de lo que sería nuestra predicción sin el modelo).

Figura 9.17: Valor absoluto de los residuos frente a los valores ajustados. No se evidencian patrones.

Figura 9.18: Residuos en el orden en que se recopilaron sus observaciones correspondientes. No hay patrones evidentes.

variable de foto, encontramos que hay alguna diferencia en la variabilidad de los residuos en los dos grupos. Además, cuando consideramos los residuos frente a la variable wheels, vemos alguna posible estructura. Parece haber curvatura en los residuos, lo que indica que la relación probablemente no es lineal.

Al igual que con el análisis de préstamos, resumiríamos los diagnósticos al informar los resultados del modelo. En el caso de estos datos de subasta, informaríamos que parece haber una varianza no constante en la variable de foto de stock y que puede haber una relación no lineal entre el precio total y el número de ruedas incluidas para una subasta. Esta información sería importante para los compradores y vendedores que puedan revisar el análisis, y omitir esta información podría ser un revés para las mismas personas a las que el modelo podría ayudar.

Nota: no hay ejercicios para esta sección.

Figura 9.19: Para las variables de condición y foto de stock, comprobamos las diferencias en la forma de distribución o la variabilidad de los residuos. En el caso de la variable de fotos de stock, vemos un poco menos de variabilidad en el grupo de fotos únicas que en el grupo de fotos de stock. Para los predictores numéricos, también comprobamos si hay tendencias u otra estructura. Vemos una ligera curvatura en los residuos frente a la variable wheels en el gráfico inferior.

9.5 Introducción a la regresión logística

En esta sección presentamos la regresión logística como una herramienta para construir modelos cuando hay una variable de respuesta categórica con dos niveles, por ejemplo, sí y no. La regresión logística es un tipo de modelo lineal generalizado (GLM) para variables de respuesta donde la regresión múltiple regular no funciona muy bien. En particular, la variable de respuesta en estas configuraciones a menudo toma una forma donde los residuos se ven completamente diferentes de la distribución normal.

Los GLM se pueden considerar como un enfoque de modelado de dos etapas. Primero modelamos la variable de respuesta utilizando una distribución de probabilidad, como la distribución binomial o de Poisson. En segundo lugar, modelamos el parámetro de la distribución utilizando una colección de predictores y una forma especial de regresión múltiple. En última instancia, la aplicación de un GLM se sentirá muy similar a la regresión múltiple, incluso si algunos de los detalles son diferentes.

9.5.1 Resumen de los datos

Consideraremos datos experimentales de un estudio que buscaba comprender el efecto de la raza y el sexo en las tasas de respuesta a solicitudes de empleo; los detalles del estudio y un enlace al conjunto de datos se pueden encontrar en el Apéndice B.9. Para evaluar qué factores eran importantes, se identificaron ofertas de trabajo en Boston y Chicago para el estudio, y los investigadores crearon muchos currículums falsos para enviar a estos trabajos para ver cuáles provocarían una llamada de vuelta. Los investigadores enumeraron características importantes, como años de experiencia y detalles de la educación, y utilizaron estas características para generar aleatoriamente los currículums. Finalmente, asignaron aleatoriamente un nombre a cada currículum, donde el nombre implicaría el sexo y la raza del solicitante.

Los nombres utilizados y asignados aleatoriamente en este experimento fueron seleccionados para que fueran reconocidos predominantemente como pertenecientes a individuos negros o blancos; otras razas no fueron consideradas en este estudio. Si bien ningún nombre se inferiría definitivamente como perteneciente a un individuo negro o a un individuo blanco, los investigadores realizaron una encuesta para verificar la asociación racial de los nombres; los nombres que no pasaron esta verificación de la encuesta se excluyeron del uso en el experimento. Puede encontrar el conjunto completo de nombres que sí pasaron la prueba de la encuesta y que finalmente se utilizaron en el estudio en la Figura 9.20. Por ejemplo, Lakisha era un nombre que su encuesta indicó que se interpretaría como una mujer negra, mientras que Greg era un nombre que generalmente se interpretaría como asociado con un hombre blanco.

nombre	raza	sexo	nombre	raza	sexo	nombre	raza	sexo
Aisha	negro	mujer	Hakim	negro	hombre	Laurie	blanco	mujer
Allison	blanco	mujer	Jamal	negro	hombre	Leroy	negro	hombre
Anne	blanco	mujer	Jay	blanco	hombre	Matthew	blanco	hombre
Brad	blanco	hombre	Jermaine	negro	hombre	Meredith	blanco	mujer
Brendan	blanco	hombre	Jill	blanco	mujer	Neil	blanco	hombre
Brett	blanco	hombre	Kareem	negro	hombre	Rasheed	negro	hombre
Carrie	blanco	mujer	Keisha	negro	mujer	Sarah	blanco	mujer
Darnell	negro	hombre	Kenya	negro	mujer	Tamika	negro	mujer
Ebony	negro	mujer	Kristen	blanco	mujer	Tanisha	negro	mujer
Emily	blanco	mujer	Lakisha	negro	mujer	Todd	blanco	hombre
Geoffrey	blanco	hombre	Latonya	negro	mujer	Tremayne	negro	hombre
Greg	blanco	hombre	Latoya	negro	mujer	Tyrone	negro	hombre

Figura 9.20: Lista de los 36 nombres únicos junto con la raza y el sexo comúnmente inferidos asociados con estos nombres.

La variable de respuesta de interés es si hubo o no una llamada de vuelta del empleador al solicitante, y hubo 8 atributos que se asignaron aleatoriamente que consideraremos, con especial interés en las variables de raza y sexo. La raza y el sexo son clases protegidas en los Estados Unidos, lo que significa que no son factores legalmente permitidos para las decisiones de contratación o empleo. El conjunto completo de atributos considerados se proporciona en la Figura 9.21.

variable	descripción
llamada de vuelta	Especifica si el empleador llamó al solicitante después de enviar la solicitud para el trabajo.
ciudad del trabajo	Ciudad donde se ubicaba el trabajo: Boston o Chicago.
título universitario	Un indicador de si el currículum enumeraba un título universitario.
años de experiencia	Número de años de experiencia enumerados en el currículum.
honores	Indicador de si el currículum enumera algún tipo de honores, por ejemplo, empleado del mes.
militar	Indicador de si el currículum enumera alguna experiencia militar.
dirección de correo electrónico	Indicador de si el currículum enumera una dirección de correo electrónico para el solicitante.
raza	Raza del solicitante, implícita por su nombre enumerado en el currículum.
sexo	Sexo del solicitante (limitado solo a hombre y mujer en este estudio), implícito
	por el nombre enumerado en el currículum.

Figura 9.21: Descripciones para la variable de llamada de vuelta junto con otras 8 variables en el conjunto de datos del currículum. Muchas de las variables son variables indicadoras, lo que significa que toman el valor 1 si la característica especificada está presente y 0 en caso contrario.

Todos los atributos enumerados en cada currículum fueron asignados aleatoriamente. Esto significa que ningún atributo que pudiera ser favorable o perjudicial para el empleo favorecería a un grupo demográfico sobre otro en estos currículums. Es importante destacar que, debido a la naturaleza experimental de este estudio, podemos inferir causalidad entre estas variables y la tasa de llamada de vuelta, si la variable es estadísticamente significativa. Nuestro análisis nos permitirá comparar la importancia práctica de cada una de las variables entre sí.

9.5.2 Modelando la probabilidad de un evento

La regresión logística es un modelo lineal generalizado donde el resultado es una variable categórica de dos niveles. El resultado, Yⁱ, toma el valor 1 (en nuestra aplicación, esto representa una llamada para el currículum) con probabilidad pⁱ y el valor 0 con probabilidad 1 − pⁱ. Debido a que cada observación tiene un contexto ligeramente diferente, p. ej., un nivel de educación diferente o un número diferente de años de experiencia, la probabilidad pⁱ diferirá para cada observación. En última instancia, es esta probabilidad la que modelamos en relación con las variables predictoras: examinaremos qué características del currículum corresponden a tasas de devolución de llamada más altas o más bajas.

NOTACIÓN PARA UN MODELO DE REGRESIÓN LOGÍSTICA

La variable de resultado para un GLM se denota por Yⁱ, donde el índice i se usa para representar la observación i. En la solicitud de currículum, Yⁱ se usará para representar si el currículum i recibió una llamada de vuelta (Yⁱ = 1) o no (Yⁱ = 0).

Las variables predictoras se representan de la siguiente manera: x1,i es el valor de la variable 1 para la observación i, x2,i es el valor de la variable 2 para la observación i, y así sucesivamente.

El modelo de regresión logística relaciona la probabilidad de que un currículum reciba una llamada de vuelta (pi) con los predictores x1,i, x2,i, …, xk,i a través de un marco muy parecido al de la regresión múltiple:

\[\text{transformación}(p\_i) = \beta\_0 + \beta\_1 x\_{1,i} + \beta\_2 x\_{2,i} + \dots + \beta\_k x\_{k,i} \tag{9.30}\]

Queremos elegir una transformación en la ecuación que tenga sentido práctico y matemático. Por ejemplo, queremos una transformación que haga que el rango de posibilidades en el lado izquierdo de la ecuación sea igual al rango de posibilidades para el lado derecho; si no hubiera transformación para esta ecuación, el lado izquierdo solo podría tomar valores entre 0 y 1, pero el lado derecho podría tomar valores fuera de este rango. Una transformación común para pⁱ es la transformación logit, que puede escribirse como

\[logit(p\_i) = \log\_e \left(\frac{p\_i}{1 - p\_i}\right)\]

La transformación logit se muestra en la Figura 9.22. A continuación, reescribimos la ecuación que relaciona Yⁱ con sus

Figura 9.22: Valores de pⁱ contra valores de logit(pi).

predictores usando la transformación logit de pⁱ:

\[\log\_e \left( \frac{p\_i}{1 - p\_i} \right) = \beta\_0 + \beta\_1 x\_{1,i} + \beta\_2 x\_{2,i} + \dots + \beta\_k x\_{k,i}\]

En nuestro ejemplo de currículum, hay 8 variables predictoras, por lo que k = 8. Si bien la elección precisa de una función logit no es intuitiva, se basa en la teoría que sustenta los modelos lineales generalizados, que está más allá del alcance de este libro. Afortunadamente, una vez que ajustamos un modelo usando software, comenzará a sentirse como si estuviéramos de vuelta en el contexto de la regresión múltiple, incluso si la interpretación de los coeficientes es más compleja.

EJEMPLO 9.31

Comenzamos ajustando un modelo con un solo predictor: honores. Esta variable indica si el solicitante tenía algún tipo de honores listados en su currículum, como empleado del mes. El siguiente modelo de regresión logística se ajustó utilizando software estadístico:

\[ \log\_e \left( \frac{p\_i}{1 - p\_i} \right) = -2.4998 + 0.8668 \times \text{honores}\_i \]

1. Si se selecciona al azar un currículum del estudio y no tiene honores listados, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado en una llamada de vuelta?

2. ¿Cuál sería la probabilidad si el currículum listara algunos honores?

3. Si se considera un currículum elegido al azar de los enviados, y no enumera honores, entonces honores toma el valor 0 y el lado derecho de la ecuación del modelo es igual a -2.4998. Resolviendo para pⁱ : e −2.4998 1+e−2.⁴⁹⁹⁸ = 0.076. Así como etiquetamos un valor ajustado de yⁱ con un “sombrero” en la regresión univariable y múltiple, hacemos lo mismo para esta probabilidad: ˆpⁱ = 0.076.

4. Si el currículum hubiera listado algunos honores, entonces el lado derecho de la ecuación del modelo es −2.4998 + 0.8668 × 1 = −1.6330, lo que corresponde a una probabilidad ˆpⁱ = 0.163.

Observe que podríamos examinar -2.4998 y -1.6330 en la Figura 9.22 para estimar la probabilidad antes de calcular formalmente el valor.

Para convertir de valores en la escala de regresión logística (por ejemplo, -2.4998 y -1.6330 en el Ejemplo 9.31), use la siguiente fórmula, que es el resultado de resolver para pⁱ en el modelo de regresión:

\[p\_i = \frac{e^{\beta\_0 + \beta\_1 x\_1, + \dots + \beta\_k x\_k, i}}{1 + \quad e^{\beta\_0 + \beta\_1 x\_1, + \dots + \beta\_k x\_k, i}}\]

Al igual que con la mayoría de los problemas de datos aplicados, sustituimos las estimaciones puntuales para los parámetros (los βi) para que podamos hacer uso de esta fórmula. En el Ejemplo 9.31, las probabilidades se calcularon como

\[\frac{e^{-2.4998}}{1+e^{-2.4998}} = 0.076 \qquad\qquad \frac{e^{-2.4998+0.8668}}{1+e^{-2.4998+0.8668}} = 0.163\]

Si bien saber si un currículum listó honores proporciona alguna señal al predecir si el empleador llamaría o no, nos gustaría tener en cuenta muchas variables diferentes a la vez para comprender cómo cada una de las diferentes características del currículum afectó la posibilidad de una llamada de vuelta.

9.5.3 Construcción del modelo logístico con muchas variables

Utilizamos software estadístico para ajustar el modelo de regresión logística con los 8 predictores descritos en la Figura 9.21. Al igual que la regresión múltiple, el resultado puede presentarse en una tabla resumen, que se muestra en la Figura 9.23. La estructura de esta tabla es casi idéntica a la de la regresión múltiple; la única diferencia notable es que los valores p se calculan utilizando la distribución normal en lugar de la distribución t.

	Estimación	Error Estándar	valor z	Pr(> z )
(Intersección)	-2.6632	0.1820	-14.64	<0.0001
job city: Chicago	-0.4403	0.1142	-3.85	0.0001
título universitario	-0.0666	0.1211	-0.55	0.5821
años de experiencia	0.0200	0.0102	1.96	0.0503
honores	0.7694	0.1858	4.14	<0.0001
militar	-0.3422	0.2157	-1.59	0.1127
dirección de correo electrónico	0.2183	0.1133	1.93	0.0541
raza: blanco	0.4424	0.1080	4.10	<0.0001
sexo: masculino	-0.1818	0.1376	-1.32	0.1863

Figura 9.23: Tabla resumen para el modelo de regresión logística completo para el ejemplo de devolución de llamada de currículums.

Al igual que la regresión múltiple, podríamos recortar algunas variables del modelo. Aquí utilizaremos una estadística llamada criterio de información de Akaike (AIC), que es análoga a cómo utilizamos el R-cuadrado ajustado en la regresión múltiple, y buscamos modelos con un AIC más bajo a través de una estrategia de eliminación hacia atrás. Después de utilizar este criterio, se elimina la variable del título universitario, lo que da el modelo más pequeño resumido en la Figura 9.24, que es en el que nos basaremos para el resto de esta sección.

	Estimación	Error Estándar	valor z	Pr(> z )
(Intersección)	-2.7162	0.1551	-17.51	<0.0001
job city: Chicago	-0.4364	0.1141	-3.83	0.0001
años de experiencia	0.0206	0.0102	2.02	0.0430
honores	0.7634	0.1852	4.12	<0.0001
militar	-0.3443	0.2157	-1.60	0.1105
dirección de correo electrónico	0.2221	0.1130	1.97	0.0494
raza: blanco	0.4429	0.1080	4.10	<0.0001
sexo: masculino	-0.1959	0.1352	-1.45	0.1473

Figura 9.24: Tabla resumen para el modelo de regresión logística para el ejemplo de devolución de llamada de currículums, donde se ha realizado la selección de variables utilizando AIC.

9.5. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN LOGÍSTICA 375

EJEMPLO 9.32

La variable raza solo había tomado dos niveles: negro y blanco. Basado en los resultados del modelo, ¿fue la raza un factor significativo para que un posible empleador devolviera la llamada?

Vemos que el valor p para este coeficiente es muy pequeño (casi cero), lo que implica que la raza jugó un papel estadísticamente significativo en si un candidato recibió una devolución de llamada. Además, vemos que el coeficiente mostrado corresponde al nivel de blanco, y es positivo. Este coeficiente positivo refleja una ganancia positiva en la tasa de devolución de llamada para los currículums donde el nombre del candidato implicaba que era blanco. Los datos proporcionan una evidencia muy sólida de racismo por parte de los posibles empleadores que favorece los currículums donde el nombre normalmente se interpreta como blanco.

El coeficiente de razablanca en el modelo completo en la Figura 9.23, es casi idéntico al modelo que se muestra en la Figura 9.24. Los predictores en este experimento se diseñaron cuidadosamente para que las estimaciones de los coeficientes normalmente no se vieran muy influenciadas por qué otros predictores estaban en el modelo, lo que se alineaba con la motivación del estudio para revelar qué efectos eran importantes para obtener una devolución de llamada. En la mayoría de los datos observacionales, es común que las estimaciones puntuales cambien un poco, y a veces mucho, dependiendo de qué otras variables se incluyan en el modelo.

EJEMPLO 9.33

Utilice el modelo resumido en la Figura 9.24 para estimar la probabilidad de recibir una devolución de llamada para un trabajo en Chicago donde el candidato enumera 14 años de experiencia, sin honores, sin experiencia militar, incluye una dirección de correo electrónico y tiene un nombre que implica que es un hombre blanco.

Podemos comenzar escribiendo la ecuación usando los coeficientes del modelo, luego podemos agregar los valores correspondientes de cada variable para este individuo:

log^e p 1 − p = −2.7162 − 0.4364 × ciudadTrabajoChicago + 0.0206 × añosExperiencia + 0.7634 × honores − 0.3443 × militar + 0.2221 × correoElectrónico + 0.4429 × razaBlanca − 0.1959 × sexoHombre = −2.7162 − 0.4364 × 1 + 0.0206 × 14 + 0.7634 × 0 − 0.3443 × 0 + 0.2221 × 1 + 0.4429 × 1 − 0.1959 × 1 = −2.3955

Ahora podemos resolver para p: la probabilidad de que tal individuo reciba una devolución de llamada es de aproximadamente 8.35%.

EJEMPLO 9.34

Calcular la probabilidad de una llamada de vuelta para un individuo con un nombre que comúnmente se infiere que es de un hombre negro, pero que por lo demás tiene las mismas características que el descrito en el Ejemplo 9.33.

Podemos completar los mismos pasos para un individuo con las mismas características que es negro, donde la única diferencia en el cálculo es que la variable indicadora racewhite tomará un valor de 0. Al hacerlo, se obtiene una probabilidad de 0.0553. Comparemos los resultados con los del Ejemplo 9.33.

En términos prácticos, un individuo percibido como blanco basándose en su nombre de pila necesitaría solicitar ^{1 0}.⁰⁸³⁵ ≈ 12 empleos en promedio para recibir una llamada de vuelta, mientras que un individuo percibido como negro basándose en su nombre de pila necesitaría solicitar ^{1 0}.⁰⁵⁵³ ≈ 18 empleos en promedio para recibir una llamada de vuelta. Es decir, los solicitantes que son percibidos como negros necesitan solicitar a un 50% más de empleadores para recibir una llamada de vuelta que alguien que es percibido como blanco basándose en su nombre de pila para empleos como los del estudio.

Lo que hemos cuantificado en esta sección es alarmante e inquietante. Sin embargo, un aspecto que hace que este racismo sea tan difícil de abordar es que el experimento, por bien diseñado que esté, no puede enviarnos mucha señal sobre qué empleadores están discriminando. Sólo es posible decir que la discriminación está ocurriendo, incluso si no podemos decir qué llamadas de vuelta (o no llamadas de vuelta) particulares representan discriminación. Encontrar pruebas sólidas de racismo para casos individuales es un reto persistente en la aplicación de las leyes antidiscriminatorias.

9.5.4 Diagnósticos para el modelo de tasa de llamadas de vuelta

CONDICIONES DE LA REGRESIÓN LOGÍSTICA

Hay dos condiciones clave para ajustar un modelo de regresión logística:

• 1. Cada resultado Yⁱ es independiente de los demás resultados.
• 2. Cada predictor xⁱ está linealmente relacionado con logit(pi) si todos los demás predictores se mantienen constantes.

La primera condición del modelo de regresión logística, la independencia de los resultados, es razonable para el experimento, ya que las características de los currículos se asignaron aleatoriamente a los currículos que se enviaron.

La segunda condición del modelo de regresión logística no se comprueba fácilmente sin una cantidad de datos bastante considerable. Afortunadamente, ¡tenemos 4870 envíos de currículos en el conjunto de datos! Visualicemos primero estos datos trazando la clasificación verdadera de los currículos frente a las probabilidades ajustadas del modelo, como se muestra en la Figura 9.25.

Figura 9.25: La probabilidad predicha de que cada uno de los 4870 currículos dé como resultado una llamada de vuelta. Se ha añadido ruido (pequeños desplazamientos verticales aleatorios) a cada punto para que los puntos con valores casi idénticos no se tracen exactamente uno encima del otro.

Figura 9.26: La línea discontinua está dentro del límite de confianza de los intervalos de confianza del 95% de cada uno de los buckets, lo que sugiere que el ajuste logístico es razonable.

