# A tibble: 6 × 4
group replicate red_balls prop_red
<chr> <int> <int> <dbl>
1 Ilyas, Yohan 1 21 0.42
2 Morgan, Terrance 2 17 0.34
3 Martin, Thomas 3 21 0.42
4 Clark, Frank 4 21 0.42
5 Riddhi, Karina 5 18 0.36
6 Andrew, Tyler 6 19 0.38Distribuciones muestrales
Maestría en Gobierno y Políticas Públicas
Diego Solís Delgadillo
Introducción
- Las encuestas de salida son utilizadas para proyectar al ganador de una elección
- Estas encuestas toman en cuenta solo a miles de electores entre millones de votantes
- Dichas predicciones generalmente son correctas
- ¿Por qué podemos predecir lo que sucede con toda la población con una muestra?
¿Cómo saber cuántas esferas rojas y blancas hay en el recipiente?
¿Cómo saber cuántas esferas hay de cada color?
- Podemos contar todas las esferas rojas y blancas
- Sería un proceso costoso
- Una alternativa es tomar una muestra
Muestra
- Tomamos una muestra de 50 esferas
- Obtenemos 17 esferas rojas (34%)
- Es una estimación de la proporción de esferas rojas en el recipiente
- Imaginemos que repetimos el ejercicio
- ¿Obtendremos nuevamente 17 esferas rojas?
Important
- Muy posiblemente obtendremos resultados distintos
Repetición de la muestra
- Le pedimos a 33 personas que repitan el ejercicio
- Seleccionan 50 esferas cada uno
- Registran el resultado
- Devuelven las esferas al recipiente
Resultado
- Los resultados están contenidos en el paquete moderndive
Distribución de los resultados
- Las diferentes proporciones muestran la variación muestral
Tomando 1000 muestras (n=50)
# A tibble: 50,000 × 3
# Groups: replicate [1,000]
replicate ball_ID color
<int> <int> <chr>
1 1 992 white
2 1 1795 white
3 1 1006 white
4 1 389 white
5 1 1149 white
6 1 1247 white
7 1 1573 white
8 1 756 white
9 1 911 white
10 1 1211 white
# ℹ 49,990 more rowsProporciones 1000 muestras
# A tibble: 1,000 × 3
replicate rojo prop_rojo
<int> <int> <dbl>
1 1 14 0.28
2 2 17 0.34
3 3 17 0.34
4 4 15 0.3
5 5 18 0.36
6 6 16 0.32
7 7 17 0.34
8 8 15 0.3
9 9 22 0.44
10 10 21 0.42
# ℹ 990 more rowsVisualización 1000 muestras
Distribuciones muestrales
Las distribuciones muestrales muestra cómo varían las estadísticas entre muestras
Para una encuesta de salida la variable aleatoria toma el valor de las opciones electorales
Caso Estados Unidos
- Un votante elige entre Joe Biden o Donald Trump (la variables binarias)
- Las proporciones recibidas por cada candidato van a variar entre encuestas de salida
- ⚠️ Porque están basadas en diferentes electores
Tamaño de la muestra
- Utilizamos tres tamaños 25, 50 y 100
Desviación estándar
- Conforme aumenta el tamaño de la muestra la variación es más pequeña
- Los valores se centran más cercanos a la media
- La variación puede medirse con la desviación estándar
Desviación estándar
- Es la cantidad de variación es una variable numérica con respecto a su media
Desviación estándar
# A tibble: 1 × 1
sd
<dbl>
1 0.0893# A tibble: 1 × 1
sd
<dbl>
1 0.0685# A tibble: 1 × 1
sd
<dbl>
1 0.0479Terminología
Población
- El conjunto de individuos u observaciones en las que estamos interesados
- La población se denota utilizando la letra \(N\)
- En el ejercicio de las esferas el total de esferas (2400) en el recipiente
Parámetro poblacional
- Es la cantidad numérica (media, proporción) de la población que nos es desconocida
- Cuando nos interesa la media se denota como \(\mu\)
- Cuando nos interesa la proporción es \(p\)
Terminología
Censo
- Es un conteo exhaustivo de todos los individuos u observaciones
- En nuestro ejemplo, contar todas las esferas del recipiente
- Los censos son caros en términos de tiempo, energía y dinero
Muestra
- Es un subconjunto de la población
- Se denota con la letra \(n\) para distinguirlo de la población \(N\)
Terminología
Estimador
- Es un estadístico obtenido de una muestra que estima el parámetro desconocido
- En nuestro ejemplo, es la proporción de la muestra en el recipiente
- Es un nuestra mejor conjetura del número de esferas rojas en el recipiente
- Para distinguirlo de la proporción poblacional \(p\) lo denominamos \(\hat{p}\)
Muestra representativa
- Una muestra es representativa si se asemeja a la población
Terminología
Generalización
- Es la capacidad de generalizar desde la muestra a la población
- Es como preguntarse si \(\hat{p}\) es una buena estimación de \(p\)
Muestra sesgada
- Ocurre cuando algunos individuos u oberservaciones tienen mayores posibilidades de ser incluidos en la muestra
- La muestra evita el sesgo cuando todos tienen la misma posibilidad de ser seleccionados
Terminología
Muestra aleatoria
- Si nuestras observaciones son seleccionadas al azar
- Todos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados
Variación distribución muestral
Error Estándar
- El error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral
- Cuantifica cuánto varían los estimadores
Important
