1 Objetivo

A partir de una función de densidad, representar la curva de densidad y calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la distribución de los datos.

2 Descripción

  • Se cargan las librerías necesarias

  • Se cargan los datos de estaturas mujeres

  • Se carga la función de densidad para estatura mujeres

  • Se carga funciones de variables aleatorias continuas previamente codificadas

  • Se presenta la gráfica de densidad

  • Se calcula el valor esperado de los datos

  • Se calcula la varianza de los datos

  • Se calcula la desviación estándar de los datos

  • Se interpreta todo el caso

3 Fundamento teórico

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función \(f(x)\) de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con \(a \le b\)[@devore2016].

\[ P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx\ \]

La probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo \([a, b]\) es el área sobre este intervalo y bajo la curva de la función de densidad, como se ilustra en la figura siguiente en relación a los datos de las estaturas de mujeres del Durango vista con anterioridad en el caso anterior.

De acuerdo a Devore, para que \(f(x)\) sea una función de densidad de probabilidad legítima debe satisfacer las dos siguientes condiciones:

\[ f(x) \ge 0 \text{ para todas las x's} \]

\[ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\text{ área bajo toda la curva de f(x)} \]

3.1 La función integrate()

La función integrate() en R, utiliza un algoritmo numérico para aproximar la integral, y la aproximación puede tener un cierto grado de error.

El grado de error depende del algoritmo numérico utilizado, así como de los límites de integración y la función en sí. Por lo tanto, es posible que el valor obtenido mediante integrate() sea ligeramente diferente al valor calculado de forma analítica.

En general, se espera que el valor obtenido mediante integrate() sea una buena aproximación del valor real de la integral.

Para estimar el valor esperado y la varianza se va a utilizar la función integrate() de R.

3.2 Valor Esperado

El valor esperado o valor medio de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x) es el valor que se espera que se de en promedio:

\[ \mu_{x} = VE(x) = \int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx \therefore \\ \mu_{x} = VE(x) = \int_{0}^{2}x\cdot 1 - \frac{x}{2}dx \][@devore2016]

[@devore2016]

3.3 Varianza

Es una medida de dispersión, se representa con \(\sigma^2\) o \(V(X)\). La varianza de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad \(f(x)\) y valor medio \(\mu\) está dada por:

\[ varianza = \sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2\cdot f(x) dx \]

ó

\[ varianza = \sigma^2=V(x)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot f(x)dx - \mu^2 \]

3.4 Desviación Estándar

Es medida de dispersión representada por \(\sigma\) y es la raíz cuadrada de la varianza.

\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

4 Desarrollo

En el desarrollo de estos ejercicios algunos de ellos cargan datos de los cuales se asume una función de densidad, otros ejercicios extraídos de la literatura de probabilidad sólo presentan la función de densidad.

4.1 Cargar librerías

library(readr)
library(ggplot2)

4.2 Cargar funciones previamene codificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/fuciones_variables_continuas.R")

4.3 Ejercicio de f(x) = 1 - x/2

4.3.1 Función de densidad

Se crea una función de densidad por decir función de gauss. \[ f(x) =1 - \frac{x}{2} \]

4.3.2 Condiciones de esta función de densidad

X debe estar entre un intervalo de $0 $ y \(2\)

Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = 1 - \frac{x}{2} \]

\[ f(x) = \begin{cases} {1 - \frac{x}{2}} & \text{:if } (0 \leq x \leq 2)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

4.3.3 La función de densidad en R

minimo <- 0
maximo <- 2
f_dens <- function(x) {
  ifelse(0 <= x & x <= 2, 1 - x/2, 0) }

4.3.4 Construir datos con algunos valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Se generan valores de una secuencia de valores numéricos que significan altura en centímetros y simulando el resultado de una encuesta a \(n\) mujeres en donde se les pregunta su estatura en centímetros.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad.

x <- c(-4, -3, -2, -1, 0, 0.5, 0.75, 1, 2, 2.1, 3) 


a <- 0.5
b <- 1.0

Se presentan solo los primeros y últimos 20 registros de la simulación de la encuesta.