Nos gustaría evaluar la calidad del modelo. Por ejemplo, podríamos preguntar: si observamos los currículos que hemos modelado como que tienen una probabilidad del 10% de obtener una llamada de vuelta, ¿encontramos que alrededor del 10% de ellos realmente reciben una llamada de vuelta? Podemos comprobar esto para grupos de datos construyendo un gráfico de la siguiente manera:

• 1. Agrupe los datos en grupos basándose en sus probabilidades predichas.
• 2. Calcule la probabilidad predicha promedio para cada grupo.
• 3. Calcule la probabilidad observada para cada grupo, junto con un intervalo de confianza del 95%.
• 4. Trace las probabilidades observadas (con intervalos de confianza del 95%) frente a las probabilidades predichas promedio para cada grupo.

Los puntos trazados deben caer cerca de la línea y = x, ya que las probabilidades predichas deben ser similares a las probabilidades observadas. Podemos utilizar los intervalos de confianza para evaluar aproximadamente si algo podría estar mal. Un gráfico de este tipo se muestra en la Figura 9.26.

Se pueden crear diagnósticos adicionales que son similares a los que se presentan en la Sección 9.3. Por ejemplo, podríamos calcular los residuos como el resultado observado menos el resultado esperado (eⁱ = Yⁱ − pˆi), y entonces podríamos crear gráficos de estos residuos frente a cada predictor. También podríamos crear un gráfico como el de la Figura 9.26 para comprender mejor las desviaciones.

9.5.5 Exploración de la discriminación entre grupos de diferentes tamaños

Cualquier forma de discriminación es preocupante, y esta es la razón por la que decidimos que era tan importante discutir este tema utilizando datos. El estudio de currículos también examinó únicamente la discriminación en un solo aspecto: si un posible empleador llamaría a un candidato que presentó su currículo. Había una barrera un 50% más alta para los currículos simplemente cuando el candidato tenía un nombre de pila que se percibía como el de un individuo negro. Es poco probable que la discriminación se detenga ahí.

EJEMPLO 9.35

Consideremos una empresa con desequilibrio de género que consta de un 20% de mujeres y un 80% de hombres,22 y supongamos que la empresa es muy grande, con quizás 20.000 empleados. Supongamos que cuando alguien se presenta a un ascenso en esta empresa, se eligen al azar a 5 de sus colegas para que proporcionen comentarios sobre su trabajo.

Ahora imaginemos que el 10% de las personas en la empresa tienen prejuicios contra el otro sexo. Es decir, el 10% de los hombres tienen prejuicios contra las mujeres, y de manera similar, el 10% de las mujeres tienen prejuicios contra los hombres.

¿Quién es discriminado más en la empresa, los hombres o las mujeres?

Supongamos que tomamos 100 hombres que se han presentado para un ascenso en los últimos años. Para estos hombres, 5 × 100 = 500 colegas aleatorios serán llamados para sus comentarios, de los cuales alrededor del 20% serán mujeres (100 mujeres). De estas 100 mujeres, se espera que 10 tengan prejuicios contra el hombre que están revisando. Entonces, de los 500 colegas que los revisan, los hombres experimentarán discriminación por aproximadamente el 2% de sus colegas cuando se presenten para un ascenso.

Hagamos un cálculo similar para 100 mujeres que se han presentado para un ascenso en los últimos años. También tendrán 500 colegas aleatorios proporcionando comentarios, de los cuales alrededor de 400 (80%) serán hombres. De estos 400 hombres, alrededor de 40 (10%) tienen un prejuicio contra las mujeres. De los 500 colegas que proporcionan comentarios sobre el paquete de promoción para estas mujeres, el 8% de los colegas tienen un prejuicio contra las mujeres.

El Ejemplo 9.35 destaca algo profundo: incluso en un entorno hipotético donde cada grupo demográfico tiene el mismo grado de prejuicio contra el otro grupo demográfico, el grupo más pequeño experimenta los efectos negativos con mayor frecuencia. Además, si completáramos un puñado de ejemplos como el anterior con diferentes números, aprenderíamos que cuanto mayor es el desequilibrio en los grupos de población, más se impacta desproporcionadamente al grupo más pequeño.23

Por supuesto, hay otras omisiones considerables del mundo real en el ejemplo hipotético. Por ejemplo, los estudios han encontrado casos en los que personas de un grupo oprimido también discriminan a otras personas dentro de su propio grupo oprimido. Como otro ejemplo, también hay casos en los que un grupo mayoritario puede ser oprimido, siendo el apartheid en Sudáfrica un ejemplo histórico de ello. En última instancia, la discriminación es compleja, y hay muchos factores en juego más allá de la propiedad matemática que observamos en el Ejemplo 9.35.

Cerramos este libro sobre este tema serio, y esperamos que le inspire a pensar en el poder del razonamiento con datos. Ya sea con un modelo estadístico formal o mediante el uso de habilidades de pensamiento crítico para estructurar un problema, esperamos que las ideas que ha aprendido le ayuden a hacer más y a hacerlo mejor en la vida.

²²Un ejemplo más reflexivo incluiría a individuos no binarios.

²³Si una proporción p de una empresa son mujeres y el resto de la empresa está formada por hombres, entonces, bajo la situación hipotética, la relación entre las tasas de discriminación contra las mujeres frente a los hombres vendría dada por ¹−^p p ; esta relación es siempre mayor que 1 cuando p < 0.5.

Ejercicios

9.15 Clasificación de zarigüeyas, Parte I. La zarigüeya común de cola de cepillo de la región de Australia es un poco más linda que su prima lejana, la zarigüeya americana (ver la Figura 8.4 en la página 307). Consideramos 104 zarigüeyas de cola de cepillo de dos regiones en Australia, donde las zarigüeyas pueden ser consideradas una muestra aleatoria de la población. La primera región es Victoria, que está en la mitad oriental de Australia y atraviesa la costa sur. La segunda región consta de Nueva Gales del Sur y Queensland, que conforman el este y el noreste de Australia. Usamos regresión logística para diferenciar entre las zarigüeyas de estas dos regiones. La variable de resultado, llamada población, toma el valor 1 cuando una zarigüeya es de Victoria y 0 cuando es de Nueva Gales del Sur o Queensland. Consideramos cinco predictores: sexo masculino (un indicador de que una zarigüeya es macho), longitud de la cabeza, ancho del cráneo, longitud total y longitud de la cola. Cada variable se resume en un histograma. El modelo de regresión logística completo y un modelo reducido después de la selección de variables se resumen en la tabla.

• 1. Examine cada uno de los predictores. ¿Hay algún valor atípico que probablemente tenga una influencia muy grande en el modelo de regresión logística?
• 2. La tabla de resumen para el modelo completo indica que al menos una variable debe eliminarse cuando se usa el enfoque del valor p para la selección de variables: longitud de la cabeza. El segundo componente de la tabla resume el modelo reducido después de la selección de variables. Explique por qué las estimaciones restantes cambian entre los dos modelos.

9.16 Desastre del Challenger, Parte I. El 28 de enero de 1986, se anticipaba un lanzamiento de rutina para el transbordador espacial Challenger. Setenta y tres segundos después del vuelo, ocurrió un desastre: el transbordador se rompió, matando a los siete miembros de la tripulación a bordo. Una investigación sobre la causa del desastre se centró en un sello crítico llamado junta tórica, y se cree que el daño a estas juntas tóricas durante un lanzamiento del transbordador puede estar relacionado con la temperatura ambiente durante el lanzamiento. La siguiente tabla resume los datos de observación sobre las juntas tóricas para 23 misiones del transbordador, donde el orden de la misión se basa en la temperatura en el momento del lanzamiento. Temp proporciona la temperatura en Fahrenheit, Dañadas representa el número de juntas tóricas dañadas y No Dañadas representa el número de juntas tóricas que no fueron dañadas.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
53	57	58	63	66	67	67	67	68	69	70	70
5	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0
1	5	5	5	6	6	6	6	6	6	5	6
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
70	70	72	73	75	75	76	76	78	79	81
1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
5	6	6	6	6	5	6	6	6	6	6

• 1. Cada columna de la tabla anterior representa una misión diferente del transbordador. Examine estos datos y describa lo que observa con respecto a la relación entre las temperaturas y las juntas tóricas dañadas.
• 2. Las fallas se han codificado como 1 para una junta tórica dañada y 0 para una junta tórica no dañada, y se ajustó un modelo de regresión logística a estos datos. A continuación, se muestra un resumen de este modelo. Describa los componentes clave de esta tabla de resumen con palabras.

	Estimación	Error Estándar	valor z	Pr(> z )
(Intercepción)	11.6630	3.2963	3.54	0.0004
Temperatura	-0.2162	0.0532	-4.07	0.0000

• 3. Escriba el modelo logístico utilizando las estimaciones puntuales de los parámetros del modelo.
• 4. Según el modelo, ¿cree que las preocupaciones sobre las juntas tóricas están justificadas? Explique.

9.17 Clasificación de zarigüeyas, Parte II. Se propuso un modelo de regresión logística para clasificar las zarigüeyas comunes de cola de cepillo en sus dos regiones en el Ejercicio 9.15. La variable de resultado tomó el valor 1 si la zarigüeya era de Victoria y 0 en caso contrario.

	Estimación	EE	Z	Pr(> Z )
(Intercepción)	33.5095	9.9053	3.38	0.0007
sexo masculino	-1.4207	0.6457	-2.20	0.0278
ancho del cráneo	-0.2787	0.1226	-2.27	0.0231
longitud total	0.5687	0.1322	4.30	0.0000
longitud de la cola	-1.8057	0.3599	-5.02	0.0000

• 1. Escriba la forma del modelo. También identifique cuáles de las variables están asociadas positivamente cuando se controlan otras variables.
• 2. Supongamos que vemos una zarigüeya de cola de cepillo en un zoológico en los EE. UU., y un cartel dice que la zarigüeya fue capturada en la naturaleza en Australia, pero no dice qué parte de Australia. Sin embargo, el cartel indica que la zarigüeya es macho, su cráneo tiene aproximadamente 63 mm de ancho, su cola mide 37 cm de largo y su longitud total es de 83 cm. ¿Cuál es la probabilidad calculada por el modelo reducido de que esta zarigüeya sea de Victoria? ¿Cuánta confianza tiene en la precisión del modelo para este cálculo de probabilidad?

9.5. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN LOGÍSTICA 381

9.18 Desastre del Challenger, Parte II. El ejercicio 9.16 nos introdujo a las juntas tóricas que fueron identificadas como una explicación plausible para la desintegración del transbordador espacial Challenger 73 segundos después del despegue en 1986. La investigación encontró que la temperatura ambiente en el momento del lanzamiento del transbordador estaba estrechamente relacionada con el daño de las juntas tóricas, que son un componente crítico del transbordador. Consulte este ejercicio anterior si desea explorar los datos originales.

1. Los datos proporcionados en el ejercicio anterior se muestran en el gráfico. El modelo logístico ajustado a estos datos puede escribirse como

\[\log\left(\frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}\right) = 11.6630 - 0.2162 \times Temperatura\]

donde ˆp es la probabilidad estimada por el modelo de que una junta tórica se dañe. Utilice el modelo para calcular la probabilidad de que una junta tórica se dañe a cada una de las siguientes temperaturas ambiente: 51, 53 y 55 grados Fahrenheit. Las probabilidades estimadas por el modelo para varias temperaturas ambiente adicionales se proporcionan a continuación, donde los subíndices indican la temperatura:

\[\begin{aligned} \dot{p}\_{57} &= 0.341 \\ \dot{p}\_{65} &= 0.084 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \dot{p}\_{59} &= 0.251 \\ \dot{p}\_{67} &= 0.056 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \dot{p}\_{61} &= 0.179 \\ \dot{p}\_{69} &= 0.037 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \dot{p}\_{63} &= 0.124 \\ \dot{p}\_{71} &= 0.024 \end{aligned}\]

• 2. Agregue las probabilidades estimadas por el modelo de la parte (a) en el gráfico, luego conecte estos puntos usando una curva suave para representar las probabilidades estimadas por el modelo.
• 3. Describa cualquier inquietud que pueda tener con respecto a la aplicación de la regresión logística en esta aplicación y señale cualquier suposición que se requiera para aceptar la validez del modelo.

Ejercicios del Capítulo

9.19 Verificación de hechos de regresión múltiple. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y falsas. Para cada afirmación que sea falsa, explique por qué es falsa.

• 1. Si los predictores son colineales, entonces eliminar una variable no tendrá influencia en la estimación puntual del coeficiente de otra variable.
• 2. Suponga que una variable numérica x tiene un coeficiente de b¹ = 2.5 en el modelo de regresión múltiple. Suponga también que la primera observación tiene x¹ = 7.2, la segunda observación tiene un valor de x¹ = 8.2, y estas dos observaciones tienen los mismos valores para todos los demás predictores. Entonces, el valor predicho de la segunda observación será 2.5 mayor que la predicción de la primera observación basada en el modelo de regresión múltiple.
• 3. Si la primera variable de un modelo de regresión tiene un coeficiente de b¹ = 5.7, entonces, si podemos influir en los datos para que una observación tenga su x¹ sea 1 mayor de lo que sería de otra manera, el valor y¹ para esta observación aumentaría en 5.7.
• 4. Suponga que ajustamos un modelo de regresión múltiple basado en un conjunto de datos de 472 observaciones. También notamos que la distribución de los residuos incluye cierta asimetría pero no incluye ningún valor atípico particularmente extremo. Debido a que los residuos no son casi normales, no debemos usar este modelo y requerimos métodos más avanzados para modelar estos datos.

9.20 Verificación de hechos de regresión logística. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y falsas. Para cada afirmación que sea falsa, explique por qué es falsa.

• 1. Suponga que consideramos las dos primeras observaciones basadas en un modelo de regresión logística, donde la primera variable en la observación 1 toma un valor de x¹ = 6 y la observación 2 tiene x¹ = 4. Suponga que nos dimos cuenta de que cometimos un error para estas dos observaciones, y la primera observación fue en realidad x¹ = 7 (en lugar de 6) y la segunda observación en realidad tenía x¹ = 5 (en lugar de 4). Entonces, la probabilidad predicha del modelo de regresión logística aumentaría la misma cantidad para cada observación después de corregir estas variables.
• 2. Cuando se utiliza un modelo de regresión logística, es imposible que el modelo prediga una probabilidad que sea negativa o una probabilidad que sea mayor que 1.
• 3. Debido a que la regresión logística predice las probabilidades de los resultados, las observaciones utilizadas para construir un modelo de regresión logística no necesitan ser independientes.
• 4. Al ajustar la regresión logística, normalmente completamos la selección del modelo utilizando R² ajustado.

9.21 Filtrado de spam, Parte I. Los filtros de spam se basan en principios similares a los utilizados en la regresión logística. Ajustamos una probabilidad de que cada mensaje sea spam o no. Tenemos varias variables de correo electrónico para este problema: to multiple, cc, attach, dollar, winner, inherit, password, format, re subj, exclaim subj, y sent email. No describiremos lo que significa cada variable aquí en aras de la brevedad, pero cada una es una variable numérica o indicadora.

1. Para la selección de variables, ajustamos el modelo completo, que incluye todas las variables, y luego también ajustamos cada modelo donde hemos eliminado exactamente una de las variables. En cada uno de estos modelos reducidos, el valor de AIC para el modelo se informa a continuación. Basado en estos resultados, ¿qué variable, si la hay, deberíamos eliminar como parte de la selección del modelo? Explique.

Variable Eliminada	AIC
Ninguna Eliminada	1863.50
to multiple	2023.50
cc	1863.18
attach	1871.89
dollar	1879.70
winner	1885.03
inherit	1865.55
password	1879.31
format	2008.85
re subj	1904.60
exclaim subj	1862.76
sent email	1958.18

Vea la siguiente página para la parte (b).

9.5. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN LOGÍSTICA 383

2. Considere la siguiente etapa de selección de modelos. Aquí nuevamente hemos calculado el AIC para cada modelo de omisión de una variable. Basado en los resultados, ¿qué variable, si alguna, deberíamos eliminar como parte de la selección del modelo? Explique.

Variable Eliminada	AIC
Ninguna Eliminada	1862.41
a múltiple	2019.55
adjuntar	1871.17
dólar	1877.73
ganador	1884.95
heredar	1864.52
contraseña	1878.19
formato	2007.45
re asunto	1902.94
correo enviado	1957.56

9.22 Rentabilidad de películas, Parte II. El estudiante del Ejercicio 9.14 analizó el retorno de la inversión (ROI) para películas basado en el año de lanzamiento y el género de las películas. Los gráficos a continuación muestran el ROI predicho vs. el ROI real para cada uno de los géneros por separado. ¿Estas figuras apoyan el comentario en el artículo de FiveThirtyEight.com que dice: “El potencial de retorno de la inversión para las películas de terror es absurdo”? Tenga en cuenta que el rango del eje x varía para cada gráfico.

9.23 Filtrado de spam, Parte II. En el Ejercicio 9.21, nos encontramos con un conjunto de datos donde aplicamos la regresión logística para ayudar en la clasificación de spam para correos electrónicos individuales. En este ejercicio, hemos tomado un pequeño conjunto de estas variables y ajustado un modelo formal con el siguiente resultado:

	Estimación	Error Estándar	valor z	Pr(> z )
(Intercepto)	-0.8124	0.0870	-9.34	0.0000
a múltiple	-2.6351	0.3036	-8.68	0.0000
ganador	1.6272	0.3185	5.11	0.0000
formato	-1.5881	0.1196	-13.28	0.0000
re asunto	-3.0467	0.3625	-8.40	0.0000

• 1. Escriba el modelo utilizando los coeficientes del ajuste del modelo.
• 2. Suponga que tenemos una observación donde a múltiple = 0, ganador = 1, formato = 0 y re asunto = 0. ¿Cuál es la probabilidad predicha de que este mensaje sea spam?
• 3. Póngase en el lugar de un científico de datos que trabaja en un filtro de spam. Para un mensaje dado, ¿qué tan alta debe ser la probabilidad de que un mensaje sea spam antes de que piense que sería razonable ponerlo en una bandeja de spam (que es poco probable que el usuario revise)? ¿Qué compensaciones podría considerar? ¿Alguna idea sobre cómo podría mejorar aún más su sistema de filtrado de spam desde la perspectiva de alguien que usa su servicio de correo electrónico?

Apéndice A Soluciones a los ejercicios

1 Introducción a los datos

1.1 (a) Tratamiento: 10/43 = 0.23 → 23%.

2. Control: 2/46 = 0.04 → 4%. (c) Un porcentaje mayor de pacientes en el grupo de tratamiento no sintieron dolor 24 horas después de recibir acupuntura. (d) Es posible que la diferencia observada entre los porcentajes de los dos grupos se deba al azar.

1.3 (a) “¿Existe una asociación entre la exposición a la contaminación del aire y los nacimientos prematuros?” (b) 143,196 nacimientos en el sur de California entre 1989 y 1993. (c) Mediciones de monóxido de carbono, dióxido de nitrógeno, ozono y partículas de menos de 10µg/m³ (PM10) recogidas en estaciones de control de la calidad del aire, así como la duración de la gestación. Variables numéricas continuas.

1.5 (a) “¿Afecta el hecho de decir explícitamente a los niños que no hagan trampa a su probabilidad de hacer trampa?”. (b) 160 niños de entre 5 y 15 años. (c) Cuatro variables: (1) edad (numérica, continua), (2) sexo (categórica), (3) si eran hijo único o no (categórica), (4) si hicieron trampa o no (categórica).

1.7 Explicativa: acupuntura o no. Respuesta: si el paciente no sentía dolor o no.

1.9 (a) 50×3 = 150. (b) Cuatro variables numéricas continuas: longitud del sépalo, ancho del sépalo, longitud del pétalo y ancho del pétalo. (c) Una variable categórica, especie, con tres niveles: setosa, versicolor y virginica.

1.11 (a) Estado de propiedad del aeropuerto (público/privado), estado de uso del aeropuerto (público/privado), latitud y longitud. (b) Estado de propiedad del aeropuerto: categórica, no ordinal. Estado de uso del aeropuerto: categórica, no ordinal. Latitud: numérica, continua. Longitud: numérica, continua.

1.13 (a) Población: todos los nacimientos, muestra: 143,196 nacimientos entre 1989 y 1993 en el sur de California. (b) Si los nacimientos en este período de tiempo en la geografía pueden considerarse representativos de todos los nacimientos, entonces los resultados son generalizables a la población del sur de California. Sin embargo, dado que el estudio es observacional, los resultados no pueden utilizarse para establecer relaciones causales.

1.15 (a) Población: todos los pacientes asmáticos de entre 18 y 69 años que dependen de la medicación para el tratamiento del asma. Muestra: 600 de estos pacientes. (b) Si los pacientes de esta muestra, que probablemente no se muestrean aleatoriamente, pueden considerarse representativos de todos los pacientes asmáticos de entre 18 y 69 años que dependen de la medicación para el tratamiento del asma, entonces los resultados son generalizables a la población definida anteriormente. Además, dado que el estudio es experimental, los resultados pueden utilizarse para establecer relaciones causales.

1.17 (a) Observación. (b) Variable. (c) Estadístico muestral (media). (d) Parámetro poblacional (media).

1.19 (a) Observacional. (b) Utilizar un muestreo estratificado para muestrear aleatoriamente un número fijo de estudiantes, digamos 10, de cada sección para un tamaño de muestra total de 40 estudiantes.

1.21 (a) Positiva, no lineal, algo fuerte. Los países en los que un porcentaje mayor de la población tiene acceso a Internet también tienden a tener una mayor esperanza de vida media, sin embargo, el aumento de la esperanza de vida se reduce antes de llegar a los 80 años. (b) Observacional. (c) Riqueza: los países con individuos que pueden permitirse ampliamente Internet probablemente también pueden permitirse la atención médica básica. (Nota: Las respuestas pueden variar.)

