0.1 Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta

0.2 Objetivo

El objetivo de este documento es comprender el concepto de valor esperado en una variable aleatoria discreta, su importancia en la estadística y cómo se calcula mediante un ejemplo práctico. Se analizará su interpretación y aplicación en situaciones reales mediante el uso de gráficos ilustrativos.

0.3 Descripción

El valor esperado es un concepto clave en la teoría de probabilidad y estadística. Se utiliza para describir el comportamiento promedio de una variable aleatoria en el largo plazo. Es ampliamente usado en áreas como economía, seguros, juegos de azar y modelado de riesgos.

0.4 Marco de Referencia

En teoría de probabilidades, una variable aleatoria discreta toma valores específicos con ciertas probabilidades. El valor esperado es el promedio ponderado de estos valores, con las probabilidades actuando como pesos. Su cálculo permite tomar decisiones informadas en contextos de incertidumbre.

Matemáticamente, el valor esperado de una variable aleatoria discreta X con función de probabilidad

\[ P(X=xi) \]

se define como:

Este valor representa la media ponderada de los posibles valores de X, donde cada valor es ponderado por su probabilidad.

0.5 Ejercicio

Un dado justo de seis caras tiene la siguiente función de probabilidad:

x 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Calcula el valor esperado

\[ E(X) \]

0.6 Desarrollo

Usamos la fórmula del valor esperado:

Realizando los cálculos:

/Por lo tanto, el valor esperado de la variable aleatoria X es 3.5.
/Por lo tanto, el valor esperado de la variable aleatoria X es 3.5.

0.6.1 Gráfico de la distribución de probabilidad

Podemos representar gráficamente la distribución de probabilidad del dado:

barplot(rep(1/6, 6), names.arg=1:6, col="skyblue", main="Distribución de Probabilidad del Dado", ylab="Probabilidad", xlab="Valor del Dado")

Este gráfico muestra que cada valor del dado tiene una probabilidad uniforme de 1/6, lo que resulta en un valor esperado de 3.5.

0.7 Interpretación

El valor esperado indica que, si lanzamos el dado muchas veces, el promedio de los valores obtenidos se acercará a 3.5, aunque este número no sea un resultado posible en un solo lanzamiento. Esto nos ayuda a entender fenómenos aleatorios en los que el resultado individual puede variar, pero existe una tendencia central cuando repetimos el experimento muchas veces.

Este concepto es fundamental en estadística y probabilidad, ya que el valor esperado se usa en decisiones basadas en incertidumbre, como en juegos de azar, economía y análisis de riesgos. En la práctica, permite calcular beneficios o pérdidas esperadas en diversas situaciones.