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)
##        x     y    f    p
## 1  -4.00 0.000    0    0
## 2  -3.00 0.000    0    0
## 3  -2.00 0.000    0    0
## 4  -1.00 0.000    0    0
## 5   0.00 1.000 f(x) f(x)
## 6   0.50 0.750 f(x) P(x)
## 7   0.75 0.625 f(x) P(x)
## 8   1.00 0.500 f(x) P(x)
## 9   2.00 0.000 f(x) f(x)
## 10  2.10 0.000    0    0
## 11  3.00 0.000    0    0
tail(datos_graf, 20)
##        x     y    f    p
## 1  -4.00 0.000    0    0
## 2  -3.00 0.000    0    0
## 3  -2.00 0.000    0    0
## 4  -1.00 0.000    0    0
## 5   0.00 1.000 f(x) f(x)
## 6   0.50 0.750 f(x) P(x)
## 7   0.75 0.625 f(x) P(x)
## 8   1.00 0.500 f(x) P(x)
## 9   2.00 0.000 f(x) f(x)
## 10  2.10 0.000    0    0
## 11  3.00 0.000    0    0

4.3.5 Gráfica de densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

4.3.6 Cuestionamientos

  • ¿Cuánto vale el área en color azul si toda el área en color rosa vale 1.0?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de x esté entre a y b, es decir entre 0.5 y 1.0?

\[ P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} (1 - x/2) dx \]

\[ \int_{0.5}^{1.0} (1 - x/2) dx \]

4.3.7 Función integrate() en acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)
## [1] 0.5
print(b)
## [1] 1
# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)

# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0.5  y  1  es de  31.25 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"

4.3.8 Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  0.6667"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.3.9 Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.2222"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.3.10 Desviación estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.4714"

4.3.11 Función acumulada

f_dens <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x <= 4, (x / 4) * (1 + log(4 / x)), 0)
}

F_acumulada_scalar <- function(x) {
  if (x == 0) return(0)
  integrate(f_dens, lower = 0, upper = x)$value
}

F_acumulada <- Vectorize(F_acumulada_scalar)

x_values <- seq(0, 4, length.out = 100)
F_values <- F_acumulada(x_values)

plot(x_values, F_values, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     xlab = "x", ylab = "F(x)", main = "Función Acumulada F(x)")
grid()

4.4 Ejercicio de estatura mujeres

4.4.1 Cargar los datos

Se cargan los datos de estatura de mujeres del estado de Durango.

datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/datos_estaturas_edad_mujeres_durango.csv")

4.4.2 Estructura de los datos

str(datos)
## 'data.frame':    296 obs. of  4 variables:
##  $ estatura: num  151 154 162 152 153 ...
##  $ genero  : int  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ entidad : int  10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ...
##  $ edad    : int  54 48 43 33 36 59 54 25 29 43 ...

4.4.3 Variable de interés estatura

La media de los datos de la variable de interés es de 157.4 cms. de altura de las mujeres con una desviación estándar de 6.22.

En el conjunto de los datos existe 28 valores sin NA’s que significa que son valores no capturados correctamente desde origen de los datos.

media <- round(mean(datos$estatura, na.rm = TRUE), 4)
desv.std <- round(sd(datos$estatura, na.rm = TRUE), 4)
summary(datos$estatura)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   140.2   152.5   156.9   157.1   161.5   173.5
paste("La media aritmética de estatura es: ", media, "; con desviación estándar de: ", desv.std)
## [1] "La media aritmética de estatura es:  157.0905 ; con desviación estándar de:  6.2227"

4.4.4 Función de densidad

Se crea una función de densidad por decir función de gauss. \[ f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \]

en donde: \(\pi = 3.14159\) y \(e = 2.71828\) y se conoce la media de los datos \(154.7\) y la desviación estándar de \(6.22\).

4.4.5 Condiciones de esta función de densidad

X debe estar entre un intervalo de \(-\infty\) y \(\infty\) o para estar en contexto dejarlo en \(100\) y \(220\) cms.

Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \therefore \]

\[ f(x) = \begin{cases} {f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} } & \text{:if } (100 \leq x \leq 220)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

4.4.6 La función de densidad en R

minimo <- 100
maximo <- 220
f_dens <- function(x) {
  ifelse(minimo <= x & x <= maximo, (exp(1)^(-(x - media)^2 / (2 * desv.std^2))) / (desv.std * sqrt(2 * pi)), 0) }

4.4.7 Construir datos con algunos valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Por ejemplo, en el ejercicio de la estatura de mujeres los valores mínimos y máximos serían 100 y 220 respectivamente; con respecto al intervalo de probabilidad [a, b] este será de 155 y 165 respectivamente.

Se generan valores de una secuencia de valores numéricos que significan altura en centímetros y simulando el resultado de una encuesta a \(n\) mujeres en donde se les pregunta su estatura en centímetros.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad; se incluye en las estaturas los valores mínimos y máximos.

x <- seq(minimo-1, maximo + 1, 0.05)
head(x); tail(x)
## [1] 99.00 99.05 99.10 99.15 99.20 99.25
## [1] 220.75 220.80 220.85 220.90 220.95 221.00
a <- 155
b <- 165

Se presentan solo los primeros y últimos 20 registros de la simulación de la encuesta.

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)
##        x y f p
## 1  99.00 0 0 0
## 2  99.05 0 0 0
## 3  99.10 0 0 0
## 4  99.15 0 0 0
## 5  99.20 0 0 0
## 6  99.25 0 0 0
## 7  99.30 0 0 0
## 8  99.35 0 0 0
## 9  99.40 0 0 0
## 10 99.45 0 0 0
## 11 99.50 0 0 0
## 12 99.55 0 0 0
## 13 99.60 0 0 0
## 14 99.65 0 0 0
## 15 99.70 0 0 0
## 16 99.75 0 0 0
## 17 99.80 0 0 0
## 18 99.85 0 0 0
## 19 99.90 0 0 0
## 20 99.95 0 0 0
tail(datos_graf, 20)
##           x y f p
## 2422 220.05 0 0 0
## 2423 220.10 0 0 0
## 2424 220.15 0 0 0
## 2425 220.20 0 0 0
## 2426 220.25 0 0 0
## 2427 220.30 0 0 0
## 2428 220.35 0 0 0
## 2429 220.40 0 0 0
## 2430 220.45 0 0 0
## 2431 220.50 0 0 0
## 2432 220.55 0 0 0
## 2433 220.60 0 0 0
## 2434 220.65 0 0 0
## 2435 220.70 0 0 0
## 2436 220.75 0 0 0
## 2437 220.80 0 0 0
## 2438 220.85 0 0 0
## 2439 220.90 0 0 0
## 2440 220.95 0 0 0
## 2441 221.00 0 0 0

4.4.8 Gráfica de densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

4.4.9 Cuestionamientos

  • ¿Cuánto vale el área en color azul si toda el área en color rosa vale 1.0?

  • ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de x esté entre a y b, es decir entre 155 y 165?

\[ P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} dx \]

\[ \int_{155}^{165} \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} dx \]

4.4.10 Función integrate() en acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)
## [1] 155
print(b)
## [1] 165
# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)

# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  155  y  165  es de  52.9693 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"

4.4.11 Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  157.0905"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0.0163"

4.4.12 Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  38.722"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.4.13 Desviación estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  6.2227"

4.5 Constructora

La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) que vende a una empresa constructora en una semana se comporta una función continua:

[@unam]

4.5.1 Función de densidad

\[ f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) \]

4.5.2 Condiciones de esta función de densidad

X debe estar entre un intervalo de \(0\) y \(1\)

Para generar una probabilidad; para todo valor diferente de este intervalo la probabilidad es cero.

\[ f(x) = f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) \therefore \]

\[ f(x) = \begin{cases} {f(x) =\frac{3}{2}\cdot(1-x^{2}) } & \text{:if } (0 \leq x \leq 1)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

4.5.3 La función de densidad en R

f_dens <- function(x) {
  ifelse(0 <= x & x <= 1, (3/2) * (1 -x ^2), 0) }

4.5.4 Construir datos con algunos valores

Se construyen datos con valores x e y con la función de densidad respectiva haciendo uso de la función.

Se inicializan los valores mínimo y máximo de la función. Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad.

Por ejemplo, en el ejercicio de la constructora los valores mínimos y máximos serían 0 y 1 respectivamente; con respecto al intervalo de probabilidad [a, b] este será de 0.40 y 0.60 respectivamente.