1.23 (a) El muestreo aleatorio simple está bien. De hecho, ¡es raro que el muestreo aleatorio simple no sea un método de muestreo razonable! (b) Las opiniones de los estudiantes pueden variar según el campo de estudio, por lo que la estratificación por esta variable tiene sentido y sería razonable. (c) Los estudiantes de edades similares probablemente van a tener opiniones más similares, y queremos que los grupos sean diversos con respecto al resultado de interés, por lo que este no sería un buen enfoque. (Pensamiento adicional: los grupos en este caso también pueden tener un número muy diferente de personas, lo que también puede crear tamaños de muestra inesperados).

1.25 (a) Los casos son 200 hombres y mujeres muestreados aleatoriamente. (b) La variable de respuesta es la actitud hacia un horno microondas de ficción. (c) La variable explicativa es la actitud disposicional. (d) Sí, los casos se muestrean aleatoriamente. (e) Se trata de un estudio observacional, ya que no hay asignación aleatoria a los tratamientos. (f) No, no podemos establecer una relación causal entre las variables explicativa y de respuesta, ya que el estudio es observacional. (g) Sí, los resultados del estudio pueden generalizarse a la población en general, ya que la muestra es aleatoria.

1.27 (a) Muestra aleatoria simple. Sesgo de no respuesta, si solo responden aquellas personas que tienen opiniones firmes sobre la encuesta, es posible que su muestra no sea representativa de la población. (b) Muestra de conveniencia. Es posible que su muestra no sea representativa de la población, ya que solo consta de sus amigos. También es posible que el estudio tenga un sesgo de no respuesta si algunos optan por no devolver la encuesta. (c) Muestra de conveniencia. Esto tendrá problemas similares a los de entregar encuestas a amigos. (d) Muestreo polietápico. Si las clases son similares entre sí con respecto a la composición del estudiante, este enfoque no debería introducir sesgos, aparte del posible sesgo de no respuesta.

1.29 (a) Rendimiento en el examen. (b) Nivel de luz: iluminación fluorescente cenital, iluminación amarilla cenital, sin iluminación cenital (solo lámparas de escritorio). (c) Sexo: hombre, mujer.

1.31 (a) Experimento. (b) Nivel de luz (iluminación cenital, iluminación amarilla cenital, sin iluminación cenital) y nivel de ruido (sin ruido, ruido de construcción y ruido de charla humana). (c) Dado que los investigadores quieren asegurar una representación de género equitativa, el sexo será una variable de bloqueo.

1.33 Necesitamos aleatorización y cegamiento. Un esquema posible: (1) Prepare dos tazas para cada participante, una con Coca-Cola normal y la otra con Coca-Cola Light. Asegúrese de que las tazas sean idénticas y contengan cantidades iguales de refresco. Etiquete las tazas como A (normal) y B (light). (¡Asegúrese de aleatorizar A y B para cada prueba!) (2) Dé a cada participante las dos tazas, una taza cada vez, en orden aleatorio, y pídale

2 Resumiendo datos

2.1 (a) Asociación positiva: los mamíferos con períodos de gestación más largos también tienden a vivir más tiempo. (b) La asociación seguiría siendo positiva. (c) No, no son independientes. Ver la parte (a).

2.3 El siguiente gráfico muestra un período de aceleración. También puede haber un período de crecimiento exponencial al principio antes de que el tamaño de la placa de Petri se convierta en un factor para ralentizar el crecimiento.

el participante para registrar un valor que indique cuánto le gustó la bebida. Asegúrese de que ni el participante ni la persona que entrega las tazas conozcan la identidad de la bebida para que este sea un experimento doble ciego. (Las respuestas pueden variar).

1.35 (a) Estudio observacional. (b) Perro: Lucy. Gata: Luna. (c) Oliver y Lily. (d) Positivo, a medida que aumenta la popularidad de un nombre para perros, también lo hace la popularidad de ese nombre para gatos.

1.37 (a) Experimento. (b) Tratamiento: 25 gramos de semillas de chía dos veces al día, control: placebo. (c) Sí, género. (d) Sí, simple ciego ya que los pacientes desconocían el tratamiento que recibían. (e) Dado que se trata de un experimento, podemos hacer una declaración causal. Sin embargo, dado que la muestra no es aleatoria, la declaración causal no se puede generalizar a la población en general.

1.39 (a) Es posible que quienes no respondieron tengan una respuesta diferente a esta pregunta, por ejemplo, es probable que los padres que devolvieron las encuestas no tengan dificultades para pasar tiempo con sus hijos. (b) Es poco probable que las mujeres a las que se contactó en la misma dirección 3 años después sean una muestra aleatoria. Es probable que estas personas que no respondieron sean inquilinos (a diferencia de propietarios), lo que significa que podrían tener un nivel socioeconómico más bajo que los encuestados. (c) No hay un grupo de control en este estudio, este es un estudio observacional y puede haber variables de confusión, por ejemplo, estas personas pueden salir a correr porque generalmente son más saludables y/o hacen otros ejercicios.

1.41 (a) Experimento controlado aleatorio. (b) Explicativa: grupo de tratamiento (categórica, con 3 niveles). Variable de respuesta: Bienestar psicológico. (c) No, porque los participantes fueron voluntarios. (d) Sí, porque fue un experimento. (e) La declaración debería decir “evidencia” en lugar de “prueba”.

1.43 (a) Categórica, no ordinal: Condado, Estado, Raza del conductor. Numérica, discreta: No. de paradas por año. Numérica, continua: % registrado, % conductores arrestados. (b) Todas categóricas, no ordinales. (c) Respuesta: si el coche fue registrado o no. Explicativa: raza del conductor.

2.5 (a) Media poblacional, µ²⁰⁰⁷ = 52; media muestral, x¯²⁰⁰⁸ = 58. (b) Media poblacional, µ²⁰⁰¹ = 3.37; media muestral, ¯x²⁰¹² = 3.59.

2.7 Cualquier 10 empleados cuyo número promedio de días libres esté entre el número mínimo y el número promedio de días libres para toda la fuerza laboral en esta planta.

2.9 (a) Dist 2 tiene una media más alta ya que 20 > 13, y una desviación estándar más alta ya que 20 está más lejos del resto de los datos que 13. (b) Dist 1 tiene una media más alta ya que −20 > −40, y Dist 2 tiene una desviación estándar más alta ya que -40 está más lejos del resto de los datos que -20. (c) Dist 2 tiene una media más alta ya que todos los valores en esta distribución son más altos que los de Dist 1, pero ambas distribuciones tienen la misma desviación estándar ya que son igualmente variables alrededor de sus respectivas medias. (d) Ambas distribuciones tienen la misma media ya que ambas están centradas en 300, pero Dist 2 tiene una desviación estándar más alta ya que las observaciones están más lejos de la media que en Dist 1.

2.11 (a) Alrededor de 30. (b) Dado que la distribución está sesgada a la derecha, la media es más alta que la mediana. (c) Q1: entre 15 y 20, Q3: entre 35 y 40, IQR: alrededor de 20. (d) Los valores que se consideran inusualmente bajos o altos se encuentran a más de 1.5×IQR de los cuartiles. Límite superior: Q3 + 1.5 × IQR = 37.5 + 1.5 × 20 = 67.5; Límite inferior: Q1 - 1.5 × IQR = 17.5 − 1.5 × 20 = −12.5; El AQI más bajo registrado no es inferior a 5 y el AQI más alto registrado no es superior a 65, los cuales están dentro de los límites. Por lo tanto, ninguno de los días de esta muestra se consideraría que tiene un AQI inusualmente bajo o alto.

2.13 El histograma muestra que la distribución es bimodal, lo cual no es evidente en el diagrama de caja. El diagrama de caja facilita la identificación de valores más precisos de las observaciones fuera de los bigotes.

2.15 (a) La distribución del número de mascotas por hogar probablemente esté sesgada a la derecha, ya que hay un límite natural en 0 y solo unas pocas personas tienen muchas mascotas. Por lo tanto, el centro estaría mejor descrito por la mediana y la variabilidad estaría mejor descrita por el IQR. (b) La distribución del número de distancia al trabajo probablemente esté sesgada a la derecha, ya que hay un límite natural en 0 y solo unas pocas personas viven a una distancia muy larga del trabajo. Por lo tanto, el centro estaría mejor descrito por la mediana y la variabilidad estaría mejor descrita por el IQR. (c) La distribución de las alturas de los hombres es probablemente simétrica. Por lo tanto, el centro estaría mejor descrito por la media y la variabilidad estaría mejor descrita por la desviación estándar.

2.17 (a) La mediana es una medida mucho mejor de la cantidad típica ganada por estas 42 personas. La media es mucho más alta que los ingresos de 40 de las 42 personas. Esto se debe a que la media es un promedio aritmético y se ve afectada por las dos observaciones extremas. La mediana no se ve tan afectada, ya que es robusta a los valores atípicos. (b) El IQR es una medida mucho mejor de la variabilidad en las cantidades ganadas por casi todas las 42 personas. La desviación estándar se ve muy afectada por los dos salarios altos, pero el IQR es robusto a estas observaciones extremas.

2.19 (a) La distribución es unimodal y simétrica con una media de aproximadamente 25 minutos y una desviación estándar de aproximadamente 5 minutos. No parece haber ningún condado con tiempos de viaje medios inusualmente altos o bajos. Dado que la distribución ya es unimodal y simétrica, no es necesaria una transformación logarítmica. (b) Las respuestas variarán. Hay focos de tiempo de viaje más largo alrededor de DC, el sureste de Nueva York, Chicago, Minneapolis, Los Ángeles y muchas otras grandes ciudades. También hay una gran sección de tiempos de viaje promedio más cortos que se superponen con las tierras de cultivo en el Medio Oeste. Muchas casas de agricultores están adyacentes a sus tierras de cultivo, por lo que su viaje sería breve, lo que puede explicar por qué el tiempo de viaje promedio para estos condados es relativamente bajo.

2.21 (a) Vemos el orden de las categorías y las frecuencias relativas en el gráfico de barras. (b) No hay características que sean evidentes en el gráfico circular pero no en el gráfico de barras. (c) Por lo general, preferimos usar un gráfico de barras, ya que también podemos ver las frecuencias relativas de las categorías en este gráfico.

2.23 Las ubicaciones verticales en las que los grupos ideológicos se dividen en las categorías Sí, No y No estoy seguro difieren, lo que indica que la probabilidad de apoyar la ley DREAM varía según la ideología política. Esto sugiere que las dos variables pueden ser dependientes.

2.25 (a) (i) Falso. En lugar de comparar recuentos, deberíamos comparar los porcentajes de personas en cada grupo que sufrieron problemas cardiovasculares. (ii) Verdadero. (iii) Falso. La asociación no implica causalidad. No podemos inferir una relación causal basada en un estudio observacional. La diferencia con la parte (ii) es sutil. (iv) Verdadero.

2. Proporción de todos los pacientes que tuvieron problemas cardiovasculares: ⁷,^{979 227},⁵⁷¹ ≈ 0.035

3. El número esperado de ataques cardíacos en el grupo de rosiglitazona, si tener problemas cardiovasculares y el tratamiento fueran independientes, se puede calcular como el número de pacientes en ese grupo multiplicado por la tasa general de problemas cardiovasculares en el estudio: 67, 593 ∗ 7,979 ²²⁷,⁵⁷¹ ≈ 2370.

4. 1. H0: El tratamiento y los problemas cardiovasculares son independientes. No tienen relación y la diferencia en las tasas de incidencia entre los grupos de rosiglitazona y pioglitazona se debe al azar. HA: El tratamiento y los problemas cardiovasculares no son independientes. La diferencia en las tasas de incidencia entre los grupos de rosiglitazona y pioglitazona no se debe al azar y la rosiglitazona se asocia con un mayor riesgo de problemas cardiovasculares graves. (ii) Un número mayor de pacientes con problemas cardiovasculares de lo esperado bajo el supuesto de independencia proporcionaría apoyo a la hipótesis alternativa, ya que esto sugeriría que la rosiglitazona aumenta el riesgo de tales problemas. (iii) En el estudio real, observamos 2,593 eventos cardiovasculares en el grupo de rosiglitazona. En las 1,000 simulaciones bajo el modelo de independencia, observamos algo menos de 2,593 en cada simulación, lo que sugiere que los resultados reales sí

3 Probabilidad

3.1 (a) Falso. Estas son pruebas independientes. (b) Falso. Hay cartas de figuras rojas. (c) Verdadero. Una carta no puede ser tanto una carta de figura como un as.

3.3 (a) 10 lanzamientos. Menos lanzamientos significan más variabilidad en la fracción muestral de caras, lo que significa que hay una mejor probabilidad de obtener al menos un 60% de caras. (b) 100 lanzamientos. Más lanzamientos significan que la proporción observada de caras estaría a menudo más cerca del promedio, 0.50, y por lo tanto también por encima de 0.40. (c) 100 lanzamientos. Con más lanzamientos, la proporción observada de caras estaría a menudo más cerca del promedio, 0.50. (d) 10 lanzamientos. Menos lanzamientos aumentarían la variabilidad en la fracción de lanzamientos que son caras.

3.5 (a) 0.5 ¹⁰ = 0.00098. (b) 0.5 ¹⁰ = 0.00098. (c) P(al menos una cruz) = 1 − P(ninguna cruz) = 1 − (0.5 ¹⁰) ≈ 1 − 0.001 = 0.999.

no proviene del modelo de independencia. Es decir, las variables no parecen ser independientes, y rechazamos el modelo de independencia en favor de la alternativa. Los resultados del estudio proporcionan evidencia convincente de que la rosiglitazona está asociada con un mayor riesgo de problemas cardiovasculares.

2.27 (a) Disminución: la nueva puntuación es menor que la media de las 24 puntuaciones anteriores. (b) Calcular una media ponderada. Utilizar un peso de 24 para la antigua media y 1 para la nueva media: (24×74+ 1×64)/(24+ 1) = 73.6. (c) La nueva puntuación está a más de 1 desviación estándar de la media anterior, por lo que aumenta.

2.29 No, esperaríamos que esta distribución estuviera sesgada a la derecha. Hay dos razones para esto: (1) hay un límite natural en 0 (no es posible ver menos de 0 horas de televisión), (2) la desviación estándar de la distribución es muy grande en comparación con la media.

2.31 La distribución de las edades de las ganadoras del premio a la mejor actriz está sesgada a la derecha con una mediana alrededor de los 30 años. La distribución de las edades de los ganadores del premio al mejor actor también está sesgada a la derecha, aunque menos, con una mediana alrededor de los 40 años. La diferencia entre los picos de estas distribuciones sugiere que las ganadoras del premio a la mejor actriz son típicamente más jóvenes que los ganadores del premio al mejor actor. Las edades de las ganadoras del premio a la mejor actriz son más variables que las edades de los ganadores del premio al mejor actor. Hay posibles valores atípicos en el extremo superior de ambas distribuciones.

3.7 (a) No, hay votantes que son tanto independientes como votantes indecisos.

(c) Cada votante independiente es o bien un votante indeciso o no lo es. Dado que el 35% de los votantes son independientes y el 11% son tanto independientes como votantes indecisos, el otro 24% no debe ser votantes indecisos. (d) 0.47. (e) 0.53. (f) P(Independiente) × P(indeciso) = 0.35×0.23 = 0.08, lo que no es igual a P(Independiente e indeciso) = 0.11, por lo que los eventos son dependientes.

3.9 (a) Si la clase no se califica en una curva, son independientes. Si se califica en una curva, entonces ni independiente ni disjunta – a menos que el instructor sólo vaya a dar una A, que es una situación que ignoraremos en las partes (b) y (c). (b) Probablemente no son independientes: si estudian juntos, sus hábitos de estudio estarían relacionados, lo que sugiere que sus rendimientos en el curso también están relacionados. (c) No. Ver la respuesta a la parte (a) cuando el curso no se califica en una curva. Más generalmente: si dos cosas no están relacionadas (independientes), entonces que una ocurra no impide que la otra ocurra.

3.11 (a) 0.16 + 0.09 = 0.25. (b) 0.17 + 0.09 = 0.26. (c) Asumiendo que el nivel educativo del marido y la esposa son independientes: 0.25 × 0.26 = 0.065. También podrías notar que en realidad hicimos una segunda asunción: que la decisión de casarse no está relacionada con el nivel educativo. (d) La asunción de independencia marido/esposa probablemente no es razonable, porque la gente a menudo se casa con otra persona con un nivel de educación comparable. Te dejaremos a ti que pienses si la segunda asunción señalada en la parte (c) es razonable.

3.13 (a) No, pero podríamos si A y B son independientes. (b-i) 0.21. (b-ii) 0.79. (b-iii) 0.3. (c) No, porque 0.1 ̸= 0.21, donde 0.21 fue el valor calculado bajo independencia de la parte (a). (d) 0.143.

3.15 (a) No, 0.18 de los encuestados caen en esta combinación. (b) 0.60+ 0.20−0.18 = 0.62. (c) 0.18/0.20 = 0.9. (d) 0.11/0.33 ≈ 0.33. (e) No, de lo contrario las respuestas a (c) y (d) serían las mismas. (f) 0.06/0.34 ≈ 0.18.

3.17 (a) No. Hay 6 mujeres a las que les gusta Five Guys Burgers. (b) 162/248 = 0.65. (c) 181/252 = 0.72. (d) Bajo la asunción de que las opciones de citas son independientes de la preferencia de hamburguesas, lo que en la superficie parece razonable: 0.65 × 0.72 = 0.468. (e) (252 + 6 − 1)/500 = 0.514.

3.19 (a)

(b) 0.84

3.21 0.0714. Incluso cuando un paciente da positivo para lupus, sólo hay una probabilidad del 7.14% de que realmente tenga lupus. House puede tener razón.

3.23 (a) 0.3. (b) 0.3. (c) 0.3. (d) 0.3 × 0.3 = 0.09. (e) Sí, la población de la que se está muestreando es idéntica en cada extracción.

3.25 (a) 2/9 ≈ 0.22. (b) 3/9 ≈ 0.33. (c) ³⁄₁₀ × ²⁄₉ ≈ 0.067. (d) No, e.g. en este ejercicio, quitar una ficha cambia significativamente la probabilidad de lo que podría ser extraído a continuación.

3.27 P( 1 leggings, ² vaqueros, ³ vaqueros) = ⁵⁄₂₄ × ⁷⁄₂₃ × ⁶⁄₂₂ = 0.0173. Sin embargo, la persona con leggings podría haber venido en 2º o 3er lugar, y estos cada uno tienen esta misma probabilidad, por lo que 3 × 0.0173 = 0.0519.

3.29 (a) 13. (b) No, estos 27 estudiantes no son una muestra aleatoria de la población estudiantil de la universidad. Por ejemplo, se podría argumentar que la proporción de fumadores entre los estudiantes que van al gimnasio a las 9 de la mañana de un sábado sería menor que la proporción de fumadores en la universidad en su conjunto.

3.31 (a) E(X) = 3.59. SD(X) = 9.64. (b) E(X) = -1.41. SD(X) = 9.64. (c) No, el beneficio neto esperado es negativo, por lo que en promedio se espera perder dinero.

• 3.33 5% de incremento en el valor.
• 3.35 E = -0.0526. SD = 0.9986.
• 3.37 Las respuestas aproximadas están bien.
• (a) (29 + 32)/144 = 0.42. (b) 21/144 = 0.15. (c) (26 + 12 + 15)/144 = 0.37.

3.39 (a) Inválido. La suma es mayor que 1. (b) Válido. Las probabilidades están entre 0 y 1, y suman 1. En esta clase, cada estudiante obtiene una C. (c) Inválido. La suma es menor que 1. (d) Inválido. Hay una probabilidad negativa. (e) Válido. Las probabilidades están entre 0 y 1, y suman 1. (f) Inválido. Hay una probabilidad negativa.

3.43 (a) E = $3.90. SD = $0.34. (b) E = $27.30. SD = $0.89.

\[\begin{array}{l} 3.45 \ Valz \left(\frac{X\_1 + X\_2}{2}\right) \\ = Var \left(\frac{X\_1}{2} + \frac{X\_2}{2}\right) \\ = \frac{Var(X\_1)}{2^2} + \frac{Var(X\_2)}{2^2} \\ = \frac{\sigma^2}{4} + \frac{\sigma^2}{4} \\ = \sigma^2/2 \end{array}\]

\[\begin{array}{l} \text{3.47} \quad Var\left(\frac{X\_1 + X\_2 + \dots + X\_n}{n}\right) \\ = Var\left(\frac{X\_1}{n} + \frac{X\_2}{n} + \dots + \frac{X\_n}{n}\right) \\ = \frac{Var(X\_1)}{n^2} + \frac{Var(X\_2)}{n^2} + \dots + \frac{Var(X\_n)}{n^2} \\ = \frac{\sigma^2}{n^2} + \frac{\sigma^2}{n^2} + \dots + \frac{\sigma^2}{n^2} \text{ (hay } n \text{ de estos términos)} \\ = n\frac{\sigma^2}{n^2} \\ = \sigma^2/n \end{array}\]

4 Distribuciones de variables aleatorias

4.1 (a) 8.85%. (b) 6.94%. (c) 58.86%. (d) 4.56%.