- Conforme aumenta el tamaño de la muestra disminuye el error estándar
Ruido
- Si la muestra está sesgada tendremos un estimador sesgado
- Pero aún sin sesgo podemos tener un estimador que es diferentes al parámetro
- Simplemente por ruido (por aleatoriedad de la muestra)
Error estándar
- El error estándar nos dice qué tan lejos está una observación de la media del estimador
- 📌 Si el estimador no está sesgado, este es igual al valor verdadero
Precisión
Error estándar pequeño
- Si el error estándar es pequeño
- Los estimadores están muy cerca uno del otro
- El estimador es relativamente preciso
- Hay poca variación muestral
Teorema de Límite Central
- Parte de una hipotética repetición infinita de muestras
La distribución muestral toma la forma de una distribución normal
- La distribución de la media muestral de una variable aleatoria se aproxima a una distribución normal conforme aumenta el tamaño de la muestra
Important
- El valor medio de la distribución muestral será igual al valor poblacional
Teorema de Límite Central
Tip
- El valor verdadero es 37.5%
Encuestas
- En la práctica las encuestadoras no levantan mil encuestas
- Tampoco produciarán un estimador perfecto
Important
- Siempre habrá un error causado por la variación muestral
Tip
- Por eso las encuestas se reportan con cierta incertidumbre
- Por ejemplo \(\pm 2.5\)
Intervalos de confianza
Maestría en Gobierno y Políticas Públicas
Diego Solís Delgadillo
Estadística inferencial
- Permite ir de pequeñas muestras a información sobre la población
Punto estimado e intervalo
Punto estimado
- Es un solo número que es la mejor conjetura del parámetro
Intervalo estimado
- Es un intervalo de números posibles
Ejemplo
- 73% de los estadounidenses creen en el infierno
Intervalos de confianza
- Es un rango de posibles valores
Intervalos al 95%
- En una distribución normal a 1.96 desviaciones estándar se encuentra el 95% de las observaciones
- Por tanto, a 1.96 errores estándar se encuentra el 95% de los estimadores
¿Cómo lo construimos?
- Tomamos nuestro estimador y sumamos (y restamos) 1.96 por el valor del error estándar
Interpretación
Cómo NO interpretar el intervalo
Hay un 95% de probabilidad de que dentro del intervalo esté el valor verdadero
¿Cómo interpretar el intervalo?
Si no hay sesgo y repetimos nuestro estimador infinitamente, el valor del parámetro estará dentro del intervalo el 95% de las veces{style=“color: #3399ff”}
Intervalo para la proporción
Distribución muestral de proporciones
- Muestra los posibles valores de proporción
- Se aproxima a una distribución normal (cuando \(n\) es mayor a 15)
- Su media es igual a la proporción de la población
Important
- Su error estándar se expresa como \[ se= \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
- Donde \(\hat{p}\) es la proporción estimada y \(n\) el número de observaciones
Margen de error e intervalo de confianza
Margen de error
\(Puntuación Z * ErrorEstandar\)
Intervalo de confianza
\(PuntoEstimado \pm MargenError\)
Intervalo al 95%
Para un intervalo de confianza de 95%
\[ \hat{p} \pm 1.96(se) \]
Ejemplo
- Una encuesta pregunta si los consumidores estarían de acuerdo en subir los precios de la gasolina para proteger al ambiente
Hay una muestra de 1,321 personas
637 están a favor del aumento de los precios
¿Cómo construir un intervalo de confianza de 95%?
Ejemplo
- Estimamos la proporción:
\[ \hat{p}= \frac{637}{1,321}= 0.468 \]
- Calculamos el error estándar \[ se= \sqrt{\frac{0.468(1-0.468)}{1,321}}=0.0135 \]
.3 Para un intervalo de confianza de 95% la puntuación Z es 1.96
\[ 0.468 \pm 1.96(0.0135) \]
Resultado
- Límite inferior= 0.442
- Límite Superior= 0.494
Intervalo de confianza al 99%
- Si quisiéramos un intervalo de confianza de 99%
- Tomamos la puntuación Z que llega a ese nivel de confianza
- Ese valor es 2.58
\[ \hat{p} \pm 2.58(se) \]
Efecto del tamaño de la muestra
Important
- La estimación es más precisa entre más grande sea la muestra
\[ se= \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
Note
- Entre más grande es la muestra (denominador) más pequeño es el error estándar
- Entre más pequeño es el error estándar más pequeño es el margen de error
Intervalo de confianza para medias
La media de la muestra \(\bar{x}\) es el mejor estimador de la media poblacional \(\mu\)
El error estándar de la distribución de medias se expresa como
\[ se= \frac{s}{\sqrt{n}} \]
Note
- Donde \(s\) es la desviación estándar de la muestra
- Y \(n\) el tamaño de la muestra
Ejemplo
- Tenemos una muestra de 1,298 personas
- En promedio pasan 3.09 hrs viendo televisión
- La desviación estándar es de 2.87.
- Crear un intervalo de confianza de 95%
Ejemplo
- Calcular el error estándar \[ se= \frac{2.87}{\sqrt{1,298}}= 0.0797 \]
- Sumar y restar de punto estimado \[ \bar{x} \pm 1.96(se) \]
\[ 3.09 \pm 1.96(0.0797) \]
Resultado
- Límite inferior 2.93
- Límite superior 3.24