Los datos solo se utilizan para construir los gráficos de densidad; se incluye en las estaturas los valores y máximos.

minimo <- 0
maximo <- 1
x <- seq(minimo-1, maximo + 1, 0.1)
x
##  [1] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
## [16]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
## [31]  2.0
a <- 0.40
b <- 0.60

La estructura de los datos son las coordenadas x e y; en la columna f se etiqueta como f(x) aquellos valores de x que están dentro del intervalo de los valores mínimos y máximos permisibles de la función; en la columna p aquellos valores que están dentro del intervalo de probabilidad [a, b] a calcular.

datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
head(datos_graf, 20)
##       x     y    f    p
## 1  -1.0 0.000    0    0
## 2  -0.9 0.000    0    0
## 3  -0.8 0.000    0    0
## 4  -0.7 0.000    0    0
## 5  -0.6 0.000    0    0
## 6  -0.5 0.000    0    0
## 7  -0.4 0.000    0    0
## 8  -0.3 0.000    0    0
## 9  -0.2 0.000    0    0
## 10 -0.1 0.000    0    0
## 11  0.0 1.500 f(x) f(x)
## 12  0.1 1.485 f(x) f(x)
## 13  0.2 1.440 f(x) f(x)
## 14  0.3 1.365 f(x) f(x)
## 15  0.4 1.260 f(x) P(x)
## 16  0.5 1.125 f(x) P(x)
## 17  0.6 0.960 f(x) f(x)
## 18  0.7 0.765 f(x) f(x)
## 19  0.8 0.540 f(x) f(x)
## 20  0.9 0.285 f(x) f(x)
tail(datos_graf, 20)
##      x     y    f    p
## 12 0.1 1.485 f(x) f(x)
## 13 0.2 1.440 f(x) f(x)
## 14 0.3 1.365 f(x) f(x)
## 15 0.4 1.260 f(x) P(x)
## 16 0.5 1.125 f(x) P(x)
## 17 0.6 0.960 f(x) f(x)
## 18 0.7 0.765 f(x) f(x)
## 19 0.8 0.540 f(x) f(x)
## 20 0.9 0.285 f(x) f(x)
## 21 1.0 0.000 f(x) f(x)
## 22 1.1 0.000    0    0
## 23 1.2 0.000    0    0
## 24 1.3 0.000    0    0
## 25 1.4 0.000    0    0
## 26 1.5 0.000    0    0
## 27 1.6 0.000    0    0
## 28 1.7 0.000    0    0
## 29 1.8 0.000    0    0
## 30 1.9 0.000    0    0
## 31 2.0 0.000    0    0

4.5.5 Gráfica de densidad

g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g

4.5.6 Cuestionamientos

  • ¿Como se comporta la curva de densidad?

  • ¿Cuál es la probabilidad de vender cuando \(x\) está entre \(0.40\) a \(0.60\)?

  • ¿Cuál es el valor medio que espera vender la constructora?. Valor esperado

  • ¿Cuánto puede variar?, Desviación estándar

4.5.7 Función integrate() en acción

Se inicializan a y b que son el intervalo de la probabilidad. Ya se tiene a y b.

print(a)
## [1] 0.4
print(b)
## [1] 0.6
# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)

# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0.4  y  0.6  es de  22.4 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"

4.5.8 Valor Esperado

VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  0.375"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

0.375 significa lo que se espera vender de grava en la semana.

4.5.9 Varianza

varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.0594"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

4.5.10 Desviación estándar

desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  0.2437"

5 Enlaces

[@pizarro_variable_nodate]

[@pizarro_variables_nodate-1]

[@pizarro_variables_nodate]

6 Interpretación del caso

Desarrollar ejercicio de la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \frac{x}{4}\cdot(1+ln(\frac{4}{x})) \]

La función log() calcula el logaritmo natural o neperiano.