4.3 (a) Verbal: N(µ = 151, σ = 7), Cuantitativo: N(µ = 153, σ = 7.67). (b) ZVR = 1.29, ZCR = 0.52.

3. Obtuvo una puntuación de 1.29 desviaciones estándar por encima de la media en la sección de Razonamiento Verbal y 0.52 desviaciones estándar por encima de la media en la sección de Razonamiento Cuantitativo. (d) Le fue mejor en la sección de Razonamiento Verbal, ya que su puntuación Z en esa sección fue más alta. (e) PercVR = 0.9007 ≈ 90%, PercCR = 0.6990 ≈ 70%. (f) El 100%−90% = 10% obtuvo mejores resultados que ella en RV, y el 100% − 70% = 30% obtuvo mejores resultados que ella en RC. (g) No podemos comparar las puntuaciones brutas, ya que están en diferentes escalas. Comparar sus puntuaciones de percentiles es más apropiado al comparar su rendimiento con el de otros. (h) La respuesta a la parte (b) no cambiaría ya que las puntuaciones Z se pueden calcular para distribuciones que no son normales. Sin embargo, no podríamos responder a las partes (d)-(f) ya que no podemos usar la tabla de probabilidad normal para calcular probabilidades y percentiles sin un modelo normal.

4.5 (a) Z = 0.84, que corresponde aproximadamente a 159 en RC. (b) Z = −0.52, que corresponde aproximadamente a 147 en RV.

\[4.7 \quad (\text{a)} \ Z = 1.2, \ P(Z > 1.2) = 0.1151.\]

2. Z = −1.28 → 70.6 ◦F o más frío.

4.9 (a) N(25, 2.78). (b) Z = 1.08, P(Z > 1.08) = 0.1401. (c) Las respuestas son muy similares porque solo se cambiaron las unidades. (La única razón por la que difieren es que 28◦C son 82.4◦F, no precisamente 83◦F.) (d) Dado que IQR = Q3 − Q1, primero debemos encontrar Q3 y Q1 y tomar la diferencia entre los dos. Recuerde que Q3 es el percentil 75 y Q1 es el percentil 25 de una distribución. Q1 = 23.13, Q3 = 26.86, IQR = 26. 86 - 23.13 = 3.73.

4.11 (a) No. Las cartas no son independientes. Por ejemplo, si la primera carta es un as de tréboles, eso implica que la segunda carta no puede ser un as de tréboles. Además, hay muchas categorías posibles, que deberían simplificarse. (b) No. Hay seis eventos en consideración. La distribución de Bernoulli permite solo dos eventos o categorías. Tenga en cuenta que lanzar un dado podría ser un ensayo de Bernoulli si simplificamos a dos eventos, por ejemplo, sacar un 6 y no sacar un 6, aunque sería necesario especificar tales detalles. 4.13 (a) 0.875²×0.125 = 0.096. (b) µ = 8, σ = 7.48. 4.15 Si p es la probabilidad de un éxito, entonces la media de una variable aleatoria de Bernoulli X viene dada por µ = E[X] = P(X = 0) × 0 + P(X = 1) × 1 = (1 − p) × 0 + p × 1 = 0 + p = p

4.17 (a) Se cumplen las condiciones binomiales: (1) Ensayos independientes: En una muestra aleatoria, si un joven de 18 a 20 años ha consumido alcohol o no, no depende de si otro lo ha hecho o no. (2) Número fijo de ensayos: n = 10. (3) Solo dos resultados en cada ensayo: Consumió o no consumió alcohol. (4) La probabilidad de un éxito es la misma para cada ensayo: p = 0.697. (b) 0.203. (c) 0.203. (d) 0.167. (e) 0.997. 4.19 (a) µ = 35, σ = 3.24 (b) Z = 45−35 ³.²⁴ = 3.09. 45 está a más de 3 desviaciones estándar de la media, podemos asumir que es una observación inusual. Por lo tanto, sí, nos sorprendería. (c) Usando la aproximación normal, 0.0010. Con corrección de 0.5, 0.0017.

4.21 (a) 1 − 0.75³ = 0.5781. (b) 0.1406. (c) 0.4219. (d) 1 − 0.25³ = 0.9844.

4.23 (a) Distribución geométrica: 0.109. (b) Binomial: 0.219. (c) Binomial: 0.137. (d) 1 − 0.875⁶ = 0.551. (e) Geométrica: 0.084. (f) Usando una distribución binomial con n = 6 y p = 0.75, vemos que µ = 4.5, σ = 1.06, y Z = 2.36. Dado que esto no está dentro de 2 DE, puede considerarse inusual.

4.25 (a) Anna 1/5 × Ben 1/4 × Carl 1/3 × Damian 1/2 × Eddy 1/1 = 1/5! = 1/120. (b) Dado que las probabilidades deben sumar 1, debe haber 5! = 120 posibles ordenamientos. (c) 8! = 40,320.

4.27 (a) Geométrica, 0.0804. (b) Binomial, 0.0322. (c) Binomial negativa, 0.0193.

4.29 (a) Binomial negativa con n = 4 y p = 0.55, donde un éxito se define aquí como una estudiante. El entorno binomial negativo es apropiado ya que el último ensayo es fijo pero se desconoce el orden de los primeros 3 ensayos. (b) 0.1838. (c) 3 1 = 3. (d) En el modelo binomial no hay restricciones sobre el resultado del último ensayo. En el modelo binomial negativo, el último ensayo es fijo. Por lo tanto, estamos interesados en el número de formas de ordenar los otros k − 1 éxitos en los primeros n − 1 ensayos.

4.31 (a) Poisson con λ = 75. (b) µ = λ = 75, σ = √ λ = 8.66. (c) Z = −1.73. Dado que 60 está dentro de 2 desviaciones estándar de la media, generalmente no se consideraría inusual. Tenga en cuenta que a menudo usamos esta regla empírica incluso cuando el modelo normal no se aplica. (d) Usando Poisson con λ = 75: 0.0402.

4.33 (a) ^{λ k}×e−^{λ k}! = 6.5 ⁵×e−6.⁵ 5! = 0.1454

2. La probabilidad será de 0.0015 + 0.0098 + 0.0318 = 0.0431 (0.0430 si no hay error de redondeo).

3. El número de personas por coche es de 11.7/6.5 = 1.8, lo que significa que las personas llegan en pequeños grupos. Es decir, si llega una persona, existe la posibilidad de que haya traído a una o más personas en su vehículo. Esto significa que los individuos (las personas) no son independientes, incluso si las llegadas de coches son independientes, y esto rompe una suposición central para la distribución de Poisson. Es decir, el número de personas que visitan entre las 2 pm y las 3 pm no seguiría una distribución de Poisson.

4.35 0 victorias (-$3): 0.1458. 1 victoria (-$1): 0.3936. 2 victorias (+$1): 0.3543. 3 victorias (+$3): 0.1063.

4.37 Queremos encontrar la probabilidad de que haya 1,787 o más inscritos. Usando la aproximación normal, con µ = np = 2, 500 × 0.7 = 1750 y σ = p np(1 ^{− p}) = ^√ 2, 500 × 0.7 × 0.3 ≈ 23, Z = 1.61, y P(Z > 1.61) = 0.0537. Con una corrección de 0.5: 0.0559.

4.39 (a) Z = 0.67. (b) µ = $1650, x = $1800. (c) 0.67 = ¹⁸⁰⁰−^{1650 σ} → σ = $223.88.

4.41 (a) (1−0.471)² ×0.471 = 0.1318. (b) 0.471³ =

5 Fundamentos para la inferencia

5.1 (a) Media. Cada estudiante informa un valor numérico: un número de horas. (b) Media. Cada estudiante informa un número, que es un porcentaje, y podemos promediar estos porcentajes. (c) Proporción. Cada estudiante informa Sí o No, por lo que esta es una variable categórica y usamos una proporción. (d) Media. Cada estudiante informa un número, que es un porcentaje como en la parte (b). (e) Proporción. Cada estudiante informa si espera o no conseguir un trabajo, por lo que esta es una variable categórica y usamos una proporción.

5.3 (a) La muestra proviene de todos los chips de computadora fabricados en la fábrica durante la semana de producción. Podríamos estar tentados de generalizar la población para representar todas las semanas, pero debemos tener precaución aquí, ya que la tasa de defectos puede cambiar con el tiempo. (b) La fracción de chips de computadora fabricados en la fábrica durante la semana de producción que tenían defectos. (c) Estimar el parámetro usando los datos: pˆ = 27 ²¹² = 0.127. (d) Error estándar (o EE). (e) Calcular el EE usando ˆp = 0.127 en lugar de p: 0.1045. (c) µ = 1/0.471 = 2.12, σ = √ 2.38 = 1.54. (d) µ = 1/0.30 = 3.33, σ = 2.79. (e) Cuando p es más pequeño, el evento es más raro, lo que significa que el número esperado de ensayos antes de un éxito y la desviación estándar del tiempo de espera son más altos.

4.43 Z = 1.56, P(Z > 1.56) = 0.0594, es decir, 6%.

4.45 (a) Z = 0.73, P(Z > 0.73) = 0.2327. (b) Si está pujando en una sola subasta y establece un precio máximo de puja bajo, es probable que alguien lo supere. Si establece un precio máximo de puja alto, puede ganar la subasta pero pagar más de lo necesario. Si puja en más de una subasta y establece su precio máximo de puja muy bajo, probablemente no ganará ninguna de las subastas. Sin embargo, si el precio máximo de puja es incluso modestamente alto, es probable que gane múltiples subastas. (c) Una respuesta aproximadamente igual al percentil 10 sería razonable. Lamentablemente, ningún punto de corte de percentil garantiza más allá de cualquier evento posible que gane al menos una subasta. Sin embargo, puede elegir un percentil más alto si quiere estar más seguro de ganar una subasta. (d) Las respuestas variarán un poco, pero deberían corresponder a la respuesta en la parte (c). Usamos el percentil 10: Z = −1.28 → $69.80.

4.47 (a) Z = 3.5, la cola superior es 0.0002. (Valor más preciso: 0.000233, pero usaremos 0.0002 para los cálculos aquí).

2. 0.0002 × 2000 = 0.4. Esperaríamos que aparecieran alrededor de 0.4 niños de 10 años que midan 76 pulgadas o más. (c) 2000 0 (0.0002)⁰ (1 − 0.0002)²⁰⁰⁰ = 0.67029.

(d) ⁰.^{4 0}×e−0.⁴ 0! = 1×e−0.^{4 1} = 0.67032.

EE ≈ qpˆ(1−pˆ) ⁿ = q0.127(1−0.127) ²¹² = 0.023. (f) El error estándar es la desviación estándar de ˆp. Un valor de 0.10 estaría a aproximadamente un error estándar del valor observado, lo que no representaría una desviación muy poco común. (Por lo general, más allá de aproximadamente 2 errores estándar es una buena regla empírica). El ingeniero no debería sorprenderse. (g) Error estándar recalculado usando p = 0.1: EE = q0.1(1−0.1) ²¹² = 0.021. Este valor no es muy diferente, lo cual es típico cuando el error estándar se calcula usando proporciones relativamente similares (e incluso a veces cuando esas proporciones son bastante diferentes!).

5.5 (a) Distribución muestral. (b) Si la proporción de la población está en el rango de 5-30%, la condición de éxito-fracaso se cumpliría y la distribución muestral sería simétrica. (c) Usamos la fórmula para el error estándar: EE = qp(1−p) ⁿ = q0.08(1−0.08) ⁸⁰⁰ = 0.0096. (d) Error estándar. (e) La distribución tenderá a ser más variable cuando tengamos menos observaciones por muestra.

5.7 Recuerde que la fórmula general es estimación puntual ± z ^⋆ × EE. Primero, identifique los tres valores diferentes. La estimación puntual es 45%, z ^⋆ = 1.96 para un nivel de confianza del 95%, y EE = 1.2%. Luego, conecte los valores en la fórmula: 45% ± 1.96 × 1.2% → (42.6%, 47.4%) Tenemos un 95% de confianza en que la proporción de adultos estadounidenses que viven con una o más condiciones crónicas está entre el 42.6% y el 47.4%.

5.9 (a) Falso. Los intervalos de confianza proporcionan un rango de valores plausibles, y a veces se pierde la verdad. Un intervalo de confianza del 95% “falla” aproximadamente el 5% de las veces. (b) Verdadero. Observe que la descripción se centra en el verdadero valor de la población. (c) Verdadero. Si examinamos el intervalo de confianza del 95% calculado en el Ejercicio 5.7, podemos ver que el 50% no está incluido en este intervalo. Esto significa que en una prueba de hipótesis, rechazaríamos la hipótesis nula de que la proporción es 0.5. (d) Falso. El error estándar describe la incertidumbre en la estimación general de las fluctuaciones naturales debido a la aleatoriedad, no la incertidumbre correspondiente a las respuestas de los individuos.

5.11 (a) Falso. La estimación puntual siempre está en el intervalo de confianza, y este es un uso sin sentido de un intervalo de confianza con una estimación puntual (porque la estimación puntual está, por diseño, listada dentro del intervalo de confianza). (b) Verdadero. (c) Falso. El intervalo de confianza no se trata de una media muestral. (d) Falso. Para estar más seguros de capturar el parámetro, necesitamos un intervalo más amplio. Piense en necesitar una red más grande para estar más seguros de atrapar un pez en un lago turbio. (e) Verdadero. Explicación opcional: Esto es cierto ya que el modelo normal se usó para modelar la media muestral. El margen de error es la mitad del ancho del intervalo, y la media muestral es el punto medio del intervalo. (f) Falso. En el cálculo del error estándar, dividimos la desviación estándar por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Para reducir a la mitad el EE (o margen de error), necesitaríamos muestrear 2² = 4 veces el número de personas en la muestra inicial.

5.13 (a) Los visitantes son de una muestra aleatoria simple, por lo que se satisface la independencia. La condición de éxito-fracaso también se satisface, con ambos 64 y 752 − 64 = 688 por encima de 10. Por lo tanto, podemos usar una distribución normal para modelar ˆp y construir un intervalo de confianza. (b) La proporción de la muestra es pˆ = 64 ⁷⁵² = 0.085. El error estándar es

\[\begin{split} EE &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \approx \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.085(1-0.085)}{752}} = 0.010 \end{split}\]

3. Para un intervalo de confianza del 90%, use z ^⋆ = 1.6449. El intervalo de confianza es 0.085 ± 1.6449 × 0.010 → (0.0683, 0.1017). Tenemos un 90% de confianza en que del 6.83% al 10.17% de los visitantes del sitio por primera vez se registrarán usando

el nuevo diseño.

5.15 (a) H⁰ : p = 0.5 (Ni una mayoría ni una minoría de las calificaciones de los estudiantes mejoraron) H^A : p ̸= 0.5 (Ya sea una mayoría o una minoría de las calificaciones de los estudiantes mejoraron)

2. H⁰ : µ = 15 (La cantidad promedio de tiempo de la empresa que cada empleado pasa sin trabajar es de 15 minutos para March Madness). H^A : µ ̸= 15 (La cantidad promedio de tiempo de la empresa que cada empleado pasa sin trabajar es diferente de 15 minutos para March Madness).

5.17 (1) Las hipótesis deben ser sobre la proporción de la población (p), no la proporción de la muestra. (2) La hipótesis nula debe tener un signo igual. (3) La hipótesis alternativa debe tener un signo no igual, y (4) debe hacer referencia al valor nulo, p⁰ = 0.6, no a la proporción de la muestra observada. La forma correcta de establecer estas hipótesis es: H⁰ : p = 0.6 y H^A : p ̸= 0.6.

5.19 (a) Esta afirmación es razonable, ya que todo el intervalo se encuentra por encima del 50%. (b) El valor del 70% se encuentra fuera del intervalo, por lo que tenemos evidencia convincente de que la conjetura del investigador es incorrecta. (c) Un intervalo de confianza del 90% será más estrecho que un intervalo de confianza del 95%. Incluso sin calcular el intervalo, podemos decir que el 70% no caería en el intervalo, y también rechazaríamos la conjetura del investigador basada en un nivel de confianza del 90%.

5.21 (i) Establecer hipótesis. H0: p = 0.5, HA: p ̸= 0.5. Usaremos un nivel de significancia de α = 0.05. (ii) Verificar las condiciones: una muestra aleatoria simple nos da independencia, y las condiciones de éxito-fracaso se satisfacen ya que 0.5 × 1000 = 500 para cada grupo p es al menos 10. (iii) A continuación, calculamos: EE = 0.5(1 − 0.5)/1000 = 0.016. Z = 0.42−0.5 ⁰.⁰¹⁶ = −5, que tiene un área de una cola de aproximadamente 0.0000003, por lo que el valor p es el doble de esta área de una cola en 0.0000006. (iv) Llegar a una conclusión: Debido a que el valor p es menor que α = 0.05, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que la fracción de adultos estadounidenses que creen que aumentar el salario mínimo ayudará a la economía no es del 50%. Debido a que el valor observado es menor que el 50% y hemos rechazado la hipótesis nula, podemos concluir que esta creencia es compartida por menos del 50% de los adultos estadounidenses. (Como referencia, la encuesta también explora el apoyo para cambiar el salario mínimo, que es una pregunta diferente a si ayudará a la economía).

5.23 Si el valor p es 0.05, esto significa que el estadístico de prueba sería Z = −1.96 o Z = 1.96. Mostraremos los cálculos para Z = 1.96. Error estándar: EE = p 0.3(1 − 0.3)/90 = 0.048. Finalmente, establezca la fórmula del estadístico de prueba y resuelva para ˆp: 1.96 = pˆ−0.3 ⁰.⁰⁴⁸ → pˆ = 0.394 Alternativamente, si se usó Z = −1.96: ˆp = 0.206.

5.25 (a) H0: Los antidepresivos no afectan los síntomas de la fibromialgia. HA: Los antidepresivos sí afectan los síntomas de la fibromialgia (ya sea ayudando o perjudicando). (b) Concluir que los antidepresivos ayudan o empeoran los síntomas de la fibromialgia cuando en realidad no hacen ninguna de las dos cosas. (c) Concluir que los antidepresivos no afectan los síntomas de la fibromialgia cuando en realidad sí lo hacen.

5.27 (a) Tenemos un 95% de confianza en que los estadounidenses pasan un promedio de 1.38 a 1.92 horas por día relajándose o realizando actividades que disfrutan. (b) Su nivel de confianza debe ser más alto, ya que el ancho del intervalo de confianza aumenta a medida que aumenta el nivel de confianza. (c) El nuevo margen de error será más pequeño, ya que a medida que aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar disminuye, lo que disminuirá el margen de error.

5.29 (a) H0: El restaurante cumple con las regulaciones de seguridad alimentaria y saneamiento. HA: El restaurante no cumple con las regulaciones de seguridad alimentaria y saneamiento. (b) El inspector de seguridad alimentaria concluye que el restaurante no cumple con las regulaciones de seguridad alimentaria y saneamiento y cierra el restaurante cuando el restaurante en realidad es seguro. (c) El inspector de seguridad alimentaria concluye que el restaurante cumple con las regulaciones de seguridad alimentaria y saneamiento y el restaurante permanece abierto cuando el restaurante en realidad no es seguro. (d) Un error de tipo 1 puede ser más problemático para el propietario del restaurante, ya que su restaurante se cierra aunque cumpla con las regulaciones de seguridad alimentaria y saneamiento. (e) Un error de tipo 2 puede ser más problemático para los comensales, ya que el restaurante considerado seguro por el inspector en realidad no lo es. (f) Evidencia sólida. Los comensales preferirían que un restaurante que cumple con las regulaciones se cierre a que un restaurante que no cumple con las regulaciones no se cierre.

5.31 (a) H⁰ : punemp = punderemp: Las proporciones de personas desempleadas y subempleadas que tienen problemas de relación son iguales. H^A : punemp ̸= punderemp: Las proporciones de personas desempleadas y subempleadas que tienen problemas de relación son diferentes. (b) Si, de hecho, las dos proporciones de población son iguales, la probabilidad de observar al menos una diferencia del 2% entre las proporciones de muestra es aproximadamente 0.35. Dado que esta es una alta probabilidad, no podemos rechazar la hipótesis nula. Los datos no proporcionan evidencia convincente de que la proporción de personas desempleadas y subempleadas que tienen problemas de relación sea diferente.

5.33 Debido a que 130 está dentro del intervalo de confianza, no tenemos evidencia convincente de que el promedio verdadero sea diferente de lo que sugiere la etiqueta nutricional.

5.35 Verdadero. Si el tamaño de la muestra es cada vez mayor, entonces el error estándar será cada vez más pequeño. Eventualmente, cuando el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande y el error estándar sea pequeño, podemos encontrar diferencias estadísticamente significativas pero muy pequeñas entre el valor nulo y la estimación puntual (asumiendo que no son exactamente iguales).

5.37 (a) En efecto, estamos verificando si a los hombres se les paga más que a las mujeres (o viceversa), y esperaríamos estos resultados con cualquier oportunidad bajo la hipótesis nula:

\[H\_0: p = 0.5 \qquad \qquad H\_A: p \neq 0.5\]

Usaremos p para representar la fracción de casos en los que a los hombres se les paga más que a las mujeres.