Se solicita:

  • Crear la función de densidad en R? para las siguientes condiciones:

\[ f(x) = \begin{cases} {\frac{x}{4}\cdot(1+ln(\frac{4}{x}))} & \text{:if } (0 \leq x \leq 4)\\ 0 & \text{:en cualquier otro caso} \end{cases} \]

f_dens <- function(x) {
 ifelse (0 <= x & x <= 4, (x/4) * (1 + log(4/x)), 0)
}
  • ¿Cómo se ve la curva de densidad? con los siguientes datos para la variable continua x?
x <- seq(-1, 4.5, 0.1) 
x
##  [1] -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0.0  0.1  0.2  0.3  0.4
## [16]  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  1.6  1.7  1.8  1.9
## [31]  2.0  2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  2.6  2.7  2.8  2.9  3.0  3.1  3.2  3.3  3.4
## [46]  3.5  3.6  3.7  3.8  3.9  4.0  4.1  4.2  4.3  4.4  4.5
minimo <- 0
maximo <- 4

# Probabilidad x <= 1
a <- 0
b <- 1
  • ¿Cuál es la probabilidad para cuando x menor o igual a 1 $x $?
datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
## Warning in log(4/x): NaNs produced
head(datos_graf, 20)
##       x         y    f    p
## 1  -1.0 0.0000000    0    0
## 2  -0.9 0.0000000    0    0
## 3  -0.8 0.0000000    0    0
## 4  -0.7 0.0000000    0    0
## 5  -0.6 0.0000000    0    0
## 6  -0.5 0.0000000    0    0
## 7  -0.4 0.0000000    0    0
## 8  -0.3 0.0000000    0    0
## 9  -0.2 0.0000000    0    0
## 10 -0.1 0.0000000    0    0
## 11  0.0       NaN f(x) P(x)
## 12  0.1 0.1172220 f(x) P(x)
## 13  0.2 0.1997866 f(x) P(x)
## 14  0.3 0.2692700 f(x) P(x)
## 15  0.4 0.3302585 f(x) P(x)
## 16  0.5 0.3849302 f(x) P(x)
## 17  0.6 0.4345680 f(x) P(x)
## 18  0.7 0.4800196 f(x) P(x)
## 19  0.8 0.5218876 f(x) P(x)
## 20  0.9 0.5606223 f(x) P(x)
tail(datos_graf, 20)
##      x         y    f    p
## 37 2.6 0.9300089 f(x) f(x)
## 38 2.7 0.9403037 f(x) f(x)
## 39 2.8 0.9496725 f(x) f(x)
## 40 2.9 0.9581481 f(x) f(x)
## 41 3.0 0.9657616 f(x) f(x)
## 42 3.1 0.9725415 f(x) f(x)
## 43 3.2 0.9785148 f(x) f(x)
## 44 3.3 0.9837068 f(x) f(x)
## 45 3.4 0.9881411 f(x) f(x)
## 46 3.5 0.9918400 f(x) f(x)
## 47 3.6 0.9948245 f(x) f(x)
## 48 3.7 0.9971144 f(x) f(x)
## 49 3.8 0.9987286 f(x) f(x)
## 50 3.9 0.9996849 f(x) f(x)
## 51 4.0 1.0000000 f(x) f(x)
## 52 4.1 0.0000000    0    0
## 53 4.2 0.0000000    0    0
## 54 4.3 0.0000000    0    0
## 55 4.4 0.0000000    0    0
## 56 4.5 0.0000000    0    0
g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g
## Warning: Removed 1 row containing non-finite outside the scale range
## (`stat_align()`).

# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)

# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  0  y  1  es de  36.0787 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  1e-04"
  • ¿Cuál es la probabilidad para cuando x esté entre 1 y 3 en el intervalo \(1 \le x \le 3\)
minimo <- 0
maximo <- 4