2. A continuación se muestra la finalización de la prueba de hipótesis.

• No hay una buena manera de verificar la independencia aquí, ya que los trabajos no son una muestra aleatoria simple. Sin embargo, la independencia no parece irrazonable, ya que los individuos en cada trabajo son diferentes entre sí. La condición de éxito-fracaso se cumple ya que la verificamos usando la proporción nula: p0n = (1 − p0)n = 10.5 es mayor que 10.
• Podemos calcular la proporción de la muestra, EE y el estadístico de prueba:

\[\begin{aligned} \dot{p} &= 19/21 = 0.905\\ EE &= \sqrt{\frac{0.5 \times (1 - 0.5)}{21}} = 0.109\\ Z &= \frac{0.905 - 0.5}{0.109} = 3.72 \end{aligned}\]

El estadístico de prueba Z corresponde a un área de cola superior de aproximadamente 0.0001, por lo que el valor p es 2 veces este valor: 0.0002.

• Debido a que el valor p es menor que 0 # 6 Inferencia para datos categóricos

6.1 (a) Falso. No satisface la condición de éxito-fracaso. (b) Verdadero. La condición de éxito-fracaso no se satisface. En la mayoría de las muestras esperaríamos que ˆp estuviera cerca de 0.08, la verdadera proporción de la población. Si bien pˆ puede estar muy por encima de 0.08, está limitado por debajo por 0, lo que sugiere que tendría una forma sesgada a la derecha. Graficar la distribución muestral confirmaría esta sospecha. (c) Falso. SEp^ˆ = 0.0243, y ˆp = 0.12 está solo a ⁰.12−0.^{08 0}.⁰²⁴³ = 1.65 SE de la media, lo que no se consideraría inusual. (d) Verdadero. ˆp = 0.12 está a 2.32 errores estándar de la media, lo que a menudo se considera inusual. (e) Falso. Disminuye el SE por un factor de 1/ √ 2.

6.3 (a) Verdadero. Véase el razonamiento de 6.1(b). (b) Verdadero. Tomamos la raíz cuadrada del tamaño de la muestra en la fórmula del SE. (c) Verdadero. Se satisfacen las condiciones de independencia y éxito-fracaso. (d) Verdadero. Se satisfacen las condiciones de independencia y éxito-fracaso.

6.5 (a) Falso. Se construye un intervalo de confianza para estimar la proporción de la población, no la proporción de la muestra. (b) Verdadero. IC del 95%: 82% ± 2%. (c) Verdadero. Por la definición del nivel de confianza. (d) Verdadero. Cuadriplicar el tamaño de la muestra disminuye el SE y el ME por un factor de 1/ √ 4. (e) Verdadero. El IC del 95% está completamente por encima del 50%.

6.7 Con una muestra aleatoria, se satisface la independencia. También se satisface la condición de éxito-fracaso. ME = z ⋆ qpˆ(1−pˆ) ⁿ = 1.96q0.56×0.^{44 600} = 0.0397 ≈ 4%

6.9 (a) No. La muestra solo representa a los estudiantes que tomaron el SAT, y también fue una encuesta en línea. (b) (0.5289, 0.5711). Tenemos un 90% de confianza en que del 53% al 57% de los estudiantes de último año de secundaria que tomaron el SAT están bastante seguros de que participarán en un programa de estudios en el extranjero en la universidad. (c) El 90% de tales muestras aleatorias producirían un intervalo de confianza del 90% que incluye la verdadera proporción. (d) Sí. El intervalo se encuentra completamente por encima del 50%.

6.11 (a) Queremos verificar si hay una mayoría (o minoría), por lo que utilizamos las siguientes hipótesis:

\[H\_0: p = 0.5 \qquad \qquad H\_{\Lambda}: p \neq 0.5\]

Tenemos una proporción muestral de ˆp = 0.55 y un tamaño de muestra de n = 617 independientes.

Dado que esta es una muestra aleatoria, se satisface la independencia. También se satisface la condición de éxito-fracaso: 617 × 0.5 y 617 × (1 − 0.5) son ambos al menos 10 (utilizamos la proporción nula p⁰ = 0.5 para esta verificación en una prueba de hipótesis de una proporción).

Por lo tanto, podemos modelar ˆp utilizando una distribución normal con un error estándar de

\[SE = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 0.02\]

(Utilizamos la proporción nula p⁰ = 0.5 para calcular el error estándar para una prueba de hipótesis de una proporción). A continuación, calculamos el estadístico de prueba:

\[Z = \frac{0.55 - 0.5}{0.02} = 2.5\]

Esto produce un área de una cola de 0.0062 y un valor p de 2 × 0.0062 = 0.0124.

Debido a que el valor p es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Tenemos evidencia sólida de que el apoyo es diferente de 0.5, y dado que los datos proporcionan una estimación puntual por encima de 0.5, tenemos evidencia sólida para apoyar esta afirmación del experto de la televisión.

2. No. Generalmente, esperamos que una prueba de hipótesis y un intervalo de confianza se alineen, por lo que esperaríamos que el intervalo de confianza muestre un rango de valores plausibles completamente por encima de 0.5. Sin embargo, si el nivel de confianza está desalineado (por ejemplo, un nivel de confianza del 99% y un nivel de significancia α = 0.05), entonces esto ya no es generalmente cierto.

6.13 (a) H⁰ : p = 0.5. H^A : p ̸= 0.5. La independencia (muestra aleatoria) se satisface, al igual que las condiciones de éxito-fracaso (utilizando p⁰ = 0.5, esperamos 40 éxitos y 40 fracasos). Z = 2.91 → el área de una cola es 0.0018, por lo que el valor p es 0.0036. Dado que el valor p < 0.05, rechazamos la hipótesis nula. Dado que rechazamos H⁰ y la estimación puntual sugiere que las personas son mejores que la adivinación aleatoria, podemos concluir que la tasa de identificación correcta de un refresco para estas personas es significativamente mejor que solo por adivinación aleatoria. (b) Si, de hecho, las personas no pueden distinguir entre refresco dietético y refresco normal y estaban adivinando al azar, la probabilidad de obtener una muestra aleatoria de 80 personas donde 53 o más identifiquen un refresco correctamente (o 53 o más identifiquen un refresco incorrectamente) sería 0.0036.

6.15 Debido a que una proporción muestral (ˆp = 0.55) está disponible, la utilizamos para los cálculos del tamaño de la muestra. El margen de error para un intervalo de confianza del 90% es 1.6449 × SE = 1.6449 × qp(1−p) n . Queremos que esto sea menor que 0.01, donde utilizamos ˆp en lugar de p:

\[1.6449 \times \sqrt{\frac{0.55(1 - 0.55)}{n}} \le 0.01\]

\[1.6449^2 \frac{0.55(1 - 0.55)}{0.01^2} \le n\]

De esto, obtenemos que n debe ser al menos 6697.

6.17 Este no es un experimento aleatorio, y no está claro si las personas se verían afectadas por el comportamiento de sus compañeros. Es decir, la independencia puede no mantenerse. Además, solo hay 5 intervenciones bajo el escenario provocativo, por lo que la condición de éxito-fracaso no se cumple. Incluso si consideramos una prueba de hipótesis donde agrupamos las proporciones, la condición de éxito-fracaso no se satisfará. Dado que una condición es cuestionable y la otra no se satisface, la diferencia en las proporciones de la muestra no seguirá una distribución casi normal.

6.19 (a) Falso. Todo el intervalo de confianza está por encima de 0. (b) Verdadero. (c) Verdadero. (d) Verdadero. (e) Falso. Son simplemente los valores negados y reordenados: (-0.06,- 0.02).

6.21 (a) Error estándar:

\[SE = \sqrt{\frac{0.79(1 - 0.79)}{347} + \frac{0.55(1 - 0.55)}{617}} = 0.03\]

Usando z ^⋆ = 1.96, obtenemos:

\[0.79 - 0.55 \pm 1.96 \times 0.03 \rightarrow (0.181, 0.299)\]

Tenemos un 95% de confianza en que la proporción de demócratas que apoyan el plan es entre un 18.1% y un 29.9% mayor que la proporción de independientes que apoyan el plan. (b) Verdadero.

6.23 (a) Graduados universitarios: 23.7%. No graduados universitarios: 33.7%. (b) Sean pCG y pNCG la proporción de graduados universitarios y no graduados universitarios que respondieron “no sé”. H⁰ : pCG = pNCG. H^A : pCG ̸= pNCG. La independencia se satisface (muestra aleatoria), y la condición de éxito-fracaso, que verificaríamos usando la proporción agrupada (ˆppool = 235/827 = 0.284), también se satisface. Z = −3.18 → valor p = 0.0014. Dado que el valor p es muy pequeño, rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia sólida de que la proporción de graduados universitarios que no tienen una opinión sobre este tema es diferente a la de los no graduados universitarios. Los datos también indican que menos graduados universitarios dicen que “no saben” que los no graduados universitarios (es decir, los datos indican la dirección después de que rechazamos H0).

6.25 (a) Graduados universitarios: 35.2%. No graduados universitarios: 33.9%. (b) Sean pCG y pNCG la proporción de graduados universitarios y no graduados universitarios que apoyan la perforación en alta mar. H⁰ : pCG = pNCG. H^A : pCG ̸= pNCG. La independencia se satisface (muestra aleatoria), y la condición de éxito-fracaso, que verificaríamos usando la proporción agrupada (ˆppool = 286/827 = 0.346), también se satisface. Z = 0.39 → valor p = 0.6966. Dado que el valor p > α (0.05), no rechazamos H0. Los datos no proporcionan evidencia sólida de una diferencia entre las proporciones de graduados universitarios y no graduados universitarios que apoyan la perforación en alta mar en California.

6.27 Subíndice ^C significa grupo de control. Subíndice ^T significa conductores de camiones. H⁰ : p^C = p^T . H^A : p^C ̸= p^T . La independencia se satisface (muestras aleatorias), al igual que la condición de éxito-fracaso, que verificaríamos usando la proporción agrupada (ˆppool = 70/495 = 0.141). Z = −1.65 → valor p = 0.0989. Dado que el valor p es alto (predeterminado en alfa = 0.05), no rechazamos H0. Los datos no proporcionan evidencia sólida de que las tasas de privación del sueño sean diferentes para los trabajadores no relacionados con el transporte y los conductores de camiones.6.29 (a) Resumen del estudio:

		Fracaso Virol.
		Sí	No	Total
Tratamiento	Nevaripina	26	94	120
	Lopinavir	10	110	120
	Total	36	204	240

2. H⁰ : p^N = pL. No hay diferencia en las tasas de fracaso virológico entre los grupos de Nevaripina y Lopinavir. H^A : p^N ̸= pL. Hay alguna diferencia en las tasas de fracaso virológico entre los grupos de Nevaripina y Lopinavir. (c) Se utilizó la asignación aleatoria, por lo que las observaciones en cada grupo son independientes. Si los pacientes en el estudio son representativos de los de la población general (algo imposible de verificar con la información dada), entonces también podemos generalizar con confianza los hallazgos a la población. La condición de éxito-fracaso, que verificaríamos usando la proporción agrupada (ˆppool = 36/240 = 0.15), se satisface. Z = 2.89 → valor p = 0.0039. Dado que el valor p es bajo, rechazamos H0. Existe evidencia sólida de una diferencia en las tasas de fracaso virológico entre los grupos de Nevaripina y Lopinavir. El tratamiento y el fracaso virológico no parecen ser independientes.

6.31 (a) Falso. La distribución chi-cuadrado tiene un parámetro llamado grados de libertad. (b) Verdadero. (c) Verdadero. (d) Falso. A medida que aumentan los grados de libertad, la forma de la distribución chi-cuadrado se vuelve más simétrica.

6.33 (a) H0: La distribución del formato del libro utilizado por los estudiantes sigue las predicciones del profesor. HA: La distribución del formato del libro utilizado por los estudiantes no sigue las predicciones del profesor. (b) Ecopia dura = 126×0.60 = 75.6. Eimpresión = 126 × 0.25 = 31.5. Een línea = 126 × 0.15 = 18.9. (c) Independencia: La muestra no es aleatoria. Sin embargo, si el profesor tiene motivos para creer que las proporciones son estables de un semestre a otro y los estudiantes no están afectando los hábitos de estudio de los demás, la independencia es probablemente razonable. Tamaño de la muestra: Todos los conteos esperados son al menos 5. (d) χ ² = 2.32, gl = 2, valor p = 0.313. (e) Dado que el valor p es grande, no rechazamos H0. Los datos no proporcionan evidencia sólida que indique que las predicciones del profesor fueron estadísticamente inexactas.

6.35 (a) Tabla de doble entrada:

	Dejar de fumar
Tratamiento	Sí	No	Total
Parche + grupo de apoyo	40	110	150
Solo parche	30	120	150
Total	70	230	300

(b-i) Efila1,col¹ = (total de la fila 1)×(total de la columna 1) tabla total = 35. Esto es más bajo que el valor observado.

(b-ii) Efila2,col² = (total de la fila 2)×(total de la columna 2) tabla total = 115. Esto es más bajo que el valor observado.

6.37 H0: La opinión de los graduados universitarios y los no graduados no es diferente en el tema de la perforación de petróleo y gas natural en la costa de California. HA: Las opiniones sobre la perforación de petróleo y gas natural en la costa de California tienen una asociación con la obtención de un título universitario.

\[\begin{aligned} E\_{fila\ 1,col\ 1} &= 151.5 & E\_{fila\ 1,col\ 2} &= 134.5\\ E\_{fila\ 2,col\ 1} &= 162.1 & E\_{fila\ 2,col\ 2} &= 143.9\\ E\_{fila\ 3,col\ 1} &= 124.5 & E\_{fila\ 3,col\ 2} &= 110.5 \end{aligned}\]

Independencia: Las muestras son aleatorias, no relacionadas y de menos del 10% de la población, por lo que la independencia entre las observaciones es razonable. Tamaño de la muestra: Todos los conteos esperados son al menos 5. χ ² = 11.47, gl = 2 → valor p = 0.003. Dado que el valor p < α, rechazamos H0. Existe evidencia sólida de que existe una asociación entre el apoyo a la perforación en alta mar y tener un título universitario.

6.39 No. Las muestras al principio y al final del semestre no son independientes, ya que la encuesta se realiza a los mismos estudiantes.

6.41 (a) H0: La edad de los residentes de Los Ángeles es independiente de la variable de preferencia del transportista de envío. HA: La edad de los residentes de Los Ángeles está asociada con la variable de preferencia del transportista de envío. (b) Las condiciones no se satisfacen, ya que algunos conteos esperados son inferiores a 5.

6.43 (a) La independencia se satisface (muestra aleatoria), al igual que la condición de éxito-fracaso (40 fumadores, 160 no fumadores). El IC del 95%: (0.145, 0.255). Tenemos un 95% de confianza en que del 14.5% al 25.5% de todos los estudiantes de esta universidad fuman. (b) Queremos que z ^⋆SE no sea mayor que 0.02 para un nivel de confianza del 95%. Usamos z ^⋆ = 1.96 e insertamos la estimación puntual ˆp = 0.2 dentro de la fórmula del SE: 1.96p 0.2(1 − 0.2)/n ≤ 0.02. El tamaño de la muestra n debe ser al menos 1,537.

6.45 (a) Proporción de graduados de esta universidad que encontraron un trabajo dentro de un año de graduarse. pˆ = 348/400 = 0.87. (b) Esta es una muestra aleatoria,

7 Inferencia para datos numéricos

7.1 (a) gl = 6 − 1 = 5, t ⋆ ⁵ = 2.02 (columna con dos colas de 0.10, fila con gl = 5). (b) gl = 21 − 1 = 20, t ⋆ ²⁰ = 2.53 (columna con dos colas de 0.02, fila con gl = 20). (c) gl = 28, t ⋆ ²⁸ = 2.05. (d) gl = 11, t ⋆ ¹¹ = 3.11.

7.3 (a) 0.085, no rechazar H0. (b) 0.003, rechazar H0. (c) 0.438, no rechazar H0. (d) 0.042, rechazar H0.

7.5 La media es el punto medio: x̄ = 20. Identificar el margen de error: ME = 1.015, luego usar t ⋆ ³⁵ = 2.03 y SE ⁼ s/^√ n en la fórmula para el margen de error para identificar s = 3.

por lo que las observaciones son independientes. La condición de éxito-fracaso se satisface: 348 éxitos, 52 fracasos, ambos muy por encima de 10. (c) (0.8371, 0.9029). Tenemos un 95% de confianza en que aproximadamente del 84% al 90% de los graduados de esta universidad encontraron un trabajo dentro de un año de completar su título de pregrado. (d) El 95% de tales muestras aleatorias producirían un intervalo de confianza del 95% que incluye la verdadera proporción de estudiantes en esta universidad que encontraron un trabajo dentro de un año de graduarse de la universidad. (e) (0.8267, 0.9133). Interpretación similar a la anterior. (f) El IC del 99% es más amplio, ya que estamos más seguros de que la verdadera proporción está dentro del intervalo y, por lo tanto, necesita cubrir un rango más amplio.

6.47 Use una prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado. H0: Cada opción es igualmente probable. HA: Algunas opciones se prefieren a otras. Tamaño total de la muestra: 99. Conteos esperados: (1/3) * 99 = 33 para cada opción. Todos estos están por encima de 5, por lo que se satisfacen las condiciones. gl = 3 − 1 = 2 y χ ² = (43−33)^{2 33} + (21−33)^{2 33} + (35−33)^{2 33} = 7.52 → valor p = 0.023. Dado que el valor p es menor que el 5%, rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia convincente de que algunas opciones se prefieren a otras.

6.49 (a) H⁰ : p = 0.38. H^A : p ̸= 0.38. La independencia (muestra aleatoria) y la condición de éxito-fracaso se satisfacen. Z = −20.5 → valor p ≈ 0. Dado que el valor p es muy pequeño, rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia sólida de que la proporción de estadounidenses que solo usan sus teléfonos celulares para acceder a Internet es diferente de la proporción china del 38%, y los datos indican que la proporción es menor en los EE. UU. (b) Si, de hecho, el 38% de los estadounidenses usaran sus teléfonos celulares como punto de acceso principal a Internet, la probabilidad de obtener una muestra aleatoria de 2,254 estadounidenses donde el 17% o menos o el 59% o más usen solo sus teléfonos celulares para acceder a Internet sería aproximadamente 0. (c) (0.1545, 0.1855). Tenemos un 95% de confianza en que aproximadamente del 15.5% al 18.6% de todos los estadounidenses usan principalmente sus teléfonos celulares para navegar por Internet.

7.7 (a) H0: µ = 8 (Los neoyorquinos duermen 8 horas por noche en promedio). HA: µ ̸= 8 (Los neoyorquinos duermen más o menos de 8 horas por noche en promedio). (b) Independencia: La muestra es aleatoria. El min/max sugiere que no hay valores atípicos preocupantes. T = −1.75. gl = 25 − 1 = 24. (c) valor p = 0.093. Si, de hecho, la verdadera media de la población de la cantidad que duermen los neoyorquinos por noche fuera de 8 horas, la probabilidad de obtener una muestra aleatoria de 25 neoyorquinos donde la cantidad promedio de sueño es de 7.73 horas por noche o menos (o 8.27 horas o más) es de 0.093. (d) Dado que el valor p > 0.05, no rechazar H0. Los datos no proporcionan evidencia sólida de que los neoyorquinos duerman más o menos de 8 horas por noche en promedio. (e) No, ya que el valor p es menor que 1 − 0.90 = 0.10.

7.9 T es -2.09 o 2.09. Entonces x̄ es uno de los siguientes:

\[-2.09 = \frac{\bar{x} - 60}{\frac{8}{\sqrt{20}}} \rightarrow \bar{x} = 56.26\]

\[2.09 = \frac{\bar{x} - 60}{\frac{8}{\sqrt{20}}} \rightarrow \bar{x} = 63.74\]

7.11 (a) Realizaremos una prueba t de 1 muestra. H0: µ = 5. HA: µ ̸= 5. Usaremos α = 0.05. Esta es una muestra aleatoria, por lo que las observaciones son independientes. Para continuar, asumimos que la distribución de años de clases de piano es aproximadamente normal. SE = 2.2/ √ 20 = 0.4919. El estadístico de prueba es T = (4.6 − 5)/SE = −0.81. gl = 20 − 1 = 19. El área de una cola es aproximadamente 0.21, por lo que el valor p es aproximadamente 0.42, que es mayor que α = 0.05 y no rechazamos H0. Es decir, no tenemos evidencia suficientemente sólida para rechazar la noción de que el promedio es de 5 años.

2. Usando SE = 0.4919 y t ⋆ gl=19 = 2.093, el intervalo de confianza es (3.57, 5.63). Tenemos un 95% de confianza en que el número promedio de años que un niño toma clases de piano en esta ciudad es de 3.57 a 5.63 años.

3. Están de acuerdo, ya que no rechazamos la hipótesis nula y el valor nulo de 5 estaba en el intervalo t.

7.13 Si la muestra es grande, entonces el margen de error será aproximadamente 1.96 × 100/ √ n. Queremos que este valor sea menor que 10, lo que lleva a n ≥ 384.16, lo que significa que necesitamos un tamaño de muestra de al menos 385 (¡redondear hacia arriba para los cálculos del tamaño de la muestra!).

7.15 Emparejado, los datos se registran en las mismas ciudades en dos puntos de tiempo diferentes. La calidad del aire en una ciudad en un punto no es independiente de la calidad del aire en la misma ciudad en otro punto de tiempo.

7.17 (a) Dado que son los mismos estudiantes al principio y al final del semestre, hay un emparejamiento entre los conjuntos de datos, para un estudiante dado, sus calificaciones al principio y al final del semestre son dependientes. (b) Dado que los sujetos se muestrearon aleatoriamente, cada observación en el grupo de hombres no tiene una correspondencia especial con exactamente una observación en el otro grupo (mujeres). (c) Dado que son los mismos sujetos al principio y al final del estudio, hay un emparejamiento entre los conjuntos de datos, para un estudiante sujeto, su grosor arterial al principio y al final del semestre es dependiente. (d) Dado que son los mismos sujetos al principio y al final del estudio, hay un emparejamiento entre los conjuntos de datos, para un estudiante sujeto, sus pesos al principio y al final del semestre son dependientes.

7.19 (a) Para cada observación en un conjunto de datos, hay exactamente una observación especialmente correspondiente en el otro conjunto de datos para la misma ubicación geográfica. Los datos están emparejados. (b) H⁰ : µdiff = 0 (No hay diferencia en el número promedio de días que exceden los 90°F en 1948 y 2018 para las estaciones de la NOAA). H^A : µdiff ̸= 0 (Hay una diferencia). (c) Las ubicaciones se muestrearon aleatoriamente, por lo que la independencia es razonable. El tamaño de la muestra es de al menos 30, por lo que solo estamos buscando valores atípicos particularmente extremos: ninguno está presente (la observación fuera de la izquierda en el histograma se consideraría un valor atípico claro, pero no particularmente extremo). Por lo tanto, se satisfacen las condiciones. (d) SE = 17.2/ √ 197 = 1.23. T = 2.9−0 ¹.²³ = 2.36 con grados de libertad gl = 197 − 1 = 196. Esto lleva a un área de una cola de 0.0096 y un valor p de aproximadamente 0.019. (e) Dado que el valor p es menor que 0.05, rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia sólida de que las estaciones de la NOAA observaron más días de 90°F en 2018 que en 1948. (f) Error de tipo 1, ya que podemos haber rechazado incorrectamente H0. Este error significaría que las estaciones de la NOAA en realidad no observaron una disminución, pero la muestra que tomamos simplemente resultó hacer que pareciera que este era el caso. (g) No, ya que rechazamos H0, que tenía un valor nulo de 0.

7.21 (a) SE = 1.23 y t ^⋆ = 1.65. 2.9 ± 1.65 × 1.23 → (0.87, 4.93).

2. Tenemos un 90% de confianza en que # 8 Introducción a la regresión lineal

8.1 (a) El gráfico de residuos mostrará residuos distribuidos aleatoriamente alrededor de 0. La varianza también es aproximadamente constante. (b) Los residuos mostrarán una forma de abanico, con mayor variabilidad para valores de x más pequeños. También habrá muchos puntos a la derecha por encima de la línea. Hay problemas con el modelo que se está ajustando aquí.

8.3 (a) Relación fuerte, pero una línea recta no se ajustaría a los datos. (b) Relación fuerte, y un ajuste lineal sería razonable. (c) Relación débil, e intentar un ajuste lineal sería razonable. (d) Relación moderada, pero una línea recta no se ajustaría a los datos. (e) Relación fuerte, y un ajuste lineal sería razonable. (f) Relación débil, e intentar un ajuste lineal sería razonable.

8.5 (a) Examen 2, ya que hay menos dispersión en el gráfico de la calificación del examen final versus el examen 2. Observe que la relación entre el Examen 1 y el Examen Final parece ser ligeramente no lineal. (b) El Examen 2 y el final están relativamente cerca cronológicamente, o el Examen 2 puede ser acumulativo, por lo que tiene mayores similitudes en el material con el examen final. Las respuestas pueden variar. 8.7 (a) r = −0.7 → (4). (b) r = 0.45 → (3). (c) r = 0.06 → (1). (d) r = 0.92 → (2).

8.9 (a) La relación es positiva, débil y posiblemente lineal. Sin embargo, parece haber algunas observaciones anómalas a lo largo de la izquierda donde varios estudiantes tienen la misma altura que está notablemente lejos de la nube de los otros puntos. Además, hay muchos estudiantes que parecen no haber conducido un automóvil, y están representados por un conjunto de puntos a lo largo de la parte inferior del diagrama de dispersión. (b) No hay una explicación obvia de por qué simplemente ser alto debería llevar a una persona a conducir más rápido. Sin embargo, un factor de confusión es el género. Los hombres tienden a ser más altos que las mujeres en promedio, y las experiencias personales (anecdóticas) pueden sugerir que conducen más rápido. Si siguiéramos esta sospecha, encontraríamos que los estudios sociológicos confirman esta sospecha. (c) Los hombres son más altos en promedio y conducen más rápido. La variable de género es, de hecho, una variable de confusión importante.

8.11 (a) Existe una relación algo débil, positiva, posiblemente lineal entre la distancia recorrida y el tiempo de viaje. Hay una agrupación cerca de la esquina inferior izquierda que debemos tener en cuenta. (b) Cambiar las unidades no cambiará la forma, la dirección o la fuerza de la relación entre las dos variables. Si las distancias más largas medidas en millas están asociadas con un tiempo de viaje más largo medido en minutos, las distancias más largas medidas en kilómetros se asociarán con un tiempo de viaje más largo medido en horas. (c) Cambiar las unidades no afecta la correlación: r = 0.636.

8.13 (a) Existe una relación moderada, positiva y lineal entre la circunferencia del hombro y la altura. (b) Cambiar las unidades, incluso si es solo para una de las variables, no cambiará la forma, la dirección o la fuerza de la relación entre las dos variables.

8.15 En cada parte, podemos escribir las edades de los esposos como una función lineal de las edades de las esposas.

• 1. edad^H = edad^W + 3.
• (b) edad^H = edad^W − 2.
• 3. edad^H = 2 × edad^W .

Dado que las pendientes son positivas y estas son relaciones lineales perfectas, la correlación será exactamente 1 en las tres partes. Una forma alternativa de obtener información sobre esta solución es crear un conjunto de datos simulados, por ejemplo, 5 mujeres de 26, 27, 28, 29 y 30 años, luego encontrar las edades de los esposos para cada esposa en cada parte y crear un diagrama de dispersión.

8.17 Correlación: sin unidades. Intercepto: kg. Pendiente: kg/cm.

8.19 Sobreestimar. Dado que el residuo se calcula como observado − predicho, un residuo negativo significa que el valor predicho es mayor que el valor observado.

8.21 (a) Existe una asociación lineal positiva, muy fuerte entre el número de turistas y el gasto. (b) Explicativa: número de turistas (en miles). Respuesta: gasto (en millones de dólares estadounidenses). (c) Podemos predecir el gasto para un número dado de turistas utilizando una línea de regresión. Esta puede ser información útil para determinar cuánto puede querer gastar el país en publicidad en el extranjero, o para pronosticar los ingresos esperados del turismo. (d) Aunque la relación parece lineal en el diagrama de dispersión, el diagrama de residuos en realidad muestra una relación no lineal. Esta no es una contradicción: los diagramas de residuos pueden mostrar divergencias de la linealidad que pueden ser difíciles de ver en un diagrama de dispersión. Un modelo lineal simple es inadecuado para modelar estos datos. También es importante considerar que estos datos se observan secuencialmente, lo que significa que puede haber una estructura oculta que no es evidente en los gráficos actuales, pero que es importante considerar.

8.23 (a) Primero calcule la pendiente: b¹ = R×sy/s^x = 0.636 × 113/99 = 0.726. Luego, haga uso del hecho de que la línea de regresión pasa por el punto (¯x, y¯): ¯y = b⁰ +b¹ ×x¯. Inserte ¯x, ¯y y b1, y resuelva para ^b0: 51. Solución: tiempo de viaje ^d = 51 + 0.^{726 ×} distancia. (b) b1: Por cada milla adicional en la distancia, el modelo predice 0.726 minutos adicionales en el tiempo de viaje. b0: Cuando la distancia recorrida es de 0 millas, se espera que el tiempo de viaje sea de 51 minutos. No tiene sentido tener una distancia de viaje de 0 millas en este contexto. Aquí, la intersección y solo sirve para ajustar la altura de la línea y no tiene sentido por sí misma. (c) R ² = 0.636² = 0.40. Alrededor del 40% de la variabilidad en el tiempo de viaje se explica por el modelo, es decir, se explica por la distancia recorrida. (d) tiempo de viaje ^d = 51 + 0.^{726 ×} distancia ⁼ 51 + 0.726×103 ≈ 126 minutos. (Nota: debemos ser cautelosos en nuestras predicciones con este modelo, ya que aún no hemos evaluado si es un modelo bien ajustado). (e) eⁱ = yⁱ − yˆⁱ = 168 − 126 = 42 minutos. Un residuo positivo significa que el modelo subestima el tiempo de viaje. (f) No, este cálculo requeriría extrapolación.

8.25 (a) asesinatos ^{d = −}29.901 + 2.^{559 ×} %pobreza. (b) La tasa de asesinatos esperada en áreas metropolitanas sin pobreza es de -29.901 por millón. Este obviamente no es un valor significativo, solo sirve para ajustar la altura de la línea de regresión. (c) Por cada aumento porcentual adicional en la pobreza, esperamos que los asesinatos por millón sean más altos en promedio en 2.559. (d) El nivel de pobreza explica el 70.52% de la variabilidad en las tasas de asesinatos en áreas metropolitanas. (e) ^√ 0.7052 = 0.8398.

8.27 (a) Hay un valor atípico en la parte inferior derecha. Dado que está lejos del centro de los datos, es un punto con alto apalancamiento. También es un punto influyente ya que, sin esa observación, la línea de regresión tendría una pendiente muy diferente.

2. Hay un valor atípico en la parte inferior derecha. Dado que está lejos del centro de los datos, es un punto con alto apalancamiento. Sin embargo, no parece estar afectando mucho la línea, por lo que no es un punto influyente.

3. La observación está en el centro de los datos (en la dirección del eje x), por lo que este punto no tiene un alto apalancamiento. Esto significa que el punto no tendrá mucho efecto en la pendiente de la línea y, por lo tanto, no es un punto influyente.

8.29 (a) Existe una relación negativa, de moderada a fuerte, algo lineal entre el porcentaje de familias que son propietarias de su casa y el porcentaje de la población que vive en áreas urbanas en 2010. Hay un valor atípico: un estado donde el 100% de la población es urbana. La variabilidad en el porcentaje de propiedad de vivienda también aumenta a medida que nos movemos de izquierda a derecha en el gráfico. (b) El valor atípico se encuentra en la esquina inferior derecha, horizontalmente lejos del centro de los otros puntos, por lo que es un punto con alto apalancamiento. Es un punto influyente, ya que excluir este punto del análisis afectaría en gran medida la pendiente de la línea de regresión.

8.31 (a) La relación es positiva, de moderada a fuerte y lineal. Hay algunos valores atípicos, pero no hay puntos que parezcan ser influyentes.

2. peso ^{d = −}105.0113 + 1.^{0176 ×} altura.

Pendiente: por cada centímetro adicional de altura, el modelo predice que el peso promedio será de 1.0176 kilogramos adicionales (aproximadamente 2.2 libras).

Intercepto: se espera que las personas que miden 0 centímetros pesen -105.0113 kilogramos. Obviamente, esto no es posible. Aquí, la intersección y solo sirve para ajustar la altura de la línea y no tiene sentido por sí misma.

3. H0: El verdadero coeficiente de pendiente de la altura es cero (β¹ = 0).

HA: El verdadero coeficiente de pendiente de la altura es diferente de cero (β¹ ̸= 0).

El valor p para la hipótesis alternativa bilateral (β¹ ̸= 0) es increíblemente pequeño, por lo que rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia convincente de que la altura y el peso están correlacionados positivamente. El verdadero parámetro de pendiente es de hecho mayor que 0.

4. R ² = 0.72² = 0.52. Aproximadamente el 52% de la variabilidad en el peso se puede explicar por la altura de los individuos.

8.33 (a) H0: β¹ = 0. HA: β¹ ̸= 0. El valor p, como se informa en la tabla, es increíblemente pequeño y es menor que 0.05, por lo que rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia convincente de que las alturas de las esposas y los esposos están correlacionadas positivamente.

2. altura ^{d W} = 43.5755 + 0.^{2863 ×} alturaH.

3. Pendiente: por cada pulgada adicional en la altura del esposo, se espera que la altura promedio de la esposa sea de 0.2863 pulgadas adicionales en promedio. Intercepto: se espera que los hombres que miden 0 pulgadas tengan esposas que midan, en promedio, 43.5755 pulgadas de altura. El intercepto aquí no tiene sentido y solo sirve para ajustar la altura de la línea.

4. La pendiente es positiva, por lo que r también debe ser positiva. r = √ 0.09 = 0.30.

5. 63.33. Dado que R 2 es bajo, la predicción basada en este modelo de regresión no es muy confiable.

(f) No, debemos evitar la extrapolación.

8.35 (a) H⁰ : β¹ = 0; H^A : β¹ ̸= 0 (b) El valor p para esta prueba es aproximadamente 0, por lo tanto, rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia convincente de que el porcentaje de pobreza es un predictor significativo de la tasa de asesinatos. (c) n = 20, df = 18, T ^{∗ 18} = 2.10; 2.559±2.10×0.390 = (1.74, 3.378); Por cada punto porcentual que la pobreza sea mayor, se espera que la tasa de asesinatos sea mayor en promedio de 1.74 a 3.378 por millón. (d) Sí, rechazamos H⁰ y el intervalo de confianza no incluye 0.

8.37 (a) Verdadero. (b) Falso, la correlación es una medida de la asociación lineal entre dos variables numéricas cualquiera.

8.39 (a) La estimación puntual y el error estándar son b¹ = 0.9112 y SE = 0.0259. Podemos calcular una puntuación T: T = (0.9112 − 1)/0.0259 = −3.43. Usando df = 168, el valor p es de aproximadamente 0.001, que es menor que α = 0.05. Es decir, los datos proporcionan una fuerte evidencia de que la diferencia promedio entre las edades de los esposos y las esposas en realidad ha cambiado con el tiempo. (b) edad ^dW = 1.5740 + 0.^{9112 ×} edadH. (c) Pendiente: por cada año adicional en la edad del esposo, el modelo predice 0.9112 años adicionales en la edad de la esposa. Esto significa que las edades de las esposas tienden a ser más bajas para las edades posteriores, lo que sugiere que la brecha promedio de edad entre el esposo y la esposa es mayor para las personas mayores. Intercepto: se espera que los hombres que tienen 0 años tengan esposas que tengan en promedio 1.5740 años. El intercepto aquí no tiene sentido y solo sirve para ajustar la altura de la línea. (d) R = √ 0.88 = 0.94. La regresión de las edades de las esposas sobre las edades de los esposos tiene un positivo

9 Regresión múltiple y logística

9.1 (a) pesobebé = 123.05−8.94×fumar (b) El peso corporal estimado de los bebés nacidos de madres fumadoras es 8.94 onzas menor que el de los bebés nacidos de madres no fumadoras. Fumadora: 123.05−8.94×1 = 114.11 onzas. No fumadora: 123.05 − 8.94 × 0 = 123.05 onzas. (c) H0: β¹ = 0. HA: β¹ ̸= 0. T = −8.65, y el valor p es aproximadamente 0. Dado que el valor p es muy pequeño, rechazamos H0. Los datos proporcionan evidencia sólida de que el parámetro de la pendiente verdadera es diferente de 0 y de que existe una asociación entre el peso al nacer y el tabaquismo. Además, al haber rechazado H0, podemos concluir que el tabaquismo está asociado con pesos al nacer más bajos.

9.3 (a) pesobebé ^{= −}80.41 + 0.^{44 ×} gestación ⁻ 3.33 × paridad − 0.01 × edad + 1.15 × altura + 0.05 × peso − 8.40 × fumar. (b) βgestación: El modelo predice un aumento de 0.44 onzas en el peso al nacer del bebé por cada día adicional de embarazo, manteniendo todo lo demás constante. βedad: El modelo predice una disminución de 0.01 onzas en el peso al nacer del bebé por cada año adicional en la edad de la madre, manteniendo todo lo demás constante. (c) La paridad podría estar correlacionada con una de las otras variables en el modelo, lo que complica la estimación del modelo. (d) pesobebé = 120.58. ^{e =} 120 − 120.58 = −0.58. El modelo sobrepredice el peso al nacer de este bebé. (e) R ² = 0.2504. R 2 adj = 0.2468.

9.5 (a) (-0.32, 0.16). Tenemos un 95% de confianza en que los estudiantes varones en promedio tienen GPAs 0.32 puntos más bajos a 0.16 puntos más altos que las mujeres cuando se controla por las otras variables en el modelo. (b) Sí, dado que el valor p es mayor que 0.05 en todos los casos (sin incluir la intersección).

9.7 Eliminar la edad.

9.9 Basándonos únicamente en el valor p, ya sea la gestación o

pendiente, por lo que el coeficiente de correlación será positivo. (e) edad ^dW = 1.5740 + 0.^{9112 ×} 55 = 51.69. Dado que ^R 2 es bastante alto, la predicción basada en este modelo de regresión es fiable. (f) No, no deberíamos utilizar el mismo modelo para predecir la edad de la esposa de un hombre de 85 años. Esto requeriría extrapolación. El diagrama de dispersión de un ejercicio anterior muestra que los maridos en este conjunto de datos tienen aproximadamente entre 20 y 65 años. El modelo de regresión puede no ser razonable fuera de este rango.

8.41 Hay una tendencia ascendente. Sin embargo, la variabilidad es mayor para los recuentos de calorías más altos, y parece que podría haber dos grupos de observaciones por encima y por debajo de la línea a la derecha, por lo que deberíamos ser cautelosos al ajustar un modelo lineal a estos datos.

8.43 (a) r = −0.72 → (2) (b) r = 0.07 → (4) (c) r = 0.86 → (1) (d) r = 0.99 → (3)

fumar debería añadirse al modelo primero. Sin embargo, dado que la R 2 ajustada para el modelo con gestación es mayor, sería preferible añadir la gestación en el primer paso del algoritmo de selección hacia adelante. (Otras explicaciones son posibles. Por ejemplo, sería razonable utilizar únicamente la R 2 ajustada.)

9.11 Ella debería utilizar la selección por valor p, ya que está interesada en averiguar acerca de los predictores significativos, no sólo en optimizar las predicciones.

9.13 Residuos casi normales: Con tantas observaciones en el conjunto de datos, buscamos valores atípicos particularmente extremos en el histograma y no vemos ninguno. Variabilidad de los residuos: El diagrama de dispersión de los residuos frente a los valores ajustados no muestra ninguna estructura general. Sin embargo, los valores que tienen valores ajustados muy bajos o muy altos parecen tener también valores atípicos algo mayores. Además, los residuos parecen tener una variabilidad constante entre los dos grupos de paridad y estado de tabaquismo, aunque estos elementos son relativamente menores.

Residuos independientes: El diagrama de dispersión de los residuos frente al orden de la recopilación de datos muestra una dispersión aleatoria, lo que sugiere que no hay estructuras aparentes relacionadas con el orden en que se recopilaron los datos.

Relaciones lineales entre la variable de respuesta y las variables explicativas numéricas: Los residuos frente a la altura y el peso de la madre se distribuyen aleatoriamente alrededor de 0. Los residuos frente al diagrama de la duración de la gestación tampoco muestran ninguna estructura restante clara o fuerte, con la posible excepción de gestaciones muy cortas o largas. El resto de los residuos parecen distribuirse aleatoriamente alrededor de 0. Todas las preocupaciones planteadas aquí son relativamente leves. Hay

algunos valores atípicos, pero hay tantos datos que la influencia de tales observaciones será menor.

9.15 (a) Hay algunos valores atípicos potenciales, por ejemplo, a la izquierda en la variable de longitud total, pero nada que sea motivo de seria preocupación en un conjunto de datos tan grande. (b) Cuando las estimaciones de los coeficientes son sensibles a las variables que se incluyen en el modelo, esto normalmente indica que algunas variables son colineales. Por ejemplo, el género de una zarigüeya puede estar relacionado con la longitud de su cabeza, lo que explicaría por qué el coeficiente (y el valor p) para el sexo masculino cambió cuando eliminamos la variable de longitud de la cabeza. Del mismo modo, es probable que el ancho del cráneo de una zarigüeya esté relacionado con la longitud de su cabeza, probablemente incluso mucho más estrechamente relacionado que la longitud de la cabeza con el género.

9.17 (a) El modelo logístico que relaciona ˆpⁱ con los predictores puede escribirse como log pˆi 1−pˆi = 33.5095 − 1.4207×sexo masculinoi−0.2787×ancho de cráneoi+0.5687× longitud totalⁱ − 1.8057 × longitud de la colai. Sólo la longitud total tiene una asociación positiva con que una zarigüeya sea de Victoria. (b) ˆp = 0.0062. Si bien la probabilidad está muy cerca de cero, no hemos ejecutado diagnósticos en el modelo. También podríamos ser un poco escépticos de que el modelo siga siendo preciso para una zarigüeya encontrada en un zoológico de EE.UU. Por ejemplo, tal vez el zoológico seleccionó una zarigüeya con características específicas pero sólo buscó en una región. Por otro lado, es alentador que la zarigüeya fuera capturada en la naturaleza. (Las respuestas sobre la fiabilidad de la probabilidad del modelo variarán).