# Probabilidad 1 <= x <= 3
a <- 1
b <- 3
datos_graf <- f_crear_datos_graf(x = x, f_densidad = f_dens, minmax = c(minimo, maximo), intervalo = c(a, b) )
## Warning in log(4/x): NaNs produced
head(datos_graf, 20)
##       x         y    f    p
## 1  -1.0 0.0000000    0    0
## 2  -0.9 0.0000000    0    0
## 3  -0.8 0.0000000    0    0
## 4  -0.7 0.0000000    0    0
## 5  -0.6 0.0000000    0    0
## 6  -0.5 0.0000000    0    0
## 7  -0.4 0.0000000    0    0
## 8  -0.3 0.0000000    0    0
## 9  -0.2 0.0000000    0    0
## 10 -0.1 0.0000000    0    0
## 11  0.0       NaN f(x) f(x)
## 12  0.1 0.1172220 f(x) f(x)
## 13  0.2 0.1997866 f(x) f(x)
## 14  0.3 0.2692700 f(x) f(x)
## 15  0.4 0.3302585 f(x) f(x)
## 16  0.5 0.3849302 f(x) f(x)
## 17  0.6 0.4345680 f(x) f(x)
## 18  0.7 0.4800196 f(x) f(x)
## 19  0.8 0.5218876 f(x) f(x)
## 20  0.9 0.5606223 f(x) f(x)
tail(datos_graf, 20)
##      x         y    f    p
## 37 2.6 0.9300089 f(x) P(x)
## 38 2.7 0.9403037 f(x) P(x)
## 39 2.8 0.9496725 f(x) P(x)
## 40 2.9 0.9581481 f(x) P(x)
## 41 3.0 0.9657616 f(x) P(x)
## 42 3.1 0.9725415 f(x) f(x)
## 43 3.2 0.9785148 f(x) f(x)
## 44 3.3 0.9837068 f(x) f(x)
## 45 3.4 0.9881411 f(x) f(x)
## 46 3.5 0.9918400 f(x) f(x)
## 47 3.6 0.9948245 f(x) f(x)
## 48 3.7 0.9971144 f(x) f(x)
## 49 3.8 0.9987286 f(x) f(x)
## 50 3.9 0.9996849 f(x) f(x)
## 51 4.0 1.0000000 f(x) f(x)
## 52 4.1 0.0000000    0    0
## 53 4.2 0.0000000    0    0
## 54 4.3 0.0000000    0    0
## 55 4.4 0.0000000    0    0
## 56 4.5 0.0000000    0    0
g <- f_graf_dens_ggplot(f_dens = f_dens, datos = datos_graf)
g
## Warning: Removed 1 row containing non-finite outside the scale range
## (`stat_align()`).

# Se calcula la integral de f(x) en el intervalo proporcionado con a y b
resultado <- integrate(f = f_dens, a, b)

# Se obtiene la probabilidad P(x) en el intervalo [a, b]
probabilidad <- round(resultado$value * 100, 4)
paste("La probabilidad de que x esté entre ", a , " y ", b, " es de ", probabilidad, "%, aproximadamente")
## [1] "La probabilidad de que x esté entre  1  y  3  es de  165.0356 %, aproximadamente"
paste("El error absoluto es de ", round(resultado$abs.error, 4))
## [1] "El error absoluto es de  0"
  • ¿Cuál es el valor Esperado VE de la función de densidad?
VE <- f_valor_esperado(f_densidad = f_dens, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de : ", round(VE$value, 4))
## [1] "El valor esperado de x en esta función es aproximadamente de :  7.1111"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(VE$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0"

7.1111111 significa el valor que se espera en promedio de acuerdo a la función.

  • ¿Cuál es el valor de la varianza?
varianza <- f_varianza(f_densidad = f_dens, VE = VE$value, minimo = minimo, maximo = maximo)

paste("La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de ", round(varianza$value, 4))
## [1] "La varianza de x de la función de densidad es aproximadamente de  70.5679"
paste("Con un error absoluto aproximado de : ", round(varianza$abs.error, 4))
## [1] "Con un error absoluto aproximado de :  0.0053"
  • ¿Cuál es el valor de la desviación estándar?
desv.std <- round(sqrt(varianza$value), 4)
paste("La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de ", desv.std)
## [1] "La desviación estándar de x de la función de densidad es aproximadamente de  8.4005"

Elaborar ideas acerca del caso por lo menos 100 palabras …

El último ejercicio genera valores infinitos por ejemplo cuando x es 0 \(f(x = 0)\) el valor de la función de densidad es infinito. De tal forma que es posible que no sea como tal una función de densidad.

De igual forma al ser posible que no sea una función de densidad se presume que sea la razón del porqué genera una probabilidad mayor que 1 en el intervalo de 1 a 3.

7 Bibliografía