9.19 (a) Falso. Cuando los predictores son colineales, significa que están correlacionados, y la inclusión de una variable puede tener una influencia sustancial en la estimación puntual (y el error estándar) de otra. (b) Verdadero. (c) Falso. Este sólo sería el caso si los datos fueran de un experimento y x¹ fuera una de las variables establecidas por los investigadores. (La regresión múltiple puede ser útil para formar hipótesis sobre relaciones causales, pero ofrece cero garantías). (d) Falso. Deberíamos comprobar la normalidad como lo haríamos para la inferencia para una sola media: buscamos valores atípicos particularmente extremos si n ≥ 30 o valores atípicos claros si n < 30.

9.21 (a) exclam subj debe ser eliminado, ya que su eliminación reduce más el AIC (y el modelo resultante tiene un AIC más bajo que el modelo Ninguno Eliminado). (b) Eliminar cualquier variable aumentará el AIC, por lo que no deberíamos eliminar ninguna variable de este conjunto.

9.23 (a) La ecuación es:

\[\begin{aligned} \log\left(\frac{p\_i}{1-p\_i}\right) &= -0.8124 \\ &- 2.6351 \times \text{to\\_utiliple} \\ &+ 1.6272 \times \text{winmer} \\ &- 1.5881 \times \text{format} \\ &- 3.0467 \times \text{re\\_subj} \end{aligned}\]

(b) Primero encuentra log p 1−p , luego resuelve para p:

\[\begin{aligned} &\log\left(\frac{p}{1-p}\right) \\ &= -0.8124 - 2.6351 \times 0 + 1.6272 \times 1 \\ &\quad - 1.5881 \times 0 - 3.0467 \times 0 \\ &= 0.8148 \\ &\quad \frac{p}{1-p} = e^{0.8148} \quad \rightarrow \quad p = 0.693 \end{aligned}\]

(c) Probablemente debería ser bastante alto, ya que podría ser muy perjudicial para la persona que utiliza el servicio de correo electrónico si le faltan correos electrónicos que no son spam. Incluso sólo una probabilidad del 90% de que un mensaje sea spam es probablemente suficiente para justificar mantenerlo en la bandeja de entrada. Tal vez una probabilidad del 99% sería un punto de corte razonable. En cuanto a otras ideas para hacerlo aún mejor, puede valer la pena construir un segundo modelo que intente clasificar la importancia de un mensaje de correo electrónico. Si tenemos tanto el modelo de spam como el modelo de importancia, ahora tenemos una mejor manera de pensar en las compensaciones de costo-beneficio. Por ejemplo, tal vez estaríamos dispuestos a tener un umbral de probabilidad de spam más bajo para los mensajes que estamos seguros de que no son importantes, y tal vez queremos un umbral de probabilidad aún más alto (por ejemplo, 99.99%) para los correos electrónicos que estamos bastante seguros de que son importantes.

Apéndice B Conjuntos de datos dentro del texto

Cada conjunto de datos dentro del texto se describe en este apéndice, y hay una página correspondiente para cada uno de estos conjuntos de datos en openintro.org/data. Esta página también incluye conjuntos de datos adicionales que se pueden utilizar para perfeccionar sus habilidades. Cada conjunto de datos tiene su propia página con la siguiente información:

• Lista de las variables del conjunto de datos.
• Descarga CSV.
• Descarga del archivo de objeto R.

B.1 Introducción a los datos

1.1 stent30, stent365 → Los datos del stent se dividen en dos conjuntos de datos, uno para los resultados de los días 0-30 y otro para los resultados de los días 0-365.

Chimowitz MI, Lynn MJ, Derdeyn CP, et al. 2011. Stenting versus Aggressive Medical Therapy for Intracranial Arterial Stenosis. New England Journal of Medicine 365:993-1003. www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa1105335.

Artículo del NY Times: www.nytimes.com/2011/09/08/health/research/08stent.html.

• 1.2 loan50, préstamos esquema completo → Estos datos provienen de Lending Club (lendingclub.com), que proporciona un gran conjunto de datos sobre las personas que recibieron préstamos a través de su plataforma. Los datos utilizados en el libro de texto provienen de una muestra de los préstamos realizados en el Q1 (enero, febrero, marzo) de 2018.
• 1.2 county, county completo → Estos datos provienen de varias fuentes gubernamentales. Para aquellas variables incluidas en el conjunto de datos del condado, sólo se reportan los datos más recientes, a partir de lo que estaba disponible a finales de 2018. Los datos anteriores a 2011 provienen de census.gov, donde la página específica de Datos Rápidos que proporciona los datos ya no está disponible. Los datos más recientes provienen de USDA (ers.usda.gov), Bureau of Labor Statistics (bls.gov/lau), SAIPE (census.gov/did/www/saipe), y American Community Survey (census.gov/programs-surveys/acs).
• 1.3 Estudio de salud de las enfermeras → Para obtener más información sobre este conjunto de datos, consulte www.channing.harvard.edu/nhs
• 1.4 El estudio que teníamos en mente al discutir el estudio de aleatorización simple (sin bloqueo) fue Anturane Reinfarction Trial Research Group. 1980. Sulfinpyrazone in the prevention of sudden death after myocardial infarction. New England Journal of Medicine 302(5):250-256.

B.2 Resumiendo datos

• 2.1 loan50, county → Estos conjuntos de datos se describen en el Apéndice de Datos B.1.
• 2.2 loan50, county → Estos conjuntos de datos se describen en el Apéndice de Datos B.1.
• 2.3 malaria → Lyke et al. 2017. La vacuna PfSPZ induce células T que trascienden la cepa y una protección duradera contra la infección heteróloga controlada por malaria humana. PNAS 114(10):2711-2716. www.pnas.org/content/114/10/2711

B.3 Probabilidad

• 3.1 loan50, county → Estos conjuntos de datos se describen en el Apéndice de Datos B.1.
• 3.1 Cartas de juego → Conjunto de datos que describe las 52 cartas de una baraja estándar.
• 3.2 college familiar → Datos simulados basados en resúmenes de población reales en nces.ed.gov/pubs2001/2001126.pdf.
• 3.2 viruela → Fenner F. 1988. La viruela y su erradicación (Historia de la Salud Pública Internacional, No. 6). Ginebra: Organización Mundial de la Salud. ISBN 92-4-156110-6.
• 3.2 Detección de mamografías, probabilidades → Las probabilidades informadas se obtuvieron utilizando estudios informados en www.breastcancer.org y www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1173421.
• 3.2 Visitas al campus de José, probabilidades → Este ejemplo fue inventado.
• 3.3 No se describieron conjuntos de datos en esta sección.
• 3.4 Compras de material del curso y probabilidades → Este ejemplo fue inventado.
• 3.4 Subastas de TV y tostadora → Este ejemplo fue inventado.
• 3.4 acciones 18 → Rentabilidades mensuales de Caterpillar, Exxon Mobil Corp y Google de noviembre de 2015 a octubre de 2018.
• 3.5 fcid → Esta muestra puede considerarse una muestra aleatoria simple de la población estadounidense. Se basa en la base de datos de ingesta de productos básicos alimenticios del USDA.

B.4 Distribuciones de variables aleatorias

4.1 Distribuciones de puntajes SAT y ACT → Los datos de puntaje SAT provienen de la distribución de 2018, que se proporciona en

reports.collegeboard.org/pdf/2018-total-group-sat-suite-assessments-annual-report.pdf Los datos de puntaje ACT están disponibles en

act.org/content/dam/act/unsecured/documents/cccr2018/P 99 999999 N S N00 ACT-GCPR National.pdf También reconocemos que la distribución real de puntajes ACT no es casi normal. Sin embargo, dado que el tema es muy accesible, decidimos mantener el contexto y los ejemplos.

• 4.1 Alturas de hombres → La distribución se basa en la base de datos de ingesta de productos básicos alimenticios del USDA.
• 4.1 possum → Los parámetros de distribución se basan en una muestra de zarigüeyas de Australia y Nueva Guinea. La fuente original de estos datos es la siguiente. Lindenmayer DB, et al. 1995. Variación morfológica entre columnas de la zarigüeya de cola de cepillo de montaña, Trichosurus caninus Ogilby (Phalangeridae: Marsupiala). Revista Australiana de Zoología 43: 449-458.
• 4.2 Exceder el deducible del seguro → Estas estadísticas fueron inventadas, pero son valores posibles que uno podría observar para planes de deducible bajo.
• 4.3 Exceder el deducible del seguro → Estas estadísticas fueron inventadas, pero son valores posibles que uno podría observar para planes de deducible bajo.
• 4.3 Amigos fumadores → Desafortunadamente, actualmente no tenemos información adicional sobre la fuente de la estadística del 30%, así que no considere esto como un hecho, ya que no podemos verificar que provenga de una fuente acreditada.
• 4.3 Tasa de tabaquismo en EE. UU. → La tasa de tabaquismo del 15% en la cifra de EE. UU. es cercana al valor del sitio web de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades, que informa un valor del 14% a partir de la estimación de 2017:

cdc.gov/tobacco/data statistics/fact sheets/adult data/cig smoking/index.htm

• 4.4 Pateador de fútbol americano → Este ejemplo fue inventado.
• 4.4 Ingresos por ataque cardíaco → Este ejemplo fue inventado, aunque los ingresos por ataque cardíaco son realistas para algunos hospitales.
• 4.5 ami ocurrencias → Este es un conjunto de datos simulado, pero se asemeja a los datos AMI reales para la ciudad de Nueva York basados en las tasas de incidencia típicas de AMI.

B.5 Fundamentos para la inferencia

5.1 pew energía 2018 → Los datos reales tienen más observaciones de las que se mencionaron en este capítulo. Es decir, usamos una submuestra, ya que ayudó a suavizar algunos de los ejemplos para tener un poco más de variabilidad. El conjunto de datos pew energy 2018 representa el conjunto de datos completo para cada una de las diferentes preguntas sobre fuentes de energía, que cubren la energía solar, eólica, perforación en alta mar, fracturamiento hidráulico y energía nuclear. Las estadísticas utilizadas para construir los datos provienen de la siguiente página:

www.pewinternet.org/2018/05/14/majorities-see-government-efforts-to-protect-the-environment-asinsufficient/

• 5.2 pew energía 2018 → Consulte los detalles de este conjunto de datos arriba en la sección de datos 5.1.
• 5.2 encuesta sobre el ébola → En la ciudad de Nueva York el 23 de octubre de 2014, un médico que había estado tratando recientemente a pacientes con ébola en Guinea fue al hospital con un poco de fiebre y posteriormente le diagnosticaron ébola. Poco después, una encuesta de NBC 4 New York/The Wall Street Journal/Marist encontró que el 82% de los neoyorquinos favorecían una “cuarentena obligatoria de 21 días para cualquier persona que haya estado en contacto con un paciente con ébola”. Esta encuesta incluyó respuestas de 1,042 adultos de Nueva York entre el 26 y el 28 de octubre de 2014. ID de la encuesta NY141026 en maristpoll.marist.edu.
• 5.3 pew energía 2018 → Consulte los detalles de este conjunto de datos arriba en la sección de datos 5.1.
• 5.3 Preguntas de Rosling → Notamos muestras mucho más pequeñas de las que los Rosling describen en su libro, Factfulness, Las muestras que describimos son similares pero no iguales a las tasas reales. Las tasas aproximadas para las respuestas correctas para las dos preguntas para poblaciones (a veces diferentes) discutidas en el libro, como se informa en Factfulness, son
  • El 80% de los niños de 1 año del mundo han sido vacunados contra alguna enfermedad: el 13% responde correctamente (el 17% en los EE. UU.). gapm.io/q9
  • Número de niños en el mundo en 2100: 9% correcto. gapm.io/q5

Aquí hay algunas preguntas más y un porcentaje aproximado de personas que las responden correctamente:

• En todos los países de bajos ingresos del mundo actual, ¿cuántas niñas terminan la escuela primaria: 20%, 40% o 60%? Respuesta: 60%. Alrededor del 7% de las personas responden correctamente esta pregunta. gapm.io/q1
• ¿Cuál es la esperanza de vida del mundo hoy: 50 años, 60 años o 70 años? Respuesta: 70 años. En los EE. UU., alrededor del 43% de las personas responden correctamente esta pregunta. gapm.io/q4
• En 1996, los tigres, los pandas gigantes y los rinocerontes negros figuraban como en peligro de extinción. ¿Cuántas de estas tres especies están hoy en mayor peligro de extinción: dos de ellas, una de ellas, ninguna de ellas? Respuesta: ninguna de ellas. Alrededor del 7% de las personas responden correctamente esta pregunta. gapm.io/q11
• ¿Cuántas personas en el mundo tienen acceso a la electricidad? 20%, 50%, 80%. Respuesta: 80%. Alrededor del 22% de las personas responden correctamente esta pregunta. gapm.io/q12

Para obtener más información, consulte el libro, Factfulness.

• 5.3 pew energía 2018 → Consulte los detalles de este conjunto de datos arriba en la sección de datos 5.1.
• 5.3 encuesta nuclear → Una muestra aleatoria simple de 1,028 adultos estadounidenses en marzo de 2013 encontró que el 56% de los adultos estadounidenses apoyan la reducción de armas nucleares. www.gallup.com/poll/161198/favor-russian-nuclear-arms-reductions.aspx
• 5.3 Fabricación de automóviles → Este ejemplo fue inventado.
• 5.3 stent30, stent365 → Estos conjuntos de datos se describen en el Apéndice de Datos B.1.

B.6 Inferencia para datos categóricos

• 6.1 Préstamos de día de pago → Las estadísticas provienen de la siguiente fuente: pewtrusts.org/-/media/assets/2017/04/payday-loan-customers-want-more-protections-methodology.pdf
• 6.1 Fábrica de neumáticos → Este ejemplo fue inventado.
• 6.2 cpr → B¨ottiger et al. Eficacia y seguridad de la terapia trombolítica después de una reanimación cardiopulmonar inicialmente infructuosa: un ensayo clínico prospectivo. The Lancet, 2001.
• 6.2 Aceite de pescado 18 → Manson JE, et al. 2018. Ácidos grasos marinos n-3 y prevención de enfermedades cardiovasculares y cáncer. NEJMoa1811403.
• 6.2 mamografía → Miller AB. 2014. Seguimiento de veinticinco años para la incidencia de cáncer de mama y mortalidad del Estudio Nacional Canadiense de Detección de Cáncer de Mama: ensayo de detección aleatorizado. BMJ 2014;348:g366.
• 6.2 aspas de drones → El conjunto de datos de control de calidad para las aspas de drones de cuadricóptero es un conjunto de datos inventado para un ejemplo. Proporcionamos los datos simulados en el conjunto de datos de aspas de drones.
• 6.3 jurado → El conjunto de datos del jurado para examinar la discriminación es un conjunto de datos inventado como ejemplo. Proporcionamos los datos simulados en el conjunto de datos del jurado.
• 6.3 sp500 1950 2018 → Los datos provienen de finance.yahoo.com.
• 6.4 ask → Minson JA, Ruedy NE, Schweitzer ME. Existe tal cosa como una pregunta estúpida: divulgación de preguntas en la comunicación estratégica. opim.wharton.upenn.edu/DPlab/papers/workingPapers/ Minson trabajando Ask%20(the%20Right%20Way)%20and%20You%20Shall%20Receive.pdf
• 6.4 diabetes2 → Zeitler P, et al. 2012. Un ensayo clínico para mantener el control glucémico en jóvenes con diabetes tipo 2. N Engl J Med.

B.7 Inferencia para datos numéricos

7.1 Delfines de Risso → Endo T and Haraguchi K. 2009. High mercury levels in hair samples from residents of Taiji, a Japanese whaling town. Marine Pollution Bulletin 60(5):743-747.

Taiji apareció en la película The Cove, y es una fuente importante de carne de delfín y ballena en Japón. Miles de delfines pasan por el área de Taiji anualmente, y asumimos que estos 19 delfines representan razonablemente una muestra aleatoria simple de esos delfines.

• 7.1 Corvinas → fda.gov/food/foodborneillnesscontaminants/metals/ucm115644.htm
• 7.1 run17 → www.cherryblossom.org
• 7.2 textbooks, ucla textbooks f18 → Los datos fueron recolectados por el personal de OpenIntro en 2010 y nuevamente en 2018. Para la muestra de 2018, muestreamos 201 cursos de UCLA. De estos, 68 requerían libros que se podían encontrar en Amazon. Los sitios web donde se recuperó la información: sa.ucla.edu/ro/public/soc, ucla.verbacompare.com, y amazon.com.
• 7.3 stem cells → Menard C, et al. 2005. Transplantation of cardiac-committed mouse embryonic stem cells to infarcted sheep myocardium: a preclinical study. The Lancet: 366:9490, p1005- 1012.
• 7.3 ncbirths → Registros de nacimiento publicados por Carolina del Norte en 2004. Desafortunadamente, actualmente no tenemos información adicional sobre la fuente de este conjunto de datos.
• 7.3 Versiones de examen → Este ejemplo fue inventado.
• 7.4 Estadísticas de presión arterial → La desviación estándar de la presión arterial para pacientes con presión arterial que oscila entre 140 y 180 mmHg es una estimación y puede ser un poco (pero probablemente no dramáticamente) imprecisa de lo que observaríamos en datos reales.
• 7.5 toy anova → Datos utilizados para la Figura 7.19, donde estos datos fueron inventados.
• 7.5 mlb players 18 → Los datos se recuperaron de mlb.mlb.com/stats. Solo se consideraron durante el análisis los jugadores con al menos 100 turnos al bate.
• 7.5 classdata → Este ejemplo fue inventado.

B.8 Introducción a la regresión lineal

• 8.1 simulated scatter → Datos falsos utilizados para los tres primeros gráficos. El gráfico lineal perfecto utiliza datos del grupo 4, donde la variable de grupo en el conjunto de datos (Figura 8.1). El grupo de 3 gráficos lineales imperfectos utiliza los grupos 1-3 (Figura 8.2). La curva sinusoidal utiliza datos del grupo 5 (Figura 8.3). El grupo de 3 diagramas de dispersión con diagramas de residuos utiliza los grupos 6-8 (Figura 8.8). Los diagramas de correlación utilizan datos de los grupos 9-19 (Figuras 8.9 y 8.10).
• 8.1 possum → Este conjunto de datos se describe en el Apéndice de datos B.4.
• 8.2 elmhurst → Estos datos fueron muestreados de una tabla de datos para todos los estudiantes de primer año de la clase de 2011 en Elmhurst College que acompañó a un artículo titulado What Students Really Pay to Go to College publicado en línea por The Chronicle of Higher Education: chronicle.com/article/What-Students-Really-Pay-to-Go/131435.
• 8.2 simulated scatter → Los gráficos para cosas que pueden salir mal utilizan los grupos 20-23 (Figura 8.12).
• 8.2 mariokart → Datos de subasta de Ebay (ebay.com) para el juego Mario Kart para Nintendo Wii. Este conjunto de datos fue recolectado a principios de octubre de 2009.
• 8.3 simulated scatter → Los gráficos para tipos de valores atípicos utilizan los grupos 24-29 (Figura 8.18).
• 8.4 midterms house → Los datos se recuperaron de Wikipedia.

B.9 Regresión múltiple y logística

• 9.1 loans full schema → Este conjunto de datos se describe en el Apéndice de datos B.1.
• 9.2 loans full schema → Este conjunto de datos se describe en el Apéndice de datos B.1.
• 9.3 loans full schema → Este conjunto de datos se describe en el Apéndice de datos B.1.
• 9.4 mariokart → Este conjunto de datos se describe en el Apéndice de datos B.8.
• 9.5 resume → Bertrand M, Mullainathan S. 2004. Are Emily and Greg More Employable than Lakisha and Jamal? A Field Experiment on Labor Market Discrimination. The American Economic Review 94:4 (991-1013). www.nber.org/papers/w9873

Omitimos la discusión de alguna estructura en los datos para el análisis presentado: el diseño del experimento incluyó el bloqueo, donde típicamente se enviaron cuatro currículums a cada trabajo: uno para cada combinación inferida de raza/sexo (como se infiere según el nombre). No nos preocupamos por este aspecto de bloqueo, ya que tener en cuenta el bloqueo reduciría el error estándar sin cambiar notablemente las estimaciones puntuales para las variables de raza y sexo en comparación con el análisis realizado en la sección. Es decir, las conclusiones más interesantes del estudio no se ven afectadas incluso al completar un análisis más sofisticado.

Apéndice C Tablas de distribución

C.1 Tabla de probabilidad normal

Se puede usar una tabla de probabilidad normal para encontrar percentiles de una distribución normal usando una puntuación Z, o viceversa. Dicha tabla enumera las puntuaciones Z y los percentiles correspondientes. En la Figura se proporciona una tabla de probabilidad abreviada C.1 que usaremos para los ejemplos de este apéndice. Se puede encontrar una tabla completa en la página 410.

	Segunda posición decimal de Z
Z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830

Figura C.1: Una sección de la tabla de probabilidad normal. Se ha resaltado el percentil para una variable aleatoria normal con Z = 1,00, y también se ha resaltado el percentil más cercano a 0,8000.

Cuando utilice una tabla de probabilidad normal para encontrar un percentil para Z (redondeado a dos decimales), identifique la fila correcta en la tabla de probabilidad normal hasta el primer decimal, y luego determine la columna que representa el segundo valor decimal. La intersección de esta fila y columna es el percentil de la observación. Por ejemplo, el percentil de Z = 0,45 se muestra en la fila 0,4 y la columna 0,05 en la Figura C.1: 0,6736, o el percentil 67,36.

Figura C.2: El área a la izquierda de Z representa el percentil de la observación.

EJEMPLO C.1

Los puntajes del SAT siguen una distribución normal, N(1100, 200). Ann obtuvo un puntaje de 1300 en su SAT con una puntuación Z correspondiente de Z = 1. Le gustaría saber en qué percentil se encuentra entre todos los examinados del SAT.

El percentil de Ann es el porcentaje de personas que obtuvieron un puntaje SAT más bajo que ella. Sombramos el área que representa a esos individuos en el siguiente gráfico:

El área total bajo la curva normal siempre es igual a 1, y la proporción de personas que obtuvieron una puntuación inferior a Ann en el SAT es igual al área sombreada en el gráfico. Encontramos esta área buscando en la fila 1.0 y la columna 0.00 en la tabla de probabilidad normal: 0.8413. En otras palabras, Ann se encuentra en el percentil 84 de los que toman el SAT.

EJEMPLO C.2

¿Cómo encontramos el área de la cola superior?

La tabla de probabilidad normal siempre da el área a la izquierda. Esto significa que si queremos el área a la derecha, primero encontramos la cola inferior y luego la restamos de 1. Por ejemplo, el 84.13% de las personas que tomaron el SAT obtuvieron una puntuación inferior a la de Ann, lo que significa que el 15.87% de las personas que tomaron el examen obtuvieron una puntuación superior a la de Ann.

También podemos encontrar la puntuación Z asociada con un percentil. Por ejemplo, para identificar Z para el percentil 80, buscamos el valor más cercano a 0.8000 en la parte central de la tabla: 0.7995. Determinamos la puntuación Z para el percentil 80 combinando los valores Z de la fila y la columna: 0.84.

EJEMPLO C.3

Encuentra la puntuación SAT para el percentil 80.

Buscamos el área hasta el valor en la tabla más cercano a 0.8000. El valor más cercano es 0.7995, que corresponde a Z = 0.84, donde 0.8 proviene del valor de la fila y 0.04 proviene del valor de la columna. A continuación, establecemos la ecuación para la puntuación Z y el valor desconocido x de la siguiente manera, y luego resolvemos para x:

\[Z = 0.84 = \frac{x - 1100}{200} \quad \rightarrow \quad x = 1268\]

El College Board escala las puntuaciones en incrementos de 10, por lo que el percentil 80 es 1270. (Informar 1268 habría estado perfectamente bien para nuestros propósitos).

Para obtener detalles adicionales sobre cómo trabajar con la distribución normal y la tabla de probabilidad normal, consulta la Sección 4.1, que comienza en la página 133.

Segunda cifra decimal de Z
0.09	0.08	0.07	0.06	0.05	0.04	0.03	0.02	0.01	0.00	Z
0.0002	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	−3.4
0.0003	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0005	0.0005	0.0005	−3.3
0.0005	0.0005	0.0005	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0007	0.0007	−3.2
0.0007	0.0007	0.0008	0.0008	0.0008	0.0008	0.0009	0.0009	0.0009	0.0010	−3.1
0.0010	0.0010	0.0011	0.0011	0.0011	0.0012	0.0012	0.0013	0.0013	0.0013	−3.0
0.0014	0.0014	0.0015	0.0015	0.0016	0.0016	0.0017	0.0018	0.0018	0.0019	−2.9
0.0019	0.0020	0.0021	0.0021	0.0022	0.0023	0.0023	0.0024	0.0025	0.0026	−2.8
0.0026	0.0027	0.0028	0.0029	0.0030	0.0031	0.0032	0.0033	0.0034	0.0035	−2.7
0.0036	0.0037	0.0038	0.0039	0.0040	0.0041	0.0043	0.0044	0.0045	0.0047	−2.6
0.0048	0.0049	0.0051	0.0052	0.0054	0.0055	0.0057	0.0059	0.0060	0.0062	−2.5
0.0064	0.0066	0.0068	0.0069	0.0071	0.0073	0.0075	0.0078	0.0080	0.0082	−2.4
0.0084	0.0087	0.0089	0.0091	0.0094	0.0096	0.0099	0.0102	0.0104	0.0107	−2.3
0.0110	0.0113	0.0116	0.0119	0.0122	0.0125	0.0129	0.0132	0.0136	0.0139	−2.2
0.0143	0.0146	0.0150	0.0154	0.0158	0.0162	0.0166	0.0170	0.0174	0.0179	−2.1
0.0183	0.0188	0.0192	0.0197	0.0202	0.0207	0.0212	0.0217	0.0222	0.0228	−2.0
0.0233	0.0239	0.0244	0.0250	0.0256	0.0262	0.0268	0.0274	0.0281	0.0287	−1.9
0.0294	0.0301	0.0307	0.0314	0.0322	0.0329	0.0336	0.0344	0.0351	0.0359	−1.8
0.0367	0.0375	0.0384	0.0392	0.0401	0.0409	0.0418	0.0427	0.0436	0.0446	−1.7
0.0455	0.0465	0.0475	0.0485	0.0495	0.0505	0.0516	0.0526	0.0537	0.0548	−1.6
0.0559	0.0571	0.0582	0.0594	0.0606	0.0618	0.0630	0.0643	0.0655	0.0668	−1.5
0.0681	0.0694	0.0708	0.0721	0.0735	0.0749	0.0764	0.0778	0.0793	0.0808	−1.4
0.0823	0.0838	0.0853	0.0869	0.0885	0.0901	0.0918	0.0934	0.0951	0.0968	−1.3
0.0985	0.1003	0.1020	0.1038	0.1056	0.1075	0.1093	0.1112	0.1131	0.1151	−1.2
0.1170	0.1190	0.1210	0.1230	0.1251	0.1271	0.1292	0.1314	0.1335	0.1357	−1.1
0.1379	0.1401	0.1423	0.1446	0.1469	0.1492	0.1515	0.1539	0.1562	0.1587	−1.0
0.1611	0.1635	0.1660	0.1685	0.1711	0.1736	0.1762	0.1788	0.1814	0.1841	−0.9
0.1867	0.1894	0.1922	0.1949	0.1977	0.2005	0.2033	0.2061	0.2090	0.2119	−0.8
0.2148	0.2177	0.2206	0.2236	0.2266	0.2296	0.2327	0.2358	0.2389	0.2420	−0.7
0.2451	0.2483	0.2514	0.2546	0.2578	0.2611	0.2643	0.2676	0.2709	0.2743	−0.6
0.2776	0.2810	0.2843	0.2877	0.2912	0.2946	0.2981	0.3015	0.3050	0.3085	−0.5
0.3121	0.3156	0.3192	0.3228	0.3264	0.3300	0.3336	0.3372	0.3409	0.3446	−0.4
0.3483	0.3520	0.3557	0.3594	0.3632	0.3669	0.3707	0.3745	0.3783	0.3821	−0.3
0.3859	0.3897	0.3936	0.3974	0.4013	0.4052	0.4090	0.4129	0.4168	0.4207	−0.2
0.4247	0.4286	0.4325	0.4364	0.4404	0.4443	0.4483	0.4522	0.4562	0.4602	−0.1
0.4641	0.4681	0.4721	0.4761	0.4801	0.4840	0.4880	0.4920	0.4960	0.5000	−0.0

^∗Para Z ≤ −3.50, la probabilidad es menor o igual a 0.0002.

Y

	Segunda cifra decimal de Z
Z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998

^∗Para Z ≥ 3.50, la probabilidad es mayor o igual a 0.9998.

C.2 Tabla de Probabilidad t

Se puede usar una tabla de probabilidad t para encontrar áreas de cola de una distribución t utilizando una puntuación T, o viceversa. Tal tabla enumera las puntuaciones T y los percentiles correspondientes. Se muestra una tabla t parcial en la Figura C.3, y la tabla completa comienza en la página 414. Cada fila en la tabla t representa una distribución t con diferentes grados de libertad. Las columnas corresponden a las probabilidades de la cola. Por ejemplo, si sabemos que estamos trabajando con la distribución t con gl = 18, podemos examinar la fila 18, que está resaltada en la Figura C.3. Si queremos el valor en esta fila que identifica la puntuación T (punto de corte) para una cola superior del 10%, podemos buscar en la columna donde una cola es 0.100. Este punto de corte es 1.33. Si hubiéramos querido el punto de corte para el 10% inferior, usaríamos -1.33. Al igual que la distribución normal, todas las distribuciones t son simétricas.

una cola	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
dos colas	0.200	0.100	0.050	0.020	0.010
gl 1	3.08	6.31	12.71	31.82	63.66
2	1.89	2.92	4.30	6.96	9.92
3	1.64	2.35	3.18	4.54	5.84
17	1.33	1.74	2.11	2.57	2.90
18	1.33	1.73	2.10	2.55	2.88
19	1.33	1.73	2.09	2.54	2.86
20	1.33	1.72	2.09	2.53	2.85
400	1.28	1.65	1.97	2.34	2.59
500	1.28	1.65	1.96	2.33	2.59
∞	1.28	1.64	1.96	2.33	2.58

Figura C.3: Una vista abreviada de la tabla t. Cada fila representa una distribución t diferente. Las columnas describen los puntos de corte para áreas de cola específicas. La fila con gl = 18 ha sido resaltada.

EJEMPLO C.4

¿Qué proporción de la distribución t con 18 grados de libertad cae por debajo de -2.10?

Al igual que un problema de probabilidad normal, primero dibujamos la imagen y sombreamos el área por debajo de -2.10:

Para encontrar esta área, primero identificamos la fila apropiada: df = 18. Luego identificamos la columna que contiene el valor absoluto de -2.10; es la tercera columna. Debido a que estamos buscando solo una cola, examinamos la línea superior de la tabla, que muestra que un área de una cola para un valor en la tercera fila corresponde a 0.025. Es decir, el 2.5% de la distribución cae por debajo de -2.10.

En el siguiente ejemplo, encontramos un caso en el que la puntuación T exacta no aparece en la tabla.

EJEMPLO C.5

Una distribución t con 20 grados de libertad se muestra en el panel izquierdo de la Figura C.4. Estime la proporción de la distribución que cae por encima de 1.65.

Identificamos la fila en la tabla t usando los grados de libertad: df = 20. Luego buscamos 1.65; no está listado. Cae entre la primera y la segunda columna. Dado que estos valores limitan 1.65, sus áreas de cola limitarán el área de la cola correspondiente a 1.65. Identificamos el área de una cola de la primera y segunda columnas, 0.050 y 0.10, y concluimos que entre el 5% y el 10% de la distribución está a más de 1.65 desviaciones estándar por encima de la media. Si lo deseamos, podemos identificar el área precisa utilizando software estadístico: 0.0573.

Figura C.4: Izquierda: La distribución t con 20 grados de libertad, con el área por encima de 1.65 sombreada. Derecha: La distribución t con 475 grados de libertad, con el área a más de 2 unidades de 0 sombreada.

EJEMPLO C.6

Una distribución t con 475 grados de libertad se muestra en el panel derecho de la Figura C.4. Estime la proporción de la distribución que cae a más de 2 unidades de la media (por encima o por debajo).

Como antes, primero identifique la fila apropiada: df = 475. ¡Esta fila no existe! Cuando esto sucede, usamos la siguiente fila más pequeña, que en este caso es df = 400. A continuación, encuentre las columnas que capturen 2.00; debido a que 1.97 < 3 < 2.34, usamos la tercera y cuarta columnas. Finalmente, encontramos los límites para las áreas de la cola observando los valores de dos colas: 0.02 y 0.05. Usamos los valores de dos colas porque estamos buscando dos colas simétricas en la distribución t.

PRÁCTICA GUIADA C.7

¿Qué proporción de la distribución t con 19 grados de libertad cae por encima de -1.79 unidades?1

EJEMPLO C.8

Encuentre el valor de t ⋆ ¹⁸ usando la tabla t, donde t ⋆ ¹⁸ es el punto de corte para la distribución t con 18 grados de libertad donde el 95% de la distribución se encuentra entre -t ⋆ ¹⁸ y +t ⋆ ¹⁸.

Para un intervalo de confianza del 95%, queremos encontrar el punto de corte t ⋆ ¹⁸ tal que el 95% de la distribución t esté entre -t ⋆ ¹⁸ y t ⋆ ¹⁸; esto es lo mismo que donde las dos colas tienen un área total de 0.05. Buscamos en la tabla t en la página 412, encontramos la columna con un área total de 0.05 en las dos colas (tercera columna) y luego la fila con 18 grados de libertad: t ⋆ ¹⁸ = 2.10.

¹Encontramos el área sombreada por encima de -1.79 (te dejamos la imagen). La pequeña cola izquierda está entre 0.025 y 0.05, por lo que la región superior más grande debe tener un área entre 0.95 y 0.975.

C.3 Tabla de Probabilidad Chi-Cuadrado

Se puede utilizar una tabla de probabilidad chi-cuadrado para encontrar las áreas de la cola de una distribución chi-cuadrado. La tabla chi-cuadrado se muestra parcialmente en la Figura C.5, y la tabla completa se puede encontrar en la página 417. Cuando se utiliza una tabla chi-cuadrado, examinamos una fila en particular para distribuciones con diferentes grados de libertad e identificamos un rango para el área (por ejemplo, 0.025 a 0.05). Tenga en cuenta que la tabla chi-cuadrado proporciona valores de la cola superior, que es diferente de las tablas de distribución normal y t.

Cola superior		0.3	0.2	0.1	0.05	0.02	0.01	0.005	0.001
gl	2	2.41	3.22	4.61	5.99	7.82	9.21	10.60	13.82
	3	3.66	4.64	6.25	7.81	9.84	11.34	12.84	16.27
	4	4.88	5.99	7.78	9.49	11.67	13.28	14.86	18.47
	5	6.06	7.29	9.24	11.07	13.39	15.09	16.75	20.52
	6	7.23	8.56	10.64	12.59	15.03	16.81	18.55	22.46
	7	8.38	9.80	12.02	14.07	16.62	18.48	20.28	24.32

Figura C.5: Una sección de la tabla chi-cuadrado. Una tabla completa se encuentra en el Apéndice C.3.

EJEMPLO C.9

La figura C.6(a) muestra una distribución chi-cuadrado con 3 grados de libertad y una cola superior sombreada que comienza en 6.25. Use la Figura C.5 para estimar el área sombreada.

Esta distribución tiene tres grados de libertad, por lo que solo es relevante la fila con 3 grados de libertad (gl). Esta fila ha sido escrita en cursiva en la tabla. A continuación, vemos que el valor – 6.25 – cae en la columna con área de cola superior 0.1. Es decir, la cola superior sombreada de la Figura C.6(a) tiene un área de 0.1.

Este ejemplo fue inusual, ya que observamos el valor exacto en la tabla. En los siguientes ejemplos, encontraremos situaciones en las que no podemos estimar con precisión el área de la cola y, en cambio, debemos proporcionar un rango de valores.

EJEMPLO C.10

La figura C.6(b) muestra la cola superior de una distribución chi-cuadrado con 2 grados de libertad. El área por encima del valor 4.3 ha sido sombreada; encuentre esta área de la cola.

El punto de corte 4.3 cae entre la segunda y tercera columna en la fila de 2 grados de libertad. Debido a que estas columnas corresponden a áreas de la cola de 0.2 y 0.1, podemos estar seguros de que el área sombreada en la Figura C.6(b) está entre 0.1 y 0.2.

EJEMPLO C.11

La figura C.6(c) muestra una cola superior para una distribución chi-cuadrado con 5 grados de libertad y un punto de corte de 5.1. Encuentre el área de la cola.

Buscando en la fila con 5 gl, 5.1 cae por debajo del punto de corte más pequeño para esta fila (6.06). Eso significa que solo podemos decir que el área es mayor que 0.3.

EJEMPLO C.12

La figura C.6(d) muestra un punto de corte de 11.7 en una distribución chi-cuadrado con 7 grados de libertad. Encuentre el área de la cola superior.

El valor 11.7 cae entre 9.80 y 12.02 en la fila de 7 gl. Por lo tanto, el área está entre 0.1 y 0.2.

Figura C.6: (a) Distribución chi-cuadrado con 3 grados de libertad, área por encima de 6.25 sombreada. (b) 2 grados de libertad, área por encima de 4.3 sombreada. (c) 5 grados de libertad, área por encima de 5.1 sombreada. (d) 7 grados de libertad, área por encima de 11.7 sombreada.

Cola superior	0.3	0.2	0.1	0.05	0.02	0.01	0.005	0.001
gl 1	1.07	1.64	2.71	3.84	5.41	6.63	7.88	10.83
2	2.41	3.22	4.61	5.99	7.82	9.21	10.60	13.82
3	3.66	4.64	6.25	7.81	9.84	11.34	12.84	16.27
4	4.88	5.99	7.78	9.49	11.67	13.28	14.86	18.47
5	6.06	7.29	9.24	11.07	13.39	15.09	16.75	20.52
6	7.23	8.56	10.64	12.59	15.03	16.81	18.55	22.46
7	8.38	9.80	12.02	14.07	16.62	18.48	20.28	24.32
8	9.52	11.03	13.36	15.51	18.17	20.09	21.95	26.12
9	10.66	12.24	14.68	16.92	19.68	21.67	23.59	27.88
10	11.78	13.44	15.99	18.31	21.16	23.21	25.19	29.59
11	12.90	14.63	17.28	19.68	22.62	24.72	26.76	31.26
12	14.01	15.81	18.55	21.03	24.05	26.22	28.30	32.91
13	15.12	16.98	19.81	22.36	25.47	27.69	29.82	34.53
14	16.22	18.15	21.06	23.68	26.87	29.14	31.32	36.12
15	17.32	19.31	22.31	25.00	28.26	30.58	32.80	37.70
16	18.42	20.47	23.54	26.30	29.63	32.00	34.27	39.25
17	19.51	21.61	24.77	27.59	31.00	33.41	35.72	40.79
18	20.60	22.76	25.99	28.87	32.35	34.81	37.16	42.31
19	21.69	23.90	27.20	30.14	33.69	36.19	38.58	43.82
20	22.77	25.04	28.41	31.41	35.02	37.57	40.00	45.31
25	28.17	30.68	34.38	37.65	41.57	44.31	46.93	52.62
30	33.53	36.25	40.26	43.77	47.96	50.89	53.67	59.70
40	44.16	47.27	51.81	55.76	60.44	63.69	66.77	73.40
50	54.72	58.16	63.17	67.50	72.61	76.15	79.49	86.66

Índice

Regla de Adición, 83 R² ajustada (R² adj), 349, 349 Criterio de información de Akaike (AIC), 374 hipótesis alternativa (HA), 189 ocurrencias ami, 404 análisis de varianza (ANOVA), 285, 285–294 evidencia anecdótica, 22 preguntar, 406 asociado, 16 promedio, 43 eliminación hacia atrás, 354 gráfico de barras, 61 gráfico de barras segmentado, 64 lado a lado, 64 gráfico de barras apiladas, 64 Teorema de Bayes, 106, 104–108 estadística bayesiana, 108 sesgo, 24, 22–24, 170, 186 bimodal, 46 ciego, 34 bloqueo, 32 bloques, 32 Corrección de Bonferroni, 293 diagrama de caja, 49 diagrama de caja lado a lado, 68 caso, 12 categórico, 15 variable categórica, 343 Teorema del Límite Central, 172, 251 independencia, 172 datos normales, 252 proporción, 172 distribución chi-cuadrado, 231 tabla de probabilidad chi-cuadrado, 416 estadístico chi-cuadrado, 231 tabla chi-cuadrado, 416 classdata, 406 intervalo de Clopper-Pearson, 211 nube de puntos, 305 comentario de código, 171 cohorte, 18 colecciones, 84 colineal, 348, 367 totales de columna, 61

complemento, 88 condición, 97 probabilidad condicional, 97, 97–99, 108 intervalo de confianza, 169, 181, 181–186 95%, 182 nivel de confianza, 183 interpretación, 186 regresión, 334 confiado, 181 95% confiado, 181 factor de confusión, 25 factor de confusión, 25 variable de confusión, 25 tabla de contingencia, 61 proporción de columna, 62 totales de columna, 61 proporciones de fila, 62 totales de fila, 61 continuo, 15 control, 32 grupo de control, 9, 32 muestra de conveniencia, 24 correlación, 305, 310, 310–311 condado, 403, 404 condado completo, 403 cpr, 406 datos, 8, 403–407 bebé fumador, 269–271 cáncer de mama, 219–221 apoyo a la energía del carbón, 194–196 condado, 13–18, 52–53, 67–68 RCP y anticoagulantes, 217–218 diabetes, 243–244 delfines y mercurio, 255–256 encuesta sobre el Ébola, 185 iPod, 240–243 loan50, 12, 41–51 préstamos, 61–66, 84, 86, 343 vacuna contra la malaria, 71–74 mamografía, 219–221 mario kart, 362 elecciones de mitad de mandato, 331–333 bateo de la MLB, 286–291 reducción de armas nucleares, 197 Encuesta sobre la regulación del día de pago, 208–210, 213